แสดงประเภทของเศษส่วน เศษส่วนบวกและลบ

คุณต้องการที่จะรู้สึกเหมือนทหารช่างไม้? บทเรียนนี้เหมาะสำหรับคุณ! เพราะตอนนี้เราจะศึกษาเศษส่วน - สิ่งเหล่านี้เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่เรียบง่ายและไม่เป็นอันตราย ซึ่งเหนือกว่าหลักสูตรพีชคณิตที่เหลือในความสามารถในการ "ดึงสมอง"

อันตรายหลักของเศษส่วนคือมันเกิดขึ้นใน ชีวิตจริง. ในส่วนนี้มีความแตกต่างกัน เช่น จากพหุนามและลอการิทึม ซึ่งสามารถผ่านและลืมได้ง่ายหลังการสอบ ดังนั้น เนื้อหาที่นำเสนอในบทเรียนนี้จึงเรียกได้ว่าระเบิดได้โดยไม่มีการพูดเกินจริง

เศษส่วนที่เป็นตัวเลข (หรือเพียงแค่เศษส่วน) คือจำนวนเต็มที่เขียนโดยใช้เครื่องหมายทับหรือแถบแนวนอน

เศษส่วนที่เขียนผ่านแถบแนวนอน:

เศษส่วนเดียวกันที่เขียนด้วยเครื่องหมายทับ:
5/7; 9/(−30); 64/11; (−1)/4; 12/1.

โดยปกติแล้ว เศษส่วนจะเขียนด้วยเส้นแนวนอน - ทำงานกับเศษส่วนได้ง่ายกว่าและดูดีกว่า ตัวเลขที่เขียนไว้ด้านบนเรียกว่าตัวเศษของเศษส่วน และตัวเลขที่อยู่ด้านล่างเรียกว่าตัวส่วน

จำนวนเต็มใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 1 ได้ ตัวอย่างเช่น 12 = 12/1 คือเศษส่วนจากตัวอย่างด้านบน

โดยทั่วไป คุณสามารถใส่จำนวนเต็มใดๆ ในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนได้ ข้อจำกัดเพียงอย่างเดียวคือตัวส่วนต้องแตกต่างจากศูนย์ จำกฎเก่าที่ดี: "คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้!"

ถ้าตัวส่วนยังคงเป็นศูนย์ เศษส่วนจะเรียกว่าไม่มีกำหนด บันทึกดังกล่าวไม่สมเหตุสมผลและไม่สามารถมีส่วนร่วมในการคำนวณได้

คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน

เศษส่วน a /b และ c /d เรียกว่าเท่ากัน ถ้า ad = bc

จากคำจำกัดความนี้ เศษส่วนเดียวกันสามารถเขียนได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น 1/2 = 2/4 เพราะ 1 4 = 2 2 แน่นอนว่าเศษส่วนไม่เท่ากันมีหลายส่วน ตัวอย่างเช่น 1/3 ≠ 5/4 เพราะ 1 4 ≠ 3 5.

มีคำถามที่สมเหตุสมผลเกิดขึ้น: จะหาเศษส่วนทั้งหมดเท่ากับเศษส่วนได้อย่างไร? เราให้คำตอบในรูปแบบของคำจำกัดความ:

คุณสมบัติหลักของเศษส่วนคือตัวเศษและตัวส่วนสามารถคูณด้วยจำนวนเดียวกันที่ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งจะส่งผลให้เศษส่วนเท่ากับเศษที่กำหนด

นี้มันมาก ทรัพย์สินที่สำคัญ- จำไว้ ด้วยคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน นิพจน์จำนวนมากสามารถทำให้ง่ายขึ้นและสั้นลงได้ ในอนาคตก็จะ “โผล่” ออกมาในรูปแบบอย่างต่อเนื่อง คุณสมบัติต่างๆและทฤษฎีบท

เศษส่วนที่ไม่ถูกต้อง การเลือกทั้งส่วน

ถ้าตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน เรียกว่า เศษส่วนที่เหมาะสม มิฉะนั้น (นั่นคือเมื่อตัวเศษมากกว่าหรืออย่างน้อยเท่ากับตัวส่วน) เศษส่วนจะเรียกว่าเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมและสามารถแยกแยะส่วนจำนวนเต็มได้

ส่วนจำนวนเต็มเขียนเป็นตัวเลขจำนวนมากหน้าเศษส่วนและมีลักษณะดังนี้ (ทำเครื่องหมายด้วยสีแดง):

ในการแยกส่วนทั้งหมดออกเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม คุณต้องทำตามขั้นตอนง่ายๆ สามขั้นตอน:

1. หาจำนวนครั้งที่ตัวส่วนลงตัวในตัวเศษ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ให้หาจำนวนเต็มสูงสุดที่เมื่อคูณด้วยตัวส่วน จะยังน้อยกว่าตัวเศษ (ในกรณีสุดขั้ว เท่ากับ) ตัวเลขนี้จะเป็นส่วนจำนวนเต็ม ดังนั้นเราจึงเขียนไว้ข้างหน้า
2. คูณตัวส่วนด้วยส่วนจำนวนเต็มที่พบในขั้นตอนก่อนหน้า แล้วลบผลลัพธ์ออกจากตัวเศษ "ต้นขั้ว" ที่เป็นผลลัพธ์เรียกว่าส่วนที่เหลือของการหารซึ่งจะเป็นค่าบวกเสมอ (ในกรณีที่รุนแรงคือศูนย์) เราเขียนมันลงในตัวเศษของเศษส่วนใหม่
3. เราเขียนตัวส่วนใหม่ไม่เปลี่ยนแปลง

แล้วมันยากไหม? มองแวบแรกอาจเป็นเรื่องยาก แต่ต้องใช้เวลาฝึกฝนเล็กน้อย - และคุณจะทำเกือบด้วยวาจา ในตอนนี้ ให้ดูตัวอย่าง:

งาน. เลือกส่วนทั้งหมดในเศษส่วนที่กำหนด:

ในตัวอย่างทั้งหมด ส่วนจำนวนเต็มจะถูกเน้นด้วยสีแดง และส่วนที่เหลือของการหารจะเป็นสีเขียว

ให้ความสนใจกับเศษส่วนสุดท้ายโดยที่ส่วนที่เหลือของการหารกลายเป็น ศูนย์. ปรากฎว่าตัวเศษถูกหารด้วยตัวส่วนทั้งหมด นี่ค่อนข้างสมเหตุสมผลเพราะ 24: 6 \u003d 4 เป็นความจริงที่รุนแรงจากตารางสูตรคูณ

หากทำทุกอย่างถูกต้อง ตัวเศษของเศษส่วนใหม่จะต้องน้อยกว่าตัวส่วน กล่าวคือ เศษส่วนจะถูกต้อง ฉันยังทราบด้วยว่าควรเน้นส่วนทั้งหมดในตอนท้ายของงานก่อนที่จะเขียนคำตอบ มิฉะนั้น คุณสามารถทำให้การคำนวณซับซ้อนขึ้นได้อย่างมาก

เปลี่ยนเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม

นอกจากนี้ยังมีการดำเนินการผกผันเมื่อเรากำจัดส่วนทั้งหมด สิ่งนี้เรียกว่าการเปลี่ยนเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมและเป็นเรื่องปกติมากกว่าเพราะเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมนั้นใช้งานได้ง่ายกว่ามาก

การเปลี่ยนไปใช้เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมนั้นทำได้สามขั้นตอนเช่นกัน:

1. คูณส่วนจำนวนเต็มด้วยตัวส่วน ผลลัพท์ที่ได้ค่อนข้างมาก ตัวเลขใหญ่แต่เราไม่ควรอาย
2. บวกจำนวนผลลัพธ์เข้ากับตัวเศษของเศษส่วนเดิม เขียนผลลัพธ์ในตัวเศษของเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม
3. เขียนตัวส่วนใหม่ - อีกครั้ง ไม่มีการเปลี่ยนแปลง

นี่คือตัวอย่างเฉพาะ:

งาน. แปลเป็นภาษา เศษส่วนที่ไม่เหมาะสม:

เพื่อความชัดเจน ส่วนจำนวนเต็มจะถูกเน้นด้วยสีแดงอีกครั้ง และตัวเศษของเศษส่วนเดิมจะเป็นสีเขียว

พิจารณากรณีที่ตัวเศษหรือตัวส่วนของเศษส่วนประกอบด้วย ตัวเลขติดลบ. ตัวอย่างเช่น:

โดยหลักการแล้วไม่มีความผิดทางอาญาในเรื่องนี้ อย่างไรก็ตาม การทำงานกับเศษส่วนดังกล่าวอาจไม่สะดวก ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์ เป็นเรื่องปกติที่จะลบ minuses เป็นเครื่องหมายเศษส่วน

ทำได้ง่ายมากถ้าคุณจำกฎได้:

1. บวก คูณ ลบ เท่ากับ ลบ ดังนั้นหากมีจำนวนลบในตัวเศษและจำนวนบวกในตัวส่วน (หรือกลับกัน) อย่าลังเลที่จะขีดลบและวางไว้ข้างหน้าเศษส่วนทั้งหมด
2. "สองเชิงลบทำให้ยืนยัน". เมื่อเครื่องหมายลบอยู่ในทั้งตัวเศษและตัวส่วน เราก็แค่ขีดฆ่ามัน ไม่จำเป็นต้องดำเนินการใดๆ เพิ่มเติม

แน่นอนว่ากฎเหล่านี้สามารถนำไปใช้ในทิศทางตรงกันข้ามได้ เช่น คุณสามารถเพิ่มเครื่องหมายลบภายใต้เครื่องหมายเศษส่วน (ส่วนใหญ่ - ในตัวเศษ)

เราจงใจไม่พิจารณากรณีของ "บวกกับบวก" - กับเขาฉันคิดว่าทุกอย่างชัดเจนอยู่แล้ว มาดูกันว่ากฎเหล่านี้ทำงานอย่างไรในทางปฏิบัติ:

งาน. นำ minuses ของเศษส่วนสี่ตัวที่เขียนไว้ด้านบนออก

ให้ความสนใจกับเศษส่วนสุดท้าย: มันมีเครื่องหมายลบอยู่ข้างหน้าแล้ว อย่างไรก็ตาม มันถูก "เผา" ตามกฎ "ลบคูณลบให้บวก"

นอกจากนี้ อย่าย้าย minuses เป็นเศษส่วนที่มีส่วนจำนวนเต็มไฮไลต์ เศษส่วนเหล่านี้จะถูกแปลงเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมก่อน - จากนั้นจึงเริ่มคำนวณ

ตัวเศษและตัวหารด้วยตัวหาร

ในการเขียนเศษส่วน ขั้นแรกให้เขียนตัวเศษ จากนั้นลากเส้นแนวนอนใต้ตัวเลขนี้ แล้วเขียนตัวส่วนใต้เส้น เส้นแนวนอนที่คั่นระหว่างตัวเศษและตัวส่วนเรียกว่าแถบเศษส่วน บางครั้งก็แสดงเป็นเฉียง "/" หรือ "∕" ในกรณีนี้ ตัวเศษจะถูกเขียนทางด้านซ้ายของบรรทัด และตัวส่วนทางด้านขวา ตัวอย่างเช่น เศษส่วน "สองในสาม" จะเขียนเป็น 2/3 เพื่อความชัดเจน ตัวเศษมักจะเขียนไว้บนสุดของบรรทัด และตัวส่วนอยู่ด้านล่าง นั่นคือแทนที่จะเป็น 2/3 คุณจะพบ: ⅔

ในการคำนวณผลคูณของเศษส่วน ขั้นแรกให้คูณตัวเศษของหนึ่ง เศษส่วนถึงตัวเศษอื่น เขียนผลลัพธ์ไปยังตัวเศษของใหม่ เศษส่วน. แล้วคูณตัวส่วนด้วย ระบุค่าสุดท้ายในใหม่ เศษส่วน. ตัวอย่างเช่น 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15)

ในการหารเศษส่วนด้วยอีกเศษหนึ่ง ขั้นแรกให้คูณตัวเศษของตัวแรกด้วยตัวส่วนของวินาที ทำเช่นเดียวกันกับเศษส่วนที่สอง (ตัวหาร) หรือก่อนทำตามขั้นตอนทั้งหมด ให้ "พลิก" ตัวหารก่อน ถ้าสะดวกสำหรับคุณ: ตัวส่วนควรอยู่แทนตัวเศษ จากนั้นคูณตัวส่วนของเงินปันผลด้วยตัวหารใหม่ของตัวหารแล้วคูณตัวเศษ ตัวอย่างเช่น 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3)

ที่มา:

• งานพื้นฐานสำหรับเศษส่วน

ตัวเลขเศษส่วนช่วยให้คุณแสดงออกใน รูปแบบที่แตกต่าง ค่าที่แน่นอนปริมาณ ด้วยเศษส่วน คุณสามารถดำเนินการทางคณิตศาสตร์เช่นเดียวกับจำนวนเต็ม: การลบ การบวก การคูณ และการหาร เพื่อเรียนรู้วิธีตัดสินใจ เศษส่วนจำเป็นต้องจำคุณลักษณะบางอย่างไว้ ขึ้นอยู่กับประเภท เศษส่วน, การมีอยู่ของส่วนจำนวนเต็ม, ตัวส่วนร่วม การดำเนินการเลขคณิตบางอย่างหลังจากดำเนินการต้องลดเศษส่วนของผลลัพธ์

คุณจะต้องการ

• - เครื่องคิดเลข

คำแนะนำ

ดูตัวเลขอย่างระมัดระวัง หากมีเศษส่วนทศนิยมและเศษส่วนไม่ปกติในเศษส่วน บางครั้งก็สะดวกกว่าที่จะดำเนินการกับทศนิยมก่อนแล้วจึงแปลงเป็นรูปแบบที่ไม่ถูกต้อง คุณแปลได้ไหม เศษส่วนในรูปแบบนี้ในขั้นต้น เขียนค่าหลังจุดทศนิยมในตัวเศษและใส่ 10 ในตัวส่วน หากจำเป็น ให้ลดเศษส่วนด้วยการหารตัวเลขด้านบนและด้านล่างด้วยตัวหารหนึ่งตัว เศษส่วนที่ทำให้ส่วนทั้งหมดโดดเด่น นำไปสู่รูปแบบที่ไม่ถูกต้องโดยการคูณด้วยตัวส่วนแล้วบวกตัวเศษเข้ากับผลลัพธ์ ค่าที่ได้รับจะกลายเป็นตัวเศษใหม่ เศษส่วน. เพื่อแยกส่วนทั้งหมดจากส่วนที่ไม่ถูกต้องเบื้องต้น เศษส่วน, หารตัวเศษด้วยตัวส่วน เขียนผลลัพธ์ทั้งหมดจาก เศษส่วน. และเศษที่เหลือให้เป็นตัวเศษใหม่ ตัวส่วน เศษส่วนในขณะที่ไม่เปลี่ยนแปลง สำหรับเศษส่วนที่มีส่วนจำนวนเต็ม สามารถทำการดำเนินการแยกกันได้ อันดับแรกสำหรับจำนวนเต็มและส่วนที่เป็นเศษส่วน ตัวอย่างเช่น สามารถคำนวณผลรวมของ 1 2/3 และ 2 ¾ ได้:
- การแปลงเศษส่วนเป็นรูปแบบที่ไม่ถูกต้อง:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- การรวมแยกส่วนของจำนวนเต็มและเศษส่วนของเงื่อนไข:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

เขียนใหม่ผ่านตัวคั่น ":" และดำเนินการหารตามปกติ

เพื่อให้ได้ผลลัพธ์สุดท้าย ให้ลดเศษส่วนที่ได้โดยการหารตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนเต็มหนึ่งจำนวน ซึ่งมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ในกรณีนี้ ในกรณีนี้ จะต้องมีตัวเลขจำนวนเต็มอยู่ด้านบนและด้านล่างของบรรทัด

บันทึก

อย่าคิดเลขคณิตกับเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน เลือกตัวเลขที่เมื่อตัวเศษและตัวหารของเศษส่วนแต่ละส่วนคูณด้วยตัวหารนั้น ตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสองจะเท่ากัน

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

เมื่อบันทึก เศษส่วนเงินปันผลเขียนไว้เหนือเส้น ปริมาณนี้เรียกว่าตัวเศษของเศษส่วน ใต้บรรทัด ตัวหารหรือตัวส่วนของเศษจะถูกเขียน เช่น จะเขียนข้าวหนึ่งกิโลกรัมครึ่งในรูปเศษส่วน ด้วยวิธีดังต่อไปนี้: ข้าว 1 ½ กก. ถ้าตัวส่วนของเศษเป็น 10 เรียกว่าเศษส่วนทศนิยม ในกรณีนี้ ตัวเศษ (เงินปันผล) จะเขียนทางด้านขวาของทั้งส่วนโดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค: ข้าว 1.5 กก. เพื่อความสะดวกในการคำนวณ เศษส่วนดังกล่าวสามารถเขียนในรูปแบบที่ไม่ถูกต้องเสมอ: มันฝรั่ง 1 2/10 กก. เพื่อลดความซับซ้อน คุณสามารถลดค่าตัวเศษและตัวส่วนได้โดยการหารด้วยจำนวนเต็มเดียว ที่ ตัวอย่างนี้หารด้วย 2 ได้ ผลที่ได้คือมันฝรั่ง 1 1/5 กก. ตรวจสอบให้แน่ใจว่าตัวเลขที่คุณจะคิดเลขอยู่ในรูปแบบเดียวกัน

เศษส่วนร่วม

ไตรมาส

1. ความเป็นระเบียบ เอและ ขมีกฎที่อนุญาตให้คุณระบุความสัมพันธ์ได้เพียงหนึ่งในสามความสัมพันธ์เท่านั้น: “< », « >' หรือ ' = ' กฎนี้เรียกว่า กฎการสั่งซื้อและมีสูตรดังนี้ จำนวนไม่เป็นลบสองจำนวน และสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์เดียวกันกับจำนวนเต็มสองตัว และ ; สองจำนวนที่ไม่เป็นบวก เอและ ขสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์เดียวกันกับตัวเลขสองจำนวนที่ไม่เป็นลบ และ ; ถ้ากะทันหัน เอไม่เป็นลบ และ ข- เชิงลบ แล้ว เอ > ข. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   ผลรวมของเศษส่วน

2. การดำเนินการเพิ่มเติมสำหรับจำนวนตรรกยะใดๆ เอและ ขมีสิ่งที่เรียกว่า กฎการบวก ค. อย่างไรก็ตามตัวเลขนั้นเอง คเรียกว่า ผลรวมตัวเลข เอและ ขและถูกเขียนแทน และกระบวนการหาจำนวนนั้นเรียกว่า ผลรวม. กฎการบวกมี มุมมองถัดไป: .
3. การดำเนินการคูณสำหรับจำนวนตรรกยะใดๆ เอและ ขมีสิ่งที่เรียกว่า กฎการคูณซึ่งทำให้สัมพันธ์กับจำนวนตรรกยะ ค. อย่างไรก็ตามตัวเลขนั้นเอง คเรียกว่า งานตัวเลข เอและ ขและถูกแทนด้วย และกระบวนการในการค้นหาตัวเลขนั้นเรียกอีกอย่างว่า การคูณ. กฎการคูณมีดังนี้: .
4. Transitivity ของความสัมพันธ์ของคำสั่งสำหรับจำนวนตรรกยะสามเท่าใดๆ เอ , ขและ คถ้า เอเล็กกว่า ขและ ขเล็กกว่า ค, แล้ว เอเล็กกว่า ค, และถ้า เอเท่ากับ ขและ ขเท่ากับ ค, แล้ว เอเท่ากับ ค. 6435">การเปลี่ยนแปลงของการบวก ผลรวมไม่เปลี่ยนแปลงจากการเปลี่ยนตำแหน่งของเงื่อนไขที่เป็นเหตุเป็นผล
5. การเชื่อมโยงของการบวกลำดับที่เพิ่มจำนวนตรรกยะสามตัวจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์
6. การปรากฏตัวของศูนย์มีจำนวนตรรกยะ 0 ที่จะคงจำนวนตรรกยะอื่นๆ ไว้เมื่อนำมาบวกกัน
7. การปรากฏตัวของตัวเลขตรงข้ามจำนวนตรรกยะใด ๆ มีจำนวนตรรกยะตรงข้าม ซึ่งเมื่อรวมแล้วจะได้ 0
8. การเปลี่ยนแปลงของการคูณโดยการเปลี่ยนตำแหน่งของปัจจัยที่มีเหตุผล ผลิตภัณฑ์จะไม่เปลี่ยนแปลง
9. ความสัมพันธ์ของการคูณลำดับการคูณจำนวนตรรกยะสามตัวไม่มีผลกับผลลัพธ์
10. การปรากฏตัวของหน่วยมีจำนวนตรรกยะ 1 ที่จะคงจำนวนตรรกยะอื่นๆ ไว้เมื่อคูณ
11. การปรากฏตัวของซึ่งกันและกันจำนวนตรรกยะใดๆ มีจำนวนตรรกยะผกผัน ซึ่งเมื่อคูณแล้วจะได้ 1
12. การกระจายของการคูณเทียบกับการบวกการดำเนินการคูณนั้นสอดคล้องกับการดำเนินการเพิ่มเติมผ่านกฎหมายการจำหน่าย:
13. การเชื่อมต่อของความสัมพันธ์ของการสั่งซื้อกับการดำเนินการของการบวกไปทางซ้ายและขวา ความไม่เท่าเทียมกันของเหตุผลคุณสามารถเพิ่มจำนวนตรรกยะเดียวกันได้ /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. สัจพจน์ของอาร์คิมิดีสไม่ว่าจำนวนตรรกยะจะเป็นอะไรก็ตาม เอ, คุณสามารถใช้หน่วยได้มากจนยอดรวมจะเกิน เอ. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

คุณสมบัติเพิ่มเติม

คุณสมบัติอื่นๆ ทั้งหมดที่มีอยู่ในจำนวนตรรกยะจะไม่ถูกแยกออกเป็นคุณสมบัติพื้นฐาน เพราะโดยทั่วไปแล้ว พวกมันไม่ได้อิงตามคุณสมบัติของจำนวนเต็มโดยตรงอีกต่อไป แต่สามารถพิสูจน์ได้บนพื้นฐานของคุณสมบัติพื้นฐานที่กำหนดหรือโดยนิยามของ วัตถุทางคณิตศาสตร์บางอย่าง เช่น คุณสมบัติเพิ่มเติมมากมาย. มันสมเหตุสมผลแล้วที่จะกล่าวถึงเพียงไม่กี่ข้อ

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

ตั้งค่าการนับได้

การนับจำนวนตรรกยะ

ในการประมาณจำนวนตรรกยะ คุณต้องหาจำนวนเชิงสมาชิกของเซต เป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์ว่าเซตของจำนวนตรรกยะสามารถนับได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะให้อัลกอริทึมที่แจกแจงจำนวนตรรกยะ กล่าวคือ สร้างการแบ่งแยกระหว่างเซตของจำนวนตรรกยะและจำนวนธรรมชาติ

อัลกอริทึมที่ง่ายที่สุดมีดังนี้ กำลังรวบรวมตารางที่ไม่มีที่สิ้นสุด เศษส่วนธรรมดา, ในแต่ละ ฉัน-บรรทัดที่ในแต่ละ เจคอลัมน์ th ซึ่งเป็นเศษส่วน เพื่อความชัดเจน ให้สันนิษฐานว่าแถวและคอลัมน์ของตารางนี้มีหมายเลขจากหนึ่ง เซลล์ตารางแสดงโดยที่ ฉัน- หมายเลขแถวของตารางที่เซลล์ตั้งอยู่และ เจ- หมายเลขคอลัมน์

ตารางผลลัพธ์ถูกจัดการโดย "งู" ตามอัลกอริทึมที่เป็นทางการต่อไปนี้

กฎเหล่านี้จะค้นหาจากบนลงล่างและตำแหน่งถัดไปจะถูกเลือกโดยการจับคู่ครั้งแรก

ในกระบวนการบายพาสดังกล่าว จำนวนตรรกยะใหม่แต่ละตัวจะถูกกำหนดให้กับตัวถัดไป ตัวเลขธรรมชาติ. นั่นคือเศษส่วน 1 / 1 ถูกกำหนดเป็นหมายเลข 1 เศษส่วน 2 / 1 - หมายเลข 2 ฯลฯ ควรสังเกตว่ามีเพียงเศษส่วนที่ไม่สามารถลดได้เท่านั้น เครื่องหมายอย่างเป็นทางการของการลดทอนไม่ได้คือความเสมอภาคต่อเอกภาพของตัวหารร่วมมากของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

ตามอัลกอริธึมนี้ เราสามารถแจกแจงจำนวนตรรกยะที่เป็นบวกได้ทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าชุดของจำนวนตรรกยะบวกสามารถนับได้ มันง่ายที่จะสร้าง bijection ระหว่างเซตของจำนวนตรรกยะบวกและลบ เพียงแค่กำหนดจำนวนตรรกยะแต่ละจำนวนให้ตรงกันข้าม ที่. เซตของจำนวนตรรกยะติดลบก็นับได้เช่นกัน สหภาพของพวกเขาสามารถนับได้ด้วยคุณสมบัติของเซตที่นับได้ เซตของจำนวนตรรกยะยังนับเป็นการรวมของเซตที่นับได้กับจำนวนจำกัดด้วย

ข้อความเกี่ยวกับการนับได้ของเซตของจำนวนตรรกยะอาจทำให้เกิดความสับสน เนื่องจากในแวบแรก เราจะรู้สึกว่ามันมากกว่าเซตของจำนวนธรรมชาติมาก อันที่จริง นี่ไม่ใช่กรณี และมีจำนวนธรรมชาติมากพอที่จะแจกแจงจำนวนตรรกยะทั้งหมด

ความไม่เพียงพอของจำนวนตรรกยะ

ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมดังกล่าวไม่ได้แสดงด้วยจำนวนตรรกยะใดๆ

จำนวนตรรกยะของแบบฟอร์ม 1 / นที่มีขนาดใหญ่ นสามารถวัดปริมาณเล็กน้อยได้ตามอำเภอใจ ข้อเท็จจริงนี้สร้างความรู้สึกเข้าใจผิดว่าจำนวนตรรกยะสามารถวัดระยะทางเรขาคณิตโดยทั่วไปได้ มันง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้ไม่เป็นความจริง

เป็นที่ทราบกันดีจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสว่าด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากแสดงเป็นรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของขา ที่. ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก สามเหลี่ยมมุมฉากด้วยขาเดียวเท่ากับ นั่นคือ ตัวเลขที่มีกำลังสองเป็น 2

หากเราคิดว่าจำนวนนั้นแทนด้วยจำนวนตรรกยะ แสดงว่ามีจำนวนเต็มนั้น มและจำนวนธรรมชาติดังกล่าว นซึ่งยิ่งไปกว่านั้นเศษส่วนลดทอนไม่ได้นั่นคือตัวเลข มและ นเป็นโคไพรม์

ถ้า แล้ว , เช่น. ม 2 = 2น 2. ดังนั้นจำนวน ม 2 เป็นเลขคู่ แต่ผลคูณของเลขคี่สองตัวเป็นเลขคี่ ซึ่งหมายความว่าตัวเลขนั้นเอง มยังชัดเจน จึงมีจำนวนธรรมชาติ k, ดังนั้นจำนวน มสามารถแสดงเป็น ม = 2k. จตุรัสตัวเลข มในแง่นี้ ม 2 = 4k 2แต่ในทางกลับกัน ม 2 = 2น 2 หมายถึง 4 k 2 = 2น 2 , หรือ น 2 = 2k 2. ตามที่ปรากฏก่อนหน้านี้สำหรับจำนวน มซึ่งหมายความว่าจำนวน น- เหมือนกัน ม. แต่แล้วพวกมันไม่ใช่ coprime เนื่องจากทั้งคู่หารครึ่งลงตัว ผลการขัดแย้งพิสูจน์ว่าไม่ใช่จำนวนตรรกยะ

เราพบเศษส่วนในชีวิตเร็วกว่าที่พวกเขาเริ่มเรียนที่โรงเรียนมาก หากคุณผ่าครึ่งแอปเปิ้ลทั้งลูกเราจะได้ผลไม้หนึ่งชิ้น - ½ ตัดอีกครั้ง - มันจะเป็น¼ นี่คือสิ่งที่เป็นเศษส่วน และดูเหมือนว่าทุกอย่างจะเรียบง่าย สำหรับผู้ใหญ่ สำหรับเด็ก (และพวกเขาเริ่มเรียนหัวข้อนี้เมื่อจบชั้นประถมศึกษา) แนวคิดทางคณิตศาสตร์นามธรรมยังคงเข้าใจยากและครูต้องอธิบายในลักษณะที่เข้าถึงได้ เศษส่วนที่เหมาะสมและไม่ถูกต้อง ธรรมดาและทศนิยม การดำเนินการใดที่สามารถทำได้กับพวกเขาและที่สำคัญที่สุดคือเหตุใดจึงจำเป็นทั้งหมดนี้

เศษส่วนคืออะไร

ความคุ้นเคยกับหัวข้อใหม่ที่โรงเรียนเริ่มต้นด้วยเศษส่วนธรรมดา พวกมันจำได้ง่ายโดยเส้นแนวนอนที่คั่นตัวเลขสองตัว - ด้านบนและด้านล่าง ตัวบนเรียกว่าตัวเศษ ตัวล่างเรียกว่าตัวส่วน นอกจากนี้ยังมีการสะกดตัวพิมพ์เล็กของเศษส่วนธรรมดาที่ไม่เหมาะสมและเหมาะสม โดยใช้เครื่องหมายทับ เช่น ½, 4/9, 384/183 ตัวเลือกนี้จะใช้เมื่อความสูงของเส้นถูกจำกัด และไม่สามารถใช้รูปแบบ "สองชั้น" ของรายการได้ ทำไม ใช่เพราะสะดวกกว่า อีกสักครู่เราจะตรวจสอบสิ่งนี้

นอกจากแบบธรรมดาแล้วยังมี ทศนิยม. มันง่ายมากที่จะแยกแยะระหว่างพวกเขา: ถ้าในกรณีหนึ่งมีการใช้แนวนอนหรือเครื่องหมายทับ แล้วในอีกกรณีหนึ่ง - ลำดับตัวเลขคั่นด้วยจุลภาค มาดูตัวอย่างกัน: 2.9; 163.34; 1.953. เราใช้เครื่องหมายอัฒภาคเป็นตัวคั่นเพื่อคั่นตัวเลขอย่างจงใจ คำแรกจะอ่านดังนี้: "สองเต็ม เก้าในสิบ"

แนวคิดใหม่

กลับไปที่เศษส่วนธรรมดากัน. พวกเขาเป็นสองประเภท

คำจำกัดความของเศษส่วนที่เหมาะสมมีดังนี้: มันเป็นเศษส่วน โดยตัวเศษจะน้อยกว่าตัวส่วน ทำไมมันถึงสำคัญ? ตอนนี้เราจะได้เห็น!

คุณมีแอปเปิ้ลหลายลูกที่ผ่าครึ่ง ทั้งหมด - 5 ส่วน คุณพูดว่าอย่างไร: คุณมีแอปเปิ้ล "สองและครึ่ง" หรือ "ห้าวินาที" แน่นอน ตัวเลือกแรกฟังดูเป็นธรรมชาติมากกว่า และเมื่อคุยกับเพื่อน เราจะใช้มัน แต่ถ้าคุณต้องการคำนวณว่าแต่ละคนจะได้ผลไม้เท่าไร ถ้าในบริษัทมีห้าคน เราจะเขียนเลข 5/2 แล้วหารด้วย 5 - จากมุมมองของคณิตศาสตร์ จะชัดเจนกว่านี้

ดังนั้น สำหรับการตั้งชื่อเศษส่วนที่เหมาะสมและไม่เหมาะสม กฎจะเป็นดังนี้: หากส่วนจำนวนเต็ม (14/5, 2/1, 173/16, 3/3) สามารถแยกความแตกต่างออกเป็นเศษส่วนได้ แสดงว่าส่วนนั้นไม่ถูกต้อง หากไม่สามารถทำได้ เช่นในกรณีของ ½, 13/16, 9/10 จะถูกต้อง

คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน

หากตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนถูกคูณหรือหารด้วยจำนวนเดียวกันพร้อมกัน ค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง ลองนึกภาพ: เค้กถูกตัดเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กันและพวกเขาให้คุณหนึ่งชิ้น เค้กชิ้นเดียวกันถูกตัดเป็นแปดชิ้นและให้คุณสองชิ้น มันไม่เหมือนกันทั้งหมดเหรอ? ท้ายที่สุด ¼ กับ 2/8 ก็เหมือนกัน!

การลดน้อยลง

ผู้เขียนปัญหาและตัวอย่างในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์มักจะพยายามสร้างความสับสนให้นักเรียนโดยเสนอเศษส่วนที่ยุ่งยากในการเขียนและสามารถลดลงได้จริง นี่คือตัวอย่างเศษส่วนที่เหมาะสม: 167/334 ซึ่งดูเหมือนว่าจะ "น่ากลัว" มาก แต่ในความเป็นจริง เราเขียนมันเป็น ½ ได้ จำนวน 334 หารด้วย 167 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ - เมื่อทำการดำเนินการนี้แล้วเราจะได้ 2

ตัวเลขผสม

เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมสามารถแสดงเป็นจำนวนคละได้ นี่คือเมื่อส่วนทั้งหมดถูกนำไปข้างหน้าและเขียนที่ระดับเส้นแนวนอน อันที่จริงนิพจน์อยู่ในรูปของผลรวม: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 เป็นต้น

ในการเอาส่วนทั้งหมดออก คุณต้องหารตัวเศษด้วยตัวส่วน เขียนส่วนที่เหลือของการหารด้านบน เหนือเส้น และส่วนทั้งหมดก่อนนิพจน์ ดังนั้นเราจึงได้ส่วนโครงสร้างสองส่วน: หน่วยทั้งหมด + เศษส่วนที่เหมาะสม

คุณยังสามารถดำเนินการย้อนกลับได้ - สำหรับสิ่งนี้ คุณต้องคูณส่วนจำนวนเต็มด้วยตัวส่วนและเพิ่มค่าผลลัพธ์ให้กับตัวเศษ ไม่มีอะไรซับซ้อน

การคูณและการหาร

น่าแปลกที่การคูณเศษส่วนนั้นง่ายกว่าการบวก ทั้งหมดที่จำเป็นคือการขยายเส้นแนวนอน: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5

ด้วยการหาร ทุกอย่างก็ง่ายเช่นกัน คุณต้องคูณเศษส่วนตามขวาง: (7/8) / (14/15) \u003d 7 * 15 / 8 * 14 \u003d 15/16

การบวกของเศษส่วน

เกิดอะไรขึ้นถ้าคุณต้องการทำการบวกหรือมีตัวเลขต่างกันในตัวส่วน? มันจะไม่ทำงานในลักษณะเดียวกับการคูณ - ที่นี่เราควรเข้าใจคำจำกัดความของเศษส่วนที่เหมาะสมและสาระสำคัญของมัน จำเป็นต้องนำเงื่อนไขมาใช้กับตัวส่วนร่วม กล่าวคือ ตัวเลขเดียวกันควรปรากฏที่ด้านล่างของเศษส่วนทั้งสอง

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณควรใช้คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน: คูณทั้งสองส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน ตัวอย่างเช่น 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½

จะเลือกตัวส่วนที่จะนำเงื่อนไขไปใช้อย่างไร นี่ต้องเป็นผลคูณที่เล็กที่สุดของตัวส่วนทั้งสอง: สำหรับ 1/3 และ 1/9 จะเป็น 9; สำหรับ ½ และ 1/7 - 14 เนื่องจากไม่มีค่าใดที่น้อยกว่าหารด้วย 2 และ 7 โดยไม่มีเศษเหลือ

การใช้งาน

เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมมีไว้เพื่ออะไร? ท้ายที่สุดจะสะดวกกว่ามากในการเลือกทั้งส่วนทันทีรับจำนวนคละ - เท่านั้น! ปรากฎว่าถ้าคุณต้องการคูณหรือหารเศษส่วนสองเศษส่วน การใช้เศษส่วนที่ไม่ถูกต้องจะมีประโยชน์มากกว่า

มาดูตัวอย่างต่อไปนี้ (2 + 3/17) / (37 / 68)

ดูเหมือนว่าไม่มีอะไรจะตัดเลย แต่ถ้าเราเขียนผลลัพธ์ของการบวกในวงเล็บแรกเป็นเศษเกินล่ะ ดู: (37/17) / (37/68)

ตอนนี้ทุกอย่างเข้าที่! ลองเขียนตัวอย่างเพื่อให้ทุกอย่างชัดเจน: (37 * 68) / (17 * 37)

ลองลด 37 ในตัวเศษและส่วน แล้วสุดท้ายหารส่วนบนและล่างด้วย 17 คุณจำกฎพื้นฐานสำหรับเศษส่วนที่เหมาะสมและไม่เหมาะสมได้หรือไม่ เราสามารถคูณและหารมันด้วยจำนวนใดก็ได้ ตราบใดที่เราทำกับตัวเศษและตัวส่วนพร้อมกัน

ดังนั้นเราจึงได้คำตอบ: 4. ตัวอย่างดูซับซ้อน และคำตอบมีตัวเลขเพียงหลักเดียว สิ่งนี้มักเกิดขึ้นในวิชาคณิตศาสตร์ สิ่งสำคัญคือไม่ต้องกลัวและปฏิบัติตามกฎง่ายๆ

ข้อผิดพลาดทั่วไป

เมื่อออกกำลังกาย นักเรียนสามารถทำหนึ่งในข้อผิดพลาดยอดนิยมได้อย่างง่ายดาย โดยปกติแล้วจะเกิดขึ้นเนื่องจากการไม่ตั้งใจ และบางครั้งเนื่องมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าวัสดุที่ศึกษายังไม่ได้ถูกจัดวางไว้ในหัวอย่างเหมาะสม

บ่อยครั้งผลรวมของตัวเลขในตัวเศษทำให้เกิดความปรารถนาที่จะลดส่วนประกอบแต่ละส่วนลง สมมติว่าในตัวอย่าง: (13 + 2) / 13 เขียนโดยไม่มีวงเล็บ (มีเส้นแนวนอน) นักเรียนหลายคนเนื่องจากขาดประสบการณ์ให้ขีดฆ่า 13 จากด้านบนและด้านล่าง แต่สิ่งนี้ไม่ควรทำในทุกกรณี เพราะนี่เป็นความผิดพลาดอย่างมหันต์! ถ้าแทนที่การบวกมีเครื่องหมายคูณ, เราจะได้ตัวเลข 2 ในคำตอบ. แต่เมื่อบวก, ไม่อนุญาตให้ดำเนินการใด ๆ กับหนึ่งในเงื่อนไขที่ได้รับอนุญาต, เฉพาะกับผลรวมทั้งหมดเท่านั้น.

เด็กมักทำผิดพลาดในการหารเศษส่วน ลองหาเศษส่วนที่ลดไม่ได้ปกติสองส่วนแล้วหารกัน: (5/6) / (25/33) นักเรียนสามารถสับสนและเขียนนิพจน์ผลลัพธ์เป็น (5*25) / (6*33) แต่สิ่งนี้จะเกิดขึ้นกับการคูณ และในกรณีของเราทุกอย่างจะแตกต่างออกไปเล็กน้อย: (5 * 33) / (6 * 25) เราลดสิ่งที่เป็นไปได้และในคำตอบเราจะเห็น 11/10 เราเขียนเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมที่เป็นผลลัพธ์เป็นทศนิยม - 1.1

วงเล็บ

จำไว้ว่าในนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ใดๆ ลำดับของการดำเนินการจะถูกกำหนดโดยลำดับความสำคัญของเครื่องหมายการดำเนินการและการมีวงเล็บ สิ่งอื่นที่เท่าเทียมกัน ลำดับของการกระทำจะถูกนับจากซ้ายไปขวา สิ่งนี้ก็เป็นจริงเช่นกันสำหรับเศษส่วน - นิพจน์ในตัวเศษหรือตัวส่วนคำนวณตามกฎนี้อย่างเคร่งครัด

เป็นผลจากการหารจำนวนหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่ง ถ้าหารไม่หมดก็จะกลายเป็นเศษส่วน - นั่นคือทั้งหมด

วิธีเขียนเศษส่วนในคอมพิวเตอร์

เนื่องจากเครื่องมือมาตรฐานไม่อนุญาตให้คุณสร้างเศษส่วนที่ประกอบด้วย "ระดับ" สองระดับเสมอไป บางครั้งนักเรียนจึงใช้กลอุบายต่างๆ ตัวอย่างเช่น พวกเขาคัดลอกตัวเศษและตัวส่วนลงในโปรแกรมแก้ไข Paint และกาวเข้าด้วยกันโดยการวาดระหว่างกัน เส้นแนวนอน. แน่นอนว่ามีตัวเลือกที่ง่ายกว่าซึ่งมีให้เลือกมากมาย คุณลักษณะเพิ่มเติมที่จะเป็นประโยชน์กับคุณในอนาคต

เปิดไมโครซอฟเวิร์ด แผงใดแผงหนึ่งที่ด้านบนของหน้าจอเรียกว่า "แทรก" - คลิกที่มัน ทางด้านขวาซึ่งเป็นที่ตั้งของไอคอนสำหรับปิดและย่อหน้าต่างจะมีปุ่มสูตร นี่คือสิ่งที่เราต้องการ!

หากคุณใช้ฟังก์ชันนี้ พื้นที่สี่เหลี่ยมจะปรากฏขึ้นบนหน้าจอ ซึ่งคุณสามารถใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ใดๆ ที่ไม่มีอยู่บนแป้นพิมพ์ได้ เช่นเดียวกับการเขียนเศษส่วนใน รูปแบบคลาสสิก. นั่นคือการแยกตัวเศษและส่วนด้วยแถบแนวนอน คุณอาจจะแปลกใจด้วยซ้ำที่เศษส่วนที่เหมาะสมนั้นเขียนง่าย

เรียนคณิตศาสตร์

หากคุณอยู่เกรด 5-6 ในไม่ช้าความรู้คณิตศาสตร์ (รวมถึงความสามารถในการทำงานกับเศษส่วน!) จะมีความจำเป็นในหลาย ๆ วิชาที่โรงเรียน. ในเกือบทุกปัญหาทางฟิสิกส์ เมื่อทำการวัดมวลของสารในวิชาเคมี ในเรขาคณิตและตรีโกณมิติ เศษส่วนไม่สามารถจ่ายได้ ในไม่ช้า คุณจะได้เรียนรู้การคำนวณทุกอย่างในใจ โดยไม่ต้องเขียนสำนวนบนกระดาษแต่มีมากขึ้นเรื่อยๆ ตัวอย่างที่ซับซ้อน. ดังนั้น เรียนรู้ว่าเศษส่วนที่เหมาะสมคืออะไรและจะใช้งานอย่างไร ติดตามหลักสูตร ทำการบ้านตรงเวลา แล้วคุณจะประสบความสำเร็จ

เศษส่วนถือเป็นส่วนที่ยากที่สุดของคณิตศาสตร์จนถึงทุกวันนี้ ประวัติเศษส่วนมีมากกว่าหนึ่งสหัสวรรษ ความสามารถในการแบ่งทั้งหมดออกเป็นส่วน ๆ เกิดขึ้นในดินแดนอียิปต์โบราณและบาบิโลน หลายปีที่ผ่านมา การดำเนินการกับเศษส่วนมีความซับซ้อนมากขึ้น รูปแบบของการบันทึกได้เปลี่ยนไป แต่ละคนมีลักษณะเฉพาะของตนเองใน "ความสัมพันธ์" กับสาขาคณิตศาสตร์นี้

เศษส่วนคืออะไร?

เมื่อจำเป็นต้องแบ่งทั้งหมดออกเป็นส่วน ๆ โดยไม่ต้องใช้ความพยายาม เศษส่วนก็ปรากฏขึ้น ประวัติเศษส่วนเชื่อมโยงกับการแก้ปัญหาเชิงอรรถอย่างแยกไม่ออก คำว่า "เศษส่วน" มีรากศัพท์ภาษาอาหรับมาจากคำว่า "แตก, แบ่ง" ตั้งแต่สมัยโบราณ มีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในแง่นี้ คำจำกัดความสมัยใหม่มีดังนี้: เศษส่วนเป็นส่วนหรือผลรวมของส่วนของหน่วย ดังนั้น ตัวอย่างที่มีเศษส่วนแสดงถึงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ตามลำดับด้วยเศษส่วนของตัวเลข

วันนี้ มีสองวิธีในการบันทึก เกิดขึ้นใน ต่างเวลา: สมัยก่อนเก่ากว่า

มาแต่โบราณ

เป็นครั้งแรกที่พวกเขาเริ่มดำเนินการกับเศษส่วนในดินแดนอียิปต์และบาบิโลน วิธีการของนักคณิตศาสตร์ของทั้งสองรัฐมีความแตกต่างกันอย่างมีนัยสำคัญ อย่างไรก็ตามจุดเริ่มต้นก็เหมือนกันที่นั่นและที่นั่น เศษส่วนแรกคือครึ่งหรือ 1/2 จากนั้นมาหนึ่งในสี่หนึ่งในสามและอื่น ๆ จากการขุดค้นทางโบราณคดี ประวัติความเป็นมาของเศษส่วนมีประมาณ 5 พันปี เป็นครั้งแรก พบเศษส่วนของตัวเลขในกระดาษปาปิริอียิปต์และบนแผ่นดินเหนียวของชาวบาบิโลน

อียิปต์โบราณ

ประเภทของเศษส่วนสามัญในปัจจุบันรวมถึงสิ่งที่เรียกว่าอียิปต์ คือผลรวมของพจน์ต่างๆ ของรูปแบบ 1/n ตัวเศษเป็นหนึ่งเสมอ และตัวส่วนเป็นจำนวนธรรมชาติ เศษส่วนดังกล่าวปรากฏขึ้นไม่ว่าจะยากแค่ไหนที่จะเดาในอียิปต์โบราณ เมื่อคำนวณหุ้นทั้งหมด พวกเขาพยายามจดไว้ในรูปแบบของผลรวมดังกล่าว (เช่น 1/2 + 1/4 + 1/8) เฉพาะเศษส่วน 2/3 และ 3/4 เท่านั้นที่มีการกำหนดแยกกัน ส่วนที่เหลือถูกแบ่งออกเป็นเงื่อนไข มีตารางพิเศษที่นำเสนอเศษส่วนของตัวเลขเป็นผลรวม

การอ้างอิงที่เก่าที่สุดที่ทราบเกี่ยวกับระบบดังกล่าวพบได้ในหนังสือ Rhinda Mathematical Papyrus ซึ่งมีอายุย้อนไปถึงช่วงต้นสหัสวรรษที่สองก่อนคริสต์ศักราช ประกอบด้วยตารางเศษส่วนและปัญหาทางคณิตศาสตร์พร้อมคำตอบและคำตอบที่นำเสนอเป็นผลรวมของเศษส่วน ชาวอียิปต์รู้วิธีบวก หาร และคูณเศษส่วนของตัวเลข เศษส่วนในหุบเขาไนล์เขียนโดยใช้อักษรอียิปต์โบราณ

การแทนเศษส่วนของตัวเลขเป็นผลรวมของเงื่อนไขของรูปแบบ 1/n ซึ่งเป็นคุณลักษณะของอียิปต์โบราณนั้น นักคณิตศาสตร์ไม่เพียงแต่ใช้ในประเทศนี้เท่านั้น จนถึงยุคกลาง เศษส่วนของอียิปต์ถูกนำมาใช้ในกรีซและรัฐอื่นๆ

พัฒนาการของคณิตศาสตร์ในบาบิโลน

คณิตศาสตร์ดูแตกต่างออกไปในอาณาจักรบาบิโลน ประวัติความเป็นมาของเศษส่วนที่นี่เกี่ยวข้องโดยตรงกับคุณสมบัติของระบบจำนวนที่สืบทอดมา รัฐโบราณสืบเชื้อสายมาจากบรรพบุรุษคืออารยธรรมสุเมเรียน-อัคคาเดียน เทคนิคการคำนวณในบาบิโลนสะดวกและสมบูรณ์แบบกว่าในอียิปต์ คณิตศาสตร์ในประเทศนี้แก้ปัญหาได้หลากหลายมากขึ้น

สามารถตัดสินความสำเร็จของชาวบาบิโลนในทุกวันนี้ได้ด้วยแผ่นดินเหนียวที่ยังหลงเหลืออยู่ซึ่งเต็มไปด้วยการเขียนรูปลิ่ม เนื่องจากคุณสมบัติของวัสดุจึงเข้ามาหาเราใน จำนวนมาก. ตามบางคนในบาบิโลน มีการค้นพบทฤษฎีบทที่รู้จักกันดีก่อนปีทาโกรัส ซึ่งเป็นพยานถึงการพัฒนาวิทยาศาสตร์ในสภาพโบราณนี้อย่างไม่ต้องสงสัย

เศษส่วน: ประวัติเศษส่วนในบาบิโลน

ระบบตัวเลขในบาบิโลนเป็นแบบเรื่องเพศ หมวดหมู่ใหม่แต่ละหมวดจะแตกต่างจากหมวดหมู่ก่อนหน้า 60 ระบบนี้ได้รับการเก็บรักษาไว้ใน โลกสมัยใหม่เพื่อแสดงเวลาและมุม เศษส่วนยังเป็นเพศเดียวกัน สำหรับการบันทึกจะใช้ไอคอนพิเศษ เช่นเดียวกับในอียิปต์ ตัวอย่างเศษส่วนมีสัญลักษณ์แยกต่างหากสำหรับ 1/2, 1/3 และ 2/3

ระบบบาบิโลนไม่ได้หายไปพร้อมกับรัฐ เศษส่วนที่เขียนในระบบที่ 60 ถูกใช้โดยนักดาราศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ในสมัยโบราณและชาวอาหรับ

กรีกโบราณ

ประวัติเศษส่วนธรรมดายังไม่สมบูรณ์ใน กรีกโบราณ. ชาวเฮลลาสเชื่อว่าคณิตศาสตร์ควรใช้เฉพาะกับจำนวนเต็มเท่านั้น ดังนั้น สำนวนที่มีเศษส่วนในหน้าบทความภาษากรีกโบราณจึงไม่เกิดขึ้นจริง อย่างไรก็ตาม Pythagoreans มีส่วนสนับสนุนในสาขาคณิตศาสตร์นี้ พวกเขาเข้าใจเศษส่วนว่าเป็นอัตราส่วนหรือสัดส่วน และพวกเขายังถือว่าหน่วยนั้นแบ่งไม่ได้ พีธากอรัสและลูกศิษย์สร้าง ทฤษฎีทั่วไปเศษส่วน เรียนรู้วิธีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งสี่เช่นเดียวกับการเปรียบเทียบเศษส่วนโดยนำไปเป็นตัวส่วนร่วม

จักรวรรดิโรมันอันศักดิ์สิทธิ์

ระบบเศษส่วนโรมันเกี่ยวข้องกับการวัดน้ำหนักที่เรียกว่า "ก้น" แบ่งเป็น 12 หุ้น 1/12 assa เรียกว่าออนซ์ เศษส่วนมี 18 ชื่อ นี่คือบางส่วนของพวกเขา:

รอบครึ่ง - ครึ่งหนึ่งของ assa;

sextante - ที่หกของ assa;

ครึ่งออนซ์ - ครึ่งออนซ์หรือ 1/24 ตูด

ความไม่สะดวกของระบบดังกล่าวคือความเป็นไปไม่ได้ในการแสดงตัวเลขเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 10 หรือ 100 นักคณิตศาสตร์ชาวโรมันเอาชนะความยากลำบากโดยใช้เปอร์เซ็นต์

การเขียนเศษส่วนธรรมดา

ในสมัยโบราณ เศษส่วนถูกเขียนด้วยวิธีที่คุ้นเคยอยู่แล้ว: เลขหนึ่งทับอีกจำนวนหนึ่ง อย่างไรก็ตาม มีความแตกต่างที่สำคัญอย่างหนึ่ง ตัวเศษอยู่ต่ำกว่าตัวส่วน เป็นครั้งแรกที่พวกเขาเริ่มเขียนเศษส่วนใน อินเดียโบราณ. ชาวอาหรับเริ่มใช้วิธีสมัยใหม่สำหรับเรา แต่ไม่มีชนชาติใดใช้เส้นแนวนอนแยกตัวเศษและตัวส่วน ปรากฏครั้งแรกในงานเขียนของ Leonardo of Pisa หรือที่รู้จักกันดีในชื่อ Fibonacci ในปี 1202

จีน

หากประวัติศาสตร์การเกิดขึ้นของเศษส่วนธรรมดาเริ่มขึ้นในอียิปต์ ทศนิยมก็ปรากฏตัวครั้งแรกในประเทศจีน ในอาณาจักรสวรรค์ พวกเขาเริ่มถูกใช้ตั้งแต่ประมาณศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสตกาล ประวัติของเศษส่วนทศนิยมเริ่มต้นโดย Liu Hui นักคณิตศาสตร์ชาวจีน ซึ่งเสนอให้ใช้เศษส่วนเหล่านี้ในการแยกรากที่สอง

ในคริสต์ศตวรรษที่ 3 มีการใช้เศษส่วนทศนิยมในการคำนวณน้ำหนักและปริมาตร พวกเขาเริ่มเจาะลึกลงไปในคณิตศาสตร์อย่างค่อยเป็นค่อยไป อย่างไรก็ตาม ในยุโรป ทศนิยมเข้ามาใช้ในภายหลังมาก

Al-Kashi จากซามาร์คันด์

โดยไม่คำนึงถึงบรรพบุรุษของจีน นักดาราศาสตร์ al-Kashi จาก . ค้นพบเศษส่วนทศนิยม เมืองโบราณซามาร์คันด์. เขาอาศัยและทำงานในศตวรรษที่ 15 นักวิทยาศาสตร์ได้สรุปทฤษฎีของเขาไว้ในบทความเรื่อง "The Key to Arithmetic" ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1427 Al-Kashi แนะนำให้ใช้ แบบฟอร์มใหม่บันทึกเศษส่วน ตอนนี้เขียนทั้งส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วนในบรรทัดเดียว นักดาราศาสตร์ชาวซามาร์คันด์ไม่ได้ใช้เครื่องหมายจุลภาคเพื่อแยกพวกมันออกจากกัน เขาเขียนจำนวนเต็มและเศษส่วน สีที่ต่างกันโดยใช้หมึกสีดำและสีแดง บางครั้ง al-Kashi ก็ใช้เส้นแนวตั้งเพื่อแยกพวกมันออกจากกัน

ทศนิยมในยุโรป

เศษส่วนชนิดใหม่เริ่มปรากฏในผลงานของนักคณิตศาสตร์ชาวยุโรปตั้งแต่ศตวรรษที่ 13 ควรสังเกตว่าพวกเขาไม่คุ้นเคยกับผลงานของ al-Kashi รวมถึงการประดิษฐ์ของจีน เศษส่วนทศนิยมปรากฏในงานเขียนของ Jordan Nemorarius จากนั้นพวกเขาก็ถูกนำมาใช้ในศตวรรษที่ 16 นักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสเขียน Canon คณิตศาสตร์ซึ่งมีตารางตรีโกณมิติ ในนั้น Viet ใช้เศษส่วนทศนิยม ในการแยกส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วน นักวิทยาศาสตร์ใช้เส้นแนวตั้งเช่นเดียวกับ ขนาดต่างกันแบบอักษร

อย่างไรก็ตาม นี่เป็นเพียงกรณีพิเศษของการใช้ทางวิทยาศาสตร์เท่านั้น ในการแก้ปัญหาในชีวิตประจำวัน เศษส่วนทศนิยมในยุโรปเริ่มถูกนำมาใช้ในภายหลัง สิ่งนี้เกิดขึ้นจากนักวิทยาศาสตร์ชาวดัตช์ Simon Stevin เมื่อปลายศตวรรษที่ 16 เขาตีพิมพ์งานคณิตศาสตร์ The Tenth ในปี ค.ศ. 1585 ในนั้นนักวิทยาศาสตร์ได้สรุปทฤษฎีการใช้เศษส่วนทศนิยมในเลขคณิตใน ระบบการเงินและกำหนดขนาดและน้ำหนัก

คาบ, คาบ, จุลภาค

สตีวินยังไม่ได้ใช้ลูกน้ำ เขาแยกเศษส่วนทั้งสองส่วนโดยใช้วงกลมศูนย์

เป็นครั้งแรกที่เครื่องหมายจุลภาคคั่นเศษส่วนทศนิยมสองส่วนในปี 1592 เท่านั้น ในอังกฤษใช้จุดหยุดเต็มแทน ในสหรัฐอเมริกา เศษส่วนทศนิยมยังคงเขียนในลักษณะนี้

หนึ่งในผู้ริเริ่มการใช้เครื่องหมายวรรคตอนทั้งสองเพื่อแยกส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วนคือ John Napier นักคณิตศาสตร์ชาวสก็อต เขายื่นข้อเสนอในปี ค.ศ. 1616-1617 นักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมันก็ใช้เครื่องหมายจุลภาคด้วย

เศษส่วนในรัสเซีย

บนดินแดนรัสเซีย นักคณิตศาสตร์คนแรกที่สรุปการแบ่งส่วนทั้งหมดออกเป็นส่วนๆ คือพระคิริกโนฟโกรอด ในปี ค.ศ. 1136 เขาเขียนงานซึ่งเขาได้สรุปวิธีการ "คำนวณปี" คีริกกล่าวถึงประเด็นเรื่องลำดับเหตุการณ์และปฏิทิน ในงานของเขา เขายังอ้างถึงการแบ่งชั่วโมงออกเป็นส่วนๆ: ห้า, ยี่สิบห้า, และอื่นๆ.

การหารทั้งหมดออกเป็นส่วนๆ ใช้ในการคำนวณจำนวนภาษีใน XV-XVII ศตวรรษ. ใช้การดำเนินการบวก ลบ หาร และคูณด้วยเศษส่วน

คำว่า "เศษส่วน" ปรากฏในรัสเซียในศตวรรษที่ VIII มาจากกริยา "บดขยี้แบ่งเป็นส่วนๆ" บรรพบุรุษของเราใช้คำพิเศษเพื่อตั้งชื่อเศษส่วน ตัวอย่างเช่น 1/2 ถูกกำหนดเป็นครึ่งหรือครึ่ง 1/4 - สี่ 1/8 - ครึ่งชั่วโมง 1/16 - ครึ่งชั่วโมงเป็นต้น

ทฤษฎีเศษส่วนที่สมบูรณ์ซึ่งไม่แตกต่างจากปัจจุบันมากนักถูกนำเสนอในหนังสือเรียนวิชาคณิตศาสตร์เล่มแรกซึ่งเขียนในปี 1701 โดย Leonty Filippovich Magnitsky "เลขคณิต" ประกอบด้วยหลายส่วน ผู้เขียนพูดถึงเศษส่วนโดยละเอียดในหัวข้อ "เกี่ยวกับจำนวนเส้นที่หักหรือเศษส่วน" Magnitsky ให้การดำเนินการกับตัวเลข "เสีย" โดยมีการกำหนดที่แตกต่างกัน

ทุกวันนี้ เศษส่วนยังคงเป็นส่วนที่ยากที่สุดของคณิตศาสตร์ ประวัติเศษส่วนก็ไม่ง่ายเช่นกัน ต่างชนชาติบางครั้งเป็นอิสระจากกันและบางครั้งยืมประสบการณ์ของรุ่นก่อนพวกเขาจำเป็นต้องแนะนำ เชี่ยวชาญ และใช้เศษส่วนของตัวเลข หลักคำสอนเรื่องเศษส่วนเติบโตจากการสังเกตเชิงปฏิบัติเสมอมา และต้องขอบคุณ ปัญหาเร่งด่วน. จำเป็นต้องแบ่งขนมปัง ทำเครื่องหมายแปลงที่ดินที่เท่ากัน คำนวณภาษี วัดเวลา และอื่นๆ คุณสมบัติของการใช้เศษส่วนและการคำนวณทางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับระบบตัวเลขในสถานะและ on ระดับทั่วไปพัฒนาการทางคณิตศาสตร์ ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง เมื่อเอาชนะมากกว่าหนึ่งพันปี ส่วนของพีชคณิตที่ใช้กับเศษส่วนของตัวเลขได้ก่อตัว พัฒนา และนำไปใช้อย่างประสบความสำเร็จในปัจจุบันสำหรับความต้องการที่หลากหลาย ทั้งในทางปฏิบัติและเชิงทฤษฎี