เครื่องหมายของตัวเลขธรรมชาติ เนื้อหาเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ "ตัวเลข

คำนิยาม

ตัวเลขธรรมชาติเรียกว่าตัวเลขที่มีไว้สำหรับนับวัตถุ ในการบันทึกจำนวนธรรมชาติ จะใช้ตัวเลขอารบิก 10 ตัว (0–9) ซึ่งเป็นพื้นฐานของระบบเลขทศนิยมที่โดยทั่วไปยอมรับสำหรับการคำนวณทางคณิตศาสตร์

ลำดับของจำนวนธรรมชาติ

จำนวนธรรมชาติประกอบเป็นอนุกรมที่เริ่มต้นที่ 1 และครอบคลุมเซตของจำนวนเต็มบวกทั้งหมด ลำดับดังกล่าวประกอบด้วยตัวเลข 1,2,3, ... . ซึ่งหมายความว่าในชุดธรรมชาติ:

1. มีจำนวนน้อยที่สุดและไม่มากที่สุด
2. ตัวเลขถัดไปแต่ละตัวมีค่ามากกว่าตัวก่อนหน้า 1 ตัว (ยกเว้นตัวหน่วยเอง)
3. เมื่อตัวเลขไปถึงอนันต์ พวกมันจะเติบโตอย่างไม่มีกำหนด

บางครั้ง 0 ก็ถูกนำเข้าไปในชุดของจำนวนธรรมชาติด้วย ซึ่งอนุญาต แล้วพวกเขาจะพูดถึง ยืดออกชุดธรรมชาติ

คลาสของจำนวนธรรมชาติ

แต่ละหลักของจำนวนธรรมชาติแสดงถึงตัวเลขที่แน่นอน ตัวสุดท้ายคือจำนวนหน่วยในตัวเลขเสมอ ตัวก่อนเป็นหลักสิบ ตัวที่สามจากท้ายตัวคือจำนวนหลักร้อย ตัวที่สี่คือจำนวนหลักพัน และอื่นๆ

• ในจำนวน 276 : 2 ร้อย 7 สิบ 6 หน่วย
• ในจำนวน 1098: 1 พัน 9 สิบ 8 คน; ที่นี่ไม่มีหลักร้อย เนื่องจากแสดงเป็นศูนย์

สำหรับตัวเลขขนาดใหญ่และจำนวนมาก คุณจะเห็นแนวโน้มคงที่ (หากคุณตรวจสอบตัวเลขจากขวาไปซ้าย นั่นคือ จากหลักสุดท้ายไปยังหลักแรก):

• ตัวเลขสามหลักสุดท้ายในตัวเลขคือหน่วย หลักสิบและหลักร้อย
• สามตัวก่อนหน้าคือหน่วย หมื่นและแสน
• สามตัวที่อยู่ข้างหน้า (เช่น หลักที่ 7, 8 และ 9 ของตัวเลข นับจากจุดสิ้นสุด) คือหน่วย หลักสิบและหลักร้อยล้าน เป็นต้น

นั่นคือ ทุกครั้งที่เรากำลังจัดการกับตัวเลขสามหลัก หมายถึงหน่วย สิบและหลายร้อยของชื่อที่ใหญ่กว่า กลุ่มดังกล่าวสร้างชั้นเรียน และถ้าคุณต้องจัดการกับสามชั้นเรียนแรกในชีวิตประจำวันบ่อยมากหรือน้อยก็ควรระบุรายการอื่น ๆ เพราะไม่ใช่ทุกคนที่จำชื่อของพวกเขาด้วยใจ

• ชั้นที่ 4 ตามชั้นของล้านและเป็นตัวแทนของตัวเลข 10-12 หลักเรียกว่าหนึ่งพันล้าน (หรือพันล้าน)
• ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 - ล้านล้าน;
• ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 - สี่พันล้าน;
• ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 - quintillion;
• ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 - sextillion;
• เกรด 9 - พันล้าน

การบวกเลขธรรมชาติ

การบวกจำนวนธรรมชาติเป็นการดำเนินการเลขคณิตที่ช่วยให้คุณได้ตัวเลขที่มีหน่วยมากเท่ากับจำนวนที่มีอยู่ในตัวเลขที่รวมกัน

เครื่องหมายบวกคือเครื่องหมาย "+" ตัวเลขที่บวกเรียกว่าเงื่อนไขผลลัพธ์เรียกว่าผลรวม

ตัวเลขขนาดเล็กจะถูกเพิ่ม (สรุป) ด้วยวาจาเป็นลายลักษณ์อักษรการกระทำดังกล่าวจะเขียนเป็นบรรทัด

ตัวเลขหลายหลักซึ่งยากต่อการเพิ่มในใจ มักจะใส่ไว้ในคอลัมน์ สำหรับสิ่งนี้ ตัวเลขจะถูกเขียนหนึ่งตัวภายใต้อีกตัวหนึ่ง ชิดกับหลักสุดท้าย กล่าวคือ พวกเขาเขียนหลักหน่วยใต้หลักหน่วย หลักร้อยภายใต้หลักร้อย เป็นต้น ถัดไป คุณต้องเพิ่มตัวเลขเป็นคู่ หากการบวกหลักเกิดขึ้นพร้อมกับการเปลี่ยนผ่านเป็นสิบ สิบนี้จะถูกกำหนดให้เป็นหน่วยที่อยู่เหนือหลักทางด้านซ้าย (นั่นคือ ตามมา) และรวมเข้ากับตัวเลขของหลักนี้

หากไม่ใช่ 2 แต่มีการเพิ่มตัวเลขลงในคอลัมน์ เมื่อรวมตัวเลขของหมวดหมู่แล้ว อาจไม่ใช่ 1 โหล แต่หลายตัว อาจซ้ำซ้อน ในกรณีนี้ จำนวนหลักสิบดังกล่าวจะถูกโอนไปยังหลักถัดไป

การลบจำนวนธรรมชาติ

การลบเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นการย้อนกลับของการบวก ซึ่งทำให้เกิดข้อเท็จจริงที่ว่า เมื่อพิจารณาจากจำนวนและหนึ่งในเงื่อนไข คุณต้องหาอีกคำหนึ่งซึ่งเป็นคำศัพท์ที่ไม่รู้จัก จำนวนที่กำลังถูกลบออกเรียกว่า minuend; ตัวเลขที่กำลังถูกลบคือตัวลบ ผลลัพธ์ของการลบเรียกว่าผลต่าง เครื่องหมายที่แสดงถึงการดำเนินการของการลบคือ "-"

ในการเปลี่ยนไปใช้การบวก รายการย่อยและผลต่างจะเปลี่ยนเป็นเงื่อนไข และผลรวมลดลง การบวกมักจะตรวจสอบความถูกต้องของการลบที่ทำ และในทางกลับกัน

74 คือจุดต่ำสุด 18 คือส่วนย่อย 56 คือผลต่าง

ข้อกำหนดเบื้องต้นสำหรับการลบจำนวนธรรมชาติมีดังต่อไปนี้ minuend ต้องมากกว่า subtrahend เฉพาะในกรณีนี้ ผลต่างที่ได้จะเป็นจำนวนธรรมชาติด้วย หากดำเนินการลบสำหรับอนุกรมธรรมชาติที่ขยายออกไป จะอนุญาตให้ minuend เท่ากับ subtrahend และผลลัพธ์ของการลบในกรณีนี้จะเป็น 0

หมายเหตุ: หาก subtrahend เท่ากับศูนย์ การลบจะไม่เปลี่ยนค่า minuend

การลบตัวเลขหลายหลักมักจะทำในคอลัมน์ เขียนตัวเลขในลักษณะเดียวกับการบวก การลบจะดำเนินการสำหรับตัวเลขที่เกี่ยวข้อง หากปรากฎว่า minuend น้อยกว่า subtrahend หนึ่งจะถูกนำมาจากหลักก่อนหน้า (อยู่ทางด้านซ้าย) ซึ่งหลังจากโอนแล้วจะกลายเป็น 10 ตามธรรมชาติ สิบนี้สรุปด้วยตัวเลขที่ลดลง ให้ตัวเลขแล้วลบออก นอกจากนี้เมื่อลบหลักถัดไปจำเป็นต้องคำนึงว่าการลดลงกลายเป็น 1 น้อยลง

ผลิตภัณฑ์ของตัวเลขธรรมชาติ

ผลคูณ (หรือการคูณ) ของจำนวนธรรมชาติคือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ซึ่งก็คือการหาผลรวมของจำนวนพจน์ที่เหมือนกันโดยพลการ หากต้องการบันทึกการคูณ ให้ใช้เครื่องหมาย "·" (บางครั้ง "×" หรือ "*") ตัวอย่างเช่น: 3 5=15.

การกระทำของการคูณเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้เมื่อจำเป็นต้องเพิ่มคำศัพท์จำนวนมาก ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการบวกเลข 4 7 ครั้ง การคูณ 4 ด้วย 7 จะง่ายกว่าการบวกนี้: 4+4+4+4+4+4+4

ตัวเลขที่คูณเรียกว่าตัวประกอบ ผลคูณคือผลคูณ ดังนั้น คำว่า "งาน" สามารถแสดงทั้งกระบวนการคูณและผลลัพธ์ได้ ขึ้นอยู่กับบริบท

ตัวเลขหลายหลักจะถูกคูณในคอลัมน์ สำหรับตัวเลขนี้เขียนในลักษณะเดียวกับการบวกและการลบ ขอแนะนำให้เขียนก่อน (ด้านบน) ว่าตัวเลขใดใน 2 ตัวที่ยาวกว่า ในกรณีนี้ กระบวนการคูณจะง่ายกว่าและมีเหตุผลมากกว่า

เมื่อคูณในคอลัมน์ ตัวเลขของแต่ละหลักของตัวเลขที่สองจะคูณตามลำดับด้วยตัวเลขที่ 1 โดยเริ่มจากจุดสิ้นสุด เมื่อพบงานดังกล่าวครั้งแรกพวกเขาจึงจดจำนวนหน่วยและจำจำนวนสิบไว้ในใจ เมื่อคูณตัวเลขของตัวเลขที่ 2 กับหลักถัดไปของตัวเลขที่ 1 ตัวเลขที่จำได้จะถูกเพิ่มลงในผลิตภัณฑ์ และอีกครั้งพวกเขาเขียนจำนวนหน่วยของผลลัพธ์ที่ได้รับและจำจำนวนสิบ เมื่อคูณด้วยหลักสุดท้ายของตัวเลขที่ 1 ตัวเลขที่ได้ด้วยวิธีนี้จะถูกเขียนเต็ม

ผลลัพธ์ของการคูณตัวเลขของหลักที่ 2 ของตัวเลขที่สองจะถูกเขียนในแถวที่สองโดยเลื่อนไปทางขวา 1 เซลล์ เป็นต้น เป็นผลให้จะได้ "บันได" ควรเพิ่มแถวตัวเลขที่เป็นผลลัพธ์ทั้งหมด (ตามกฎการบวกในคอลัมน์) เซลล์ว่างควรถูกเติมด้วยศูนย์ ผลรวมที่ได้คือผลิตภัณฑ์ขั้นสุดท้าย

บันทึก

1. ผลคูณของจำนวนธรรมชาติใดๆ คูณ 1 (หรือ 1 ด้วยตัวเลข) เท่ากับจำนวนนั้นเอง ตัวอย่างเช่น: 376 1=376; 1 86=86.
2. เมื่อตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งหรือตัวประกอบทั้งสองเท่ากับ 0 ผลคูณจะเท่ากับ 0 ตัวอย่างเช่น: 32·0=0; 0 845=845; 0 0=0.

การหารจำนวนธรรมชาติ

การหารเรียกว่าการดำเนินการเลขคณิตด้วยความช่วยเหลือซึ่งตามผลิตภัณฑ์ที่รู้จักและปัจจัยหนึ่งสามารถพบปัจจัยอื่นที่ไม่รู้จัก การหารเป็นส่วนผกผันของการคูณและใช้เพื่อตรวจสอบว่าการคูณได้ดำเนินการอย่างถูกต้องหรือไม่ (และในทางกลับกัน)

จำนวนที่หารเรียกว่าหารลงตัว จำนวนที่หารด้วยตัวหาร; ผลของการหารเรียกว่าผลหาร เครื่องหมายหารคือ ":" (บางครั้ง น้อยกว่า - "÷")

48 คือเงินปันผล 6 คือตัวหาร 8 คือผลหาร

ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่สามารถแบ่งกันเองได้ ในกรณีนี้ จะทำการหารด้วยเศษที่เหลือ ประกอบด้วยความจริงที่ว่าสำหรับตัวหารปัจจัยดังกล่าวจะถูกเลือกเพื่อให้ผลคูณของมันโดยตัวหารจะเป็นตัวเลขที่ใกล้เคียงที่สุดในมูลค่าเงินปันผล แต่น้อยกว่านั้น ตัวหารคูณด้วยปัจจัยนี้และลบออกจากเงินปันผล ส่วนต่างจะเป็นส่วนที่เหลือของดิวิชั่น ผลคูณของตัวหารด้วยตัวประกอบเรียกว่าผลหารที่ไม่สมบูรณ์ ข้อควรสนใจ: ส่วนที่เหลือจะต้องน้อยกว่าตัวคูณที่เลือก! หากส่วนที่เหลือมีขนาดใหญ่ขึ้นแสดงว่าตัวคูณถูกเลือกอย่างไม่ถูกต้องและควรเพิ่มขึ้น

เราเลือกตัวประกอบสำหรับ 7 ในกรณีนี้ ตัวเลขนี้คือ 5 เราพบผลหารที่ไม่สมบูรณ์: 7 5 \u003d 35 คำนวณส่วนที่เหลือ: 38-35=3 ตั้งแต่ 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

ตัวเลขหลายหลักแบ่งออกเป็นคอลัมน์ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เงินปันผลและตัวหารจะถูกเขียนเคียงข้างกัน โดยแยกตัวหารด้วยเส้นแนวตั้งและแนวนอน ในการจ่ายเงินปันผล หลักแรกหรือสองสามหลักแรก (ด้านขวา) จะถูกเลือก ซึ่งควรเป็นตัวเลขที่เพียงพอต่อการหารด้วยตัวหารน้อยที่สุด (นั่นคือ ตัวเลขนี้ต้องมากกว่าตัวหาร) สำหรับตัวเลขนี้ ผลหารที่ไม่สมบูรณ์จะถูกเลือกตามที่อธิบายไว้ในกฎการหารด้วยเศษที่เหลือ จำนวนของตัวคูณที่ใช้เพื่อค้นหาผลหารบางส่วนเขียนไว้ใต้ตัวหาร ผลหารที่ไม่สมบูรณ์จะเขียนภายใต้ตัวเลขที่หารโดยจัดชิดขวา ค้นหาความแตกต่างของพวกเขา หลักถัดไปของเงินปันผลจะถูกทำลายโดยเขียนไว้ข้างส่วนต่างนี้ สำหรับจำนวนผลลัพธ์ จะพบผลหารที่ไม่สมบูรณ์อีกครั้งโดยการเขียนตัวเลขของปัจจัยที่เลือก ถัดจากตัวหารก่อนหน้าภายใต้ตัวหาร เป็นต้น การดำเนินการดังกล่าวจะดำเนินการจนกว่าจำนวนเงินปันผลจะหมด หลังจากนั้นจึงถือว่าการแบ่งส่วนเสร็จสมบูรณ์ หากเงินปันผลและตัวหารถูกแบ่งออกทั้งหมด (ไม่มีเศษ) ผลต่างสุดท้ายจะให้ศูนย์ มิฉะนั้นจะส่งคืนหมายเลขที่เหลือ

การยกกำลัง

การยกกำลังเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยการคูณจำนวนที่เหมือนกันโดยพลการ ตัวอย่างเช่น: 2 2 2 2

นิพจน์ดังกล่าวเขียนเป็น: x,

ที่ไหน เอเป็นจำนวนคูณด้วยตัวมันเอง xคือจำนวนปัจจัยดังกล่าว

จำนวนเฉพาะและจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนธรรมชาติใดๆ ยกเว้น 1 สามารถหารด้วยตัวเลขอย่างน้อย 2 ตัว - หนึ่งและตัวมันเอง ตามเกณฑ์นี้ จำนวนธรรมชาติจะถูกแบ่งออกเป็นจำนวนเฉพาะและแบบประกอบ

จำนวนเฉพาะคือตัวเลขที่หารด้วย 1 และตัวมันเองเท่านั้น ตัวเลขที่หารด้วย 2 ตัวนี้ลงตัวเรียกว่าจำนวนประกอบ หน่วยที่หารด้วยตัวมันเองอย่างเดียวไม่เป็นทั้งไพรม์หรือสารประกอบ

ตัวเลขเป็นจำนวนเฉพาะ: 2,3,5,7,11,13,17,19 เป็นต้น ตัวอย่างของจำนวนประกอบ: 4 (หารด้วย 1,2,4), 6 (หารด้วย 1,2,3,6), 20 (หารด้วย 1,2,4,5,10,20)

จำนวนประกอบใดๆ สามารถแยกออกเป็นปัจจัยเฉพาะได้ ในกรณีนี้ ตัวประกอบเฉพาะเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นตัวหาร ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ

ตัวอย่างของการแยกตัวประกอบเป็นปัจจัยเฉพาะ:

ตัวหารของจำนวนธรรมชาติ

ตัวหารคือตัวเลขที่สามารถหารจำนวนที่กำหนดโดยไม่มีเศษเหลือ

ตามคำจำกัดความนี้ จำนวนธรรมชาติอย่างง่ายมีตัวหาร 2 ตัว ตัวเลขประกอบมีตัวหารมากกว่า 2 ตัว

ตัวเลขจำนวนมากมีตัวหารร่วม ตัวหารร่วมคือจำนวนที่ตัวเลขที่กำหนดนั้นหารลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ

• ตัวเลข 12 และ 15 มีตัวหารร่วม 3
• ตัวเลข 20 และ 30 มีตัวหารร่วม 2,5,10

สิ่งที่สำคัญเป็นพิเศษคือตัวหารร่วมมาก (GCD) โดยเฉพาะตัวเลขนี้มีประโยชน์ในการค้นหาเศษส่วน ในการค้นหา จำเป็นต้องแยกจำนวนที่ระบุเป็นตัวประกอบเฉพาะและนำเสนอเป็นผลคูณของปัจจัยเฉพาะร่วมของพวกมัน ซึ่งใช้กำลังที่น้อยที่สุดของพวกมัน

จำเป็นต้องค้นหา GCD ของตัวเลข 36 และ 48

การหารจำนวนธรรมชาติ

เป็นไปไม่ได้เสมอที่จะกำหนด "ด้วยตา" ว่าตัวเลขหนึ่งหารด้วยอีกจำนวนหนึ่งลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือหรือไม่ ในกรณีเช่นนี้ การทดสอบการหารที่สอดคล้องกันนั้นมีประโยชน์ กล่าวคือ กฎที่คุณสามารถตรวจสอบได้ว่าสามารถแบ่งตัวเลขโดยไม่เหลือเศษได้หรือไม่ภายในเวลาไม่กี่วินาที เครื่องหมาย "" ใช้เพื่อบ่งบอกถึงความแตกแยก

ตัวคูณร่วมน้อย

ค่านี้ (แสดงเป็น LCM) เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่หารด้วยตัวเลขที่ให้มาแต่ละตัวลงตัว สามารถหา LCM ได้สำหรับชุดจำนวนธรรมชาติตามอำเภอใจ

LCM เช่น GCD มีความหมายประยุกต์ที่สำคัญ ดังนั้นจึงเป็น LCM ที่ต้องการหาโดยการลดเศษส่วนธรรมดาให้เป็นตัวส่วนร่วม

LCM ถูกกำหนดโดยการแยกตัวประกอบตัวเลขที่กำหนดเป็นตัวประกอบเฉพาะ สำหรับการก่อตัวของมัน ผลิตภัณฑ์จะถูกใช้ ซึ่งประกอบด้วยปัจจัยเฉพาะที่เกิดขึ้น (อย่างน้อยสำหรับ 1 ตัวเลข) แต่ละตัวที่แสดงระดับสูงสุด

จำเป็นต้องค้นหา LCM ของตัวเลข 14 และ 24

เฉลี่ย

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจำนวนธรรมชาติตามอำเภอใจ (แต่มีจำกัด) คือผลรวมของตัวเลขทั้งหมดเหล่านี้หารด้วยจำนวนเทอม:

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือค่าเฉลี่ยบางส่วนสำหรับชุดตัวเลข

ให้หมายเลข 2,84,53,176,17,28 จำเป็นต้องหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ในวิชาคณิตศาสตร์ มีชุดตัวเลขที่แตกต่างกันหลายชุด: จริง, ซับซ้อน, จำนวนเต็ม, ตรรกยะ, อตรรกยะ, ... ในของเรา ชีวิตประจำวันเรามักใช้ตัวเลขธรรมชาติเนื่องจากเราพบตัวเลขเหล่านี้เมื่อนับและเมื่อค้นหาซึ่งระบุจำนวนวัตถุ

ติดต่อกับ

ตัวเลขอะไรเรียกว่าเป็นธรรมชาติ

จากตัวเลขสิบหลัก คุณสามารถจดผลรวมของคลาสและอันดับที่มีอยู่ทั้งหมดได้ คุณค่าทางธรรมชาติคือสิ่งเหล่านี้ ที่ใช้:

• เมื่อนับรายการใด ๆ (ที่หนึ่ง, สอง, สาม, ... ห้า, ... สิบ)
• เมื่อระบุจำนวนรายการ (หนึ่ง สอง สาม ...)

ค่า N เป็นจำนวนเต็มและบวกเสมอ ไม่มี N ที่ใหญ่ที่สุด เนื่องจากชุดของค่าจำนวนเต็มไม่จำกัด

ความสนใจ!ตัวเลขธรรมชาติได้มาจากการนับวัตถุหรือโดยการกำหนดปริมาณ

ตัวเลขใดๆ ก็ตามสามารถย่อยสลายและนำเสนอเป็นเงื่อนไขบิตได้ เช่น 8.346.809=8 ล้าน+346,000+809 หน่วย

ชุดหนู

เซต N อยู่ในเซต จริงจำนวนเต็มและบวก. ในแผนภาพเซต พวกมันจะอยู่ติดกัน เนื่องจากเซตของธรรมชาติเป็นส่วนหนึ่งของพวกมัน

เซตของจำนวนธรรมชาติเขียนแทนด้วยตัวอักษร N เซตนี้มีจุดเริ่มต้นแต่ไม่มีจุดสิ้นสุด

นอกจากนี้ยังมีชุดเพิ่มเติม N ซึ่งรวมศูนย์ไว้ด้วย

จำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุด

ในโรงเรียนคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ ค่าที่น้อยที่สุดของ N นับเป็นหน่วยเนื่องจากการไม่มีวัตถุนั้นถือว่าว่างเปล่า

แต่ในโรงเรียนคณิตศาสตร์ต่างประเทศ เช่น ภาษาฝรั่งเศสถือว่าเป็นธรรมชาติ การมีศูนย์ในอนุกรมช่วยให้การพิสูจน์ง่ายขึ้น บางทฤษฎีบท.

ชุดของค่า N ที่มีศูนย์เรียกว่า Extended และแสดงด้วยสัญลักษณ์ N0 (ดัชนีศูนย์)

ชุดตัวเลขธรรมชาติ

แถว N คือลำดับของชุดตัวเลข N ทั้งหมด ลำดับนี้ไม่มีที่สิ้นสุด

ลักษณะเฉพาะของอนุกรมธรรมชาติคือหมายเลขถัดไปจะแตกต่างจากหมายเลขก่อนหน้านั่นคือจะเพิ่มขึ้น แต่ความหมาย ลบไม่ได้.

ความสนใจ!เพื่อความสะดวกในการนับมีคลาสและหมวดหมู่:

• หน่วย (1, 2, 3),
• สิบ (10, 20, 30),
• ร้อย (100, 200, 300)
• พัน (1,000, 2000, 3000),
• หมื่น (30.000)
• แสนคน (800.000)
• ล้าน (4000000) เป็นต้น

ทั้งหมดN

N ทั้งหมดอยู่ในเซตของค่าจริง ค่าจำนวนเต็ม ไม่ใช่ค่าลบ พวกเขาเป็นของพวกเขา ส่วนสำคัญ.

ค่าเหล่านี้ไปสู่อนันต์ พวกเขาสามารถอยู่ในชั้นเรียนของล้าน พันล้าน quintillions ฯลฯ

ตัวอย่างเช่น:

• แอปเปิ้ลห้าลูกลูกแมวสามตัว
• สิบรูเบิลสามสิบดินสอ
• หนึ่งร้อยกิโลกรัมสามร้อยเล่ม
• ล้านดาว สามล้านคน ฯลฯ

ลำดับใน N

ในโรงเรียนคณิตศาสตร์ต่างๆ เราสามารถหาช่วงที่สองของลำดับ N ได้:

จากศูนย์ถึงบวกอนันต์รวมทั้งปลายและจากหนึ่งถึงบวกอนันต์รวมทั้งปลายนั่นคือทั้งหมด คำตอบเชิงบวกทั้งหมด.

ตัวเลข N ชุดสามารถเป็นคู่หรือคี่ก็ได้ พิจารณาแนวคิดเรื่องความแปลกประหลาด

คี่ (เลขคี่ลงท้ายด้วยตัวเลข 1, 3, 5, 7, 9) โดยที่สองตัวเหลือเศษ ตัวอย่างเช่น 7:2=3.5, 11:2=5.5, 23:2=11.5.

แม้แต่ N หมายถึงอะไร?

ผลรวมของคลาสที่ลงท้ายด้วยตัวเลข: 0, 2, 4, 6, 8 เมื่อหารคู่ N ด้วย 2 จะไม่มีเศษเหลือ นั่นคือ ผลลัพธ์คือคำตอบทั้งหมด ตัวอย่างเช่น 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728

สิ่งสำคัญ!ชุดตัวเลขของ N ไม่สามารถประกอบด้วยค่าคู่หรือคี่เท่านั้น เนื่องจากต้องสลับกัน: เลขคู่จะตามด้วยเลขคี่เสมอ จากนั้นเป็นเลขคู่อีกครั้ง เป็นต้น

ไม่มีคุณสมบัติ

เช่นเดียวกับชุดอื่น ๆ N มีคุณสมบัติพิเศษของตัวเอง พิจารณาคุณสมบัติของซีรีย์ N (ไม่ขยาย)

• ค่าที่น้อยที่สุดและไม่เป็นไปตามค่าอื่นคือค่าหนึ่ง
• N เป็นลำดับ นั่นคือ ค่าธรรมชาติหนึ่งค่า ตามมาอีก(ยกเว้นหนึ่ง - เป็นอันแรก)
• เมื่อเราดำเนินการคำนวณกับ N ผลรวมของหลักและคลาส (บวก คูณ) จากนั้นในคำตอบ ออกมาเป็นธรรมชาติเสมอความหมาย.
• ในการคำนวณ คุณสามารถใช้การเรียงสับเปลี่ยนและการรวมกันได้
• แต่ละค่าที่ตามมาต้องไม่น้อยกว่าค่าก่อนหน้า นอกจากนี้ในซีรีส์ N กฎต่อไปนี้จะทำงาน: หากหมายเลข A น้อยกว่า B ดังนั้นในซีรีย์ตัวเลขจะมี C เสมอซึ่งความเท่าเทียมกันเป็นจริง: A + C \u003d B
• หากเราใช้นิพจน์ธรรมชาติสองนิพจน์ เช่น A และ B ดังนั้นนิพจน์หนึ่งจะเป็นจริงสำหรับนิพจน์เหล่านี้: A \u003d B, A มากกว่า B, A น้อยกว่า B
• ถ้า A น้อยกว่า B และ B น้อยกว่า C ก็จะตามมาว่า ว่า A น้อยกว่า C.
• ถ้า A น้อยกว่า B ก็จะตามมาว่า: ถ้าเราเพิ่มนิพจน์เดียวกัน (C) ให้กับพวกเขา A + C จะน้อยกว่า B + C มันก็จริงเช่นกันว่าถ้าค่าเหล่านี้คูณด้วย C แล้ว AC จะน้อยกว่า AB
• ถ้า B มากกว่า A แต่น้อยกว่า C แสดงว่า B-A น้อยกว่า C-A

ความสนใจ!ความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดข้างต้นยังใช้ได้ในทิศทางตรงกันข้าม

องค์ประกอบของการคูณเรียกว่าอะไร?

ในงานที่เรียบง่ายและซับซ้อนหลายๆ อย่าง การหาคำตอบขึ้นอยู่กับความสามารถของนักเรียน

ตัวเลขที่ง่ายที่สุดคือ ตัวเลขธรรมชาติ. ใช้ในชีวิตประจำวันสำหรับการนับ รายการคือ เพื่อคำนวณจำนวนและลำดับ

จำนวนธรรมชาติคืออะไร: ตัวเลขธรรมชาติตั้งชื่อตัวเลขที่ใช้สำหรับ การนับรายการหรือเพื่อระบุหมายเลขลำดับของรายการใด ๆ จากที่เป็นเนื้อเดียวกันทั้งหมดรายการ

จำนวนเต็มเป็นตัวเลขที่เริ่มจากหนึ่ง พวกมันถูกสร้างขึ้นตามธรรมชาติเมื่อทำการนับเช่น 1,2,3,4,5... -ตัวเลขธรรมชาติตัวแรก

จำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุด- หนึ่ง. ไม่มีจำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุด เมื่อนับเลข ไม่ใช้ศูนย์ ดังนั้นศูนย์จึงเป็นจำนวนธรรมชาติ

ชุดตัวเลขธรรมชาติคือลำดับของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด เขียนตัวเลขธรรมชาติ:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

ในจำนวนธรรมชาติ ตัวเลขแต่ละตัวจะมากกว่าจำนวนก่อนหน้าหนึ่งจำนวน

อนุกรมธรรมชาติมีตัวเลขกี่ตัว? อนุกรมธรรมชาตินั้นไม่มีที่สิ้นสุด ไม่มีจำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุด

ทศนิยมตั้งแต่ 10 หน่วยของหมวดหมู่ใด ๆ จาก 1 หน่วยของคำสั่งสูงสุด ตำแหน่งดังนั้น ค่าของตัวเลขขึ้นอยู่กับตำแหน่งในตัวเลขเช่นไร จากหมวดที่บันทึกไว้

คลาสของจำนวนธรรมชาติ

จำนวนธรรมชาติใดๆ สามารถเขียนได้โดยใช้เลขอารบิก 10 ตัว:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

หากต้องการอ่านจำนวนธรรมชาติ ให้แบ่งโดยเริ่มจากด้านขวาออกเป็นกลุ่มๆ ละ 3 หลัก 3 ก่อน ตัวเลขทางขวาคือคลาสของหน่วย 3 ถัดไปคือคลาสของหลักพัน จากนั้นคลาสของล้าน พันล้าน และฯลฯ ตัวเลขแต่ละตัวในคลาสเรียกว่าปล่อย.

การเปรียบเทียบจำนวนธรรมชาติ

จากจำนวนธรรมชาติ 2 ตัว จำนวนที่เรียกก่อนหน้านี้ในการนับจะน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น, ตัวเลข 7 น้อย 11 (เขียนแบบนี้7 < 11 ). เมื่อจำนวนหนึ่งมากกว่าสอง จะเขียนดังนี้:386 > 99 .

ตารางตัวเลขและคลาสของตัวเลข

ตัวเลขธรรมชาติเป็นหนึ่งในแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุด

ในอดีตอันไกลโพ้น ผู้คนไม่รู้ตัวเลข และเมื่อพวกเขาต้องการนับสิ่งของ (สัตว์ ปลา ฯลฯ) พวกเขาก็ทำต่างไปจากที่เราทำในตอนนี้

เปรียบเทียบจำนวนสิ่งของกับส่วนต่างๆ ของร่างกาย เช่น นิ้วมืออยู่ในมือ และพวกเขากล่าวว่า "ฉันมีถั่วมากพอๆ กับที่มีนิ้วมืออยู่ในมือ"

เมื่อเวลาผ่านไป ผู้คนตระหนักว่าถั่ว 5 ตัว แพะ 5 ตัว และกระต่าย 5 ตัวมีทรัพย์สินร่วมกัน โดยมีจำนวนห้าตัว

จดจำ!

จำนวนเต็มคือตัวเลขที่ขึ้นต้นด้วย 1 ที่ได้จากการนับวัตถุ

1, 2, 3, 4, 5…

จำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุด — 1 .

จำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดไม่ได้อยู่.

เมื่อนับเลขศูนย์จะไม่ใช้ ดังนั้นศูนย์จึงไม่ถือว่าเป็นจำนวนธรรมชาติ

ผู้คนเรียนรู้ที่จะเขียนตัวเลขช้ากว่าการนับมาก ประการแรก พวกเขาเริ่มเป็นตัวแทนของหน่วยด้วยไม้หนึ่ง จากนั้นด้วยไม้สองอัน - หมายเลข 2 มีสาม - หมายเลข 3

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

จากนั้นเครื่องหมายพิเศษปรากฏขึ้นเพื่อกำหนดตัวเลข - บรรพบุรุษของตัวเลขสมัยใหม่ ตัวเลขที่เราใช้เขียนตัวเลขมีต้นกำเนิดในอินเดียเมื่อประมาณ 1,500 ปีที่แล้ว อาหรับพามายุโรปจึงเรียกว่า เลขอารบิก.

มีทั้งหมดสิบหลัก: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ตัวเลขเหล่านี้สามารถใช้เขียนจำนวนธรรมชาติใดๆ ก็ได้

จดจำ!

ซีรีย์ธรรมชาติเป็นลำดับของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

ในอนุกรมธรรมชาติ ตัวเลขแต่ละตัวมากกว่า 1 ตัวก่อนหน้า

อนุกรมธรรมชาตินั้นไม่มีที่สิ้นสุด ไม่มีจำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดในนั้น

ระบบการนับที่เราใช้เรียกว่า ตำแหน่งทศนิยม.

ทศนิยมเพราะ 10 หน่วยของแต่ละหลักสร้าง 1 หน่วยของหลักที่สำคัญที่สุด ตำแหน่งเนื่องจากค่าของตัวเลขขึ้นอยู่กับตำแหน่งของมันในสัญกรณ์ของตัวเลขนั่นคือตามหลักที่เขียน

สิ่งสำคัญ!

ชั้นเรียนที่ตามหลังพันล้านได้รับการตั้งชื่อตามชื่อละตินของตัวเลข แต่ละหน่วยถัดไปมีหนึ่งพันหน่วยก่อนหน้า

• 1,000 พันล้าน = 1,000,000,000,000 = 1 ล้านล้าน (“สาม” เป็นภาษาละตินสำหรับ “สาม”)
• 1,000 ล้านล้าน = 1,000,000,000,000,000 = 1 พันล้านล้าน (“quadra” เป็นภาษาละติน แปลว่า “สี่”)
• 1,000 พันล้านล้าน = 1,000,000,000,000,000,000 = 1 quintillion (“quinta” เป็นภาษาละติน แปลว่า “ห้า”)

อย่างไรก็ตาม นักฟิสิกส์ได้ค้นพบจำนวนที่เกินจำนวนอะตอมทั้งหมด (อนุภาคที่เล็กที่สุดของสสาร) ในจักรวาลทั้งหมด

หมายเลขนี้มีชื่อพิเศษ - googol. googol คือตัวเลขที่มีศูนย์ 100 ตัว

จำนวนเต็ม

นิยามตัวเลขธรรมชาติเป็นจำนวนเต็มบวก ตัวเลขธรรมชาติใช้ในการนับวัตถุและเพื่อวัตถุประสงค์อื่นๆ มากมาย นี่คือตัวเลข:

นี่คือชุดตัวเลขที่เป็นธรรมชาติ
ศูนย์เป็นจำนวนธรรมชาติ? ไม่ ศูนย์ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ
มีตัวเลขธรรมชาติกี่ตัว? มีเซตของจำนวนธรรมชาติเป็นอนันต์
จำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดคืออะไร? หนึ่งคือจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุด
จำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดคืออะไร? ไม่สามารถระบุได้ เนื่องจากมีเซตของจำนวนธรรมชาติเป็นอนันต์

ผลรวมของจำนวนธรรมชาติเป็นจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น การบวกจำนวนธรรมชาติ a และ b:

ผลคูณของจำนวนธรรมชาติเป็นจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น ผลคูณของจำนวนธรรมชาติ a และ b:

c เป็นจำนวนธรรมชาติเสมอ

ผลต่างของจำนวนธรรมชาติ ไม่มีจำนวนธรรมชาติเสมอไป หาก minuend มากกว่า subtrahend ผลต่างของจำนวนธรรมชาติจะเป็นจำนวนธรรมชาติ มิฉะนั้น จะไม่ใช่

ผลหารของจำนวนธรรมชาติ ไม่มีจำนวนธรรมชาติเสมอไป ถ้าสำหรับจำนวนธรรมชาติ a และ b

โดยที่ c เป็นจำนวนธรรมชาติ หมายความว่า a หารด้วย b ลงตัว ในตัวอย่างนี้ a คือเงินปันผล b คือตัวหาร c คือผลหาร

ตัวหารของจำนวนธรรมชาติคือจำนวนธรรมชาติที่จำนวนแรกหารลงตัว

จำนวนธรรมชาติทุกตัวหารด้วย 1 และตัวมันเองลงตัว

จำนวนธรรมชาติอย่างง่ายจะหารด้วย 1 และตัวมันเองเท่านั้น ในที่นี้เราหมายถึงการแตกแยกอย่างสมบูรณ์ ตัวอย่าง หมายเลข 2; 3; ห้า; 7 หารด้วย 1 และตัวมันเองเท่านั้น. เหล่านี้เป็นตัวเลขธรรมชาติอย่างง่าย

ไม่ถือเป็นจำนวนเฉพาะ

ตัวเลขที่มากกว่า 1 และไม่ใช่จำนวนเฉพาะเรียกว่าจำนวนประกอบ ตัวอย่างของตัวเลขประกอบ:

ไม่ถือเป็นจำนวนประกอบ

เซตของจำนวนธรรมชาติประกอบด้วยหนึ่ง จำนวนเฉพาะ และจำนวนประกอบ

ชุดของตัวเลขธรรมชาติเขียนแทนด้วยตัวอักษรละติน N

คุณสมบัติของการเพิ่มและการคูณของจำนวนธรรมชาติ:

สมบัติการสลับของการบวก

ทรัพย์สินร่วมของการบวก

(a + b) + c = a + (b + c);

สมบัติการสลับของการคูณ

สมบัติสัมพันธ์ของการคูณ

(ab)c = a(bc);

คุณสมบัติการกระจายของการคูณ

A (b + c) = ab + ac;

จำนวนทั้งหมด

จำนวนเต็มเป็นจำนวนธรรมชาติ ศูนย์และตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ

ตัวเลขตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติเป็นจำนวนเต็มลบ เช่น

1; -2; -3; -4;...

ชุดของจำนวนเต็มเขียนแทนด้วยตัวอักษรละติน Z

สรุปตัวเลข

จำนวนตรรกยะเป็นจำนวนเต็มและเศษส่วน

จำนวนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนตามระยะได้ ตัวอย่าง:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

จากตัวอย่างจะเห็นได้ว่าจำนวนเต็มเป็นเศษส่วนที่มีคาบเป็นศูนย์

จำนวนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วน m/n โดยที่ m เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ มาแทนเลข 3,(6) จากตัวอย่างที่แล้วเป็นเศษส่วนกัน