วิธีหาพื้นที่สามเหลี่ยมมุมฉากที่ไม่มีความสูง วิธีหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม (สูตร)

ในชั้นเรียนเรขาคณิตในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย เราทุกคนได้รับการสอนเกี่ยวกับสามเหลี่ยม อย่างไรก็ตาม ภายในกรอบหลักสูตรของโรงเรียน เราได้รับเฉพาะความรู้ที่จำเป็นที่สุดและเรียนรู้วิธีคำนวณที่ใช้กันทั่วไปและเป็นมาตรฐานมากที่สุด มีวิธีที่ผิดปกติในการค้นหาปริมาณนี้หรือไม่?

ในบทนำ ให้ระลึกว่าสามเหลี่ยมใดถือเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก และยังแสดงถึงแนวคิดของพื้นที่ด้วย

สามเหลี่ยมมุมฉากเป็นรูปทรงเรขาคณิตแบบปิด ซึ่งหนึ่งในมุมนั้นมีค่าเท่ากับ 90 0 แนวคิดเชิงปริพันธ์ในคำจำกัดความคือขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก ขาเป็นสองด้านที่ทำมุมฉากที่จุดเชื่อมต่อ ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านตรงข้ามมุมฉาก สามเหลี่ยมมุมฉากสามารถเป็นหน้าจั่วได้ (ด้านสองด้านจะมีขนาดเท่ากัน) แต่จะไม่มีด้านเท่ากันหมด (ด้านทุกด้านมีความยาวเท่ากัน) คำจำกัดความของความสูง ค่ามัธยฐาน เวกเตอร์ และศัพท์ทางคณิตศาสตร์อื่นๆ จะไม่ถูกวิเคราะห์โดยละเอียด หาได้ง่ายในหนังสืออ้างอิง

พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก. กฎเกี่ยวกับ .ไม่เหมือนกับสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ผลิตภัณฑ์ของคู่สัญญาในคำจำกัดความไม่ถูกต้อง การพูดในภาษาที่แห้งแล้ง พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจะเข้าใจว่าเป็นคุณสมบัติของตัวเลขนี้เพื่อครอบครองส่วนหนึ่งของระนาบโดยแสดงด้วยตัวเลข ค่อนข้างยากที่จะเข้าใจคุณเห็น เราจะไม่พยายามเจาะลึกลงไปในคำจำกัดความ เป้าหมายของเราไม่ใช่สิ่งนี้ มาต่อกันที่หลัก - จะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากได้อย่างไร? เราจะไม่ทำการคำนวณเอง แต่จะระบุเฉพาะสูตรเท่านั้น ในการทำเช่นนี้ ให้กำหนดสัญกรณ์: A, B, C - ด้านของสามเหลี่ยม, ขา - AB, BC มุม ACB เป็นเส้นตรง S คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม h n n คือความสูงของสามเหลี่ยม โดยที่ nn คือด้านที่ลดระดับลง

วิธีที่ 1 วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากถ้าทราบขนาดของขา

วิธีที่ 2 หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว

วิธีที่ 3 การคำนวณพื้นที่ผ่านสี่เหลี่ยมผืนผ้า

เราเติมสามเหลี่ยมมุมฉากให้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส (ถ้ารูปสามเหลี่ยม

หน้าจั่ว) หรือสี่เหลี่ยม เราได้สี่เหลี่ยมธรรมดาที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยมมุมฉากที่เหมือนกัน 2 รูป ในกรณีนี้ ค่าของพื้นที่ของหนึ่งในนั้นจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของผลลัพธ์ที่ได้ S ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคำนวณโดยผลคูณของด้าน เราแสดงค่านี้ด้วย M ค่าที่ต้องการของพื้นที่จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของ M

วิธีที่ 4. "กางเกงพีทาโกรัส" ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่มีชื่อเสียง

เราทุกคนจำสูตรของเธอได้: "ผลรวมของกำลังสองของขา ... " แต่ใช่ว่าทุกคนจะทำได้

พูดและนี่คือ "กางเกง" ความจริงก็คือว่าในขั้นต้นพีทาโกรัสศึกษาความสัมพันธ์ที่สร้างขึ้นที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อระบุรูปแบบในอัตราส่วนของด้านข้างของกำลังสองแล้ว เขาก็สามารถได้สูตรที่เราทุกคนรู้จัก สามารถใช้เมื่อไม่ทราบค่าของด้านใดด้านหนึ่ง

วิธีที่ 5. วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้สูตรของนกกระสา

นอกจากนี้ยังเป็นการคำนวณที่ค่อนข้างง่าย สูตรนี้เกี่ยวข้องกับการแสดงออกของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมในแง่ของค่าตัวเลขของด้านของมัน สำหรับการคำนวณ คุณจำเป็นต้องรู้ขนาดของทุกด้านของรูปสามเหลี่ยม

S = (p-AC)*(p-BC) โดยที่ p = (AB+BC+AC)*0.5

นอกเหนือจากข้างต้นแล้ว ยังมีวิธีอื่นๆ อีกมากมายในการค้นหาขนาดของบุคคลลึกลับเช่นสามเหลี่ยม ในหมู่พวกเขา: การคำนวณโดยวิธีการของวงกลมที่จารึกหรือล้อมรอบ, การคำนวณโดยใช้พิกัดของจุดยอด, การใช้เวกเตอร์, ค่าสัมบูรณ์, ไซน์, แทนเจนต์

ดังที่คุณอาจจำได้จากหลักสูตรของโรงเรียนในวิชาเรขาคณิต สามเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากสามส่วนที่เชื่อมต่อกันด้วยจุดสามจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว สามเหลี่ยมประกอบเป็นสามมุม จึงเป็นที่มาของชื่อรูปนั้น คำจำกัดความอาจแตกต่างกัน สามเหลี่ยมสามารถเรียกได้ว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามมุม คำตอบจะเป็นจริงเช่นเดียวกัน สามเหลี่ยมแบ่งตามจำนวนด้านเท่ากันและขนาดของมุมในรูป ดังนั้นจงแยกความแตกต่างของรูปสามเหลี่ยมเช่นหน้าจั่ว ด้านเท่ากันหมด และมาตราส่วน เช่นเดียวกับสี่เหลี่ยม มุมแหลม และมุมป้าน ตามลำดับ

มีหลายสูตรในการคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม เลือกวิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมเช่น จะใช้สูตรไหน เฉพาะคุณเท่านั้น แต่ควรสังเกตเฉพาะสัญกรณ์บางส่วนที่ใช้ในหลายสูตรในการคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ดังนั้นจำไว้ว่า:

S คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม

a, b, c คือด้านของสามเหลี่ยม

h คือความสูงของสามเหลี่ยม

R คือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ

p คือกึ่งปริมณฑล

ต่อไปนี้เป็นสัญลักษณ์พื้นฐานที่อาจมีประโยชน์หากคุณลืมแนวทางเรขาคณิตไปโดยสิ้นเชิง ตัวเลือกที่เข้าใจได้และไม่ซับซ้อนที่สุดสำหรับการคำนวณพื้นที่ที่ไม่รู้จักและลึกลับของรูปสามเหลี่ยมจะได้รับด้านล่าง ไม่ใช่เรื่องยากและจะมีประโยชน์ทั้งสำหรับความต้องการของบ้านและเพื่อช่วยเหลือบุตรหลานของคุณ มาจำวิธีการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมให้ง่ายเหมือนปลอกเปลือกลูกแพร์กัน:

ในกรณีของเรา พื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ: S = ½ * 2.2 ซม. * 2.5 ซม. = 2.75 ตร.ซม. จำไว้ว่าพื้นที่มีหน่วยเป็นตารางเซนติเมตร (sqcm)

สามเหลี่ยมมุมฉากและพื้นที่ของมัน

สามเหลี่ยมมุมฉากเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งเท่ากับ 90 องศา (จึงเรียกว่าสามเหลี่ยมมุมฉาก) มุมฉากเกิดจากเส้นตั้งฉากสองเส้น (ในกรณีของรูปสามเหลี่ยม ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีมุมฉากได้เพียงมุมเดียวเพราะ ผลรวมของมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมหนึ่งรูปคือ 180 องศา ปรากฎว่าอีก 2 มุมควรแบ่ง 90 องศาที่เหลือระหว่างกัน เช่น 70 และ 20, 45 และ 45 เป็นต้น ดังนั้น คุณจำสิ่งสำคัญได้แล้ว ยังต้องเรียนรู้วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก ลองนึกภาพว่าเรามีสามเหลี่ยมมุมฉากอยู่ข้างหน้าเรา และเราต้องหาพื้นที่ S ของมัน

1. วิธีที่ง่ายที่สุดในการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

ในกรณีของเรา พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ: S = 2.5 ซม. * 3 ซม. / 2 = 3.75 ตร.ซม.

โดยหลักการแล้ว ไม่จำเป็นต้องตรวจสอบพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้วยวิธีอื่นอีกต่อไป เนื่องจาก ในชีวิตประจำวันจะมีประโยชน์และมีเพียงสิ่งนี้เท่านั้นที่ช่วย แต่ยังมีตัวเลือกสำหรับการวัดพื้นที่ของสามเหลี่ยมผ่านมุมแหลม

2. สำหรับวิธีการคำนวณอื่นๆ คุณต้องมีตารางโคไซน์ ไซน์ และแทนเจนต์ ตัดสินด้วยตัวคุณเอง ต่อไปนี้คือตัวเลือกบางส่วนสำหรับการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากที่คุณยังใช้ได้อยู่:

เราตัดสินใจใช้สูตรแรกและมีรอยเปื้อนเล็กๆ (เราวาดในสมุดบันทึกและใช้ไม้บรรทัดและไม้โปรแทรกเตอร์แบบเก่า) แต่เราได้การคำนวณที่ถูกต้อง:

S \u003d (2.5 * 2.5) / (2 * 0.9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1.2) เราได้ผลลัพธ์ดังกล่าว 3.6=3.7 แต่เมื่อพิจารณาถึงการเปลี่ยนเซลล์ เราสามารถให้อภัยความแตกต่างเล็กน้อยนี้ได้

สามเหลี่ยมหน้าจั่วและพื้นที่ของมัน

หากคุณต้องเผชิญกับการคำนวณสูตรของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว วิธีที่ง่ายที่สุดคือการใช้สูตรหลักและถือว่าเป็นสูตรคลาสสิกสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

แต่ก่อนอื่น ก่อนที่เราจะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เราจะหาว่ามันเป็นรูปทรงใด สามเหลี่ยมหน้าจั่วเป็นสามเหลี่ยมที่มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน สองด้านนี้เรียกว่าด้าน ด้านที่สามเรียกว่าฐาน อย่าสับสนระหว่างสามเหลี่ยมหน้าจั่วกับสามเหลี่ยมด้านเท่า เช่น สามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้านทั้งสามเท่ากัน ในสามเหลี่ยมดังกล่าว ไม่มีแนวโน้มพิเศษที่มุมหรือขนาดของมุม อย่างไรก็ตาม มุมที่ฐานในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน แต่แตกต่างจากมุมระหว่างด้านเท่ากัน ดังนั้นคุณรู้อยู่แล้วว่าสูตรแรกและสูตรหลักยังคงต้องค้นหาว่ารู้จักสูตรอื่นใดในการกำหนดพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว:

การเรียนการสอน

ภารกิจที่ 1
จงหาความยาวของทุกด้านของรูปสามเหลี่ยม ถ้ารู้ว่าขาข้างหนึ่งยาวกว่าอีกข้างหนึ่ง 1 ซม. และความยาวของรูปสามเหลี่ยมคือ 28 ซม.

สารละลาย.
เขียนสูตรพื้นที่พื้นฐาน S = (a*b)/2 = 28 เป็นที่ทราบกันว่า b = a + 1 แทนที่ค่านี้ลงในสูตร: 28 = (a*(a+1))/2
เปิดวงเล็บ หาสมการกำลังสองโดยไม่ทราบค่า a^2 + a - 56 = 0
หาได้โดยการคำนวณ discriminant D = 1 + 224 = 225 สมการมีสองคำตอบ: a_1 = (-1 + √225)/2 = (-1 + 15)/2 = 7 และ a_2 = (-1 - √ 225)/2 = (-1 - 15)/2 = -8
อันที่สองไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากความยาวของเซ็กเมนต์ไม่สามารถเป็นลบได้ ดังนั้น a = 7 (ซม.)
จงหาความยาวของขาที่สอง b = a + 1 = 8 (ซม.)
ความยาวของด้านที่สามยังคงอยู่ ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก c^2 = a^2 + b^2 = 49 + 64 ดังนั้น c = √(49 + 64) = √113 ≈ 10.6 (ซม.)

ภารกิจที่ 2
จงหาความยาวของทุกด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก ถ้าทราบพื้นที่ของมันคือ 14 ซม. และมุม ACB เท่ากับ 30°

สารละลาย.
เขียนสูตรพื้นฐาน S = (a*b)/2 = 14
ตอนนี้แสดงความยาวของขาผ่านผลคูณของด้านตรงข้ามมุมฉากและฟังก์ชันตรีโกณมิติตามคุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉาก:
a = c*cos(ACB) = c*cos(30°) = c*(√3/2) ≈ 0.87*c
b = c*sin(ACB) = c*sin(30°) = c*(1/2) = 0.5*c

แทนที่ค่าที่ได้รับลงในสูตรพื้นที่:
14 = (0.87*0.5*c^2)/2 จากที่:
28 ≈ 0.435*s^2 → c = √64.4 ≈ 8 (ซม.)
คุณหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากได้แล้ว ทีนี้หาความยาวของอีกสองด้านที่เหลือ:
a = 0.87*c = 0.87*8 ≈ 7 (ซม.), b = 0.5*c = 0.5*8 = 4 (ซม.)

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

ก่อนอื่น มาตกลงกันเรื่องสัญกรณ์กันก่อน ขาเรียกว่าด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งอยู่ติดกับมุมฉาก (นั่นคือทำมุม 90 องศากับอีกด้านหนึ่ง) เราจะตกลงเพื่อแสดงความยาวของขา a และ b ค่าของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากตรงข้ามขาจะเรียกว่า A และ B ตามลำดับ ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉาก (นั่นคือ ด้านตรงข้ามมุมฉากทำให้เกิดมุมแหลมกับด้านอื่นๆ ของสามเหลี่ยม) ให้เราแทนความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากด้วย s ระบุพื้นที่ที่ต้องการโดย S.

การเรียนการสอน

ใช้สูตร S = (a ^ 2) / (2 * tg (A)) หากคุณได้รับขาเดียว (a) แต่มุมตรงข้ามกับขานี้ (A) เป็นที่รู้จักกัน เครื่องหมาย "^2" หมายถึงกำลังสอง

ใช้สูตร S=(a^2)*tg(B)/2 d ถ้าคุณได้รับขาข้างเดียว (a) แต่คุณรู้มุมที่อยู่ติดกับขานี้ (B) ด้วย

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

ที่มา:

• "คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับผู้สมัครเข้ามหาวิทยาลัย", ed. จีเอ็น ยาโคฟเลวา, 1982.

ความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของสามเหลี่ยมมุมฉากครอบคลุมในสาขาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าตรีโกณมิติ ในการหาด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก ก็เพียงพอที่จะรู้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส คำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติ และมีวิธีการบางอย่างในการค้นหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น เครื่องคิดเลขหรือตาราง Bradis พิจารณาด้านล่างกรณีหลักของปัญหาในการค้นหาด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

คุณจะต้องการ

• เครื่องคิดเลข, ตาราง Bradis

การเรียนการสอน

หากให้มุมแหลมมุมใดมุมหนึ่ง เช่น A และขาข้างหนึ่ง ตัวอย่างเช่น a จากนั้นด้านตรงข้ามมุมฉากและขาอีกข้างจะคำนวณจากความสัมพันธ์: b=a*tg(A), c=a *บาป(A).

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

ในกรณีที่คุณไม่ทราบค่าของไซน์หรือโคไซน์ของมุมใดมุมหนึ่งที่จำเป็นสำหรับการคำนวณ คุณสามารถใช้ตาราง Bradis ได้ ซึ่งจะให้ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุมจำนวนมาก นอกจากนี้ เครื่องคิดเลขที่ทันสมัยส่วนใหญ่สามารถคำนวณไซน์และโคไซน์ของมุมได้

ที่มา:

• วิธีการคำนวณด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากในปี 2019

เคล็ดลับ 4: วิธีหาฐานของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นจำเป็นต้องมีอัตราส่วนที่ชัดเจนของด้านที่สัมพันธ์กัน เมื่อรู้จักสองคนนี้ คุณสามารถหาคนที่สามได้เสมอ วิธีนี้สามารถทำได้ คุณจะได้เรียนรู้จากคำแนะนำด้านล่าง

คุณจะต้องการ

• - เครื่องคิดเลข

การเรียนการสอน

ยกขาทั้งสองข้างแล้วรวมเข้าด้วยกัน a2 + b2 ผลลัพธ์คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ( พื้นฐาน) ในสี่เหลี่ยม c2 ถัดไป คุณเพียงแค่ต้องแยกรากออกจากส่วนหลัง และพบด้านตรงข้ามมุมฉาก วิธีนี้เป็นวิธีที่ง่ายและใช้งานง่ายบน สิ่งสำคัญในกระบวนการหาคู่ครอง สามเหลี่ยมดังนั้น - อย่าลืมแยกรากออกจากผลลัพธ์เบื้องต้นเพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุด สูตรนี้ได้มาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่มีชื่อเสียงที่สุดในโลก ซึ่งในทุกแหล่งมีรูปแบบ: a2 + b2 = c2

แบ่งขาข้างหนึ่ง a ด้วยไซน์ของบาปมุมตรงข้าม α ในกรณีที่ทราบด้านและไซน์ในสภาวะ ตัวเลือกนี้สำหรับการค้นหาด้านตรงข้ามมุมฉากจะเป็นที่ยอมรับ สูตรในกรณีนี้จะมีรูปแบบที่ง่ายมาก: c=a/sin α ระวังด้วยการคำนวณทั้งหมด

คูณด้าน a ด้วยสอง คำนวณด้านตรงข้ามมุมฉากแล้ว นี่อาจเป็นวิธีพื้นฐานที่สุดในการหามือของเรา แต่น่าเสียดายที่วิธีนี้ใช้ในกรณีเดียวเท่านั้น - ถ้าด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมในหน่วยวัดองศาเท่ากับจำนวนสามสิบ หากมี คุณสามารถมั่นใจได้ว่ามันจะเป็นครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉากเสมอ ดังนั้น คุณแค่ต้องเพิ่มเป็นสองเท่าก็เสร็จแล้ว

หารขา a ด้วยโคไซน์ของมุม cos α ที่อยู่ติดกัน วิธีนี้เหมาะก็ต่อเมื่อคุณรู้ขาข้างหนึ่งและโคไซน์ของมุมที่อยู่ติดกัน วิธีนี้คล้ายกับวิธีที่นำเสนอให้คุณก่อนหน้านี้ซึ่งใช้ขาด้วย แต่แทนที่จะเป็นโคไซน์ซึ่งเป็นไซน์ของมุมตรงข้าม เฉพาะในกรณีนี้จะมีลักษณะแตกต่างกันเล็กน้อย: с=a/ cos α. นั่นคือทั้งหมดที่

คำแนะนำ 5: วิธีหามุมถ้ารู้จักด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

เตร สี่เหลี่ยมซึ่งเป็นหนึ่งในมุมที่ถูกต้อง (เท่ากับ 90 °) เรียกว่ามุมฉาก ด้านที่ยาวที่สุดอยู่ตรงข้ามมุมฉากเสมอ เรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก และอีกสองด้าน ข้างเรียกว่ารองเท้าสเก็ต หากทราบความยาวของด้านทั้งสามนี้ ให้หาค่าของมุมทุกมุมของรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมและไม่ยาก เนื่องจากคุณต้องคำนวณมุมใดมุมหนึ่งเท่านั้น สามารถทำได้หลายวิธี

การเรียนการสอน

ใช้เพื่อคำนวณปริมาณ (α, β, γ) นิยามของฟังก์ชันตรีโกณมิติในรูปของรูปสามเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ตัวอย่างเช่น สำหรับไซน์ของมุมแหลมเป็นอัตราส่วนของความยาวของขาตรงข้ามกับความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้น หากความยาวของขา (A และ B) และด้านตรงข้ามมุมฉาก (C) คุณจะพบตัวอย่างเช่น ไซน์ของมุม α ซึ่งอยู่ตรงข้ามกับขา A โดยหารความยาว ข้างและสำหรับความยาว ข้าง C (ด้านตรงข้ามมุมฉาก): บาป(α)=A/C เมื่อเรียนรู้ค่าของไซน์ของมุมนี้แล้ว คุณจะพบค่าของมันในหน่วยองศาโดยใช้ฟังก์ชันผกผันของไซน์ - อาร์กไซน์ นั่นคือ α=arcsin(sin(α))=arcsin(A/C) ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถหาค่าของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมได้ สี่เหลี่ยม e แต่ไม่จำเป็น เนื่องจากผลรวมของมุมทั้งหมดคือ สี่เหลี่ยม a คือ 180° และใน tre สี่เหลี่ยมหากมุมใดมุมหนึ่งเท่ากับ 90° ค่าของมุมที่สามสามารถคำนวณได้จากผลต่างระหว่าง 90° กับค่าของมุมที่พบ: β=180°-90°-α=90°-α

แทนที่จะกำหนดไซน์ คุณสามารถใช้คำจำกัดความของโคไซน์ของมุมแหลม ซึ่งกำหนดเป็นอัตราส่วนของความยาวของขาที่อยู่ติดกับมุมที่ต้องการต่อความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก: cos(α)=B/ ค. และที่นี่ ใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน (อาร์คโคไซน์) เพื่อหาค่าของมุมเป็นองศา: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C) หลังจากนั้น จะยังคงหาค่าของมุมที่หายไป เช่นเดียวกับในขั้นตอนที่แล้ว: β=90°-α

คุณสามารถใช้แทนเจนต์ที่คล้ายกันได้ ซึ่งแสดงโดยอัตราส่วนของความยาวของขาที่อยู่ตรงข้ามมุมที่ต้องการกับความยาวของขาที่อยู่ติดกัน: tg(α)=A/B ค่ามุมเป็นองศาถูกกำหนดอีกครั้งผ่านฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน - : α=arctg(tg(α))=arctg(A/B) สูตรมุมที่หายไปจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง: β=90°-α

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

เคล็ดลับ 6: วิธีหาความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมถือเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากถ้ามุมใดมุมหนึ่งเป็นมุมฉาก ด้านข้าง สามเหลี่ยมซึ่งอยู่ตรงข้ามมุมฉากเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก และอีกสอง ข้าง- สายสวน การหาความยาวของด้านของสี่เหลี่ยม สามเหลี่ยมสามารถใช้ได้หลายวิธี

การเรียนการสอน

1. ค่าของสองขาเป็นที่รู้จัก

ในกรณีนี้ พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากคำนวณโดยสูตร:
S=0.5ab

2. รู้จักขาข้างหนึ่งและด้านตรงข้ามมุมฉาก

ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว มีเหตุผลมากที่สุดที่จะใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและสูตรข้างต้น:
S = 0.5∙sqrt(c^2-a^2)∙a,
โดยที่ sqrt คือรากที่สอง c^2-a^2 คือนิพจน์รากศัพท์ที่แสดงถึงความแตกต่างระหว่างกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากกับขา

3. รับค่าของทุกด้านของรูปสามเหลี่ยม

สำหรับปัญหาดังกล่าว คุณสามารถใช้สูตร Heron:
S = (p-a)(p-b),
โดยที่ p คือกึ่งปริมณฑล ซึ่งพบได้จากนิพจน์ต่อไปนี้: p = 0.5∙ (a+b+c)

4. ขาเดียวและมุมหนึ่งเป็นที่รู้จัก

มันคุ้มค่าที่จะหันไปใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตัวอย่างเช่น tg(1) = 1/сtg(1) = b/a นั่นคือด้วยอัตราส่วนนี้จึงสามารถกำหนดมูลค่าของขาที่ไม่รู้จักได้ แล้วปัญหาก็จะลดลงจนถึงจุดแรก

5. รู้จักด้านตรงข้ามมุมฉากและมุม

ในกรณีนี้ ยังใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติของไซน์และโคไซน์ด้วย: cos(2)=1/sin(2) = b/c จากนั้นวิธีแก้ไขปัญหาจะลดลงเหลือย่อหน้าที่สองของบทความ

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

เคล็ดลับ 11: ด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากชื่ออะไร

คำจำกัดความคล้ายกับครั้งแรก สามเหลี่ยมมุมฉากคือรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านสองด้านตั้งฉาก

ด้านตรงข้ามมุมฉากและขา

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและมุมป้าน ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของมุมจะเรียกง่ายๆ ว่าด้าน ด้านข้างมีชื่อเรียกอื่นๆ ส่วนที่อยู่ติดกับมุมฉากเรียกว่าขา ด้านตรงข้ามมุมฉากเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก แปลจากภาษากรีกคำว่า "ด้านตรงข้ามมุมฉาก" หมายถึง "ยืด" และ "ขา" - "ตั้งฉาก"

ความสัมพันธ์ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขา

ด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากเชื่อมต่อกันด้วยอัตราส่วนบางอัตราส่วน ซึ่งช่วยให้คำนวณได้ง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น เมื่อทราบขนาดของขาแล้ว คุณสามารถคำนวณความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากได้ อัตราส่วนนี้ ตั้งชื่อตามผู้ค้นพบ เรียกว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัส และมีลักษณะดังนี้:

c2=a2+b2 โดยที่ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก a และ b คือขา นั่นคือด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับสแควร์รูทของผลรวมของกำลังสองของขา ในการหาขาใดๆ ก็เพียงพอแล้วที่จะลบกำลังสองของขาอีกข้างหนึ่งออกจากกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากและแยกรากที่สองออกจากผลต่างที่เกิดขึ้น

ข้างเคียงและขาตรงข้าม

วาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ACB ตัวอักษร C ใช้เพื่อแสดงถึงจุดยอดของมุมฉาก A และ B คือจุดยอดของมุมแหลม ด้านตรงข้ามแต่ละมุมจะเรียกสะดวกว่า a, b และ c ตามหลังชื่อของมุมที่อยู่ตรงข้ามกัน พิจารณามุม A ขา a เพราะมันจะอยู่ตรงข้าม ขา b - อยู่ติดกัน อัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉากเรียกว่า ฟังก์ชันตรีโกณมิตินี้สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร: sinA=a/c อัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉากเรียกว่าโคไซน์ คำนวณโดยสูตร: cosA=b/c

ดังนั้น เมื่อรู้มุมและด้านใดด้านหนึ่ง จึงสามารถคำนวณอีกด้านหนึ่งโดยใช้สูตรเหล่านี้ได้ ขาทั้งสองข้างยังเชื่อมต่อกันด้วยความสัมพันธ์ทางตรีโกณมิติ อัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิดเรียกว่าแทนเจนต์ และอัตราส่วนของด้านประชิดกับด้านตรงข้ามเรียกว่าโคแทนเจนต์ อัตราส่วนเหล่านี้สามารถแสดงได้ด้วยสูตร tgA=a/b หรือ ctgA=b/a

สามเหลี่ยมมุมฉากมีอยู่เกือบทุกมุม ความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของตัวเลขนี้ ตลอดจนความสามารถในการคำนวณพื้นที่ จะเป็นประโยชน์กับคุณอย่างไม่ต้องสงสัย ไม่เพียงแต่สำหรับการแก้ปัญหาในเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังรวมถึงในสถานการณ์ในชีวิตด้วย

เรขาคณิตสามเหลี่ยม

ในเรขาคณิตเบื้องต้น สามเหลี่ยมมุมฉากคือตัวเลขที่ประกอบด้วยส่วนที่เชื่อมต่อกันสามส่วนซึ่งประกอบเป็นมุมสามมุม (มุมแหลมสองมุมและมุมตรงหนึ่งมุม) สามเหลี่ยมมุมฉากเป็นรูปดั้งเดิม โดยมีลักษณะสำคัญหลายประการที่เป็นรากฐานของตรีโกณมิติ ด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าต่างจากรูปสามเหลี่ยมทั่วไป:

• ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก
• ขา - ส่วนที่เป็นมุมฉาก ขึ้นอยู่กับมุมที่พิจารณา ขาสามารถอยู่ติดกับมัน (สร้างมุมนี้ด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก) หรือตรงข้าม (นอนอยู่ตรงข้ามมุม) ไม่มีขาสำหรับรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยม

มันคืออัตราส่วนของขาและด้านตรงข้ามมุมฉากที่เป็นพื้นฐานของตรีโกณมิติ: ไซน์ แทนเจนต์ และซีแคนต์ ถูกกำหนดให้เป็นอัตราส่วนของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมมุมฉากในความเป็นจริง

ตัวเลขนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในความเป็นจริง สามเหลี่ยมถูกใช้ในการออกแบบและเทคโนโลยี ดังนั้นการคำนวณพื้นที่ของรูปจึงต้องทำโดยวิศวกร สถาปนิก และนักออกแบบ ฐานของจัตุรมุขหรือปริซึมมีรูปทรงสามเหลี่ยม - ตัวเลขสามมิติที่ง่ายต่อการพบในชีวิตประจำวัน นอกจากนี้ สี่เหลี่ยมจัตุรัสยังเป็นตัวแทนที่ง่ายที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉาก "แบน" ในความเป็นจริง สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นเครื่องมือช่างทำกุญแจ การวาดภาพ การก่อสร้าง และช่างไม้ ที่ใช้สร้างมุมโดยทั้งเด็กนักเรียนและวิศวกร

พื้นที่สามเหลี่ยม

พื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตเป็นการประมาณการเชิงปริมาณของระนาบที่ล้อมรอบด้วยด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมธรรมดาหาได้ 5 วิธี โดยใช้สูตรของนกกระสาหรือการคำนวณโดยใช้ตัวแปรต่างๆ เช่น ฐาน ด้าน มุม และรัศมีของวงกลมที่จารึกหรือล้อมรอบ สูตรพื้นที่ที่ง่ายที่สุดจะแสดงเป็น:

โดยที่ a คือด้านของรูปสามเหลี่ยม h คือความสูง

สูตรคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นง่ายกว่า:

โดยที่ a และ b คือขา

เมื่อใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ของเรา คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้พารามิเตอร์สามคู่:

• สองขา;
• ขาและมุมที่อยู่ติดกัน
• ขาและมุมตรงข้าม

ในงานหรือสถานการณ์ในชีวิตประจำวัน คุณจะได้รับชุดค่าผสมต่างๆ ดังนั้นเครื่องคิดเลขรูปแบบนี้จะช่วยให้คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมได้หลายวิธี ลองดูตัวอย่างสองสามตัวอย่าง

ตัวอย่างชีวิตจริง

กระเบื้องเซรามิก

สมมติว่าคุณต้องการวางแนวผนังห้องครัวด้วยกระเบื้องเซรามิกซึ่งมีรูปร่างเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก เพื่อกำหนดปริมาณการใช้กระเบื้อง คุณต้องหาพื้นที่ขององค์ประกอบของการหุ้มและพื้นที่ทั้งหมดของพื้นผิวที่จะรับการรักษา สมมติว่าคุณต้องดำเนินการ 7 ตารางเมตร ความยาวของขาขององค์ประกอบหนึ่งคือ 19 ซม. จากนั้นพื้นที่ของกระเบื้องจะเท่ากับ:

ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ขององค์ประกอบหนึ่งคือ 24.5 ตารางเซนติเมตรหรือ 0.01805 ตารางเมตร เมื่อทราบพารามิเตอร์เหล่านี้แล้ว คุณสามารถคำนวณได้ว่าหากต้องการสร้างกำแพงให้เสร็จ 7 ตารางเมตร คุณจะต้องใช้กระเบื้องหันหน้าไปทาง 7 / 0.01805 = 387

งานโรงเรียน

สมมติว่าในโจทย์เรขาคณิตของโรงเรียน จำเป็นต้องหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยรู้เพียงว่าด้านหนึ่งของขาข้างหนึ่งคือ 5 ซม. และค่าของมุมตรงข้ามคือ 30 องศา เครื่องคิดเลขออนไลน์ของเรามีภาพประกอบแสดงด้านและมุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก ถ้าด้าน a = 5 ซม. แล้วมุมตรงข้ามของมันคือมุมอัลฟา เท่ากับ 30 องศา ป้อนข้อมูลนี้ลงในแบบฟอร์มเครื่องคิดเลขและรับผลลัพธ์:

ดังนั้นเครื่องคิดเลขไม่เพียงแต่คำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่กำหนด แต่ยังกำหนดความยาวของขาที่อยู่ติดกันและด้านตรงข้ามมุมฉากตลอดจนค่าของมุมที่สอง

บทสรุป

สามเหลี่ยมสี่เหลี่ยมมีอยู่ในชีวิตของเราอย่างแท้จริงในทุกมุม การกำหนดพื้นที่ของตัวเลขดังกล่าวจะเป็นประโยชน์กับคุณไม่เพียง แต่ในการแก้ปัญหาการมอบหมายของโรงเรียนในเรขาคณิต แต่ยังรวมถึงกิจกรรมประจำวันและในวิชาชีพด้วย

สามเหลี่ยมเป็นรูปเรขาคณิตแบนที่มีมุมหนึ่งเท่ากับ 90 ° ในเวลาเดียวกัน ในเรขาคณิต มักจะต้องคำนวณพื้นที่ของตัวเลขดังกล่าว วิธีการทำเช่นนี้เราจะบอกเพิ่มเติม

สูตรที่ง่ายที่สุดในการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ข้อมูลเริ่มต้น โดยที่ a และ b คือด้านของสามเหลี่ยมที่ออกมาจากมุมฉาก

นั่นคือ พื้นที่เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของสองด้านที่ออกมาจากมุมฉาก แน่นอนว่ามีสูตรของนกกระสาที่ใช้คำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมธรรมดา แต่ในการหาค่านั้น คุณต้องรู้ความยาวของสามด้าน ดังนั้น คุณจะต้องคำนวณด้านตรงข้ามมุมฉาก และนี่คือช่วงต่อเวลาพิเศษ

หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้สูตรของนกกระสา

นี่เป็นสูตรที่รู้จักกันดีและเป็นสูตรดั้งเดิม แต่สำหรับสิ่งนี้ คุณจะต้องคำนวณด้านตรงข้ามมุมฉากตามสองขาโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ในสูตรนี้: a, b, c คือด้านของรูปสามเหลี่ยม และ p คือกึ่งปริมณฑล

หาพื้นที่สามเหลี่ยมมุมฉากจากด้านตรงข้ามมุมฉากและมุม

หากไม่ทราบปัญหาของคุณ คุณจะไม่สามารถใช้วิธีที่ง่ายที่สุดได้ ในการกำหนดค่าคุณต้องคำนวณความยาวของขา สิ่งนี้ทำได้โดยง่ายโดยด้านตรงข้ามมุมฉากและโคไซน์ของมุมที่รวมไว้

b=c×cos(α)

เมื่อรู้ความยาวของขาข้างหนึ่งโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส คุณสามารถคำนวณด้านที่สองที่ออกมาจากมุมฉากได้

b 2 \u003d c 2 -a 2

ในสูตรนี้ c และ a คือด้านตรงข้ามมุมฉากและขาตามลำดับ ตอนนี้คุณสามารถคำนวณพื้นที่โดยใช้สูตรแรก ในทำนองเดียวกันสามารถคำนวณขาข้างหนึ่งได้โดยพิจารณาจากวินาทีและมุม ในกรณีนี้ ด้านที่ต้องการด้านใดด้านหนึ่งจะเท่ากับผลคูณของขาและแทนเจนต์ของมุม มีวิธีอื่นๆ ในการคำนวณพื้นที่ แต่เมื่อรู้ทฤษฎีบทและกฎพื้นฐาน คุณสามารถหาค่าที่ต้องการได้อย่างง่ายดาย

หากคุณไม่มีด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยม แต่มีเพียงค่ามัธยฐานและมุมใดมุมหนึ่งเท่านั้น คุณสามารถคำนวณความยาวของด้านได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้คุณสมบัติของค่ามัธยฐานหารสามเหลี่ยมมุมฉากด้วยสอง ดังนั้น มันสามารถทำหน้าที่เป็นด้านตรงข้ามมุมฉากได้ถ้ามันออกมาจากมุมแหลม ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อหาความยาวของด้านของสามเหลี่ยมที่ออกมาจากมุมฉาก

อย่างที่คุณเห็น เมื่อทราบสูตรพื้นฐานและทฤษฎีบทพีทาโกรัสแล้ว คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากได้ โดยมีมุมและความยาวของด้านเดียวเท่านั้น