ความไม่เท่าเทียมเชิงเหตุผลกับโมดูลัส การแก้ความไม่เท่าเทียมกันด้วยโมดูลัส

วันนี้เพื่อน ๆ จะไม่มีน้ำมูกและอารมณ์ แต่ฉันจะส่งคุณเข้าสู่สนามรบกับหนึ่งในคู่ต่อสู้ที่น่าเกรงขามที่สุดในหลักสูตรพีชคณิตเกรด 8-9 โดยไม่มีคำถามเพิ่มเติม

ใช่ คุณเข้าใจทุกอย่างถูกต้อง: เรากำลังพูดถึงความไม่เท่าเทียมกันกับโมดูลัส เราจะดูเทคนิคพื้นฐานสี่ข้อที่คุณจะได้เรียนรู้วิธีแก้ปัญหาประมาณ 90% ของปัญหาเหล่านี้ แล้วอีก 10% ล่ะ? เราจะพูดถึงพวกเขาในบทเรียนแยกต่างหาก :)

อย่างไรก็ตาม ก่อนที่จะวิเคราะห์กลเม็ดต่างๆ ที่นั่น ฉันอยากจะระลึกถึงข้อเท็จจริงสองประการที่คุณจำเป็นต้องรู้อยู่แล้ว มิฉะนั้น คุณเสี่ยงที่จะไม่เข้าใจเนื้อหาของบทเรียนวันนี้เลย

สิ่งที่คุณต้องรู้อยู่แล้ว

Captain Evidence อย่างที่เคยเป็นมา บอกเป็นนัยว่าเพื่อแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันด้วยโมดูลัส คุณจำเป็นต้องรู้สองสิ่ง:

1. ความไม่เท่าเทียมกันได้รับการแก้ไขอย่างไร?
2. โมดูลคืออะไร

มาเริ่มกันที่จุดที่สอง

คำจำกัดความของโมดูล

ทุกอย่างง่ายที่นี่ มีสองคำจำกัดความ: พีชคณิตและกราฟิก เริ่มต้นด้วยพีชคณิต:

คำนิยาม. โมดูลของตัวเลข $x$ อาจเป็นตัวเลขก็ได้ ถ้าไม่ใช่ค่าลบ หรือเป็นตัวเลขตรงข้ามกับค่านั้น ถ้า $x$ เดิมยังคงเป็นค่าลบ

มันเขียนแบบนี้:

\"ซ้าย| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

พูดง่ายๆ คือ โมดูลัสคือ "ตัวเลขที่ไม่มีเครื่องหมายลบ" และมันอยู่ในความเป็นคู่นี้ (ในที่ที่คุณไม่จำเป็นต้องทำอะไรกับตัวเลขเดิม แต่บางแห่งคุณต้องลบเครื่องหมายลบออก) และความยากทั้งหมดสำหรับนักเรียนสามเณรอยู่

นอกจากนี้ยังมีคำจำกัดความทางเรขาคณิต การรู้ก็มีประโยชน์เช่นกัน แต่เราจะกล่าวถึงเฉพาะในกรณีที่ซับซ้อนและบางกรณีพิเศษ ซึ่งวิธีการทางเรขาคณิตสะดวกกว่าวิธีพีชคณิต (สปอยเลอร์: ไม่ใช่วันนี้)

คำนิยาม. ให้จุด $a$ ถูกทำเครื่องหมายบนเส้นจริง จากนั้นโมดูล $\left| x-a \right|$ คือระยะทางจากจุด $x$ ไปยังจุด $a$ ในบรรทัดนี้

หากคุณวาดภาพคุณจะได้สิ่งนี้:

ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง คุณสมบัติหลักของมันตามมาจากคำจำกัดความของโมดูลทันที: โมดูลัสของจำนวนนั้นเป็นค่าที่ไม่เป็นลบเสมอ. ความจริงข้อนี้จะกลายเป็นด้ายสีแดงที่ดำเนินเรื่องราวทั้งหมดของเราในวันนี้

การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน วิธีการเว้นวรรค

ทีนี้มาจัดการกับความไม่เท่าเทียมกันกัน มีจำนวนมาก แต่งานของเราตอนนี้คือต้องสามารถแก้ปัญหาอย่างน้อยที่สุดได้ สิ่งที่ถูกลดทอนเป็นอสมการเชิงเส้นตลอดจนวิธีการของช่วง

ฉันมีบทเรียนใหญ่สองบทในหัวข้อนี้ (แต่มีประโยชน์มาก ฉันแนะนำให้เรียน):

1. วิธีช่วงเวลาสำหรับความไม่เท่าเทียมกัน (โดยเฉพาะดูวิดีโอ)
2. ความไม่เท่าเทียมกันของเศษส่วน-ตรรกยะเป็นบทเรียนที่มากมายมหาศาล แต่หลังจากนั้น คุณจะไม่มีคำถามใดๆ เหลืออยู่เลย

หากคุณรู้ทั้งหมดนี้ หากวลี "ขอย้ายจากความไม่เท่าเทียมกันไปสู่สมการ" ไม่ได้ทำให้คุณอยากฆ่าตัวตายติดกำแพง แสดงว่าคุณพร้อมแล้ว: ยินดีต้อนรับสู่หัวข้อหลักของบทเรียน :)

1. ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ "โมดูลน้อยกว่าฟังก์ชัน"

นี่เป็นหนึ่งในงานที่พบบ่อยที่สุดกับโมดูล จำเป็นต้องแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม:

\"ซ้าย| f\right| \ltg\]

อะไรก็ตามที่สามารถใช้เป็นฟังก์ชัน $f$ และ $g$ ได้ แต่โดยปกติแล้วพวกมันจะเป็นพหุนาม ตัวอย่างของความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าว:

][\begin(align) & \left| 2x+3\right| \ltx+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\left| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

พวกเขาทั้งหมดได้รับการแก้ไขอย่างแท้จริงในบรรทัดเดียวตามรูปแบบ:

\"ซ้าย| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(จัดตำแหน่ง) \ขวา.\ขวา)\]

ง่ายที่จะเห็นว่าเรากำจัดโมดูลนี้ออกไป แต่เราจะได้ความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า (หรือระบบของความไม่เท่าเทียมกันสองอย่างซึ่งก็เหมือนกัน) แต่การเปลี่ยนแปลงนี้คำนึงถึงปัญหาที่เป็นไปได้ทั้งหมด: ถ้าตัวเลขใต้โมดูลเป็นค่าบวก วิธีการนี้ก็ใช้ได้ หากเป็นลบก็ยังใช้ได้ และถึงแม้จะมีฟังก์ชันไม่เพียงพอที่สุดแทนที่ $f$ หรือ $g$ วิธีการก็ยังใช้ได้

โดยธรรมชาติแล้ว คำถามก็เกิดขึ้น: ไม่ง่ายกว่าหรือ? น่าเสียดายที่คุณไม่สามารถ นี่คือจุดรวมของโมดูล

แต่พอเป็นปรัชญา มาแก้ปัญหาสองสามข้อ:

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\"ซ้าย| 2x+3\right| \ltx+7\]

สารละลาย. ดังนั้นเราจึงมีความไม่เท่าเทียมกันแบบคลาสสิกของรูปแบบ "โมดูลน้อยกว่า" - ไม่มีอะไรจะแปลงเลย เราทำงานตามอัลกอริทึม:

][\begin(align) & \left| f\right| \lt g\ลูกศรขวา -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3\right| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

อย่ารีบเร่งที่จะเปิดวงเล็บที่นำหน้าด้วย "ลบ": ค่อนข้างเป็นไปได้ว่าเพราะความเร่งรีบคุณจะทำผิดพลาด

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

ปัญหาลดลงเหลือสองความไม่เท่าเทียมกันเบื้องต้น เราสังเกตคำตอบของพวกเขาบนเส้นจริงคู่ขนาน:

ทางแยกมากมาย

จุดตัดของเซตเหล่านี้จะเป็นคำตอบ

คำตอบ: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\"ซ้าย| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

สารละลาย. งานนี้ยากขึ้นเล็กน้อย ในการเริ่มต้น เราแยกโมดูลโดยย้ายภาคการศึกษาที่สองไปทางขวา:

\"ซ้าย| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \right)\]

เห็นได้ชัดว่าเรามีความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ "โมดูลน้อยกว่า" ดังนั้นเราจึงกำจัดโมดูลตามอัลกอริทึมที่รู้จักแล้ว:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

ตอนนี้ความสนใจ: ใครบางคนจะบอกว่าฉันเป็นคนในทางที่ผิดกับวงเล็บเหล่านี้ทั้งหมด แต่ฉันเตือนคุณอีกครั้งว่าเป้าหมายหลักของเราคือ แก้ความไม่เท่าเทียมกันอย่างถูกต้องและรับคำตอบ. ต่อมา เมื่อคุณเชี่ยวชาญทุกอย่างที่อธิบายไว้ในบทเรียนนี้แล้ว คุณสามารถบิดเบือนตัวเองได้ตามต้องการ: เปิดวงเล็บ เพิ่มเครื่องหมายลบ ฯลฯ

และสำหรับการเริ่มต้น เราแค่กำจัดเครื่องหมายลบสองครั้งทางด้านซ้าย:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\left(x+1\right)\]

ทีนี้มาเปิดวงเล็บทั้งหมดในอสมการคู่กัน:

มาดูความไม่เท่าเทียมกันเป็นสองเท่ากัน คราวนี้การคำนวณจะจริงจังมากขึ้น:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(จัดตำแหน่ง) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( จัดตำแหน่ง)\right.\]

ความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองเป็นกำลังสองและถูกแก้ไขโดยวิธีช่วงเวลา (นั่นคือเหตุผลที่ฉันพูดว่า: ถ้าคุณไม่รู้ว่ามันคืออะไร จะดีกว่าที่จะไม่ดำเนินการกับโมดูล) เราส่งผ่านสมการในอสมการแรก:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

อย่างที่คุณเห็น ผลลัพธ์กลายเป็นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ซึ่งแก้ได้เบื้องต้น ทีนี้มาจัดการกับอสมการที่สองของระบบกัน ที่นั่นคุณต้องใช้ทฤษฎีบทของ Vieta:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

เราทำเครื่องหมายตัวเลขที่ได้รับบนเส้นคู่ขนานสองเส้น (แยกสำหรับความไม่เท่าเทียมกันแรกและแยกสำหรับเส้นที่สอง):

อีกครั้ง เนื่องจากเรากำลังแก้ไขระบบความไม่เท่าเทียมกัน เราจึงสนใจจุดตัดของเซตที่แรเงา: $x\in \left(-5;-2 \right)$ นี่คือคำตอบ

คำตอบ: $x\in \left(-5;-2 \right)$

ฉันคิดว่าหลังจากตัวอย่างเหล่านี้ โครงร่างการแก้ปัญหามีความชัดเจนมาก:

1. แยกโมดูลโดยย้ายพจน์อื่นๆ ทั้งหมดไปอยู่ฝั่งตรงข้ามของอสมการ ดังนั้นเราจะได้ค่าความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ $\left| f\right| \ltg$
2. แก้ไขความไม่เท่าเทียมกันนี้โดยกำจัดโมดูลตามที่อธิบายไว้ข้างต้น เมื่อถึงจุดหนึ่ง จำเป็นต้องย้ายจากอสมการสองเท่าไปเป็นระบบนิพจน์อิสระสองนิพจน์ ซึ่งแต่ละนิพจน์สามารถแก้ไขแยกกันได้แล้ว
3. สุดท้าย เหลือเพียงการข้ามคำตอบของนิพจน์อิสระทั้งสองนี้ - และนั่นคือมัน เราจะได้รับคำตอบสุดท้าย

มีอัลกอริธึมที่คล้ายกันสำหรับความไม่เท่าเทียมกันของประเภทต่อไปนี้ เมื่อโมดูลัสมากกว่าฟังก์ชัน อย่างไรก็ตาม มี "แต่" ที่จริงจังอยู่สองสามอย่าง เราจะพูดถึง "buts" เหล่านี้ในตอนนี้

2. ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ "โมดูลมีค่ามากกว่าฟังก์ชัน"

พวกเขามีลักษณะเช่นนี้:

\"ซ้าย| f\right| \gt g\]

คล้ายกับก่อนหน้านี้หรือไม่? ดูเหมือน. อย่างไรก็ตาม งานดังกล่าวได้รับการแก้ไขในวิธีที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง อย่างเป็นทางการโครงการมีดังนี้:

\"ซ้าย| f\right| \gt g\ลูกศรขวา \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราพิจารณาสองกรณี:

1. อันดับแรก เราเพียงแค่เพิกเฉยต่อโมดูล - เราแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันตามปกติ
2. อันที่จริงแล้ว เราเปิดโมดูลด้วยเครื่องหมายลบ จากนั้นเราคูณอสมการทั้งสองส่วนด้วย -1 ด้วยเครื่องหมาย

ในกรณีนี้ ตัวเลือกต่างๆ จะรวมกับวงเล็บเหลี่ยม กล่าวคือ เรามีข้อกำหนดสองประการร่วมกัน

ให้ความสนใจอีกครั้ง: ต่อหน้าเราไม่ใช่ระบบ แต่เป็นระบบดังนั้น โดยเฉลยเป็นเซตรวมกันไม่ตัดกัน. นี่คือความแตกต่างพื้นฐานจากย่อหน้าก่อนหน้า!

โดยทั่วไป นักเรียนหลายคนมักสับสนกับสหภาพแรงงานและทางแยก ดังนั้นเรามาดูปัญหานี้กันก่อนดีกว่า:

• "∪" เป็นเครื่องหมายต่อกัน อันที่จริงนี่คือตัวอักษร "U" ที่มีสไตล์ซึ่งมาจากภาษาอังกฤษและเป็นคำย่อของ "Union" เช่น "สมาคม".
• "∩" คือเครื่องหมายทางแยก อึนี้ไม่ได้มาจากที่ใด แต่ดูเหมือนเป็นการต่อต้าน "∪"

เพื่อให้จำง่ายยิ่งขึ้น เพียงเพิ่มขาที่สัญญาณเหล่านี้เพื่อทำแว่นตา (อย่าเพิ่งกล่าวหาว่าฉันส่งเสริมการติดยาและโรคพิษสุราเรื้อรัง: หากคุณกำลังศึกษาบทเรียนนี้อย่างจริงจัง แสดงว่าคุณติดยาอยู่แล้ว):

แปลเป็นภาษารัสเซียหมายถึงสิ่งต่อไปนี้: สหภาพ (ของสะสม) รวมองค์ประกอบจากทั้งสองชุดดังนั้นจึงไม่น้อยกว่าแต่ละชุด แต่ทางแยก (ระบบ) จะรวมเฉพาะองค์ประกอบที่อยู่ในชุดแรกและชุดที่สอง ดังนั้นจุดตัดของเซตจึงไม่มากกว่าชุดที่มา

มันจึงชัดเจนขึ้น? เป็นสิ่งที่ดี. ไปปฏิบัติกันต่อครับ

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\"ซ้าย| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]

สารละลาย. เราดำเนินการตามโครงการ:

\"ซ้าย| 3x+1 \right| \gt 5-4x\ลูกศรขวา \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ ขวา.\]

เราแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันของประชากรแต่ละอย่าง:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

เราทำเครื่องหมายแต่ละชุดผลลัพธ์บนเส้นจำนวน แล้วรวมเข้าด้วยกัน:

ยูเนี่ยนของเซต

เห็นได้ชัดว่าคำตอบคือ $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

คำตอบ: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\"ซ้าย| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gtx\]

สารละลาย. ดี? ไม่ มันเหมือนกันหมด เราส่งต่อจากความไม่เท่าเทียมกันที่มีโมดูลัสเป็นชุดของอสมการสองอย่าง:

\"ซ้าย| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\ลูกศรขวา \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(จัดตำแหน่ง) \right.\]

เราแก้ไขแต่ละความไม่เท่าเทียมกัน น่าเสียดายที่รากจะไม่ค่อยดีที่นั่น:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2) \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

ในอสมการที่สอง ยังมีเกมอีกเล็กน้อย:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

ตอนนี้ เราต้องทำเครื่องหมายตัวเลขเหล่านี้บนสองแกน - หนึ่งแกนสำหรับอสมการแต่ละอัน อย่างไรก็ตาม คุณต้องทำเครื่องหมายจุดตามลำดับที่ถูกต้อง ยิ่งจำนวนมาก จุดจะยิ่งเลื่อนไปทางขวามากขึ้น

และที่นี่เรากำลังรอการตั้งค่า หากทุกอย่างชัดเจนด้วยตัวเลข $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (เงื่อนไขในตัวเศษของตัวแรก เศษส่วนน้อยกว่าเงื่อนไขในตัวเศษของวินาที ดังนั้นผลรวมจึงน้อยกว่าด้วย) โดยมีตัวเลข $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ ก็จะไม่มีปัญหาเช่นกัน (จำนวนบวกที่ชัดเจนว่าเป็นลบมากกว่า) แต่สำหรับคู่สุดท้าย ทุกอย่างไม่ง่ายนัก อันไหนใหญ่กว่า: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ or $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? การจัดเรียงจุดบนเส้นจำนวนและที่จริงแล้วคำตอบจะขึ้นอยู่กับคำตอบของคำถามนี้

ลองเปรียบเทียบกัน:

\[\begin(เมทริกซ์) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(เมทริกซ์)\]

เราแยกราก ได้จำนวนไม่เป็นลบทั้งสองข้างของอสมการ เราจึงมีสิทธิ์ยกกำลังสองทั้งสองข้าง:

\[\begin(เมทริกซ์) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(เมทริกซ์)\]

ฉันคิดว่ามันไม่ใช่เกมง่ายๆ ที่ $4\sqrt(13) \gt 3$ ดังนั้น $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$ ในที่สุดคะแนนบนแกนจะถูกจัดเรียงดังนี้:

กรณีรากเหง้า

ผมขอเตือนคุณว่าเรากำลังแก้เซต ดังนั้นคำตอบจะเป็นการรวมตัว ไม่ใช่จุดตัดของเซตที่แรเงา

คำตอบ: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

อย่างที่คุณเห็น แบบแผนของเราใช้งานได้ดีทั้งสำหรับงานธรรมดาและงานที่ยากมาก "จุดอ่อน" เพียงอย่างเดียวในแนวทางนี้คือ คุณต้องเปรียบเทียบจำนวนอตรรกยะให้ถูกต้อง (และเชื่อฉันเถอะ: สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่แค่ราก) แต่จะแยกบทเรียน (และจริงจังมาก) ให้กับคำถามเปรียบเทียบ และเราก้าวต่อไป

3. ความไม่เท่าเทียมกันกับ "ก้อย" ที่ไม่เป็นลบ

ดังนั้นเราจึงได้สิ่งที่น่าสนใจที่สุด นี่คือความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ:

\"ซ้าย| f\right| \gt\left| g\right|\]

โดยทั่วไป อัลกอริธึมที่เราจะพูดถึงตอนนี้เป็นจริงสำหรับโมดูลเท่านั้น มันทำงานในอสมการทั้งหมดที่มีการรับประกันนิพจน์ที่ไม่ใช่ค่าลบทางซ้ายและขวา:

จะทำอย่างไรกับงานเหล่านี้? เพียงจำไว้ว่า:

ในความไม่เท่าเทียมกันกับหางที่ไม่เป็นลบ ทั้งสองฝ่ายสามารถยกกำลังตามธรรมชาติใดๆ ก็ได้ จะไม่มีข้อจำกัดเพิ่มเติม

ก่อนอื่นเราจะสนใจการยกกำลังสอง - มันเผาโมดูลและราก:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

อย่าสับสนกับการรูทของสแควร์:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

เกิดข้อผิดพลาดนับไม่ถ้วนเมื่อนักเรียนลืมติดตั้งโมดูล! แต่นี่เป็นเรื่องราวที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง (ตามที่เคยเป็นมา สมการไม่ลงตัว) ดังนั้นเราจะไม่พูดถึงตอนนี้ มาแก้ปัญหาสองสามข้อกันดีกว่า:

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\"ซ้าย| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

สารละลาย. เราสังเกตเห็นสองสิ่งทันที:

1. นี่คือความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่เข้มงวด แต้มบนเส้นจำนวนจะถูกชกออก
2. เห็นได้ชัดว่าความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองด้านนั้นไม่เป็นลบ (นี่เป็นคุณสมบัติของโมดูล: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$)

ดังนั้น เราสามารถยกกำลังสองของอสมการทั้งสองข้างเพื่อกำจัดโมดูลัสและแก้ปัญหาโดยใช้วิธีช่วงเวลาปกติ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)) \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

ในขั้นตอนสุดท้าย ฉันโกงเล็กน้อย: ฉันเปลี่ยนลำดับของพจน์ โดยใช้ความเท่าเทียมกันของโมดูลัส (อันที่จริง ฉันคูณนิพจน์ $1-2x$ ด้วย −1)

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ ขวา)\right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

เราแก้โดยวิธีช่วงเวลา มาเปลี่ยนจากความไม่เท่าเทียมกันเป็นสมการกัน:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

เราทำเครื่องหมายรากที่พบบนเส้นจำนวน อีกครั้ง: ทุกประเด็นถูกแรเงาเพราะความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมนั้นไม่เข้มงวด!

การกำจัดสัญญาณโมดูล

ผมขอเตือนคุณสำหรับคนที่ดื้อรั้นเป็นพิเศษ: เรานำสัญญาณจากอสมการสุดท้าย ซึ่งเขียนไว้ก่อนที่จะไปยังสมการ และเราทาสีทับพื้นที่ที่จำเป็นในความไม่เท่าเทียมกันเดียวกัน ในกรณีของเรา นี่คือ $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$

นั่นคือทั้งหมดที่ แก้ไขปัญหา.

คำตอบ: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\"ซ้าย| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

สารละลาย. เราทำทุกอย่างเหมือนกัน ฉันจะไม่แสดงความคิดเห็น - เพียงแค่ดูลำดับของการกระทำ

ลองยกกำลังสองมัน:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ ขวา))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

วิธีการเว้นวรรค:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ ลูกศรขวา x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

มีเพียงหนึ่งรูทบนเส้นจำนวน:

คำตอบคือช่วงทั้งหมด

คำตอบ: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

หมายเหตุเล็กน้อยเกี่ยวกับงานสุดท้าย ตามที่นักเรียนคนหนึ่งของฉันระบุไว้อย่างถูกต้อง นิพจน์ย่อยทั้งสองในความไม่เท่าเทียมกันนี้เป็นไปในทางบวกอย่างเห็นได้ชัด ดังนั้น สามารถละเครื่องหมายโมดูลัสได้โดยไม่เป็นอันตรายต่อสุขภาพ

แต่นี่เป็นระดับความคิดที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงและเป็นแนวทางที่แตกต่างออกไป - สามารถเรียกได้ว่าเป็นวิธีการของผลตามเงื่อนไข เกี่ยวกับเขา - ในบทเรียนแยกต่างหาก และตอนนี้ มาต่อกันที่ส่วนสุดท้ายของบทเรียนวันนี้ และพิจารณาอัลกอริธึมสากลที่ได้ผลเสมอ แม้ว่าวิธีการก่อนหน้านี้ทั้งหมดจะไร้อำนาจ :)

4. วิธีการแจงนับตัวเลือก

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเทคนิคทั้งหมดเหล่านี้ใช้ไม่ได้ผล หากไม่สามารถลดความไม่เท่าเทียมกันเป็นหางที่ไม่เป็นลบได้ หากไม่สามารถแยกโมดูลได้ หากความเจ็บปวด-ความโศกเศร้า-โหยหา

จากนั้น "ปืนใหญ่" ของคณิตศาสตร์ทั้งหมดก็เข้ามาในที่เกิดเหตุ - วิธีการแจงนับ สำหรับความไม่เท่าเทียมกันของโมดูลัส จะมีลักษณะดังนี้:

1. เขียนนิพจน์โมดูลย่อยทั้งหมดและจัดให้เท่ากับศูนย์
2. แก้สมการผลลัพธ์และทำเครื่องหมายรากที่พบบนเส้นจำนวนหนึ่ง
3. เส้นตรงจะถูกแบ่งออกเป็นหลายส่วน โดยแต่ละโมดูลจะมีเครื่องหมายตายตัวและขยายออกอย่างชัดเจน
4. แก้ไขความไม่เท่าเทียมกันในแต่ละส่วน (คุณสามารถแยกการพิจารณารากของขอบเขตที่ได้รับในวรรค 2 - เพื่อความน่าเชื่อถือ) รวมผลลัพธ์ - นี่จะเป็นคำตอบ :)

ยังไงดี? อ่อนแอ? อย่างง่ายดาย! เป็นเวลานานเท่านั้น มาดูกันในทางปฏิบัติ:

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\"ซ้าย| x+2 \right| \lt\left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

สารละลาย. อึนี้ไม่ได้ต้มถึงความไม่เท่าเทียมกันเช่น $\left| f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ หรือ $\left| f\right| \lt\left| g \right|$ งั้นไปกันเลย

เราเขียนนิพจน์ submodule ให้เท่ากับศูนย์และค้นหาราก:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & x+2=0\ลูกศรขวา x=-2; \\ & x-1=0\ลูกศรขวา x=1 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

โดยรวมแล้ว เรามีรากที่สองที่แบ่งเส้นจำนวนออกเป็นสามส่วน โดยในแต่ละโมดูลจะถูกเปิดเผยอย่างไม่ซ้ำกัน:

การแบ่งเส้นจำนวนด้วยศูนย์ของฟังก์ชัน submodular

ลองพิจารณาแต่ละส่วนแยกกัน

1. ให้ $x \lt -2$ จากนั้นนิพจน์โมดูลย่อยทั้งสองจะเป็นค่าลบ และอสมการดั้งเดิมจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

เรามีข้อจำกัดที่ค่อนข้างง่าย ลองตัดกับสมมติฐานเดิมว่า $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

แน่นอน ตัวแปร $x$ พร้อมกันต้องไม่ต่ำกว่า −2 แต่มากกว่า 1.5 พร้อมกัน ไม่มีวิธีแก้ปัญหาในพื้นที่นี้

1.1. แยกกันพิจารณากรณีขอบเขต: $x=-2$ ลองแทนตัวเลขนี้ลงในอสมการเดิมแล้วตรวจดูว่ามีไหม

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \right|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

เห็นได้ชัดว่าห่วงโซ่ของการคำนวณได้นำเราไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันที่ผิด ดังนั้น อสมการดั้งเดิมจึงเป็นเท็จด้วย และ $x=-2$ ไม่รวมอยู่ในคำตอบ

2. ตอนนี้ให้ $-2 \lt x \lt 1$ โมดูลด้านซ้ายจะเปิดขึ้นด้วย "บวก" แต่โมดูลด้านขวายังคงมี "ลบ" เรามี:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

เราตัดกับข้อกำหนดเดิมอีกครั้ง:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

และอีกครั้ง ชุดคำตอบว่าง เนื่องจากไม่มีตัวเลขใดที่ทั้งน้อยกว่า −2.5 และมากกว่า −2

2.1. และกรณีพิเศษอีกครั้ง: $x=1$. เราแทนที่ความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\right| \lt\left| 0 \right|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

ในทำนองเดียวกันกับ "กรณีพิเศษ" ก่อนหน้านี้ หมายเลข $x=1$ จะไม่รวมอยู่ในคำตอบอย่างชัดเจน

3. ชิ้นสุดท้ายของบรรทัด: $x \gt 1$ ที่นี่โมดูลทั้งหมดถูกขยายด้วยเครื่องหมายบวก:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(จัดตำแหน่ง)\ ]

และอีกครั้งเราตัดชุดที่พบด้วยข้อจำกัดเดิม:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \ขวา)\]

ในที่สุด! เราพบช่วงเวลาซึ่งจะเป็นคำตอบ

คำตอบ: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

สุดท้าย บันทึกหนึ่งที่อาจช่วยคุณจากความผิดพลาดที่โง่เขลาเมื่อแก้ปัญหาจริง:

การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันกับโมดูลมักจะเป็นชุดต่อเนื่องบนเส้นจำนวน - ช่วงเวลาและส่วน จุดแยกนั้นหายากกว่ามาก และยิ่งไม่ค่อยเกิดขึ้นที่ขอบเขตของโซลูชัน (จุดสิ้นสุดของส่วน) ตรงกับขอบเขตของช่วงที่พิจารณา

ดังนั้น หากขอบเขต ("กรณีพิเศษเดียวกัน") ไม่รวมอยู่ในคำตอบ พื้นที่ทางซ้าย-ขวาของขอบเขตเหล่านี้แทบจะไม่รวมอยู่ในคำตอบเช่นกัน และในทางกลับกัน: ชายแดนเข้ามาตอบสนอง ซึ่งหมายความว่าบางพื้นที่โดยรอบก็จะตอบสนองด้วย

โปรดระลึกไว้เสมอว่าเมื่อคุณตรวจสอบวิธีแก้ไขปัญหาของคุณ

คณิตศาสตร์ เป็นสัญลักษณ์ของภูมิปัญญาของวิทยาศาสตร์,

ตัวอย่างของความเข้มงวดทางวิทยาศาสตร์และความเรียบง่าย,

มาตรฐานความสมบูรณ์แบบและความสวยงามทางวิทยาศาตร์

นักปรัชญาชาวรัสเซีย ศาสตราจารย์ A.V. โวโลชินอฟ

ความไม่เท่าเทียมกันของโมดูโล

ปัญหาที่ยากที่สุดในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ของโรงเรียนคือความไม่เท่าเทียมกัน, มีตัวแปรภายใต้สัญลักษณ์โมดูล เพื่อแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวให้สำเร็จ จำเป็นต้องรู้คุณสมบัติของโมดูลให้ดีและมีทักษะในการใช้งาน

แนวคิดและคุณสมบัติพื้นฐาน

โมดูลัส (ค่าสัมบูรณ์) ของจำนวนจริงหมายถึง และกำหนดไว้ดังนี้

คุณสมบัติอย่างง่ายของโมดูลรวมถึงความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

และ .

บันทึก, ว่าคุณสมบัติสองประการสุดท้ายถือเป็นระดับใดก็ได้

นอกจากนี้ ถ้า ที่ไหน แล้ว และ

คุณสมบัติโมดูลที่ซับซ้อนมากขึ้น, ซึ่งสามารถนำไปใช้ในการแก้สมการและความไม่เท่าเทียมกันได้อย่างมีประสิทธิภาพด้วยโมดูล, ถูกกำหนดโดยวิธีทฤษฎีบทต่อไปนี้:

ทฤษฎีบทที่ 1สำหรับฟังก์ชั่นการวิเคราะห์ใดๆและ ความไม่เท่าเทียมกัน.

ทฤษฎีบท 2ความเท่าเทียมกัน เท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน.

ทฤษฎีบทที่ 3ความเท่าเทียมกัน เท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน.

ความไม่เท่าเทียมกันที่พบบ่อยที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียน, มีตัวแปรที่ไม่รู้จักภายใต้เครื่องหมายโมดูโล, คือความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบและที่ไหน ค่าคงที่บวกบางส่วน

ทฤษฎีบทที่ 4ความไม่เท่าเทียมกัน เท่ากับอสมการสองเท่า, และการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันลดลงเพื่อแก้ชุดของความไม่เท่าเทียมกันและ .

ทฤษฎีบทนี้เป็นกรณีเฉพาะของทฤษฎีบท 6 และ 7

ความไม่เท่าเทียมกันที่ซับซ้อนมากขึ้น, ที่มีโมดูลเป็นความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ, และ .

วิธีการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันสามารถกำหนดได้โดยใช้สามทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบทที่ 5ความไม่เท่าเทียมกัน เทียบเท่ากับการรวมกันของสองระบบของอสมการ

และ (1)

การพิสูจน์.ตั้งแต่นั้นมา

นี่แสดงถึงความถูกต้องของ (1)

ทฤษฎีบทที่ 6ความไม่เท่าเทียมกัน เทียบเท่ากับระบบอสมการ

การพิสูจน์.เพราะ , แล้วจากความไม่เท่าเทียมกันตามนั้น . ภายใต้เงื่อนไขนี้ ความไม่เท่าเทียมกันและในกรณีนี้ ระบบที่สองของความไม่เท่าเทียมกัน (1) กลับกลายเป็นว่าไม่สอดคล้องกัน

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบทที่ 7ความไม่เท่าเทียมกัน เท่ากับการรวมกันของอสมการหนึ่งและระบบอสมการสองระบบ

และ (3)

การพิสูจน์.ตั้งแต่ นั้นความไม่เท่าเทียมกัน ถูกประหารชีวิตเสมอ, ถ้า .

ปล่อยให้เป็น แล้วความไม่เท่าเทียมกันจะเท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน, ซึ่งเซตของอสมการสองอย่างตามมาและ .

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

พิจารณาตัวอย่างทั่วไปของการแก้ปัญหาในหัวข้อ “ความไม่เท่าเทียมกัน, มีตัวแปรภายใต้สัญลักษณ์โมดูล

การแก้ความไม่เท่าเทียมกันด้วยโมดูลัส

วิธีที่ง่ายที่สุดในการแก้อสมการด้วยโมดูลัสคือวิธี, ขึ้นอยู่กับการขยายโมดูล วิธีนี้เป็นวิธีทั่วไป, อย่างไรก็ตาม ในกรณีทั่วไป การประยุกต์ใช้อาจทำให้การคำนวณยุ่งยากมาก ดังนั้นนักเรียนควรทราบวิธีการและเทคนิคอื่น (มีประสิทธิภาพมากขึ้น) ในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าว โดยเฉพาะอย่างยิ่ง, ต้องมีทักษะในการใช้ทฤษฎีบท, ระบุไว้ในบทความนี้

ตัวอย่างที่ 1แก้ความไม่เท่าเทียมกัน

. (4)

สารละลาย.ความไม่เท่าเทียมกัน (4) จะได้รับการแก้ไขโดยวิธี "คลาสสิก" - วิธีการขยายโมดูล ด้วยเหตุนี้ เราจึงแบ่งแกนตัวเลขจุดและ เป็นระยะและพิจารณาสามกรณี

1. ถ้า , , , , และความไม่เท่าเทียมกัน (4) ใช้รูปแบบหรือ .

เนื่องจากกรณีนี้ได้รับการพิจารณาที่นี่ จึงเป็นวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน (4)

2. ถ้า , จากนั้นจากความไม่เท่าเทียมกัน (4) เราได้รับหรือ . ตั้งแต่จุดตัดของช่วงเวลาและ มันว่างเปล่า, จึงไม่มีวิธีแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน (4) ในช่วงเวลาที่พิจารณา

3. ถ้า , จากนั้นความไม่เท่าเทียมกัน (4) ใช้รูปแบบหรือ . เห็นได้ชัดว่า ยังเป็นวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน (4)

ตอบ: , .

ตัวอย่าง 2แก้ความไม่เท่าเทียมกัน.

สารละลาย.สมมุติว่า. เพราะ , แล้วอสมการที่ให้มาจะอยู่ในรูปหรือ . ตั้งแต่นั้นมา และด้วยเหตุนี้จึงตามมาหรือ .

อย่างไรก็ตาม ดังนั้น หรือ

ตัวอย่างที่ 3แก้ความไม่เท่าเทียมกัน

. (5)

สารละลาย.เพราะ , แล้วความไม่เท่าเทียมกัน (5) ก็เท่ากับความไม่เท่าเทียมกันหรือ . จากที่นี่, ตามทฤษฎีบท 4, เรามีชุดของความไม่เท่าเทียมกันและ .

ตอบ: , .

ตัวอย่างที่ 4แก้ความไม่เท่าเทียมกัน

. (6)

สารละลาย.แสดงว่า. จากความไม่เท่าเทียมกัน (6) เราได้รับความไม่เท่าเทียมกัน , หรือ

จากที่นี่, โดยใช้วิธีเว้นระยะ, เราได้รับ . เพราะ , ทีนี้เราก็มีระบบความไม่เท่าเทียมกัน

คำตอบของความไม่เท่าเทียมกันของระบบ (7) คือการรวมกันของสองช่วงเวลาและ , และคำตอบของอสมการที่สองคืออสมการสองเท่า. นี่หมายความว่า ว่าการแก้ระบบอสมการ (7) คือการรวมกันของสองช่วงและ .

ตอบ: ,

ตัวอย่างที่ 5แก้ความไม่เท่าเทียมกัน

. (8)

สารละลาย. เราแปลงความไม่เท่าเทียมกัน (8) ดังนี้:

หรือ .

การใช้วิธีการเว้นระยะ, เราได้รับวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน (8)

ตอบ: .

บันทึก. ถ้าเราใส่และอยู่ในเงื่อนไขของทฤษฎีบท 5 เราก็จะได้ .

ตัวอย่างที่ 6แก้ความไม่เท่าเทียมกัน

. (9)

สารละลาย. จากความไม่เท่าเทียมกัน (9) ดังนี้. เราแปลงความไม่เท่าเทียมกัน (9) ดังนี้:

หรือ

ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

ตอบ: .

ตัวอย่าง 7แก้ความไม่เท่าเทียมกัน

. (10)

สารละลาย.ตั้งแต่ และ จากนั้น หรือ .

ในการเชื่อมต่อนี้ และความไม่เท่าเทียมกัน (10) ใช้รูปแบบ

หรือ

. (11)

จากนี้ไปว่า หรือ . ตั้งแต่นั้นมา ความไม่เท่าเทียมกัน (11) ก็หมายถึง หรือ .

ตอบ: .

บันทึก. หากเราใช้ทฤษฎีบท 1 ทางด้านซ้ายของอสมการ (10)แล้วเราจะได้ . จากที่นี่และจากความไม่เท่าเทียมกัน (10) มันตามมา, นั่น หรือ . เพราะ , จากนั้นความไม่เท่าเทียมกัน (10) อยู่ในรูปแบบหรือ .

ตัวอย่างที่ 8แก้ความไม่เท่าเทียมกัน

. (12)

สารละลาย.ตั้งแต่นั้นมา และความไม่เท่าเทียมกัน (12) หมายถึงหรือ . อย่างไรก็ตาม ดังนั้น หรือ จากนี้ไปเราจะได้ หรือ .

ตอบ: .

ตัวอย่างที่ 9แก้ความไม่เท่าเทียมกัน

. (13)

สารละลาย.ตามทฤษฎีบท 7 คำตอบของความไม่เท่าเทียมกัน (13) คือ หรือ

ปล่อยให้ตอนนี้ ในกรณีนี้ และความไม่เท่าเทียมกัน (13) อยู่ในรูปแบบหรือ .

ถ้าเรารวมช่วงเวลาและ , แล้วเราจะได้วิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน (13) ของแบบฟอร์ม.

ตัวอย่าง 10แก้ความไม่เท่าเทียมกัน

. (14)

สารละลาย.ให้เราเขียนความไม่เท่าเทียมกัน (14) ใหม่ในรูปแบบที่เทียบเท่า: หากเราใช้ทฤษฎีบท 1 ทางด้านซ้ายของอสมการนี้ เราจะได้อสมการ

จากที่นี่และจากทฤษฎีบทที่ 1 ได้ดังนี้, ความไม่เท่าเทียมกันนั้น (14) เป็นที่พอใจสำหรับค่าใด ๆ.

คำตอบ: หมายเลขใด ๆ

ตัวอย่างที่ 11แก้ความไม่เท่าเทียมกัน

. (15)

สารละลาย. ใช้ทฤษฎีบท 1 ทางด้านซ้ายของอสมการ (15), เราได้รับ . จากที่นี่และจากความไม่เท่าเทียมกัน (15) เป็นไปตามสมการ, ซึ่งดูเหมือน.

ตามทฤษฎีบท 3, สมการ เท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน. จากนี้ไปเราจะได้.

ตัวอย่างที่ 12แก้ความไม่เท่าเทียมกัน

. (16)

สารละลาย. จากความไม่เท่าเทียมกัน (16) ตามทฤษฎีบท 4 เราได้รับระบบของความไม่เท่าเทียมกัน

เมื่อแก้ความไม่เท่าเทียมกันเราใช้ทฤษฎีบท 6 และรับระบบความไม่เท่าเทียมกันต่อจากนี้ไป.

พิจารณาความไม่เท่าเทียมกัน. ตามทฤษฎีบท7, เราได้รับชุดของความไม่เท่าเทียมกันและ . ความไม่เท่าเทียมกันของประชากรที่สองถือเป็นจริงใดๆ.

เพราะเหตุนี้ , คำตอบของความไม่เท่าเทียมกัน (16) คือ.

ตัวอย่างที่ 13แก้ความไม่เท่าเทียมกัน

. (17)

สารละลาย.ตามทฤษฎีบท 1 เราสามารถเขียน

(18)

โดยคำนึงถึงความไม่เท่าเทียมกัน (17) เราสรุปได้ว่าความไม่เท่าเทียมกันทั้งสอง (18) กลายเป็นความเท่าเทียมกัน กล่าวคือ มีระบบสมการ

ตามทฤษฎีบทที่ 3 ระบบสมการนี้เทียบเท่ากับระบบอสมการ

หรือ

ตัวอย่าง 14แก้ความไม่เท่าเทียมกัน

. (19)

สารละลาย.ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ให้เราคูณความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองส่วน (19) ด้วยนิพจน์ ซึ่งสำหรับค่าใด ๆ จะใช้ค่าบวกเท่านั้น จากนั้นเราจะได้ความไม่เท่าเทียมกันที่เทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน (19) ของรูปแบบ

จากนี้ไปเราจะได้ หรือ ที่ไหน . ตั้งแต่และ แล้วคำตอบของความไม่เท่าเทียมกัน (19) คือและ .

ตอบ: , .

สำหรับการศึกษาวิธีการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันอย่างลึกซึ้งยิ่งขึ้นด้วยโมดูล ขอแนะนำให้ดูบทช่วยสอน, อยู่ในรายการแนะนำการอ่าน

1. รวบรวมงานคณิตศาสตร์สำหรับผู้สมัครเข้ามหาวิทยาลัยเทคนิค / อ. เอ็มไอ สกานาวี. - ม.: โลกและการศึกษา, 2556. - 608 น.

2. สุพรรณ ว. คณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนมัธยมปลาย: วิธีการแก้และพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน – ม.: เลนันด์ / URSS, 2018. - 264 น.

3. สุพรรณ ว. คณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนมัธยมปลาย: วิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐาน - ม.: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 น.

คุณมีคำถามใด ๆ หรือไม่?

เพื่อรับความช่วยเหลือจากติวเตอร์ - ลงทะเบียน

เว็บไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

วิธีการ (กฎ) สำหรับการเปิดเผยความไม่เท่าเทียมกันกับโมดูลประกอบด้วยการเปิดเผยโมดูลตามลำดับในขณะที่ใช้ช่วงเวลาของสัญญาณคงที่ของฟังก์ชันย่อย ในเวอร์ชันสุดท้าย จะได้รับความไม่เท่าเทียมกันหลายประการจากการค้นหาช่วงเวลาหรือช่องว่างที่ตรงกับเงื่อนไขของปัญหา

มาดูการแก้ตัวอย่างที่ใช้กันทั่วไปในทางปฏิบัติกัน

ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นกับโมดูล

โดยเชิงเส้น เราหมายถึงสมการที่ตัวแปรเข้าสู่สมการเชิงเส้น

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน

สารละลาย:
จากเงื่อนไขของปัญหาที่โมดูลจะกลายเป็นศูนย์ที่ x=-1 และ x=-2 จุดเหล่านี้แบ่งแกนตัวเลขออกเป็นช่วงๆ

ในแต่ละช่วงเหล่านี้ เราจะแก้ความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนด ในการทำเช่นนี้ ก่อนอื่น เราวาดแบบกราฟิกของพื้นที่ของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชัน submodular พวกมันถูกวาดเป็นพื้นที่ที่มีสัญลักษณ์ของแต่ละหน้าที่

หรือช่วงที่มีสัญญาณของการทำงานทั้งหมด

ในช่วงแรก เปิดโมดูล

เราคูณทั้งสองส่วนด้วยลบหนึ่ง ในขณะที่เครื่องหมายในอสมการจะเปลี่ยนไปทางตรงข้าม หากคุณคุ้นเคยกับกฎนี้ได้ยาก คุณสามารถย้ายแต่ละส่วนออกไปนอกเครื่องหมายเพื่อกำจัดเครื่องหมายลบ ในที่สุดคุณจะได้รับ

จุดตัดของเซต x>-3 ที่มีพื้นที่ซึ่งแก้สมการได้จะเป็นช่วง (-3;-2) สำหรับผู้ที่มองหาวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกได้ง่ายขึ้น คุณสามารถวาดจุดตัดของพื้นที่เหล่านี้ได้

จุดตัดทั่วไปของพื้นที่จะเป็นแนวทางแก้ไข ด้วยความไม่สม่ำเสมออย่างเข้มงวด ขอบจะไม่รวมอยู่ด้วย ถ้า nonstrict ถูกตรวจสอบโดยการทดแทน

ในช่วงที่สอง เราจะได้

ส่วนนี้จะเป็นช่วง (-2; -5/3) แบบกราฟิก วิธีแก้ปัญหาจะมีลักษณะดังนี้

ในช่วงที่สาม เราจะได้

เงื่อนไขนี้ไม่ได้ให้คำตอบเกี่ยวกับพื้นที่ที่ต้องการ

เนื่องจากพบวิธีแก้ปัญหาทั้งสอง (-3;-2) และ (-2;-5/3) ล้อมรอบจุด x=-2 เราจึงตรวจสอบด้วย

ดังนั้นจุด x=-2 คือคำตอบ วิธีแก้ปัญหาทั่วไปโดยคำนึงถึงสิ่งนี้จะมีลักษณะดังนี้ (-3;5/3)

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

สารละลาย:
ศูนย์ของฟังก์ชันโมดูลย่อยจะเป็นจุด x=2, x=3, x=4 เมื่อค่าของอาร์กิวเมนต์น้อยกว่าจุดเหล่านี้ ฟังก์ชันของโมดูลย่อยจะเป็นค่าลบ และเมื่อค่ามีค่ามาก ค่าเหล่านั้นจะเป็นค่าบวก

จุดแบ่งแกนจริงออกเป็นสี่ช่วง เราเปิดโมดูลตามช่วงเวลาคงที่ของสัญญาณและแก้ความไม่เท่าเทียมกัน

1) ในช่วงแรก ฟังก์ชัน submodular ทั้งหมดเป็นค่าลบ ดังนั้น เมื่อขยายโมดูล เราจะเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้าม

จุดตัดของค่า x ที่พบกับช่วงเวลาที่พิจารณาจะเป็นเซตของจุด

2) ในช่วงเวลาระหว่างจุด x=2 และ x=3 ฟังก์ชันโมดูลย่อยแรกเป็นค่าบวก ฟังก์ชันที่สองและสามเป็นค่าลบ ขยายโมดูลเราได้รับ

ความไม่เท่าเทียมกันที่ตัดกับช่วงเวลาที่เรากำลังแก้ ให้คำตอบเดียว - x=3

3) ในช่วงเวลาระหว่างจุด x=3 และ x=4 ฟังก์ชันของโมดูลย่อยที่หนึ่งและที่สองเป็นค่าบวก และอันที่สามเป็นค่าลบ จากนี้เราได้รับ

เงื่อนไขนี้แสดงว่าช่วงเวลาทั้งหมดจะตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันกับโมดูล

4) สำหรับค่า x>4 ฟังก์ชันทั้งหมดเป็นสัญญาณบวก เมื่อขยายโมดูล เราจะไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย

เงื่อนไขที่พบที่จุดตัดกับช่วงเวลาให้ชุดของคำตอบต่อไปนี้

เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันได้รับการแก้ไขในทุกช่วง มันยังคงต้องหาค่าร่วมของค่า x ที่พบทั้งหมด การแก้ปัญหาคือสองช่วง

ตัวอย่างนี้ได้รับการแก้ไขแล้ว

ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน
||x-1|-5|>3-2x

สารละลาย:
เรามีความไม่เท่าเทียมกันกับโมดูลจากโมดูล ความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวจะถูกเปิดเผยเมื่อมีการซ้อนโมดูล โดยเริ่มจากโมดูลที่อยู่ลึกลงไป

ฟังก์ชันโมดูลย่อย x-1 ถูกแปลงเป็นศูนย์ที่จุด x=1 สำหรับค่าที่น้อยกว่า 1 จะเป็นค่าลบและเป็นบวกสำหรับ x>1 . จากสิ่งนี้ เราเปิดโมดูลภายในและพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันในแต่ละช่วงเวลา

ก่อนอื่นให้พิจารณาช่วงเวลาจากลบอนันต์ถึงหนึ่ง

ฟังก์ชันโมดูลย่อยเป็นศูนย์ที่จุด x=-4 สำหรับค่าที่น้อยกว่าจะเป็นค่าบวก สำหรับค่าที่มากกว่าจะเป็นค่าลบ ขยายโมดูลสำหรับ x<-4:

ที่จุดตัดกับพื้นที่ที่เราพิจารณา เราได้รับชุดโซลูชัน

ขั้นตอนต่อไปคือการขยายโมดูลในช่วงเวลา (-4; 1)

โดยคำนึงถึงพื้นที่ขยายของโมดูล เราได้รับช่วงเวลาของการแก้ปัญหา

ข้อควรจำ: หากคุณได้รับช่วงเวลาสองช่วงที่มีพรมแดนติดกับจุดร่วมในความผิดปกติดังกล่าวกับโมดูล ตามกฎแล้ว นี่เป็นวิธีแก้ปัญหาด้วย

ในการทำเช่นนี้คุณเพียงแค่ต้องตรวจสอบ

ในกรณีนี้ เราแทนจุด x=-4

ดังนั้น x=-4 คือคำตอบ
ขยายโมดูลด้านในสำหรับ x>1

ฟังก์ชันโมดูลย่อยเป็นค่าลบสำหรับ x<6.
ขยายโมดูลเราได้รับ

เงื่อนไขนี้ในส่วนที่มีช่วงเวลา (1;6) ให้ชุดคำตอบที่ว่างเปล่า

สำหรับ x>6 เราจะได้ค่าอสมการ

การแก้ด้วยเราได้เซตว่าง
จากที่กล่าวมาทั้งหมด ทางออกเดียวสำหรับความไม่เท่าเทียมกันกับโมดูลคือช่วงเวลาต่อไปนี้

ความไม่เท่าเทียมกันกับโมดูลที่มีสมการกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 4 ค้นหาวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน
|x^2+3x|>=2-x^2

สารละลาย:
ฟังก์ชันโมดูลย่อยหายไปที่จุด x=0, x=-3 โดยการแทนที่อย่างง่ายลบหนึ่ง

เราตั้งค่าให้มีค่าน้อยกว่าศูนย์ในช่วงเวลา (-3; 0) และบวกเกินกว่านั้น
ขยายโมดูลในพื้นที่ที่ฟังก์ชันโมดูลย่อยเป็นค่าบวก

มันยังคงกำหนดพื้นที่ที่ฟังก์ชันกำลังสองเป็นค่าบวก ในการทำเช่นนี้ เรากำหนดรากของสมการกำลังสอง

เพื่อความสะดวก เราแทนที่จุด x=0 ซึ่งเป็นของช่วง (-2;1/2) ฟังก์ชันเป็นค่าลบในช่วงเวลานี้ ดังนั้นคำตอบจะเป็นเซตต่อไปนี้ x

ในที่นี้ วงเล็บระบุขอบของพื้นที่ด้วยวิธีแก้ปัญหาซึ่งทำโดยเจตนาโดยคำนึงถึงกฎต่อไปนี้

ข้อควรจำ: หากความไม่เท่าเทียมกันของโมดูลหรือความไม่เท่าเทียมกันอย่างง่ายนั้นเข้มงวด แสดงว่าขอบของพื้นที่ที่พบนั้นไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา แต่ถ้าความไม่เท่าเทียมกันนั้นไม่เข้มงวด () แสดงว่าขอบนั้นเป็นวิธีแก้ปัญหา (ระบุด้วยวงเล็บเหลี่ยม)

ครูหลายคนใช้กฎนี้: หากกำหนดความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวด และคุณเขียนวงเล็บเหลี่ยม ([,]) ลงในโซลูชันระหว่างการคำนวณ ครูจะถือว่านี่เป็นคำตอบที่ไม่ถูกต้องโดยอัตโนมัติ นอกจากนี้ เมื่อทำการทดสอบ หากระบุความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่เข้มงวดกับโมดูล ให้มองหาพื้นที่ที่มีวงเล็บเหลี่ยมในวิธีแก้ไข

ในช่วงเวลา (-3; 0) การขยายโมดูลเราเปลี่ยนเครื่องหมายของฟังก์ชันเป็นตรงกันข้าม

โดยคำนึงถึงขอบเขตของการเปิดเผยความไม่เท่าเทียมกัน การแก้ปัญหาจะมีรูปแบบ

ร่วมกับพื้นที่ก่อนหน้านี้ จะให้สองช่วงครึ่ง

ตัวอย่างที่ 5. ค้นหาวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน
9x^2-|x-3|>=9x-2

สารละลาย:
ให้ความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่เข้มงวด ซึ่งฟังก์ชันของโมดูลย่อยมีค่าเท่ากับศูนย์ที่จุด x=3 ค่าที่น้อยกว่าจะเป็นค่าลบ ค่าที่มากกว่าจะเป็นค่าบวก เราขยายโมดูลในช่วงเวลา x<3.

การหาความแตกต่างของสมการ

และราก

แทนที่จุดศูนย์ เราพบว่าในช่วง [-1/9; 1] ฟังก์ชันกำลังสองเป็นลบ ดังนั้นช่วงเวลาจึงเป็นคำตอบ ถัดไป เปิดโมดูลสำหรับ x>3

โมดูโลจำนวนตัวเลขนี้เรียกว่าถ้ามันไม่เป็นลบหรือเป็นจำนวนเดียวกันกับเครื่องหมายตรงข้ามถ้ามันเป็นลบ

ตัวอย่างเช่น โมดูลัสของ 6 คือ 6 และโมดูลัสของ -6 ก็คือ 6 เช่นกัน

นั่นคือโมดูลัสของตัวเลขเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นค่าสัมบูรณ์ซึ่งเป็นค่าสัมบูรณ์ของตัวเลขนี้โดยไม่คำนึงถึงเครื่องหมาย

แสดงดังต่อไปนี้: |6|, | X|, |แต่| ฯลฯ

(สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดูส่วน "โมดูลของตัวเลข")

สมการโมดูโล

ตัวอย่างที่ 1 . แก้สมการ|10 X - 5| = 15.

สารละลาย.

ตามกฎแล้วสมการจะเทียบเท่ากับการรวมกันของสองสมการ:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

เราตัดสินใจ:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

ตอบ: X 1 = 2, X 2 = -1.

ตัวอย่าง 2 . แก้สมการ|2 X + 1| = X + 2.

สารละลาย.

เนื่องจากโมดูลัสเป็นจำนวนไม่เป็นลบ ดังนั้น X+ 2 ≥ 0 ดังนั้น:

X ≥ -2.

เราสร้างสมการสองสมการ:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

เราตัดสินใจ:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

ตัวเลขทั้งสองมีค่ามากกว่า -2 ทั้งสองจึงเป็นรากของสมการ

ตอบ: X 1 = -1, X 2 = 1.

ตัวอย่างที่ 3 . แก้สมการ

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

สารละลาย.

สมการนี้สมเหตุสมผลถ้าตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์ - ดังนั้น if X≠ 1. ลองพิจารณาเงื่อนไขนี้ การดำเนินการแรกของเรานั้นง่าย - เราไม่เพียงแค่กำจัดเศษส่วน แต่เราแปลงมันเพื่อให้โมดูลอยู่ในรูปแบบที่บริสุทธิ์ที่สุด:

|X+ 3| - 1 = 4 ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

ตอนนี้ เรามีเฉพาะนิพจน์ใต้โมดูลัสทางด้านซ้ายของสมการ ก้าวต่อไป.
โมดูลัสของตัวเลขเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ กล่าวคือ ต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราจึงแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

ดังนั้นเราจึงมีเงื่อนไขที่สอง: รากของสมการต้องมีอย่างน้อย 3/4

ตามกฎ เราเขียนชุดสมการสองสมการแล้วแก้สมการ:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

เราได้รับสองคำตอบ ลองดูว่าเป็นรากของสมการเดิมหรือไม่

เรามีสองเงื่อนไข: รากของสมการไม่สามารถเท่ากับ 1 และต้องมีอย่างน้อย 3/4 เช่น X ≠ 1, X≥ 3/4 เงื่อนไขทั้งสองนี้สอดคล้องกับหนึ่งในสองคำตอบที่ได้รับเท่านั้น - ตัวเลข 2 ดังนั้น มีเพียงรากเหง้าของสมการดั้งเดิมเท่านั้น

ตอบ: X = 2.

ความไม่เท่าเทียมกันกับโมดูลัส

ตัวอย่างที่ 1 . แก้ความไม่เท่าเทียมกัน| X - 3| < 4

สารละลาย.

กฎของโมดูลกล่าวว่า:

|แต่| = แต่, ถ้า แต่ ≥ 0.

|แต่| = -แต่, ถ้า แต่ < 0.

โมดูลัสสามารถมีได้ทั้งจำนวนที่ไม่เป็นลบและจำนวนลบ ดังนั้นเราต้องพิจารณาทั้งสองกรณี: X- 3 ≥ 0 และ X - 3 < 0.

1) เมื่อไร X- 3 ≥ 0 ความไม่เท่าเทียมกันเดิมของเรายังคงเหมือนเดิม โดยไม่มีเครื่องหมายโมดูโล:
X - 3 < 4.

2) เมื่อ X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

เปิดวงเล็บเราได้รับ:

-X + 3 < 4.

ดังนั้น จากสองเงื่อนไขนี้ เราจึงได้รวมระบบสองระบบที่ไม่เท่าเทียมกัน:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

มาแก้ปัญหากัน:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

ดังนั้น ในคำตอบของเรา เรามีการรวมกันของสองชุด:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

กำหนดค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุด เหล่านี้คือ -1 และ 7 ในเวลาเดียวกัน Xมากกว่า -1 แต่น้อยกว่า 7
นอกจากนี้, X≥ 3 ดังนั้น คำตอบของความไม่เท่าเทียมกันคือชุดของตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ -1 ถึง 7 ไม่รวมจำนวนสุดขั้วเหล่านี้

ตอบ: -1 < X < 7.

หรือ: X ∈ (-1; 7).

ส่วนเสริม.

1) มีวิธีที่ง่ายกว่าและสั้นกว่าในการแก้ความไม่เท่าเทียมกันของเรา - แบบกราฟิก เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้วาดแกนนอน (รูปที่ 1)

การแสดงออก | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки Xถึงจุดที่ 3 น้อยกว่าสี่หน่วย เราทำเครื่องหมายหมายเลข 3 บนแกนและนับ 4 ส่วนทางซ้ายและขวาของมัน ทางด้านซ้ายเราจะมาที่จุด -1 ทางด้านขวา - ไปยังจุดที่ 7 ดังนั้นจุด Xเราเพิ่งเห็นโดยไม่ต้องคำนวณ

นอกจากนี้ ตามเงื่อนไขความไม่เท่าเทียมกัน -1 และ 7 เองไม่รวมอยู่ในชุดคำตอบ ดังนั้นเราจึงได้คำตอบว่า

1 < X < 7.

2) แต่มีวิธีแก้ปัญหาอื่นที่ง่ายกว่าวิธีกราฟิก ในการดำเนินการนี้ จะต้องนำเสนอความไม่เท่าเทียมกันในรูปแบบต่อไปนี้:

4 < X - 3 < 4.

ท้ายที่สุด ก็เป็นเช่นนี้ตามกฎของโมดูล จำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบ 4 และจำนวนลบ -4 ที่คล้ายกันคือขอบเขตของคำตอบของความไม่เท่าเทียมกัน

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

ตัวอย่าง 2 . แก้ความไม่เท่าเทียมกัน| X - 2| ≥ 5

สารละลาย.

ตัวอย่างนี้แตกต่างอย่างมากจากตัวอย่างก่อนหน้านี้ ด้านซ้ายมีค่ามากกว่า 5 หรือเท่ากับ 5 จากมุมมองทางเรขาคณิต การแก้สมการอสมการคือตัวเลขทั้งหมดที่อยู่ห่างจากจุดที่ 2 ตั้งแต่ 5 หน่วยขึ้นไป (รูปที่ 2) กราฟแสดงให้เห็นว่าตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวเลขทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ -3 และมากกว่าหรือเท่ากับ 7 ดังนั้น เราได้รับคำตอบแล้ว

ตอบ: -3 ≥ X ≥ 7.

ระหว่างทาง เราแก้อสมการเดียวกันโดยจัดเรียงเทอมอิสระใหม่ทางซ้ายและขวาด้วยเครื่องหมายตรงข้าม:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

คำตอบเหมือนกัน: -3 ≥ X ≥ 7.

หรือ: X ∈ [-3; 7]

ตัวอย่างที่แก้ไข

ตัวอย่างที่ 3 . แก้ความไม่เท่าเทียมกัน 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

สารละลาย.

ตัวเลข Xอาจเป็นค่าบวก ค่าลบ หรือศูนย์ก็ได้ ดังนั้น เราต้องคำนึงถึงทั้งสามสถานการณ์ ดังที่คุณทราบ สิ่งเหล่านี้ถูกนำมาพิจารณาในสองความไม่เท่าเทียมกัน: X≥ 0 และ X < 0. При X≥ 0 เราเพียงแค่เขียนอสมการเดิมของเราใหม่ตามที่เป็นอยู่ โดยไม่มีเครื่องหมายโมดูโล:

6x2 - X - 2 ≤ 0.

สำหรับกรณีที่สอง: if X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

การขยายวงเล็บ:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

ดังนั้นเราจึงได้รับสมการสองระบบ:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

เราจำเป็นต้องแก้ความไม่เท่าเทียมกันในระบบ - ซึ่งหมายความว่าเราต้องหารากของสมการกำลังสองสองสมการ ในการทำเช่นนี้ เราเอาด้านซ้ายมือของอสมการให้เป็นศูนย์

มาเริ่มกันที่อันแรกกันเลย:

6X 2 - X - 2 = 0.

วิธีแก้สมการกำลังสอง - ดูส่วน "สมการกำลังสอง" เราจะตั้งชื่อคำตอบทันที:

X 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3

จากระบบแรกของความไม่เท่าเทียมกัน เราได้คำตอบของความไม่เท่าเทียมกันเดิมคือชุดของตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ -1/2 ถึง 2/3 เราเขียนสหภาพการแก้ปัญหาสำหรับ X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

ทีนี้ลองแก้สมการกำลังสองที่สองกัน:

6X 2 + X - 2 = 0.

รากของมัน:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

บทสรุป: เมื่อไร X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

มารวมสองคำตอบเข้าด้วยกันแล้วได้คำตอบสุดท้าย คำตอบคือชุดของตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ -2/3 ถึง 2/3 รวมถึงจำนวนสุดขั้วเหล่านี้ด้วย

ตอบ: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

หรือ: X ∈ [-2/3; 2/3].