إظهار أنواع الكسور. الكسور الموجبة والسالبة

هل تريد أن تشعر وكأنك خبير في الطب؟ إذن هذا الدرس لك! لأننا الآن سوف ندرس الكسور - هذه أشياء رياضية بسيطة وغير ضارة تتفوق على بقية مقرر الجبر في قدرتها على "إخراج الدماغ".

الخطر الرئيسي للكسور هو أنها تحدث في الحياه الحقيقيه. في هذا تختلف ، على سبيل المثال ، عن كثيرات الحدود واللوغاريتمات ، والتي يمكن اجتيازها ونسيانها بسهولة بعد الاختبار. لذلك ، يمكن تسمية المادة المقدمة في هذا الدرس ، دون مبالغة ، بالمتفجرات.

الكسر الرقمي (أو الكسر ببساطة) هو زوج من الأعداد الصحيحة مكتوب من خلال شرطة مائلة أو شريط أفقي.

الكسور المكتوبة من خلال شريط أفقي:

نفس الكسور مكتوبة بشرطة مائلة:
5/7; 9/(−30); 64/11; (−1)/4; 12/1.

عادةً ما تتم كتابة الكسور بخط أفقي - يسهل التعامل معها وتبدو أفضل. الرقم المكتوب في الأعلى يسمى بسط الكسر ، والرقم المكتوب في الأسفل يسمى المقام.

يمكن تمثيل أي عدد صحيح في صورة كسر مقامه 1. على سبيل المثال ، 12 = 12/1 هو الكسر من المثال أعلاه.

بشكل عام ، يمكنك وضع أي عدد صحيح في بسط الكسر ومقامه. القيد الوحيد هو أن المقام يجب أن يكون مختلفًا عن الصفر. تذكر القاعدة القديمة الجيدة: "لا يمكنك القسمة على صفر!"

إذا كان المقام لا يزال صفراً ، يسمى الكسر غير محدد. مثل هذا السجل لا معنى له ولا يمكنه المشاركة في الحسابات.

الخاصية الأساسية لكسر

يسمى الكسران a / b و c / d بالتساوي إذا كان ad = bc.

من هذا التعريف يترتب على ذلك أن نفس الكسر يمكن كتابته بطرق مختلفة. على سبيل المثال ، 1/2 = 2/4 لأن 1 4 = 2 2. بالطبع ، هناك العديد من الكسور التي لا تساوي بعضها البعض. على سبيل المثال ، 1/3 ≠ 5/4 لأن 1 4 ≠ 3 5.

يطرح سؤال معقول: كيف نوجد كل الكسور التي تساوي واحدًا معينًا؟ نعطي الجواب في شكل تعريف:

الخاصية الرئيسية للكسر هي أنه يمكن ضرب البسط والمقام في نفس العدد بخلاف الصفر. سينتج عن ذلك كسر يساوي الجزء المعطى.

هذا جدا خاصية مهمة- تذكر ذلك. بمساعدة الخاصية الأساسية للكسر ، يمكن تبسيط العديد من التعبيرات وتقصيرها. في المستقبل ، سوف "تظهر" باستمرار في الشكل خصائص مختلفةوالنظريات.

الكسور غير الصحيحة. اختيار الجزء كله

إذا كان البسط أقل من المقام ، فإن هذا الكسر يسمى مناسب. بخلاف ذلك (أي عندما يكون البسط أكبر من المقام أو على الأقل مساويًا له) ، يُطلق على الكسر كسر غير فعلي ، ويمكن تمييز جزء صحيح فيه.

الجزء الصحيح مكتوب على هيئة عدد كبير أمام الكسر ويبدو كالتالي (باللون الأحمر):

لعزل الجزء كله في كسر غير فعلي ، عليك اتباع ثلاث خطوات بسيطة:

1. أوجد عدد مرات احتواء المقام في البسط. بعبارة أخرى ، أوجد الحد الأقصى للعدد الصحيح الذي سيظل ، عند ضربه في المقام ، أقل من البسط (في الحالة القصوى ، يساوي). سيكون هذا الرقم هو الجزء الصحيح ، لذلك نكتبه في المقدمة ؛
2. اضرب المقام في العدد الصحيح الموجود في الخطوة السابقة ، واطرح الناتج من البسط. يُطلق على "كعب" الناتج باقي القسمة ، ويكون دائمًا موجبًا (في الحالات القصوى ، صفر). نكتبه في بسط الكسر الجديد ؛
3. نعيد كتابة المقام دون تغيير.

حسنًا ، هل هذا صعب؟ للوهلة الأولى ، قد يكون الأمر صعبًا. لكن الأمر يتطلب القليل من الممارسة - وستفعل ذلك بشكل شبه شفهي. في الوقت الحالي ، ألق نظرة على الأمثلة:

مهمة. حدد الجزء الكامل في الكسور المعطاة:

في جميع الأمثلة ، يتم تمييز الجزء الصحيح باللون الأحمر ، وبقية القسمة باللون الأخضر.

انتبه إلى الكسر الأخير ، حيث تبين أن باقي القسمة صفر. اتضح أن البسط مقسوم تمامًا على المقام. هذا منطقي تمامًا ، لأن 24: 6 \ u003d 4 حقيقة قاسية من جدول الضرب.

إذا تم كل شيء بشكل صحيح ، فإن بسط الكسر الجديد سيكون بالضرورة أقل من المقام ، أي يصبح الكسر صحيحًا. وألاحظ أيضًا أنه من الأفضل إبراز الجزء بأكمله في نهاية المهمة ، قبل كتابة الإجابة. خلاف ذلك ، يمكنك تعقيد الحسابات بشكل كبير.

الانتقال إلى كسر غير فعلي

هناك أيضًا عملية عكسية ، عندما نتخلص من الجزء بالكامل. هذا يسمى انتقال الكسر غير الفعلي وهو أكثر شيوعًا لأن التعامل مع الكسور غير الصحيحة أسهل بكثير.

يتم الانتقال إلى كسر غير حقيقي أيضًا في ثلاث خطوات:

1. اضرب الجزء الصحيح في المقام. يمكن أن تكون النتيجة تماما أعداد كبيرة، لكن لا يجب أن نشعر بالحرج ؛
2. أضف الرقم الناتج إلى بسط الكسر الأصلي. اكتب النتيجة في بسط الكسر غير الفعلي ؛
3. أعد كتابة المقام - مرة أخرى ، لا تغيير.

فيما يلي أمثلة محددة:

مهمة. ترجمة الى جزء غير لائق:

من أجل الوضوح ، يتم تمييز الجزء الصحيح مرة أخرى باللون الأحمر ، وبسط الكسر الأصلي باللون الأخضر.

ضع في اعتبارك الحالة التي يحتوي فيها بسط أو مقام الكسر رقم سالب. علي سبيل المثال:

من حيث المبدأ ، لا يوجد شيء إجرامي في هذا. ومع ذلك ، قد يكون العمل مع هذه الكسور غير مريح. لذلك ، من المعتاد في الرياضيات أخذ الطرح كعلامة كسر.

من السهل جدًا القيام بذلك إذا كنت تتذكر القواعد:

1. زائد ضرب ناقص يساوي ناقص. لذلك ، إذا كان البسط رقمًا سالبًا والمقام موجبًا (أو العكس) ، فلا تتردد في شطب السالب ووضعه أمام الكسر بالكامل ؛
2. "سلبيتان تؤكّدان". عندما يكون السالب في كل من البسط والمقام ، فإننا ببساطة نقوم بشطبهما - لا يلزم اتخاذ أي إجراء إضافي.

بالطبع ، يمكن أيضًا تطبيق هذه القواعد في الاتجاه المعاكس ، أي يمكنك إضافة ناقص تحت علامة الكسر (في أغلب الأحيان - في البسط).

نحن عمدا لا ننظر في قضية "زائد على زائد" - أعتقد أنه معه ، كل شيء واضح على أي حال. دعنا نلقي نظرة على كيفية عمل هذه القواعد في الممارسة:

مهمة. أخرج ناقص الكسور الأربعة المكتوبة أعلاه.

انتبه إلى الكسر الأخير: يوجد أمامه بالفعل علامة ناقص. ومع ذلك ، يتم "حرقها" وفقًا لقاعدة "ناقص سالب يعطي زائد".

أيضًا ، لا تنقل السالب في الكسور ذات الجزء الصحيح المحدد. يتم تحويل هذه الكسور أولاً إلى كسور غير صحيحة - وبعد ذلك فقط تبدأ في الحساب.

البسط والذي يقسم عليه هو المقام.

لكتابة كسر ، اكتب البسط أولاً ، ثم ارسم خطًا أفقيًا تحت هذا الرقم ، واكتب المقام أسفل الخط. يسمى الخط الأفقي الذي يفصل بين البسط والمقام بشريط كسري. في بعض الأحيان يتم تصويره على أنه "/" أو "" مائل. في هذه الحالة ، يُكتب البسط على يسار السطر والمقام على يمينه. لذلك ، على سبيل المثال ، سيتم كتابة الكسر "الثلثين" في صورة 2/3. من أجل التوضيح ، عادة ما يكتب البسط في أعلى السطر ، والمقام في الأسفل ، أي بدلاً من 2/3 ، يمكنك أن تجد: ⅔.

لحساب حاصل ضرب الكسور ، اضرب أولًا بسط واحد كسورلبسط آخر. اكتب النتيجة على بسط الجديد كسور. ثم اضرب القواسم أيضًا. حدد القيمة النهائية في الجديد كسور. على سبيل المثال ، 1/3؟ 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1 ؛ 3 × 5 = 15).

لقسمة كسر على آخر ، اضرب أولًا بسط الكسر الأول في مقام الكسر الثاني. افعل الشيء نفسه مع الكسر الثاني (المقسوم عليه). أو ، قبل تنفيذ جميع الخطوات ، "اقلب" أولاً المقسوم ، إذا كان ذلك أكثر ملاءمة لك: يجب أن يكون المقام مكان البسط. ثم اضرب مقام المقسوم في المقام الجديد للمقسوم عليه واضرب البسط. على سبيل المثال ، 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5 ؛ 3 × 1 = 3).

مصادر:

• المهام الأساسية للكسور

تسمح لك الأعداد الكسرية بالتعبير عنها شكل مختلف القيمة الدقيقةكميات. باستخدام الكسور ، يمكنك إجراء نفس العمليات الحسابية كما هو الحال مع الأعداد الصحيحة: الطرح والجمع والضرب والقسمة. لتتعلم كيف تقرر كسور، من الضروري تذكر بعض ميزاتها. يعتمدون على النوع كسور، وجود جزء صحيح ، قاسم مشترك. تتطلب بعض العمليات الحسابية بعد التنفيذ تقليل الجزء الكسري من النتيجة.

سوف تحتاج

• - آلة حاسبة

تعليمات

انظر بعناية إلى الأرقام. إذا كانت هناك أعداد عشرية وغير منتظمة بين الكسور ، فمن الملائم أحيانًا تنفيذ الإجراءات أولاً باستخدام الكسور العشرية ، ثم تحويلها إلى الشكل الخطأ. هل يمكنك الترجمة كسورفي هذه الصورة مبدئيًا ، اكتب القيمة بعد الفاصلة العشرية في البسط ووضع 10 في المقام. إذا لزم الأمر ، قلل الكسر بقسمة الأرقام أعلاه وأسفل على قاسم واحد. الكسور التي يظهر فيها الجزء بالكامل تؤدي إلى الشكل الخطأ بضربه في المقام وإضافة البسط إلى النتيجة. القيم المعطاةسيصبح البسط الجديد كسور. لاستخراج الجزء الكامل من الخطأ في البداية كسور، تقسيم البسط من قبل القاسم. اكتب النتيجة الكاملة من كسور. ويصبح باقي القسمة هو البسط الجديد ، وهو المقام كسوربينما لا يتغير. بالنسبة للكسور ذات الجزء الصحيح ، من الممكن تنفيذ الإجراءات بشكل منفصل ، أولاً للعدد الصحيح ثم للأجزاء الكسرية. على سبيل المثال ، يمكن حساب مجموع 1 2/3 و 2:
- تحويل الكسور إلى صيغة خاطئة:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12 ؛
- جمع منفصل للأجزاء الصحيحة والكسرية من المصطلحات:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1 + 2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 / 12.

أعد كتابتها من خلال الفاصل ":" واستمر في القسمة المعتادة.

للحصول على النتيجة النهائية ، قلل الكسر الناتج عن طريق قسمة البسط والمقام على عدد واحد صحيح ، وهو أكبر عدد ممكن في هذه الحالة. في هذه الحالة ، يجب أن يكون هناك أعداد صحيحة أعلى وتحت السطر.

ملاحظة

لا تحسب الكسور ذات المقامات المختلفة. اختر رقمًا بحيث يكون عند ضرب البسط والمقام لكل كسر به ، ونتيجة لذلك ، فإن مقامات كلا الكسرين متساوية.

نصيحة مفيدة

عند التسجيل أعداد كسريةيتم كتابة المقسوم فوق الخط. يشار إلى هذه الكمية على أنها بسط الكسر. تحت السطر ، يتم كتابة القاسم أو المقام في الكسر. على سبيل المثال ، سيتم كتابة كيلوغرام ونصف من الأرز على شكل كسر بالطريقة الآتية: 1 / كيلو أرز. إذا كان مقام الكسر 10 ، يسمى كسر عشري. في هذه الحالة ، يُكتب البسط (المقسوم) على يمين الجزء بالكامل مفصولاً بفاصلة: 1.5 كجم من الأرز. لتسهيل العمليات الحسابية ، يمكن دائمًا كتابة هذا الكسر في شكل خاطئ: 1 2/10 كجم من البطاطس. للتبسيط ، يمكنك تقليل قيم البسط والمقام بقسمة عدد صحيح واحد. في هذا المثاليمكن القسمة على 2. والنتيجة ستكون 1 1/5 كجم من البطاطس. تأكد من أن الأرقام التي ستقوم بحسابها بنفس الشكل.

الكسر المشترك

أرباع

1. الانتظام. أو بهناك قاعدة تسمح لك بالتعرف بشكل فريد بينهما على علاقة واحدة فقط من العلاقات الثلاث: "< », « >'أو' = '. هذه القاعدة تسمى ترتيب القاعدةويتم صياغته على النحو التالي: رقمان غير سالبين ويرتبطان بنفس العلاقة مثل عددين صحيحين و ؛ رقمين غير موجبين أو بترتبط بنفس العلاقة مثل رقمين غير سالبين و ؛ إذا فجأة أغير سلبي و ب- سلبي إذن أ > ب. src = "/ pictures / wiki / files / 57 /.png" border = "0">

   

   جمع الكسور

2. عملية الإضافة.لأية أرقام منطقية أو بهناك ما يسمى ب حكم الجمع ج. ومع ذلك ، فإن الرقم نفسه جمسمى مجموعأعداد أو بويتم الإشارة إليه ، وتسمى عملية العثور على هذا الرقم خلاصة. قاعدة الجمع لها العرض التالي: .
3. عملية الضرب.لأية أرقام منطقية أو بهناك ما يسمى ب قاعدة الضرب، مما يجعلها متوافقة مع عدد منطقي ج. ومع ذلك ، فإن الرقم نفسه جمسمى الشغلأعداد أو بويتم الإشارة إليه ، وتسمى أيضًا عملية العثور على هذا الرقم عمليه الضرب. قاعدة الضرب هي كما يلي: .
4. انتقالية علاقة الترتيب.لأي ثلاثة أعداد منطقية أ , بو جإذا أأقل بو بأقل ج، ومن بعد أأقل ج، و إذا أيساوي بو بيساوي ج، ومن بعد أيساوي ج. 6435 "> تبادلية الجمع. لا يتغير المجموع عن تغيير مواضع المصطلحات المنطقية.
5. اتحاد الجمع.الترتيب الذي تتم به إضافة ثلاثة أرقام منطقية لا يؤثر على النتيجة.
6. وجود الصفر.يوجد رقم نسبي 0 يحافظ على كل رقم منطقي آخر عند جمعه.
7. وجود أرقام معاكسة.أي رقم نسبي له رقم نسبي معاكس ، والذي ، عند جمعه ، يعطي 0.
8. تبادلية الضرب.من خلال تغيير أماكن العوامل العقلانية ، لا يتغير المنتج.
9. اتحاد الضرب.الترتيب الذي يتم به ضرب ثلاثة أعداد منطقية لا يؤثر على النتيجة.
10. وجود وحدة.يوجد رقم نسبي 1 يحتفظ بكل رقم منطقي آخر عند ضربه.
11. وجود المعاملة بالمثل.أي عدد نسبي له رقم منطقي معكوس ، والذي عند ضربه ، نحصل على 1.
12. توزيعية الضرب بالنسبة إلى الجمع.تتوافق عملية الضرب مع عملية الإضافة من خلال قانون التوزيع:
13. ربط علاقة الطلب بعملية الإضافة.إلى اليسار واليمين عدم المساواة العقلانيةيمكنك إضافة نفس العدد المنطقي. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png "border =" 0 ">
14. اكسيوم أرخميدس.مهما كان العدد المنطقي أ، يمكنك أن تأخذ الكثير من الوحدات بحيث يتجاوز مجموعها أ. src = "/ pictures / wiki / files / 55 /.png" border = "0">

خصائص إضافية

جميع الخصائص الأخرى المتأصلة في الأعداد المنطقية لا يتم تحديدها على أنها خصائص أساسية ، لأنها ، بشكل عام ، لم تعد تعتمد بشكل مباشر على خصائص الأعداد الصحيحة ، ولكن يمكن إثباتها على أساس الخصائص الأساسية المعينة أو مباشرة من خلال تعريف بعض الأشياء الرياضية. مثل خصائص إضافيةكثير جدا. من المنطقي هنا الاستشهاد بعدد قليل منهم.

Src = "/ pictures / wiki / files / 48 /.png" border = "0">

تعيين العد

ترقيم الأعداد المنطقية

لتقدير عدد الأعداد المنطقية ، تحتاج إلى إيجاد العلاقة الأساسية لمجموعتها. من السهل إثبات أن مجموعة الأعداد المنطقية قابلة للعد. للقيام بذلك ، يكفي إعطاء خوارزمية تعدد الأرقام المنطقية ، أي تؤسس انحيازًا بين مجموعتي الأعداد المنطقية والطبيعية.

أبسط هذه الخوارزميات على النحو التالي. يتم تجميع جدول لا نهاية له الكسور العادية، على كل أنا-السطر في كل يالعمود الذي هو كسر. من أجل التحديد ، من المفترض أن الصفوف والأعمدة في هذا الجدول مرقمة من واحد. يتم الإشارة إلى خلايا الجدول ، حيث أنا- رقم صف الجدول الذي توجد به الخلية ، و ي- رقم العمود.

يتم إدارة الجدول الناتج بواسطة "ثعبان" وفقًا للخوارزمية الرسمية التالية.

يتم البحث في هذه القواعد من أعلى إلى أسفل ويتم تحديد المركز التالي بالمطابقة الأولى.

في عملية هذا التجاوز ، يتم تعيين كل رقم منطقي جديد إلى التالي عدد طبيعي. وهذا يعني أن الكسور 1/1 يتم تخصيص الرقم 1 ، والكسور 2/1 - الرقم 2 ، وما إلى ذلك. وتجدر الإشارة إلى أن الكسور غير القابلة للاختزال هي فقط التي يتم ترقيمها. العلامة الرسمية لعدم الاختزال هي المساواة لوحدة القاسم المشترك الأكبر لبسط ومقام الكسر.

باتباع هذه الخوارزمية ، يمكن تعداد جميع الأرقام المنطقية الموجبة. هذا يعني أن مجموعة الأعداد المنطقية الموجبة قابلة للعد. من السهل إنشاء انحراف بين مجموعتي الأعداد المنطقية الموجبة والسالبة ، وذلك ببساطة عن طريق تعيين نقيضه لكل رقم منطقي. الذي - التي. مجموعة الأعداد المنطقية السالبة قابلة للعد أيضًا. اتحادهم أيضًا قابل للعد من خلال ملكية المجموعات المعدودة. يمكن أيضًا حساب مجموعة الأعداد المنطقية على أنها اتحاد مجموعة معدودة مع مجموعة محدودة.

قد تتسبب العبارة المتعلقة بإمكانية عد مجموعة الأعداد المنطقية في بعض الحيرة ، نظرًا لأنه للوهلة الأولى يكون لدى المرء انطباع بأنها أكبر بكثير من مجموعة الأعداد الطبيعية. في الواقع ، هذا ليس هو الحال ، وهناك أعداد طبيعية كافية لتعداد جميع الأرقام المنطقية.

عدم كفاية الأعداد المنطقية

لا يتم التعبير عن وتر مثل هذا المثلث بأي رقم نسبي

الأعداد المنطقية من النموذج 1 / نككل نيمكن قياس كميات صغيرة بشكل تعسفي. تخلق هذه الحقيقة انطباعًا خادعًا بأن الأرقام المنطقية يمكنها قياس أي مسافات هندسية بشكل عام. من السهل إثبات أن هذا ليس صحيحًا.

من المعروف من نظرية فيثاغورس أن وتر المثلث القائم الزاوية يُعبر عنه بالجذر التربيعي لمجموع مربعات ساقيه. الذي - التي. طول وتر متساوي الساقين مثلث قائمبساق واحدة تساوي ، أي رقم مربعه 2.

إذا افترضنا أن الرقم يتم تمثيله بواسطة عدد منطقي ، فهناك مثل هذا العدد الصحيح موهذا العدد الطبيعي ن، وهو ، علاوة على ذلك ، الكسر غير قابل للاختزال ، أي الأرقام مو نهي جريمة.

اذا ثم ، بمعنى آخر. م 2 = 2ن 2. لذلك ، العدد م 2 زوجي ، لكن حاصل ضرب عددين فرديين فردي ، مما يعني أن الرقم نفسه مواضح أيضا. لذلك هناك عدد طبيعي ك، مثل هذا الرقم ميمكن تمثيلها كـ م = 2ك. مربع الرقم مبهذا المعنى م 2 = 4ك 2 ولكن من ناحية أخرى م 2 = 2ن 2 يعني 4 ك 2 = 2ن 2 أو ن 2 = 2ك 2. كما هو موضح سابقًا للرقم م، مما يعني أن الرقم ن- بالضبط مثل م. لكن بعد ذلك لا تعتبر جريمة مشتركة ، لأن كلاهما قابل للقسمة إلى النصف. التناقض الناتج يثبت أنه ليس رقمًا منطقيًا.

نواجه الكسور في الحياة في وقت أبكر بكثير مما بدأوا في الدراسة في المدرسة. إذا قطعت تفاحة كاملة إلى نصفين ، نحصل على قطعة فاكهة - ½. قصها مرة أخرى - ستكون ¼. هذا ما هي الكسور. ويبدو أن كل شيء بسيط. للبالغين. بالنسبة للطفل (ويبدأون في دراسة هذا الموضوع في نهاية المدرسة الابتدائية) ، لا تزال المفاهيم الرياضية المجردة غير مفهومة بشكل مخيف ، ويجب على المعلم أن يشرح بطريقة يسهل الوصول إليها ما جزء الصحيحوغير صحيح ، عادي وعشري ، ما هي العمليات التي يمكن إجراؤها معهم ، والأهم من ذلك ، لماذا كل هذا مطلوب.

ما هي الكسور

يبدأ التعرف على موضوع جديد في المدرسة بالكسور العادية. يسهل التعرف عليها من خلال الخط الأفقي الذي يفصل بين العددين - أعلى وأسفل. الجزء العلوي يسمى البسط ، والجزء السفلي يسمى المقام. يوجد أيضًا تهجئة صغيرة للكسور العادية غير الصحيحة والصحيحة - من خلال الشرطة المائلة ، على سبيل المثال: ½ ، 4/9 ، 384/183. يتم استخدام هذا الخيار عندما يكون ارتفاع السطر محدودًا ولا يمكن تطبيق نموذج "طابقين" للسجل. لماذا ا؟ نعم ، لأنه أكثر ملاءمة. بعد ذلك بقليل سوف نتحقق من ذلك.

بالإضافة إلى الأشياء المعتادة ، هناك أيضًا الكسور العشرية. من السهل جدًا التمييز بينهما: إذا تم استخدام خط أفقي أو مائل في إحدى الحالات ، ففي الحالة الأخرى - فاصلة تفصل تسلسل الأرقام. دعونا نرى مثالاً: 2.9 ؛ 163.34 ؛ 1.953. لقد استخدمنا الفاصلة المنقوطة عمدًا كمحدد لتحديد الأرقام. سيُقرأ أولهما على هذا النحو: "اثنان كاملان ، تسعة أعشار".

مفاهيم جديدة

دعنا نعود إلى الكسور العادية. هم من نوعين.

تعريف الكسر المناسب هو كما يلي: إنه كسر ، بسطه أقل من المقام. لماذا هو مهم؟ الآن سنرى!

لديك عدة تفاحات مقطعة إلى أنصاف. في المجموع - 5 أجزاء. كيف تقول: لديك تفاح "اثنان ونصف" أو "خمس ثوان"؟ بالطبع ، يبدو الخيار الأول أكثر طبيعية ، وعند التحدث مع الأصدقاء ، سنستخدمه. ولكن إذا كنت بحاجة إلى حساب كمية الفاكهة التي سيحصل عليها كل فرد ، إذا كان هناك خمسة أشخاص في الشركة ، فسنكتب الرقم 5/2 ونقسمه على 5 - من وجهة نظر الرياضيات ، سيكون هذا أوضح.

لذلك ، لتسمية الكسور الصحيحة وغير الصحيحة ، تكون القاعدة كما يلي: إذا كان من الممكن تمييز جزء صحيح (14/5 ، 2/1 ، 173/16 ، 3/3) في كسر ، فهذا غير صحيح. إذا تعذر القيام بذلك ، كما في حالة ½ ، 13/16 ، 9/10 ، فسيكون ذلك صحيحًا.

الخاصية الأساسية لكسر

إذا تم ضرب أو قسمة بسط الكسر في نفس الوقت على نفس الرقم ، فلن تتغير قيمته. تخيل: تم تقطيع الكعكة إلى 4 أجزاء متساوية وقدموا لك واحدة. تم تقطيع نفس الكعكة إلى ثماني قطع ومنحك قطعتين. أليس كل هذا نفس الشيء؟ بعد كل شيء ، ¼ و 2/8 هما نفس الشيء!

اختزال

غالبًا ما يحاول مؤلفو المشكلات والأمثلة في الكتب المدرسية للرياضيات إرباك الطلاب من خلال تقديم كسور مرهقة للكتابة ويمكن تقليلها بالفعل. فيما يلي مثال على كسر مناسب: 167/334 ، والذي يبدو أنه يبدو "مخيفًا" للغاية. لكن في الواقع ، يمكننا كتابتها كـ ½. الرقم 334 قابل للقسمة على 167 بدون باقي - بعد إجراء هذه العملية ، نحصل على 2.

أعداد مختلطة

يمكن تمثيل الكسر غير الفعلي في صورة عدد كسري. هذا عندما يتم تقديم الجزء بالكامل وكتابته على مستوى الخط الأفقي. في الواقع ، يأخذ التعبير شكل مجموع: 11/2 = 5 + ½ ؛ 13/6 = 2 + 1/6 وهكذا.

لإخراج الجزء كله ، عليك قسمة البسط على المقام. اكتب باقي القسمة أعلاه ، فوق الخط ، والجزء الكامل قبل التعبير. وبالتالي ، نحصل على جزأين هيكليين: الوحدات الكاملة + الكسر المناسب.

يمكنك أيضًا إجراء العملية العكسية - لذلك تحتاج إلى ضرب الجزء الصحيح في المقام وإضافة القيمة الناتجة إلى البسط. لا شيء معقد.

الضرب والقسمة

من الغريب أن ضرب الكسور أسهل من جمعها. كل ما هو مطلوب هو تمديد الخط الأفقي: (2/3) * (3/5) = 2 * 3/3 * 5 = 2/5.

مع القسمة ، كل شيء بسيط أيضًا: تحتاج إلى مضاعفة الكسور بالعرض: (7/8) / (14/15) \ u003d 7 * 15/8 * 14 \ u003d 15/16.

جمع الكسور

ماذا لو احتجت إلى إجراء عملية الجمع أو إذا كانت هناك أرقام مختلفة في المقام؟ لن يعمل بالطريقة نفسها كما هو الحال مع الضرب - هنا يجب أن يفهم المرء تعريف الكسر المناسب وجوهره. من الضروري إحضار المصطلحات إلى قاسم مشترك ، أي يجب أن تظهر نفس الأرقام في أسفل كلا الكسرين.

للقيام بذلك ، يجب عليك استخدام الخاصية الأساسية لكسر: اضرب كلا الجزأين في نفس الرقم. على سبيل المثال ، 2/5 + 1/10 = (2 * 2) / (5 * 2) + 1/10 = 5/10 = ½.

كيفية اختيار المقام الذي تريد إحضار المصطلحات إليه؟ يجب أن يكون هذا أصغر مضاعف لكلا المقامين: بالنسبة إلى 1/3 و 1/9 سيكون 9 ؛ لـ ½ و 1/7 - 14 ، لأنه لا توجد قيمة أصغر قابلة للقسمة على 2 و 7 بدون الباقي.

إستعمال

ما هي الكسور غير الفعلية ل؟ بعد كل شيء ، من الأنسب تحديد الجزء بالكامل على الفور والحصول على رقم مختلط - وهذا كل شيء! اتضح أنه إذا كنت بحاجة إلى ضرب أو قسمة كسرين ، فمن الأفضل استخدام الكسور الخطأ.

لنأخذ المثال التالي: (2 + 3/17) / (37/68).

يبدو أنه لا يوجد شيء يمكن قطعه على الإطلاق. ولكن ماذا لو كتبنا نتيجة الجمع بين الأقواس الأولى في صورة كسر غير فعلي؟ انظر: (37/17) / (37/68)

الآن كل شيء يقع في مكانه! لنكتب المثال بحيث يصبح كل شيء واضحًا: (37 * 68) / (17 * 37).

فلنقلل 37 في البسط والمقام ، ونقسم أخيرًا الجزأين العلوي والسفلي على 17. هل تتذكر القاعدة الأساسية للكسور الصحيحة وغير الصحيحة؟ يمكننا ضربها وقسمتها على أي عدد ، بشرط أن نفعل ذلك مع البسط والمقام في نفس الوقت.

إذن ، حصلنا على الإجابة: 4. بدا المثال معقدًا ، والإجابة تحتوي على رقم واحد فقط. يحدث هذا غالبًا في الرياضيات. الشيء الرئيسي هو عدم الخوف واتباع قواعد بسيطة.

الأخطاء الشائعة

عند التمرين ، يمكن للطالب بسهولة ارتكاب أحد الأخطاء الشائعة. عادة ما تحدث بسبب عدم الانتباه ، وأحيانًا بسبب حقيقة أن المادة المدروسة لم يتم ترسيبها بشكل صحيح في الرأس.

غالبًا ما يتسبب مجموع الأرقام في البسط في الرغبة في تقليل مكوناته الفردية. افترض في المثال: (13 + 2) / 13 ، مكتوبًا بدون أقواس (بخط أفقي) ، أن العديد من الطلاب ، بسبب قلة الخبرة ، قاموا بشطب 13 من أعلى وأسفل. لكن هذا لا ينبغي بأي حال من الأحوال ، لأن هذا خطأ فادح! إذا كانت هناك علامة ضرب بدلاً من الجمع ، فسنحصل على الرقم 2. ولكن عند الجمع ، لا يُسمح بأي عمليات باستخدام أحد المصطلحات ، فقط مع المجموع بالكامل.

غالبًا ما يرتكب الأطفال أخطاء عند قسمة الكسور. لنأخذ كسرين عاديين غير قابلين للاختزال ونقسم على بعضهما البعض: (5/6) / (25/33). يمكن للطالب الخلط وكتابة التعبير الناتج كـ (5 * 25) / (6 * 33). لكن هذا كان سيحدث مع الضرب ، وفي حالتنا سيكون كل شيء مختلفًا بعض الشيء: (5 * 33) / (6 * 25). نقوم بتقليص ما هو ممكن ، وفي الإجابة سنرى 11/10. نكتب الكسر غير الفعلي الناتج في صورة عدد عشري - 1.1.

أقواس

تذكر أنه في أي تعبير رياضي ، يتم تحديد ترتيب العمليات حسب أسبقية علامات العملية ووجود الأقواس. عند تساوي الأشياء الأخرى ، يتم حساب تسلسل الإجراءات من اليسار إلى اليمين. ينطبق هذا أيضًا على الكسور - يتم حساب التعبير الموجود في البسط أو المقام بدقة وفقًا لهذه القاعدة.

إنها نتيجة قسمة رقم على آخر. إذا لم ينقسموا تمامًا ، فسيظهر كسر - هذا كل شيء.

كيف تكتب كسر على الكمبيوتر

نظرًا لأن الأدوات القياسية لا تسمح لك دائمًا بإنشاء جزء يتكون من "مستويين" ، فإن الطلاب في بعض الأحيان يختارون حيلًا مختلفة. على سبيل المثال ، يقومون بنسخ البسط والمقام في محرر الرسام ولصقهم معًا عن طريق الرسم بينهم خط أفقي. بالطبع ، هناك خيار أبسط ، بالمناسبة ، يوفر الكثير ميزات إضافيةمن شأنها أن تكون مفيدة لك في المستقبل.

افتح برنامج Microsoft Word. تسمى إحدى اللوحات الموجودة أعلى الشاشة "إدراج" - انقر عليها. على اليمين ، على الجانب الذي توجد به أيقونات إغلاق النافذة وتقليلها ، يوجد زر الصيغة. هذا هو بالضبط ما نحتاج إليه!

إذا كنت تستخدم هذه الوظيفة ، فستظهر منطقة مستطيلة على الشاشة يمكنك من خلالها استخدام أي رموز رياضية غير متوفرة على لوحة المفاتيح ، وكذلك كتابة الكسور في شكل كلاسيكي. أي فصل البسط والمقام بشريط أفقي. قد تندهش حتى من سهولة تدوين هذا الكسر المناسب.

تعلم الرياضيات

إذا كنت في الصف الخامس والسادس ، فستكون معرفة الرياضيات قريبًا (بما في ذلك القدرة على التعامل مع الكسور!) مطلوبة في كثير المواد الدراسية. في أي مشكلة في الفيزياء تقريبًا ، عند قياس كتلة المواد في الكيمياء ، في الهندسة وعلم المثلثات ، لا يمكن الاستغناء عن الكسور. قريباً سوف تتعلم كيف تحسب كل شيء في ذهنك ، دون حتى كتابة التعبيرات على الورق ، ولكن المزيد والمزيد أمثلة معقدة. لذلك ، تعرف على ما هو الكسر المناسب وكيفية التعامل معه ، ومواكبة المنهج الدراسي ، وقم بأداء واجبك في الوقت المحدد ، وبعد ذلك ستنجح.

تعتبر الكسور من أصعب أقسام الرياضيات حتى يومنا هذا. تاريخ الكسور له أكثر من ألف عام. نشأت القدرة على تقسيم الكل إلى أجزاء في أراضي مصر القديمة وبابل. على مر السنين ، أصبحت العمليات التي يتم إجراؤها باستخدام الكسور أكثر تعقيدًا ، وتغير شكل تسجيلها. لكل منها خصائصه الخاصة في "العلاقة" مع هذا الفرع من الرياضيات.

ما هو الكسر؟

عندما أصبح من الضروري تقسيم الكل إلى أجزاء دون بذل جهد غير ضروري ، ظهرت الكسور. يرتبط تاريخ الكسور ارتباطًا وثيقًا بحل المشكلات النفعية. مصطلح "كسر" نفسه له جذور عربية ويأتي من كلمة تعني "كسر ، تقسيم". منذ العصور القديمة ، لم يتغير شيء يذكر بهذا المعنى. التعريف الحديث كالتالي: الكسر هو جزء أو مجموع أجزاء الوحدة. وفقًا لذلك ، تمثل الأمثلة ذات الكسور تنفيذًا متسلسلًا للعمليات الرياضية بأجزاء من الأرقام.

اليوم ، هناك طريقتان لتسجيلهم. نشأت في وقت مختلف: السابق أقدم.

جاء من العصور القديمة

لأول مرة بدأوا العمل مع كسور على أراضي مصر وبابل. كان لنهج علماء الرياضيات في الدولتين اختلافات كبيرة. ومع ذلك ، كانت البداية هي نفسها هناك وهناك. كان الكسر الأول نصف أو 1/2. ثم أتى ربع وثلث وهكذا. وفقًا للحفريات الأثرية ، فإن تاريخ ظهور الكسور يبلغ حوالي 5 آلاف عام. لأول مرة ، تم العثور على كسور من عدد في البرديات المصرية وعلى الألواح الطينية البابلية.

مصر القديمة

تشمل أنواع الكسور العادية اليوم ما يسمى بالكسور المصرية. هم مجموع المصطلحات المتعددة بالشكل 1 / ن. البسط دائمًا يساوي واحدًا ، والمقام عدد طبيعي. ظهرت مثل هذه الكسور ، مهما كان من الصعب تخمينها ، في مصر القديمة. عند حساب جميع المشاركات ، حاولوا تدوينها في شكل مثل هذه المبالغ (على سبيل المثال ، 1/2 + 1/4 + 1/8). فقط الكسر 2/3 و 3/4 لهما تسميات منفصلة ، والباقي مقسم إلى حدود. كانت هناك جداول خاصة يتم فيها عرض كسور الرقم كمجموع.

تم العثور على أقدم مرجع معروف لمثل هذا النظام في بردية ريندا الرياضية ، التي يرجع تاريخها إلى بداية الألفية الثانية قبل الميلاد. يتضمن جدول الكسور والمسائل الحسابية مع الحلول والإجابات المقدمة كمجموع الكسور. عرف المصريون كيفية جمع وقسمة وضرب كسور العدد. تمت كتابة الكسور في وادي النيل باستخدام الهيروغليفية.

تم استخدام تمثيل جزء من رقم كمجموع مصطلحات الشكل 1 / n ، وهي سمة من سمات مصر القديمة ، من قبل علماء الرياضيات ليس فقط في هذا البلد. حتى العصور الوسطى ، تم استخدام الكسور المصرية في اليونان ودول أخرى.

تطوير الرياضيات في بابل

بدت الرياضيات مختلفة في المملكة البابلية. يرتبط تاريخ ظهور الكسور هنا ارتباطًا مباشرًا بسمات نظام الأرقام الموروثة دولة قديمةورثت عن سابقتها الحضارة السومرية - الأكادية. كانت تقنية الحساب في بابل أكثر ملاءمة وكمالًا مما كانت عليه في مصر. حلت الرياضيات في هذا البلد نطاقًا أوسع بكثير من المشكلات.

يمكن للمرء أن يحكم على إنجازات البابليين اليوم من خلال الألواح الطينية الباقية المليئة بالكتابة المسمارية. نظرًا لخصائص المواد ، فقد وصلوا إلينا بأعداد كبيرة. وفقًا للبعض في بابل ، تم اكتشاف نظرية معروفة قبل فيثاغورس ، والتي تشهد بلا شك على تطور العلم في هذه الدولة القديمة.

الكسور: تاريخ الكسور في بابل

كان نظام الأرقام في بابل هو النظام الستيني. اختلفت كل فئة جديدة عن الفئة السابقة بمقدار 60. تم الحفاظ على هذا النظام في العالم الحديثللإشارة إلى الوقت والزوايا. كانت الكسور ستينية أيضًا. للتسجيل ، تم استخدام رموز خاصة. كما هو الحال في مصر ، احتوت أمثلة الكسور على رموز منفصلة لـ 1/2 و 1/3 و 2/3.

لم يختف النظام البابلي مع الدولة. استخدم علماء الفلك وعلماء الرياضيات القدماء والعرب الكسور المكتوبة في النظام الستين.

اليونان القديمة

لم يتم إثراء تاريخ الكسور العادية كثيرًا اليونان القديمة. يعتقد سكان هيلاس أن الرياضيات يجب أن تعمل فقط مع الأعداد الصحيحة. لذلك ، لم تحدث عملياً التعبيرات ذات الكسور على صفحات الأطروحات اليونانية القديمة. ومع ذلك ، قدم الفيثاغورس مساهمة معينة في هذا الفرع من الرياضيات. لقد فهموا الكسور على أنها نسب أو نسب ، كما اعتبروا أن الوحدة غير قابلة للتجزئة. بنى فيثاغورس وطلابه النظرية العامةالكسور ، تعلمت كيفية إجراء جميع العمليات الحسابية الأربع ، وكذلك مقارنة الكسور من خلال تقريبها إلى قاسم مشترك.

الإمبراطورية الرومانية المقدسة

ارتبط نظام الكسور الروماني بمقياس للوزن يسمى "الحمار". تم تقسيمها إلى 12 سهم. 1/12 Assa كانت تسمى أونصة. كان هناك 18 اسما للكسور. فيما يلي بعض منهم:

نصف - نصف الآسا.

sextante - السادس من آسا ؛

نصف أونصة - نصف أونصة أو 1/24 حمار.

كان الإزعاج الناتج عن مثل هذا النظام هو استحالة تمثيل رقم ككسر مقامه 10 أو 100. تغلب علماء الرياضيات الرومان على الصعوبة باستخدام النسب المئوية.

كتابة الكسور العادية

في العصور القديمة ، كانت الكسور مكتوبة بالفعل بطريقة مألوفة: رقم على آخر. ومع ذلك ، كان هناك اختلاف واحد كبير. كان البسط تحت المقام. لأول مرة بدأوا في كتابة الكسور الهند القديمة. بدأ العرب في استخدام الطريقة الحديثة بالنسبة لنا. لكن لم يستخدم أي من هذه الشعوب خطًا أفقيًا للفصل بين البسط والمقام. ظهرت لأول مرة في كتابات ليوناردو بيزا ، المعروف باسم فيبوناتشي ، في عام 1202.

الصين

إذا بدأ تاريخ ظهور الكسور العادية في مصر ، فقد ظهرت الكسور العشرية لأول مرة في الصين. في الإمبراطورية السماوية ، بدأ استخدامها من حوالي القرن الثالث قبل الميلاد. بدأ تاريخ الكسور العشرية مع عالم الرياضيات الصيني ليو هوي ، الذي اقترح استخدامها عند استخراج الجذور التربيعية.

في القرن الثالث الميلادي ، بدأ استخدام الكسور العشرية في الصين لحساب الوزن والحجم. تدريجيا ، بدأوا في اختراق أعمق وأعمق في الرياضيات. في أوروبا ، ومع ذلك ، دخلت الكسور العشرية حيز الاستخدام في وقت لاحق.

الكاشي من سمرقند

بغض النظر عن أسلاف الصينيين ، تم اكتشاف الكسور العشرية بواسطة عالم الفلك الكاشي من المدينة القديمةسمرقند. عاش وعمل في القرن الخامس عشر. أوجز العالم نظريته في أطروحة "مفتاح الحساب" ، التي نُشرت عام 1427. اقترح الكاشي استخدام صيغة جديدةسجلات الكسر. تمت كتابة كل من الأعداد الصحيحة والكسرية في سطر واحد. لم يستخدم عالم فلك سمرقند الفاصلة للفصل بينهما. كتب العدد الصحيح والجزء الكسري ألوان مختلفةباستخدام الحبر الأسود والأحمر. أحيانًا يستخدم الكاشي أيضًا خطًا رأسيًا للفصل بينهما.

الكسور العشرية في أوروبا

بدأ نوع جديد من الكسور في الظهور في أعمال علماء الرياضيات الأوروبيين من القرن الثالث عشر. وتجدر الإشارة إلى أنهم لم يكونوا على دراية بأعمال الكاشي ولا باختراع الصينيين. ظهرت الكسور العشرية في كتابات الأردن نموراريوس. ثم تم استخدامها بالفعل في القرن 16. كتب العالم الفرنسي القانون الرياضي الذي يحتوي على جداول مثلثية. في نفوسهم ، استخدم فيت الكسور العشرية. لفصل الأجزاء الصحيحة والكسرية ، استخدم العالم خطًا رأسيًا ، وكذلك حجم مختلفالخط.

ومع ذلك ، كانت هذه فقط حالات خاصة للاستخدام العلمي. لحل المشكلات اليومية ، بدأ استخدام الكسور العشرية في أوروبا لاحقًا إلى حد ما. حدث هذا بفضل العالم الهولندي سيمون ستيفين في نهاية القرن السادس عشر. نشر العمل الرياضي العاشر عام 1585. في ذلك ، أوجز العالم نظرية استخدام الكسور العشرية في الحساب ، في النظام النقديولتحديد المقاييس والأوزان.

فترة ، نقطة ، فاصلة

ستيفن أيضًا لم يستخدم الفاصلة. فصل جزأي الكسر باستخدام صفر محاط بدائرة.

لأول مرة ، فصلت الفاصلة جزأين من الكسر العشري في عام 1592 فقط. في إنجلترا ، ومع ذلك ، تم استخدام النقطة الكاملة بدلاً من ذلك. في الولايات المتحدة ، لا تزال تتم كتابة الكسور العشرية بهذه الطريقة.

كان عالم الرياضيات الاسكتلندي جون نابير أحد البادئين في استخدام كل من علامات الترقيم لفصل الأعداد الصحيحة والأجزاء الكسرية. قدم اقتراحه في 1616-1617. تم استخدام الفاصلة أيضًا بواسطة عالم ألماني

كسور في روسيا

على التربة الروسية ، كان أول عالم رياضيات أوجز تقسيم الكل إلى أجزاء هو نوفغورود راهب كيريك. في عام 1136 ، كتب عملاً حدد فيه طريقة "حساب السنوات". تعامل Kirik مع قضايا التسلسل الزمني والتقويم. في عمله ، استشهد أيضًا بتقسيم الساعة إلى أجزاء: أخماس ، وخمس وعشرون ، وما إلى ذلك.

تم استخدام تقسيم الكل إلى أجزاء عند حساب مبلغ الضريبة في القرنين الخامس عشر والسابع عشر. تم استخدام عمليات الجمع والطرح والقسمة والضرب بالأجزاء الكسرية.

ظهرت كلمة "كسر" ذاتها في روسيا في القرن الثامن. يأتي من فعل "سحق ، قسّم إلى أجزاء". استخدم أسلافنا كلمات خاصة لتسمية الكسور. على سبيل المثال ، تم تحديد 1/2 كنصف أو نصف ، 1/4 - أربعة ، 1/8 - نصف ساعة ، 1/16 - نصف ساعة ، وهكذا.

تم تقديم النظرية الكاملة للكسور ، التي لا تختلف كثيرًا عن النظرية الحديثة ، في أول كتاب مدرسي عن الحساب ، كتبه ليونتي فيليبوفيتش ماغنيتسكي عام 1701. "الحساب" يتألف من عدة أجزاء. يتحدث المؤلف عن الكسور بالتفصيل في قسم "في عدد الأسطر المتقطعة أو مع الكسور". يعطي Magnitsky عمليات بأرقام "مكسورة" ، تسمياتها المختلفة.

اليوم ، لا تزال الكسور من بين أصعب أقسام الرياضيات. لم يكن تاريخ الكسور أيضًا بسيطًا. شعوب مختلفةفي بعض الأحيان بشكل مستقل عن بعضهم البعض ، وفي بعض الأحيان يستعيرون تجربة أسلافهم ، توصلوا إلى الحاجة إلى إدخال وإتقان واستخدام كسور من الرقم. لطالما نمت عقيدة الكسور من الملاحظات العملية والشكر لـ القضايا الملحة. كان من الضروري تقسيم الخبز ، وتحديد قطع الأرض المتساوية ، وحساب الضرائب ، وقياس الوقت ، وما إلى ذلك. تعتمد ميزات استخدام الكسور والعمليات الحسابية معهم على نظام الأرقام في الحالة وعلى مستوى عامتطوير الرياضيات. بطريقة أو بأخرى ، بعد التغلب على أكثر من ألف عام ، تم تشكيل قسم الجبر المخصص لكسور الأرقام وتطويره واستخدامه بنجاح اليوم لمجموعة متنوعة من الاحتياجات ، العملية والنظرية على حد سواء.