المتباينات المنطقية مع المقياس. حل المتباينات بالمقياس

اليوم ، أيها الأصدقاء ، لن يكون هناك مخاط ومشاعر. بدلاً من ذلك ، سوف أرسلك إلى معركة مع أحد أقوى المعارضين في دورة الجبر للصفين الثامن والتاسع دون مزيد من الأسئلة.

نعم ، لقد فهمت كل شيء بشكل صحيح: نحن نتحدث عن عدم المساواة بمعامل. سننظر في أربع تقنيات أساسية ستتعلم من خلالها حل حوالي 90٪ من هذه المشكلات. ماذا عن الـ 10٪ الباقية؟ حسنًا ، سنتحدث عنها في درس منفصل. :)

ومع ذلك ، قبل تحليل أي حيل هناك ، أود أن أذكر حقيقتين تحتاج إلى معرفتهما بالفعل. وإلا فإنك تخاطر بعدم فهم مادة درس اليوم على الإطلاق.

ما تحتاج إلى معرفته بالفعل

كابتن إيفيدنس ، كما كان ، يلمح إلى أنه من أجل حل التفاوتات باستخدام المعامل ، عليك أن تعرف شيئين:

1. كيف يتم حل التفاوتات؟
2. ما هي الوحدة.

لنبدأ بالنقطة الثانية.

تعريف الوحدة

كل شيء بسيط هنا. هناك تعريفان: جبري ورسمي. لنبدأ بالجبر:

تعريف. الوحدة النمطية للرقم $ x $ هي إما الرقم نفسه ، إذا كان غير سالب ، أو الرقم المقابل له ، إذا كان الأصل $ x $ لا يزال سالبًا.

إنه مكتوب على هذا النحو:

\ [\ اليسار | x \ right | = \ left \ (\ start (align) & x، \ x \ ge 0، \\ & -x، \ x \ lt 0. \\\ end (align) \ right. \]

بعبارات بسيطة ، المعامل هو "رقم بدون سالب". وفي هذه الازدواجية (في مكان ما لا تحتاج إلى فعل أي شيء بالرقم الأصلي ، ولكن في مكان ما عليك إزالة بعض ناقص هناك) وتكمن كل الصعوبة التي يواجهها الطلاب المبتدئين.

هناك أيضا تعريف هندسي. من المفيد أيضًا معرفة ذلك ، لكننا سنشير إليه فقط في الحالات المعقدة وبعض الحالات الخاصة ، حيث يكون النهج الهندسي أكثر ملاءمة من الأسلوب الجبري (المفسد: ليس اليوم).

تعريف. دع النقطة $ a $ يتم تمييزها على السطر الحقيقي. ثم الوحدة $ \ left | x-a \ right | $ هي المسافة من النقطة $ x $ إلى النقطة $ a $ على هذا الخط.

إذا قمت برسم صورة ، تحصل على شيء مثل هذا:

بطريقة أو بأخرى ، تتبع خاصيتها الرئيسية مباشرة من تعريف الوحدة: دائمًا ما يكون معامل العدد قيمة غير سالبة. ستكون هذه الحقيقة بمثابة خيط أحمر يمر عبر قصتنا بأكملها اليوم.

حل عدم المساواة. طريقة التباعد

الآن دعونا نتعامل مع المتباينات. يوجد عدد كبير منهم ، لكن مهمتنا الآن هي أن نكون قادرين على حل أبسطها على الأقل. تلك التي يتم اختزالها إلى متباينات خطية ، وكذلك إلى طريقة الفواصل.

لديّ برنامجان تعليميان كبيران حول هذا الموضوع (بالمناسبة ، مفيد جدًا جدًا - أوصي بالدراسة):

1. طريقة الفاصل الزمني لعدم المساواة (خاصة مشاهدة الفيديو) ؛
2. المتباينات الجزئية-العقلانية درس ضخم جدًا ، لكن بعده لن يتبقى لديك أي أسئلة على الإطلاق.

إذا كنت تعرف كل هذا ، إذا كانت عبارة "دعنا ننتقل من عدم المساواة إلى المعادلة" لا تجعلك تريد بشكل غامض قتل نفسك ضد الجدار ، فأنت جاهز: مرحبًا بك في الجحيم إلى الموضوع الرئيسي للدرس. :)

1 - عدم المساواة في شكل "وحدة أقل من وظيفة"

هذه واحدة من أكثر المهام التي تتم مواجهتها مع الوحدات النمطية. مطلوب لحل عدم المساواة من النموذج:

\ [\ اليسار | و \ الحق | \ ltg \]

يمكن لأي شيء أن يعمل كوظائف $ f $ و $ g $ ، لكن عادة ما تكون متعددة الحدود. أمثلة على هذه التفاوتات:

\ [\ ابدأ (محاذاة) & \ يسار | 2x + 3 \ صحيح | \ ltx + 7 ؛ \\ & \ اليسار | ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ right | +3 \ left (x + 1 \ right) \ lt 0 ؛ \\ & \ اليسار | ((س) ^ (2)) - 2 \ يسار | س \ حق | -3 \ حق | \ lt 2. \\\ end (محاذاة) \]

يتم حل كل منهم حرفيًا في سطر واحد وفقًا للمخطط:

\ [\ اليسار | و \ الحق | \ lt g \ Rightarrow -g \ lt f \ lt g \ quad \ left (\ Rightarrow \ left \ (\ start (align) & f \ lt g، \\ & f \ gt -g \\\ end (محاذاة) \صحيح صحيح)\]

من السهل أن نرى أننا نتخلص من الوحدة النمطية ، لكن بدلاً من ذلك نحصل على متباينة مزدوجة (أو ، وهو نفسه ، نظام من متباينتين). لكن هذا الانتقال يأخذ في الاعتبار جميع المشكلات المحتملة تمامًا: إذا كان الرقم الموجود تحت الوحدة موجبًا ، فإن الطريقة تعمل ؛ إذا كانت سلبية ، فإنها لا تزال تعمل ؛ وحتى مع وجود أكثر وظيفة غير ملائمة بدلاً من $ f $ أو $ g $ ، فإن الطريقة ستظل تعمل.

بطبيعة الحال ، السؤال الذي يطرح نفسه: أليس هذا أسهل؟ لسوء الحظ ، لا يمكنك ذلك. هذا هو بيت القصيد من الوحدة.

لكن يكفي من التفلسف. لنحل مشكلتين:

مهمة. حل المتباينة:

\ [\ اليسار | 2x + 3 \ صحيح | \ ltx + 7 \]

المحلول. لذلك ، لدينا متباينة كلاسيكية على شكل "الوحدة النمطية أقل من" - حتى أنه لا يوجد شيء يمكن تحويله. نعمل وفق الخوارزمية:

\ [\ ابدأ (محاذاة) & \ يسار | و \ الحق | \ lt g \ Rightarrow -g \ lt f \ lt g ؛ \\ & \ اليسار | 2x + 3 \ صحيح | \ lt x + 7 \ Rightarrow - \ left (x + 7 \ right) \ lt 2x + 3 \ lt x + 7 \\\ end (align) \]

لا تتسرع في فتح الأقواس التي يسبقها "ناقص": فمن المحتمل تمامًا أنك سترتكب خطأً مهينًا بسبب التسرع.

\ [- x-7 \ lt 2x + 3 \ lt x + 7 \]

\ [\ يسار \ (\ ابدأ (محاذاة) & -x-7 \ lt 2x + 3 \\ & 2x + 3 \ lt x + 7 \\ \ end (محاذاة) \ يمين. \]

\ [\ يسار \ (\ ابدأ (محاذاة) & -3x \ lt 10 \\ & x \ lt 4 \\ \ end (محاذاة) \ يمين. \]

\ [\ يسار \ (\ start (محاذاة) & x \ gt - \ frac (10) (3) \\ & x \ lt 4 \\ \ end (محاذاة) \ يمين. \]

تم تقليل المشكلة إلى اثنين من التفاوتات الأولية. نلاحظ حلولهم على خطوط حقيقية متوازية:

تقاطع كثير

سيكون تقاطع هذه المجموعات هو الجواب.

الإجابة: $ x \ in \ left (- \ frac (10) (3)؛ 4 \ right) $

مهمة. حل المتباينة:

\ [\ اليسار | ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ right | +3 \ left (x + 1 \ right) \ lt 0 \]

المحلول. هذه المهمة أصعب قليلاً. بادئ ذي بدء ، نقوم بعزل الوحدة عن طريق تحريك المصطلح الثاني إلى اليمين:

\ [\ اليسار | ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ right | \ lt -3 \ يسار (x + 1 \ يمين) \]

من الواضح ، لدينا مرة أخرى عدم مساواة في الشكل "الوحدة النمطية أقل" ، لذلك نتخلص من الوحدة وفقًا للخوارزمية المعروفة بالفعل:

\ [- \ يسار (-3 \ يسار (x + 1 \ يمين) \ يمين) \ lt ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ lt -3 \ يسار (x + 1 \ يمين) \]

الانتباه الآن: سيقول شخص ما إنني منحرف قليلاً مع كل هذه الأقواس. لكني أذكرك مرة أخرى أن هدفنا الرئيسي هو حل المتباينة بشكل صحيح والحصول على الإجابة. في وقت لاحق ، عندما تتقن كل ما هو موصوف في هذا الدرس تمامًا ، يمكنك أن تفسد نفسك كما تريد: فتح الأقواس ، وإضافة السلبيات ، وما إلى ذلك.

بالنسبة للمبتدئين ، نتخلص فقط من علامة الطرح المزدوجة الموجودة على اليسار:

\ [- \ يسار (-3 \ يسار (x + 1 \ يمين) \ يمين) = \ يسار (-1 \ يمين) \ cdot \ يسار (-3 \ يمين) \ cdot \ يسار (x + 1 \ يمين) = 3 \ يسار (س + 1 \ يمين) \]

لنفتح الآن كل الأقواس في المتباينة المزدوجة:

دعنا ننتقل إلى مضاعفة عدم المساواة. هذه المرة ستكون الحسابات أكثر جدية:

\ [\ left \ (\ begin (align) & ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ lt -3x-3 \\ & 3x + 3 \ lt ((x) ^ (2)) + 2x -3 \\ \ end (محاذاة) \ يمين. \]

\ [\ left \ (\ begin (align) & ((x) ^ (2)) + 5x \ lt 0 \\ & ((x) ^ (2)) - x-6 \ gt 0 \\ \ end ( محاذاة اليمين.\]

كلا المتباينات مربعة ويتم حلها بطريقة الفاصل (لهذا السبب أقول: إذا كنت لا تعرف ما هي ، فمن الأفضل عدم استخدام الوحدات بعد). نمرر إلى المعادلة في المتباينة الأولى:

\ [\ start (محاذاة) & ((x) ^ (2)) + 5x = 0 ؛ \\ & x \ يسار (x + 5 \ يمين) = 0 ؛ \\ & ((x) _ (1)) = 0 ؛ ((x) _ (2)) = - 5. \\\ end (محاذاة) \]

كما ترى ، تبين أن الناتج كان معادلة تربيعية غير مكتملة ، والتي تم حلها بشكل أساسي. لنتعامل الآن مع المتباينة الثانية للنظام. هناك يجب عليك تطبيق نظرية فييتا:

\ [\ start (align) & ((x) ^ (2)) - x-6 = 0 ؛ \\ & \ يسار (x-3 \ يمين) \ يسار (x + 2 \ يمين) = 0 ؛ \\ & ((x) _ (1)) = 3 ؛ ((x) _ (2)) = - 2. \\\ end (محاذاة) \]

نحتفل بالأرقام التي تم الحصول عليها على خطين متوازيين (منفصلان عن المتباينة الأولى ومنفصلان عن الثاني):

مرة أخرى ، نظرًا لأننا نقوم بحل نظام من المتباينات ، فنحن مهتمون بتقاطع المجموعات المظللة: $ x \ in \ left (-5؛ -2 \ right) $. هذا هو الجواب.

الإجابة: $ x \ in \ left (-5؛ -2 \ right) $

أعتقد بعد هذه الأمثلة أن مخطط الحل واضح للغاية:

1. افصل الوحدة عن طريق تحريك كل الحدود الأخرى إلى الجانب الآخر من المتباينة. وهكذا نحصل على متباينة بالصيغة $ \ left | و \ الحق | \ ltg $.
2. قم بحل هذا التفاوت بالتخلص من الوحدة النمطية كما هو موضح أعلاه. في مرحلة ما ، سيكون من الضروري الانتقال من نظام متباينة مزدوجة إلى نظام من تعبيرين مستقلين ، يمكن حل كل منهما على حدة.
3. أخيرًا ، يبقى فقط عبور حلول هذين المقدارين المستقلين - وهذا كل شيء ، سنحصل على الإجابة النهائية.

توجد خوارزمية مماثلة لعدم المساواة من النوع التالي ، عندما يكون المعامل أكبر من الوظيفة. ومع ذلك ، هناك نوعان من "تحفظات" خطيرة. سنتحدث عن هذه "تحفظات" الآن.

2. عدم المساواة من نموذج "الوحدة أكبر من الوظيفة"

تبدو مثل هذا:

\ [\ اليسار | و \ الحق | \ gt g \]

على غرار السابق؟ يشبه. ومع ذلك ، يتم حل هذه المهام بطريقة مختلفة تمامًا. رسمياً ، المخطط على النحو التالي:

\ [\ اليسار | و \ الحق | \ gt g \ Rightarrow \ left [\ start (align) & f \ gt g، \\ & f \ lt -g \\\ end (align) \ right. \]

بمعنى آخر ، نعتبر حالتين:

1. أولاً ، نتجاهل الوحدة النمطية ببساطة - فنحن نحل مشكلة عدم المساواة المعتادة ؛
2. بعد ذلك ، في الواقع ، نفتح الوحدة بعلامة الطرح ، ثم نضرب كلا جزئي المتباينة في 1 بإشارة.

في هذه الحالة ، يتم الجمع بين الخيارات وقوس مربع ، أي لدينا مزيج من متطلبين.

انتبه مرة أخرى: أمامنا ليس نظامًا ، ولكنه إجمالي ، لذلك في الإجابة ، يتم الجمع بين المجموعات ، وليست متقاطعة. هذا اختلاف جوهري عن الفقرة السابقة!

بشكل عام ، كثير من الطلاب لديهم الكثير من الالتباس مع النقابات والتقاطعات ، لذلك دعونا ننظر في هذه المشكلة مرة واحدة وإلى الأبد:

• "∪" هي علامة تسلسل. في الواقع ، هذا حرف منمق "U" ، والذي جاء إلينا من اللغة الإنجليزية وهو اختصار لكلمة "Union" ، أي "ذات الصلة".
• "∩" هي علامة التقاطع. لم تأت هذه الهراء من أي مكان ، لكنها ظهرت فقط كمعارضة لـ "∪".

لتسهيل التذكر ، ما عليك سوى إضافة أرجل إلى هذه العلامات لصنع النظارات (فقط لا تتهمني بالترويج لإدمان المخدرات وإدمان الكحول الآن: إذا كنت تدرس هذا الدرس بجدية ، فأنت بالفعل مدمن مخدرات):

ترجم إلى الروسية ، وهذا يعني ما يلي: الاتحاد (المجموعة) يشمل عناصر من كلتا المجموعتين ، وبالتالي ، ما لا يقل عن كل منهما ؛ لكن التقاطع (النظام) يشمل فقط تلك العناصر الموجودة في المجموعة الأولى والثانية. لذلك ، فإن تقاطع المجموعات لا يكون أبدًا أكبر من مجموعات المصدر.

لذلك أصبح الأمر أكثر وضوحا؟ هذا عظيم. دعنا ننتقل إلى الممارسة.

مهمة. حل المتباينة:

\ [\ اليسار | 3x + 1 \ يمين | \ gt 5-4x \]

المحلول. نحن نتصرف وفقًا للمخطط:

\ [\ اليسار | 3x + 1 \ صحيح | \ gt 5-4x \ Rightarrow \ left [\ start (align) & 3x + 1 \ gt 5-4x \\ & 3x + 1 \ lt - \ left (5-4x \ right) \\\ end (align) \ الصحيح.\]

نحن نحل كل عدم المساواة السكانية:

\ [\ يسار [\ start (محاذاة) & 3x + 4x \ gt 5-1 \\ & 3x-4x \ lt -5-1 \\ \ end (محاذاة) \ يمين. \]

\ [\ يسار [\ start (محاذاة) & 7x \ gt 4 \\ & -x \ lt -6 \\ \ end (align) \ right. \]

\ [\ يسار [\ ابدأ (محاذاة) & x \ gt 4/7 \ \\ & x \ gt 6 \\ \ end (محاذاة) \ يمين. \]

نحتفل بكل مجموعة ناتجة على خط الأعداد ، ثم نجمعها:

اتحاد المجموعات

من الواضح أن الإجابة هي $ x \ in \ left (\ frac (4) (7)؛ + \ infty \ right) $

الإجابة: $ x \ in \ left (\ frac (4) (7)؛ + \ infty \ right) $

مهمة. حل المتباينة:

\ [\ اليسار | ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ right | \ gtx \]

المحلول. نحن سوف؟ لا ، كل شيء متشابه. ننتقل من متباينة بمقياس إلى مجموعة من متراجعتين:

\ [\ اليسار | ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ right | \ gt x \ Rightarrow \ left [\ begin (align) & ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ gt x \\ & ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ lt -x \\\ end (محاذاة) \ يمين. \]

نحل كل متباينة. لسوء الحظ ، لن تكون الجذور جيدة جدًا هناك:

\ [\ start (محاذاة) & ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ gt x ؛ \\ & ((x) ^ (2)) + x-3 \ gt 0 ؛ \\ & D = 1 + 12 = 13 ؛ \\ & x = \ frac (-1 \ pm \ sqrt (13)) (2). \\\ end (محاذاة) \]

في عدم المساواة الثانية ، هناك أيضًا القليل من اللعبة:

\ [\ begin (align) & ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ lt -x؛ \\ & ((x) ^ (2)) + 3x-3 \ lt 0 ؛ \\ & D = 9 + 12 = 21 ؛ \\ & x = \ frac (-3 \ pm \ sqrt (21)) (2). \\\ end (محاذاة) \]

الآن علينا تعليم هذه الأعداد على محورين - محور واحد لكل متباينة. ومع ذلك ، تحتاج إلى تحديد النقاط بالترتيب الصحيح: فكلما زاد الرقم ، زادت انتقال النقطة إلى اليمين.

وهنا ننتظر الإعداد. إذا كان كل شيء واضحًا بالأرقام $ \ frac (-3- \ sqrt (21)) (2) \ lt \ frac (-1- \ sqrt (13)) (2) $ (الشروط الموجودة في بسط الأول الكسر أقل من الحدود الموجودة في بسط الثاني ، وبالتالي فإن المجموع أصغر أيضًا) ، بالأرقام $ \ frac (-3- \ sqrt (13)) (2) \ lt \ frac (-1+ \ sqrt (21)) (2) $ لن تكون هناك أيضًا صعوبة (رقم موجب من الواضح أنه أكثر سلبية) ، ولكن مع الزوجين الأخيرين ، كل شيء ليس بهذه البساطة. أيهما أكبر: $ \ frac (-3+ \ sqrt (21)) (2) $ أو $ \ frac (-1+ \ sqrt (13)) (2) $؟ يعتمد ترتيب النقاط على خطوط الأعداد ، وفي الواقع ، الإجابة على إجابة هذا السؤال.

لذلك دعونا نقارن:

\ [\ start (matrix) \ frac (-1+ \ sqrt (13)) (2) \ vee \ frac (-3+ \ sqrt (21)) (2) \\ -1+ \ sqrt (13) \ vee -3+ \ sqrt (21) \\ 2+ \ sqrt (13) \ vee \ sqrt (21) \\\ end (matrix) \]

لقد عزلنا الجذر ، وحصلنا على أعداد غير سالبة على طرفي المتباينة ، لذلك لدينا الحق في تربيع كلا الطرفين:

\ [\ start (matrix) ((\ left (2+ \ sqrt (13) \ right)) ^ (2)) \ vee ((\ left (\ sqrt (21) \ right)) ^ (2)) \ \ 4 + 4 \ الجذر التربيعي (13) +13 \ vee 21 \\ 4 \ sqrt (13) \ vee 3 \\\ end (matrix) \]

أعتقد أنه من غير المنطقي أن تكون $ 4 \ sqrt (13) \ gt 3 $ ، لذا $ \ frac (-1+ \ sqrt (13)) (2) \ gt \ frac (-3+ \ sqrt (21)) ( 2) $ ، أخيرًا سيتم ترتيب النقاط على المحاور على النحو التالي:

حالة الجذور القبيحة

دعني أذكرك بأننا نحل مجموعة ، لذا فإن الإجابة ستكون الاتحاد ، وليس تقاطع المجموعات المظللة.

الإجابة: $ x \ in \ left (- \ infty؛ \ frac (-3+ \ sqrt (21)) (2) \ right) \ bigcup \ left (\ frac (-1+ \ sqrt (13)) (2 )؛ + \ infty \ right) $

كما ترى ، يعمل مخططنا بشكل رائع لكل من المهام البسيطة والمهام الصعبة للغاية. "نقطة الضعف" الوحيدة في هذا النهج هي أنك بحاجة إلى مقارنة الأرقام غير المنطقية بشكل صحيح (وصدقوني: هذه ليست مجرد جذور). لكن سيتم تخصيص درس منفصل (وخطير للغاية) لأسئلة المقارنة. ونمضي قدما.

3. عدم المساواة مع "ذيول" غير سلبية

لذلك وصلنا إلى الأكثر إثارة للاهتمام. هذه هي عدم المساواة في الشكل:

\ [\ اليسار | و \ الحق | \ gt \ اليسار | ز \ الحق | \]

بشكل عام ، الخوارزمية التي سنتحدث عنها الآن صحيحة فقط للوحدة. إنه يعمل في جميع حالات عدم المساواة حيث توجد تعبيرات غير سلبية مضمونة على اليسار واليمين:

ماذا تفعل بهذه المهام؟ تذكر فقط:

في عدم المساواة مع ذيول غير سالبة ، يمكن رفع كلا الطرفين إلى أي قوة طبيعية. لن تكون هناك قيود إضافية.

بادئ ذي بدء ، سنكون مهتمين بالتربيع - فهو يحرق الوحدات والجذور:

\ [\ start (align) & ((\ left (\ left | f \ right | \ right)) ^ (2)) = ((f) ^ (2)) ؛ \\ & ((\ left (\ sqrt (f) \ right)) ^ (2)) = f. \\\ end (محاذاة) \]

فقط لا تخلط بين هذا وبين أخذ جذر المربع:

\ [\ sqrt (((f) ^ (2))) = \ يسار | f \ الحق | \ ne f \]

تم ارتكاب أخطاء لا حصر لها عندما نسي الطالب تثبيت وحدة! لكن هذه قصة مختلفة تمامًا (هذه ، كما كانت ، معادلات غير منطقية) ، لذلك لن ندخلها الآن. دعنا نحل مشكلتين بشكل أفضل:

مهمة. حل المتباينة:

\ [\ اليسار | س + 2 \ يمين | \ جي \ يسار | 1-2x \ صحيح | \]

المحلول. نلاحظ على الفور شيئين:

1. هذه عدم مساواة غير صارمة. سيتم وضع النقاط على خط الأعداد.
2. من الواضح أن كلا جانبي عدم المساواة غير سالبين (هذه خاصية للوحدة: $ \ left | f \ left (x \ right) \ right | \ ge 0 $).

إذن ، يمكننا تربيع طرفي المتباينة للتخلص من المقياس وحل المسألة باستخدام طريقة الفترة المعتادة:

\ [\ start (align) & ((\ left (\ left | x + 2 \ right | \ right)) ^ (2)) \ ge ((\ left (\ left | 1-2x \ right | \ right) ) ^ (2)) ؛ \\ & ((\ left (x + 2 \ right)) ^ (2)) \ ge ((\ left (2x-1 \ right)) ^ (2)). \\\ end (محاذاة) \]

في الخطوة الأخيرة ، خدعت قليلاً: لقد غيرت تسلسل المصطلحات باستخدام التكافؤ في المقياس (في الواقع ، لقد ضربت التعبير $ 1-2x $ في 1).

\ [\ start (align) & ((\ left (2x-1 \ right)) ^ (2)) - ((\ left (x + 2 \ right)) ^ (2)) \ le 0 ؛ \\ & \ يسار (\ يسار (2x-1 \ يمين) - \ يسار (x + 2 \ يمين) \ يمين) \ cdot \ يسار (\ يسار (2x-1 \ يمين) + \ يسار (x + 2 \ right) \ right) \ le 0؛ \\ & \ يسار (2x-1-x-2 \ يمين) \ cdot \ يسار (2x-1 + x + 2 \ right) \ le 0 ؛ \\ & \ يسار (x-3 \ يمين) \ cdot \ يسار (3x + 1 \ يمين) \ le 0. \\\ end (محاذاة) \]

نحل بطريقة الفاصل. دعنا ننتقل من عدم المساواة إلى المعادلة:

\ [\ start (align) & \ left (x-3 \ right) \ left (3x + 1 \ right) = 0 ؛ \\ & ((x) _ (1)) = 3 ؛ ((x) _ (2)) = - \ frac (1) (3). \\\ end (محاذاة) \]

نحتفل بالجذور التي تم العثور عليها على خط الأعداد. مرة أخرى: كل النقاط مظللة لأن المتباينة الأصلية ليست صارمة!

التخلص من علامة الوحدة

دعني أذكرك بالعناد بشكل خاص: نأخذ الإشارات من آخر متباينة ، والتي تم تدوينها قبل الانتقال إلى المعادلة. ونرسم المساحات المطلوبة في نفس المتباينة. في حالتنا ، هذا هو $ \ left (x-3 \ right) \ left (3x + 1 \ right) \ le 0 $.

حسنا هذا كل شيء. تم حل المشكلة.

الإجابة: $ x \ in \ left [- \ frac (1) (3)؛ 3 \ right] $.

مهمة. حل المتباينة:

\ [\ اليسار | ((x) ^ (2)) + x + 1 \ right | \ le \ left | ((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ right | \]

المحلول. نحن نفعل كل شيء بنفس الطريقة. لن أعلق - فقط انظر إلى تسلسل الإجراءات.

دعونا نربيعها:

\ [\ start (align) & ((\ left (\ left | ((x) ^ (2)) + x + 1 \ right | \ right)) ^ (2)) \ le ((\ left (\ left | ((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ right | \ right)) ^ (2)) ؛ \\ & ((\ left (((x) ^ (2)) + x + 1 \ right)) ^ (2)) \ le ((\ left (((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ يمين)) ^ (2)) ؛ \\ & ((\ left (((x) ^ (2)) + x + 1 \ right)) ^ (2)) - ((\ left (((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ يمين)) ^ (2)) \ le 0 ؛ \\ & \ يسار (((x) ^ (2)) + x + 1 - ((x) ^ (2)) - 3x-4 \ right) \ times \\ & \ times \ left (((x) ^ (2)) + x + 1 + ((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ right) \ le 0 ؛ \\ & \ يسار (-2x-3 \ يمين) \ يسار (2 ((x) ^ (2)) + 4x + 5 \ right) \ le 0. \\\ end (محاذاة) \]

طريقة التباعد:

\ [\ start (align) & \ left (-2x-3 \ right) \ left (2 ((x) ^ (2)) + 4x + 5 \ right) = 0 \\ & -2x-3 = 0 \ السهم الأيمن س = -1.5 ؛ \\ & 2 ((x) ^ (2)) + 4x + 5 = 0 \ Rightarrow D = 16-40 \ lt 0 \ Rightarrow \ varnothing. \\\ end (محاذاة) \]

يوجد جذر واحد فقط على خط الأعداد:

الجواب هو مجموعة كاملة

الإجابة: $ x \ in \ left [-1.5؛ + \ infty \ right) $.

ملاحظة صغيرة حول المهمة الأخيرة. كما لاحظ أحد طلابي بدقة ، كلا التعبيرين الفرعيين في عدم المساواة هذا إيجابيان بشكل واضح ، لذلك يمكن حذف علامة المعامل دون الإضرار بالصحة.

لكن هذا بالفعل مستوى مختلف تمامًا من التفكير ونهج مختلف - يمكن تسميته بطريقة مشروطة بطريقة العواقب. عنه - في درس منفصل. والآن دعنا ننتقل إلى الجزء الأخير من درس اليوم ونفكر في خوارزمية عالمية تعمل دائمًا. حتى عندما كانت جميع الأساليب السابقة عاجزة. :)

4. طريقة تعداد الخيارات

ماذا لو لم تنجح كل هذه الحيل؟ إذا لم تختزل عدم المساواة إلى ذيول غير سلبية ، إذا كان من المستحيل عزل الوحدة ، إذا كان هناك ألم - حزن - شوق؟

ثم تدخل "المدفعية الثقيلة" لجميع الرياضيات في المشهد - طريقة العد. فيما يتعلق بعدم المساواة في المقياس ، يبدو كالتالي:

1. اكتب كل تعبيرات الوحدة الفرعية ومساواتها بالصفر ؛
2. حل المعادلات الناتجة وحدد الجذور الموجودة على خط رقم واحد ؛
3. سيتم تقسيم الخط المستقيم إلى عدة أقسام ، كل وحدة بها علامة ثابتة وبالتالي يتم توسيعها بشكل لا لبس فيه ؛
4. حل عدم المساواة في كل قسم (يمكنك النظر بشكل منفصل في الجذور الحدودية التي تم الحصول عليها في الفقرة 2 - من أجل الموثوقية). اجمع النتائج - ستكون هذه هي الإجابة. :)

حسنا كيف؟ ضعيف؟ بسهولة! فقط لفترة طويلة. دعونا نرى في الممارسة:

مهمة. حل المتباينة:

\ [\ اليسار | س + 2 \ حق | \ lt \ اليسار | x-1 \ right | + x- \ frac (3) (2) \]

المحلول. هذا الهراء لا يتلخص في عدم المساواة مثل $ \ left | و \ الحق | \ lt g $، $ \ left | و \ الحق | \ gt g $ أو $ \ left | و \ الحق | \ lt \ اليسار | g \ right | $ ، فلنبدأ.

نكتب تعبيرات الوحدة الفرعية ، ونساويها بالصفر ونجد الجذور:

\ [\ start (محاذاة) & x + 2 = 0 \ Rightarrow x = -2؛ \\ & x-1 = 0 \ Rightarrow x = 1. \\\ end (محاذاة) \]

إجمالاً ، لدينا جذرين يقسمان خط الأعداد إلى ثلاثة أقسام ، يتم الكشف بداخلهما عن كل وحدة بشكل فريد:

تقسيم خط الأعداد على أصفار الوظائف شبه المعيارية

دعونا ننظر في كل قسم على حدة.

1. دع $ x \ lt -2 $. ثم يكون كلا التعبيرين في الوحدة الفرعية سالبين ، ويتم إعادة كتابة المتباينة الأصلية على النحو التالي:

\ [\ ابدأ (محاذاة) & - \ يسار (x + 2 \ يمين) \ lt - \ يسار (x-1 \ يمين) + x-1،5 \\ & -x-2 \ lt -x + 1 + x-1.5 \\ & x \ gt 1.5 \\\ end (محاذاة) \]

لدينا قيد بسيط إلى حد ما. دعنا نتقاطع مع الافتراض الأصلي بأن $ x \ lt -2 $:

\ [\ left \ (\ start (align) & x \ lt -2 \\ & x \ gt 1،5 \\\ end (align) \ right. \ rightarrow x \ in \ varnothing \]

من الواضح أن المتغير $ x $ لا يمكن أن يكون أقل من 2 ولكن أكبر من 1.5 في نفس الوقت. لا توجد حلول في هذا المجال.

1.1 لنفكر بشكل منفصل في حالة الحدود: $ x = -2 $. دعنا فقط نعوض بهذا الرقم في المتباينة الأصلية ونفحص: هل هو صحيح؟

\ [\ start (align) & ((\ left. \ left | x + 2 \ right | \ lt \ left | x-1 \ right | + x-1،5 \ right |) _ (x = -2) ) \\ & 0 \ lt \ يسار | -3 \ حق | -2-1.5 ؛ \\ & 0 \ lt 3-3.5 ؛ \\ & 0 \ lt -0،5 \ Rightarrow \ varnothing. \\\ end (محاذاة) \]

من الواضح أن سلسلة الحسابات قادتنا إلى عدم المساواة الخاطئة. لذلك ، فإن المتباينة الأصلية خاطئة أيضًا ، ولا يتم تضمين $ x = -2 $ في الإجابة.

2. الآن دعنا $ -2 \ lt x \ lt 1 $. سيتم فتح الوحدة اليسرى بالفعل بعلامة "علامة الجمع" ، بينما تظل الوحدة اليمنى بعلامة "ناقص". لدينا:

\ [\ start (محاذاة) & x + 2 \ lt - \ left (x-1 \ right) + x-1.5 \\ & x + 2 \ lt -x + 1 + x-1.5 \\ & x \ lt - 2.5 \\\ end (محاذاة) \]

مرة أخرى نتقاطع مع المطلب الأصلي:

\ [\ left \ (\ begin (align) & x \ lt -2،5 \\ & -2 \ lt x \ lt 1 \\\ end (align) \ right. \ rightarrow x \ in \ varnothing \]

ومرة أخرى ، مجموعة الحلول الفارغة ، نظرًا لعدم وجود أرقام أصغر من 2.5 وأكبر من 2.

2.1. ومرة أخرى حالة خاصة: $ x = 1 $. نعوض في المتباينة الأصلية:

\ [\ start (align) & ((\ left. \ left | x + 2 \ right | \ lt \ left | x-1 \ right | + x-1،5 \ right |) _ (x = 1)) \\ & \ اليسار | 3 \ الحق | \ lt \ اليسار | 0 \ يمين | + 1-1.5 ؛ \\ & 3 \ lt -0.5 ؛ \\ & 3 \ lt -0،5 \ Rightarrow \ varnothing. \\\ end (محاذاة) \]

على غرار "الحالة الخاصة" السابقة ، من الواضح أن الرقم $ x = 1 $ لم يتم تضمينه في الإجابة.

3. آخر قطعة من السطر: $ x \ gt 1 $. هنا يتم توسيع جميع الوحدات بعلامة زائد:

\ [\ start (محاذاة) & x + 2 \ lt x-1 + x-1.5 \\ & x + 2 \ lt x-1 + x-1.5 \\ & x \ gt 4.5 \\ \ end (محاذاة) \ ]

ومرة أخرى نتقاطع مع المجموعة التي تم العثور عليها مع القيد الأصلي:

\ [\ left \ (\ start (align) & x \ gt 4،5 \\ & x \ gt 1 \\\ end (align) \ right. \ rightarrow x \ in \ left (4،5؛ + \ infty \الصحيح)\]

أخيرا! لقد أوجدنا الفترة الزمنية التي ستكون الإجابة.

الإجابة: $ x \ in \ left (4،5؛ + \ infty \ right) $

أخيرًا ، ملاحظة واحدة قد تنقذك من الأخطاء الغبية عند حل المشكلات الحقيقية:

عادةً ما تكون حلول المتباينات ذات الوحدات النمطية عبارة عن مجموعات متصلة على خط الأعداد - فواصل زمنية ومقاطع. النقاط المعزولة أكثر ندرة. ونادرًا ما يحدث أن تتطابق حدود الحل (نهاية المقطع) مع حدود النطاق قيد الدراسة.

وبالتالي ، إذا لم يتم تضمين الحدود (تلك "الحالات الخاصة" نفسها) في الإجابة ، فمن شبه المؤكد أنه لن يتم تضمين المناطق الموجودة على اليسار واليمين من هذه الحدود في الإجابة أيضًا. والعكس صحيح: دخلت الحدود ردا ، مما يعني أن بعض المناطق المحيطة بها ستكون أيضا ردود.

ضع ذلك في الاعتبار عند التحقق من الحلول الخاصة بك.

رياضيات هو رمز لحكمة العلم,

مثال على الدقة العلمية والبساطة,

معيار الكمال والجمال في العلم.

فيلسوف روسي ، الأستاذ أ.ف. فولوشينوف

عدم المساواة Modulo

إن أصعب المشكلات التي يجب حلها في الرياضيات المدرسية هي عدم المساواة, تحتوي على متغيرات تحت علامة الوحدة. لحل مثل هذه التفاوتات بنجاح ، من الضروري معرفة خصائص الوحدة جيدًا وامتلاك المهارات اللازمة لاستخدامها.

المفاهيم والخصائص الأساسية

المعامل (القيمة المطلقة) للعدد الحقيقييعني ويتم تعريفه على النحو التالي:

تتضمن الخصائص البسيطة للوحدة العلاقات التالية:

و .

ملحوظة، أن آخر خاصيتين تحملان لأي درجة زوجية.

أيضا ، إذا ، أين ، ثم و

خصائص وحدة أكثر تعقيدًا, والتي يمكن استخدامها بشكل فعال في حل المعادلات وعدم المساواة مع الوحدات, تمت صياغتها من خلال النظريات التالية:

نظرية 1.لأية وظائف تحليليةو عدم المساواة.

نظرية 2.المساواة يعادل عدم المساواة.

نظرية 3.المساواة يعادل عدم المساواة.

أكثر التفاوتات شيوعًا في الرياضيات المدرسية, تحتوي على متغيرات غير معروفة تحت علامة modulo, هي عدم المساواة في الشكلو أين بعض الثابت الإيجابي.

نظرية 4.عدم المساواة يعادل عدم المساواة المزدوجة, وحل اللامساواةيقلل من حل مجموعة المتبايناتو .

هذه النظرية هي حالة خاصة للنظرية 6 و 7.

مزيد من عدم المساواة المعقدة, تحتوي على الوحدة النمطية هي عدم المساواة في النموذج، و .

يمكن صياغة طرق حل مثل هذه التفاوتات باستخدام النظريات الثلاث التالية.

نظرية 5.عدم المساواة يعادل الجمع بين نظامين من عدم المساواة

و 1)

دليل.منذ ذلك الحين

وهذا يدل على صحة (1).

نظرية 6.عدم المساواة يعادل نظام عدم المساواة

دليل.لأن ، ثم من عدم المساواةيتبع ذلك . تحت هذا الشرط ، عدم المساواةوفي هذه الحالة يتبين أن النظام الثاني لعدم المساواة (1) غير متسق.

لقد تم إثبات النظرية.

نظرية 7.عدم المساواة يعادل الجمع بين متباينة واحدة ونظامين من المتباينات

و (3)

دليل.منذ ذلك الحين عدم المساواة دائما أعدم، إذا .

اسمحوا ان ، ثم عدم المساواةسيكون بمثابة عدم مساواة, التي تتبع منها مجموعة المتراجحتينو .

لقد تم إثبات النظرية.

ضع في اعتبارك أمثلة نموذجية لحل المشكلات المتعلقة بموضوع "عدم المساواة, تحتوي على متغيرات تحت علامة الوحدة.

حل المتباينات بالمقياس

أبسط طريقة لحل المتباينات باستخدام المقياس هي الطريقة, على أساس توسيع الوحدة. هذه الطريقة عامة, ومع ذلك ، في الحالة العامة ، يمكن أن يؤدي تطبيقه إلى حسابات مرهقة للغاية. لذلك ، يجب أن يعرف الطلاب أيضًا طرقًا وتقنيات أخرى (أكثر كفاءة) لحل مثل هذه التفاوتات. خاصه, بحاجة إلى المهارات لتطبيق النظريات, الواردة في هذه المقالة.

مثال 1حل المتباينة

. (4)

المحلول.سيتم حل اللامساواة (4) بالطريقة "الكلاسيكية" - طريقة التوسع المعياري. تحقيقا لهذه الغاية ، نقوم بكسر المحور العدديالنقاط و فترات والنظر في ثلاث حالات.

1. إذا ، إذن ، ، وتتخذ اللامساواة (4) الشكلأو .

نظرًا لأن الحالة تعتبر هنا ، فهي حل لعدم المساواة (4).

2. إذا ، ثم من عدم المساواة (4) نحصل عليهاأو . منذ تقاطع فتراتو فارغ, إذن لا توجد حلول للمتباينة (4) في الفترة المدروسة.

3. إذا ، ثم تأخذ المتباينة (4) الشكلأو . من الواضح أن هو أيضا حل لعدم المساواة (4).

إجابه: ، .

مثال 2حل المتباينة.

المحلول.لنفترض ذلك. لأن ، ثم تأخذ المتباينة المعطاة الشكلأو . منذ ذلك الحين ومن ثم يتبعأو .

ومع ذلك ، لذلك أو.

مثال 3حل المتباينة

. (5)

المحلول.لأن ، ثم عدم المساواة (5) يعادل عدم المساواةأو . من هنا، وفقًا للنظرية 4, لدينا مجموعة من المتبايناتو .

إجابه: ، .

مثال 4حل المتباينة

. (6)

المحلول.دعنا نشير. ثم من المتباينة (6) نحصل على المتباينات ، أو.

من هنا، باستخدام طريقة الفاصل، نحن نحصل . لأن ، ثم هنا لدينا نظام من عدم المساواة

حل المتباينة الأولى في النظام (7) هو اتحاد مجالينو ، وحل المتباينة الثانية هو عدم المساواة المزدوجة. هذا يعني ، أن حل نظام المتباينات (7) هو اتحاد فترتينو .

إجابه: ،

مثال 5حل المتباينة

. (8)

المحلول. نقوم بتحويل عدم المساواة (8) على النحو التالي:

أو .

تطبيق طريقة الفاصل, نحصل على حل لعدم المساواة (8).

إجابه: .

ملحوظة. إذا وضعنا النظرية 5 وشرطناها ، فإننا نحصل عليها.

مثال 6حل المتباينة

. (9)

المحلول. من عدم المساواة (9) يتبعها. نقوم بتحويل عدم المساواة (9) على النحو التالي:

أو

منذ ذلك الحين أو.

إجابه: .

مثال 7حل المتباينة

. (10)

المحلول.منذ و ، ثم أو.

في هذا الإتصال وتأخذ اللامساواة (10) الشكل

أو

. (11)

ويترتب على هذا أن أو. منذ ذلك الحين ، فإن عدم المساواة (11) تعني أيضًا أو.

إجابه: .

ملحوظة. إذا طبقنا النظرية 1 على الجانب الأيسر من المتباينة (10)، ثم نحصل . من هنا ومن عدم المساواة (10) يتبع ذلكأو ذاك أو. لأن ، ثم تأخذ المتباينة (10) الشكلأو .

المثال 8حل المتباينة

. (12)

المحلول.منذ ذلك الحين وعدم المساواة (12)أو . ومع ذلك ، لذلك أو. من هنا نحصل على أو.

إجابه: .

المثال 9حل المتباينة

. (13)

المحلول.وفقًا للنظرية 7 ، فإن حلول عدم المساواة (13) هي أو.

دعنا الآن. في هذه الحالة وتأخذ اللامساواة (13) الشكلأو .

إذا قمنا بدمج الفتراتو ، ثم نحصل على حل للمتباينة (13) بالصيغة.

المثال 10حل المتباينة

. (14)

المحلول.دعونا نعيد كتابة المتباينة (14) في شكل مكافئ:. إذا طبقنا النظرية 1 على الطرف الأيسر من هذه المتباينة ، فسنحصل على المتباينة.

من هنا ومن النظرية 1 يتبع ذلك, أن المتباينة (14) تتحقق لأي قيم.

الجواب: أي رقم.

المثال 11.حل المتباينة

. (15)

المحلول. تطبيق النظرية 1 على الجانب الأيسر من المتباينة (15)، نحن نحصل . من هنا ومن المتباينة (15) يتبع المعادلة, الذي يشبه.

وفقًا للنظرية 3، المعادلة يعادل عدم المساواة. من هنا وصلنا.

المثال 12.حل المتباينة

. (16)

المحلول. من عدم المساواة (16) ، وفقًا للنظرية 4 ، نحصل على نظام عدم المساواة

عند حل المتباينةنستخدم النظرية 6 ونحصل على نظام المتبايناتمما يلي.

ضع في اعتبارك عدم المساواة. وفقًا لنظرية 7, نحصل على مجموعة من المتبايناتو . التباين السكاني الثاني ينطبق على أي شيء حقيقي.

بالتالي ، حل المتباينة (16) هي.

المثال 13حل المتباينة

. (17)

المحلول.وفقًا للنظرية 1 ، يمكننا الكتابة

(18)

مع الأخذ في الاعتبار عدم المساواة (17) ، نستنتج أن كلا التفاوتات (18) تتحول إلى مساواة ، أي هناك نظام معادلات

وفقًا للنظرية 3 ، فإن نظام المعادلات هذا يعادل نظام عدم المساواة

أو

المثال 14حل المتباينة

. (19)

المحلول.منذ ذلك الحين . دعونا نضرب كلا جزأي المتباينة (19) بالتعبير ، الذي يأخذ قيمًا موجبة فقط لأي قيمة. ثم نحصل على متباينة تعادل عدم المساواة (19) من الشكل

من هنا نصل أو من أين. منذ و ثم حلول عدم المساواة (19) هيو .

إجابه: ، .

للحصول على دراسة أعمق لطرق حل التفاوتات باستخدام وحدة نمطية ، يُنصح بالرجوع إلى البرامج التعليمية, المدرجة في قائمة القراءات الموصى بها.

1. مجموعة مهام في الرياضيات للمتقدمين للجامعات التقنية / إد. م. سكانافي. - م: العالم والتعليم، 2013. - 608 ص.

2. Suprun V.P. الرياضيات لطلاب المرحلة الثانوية: طرق حل وإثبات عدم المساواة. - م: ليناند / URSS، 2018. - 264 ص.

3. Suprun V.P. الرياضيات لطلاب المرحلة الثانوية: طرق غير قياسية لحل المشكلات. - M: KD "Librocom" / URSS، 2017. - 296 ص.

هل لديك اسئلة؟

للحصول على مساعدة مدرس - سجل.

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

تتكون طرق (قواعد) الكشف عن عدم المساواة مع الوحدات في الكشف المتسلسل للوحدات ، أثناء استخدام فترات من الإشارات الثابتة لوظائف الوحدة الفرعية. في النسخة النهائية ، يتم الحصول على العديد من المتباينات التي يتم من خلالها العثور على فترات أو فترات تفي بشرط المشكلة.

دعنا ننتقل إلى حل الأمثلة الشائعة في الممارسة.

المتباينات الخطية مع الوحدات النمطية

نعني بالخطي المعادلات التي يدخل فيها المتغير المعادلة خطيًا.

مثال 1. أوجد حلاً لمشكلة

المحلول:
ويترتب على حالة المشكلة أن الوحدات النمطية تتحول إلى صفر عند x = -1 و x = -2. تقسم هذه النقاط المحور العددي إلى فترات

في كل من هذه الفترات ، نحل المتباينة المعطاة. للقيام بذلك ، أولاً وقبل كل شيء ، نرسم رسومات بيانية لمناطق العلامات الثابتة للوظائف الفرعية. تم تصويرهم كمناطق مع علامات كل من الوظائف.

أو فترات مع علامات جميع الوظائف.

في الفاصل الزمني الأول ، افتح الوحدات النمطية

نضرب كلا الجزأين في ناقص واحد ، بينما ستتغير علامة المتباينة إلى العكس. إذا كان من الصعب عليك التعود على هذه القاعدة ، فيمكنك تحريك كل جزء خارج العلامة للتخلص من السالب. في النهاية سوف تتلقى

سيكون تقاطع المجموعة x> -3 مع المنطقة التي تم فيها حل المعادلات هو الفاصل الزمني (-3 ؛ -2). بالنسبة لأولئك الذين يجدون أنه من الأسهل البحث عن حلول بيانياً ، يمكنك رسم تقاطع هذه المناطق

سيكون التقاطع العام بين المناطق هو الحل. مع تفاوت صارم ، لا يتم تضمين الحواف. إذا تم تحديد nonstrict عن طريق الاستبدال.

في الفترة الثانية نحصل عليها

سيكون المقطع الفاصل الزمني (-2 ؛ -5/3). بيانيا ، سيبدو الحل

في الفترة الثالثة نحصل عليها

هذا الشرط لا يعطي حلولاً للمنطقة المطلوبة.

نظرًا لأن الحلين وجدا (-3 ؛ -2) و (-2 ؛ -5 / 3) يحدان النقطة س = -2 ، فإننا نتحقق من ذلك أيضًا.

وبالتالي فإن النقطة س = -2 هي الحل. سيبدو الحل العام مع وضع هذا في الاعتبار مثل (-3 ؛ 5/3).

مثال 2. أوجد حلاً للمتباينة
| x-2 | - | x-3 |> = | x-4 |

المحلول:
ستكون أصفار وظائف الوحدة الفرعية هي النقاط x = 2 ، x = 3 ، x = 4. عندما تكون قيم الوسيطات أقل من هذه النقاط ، تكون وظائف الوحدة الفرعية سالبة ، وعندما تكون القيم كبيرة ، تكون موجبة.

تقسم النقاط المحور الحقيقي إلى أربع فترات. نفتح الوحدات وفقًا لفترات ثبات الإشارة ونحل المتباينات.

1) في الفترة الأولى ، تكون جميع الوظائف شبه المعيارية سالبة ، لذلك ، عند توسيع الوحدات ، نقوم بتغيير الإشارة إلى العكس.

سيكون تقاطع قيم x التي تم العثور عليها مع الفاصل الزمني المدروس هو مجموعة النقاط

2) في الفترة بين النقطتين x = 2 و x = 3 ، تكون دالة الوحدة الفرعية الأولى موجبة ، والثانية والثالثة سلبية. نحصل على توسيع الوحدات

متباينة ، بالتقاطع مع الفترة التي نحل فيها ، نحصل على حل واحد - x = 3.

3) في الفترة بين النقطتين x = 3 و x = 4 ، تكون وظيفتا الوحدة الفرعية الأولى والثانية موجبة ، والثالثة سلبية. بناءً على هذا ، نحصل على

يوضح هذا الشرط أن المجال بأكمله سيحقق المتراجحة بالوحدات النمطية.

4) بالنسبة للقيم x> 4 ، تكون جميع الوظائف موجبة الإشارة. عند توسيع الوحدات ، فإننا لا نغير علامتها.

تعطي الحالة التي تم العثور عليها عند التقاطع مع الفترة مجموعة الحلول التالية

بما أن المتراجحة تم حلها في كل المجالات ، يبقى إيجاد القيمة المشتركة لجميع قيم x الموجودة. الحل عبارة عن فترتين

تم حل هذا المثال.

مثال 3. أوجد حلاً للمتباينة
|| x-1 | -5 |> 3-2x

المحلول:
لدينا متباينة مع وحدة من وحدة. يتم الكشف عن مثل هذه التفاوتات عندما يتم تضمين الوحدات النمطية ، بدءًا من تلك التي يتم وضعها بشكل أعمق.

يتم تحويل دالة الوحدة الفرعية x-1 إلى صفر عند النقطة x = 1. للقيم الأصغر التي تتجاوز 1 تكون سالبة وموجبة لـ x> 1. بناءً على ذلك ، نفتح الوحدة الداخلية ونأخذ في الاعتبار المتباينة في كل فترة.

فكر أولاً في الفترة من سالب ما لا نهاية إلى واحد

دالة الوحدة الفرعية هي صفر عند النقطة x = -4. للقيم الأصغر تكون موجبة ، والقيم الأكبر تكون سالبة. قم بتوسيع الوحدة النمطية لـ x<-4:

عند التقاطع مع المنطقة التي نعتبرها ، نحصل على مجموعة من الحلول

الخطوة التالية هي توسيع الوحدة في الفترة (-4 ؛ 1)

مع الأخذ في الاعتبار مساحة التوسع للوحدة النمطية ، نحصل على الفاصل الزمني للحلول

تذكر: إذا حصلت على فترتين متجاورتين مع نقطة مشتركة في مثل هذه المخالفات مع الوحدات ، إذن ، كقاعدة عامة ، يعد هذا أيضًا حلًا.

للقيام بذلك ، ما عليك سوى التحقق.

في هذه الحالة ، نعوض بالنقطة x = -4.

إذن ، x = -4 هو الحل.
قم بتوسيع الوحدة الداخلية لـ x> 1

دالة الوحدة الفرعية سالبة لـ x<6.
توسيع الوحدة ، نحصل عليها

يعطي هذا الشرط في القسم الذي يحتوي على الفترة (1 ؛ 6) مجموعة فارغة من الحلول.

بالنسبة إلى x> 6 نحصل على المتباينة

حل أيضا حصلنا على مجموعة فارغة.
بالنظر إلى كل ما سبق ، فإن الحل الوحيد للمتباينة مع الوحدات هو الفترة التالية.

المتباينات مع وحدات تحتوي على معادلات من الدرجة الثانية

مثال 4. أوجد حلاً للمتباينة
| x ^ 2 + 3x |> = 2-x ^ 2

المحلول:
تختفي وظيفة الوحدة الفرعية عند النقاط x = 0 ، x = -3. بالتعويض البسيط ناقص واحد

حددنا أنه أقل من الصفر في الفترة (-3 ؛ 0) وأن يكون موجبًا بعده.
قم بتوسيع الوحدة النمطية في المناطق التي تكون فيها وظيفة الوحدة الفرعية موجبة

يبقى تحديد المناطق التي تكون فيها الدالة التربيعية موجبة. للقيام بذلك ، نحدد جذور المعادلة التربيعية

للراحة ، استبدلنا النقطة x = 0 التي تنتمي إلى الفترة (-2 ؛ 1/2). الدالة سالبة في هذه الفترة ، لذا سيكون الحل هو المجموعات التالية x

هنا ، تشير الأقواس إلى حواف المناطق مع الحلول ؛ تم ذلك بشكل متعمد ، مع مراعاة القاعدة التالية.

تذكر: إذا كانت المتباينة مع الوحدات النمطية ، أو المتباينة البسيطة صارمة ، فإن حواف المناطق التي تم العثور عليها ليست حلولا ، ولكن إذا لم تكن المتباينات صارمة () ، فإن الحواف هي حلول (يشار إليها بأقواس مربعة).

يستخدم العديد من المدرسين هذه القاعدة: إذا تم إعطاء متباينة صارمة ، وكتبت قوسًا مربعًا ([،]) في الحل أثناء العمليات الحسابية ، فسيعتبرون تلقائيًا أن هذه إجابة غير صحيحة. أيضًا ، عند الاختبار ، إذا تم تحديد متباينة غير صارمة مع الوحدات ، فمن بين الحلول ، ابحث عن المناطق ذات الأقواس المربعة.

في الفترة (-3 ؛ 0) ، بتوسيع الوحدة ، نقوم بتغيير إشارة الوظيفة إلى العكس

مع الأخذ في الاعتبار نطاق الإفصاح عن عدم المساواة ، سيكون للحل الشكل

سويًا مع المنطقة السابقة ، سيعطي هذا فترتين نصفيتين

مثال 5. أوجد حلاً للمتباينة
9x ^ 2- | x-3 |> = 9x-2

المحلول:
تم إعطاء متباينة غير صارمة ، دالة الوحدة الفرعية لها تساوي صفرًا عند النقطة x = 3. في القيم الأصغر تكون سالبة ، وفي القيم الأكبر تكون موجبة. نقوم بتوسيع الوحدة النمطية في الفترة الزمنية x<3.

إيجاد مميز المعادلة

والجذور

بالتعويض عن نقطة الصفر ، نجد أنه في الفترة [-1/9 ؛ 1] الدالة التربيعية سالبة ، وبالتالي فإن الفترة هي الحل. بعد ذلك ، افتح الوحدة النمطية لـ x> 3

رقم moduloيسمى هذا الرقم نفسه إذا كان غير سالب ، أو نفس الرقم مع الإشارة المعاكسة إذا كان سالبًا.

على سبيل المثال ، مقياس 6 هو 6 ، ومقياس -6 هو أيضًا 6.

بمعنى ، يُفهم معامل العدد على أنه قيمة مطلقة ، القيمة المطلقة لهذا الرقم دون مراعاة علامته.

يُشار إليها على النحو التالي: | 6 | ، | X|, |لكن| إلخ.

(لمزيد من التفاصيل ، راجع قسم "وحدة الرقم").

معادلات مودولو.

مثال 1 . حل المعادلة|10 X - 5| = 15.

المحلول.

وفقًا للقاعدة ، تكافئ المعادلة الجمع بين معادلتين:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

نحن نقرر:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

إجابه: X 1 = 2, X 2 = -1.

مثال 2 . حل المعادلة|2 X + 1| = X + 2.

المحلول.

بما أن المقياس عدد غير سالب ، إذن X+ 2 ≥ 0. وفقًا لذلك:

X ≥ -2.

نصنع معادلتين:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

نحن نقرر:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

كلا الرقمين أكبر من -2. إذن كلاهما جذور المعادلة.

إجابه: X 1 = -1, X 2 = 1.

مثال 3 . حل المعادلة

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

المحلول.

تكون المعادلة منطقية إذا كان المقام لا يساوي صفرًا - لذا إذا X≠ 1. لنأخذ هذا الشرط بعين الاعتبار. إجراءنا الأول بسيط - نحن لا نتخلص من الكسر فحسب ، بل نحوله بطريقة تجعل الوحدة في أنقى صورها:

|X+ 3 | - 1 = 4 ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

الآن لدينا فقط المقدار الموجود أسفل المقياس في الجانب الأيسر من المعادلة. استمر.
مقياس العدد هو رقم غير سالب - أي أنه يجب أن يكون أكبر من أو يساوي الصفر. وفقًا لذلك ، نحل عدم المساواة:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

وبالتالي ، لدينا شرط ثان: يجب أن يكون جذر المعادلة 3/4 على الأقل.

وفقًا للقاعدة ، نؤلف مجموعة من معادلتين ونحلهما:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

لقد تلقينا ردين. دعنا نتحقق مما إذا كانت هذه هي جذور المعادلة الأصلية.

كان لدينا شرطان: لا يمكن أن يكون جذر المعادلة مساويًا لـ 1 ، ويجب أن يكون 3/4 على الأقل. أي X ≠ 1, X≥ 3/4. يتوافق كلا الشرطين مع إجابة واحدة فقط من الجوابين المتلقين - الرقم 2. ومن ثم فهو فقط جذر المعادلة الأصلية.

إجابه: X = 2.

المتباينات في المعامل.

مثال 1 . حل المتباينة| X - 3| < 4

المحلول.

تقول قاعدة الوحدة:

|لكن| = لكن، إذا لكن ≥ 0.

|لكن| = -لكن، إذا لكن < 0.

يمكن أن يحتوي المقياس على عدد غير سالب وعدد سالب. لذلك علينا النظر في كلتا الحالتين: X- 3 ≥ 0 و X - 3 < 0.

1) متى X- 3 ≥ 0 تظل المتباينة الأصلية كما هي ، فقط بدون علامة modulo:
X - 3 < 4.

2) متى X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

عند فتح الأقواس ، نحصل على:

-X + 3 < 4.

وهكذا ، من هذين الشرطين ، توصلنا إلى اتحاد نظامين من عدم المساواة:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

لنحلها:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

إذن ، في إجابتنا لدينا اتحاد مجموعتين:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

حدد القيم الأصغر والأكبر. هذه هي -1 و 7. في نفس الوقت Xأكبر من -1 ولكن أقل من 7.
بجانب، X≥ 3. إذن ، حل المتباينة هو مجموعة الأعداد الكاملة من -1 إلى 7 ، باستثناء هذه الأعداد المتطرفة.

إجابه: -1 < X < 7.

أو: X ∈ (-1; 7).

الإضافات.

1) هناك طريقة أبسط وأقصر لحل المتباينة - بالرسم. للقيام بذلك ، ارسم محورًا أفقيًا (الشكل 1).

التعبير | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки Xللإشارة 3 أقل من أربع وحدات. نحتفل بالرقم 3 على المحور ونعد 4 أقسام على يساره ويمينه. على اليسار سننتقل إلى النقطة -1 ، على اليمين - للنقطة 7. وبالتالي ، فإن النقاط Xلقد رأيناها للتو دون حسابها.

علاوة على ذلك ، وفقًا لشرط عدم المساواة ، لم يتم تضمين -1 و 7 في مجموعة الحلول. وهكذا حصلنا على الجواب:

1 < X < 7.

2) ولكن هناك حل آخر أبسط من الطريقة الرسومية. للقيام بذلك ، يجب تقديم عدم المساواة لدينا بالشكل التالي:

4 < X - 3 < 4.

بعد كل شيء ، هذا هو الحال وفقًا لقاعدة الوحدة. العدد غير السالب 4 والعدد السالب المماثل -4 هما حدود حل المتباينة.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

مثال 2 . حل المتباينة| X - 2| ≥ 5

المحلول.

هذا المثال يختلف بشكل كبير عن السابق. الطرف الأيسر أكبر من 5 أو يساوي 5. من وجهة نظر هندسية ، حل المتباينة هو جميع الأعداد التي تقع على مسافة 5 وحدات أو أكثر من النقطة 2 (الشكل 2). يوضح الرسم البياني أن هذه كلها أرقام أصغر من أو تساوي -3 وأكبر من أو تساوي 7. لذا ، فقد تلقينا الإجابة بالفعل.

إجابه: -3 ≥ X ≥ 7.

على طول الطريق ، نحل نفس المتباينة بإعادة ترتيب المصطلح الحر إلى اليسار واليمين بإشارة معاكسة:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

الجواب هو نفسه: -3 ≥ X ≥ 7.

أو: X ∈ [-3; 7]

حل المثال.

مثال 3 . حل المتباينة 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

المحلول.

رقم Xيمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا أو صفرًا. لذلك ، علينا أن نأخذ في الاعتبار جميع الظروف الثلاثة. كما تعلم ، يتم أخذها في الاعتبار في نوعين من عدم المساواة: X≥ 0 و X < 0. При X≥ 0 ، نحن ببساطة نعيد كتابة المتباينة الأصلية كما هي ، فقط بدون علامة modulo:

6 × 2 - X - 2 ≤ 0.

الآن بالنسبة للحالة الثانية: إذا X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

توسيع الأقواس:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

وهكذا حصلنا على نظامين من المعادلات:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

نحتاج إلى حل المتباينات في الأنظمة - ما يعني أننا بحاجة إلى إيجاد جذور معادلتين تربيعيتين. للقيام بذلك ، نساوي الطرفين الأيسر من المتباينات بالصفر.

لنبدأ بالأول:

6X 2 - X - 2 = 0.

كيفية حل معادلة من الدرجة الثانية - راجع قسم "المعادلة الرباعية". سنقوم على الفور بتسمية الإجابة:

X 1 \ u003d -1/2 ، × 2 \ u003d 2/3.

من النظام الأول للمتباينات ، نجد أن حل المتباينة الأصلية هو مجموعة الأعداد الكاملة من -1/2 إلى 2/3. نكتب اتحاد الحلول ل X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

لنحل الآن المعادلة التربيعية الثانية:

6X 2 + X - 2 = 0.

جذورها:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

الخلاصة: متى X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

دعونا نجمع بين الإجابتين ونحصل على الإجابة النهائية: الحل هو مجموعة الأرقام الكاملة من -2/3 إلى 2/3 ، بما في ذلك هذه الأرقام المتطرفة.

إجابه: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

أو: X ∈ [-2/3; 2/3].