Andregradsligninger (8. klasse).

Eksempler:

\(3x^2-26x+5=0\)
\((4-x)(4x-3)=3\)
\(\frac(x^2)(2)\) \(+\) \(\frac(2x)(3)\) \(=\)\(\frac(x-2)(6)\)

I det første eksemplet \(a=3\), \(b=-26\), \(c=5\). I de to andre er \(a\),\(b\) og \(c\) ikke uttrykt eksplisitt. Men hvis disse ligningene transformeres til formen \(ax^2+bx+c=0\), vil de definitivt vises.

Koeffisienten \(a\) kalles den første eller ledende koeffisienten, \(b\) er den andre koeffisienten, \(c\) er det frie leddet i ligningen.


Venstre side av ligningen, det vil si \(ax^2+bx+c\), er .

Typer andregradsligninger

Så, standard algoritme for å løse den komplette andregradsligning :

    Transformer ligningen til formen \(ax^2+bx+c=0\).

    Skriv ned verdiene til koeffisientene \(a\), \(b\) og \(c\).
    Ikke hopp over dette stadiet før du har mestret å løse andregradsligninger til et punkt av automatikk! Vær spesielt oppmerksom på at tegnet foran begrepet er tatt inn i koeffisienten. Det vil si at for ligningen \(2x^2-3x+5=0\), er koeffisienten \(b=-3\), og ikke \(3\).

  1. Svare : \(x_1=3\), \(x_2=-2,5\).


    Løs den andregradsligningen \(x^2+9=6x\)
    Løsning :


    Svare : \(x=3\).


    Løs den andregradsligningen \(3x^2+x+2=0\)
    Løsning :

    Svare : ingen røtter.


    Dessuten kan mange andregradsligninger løses ved hjelp av. Det er raskere, men krever litt ferdigheter.


    Eksempel . Løs ligningen \(x^2-7x+6=0\).
    Løsning : I følge Vietas inverse teorem vil røttene til ligningen være de tallene som i produktet vil gi \(6\), og i summen \(7\). Enkelt utvalg vi finner at disse tallene er \(1\) og \(6\). Dette er røttene våre (du kan sjekke løsningen ved å bruke diskriminanten).
    Svare : \(x_1=1\), \(x_2=6\).


    Denne teoremet er praktisk å bruke med kvadratiske ligninger som har heltallskoeffisienter \(b\) og \(c\).

Søknad

Løse alle typer ligninger online på nettstedet for studenter og skolebarn for å konsolidere det studerte materialet. Ligninger på nett. Det er algebraiske, parametriske, transcendentale, funksjonelle, differensielle og andre typer ligninger. Noen klasser av ligninger har analytiske løsninger, som er praktiske fordi de ikke bare gir eksakt verdi root, men lar deg skrive løsningen i form av en formel, som kan inneholde parametere. Analytiske uttrykk tillater ikke bare å beregne røttene, men også å analysere deres eksistens og deres mengde avhengig av parameterverdiene, som ofte er enda viktigere for praktisk anvendelse, enn de spesifikke verdiene til røttene. Løse ligninger online.. Ligninger online. Å løse en ligning er oppgaven med å finne slike verdier av argumentene som denne likheten oppnås ved. De mulige verdiene til argumentene kan pålegges tilleggsbetingelser(heltall, ekte osv.). Løse ligninger online.. Ligninger online. Du kan løse ligningen online umiddelbart og med høy nøyaktighet av resultatet. Argumentene til spesifiserte funksjoner (noen ganger kalt "variabler") kalles "ukjente" i tilfelle av en ligning. Verdiene til de ukjente hvor denne likheten oppnås kalles løsninger eller røttene til denne ligningen. Røttene sies å tilfredsstille denne ligningen. Å løse en ligning på nettet betyr å finne settet med alle løsningene (røtter) eller bevise at det ikke finnes røtter. Løse ligninger online.. Ligninger online. Ligninger hvis sett med røtter sammenfaller kalles ekvivalente eller like. Ligninger som ikke har røtter regnes også som likeverdige. Ekvivalensen av ligninger har egenskapen til symmetri: hvis en ligning er ekvivalent med en annen, så er den andre ligningen ekvivalent med den første. Ekvivalens av ligninger har egenskapen transitivitet: hvis en ligning er ekvivalent med en annen, og den andre er ekvivalent med en tredje, så er den første ligningen ekvivalent med den tredje. Ekvivalensegenskapen til ligninger lar oss utføre transformasjoner med dem, på hvilke metoder for å løse dem er basert. Løse ligninger online.. Ligninger online. Siden vil tillate deg å løse ligningen online. Ligninger som analytiske løsninger er kjent for inkluderer algebraiske ligninger som ikke er høyere enn fjerde grad: lineær ligning, kvadratisk ligning, kubikkligning og ligning av fjerde grad. Algebraiske ligninger I det generelle tilfellet har ikke ligninger med høyere grader analytiske løsninger, selv om noen av dem kan reduseres til ligninger med lavere grader. Ligninger som inkluderer transcendentale funksjoner kalles transcendentale. Blant dem er analytiske løsninger kjent for noen trigonometriske ligninger, siden nullene til trigonometriske funksjoner er velkjente. I det generelle tilfellet, når en analytisk løsning ikke kan finnes, brukes numeriske metoder. Numeriske metoder gir ikke en eksakt løsning, men lar en bare begrense intervallet roten ligger i til en viss forhåndsbestemt verdi. Løse ligninger på nett.. Ligninger på nett.. I stedet for en ligning på nett, vil vi forestille oss hvordan det samme uttrykket danner et lineært forhold, ikke bare langs en rett tangent, men også ved selve vendepunktet til grafen. Denne metoden er til enhver tid uunnværlig i studiet av emnet. Det hender ofte at å løse ligninger nærmer seg den endelige verdien ved å bruke uendelige tall og skrive vektorer. Det er nødvendig å sjekke de første dataene, og dette er essensen av oppgaven. Ellers konverteres den lokale tilstanden til en formel. Inversjon i en rett linje fra en gitt funksjon, som ligningskalkulatoren vil beregne uten mye forsinkelse i utførelsen, vil forskyvningen tjene som et plassprivilegium. Vi skal snakke om elevenes suksess i det vitenskapelige miljøet. Imidlertid, som alt det ovennevnte, vil det hjelpe oss i prosessen med å finne, og når du løser ligningen fullstendig, lagrer du det resulterende svaret i endene av det rette linjesegmentet. Linjer i rommet skjærer hverandre i et punkt og dette punktet kalles krysset av linjene. Intervallet på linjen er angitt som tidligere spesifisert. Den høyeste stillingen for matematikkstudiet vil bli publisert. Å tildele en argumentverdi fra en parametrisk spesifisert overflate og løse ligningen online vil kunne skissere prinsippene for produktiv tilgang til en funksjon. Möbius-stripen, eller uendeligheten som den kalles, ser ut som en åttefigur. Dette er en ensidig overflate, ikke tosidig. I henhold til prinsippet generelt kjent for alle, vil vi objektivt akseptere lineære ligninger for grunnbetegnelsen som den er og i studieretningen. Bare to verdier av sekvensielt gitte argumenter er i stand til å avsløre retningen til vektoren. Å anta at en annen løsning på online-ligninger er mye mer enn bare å løse den, betyr å oppnå en fullverdig versjon av invarianten som et resultat. Uten integrert tilnærming Det er vanskelig for elevene å lære dette materialet. Som før, for hvert spesialtilfelle, vil vår praktiske og smarte online ligningskalkulator hjelpe alle i vanskelige tider, fordi du bare trenger å spesifisere inngangsparametrene og systemet selv vil beregne svaret. Før vi begynner å legge inn data, trenger vi et inndataverktøy, som kan gjøres uten store problemer. Antallet på hvert svarestimat vil føre til en kvadratisk ligning til våre konklusjoner, men dette er ikke så lett å gjøre, fordi det er lett å bevise det motsatte. Teorien, på grunn av dens egenskaper, støttes ikke praktisk kunnskap. Å se en brøkkalkulator på tidspunktet for å publisere svaret er ikke en lett oppgave i matematikk, siden alternativet med å skrive et tall på et sett bidrar til å øke veksten av funksjonen. Det vil imidlertid være feil å ikke snakke om studentopplæring, så vi vil si så mye som det må gjøres hver for seg. Den tidligere funnet kubiske ligningen vil med rette tilhøre definisjonsdomenet og inneholde rommet til numeriske verdier, så vel som symbolske variabler. Etter å ha lært eller memorert teoremet, vil studentene våre bevise seg kun med den beste siden, og vi vil være glade for dem. I motsetning til flere feltskjæringspunkter, beskrives våre online-ligninger av et bevegelsesplan ved å multiplisere to og tre numeriske kombinerte linjer. Et sett i matematikk er ikke definert unikt. Den beste løsningen, ifølge studentene, er en fullstendig registrering av uttrykket. Som det ble sagt vitenskapelig språk, abstraksjonen av symbolske uttrykk kommer ikke inn i tingenes tilstand, men løsningen av ligningene gir et entydig resultat i alle kjente tilfeller. Varigheten av lærerens leksjon avhenger av behovene for dette forslaget. Analysen viste nødvendigheten av alle beregningsteknikker på mange områder, og det er helt klart at en ligningskalkulator er et uunnværlig verktøy i en elevs begavede hender. En lojal tilnærming til studiet av matematikk bestemmer viktigheten av synspunkter fra forskjellige retninger. Du ønsker å identifisere en av nøkkelsetningene og løse ligningen på en slik måte, avhengig av svaret som det vil være et ytterligere behov for anvendelse av. Analytics på dette området får fart. La oss starte fra begynnelsen og utlede formelen. Etter å ha brutt gjennom økningsnivået til funksjonen, vil linjen langs tangenten ved bøyningspunktet absolutt føre til at løsning av ligningen online vil være et av hovedaspektene ved å konstruere den samme grafen fra argumentet til funksjonen. En amatørtilnærming har rett til å bli brukt hvis denne tilstanden motsier ikke elevenes konklusjoner. Det er deloppgaven som setter analysen av matematiske forhold som lineære ligninger i det eksisterende definisjonsdomenet til objektet som bringes i bakgrunnen. Netting i retning av ortogonalitet opphever fordelen med en enkelt absolutt verdi. Modulo løsning av ligninger på nett gir like mange løsninger hvis du åpner parentesene først med et plusstegn og deretter med et minustegn. I dette tilfellet vil det være dobbelt så mange løsninger, og resultatet blir mer nøyaktig. En stabil og korrekt online ligningskalkulator er suksess i å oppnå det tiltenkte målet i oppgaven satt av læreren. Nødvendig metode det ser ut til å være mulig å velge på grunn av de betydelige forskjellene i synet til store vitenskapsmenn. Den resulterende kvadratiske ligningen beskriver kurven til linjer, den såkalte parabelen, og tegnet vil bestemme dens konveksitet i det kvadratiske koordinatsystemet. Fra ligningen får vi både diskriminanten og selve røttene i henhold til Vietas teorem. Det første trinnet er å representere uttrykket som en riktig eller uekte brøk og bruke en brøkkalkulator. Avhengig av dette vil planen for våre videre beregninger dannes. Matematikk med teoretisk tilnærming vil være nyttig på alle trinn. Vi vil definitivt presentere resultatet som en kubikkligning, fordi vi vil skjule dets røtter i dette uttrykket for å forenkle oppgaven for en student ved et universitet. Eventuelle metoder er gode hvis de er egnet for overfladisk analyse. Ekstra regneoperasjoner vil ikke føre til regnefeil. Bestemmer svaret med en gitt nøyaktighet. Ved å bruke løsningen av ligninger, la oss innse det - å finne den uavhengige variabelen til en gitt funksjon er ikke så lett, spesielt i perioden med å studere parallelle linjer ved uendelig. Med tanke på unntaket er behovet svært åpenbart. Polaritetsforskjellen er tydelig. Fra erfaringen med undervisning ved institutter lærte læreren vår hovedleksjonen der online ligninger ble studert i full matematisk forstand. Her var det snakk om høyere innsats og spesielle ferdigheter i å anvende teorien. Til fordel for våre konklusjoner bør man ikke se gjennom et prisme. Inntil nylig ble det antatt at et lukket sett raskt øker over regionen som den er, og løsningen av ligningene må ganske enkelt undersøkes. På den første fasen vurderte vi ikke alt mulige alternativer, men denne tilnærmingen er mer berettiget enn noen gang. Ekstra handlinger med parentes rettferdiggjør noen fremskritt langs ordinat- og abscisse-aksene, som ikke kan overses med det blotte øye. I betydningen en omfattende proporsjonal økning i funksjonen er det et bøyningspunkt. Nok en gang skal vi bevise hvordan nødvendig tilstand vil bli brukt gjennom hele intervallet for minking av en eller annen synkende posisjon til vektoren. I et begrenset rom vil vi velge en variabel fra den første blokken i skriptet vårt. Et system konstruert som en basis langs tre vektorer er ansvarlig for fraværet av hovedkraftmomentet. Imidlertid genererte ligningskalkulatoren og hjalp til med å finne alle leddene i den konstruerte ligningen, både over overflaten og langs parallelle linjer. Omkring utgangspunkt La oss beskrive en bestemt sirkel. Dermed vil vi begynne å bevege oss oppover langs snittlinjene, og tangenten vil beskrive sirkelen langs hele dens lengde, noe som resulterer i en kurve som kalles en involutt. La oss forresten fortelle litt historie om denne kurven. Faktum er at det historisk sett i matematikken ikke fantes noe begrep om selve matematikken i sin rene forståelse slik den er i dag. Tidligere var alle forskere engasjert i en felles oppgave, det vil si vitenskap. Senere, flere århundrer senere, når vitenskapelige verden fylt med en kolossal mengde informasjon, identifiserte menneskeheten fortsatt mange disipliner. De er fortsatt uendret. Og likevel prøver forskere over hele verden hvert år å bevise at vitenskap er grenseløs, og du vil ikke løse ligningen med mindre du har kunnskap om feltet. naturvitenskap. Det er kanskje ikke mulig å endelig få slutt på det. Å tenke på dette er like meningsløst som å varme opp luften utenfor. La oss finne intervallet der argumentet, hvis verdien er positiv, vil bestemme modulen til verdien i kraftig økende retning. Reaksjonen vil hjelpe deg med å finne minst tre løsninger, men du må sjekke dem. La oss starte med det faktum at vi må løse ligningen online ved å bruke den unike tjenesten til nettstedet vårt. La oss legge inn begge sider av den gitte ligningen, klikk på "LØS"-knappen og få det eksakte svaret innen bare noen få sekunder. I spesielle tilfeller La oss ta en bok om matematikk og dobbeltsjekke svaret vårt, nemlig bare se på svaret og alt vil bli klart. Det samme prosjektet for et kunstig redundant parallellepiped vil fly ut. Det er et parallellogram med sin parallelle sider, og han forklarer mange prinsipper og tilnærminger for å studere det romlige forholdet til bottom-up-prosessen med hulromakkumulering i Eqs. naturlig utseende. Tvetydige lineære ligninger viser avhengigheten til den ønskede variabelen av vår felles for øyeblikket tid beslutning og du trenger å en eller annen måte utlede og bringe feil brøkdel til en ikke-triviell sak. Marker ti punkter på den rette linjen og tegn en kurve gjennom hvert punkt i gitt retning, med det konvekse punktet opp. Uten noen spesielle vanskeligheter vil ligningskalkulatoren vår presentere et uttrykk i en slik form at kontrollen av reglenes gyldighet vil være åpenbar selv i begynnelsen av opptaket. Systemet med spesielle representasjoner av stabilitet for matematikere kommer først, med mindre annet er gitt av formelen. Vi vil svare på dette ved å presentere en detaljert rapport om emnet den isomorfe tilstanden til et plastisk system av kropper og å løse ligninger online vil beskrive bevegelsen til hvert materielle punkt i dette systemet. På nivå med dybdeforskning vil det være nødvendig å avklare i detalj spørsmålet om inversjoner av i det minste det nedre laget av plass. I økende rekkefølge på diskontinuitetsdelen av funksjonen vil vi søke generell metode en utmerket forsker, forresten, vår landsmann, og vi vil snakke nedenfor om oppførselen til flyet. På grunn av de sterke egenskapene til en analytisk definert funksjon, bruker vi kun den elektroniske ligningskalkulatoren til det tiltenkte formålet innenfor de avledede grensene for autoritet. For å resonnere videre, vil vi fokusere vår gjennomgang på homogeniteten til selve ligningen, det vil si at dens høyre side er lik null. La oss nok en gang sørge for at avgjørelsen vår i matematikk er riktig. For å unngå å få en triviell løsning, vil vi gjøre noen justeringer av startbetingelsene for problemet med betinget stabilitet av systemet. La oss lage en andregradsligning, som vi skriver ut to oppføringer for ved hjelp av en velkjent formel og finner de negative røttene. Hvis en rot er fem enheter større enn den andre og tredje roten, vil vi dermed forvrenge startbetingelsene til deloppgaven ved å gjøre endringer i hovedargumentet. I sin natur kan noe uvanlig i matematikk alltid beskrives til nærmeste hundredel av et positivt tall. Fraksjonskalkulatoren er flere ganger bedre enn sine analoger på lignende ressurser i det beste øyeblikket med serverbelastning. På overflaten av hastighetsvektoren som vokser langs ordinataksen, tegner vi syv linjer, bøyd i retninger motsatt av hverandre. Kommensurabiliteten til det tilordnede funksjonsargumentet ligger foran avlesningene fra telleren for gjenvinningssaldo. I matematikk kan vi representere dette fenomenet gjennom en kubikkligning med imaginære koeffisienter, så vel som i den bipolare progresjonen av synkende linjer. Kritiske punkter for temperaturforskjell i mange av deres betydning og progresjon beskriver prosessen med å dekomponere en kompleks brøkfunksjon i faktorer. Hvis du får beskjed om å løse en ligning, ikke skynd deg å gjøre det med en gang, evaluer definitivt hele handlingsplanen, og bare deretter godta riktig tilnærming. Det vil garantert være fordeler. Enkelt arbeid er åpenbart, og det samme gjelder i matematikk. Løs ligningen på nett. Alle online ligninger representerer en bestemt type registrering av tall eller parametere og en variabel som må bestemmes. Beregn denne variabelen, det vil si finn spesifikke verdier eller intervaller for et sett med verdier som identiteten vil holde. De innledende og endelige betingelsene avhenger direkte. I generell løsning Ligninger inkluderer vanligvis noen variabler og konstanter, ved å angi som vil vi få hele familier av løsninger for en gitt problemstilling. Generelt rettferdiggjør dette innsatsen som er investert i å øke funksjonaliteten til en romlig kube med en side lik 100 centimeter. Du kan bruke et teorem eller et lemma på et hvilket som helst stadium av å konstruere et svar. Nettstedet produserer gradvis en ligningskalkulator, om nødvendig, på ethvert intervall av summering av produkter viser minste verdi. I halvparten av tilfellene oppfyller en slik kule, som er hul, ikke lenger kravene for å sette et mellomsvar. I det minste på ordinataksen i retning av avtagende vektorrepresentasjon vil denne andelen utvilsomt være mer optimal enn det forrige uttrykket. På timen da det gjennomføres en fullstendig punktanalyse på lineære funksjoner, vil vi faktisk sette sammen alle våre komplekse tall og bipolare plane rom. Ved å erstatte en variabel i det resulterende uttrykket, vil du løse ligningen trinn for trinn og gi det mest detaljerte svaret med høy nøyaktighet. Det ville være en god form for en elev å sjekke handlingene sine i matematikk en gang til. Andelen i forholdet mellom fraksjoner registrerte integriteten til resultatet i alle viktige aktivitetsområder for nullvektoren. Trivialitet bekreftes på slutten av de fullførte handlingene. Med en enkel oppgave kan det hende at elevene ikke har noen vanskeligheter hvis de løser ligningen online på kortest mulig tid, men ikke glem alle slags regler. Et sett med delmengder krysser hverandre i et område med konvergent notasjon. I forskjellige saker produktet er ikke feilaktig faktorisert. Du vil få hjelp til å løse ligningen online i vår første seksjon, dedikert til det grunnleggende om matematiske teknikker for viktige seksjoner for studenter ved universiteter og tekniske høyskoler. Vi trenger ikke å vente noen dager på svar, siden prosessen med den beste interaksjonen av vektoranalyse med sekvensielt funn av løsninger ble patentert på begynnelsen av forrige århundre. Det viser seg at innsatsen for å etablere relasjoner med teamet rundt ikke var forgjeves noe annet var åpenbart nødvendig først. Flere generasjoner senere fikk forskere over hele verden folk til å tro at matematikk er vitenskapens dronning. Enten det er det venstre eller det høyre svaret, uansett, de uttømmende begrepene må skrives i tre rader, siden vi i vårt tilfelle definitivt bare vil snakke om vektoranalyse av egenskapene til matrisen. Ikke-lineære og lineære ligninger, sammen med biquadratiske ligninger, har en spesiell plass i vår bok om beste praksiså beregne bevegelsesbanen i rommet til alle materielle punkter lukket system . En lineær analyse av skalarproduktet av tre påfølgende vektorer vil hjelpe oss å bringe ideen ut i livet. På slutten av hver setning gjøres oppgaven enklere ved å implementere optimaliserte numeriske unntak på tvers av tallromsoverleggene som utføres. En annen vurdering vil ikke kontrastere det funnet svaret i den vilkårlige formen til en trekant i en sirkel. Vinkelen mellom to vektorer inneholder den nødvendige prosentandelen av margin, og å løse ligninger online avslører ofte en viss felles rot av ligningen i motsetning til startbetingelsene. Unntaket spiller rollen som en katalysator i hele den uunngåelige prosessen med å finne en positiv løsning i feltet for å definere en funksjon. Hvis det ikke er sagt at du ikke kan bruke en datamaskin, så er en online ligningskalkulator akkurat riktig for dine vanskelige problemer. Du trenger bare å legge inn betingede data i riktig format, og serveren vår vil gi et fullstendig resultatsvar på kortest mulig tid. En eksponentiell funksjon øker mye raskere enn en lineær. Talmudene til smart biblioteklitteratur vitner om dette. Vil utføre en beregning i generell forstand slik en gitt kvadratisk ligning med tre komplekse koeffisienter ville gjort. Parablen i den øvre delen av halvplanet karakteriserer rettlinjet parallell bevegelse langs punktets akser. Her er det verdt å nevne den potensielle forskjellen i arbeidsområdet til kroppen. I bytte mot et suboptimalt resultat, inntar vår brøkkalkulator med rette den første posisjonen i den matematiske vurderingen av gjennomgangen av funksjonelle programmer på serversiden. Brukervennligheten til denne tjenesten vil bli verdsatt av millioner av Internett-brukere. Hvis du ikke vet hvordan du bruker den, hjelper vi deg gjerne. Vi vil også spesielt legge merke til og fremheve kubikkligningen fra en rekke grunnskoleoppgaver, når det er nødvendig å raskt finne dens røtter og konstruere en graf over funksjonen på et plan. Høyere grader av reproduksjon er et av de komplekse matematiske problemene ved instituttet og det avsettes tilstrekkelig antall timer til studiet. Som alle lineære ligninger er våre ikke noe unntak i henhold til mange objektive regler se fra forskjellige synspunkter, og det viser seg å være enkelt og tilstrekkelig til å sette startbetingelsene. Økningsintervallet faller sammen med konveksitetsintervallet til funksjonen. Løse ligninger online. Studiet av teori er basert på nettbaserte ligninger fra en rekke seksjoner om studiet av hoveddisiplinen. Ved en slik tilnærming i usikre problemer er det veldig enkelt å presentere løsningen til ligninger i en forhåndsbestemt form og ikke bare trekke konklusjoner, men også forutsi utfallet av en slik positiv løsning. Tjenesten vil hjelpe oss å lære fagområdet mest mulig beste tradisjoner matematikk, akkurat som det er vanlig i østen. På de beste øyeblikkene i tidsintervallet ble lignende oppgaver multiplisert med en felles faktor på ti. Overfloden av multiplikasjoner av flere variabler i ligningskalkulatoren begynte å multiplisere med kvalitet i stedet for kvantitative variabler som masse eller kroppsvekt. For å unngå tilfeller av ubalanse i materialsystemet, er utledningen av en tredimensjonal transformator på den trivielle konvergensen av ikke-degenererte matematiske matriser ganske åpenbar for oss. Fullfør oppgaven og løs likningen i de gitte koordinatene, siden konklusjonen er ukjent på forhånd, det samme er alle variablene som er inkludert i post-romtid. På kortsiktig flytt fellesfaktoren utover parentesen og del begge sider med den største fellesfaktoren på forhånd. Trekk ut under den resulterende dekkede undergruppen av tall på en detaljert måte trettitre poeng på rad i løpet av en kort periode. I den grad det på best mulig måteÅ løse en ligning på nettet er mulig for hver student. La oss si en viktig, men nøkkel ting, uten som det vil være vanskelig å leve i fremtiden. I forrige århundre la den store vitenskapsmannen merke til en rekke mønstre i teorien om matematikk. I praksis ble ikke resultatet helt det forventede inntrykket av hendelsene. Men i prinsippet hjelper denne løsningen av ligninger på nett til å forbedre forståelsen og oppfatningen av en helhetlig tilnærming til studier og praktisk konsolidering av det som er lært teoretisk materiale blant studenter. Det er mye lettere å gjøre dette i løpet av studietiden.

=

For å løse en ligning, må vi først bestemme hva slags ligning det er. Ligningen har 2 moduler. Modulen åpnes med pluss- og minustegn. Siden det er 2 moduler i likningen, har denne likningen 4 likninger, og derfor 4 røtter.

((|x| - 2) = 10;

- (|x| - 2) = 10;

Først åpner vi brakettene. Hvis det er et minustegn foran parentesene, endres tegnene til verdiene til det motsatte tegnet når de utvides. Hvis det er et plusstegn foran parentesene, forblir tegnene til verdiene uendret når de utvides. Det vil si at vi får:

Fra ligningen med modul ||x| - 2| = 10 fikk 4 ligninger

  1. x - 2 = 10;
  2. - x - 2 = 10;
  3. - x + 2 = 10;
  4. x + 2 = 10;

La oss løse hver ligning separat og finne røttene til ligningen. For å løse ligningene kjente verdier vi overfører dem til den ene siden, og de ukjente til den andre siden. Ved overføring av verdier endres fortegnene deres til motsatt fortegn. Det vil si at vi får:

2) - x - 2 = 10;

3) - x + 2 = 10;

Herfra har vi 4 røtter av ligningen:

  1. x = 12;
  2. x = -12;
  3. x = 8;
  4. x = - 8.

Modulen åpnes med pluss- og minustegn. Vi får 2 ligninger:
1) |x| - 2 = 10;

Vi overfører kjente verdier til den ene siden, og ukjente verdier til den andre siden. Ved overføring av verdier endres fortegnene deres til motsatt fortegn. Det vil si at vi får:
|x| = 10 + 2;
|x| = 12;
x = 12;
x = -12;
2) - (|x| - 2) = 10;

Åpne parentesen. Siden det er et minustegn foran parentesene, når de utvides, endres verdienes tegn til det motsatte tegnet. Det vil si at vi får:
- |x| + 2 = 10;
- |x| = 10-2;
- |x| = 8;
|x| = - 8;
x = 8;
x = -8;
Svar: x = 12, x = - 12, x = 8, x = - 8.

På 7. trinns matematikkkurs møter vi for første gang ligninger med to variabler, men de studeres bare i sammenheng med ligningssystemer med to ukjente. Det er grunnen til at en hel rekke problemer der visse forhold introduseres på koeffisientene til ligningen som begrenser dem faller ut av syne. I tillegg ignoreres metoder for å løse problemer som "Løs en ligning i naturlige tall eller heltall", selv om Unified State Exam materialer Og i opptaksprøver støter man på problemer av denne typen stadig oftere.

Hvilken ligning kalles en ligning med to variabler?

Så, for eksempel, ligningene 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, eller xy = 12 er ligninger i to variabler.

Tenk på ligningen 2x – y = 1. Den blir sann når x = 2 og y = 3, så dette paret med variabelverdier er en løsning på den aktuelle ligningen.

Dermed er løsningen på enhver ligning med to variabler et sett med ordnede par (x; y), verdier av variablene som gjør denne ligningen til en sann numerisk likhet.

En ligning med to ukjente kan:

EN) har én løsning. For eksempel har ligningen x 2 + 5y 2 = 0 en unik løsning (0; 0);

b) har flere løsninger. For eksempel har (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 4 løsninger: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) har ingen løsninger. For eksempel har likningen x 2 + y 2 + 1 = 0 ingen løsninger;

G) har uendelig mange løsninger. For eksempel, x + y = 3. Løsningene til denne ligningen vil være tall hvis sum er lik 3. Settet med løsninger til denne ligningen kan skrives på formen (k; 3 – k), der k er en hvilken som helst reelt tall.

Hovedmetodene for å løse likninger med to variabler er metoder basert på faktorisering av uttrykk, isolering av et komplett kvadrat, bruk av egenskapene til en kvadratisk ligning, begrensede uttrykk og estimeringsmetoder. Ligningen blir vanligvis transformert til en form som et system for å finne de ukjente kan hentes fra.

Faktorisering

Eksempel 1.

Løs ligningen: xy – 2 = 2x – y.

Løsning.

Vi grupperer begrepene for faktoriseringsformål:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Fra hver parentes tar vi ut en felles faktor:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Vi har:

y = 2, x – et hvilket som helst reelt tall eller x = -1, y – et hvilket som helst reelt tall.

Slik, svaret er alle parene av formen (x; 2), x € R og (-1; y), y € R.

Lik null er det ikke negative tall

Eksempel 2.

Løs ligningen: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Løsning.

Gruppering:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Nå kan hver brakett brettes ved å bruke kvadratisk forskjellsformel.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Summen av to ikke-negative uttrykk er null bare hvis 3x – 2 = 0 og 2y – 3 = 0.

Dette betyr x = 2/3 og y = 3/2.

Svar: (2/3; 3/2).

Estimeringsmetode

Eksempel 3.

Løs ligningen: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Løsning.

I hver parentes velger vi en komplett firkant:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. La oss anslå betydningen av uttrykkene i parentes.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 og (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, så er venstre side av ligningen alltid minst 2. Likhet er mulig hvis:

(x + 1) 2 + 1 = 1 og (y – 2) 2 + 2 = 2, som betyr x = -1, y = 2.

Svar: (-1; 2).

La oss bli kjent med en annen metode for å løse likninger med to variabler av andre grad. Denne metoden består i å behandle ligningen som kvadrat med hensyn til en variabel.

Eksempel 4.

Løs ligningen: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Løsning.

La oss løse ligningen som en andregradsligning for x. La oss finne diskriminanten:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Ligningen vil bare ha en løsning når D = 0, det vil si hvis y = 4. Vi erstatter verdien av y i den opprinnelige ligningen og finner at x = 3.

Svar: (3; 4).

Ofte i ligninger med to ukjente indikerer de restriksjoner på variabler.

Eksempel 5.

Løs ligningen i hele tall: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Løsning.

La oss omskrive likningen på formen x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Høyresiden av den resulterende likningen ved delt på 5 gir en rest av 2. Derfor er ikke x 2 delelig med 5. Men kvadratet av en tall som ikke er delelig med 5 gir en rest av 1 eller 4. Dermed er likhet umulig og det finnes ingen løsninger.

Svar: ingen røtter.

Eksempel 6.

Løs ligningen: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Løsning.

La oss fremheve de komplette rutene i hver parentes:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Venstre side av ligningen er alltid større enn eller lik 3. Likhet er mulig forutsatt |x| – 2 = 0 og y + 3 = 0. Dermed er x = ± 2, y = -3.

Svar: (2; -3) og (-2; -3).

Eksempel 7.

For hvert par negative heltall (x;y) som tilfredsstiller ligningen
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, beregn summen (x + y). Vennligst oppgi det minste beløpet i svaret.

Løsning.

La oss velge komplette firkanter:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Siden x og y er heltall, er kvadratene deres også heltall. Vi får summen av kvadratene av to heltall lik 37 hvis vi legger til 1 + 36. Derfor:

(x – y) 2 = 36 og (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 og (y + 2) 2 = 36.

Ved å løse disse systemene og ta i betraktning at x og y er negative, finner vi løsninger: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Svar: -17.

Fortvil ikke hvis du har problemer med å løse likninger med to ukjente. Med litt øvelse kan du håndtere enhver ligning.

Har du fortsatt spørsmål? Vet du ikke hvordan du løser ligninger i to variabler?
Registrer deg for å få hjelp fra en veileder.
Den første leksjonen er gratis!

nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves det en lenke til kilden.

Med dette matematikkprogrammet kan du løse andregradsligningen.

Programmet gir ikke bare svaret på problemet, men viser også løsningsprosessen på to måter:
- ved å bruke en diskriminant
- ved å bruke Vietas teorem (hvis mulig).

Dessuten vises svaret som nøyaktig, ikke omtrentlig.
For eksempel, for ligningen \(81x^2-16x-1=0\) vises svaret i følgende form:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ og ikke slik: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Dette programmet kan være nyttig for videregående skoleelever ungdomsskoler i forberedelse til tester og eksamener, når du tester kunnskap før Unified State Exam, for foreldre å kontrollere løsningen av mange problemer i matematikk og algebra. Eller kanskje det er for dyrt for deg å ansette en veileder eller kjøpe nye lærebøker? Eller vil du bare få det gjort så raskt som mulig? lekser

i matematikk eller algebra? I dette tilfellet kan du også bruke våre programmer med detaljerte løsninger. På denne måten kan du gjennomføre din egen trening og/eller trening. yngre brødre

eller søstre, mens utdanningsnivået i feltet problemer som løses øker.

Hvis du ikke er kjent med reglene for å legge inn et kvadratisk polynom, anbefaler vi at du gjør deg kjent med dem.

Regler for å legge inn et kvadratisk polynom
Enhver latinsk bokstav kan fungere som en variabel.

For eksempel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.
Tall kan legges inn som hele eller brøktall. Dessuten, brøktall

kan angis ikke bare som en desimal, men også som en vanlig brøk.
Regler for inntasting av desimalbrøker.
I desimalbrøker kan brøkdelen skilles fra hele delen med enten punktum eller komma. For eksempel kan du gå inn desimaler

slik: 2,5x - 3,5x^2
Regler for inntasting av vanlige brøker.

Bare et helt tall kan fungere som teller, nevner og heltallsdel av en brøk.

Nevneren kan ikke være negativ. /
Når du legger inn en numerisk brøk, skilles telleren fra nevneren med et divisjonstegn: &
Hele delen er atskilt fra brøken med og-tegnet:
Inngang: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2

Resultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\) Når du legger inn et uttrykk du kan bruke parenteser
. I dette tilfellet, når du løser en kvadratisk ligning, blir det introduserte uttrykket først forenklet.


=0
Eksempel: x^2+2x-1

Avgjøre
Det ble oppdaget at noen skript som er nødvendige for å løse dette problemet, ikke ble lastet inn, og at programmet kanskje ikke fungerer.
Du kan ha AdBlock aktivert.

I dette tilfellet, deaktiver den og oppdater siden.
JavaScript er deaktivert i nettleseren din.
For at løsningen skal vises, må du aktivere JavaScript.

Her er instruksjoner for hvordan du aktiverer JavaScript i nettleseren din.
Fordi Det er mange mennesker som er villige til å løse problemet, forespørselen din har blitt satt i kø.
Om noen sekunder vil løsningen vises nedenfor. Vennligst vent


sek... Hvis du, så kan du skrive om dette i tilbakemeldingsskjemaet.
Ikke glem angi hvilken oppgave du bestemmer hva skriv inn i feltene.



Våre spill, puslespill, emulatorer:

Litt teori.

Kvadratisk ligning og dens røtter. Ufullstendige andregradsligninger

Hver av ligningene
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ser ut som
\(ax^2+bx+c=0, \)
hvor x er en variabel, a, b og c er tall.
I den første ligningen a = -1, b = 6 og c = 1,4, i den andre a = 8, b = -7 og c = 0, i den tredje a = 1, b = 0 og c = 4/9. Slike ligninger kalles andregradsligninger.

Definisjon.
Kvadratisk ligning kalles en ligning av formen ax 2 +bx+c=0, der x er en variabel, a, b og c er noen tall, og \(a \neq 0 \).

Tallene a, b og c er koeffisientene til andregradsligningen. Tallet a kalles den første koeffisienten, tallet b er den andre koeffisienten, og tallet c er frileddet.

I hver av likningene på formen ax 2 +bx+c=0, hvor \(a\neq 0\), er den største potensen til variabelen x en kvadrat. Derav navnet: andregradsligning.

Merk at en kvadratisk ligning også kalles en ligning av andre grad, siden venstre side er et polynom av andre grad.

En annengradsligning der koeffisienten til x 2 er lik 1 kalles gitt andregradsligning. For eksempel er de gitte kvadratiske ligningene ligningene
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Hvis i en andregradsligning ax 2 +bx+c=0 minst én av koeffisientene b eller c lik null, så kalles en slik ligning ufullstendig andregradsligning. Dermed er ligningene -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ufullstendige andregradsligninger. I den første av dem er b=0, i den andre c=0, i den tredje b=0 og c=0.

Det er tre typer ufullstendige kvadratiske ligninger:
1) ax 2 +c=0, hvor \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, hvor \(b \neq 0 \);
3) øks 2 =0.

La oss vurdere å løse ligninger for hver av disse typene.

For å løse en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 +c=0 for \(c \neq 0 \), flytter du dens friledd til høyre side og deler begge sider av ligningen med a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Høyrepil x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Siden \(c \neq 0 \), deretter \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Hvis \(-\frac(c)(a)>0\), så har ligningen to røtter.

Hvis \(-\frac(c)(a) Å løse en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 +bx=0 med \(b \neq 0 \) faktor dens venstre side og få ligningen
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (matrise)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.

Dette betyr at en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 +bx=0 for \(b \neq 0 \) alltid har to røtter.

En ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 =0 tilsvarer ligningen x 2 =0 og har derfor en enkelt rot 0.

Formel for røttene til en kvadratisk ligning

La oss nå vurdere hvordan vi løser kvadratiske ligninger der begge koeffisientene til de ukjente og det frie leddet ikke er null.

La oss løse den andregradsligningen i generelt syn og som et resultat får vi formelen for røttene. Denne formelen kan deretter brukes til å løse enhver kvadratisk ligning.

Løs den andregradsligningen ax 2 +bx+c=0

Ved å dele begge sider med a, får vi den ekvivalente reduserte andregradsligningen
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

La oss transformere denne ligningen ved å velge kvadratet til binomialet:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^2- \venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Høyrepil \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^2 = \venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^ 2 - \frac(c)(a) \Høyrepil \) \(\venstre(x+\frac(b)(2a)\høyre)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Høyrepil \venstre(x+\frac(b)(2a)\høyre)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Høyrepil \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Høyrepil x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Høyrepil \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Det radikale uttrykket kalles diskriminant av en andregradsligning ax 2 +bx+c=0 ("diskriminerende" på latin - diskriminator). Det er betegnet med bokstaven D, dvs.
\(D = b^2-4ac\)

Nå, ved å bruke diskriminantnotasjonen, omskriver vi formelen for røttene til den kvadratiske ligningen:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), hvor \(D= b^2-4ac \)

Det er åpenbart at:
1) Hvis D>0, så har andregradsligningen to røtter.
2) Hvis D=0, så har den andregradsligningen én rot \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Hvis D Altså, avhengig av verdien av diskriminanten, kan en andregradsligning ha to røtter (for D > 0), en rot (for D = 0) eller ha ingen røtter (for D Når du løser en andregradsligning ved å bruke denne formel, er det tilrådelig å gjøre følgende:
1) beregne diskriminanten og sammenligne den med null;
2) hvis diskriminanten er positiv eller lik null, bruk rotformelen hvis diskriminanten er negativ, skriv ned at det ikke er noen røtter.

Vietas teorem

Den gitte andregradsligningen ax 2 -7x+10=0 har røttene 2 og 5. Summen av røttene er 7, og produktet er 10. Vi ser at summen av røttene er lik den andre koeffisienten tatt med det motsatte tegn, og produktet av røttene er lik frileddet. Enhver redusert kvadratisk ligning som har røtter har denne egenskapen.

Summen av røttene til den ovennevnte kvadratiske ligningen er lik den andre koeffisienten tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene er lik frileddet.

De. Vietas teorem sier at røttene x 1 og x 2 av den reduserte kvadratiske ligningen x 2 +px+q=0 har egenskapen:
\(\venstre\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Hva annet å lese