Eksempler:
\(3x^2-26x+5=0\)
\((4-x)(4x-3)=3\)
\(\frac(x^2)(2)\) \(+\) \(\frac(2x)(3)\) \(=\)\(\frac(x-2)(6)\)
I det første eksemplet \(a=3\), \(b=-26\), \(c=5\). I de to andre er \(a\),\(b\) og \(c\) ikke uttrykt eksplisitt. Men hvis disse ligningene transformeres til formen \(ax^2+bx+c=0\), vil de definitivt vises.
Så, standard algoritme for å løse den komplette andregradsligning :
Transformer ligningen til formen \(ax^2+bx+c=0\).
Skriv ned verdiene til koeffisientene \(a\), \(b\) og \(c\).
Ikke hopp over dette stadiet før du har mestret å løse andregradsligninger til et punkt av automatikk! Vær spesielt oppmerksom på at tegnet foran begrepet er tatt inn i koeffisienten. Det vil si at for ligningen \(2x^2-3x+5=0\), er koeffisienten \(b=-3\), og ikke \(3\).
Svare : \(x_1=3\), \(x_2=-2,5\).
Løs den andregradsligningen \(x^2+9=6x\)
Løsning
:
Svare : \(x=3\).
Løs den andregradsligningen \(3x^2+x+2=0\)
Løsning
:
Svare : ingen røtter.
Dessuten kan mange andregradsligninger løses ved hjelp av. Det er raskere, men krever litt ferdigheter.
Eksempel
. Løs ligningen \(x^2-7x+6=0\).
Løsning
: I følge Vietas inverse teorem vil røttene til ligningen være de tallene som i produktet vil gi \(6\), og i summen \(7\). Enkelt utvalg vi finner at disse tallene er \(1\) og \(6\). Dette er røttene våre (du kan sjekke løsningen ved å bruke diskriminanten).
Svare
: \(x_1=1\), \(x_2=6\).
Denne teoremet er praktisk å bruke med kvadratiske ligninger som har heltallskoeffisienter \(b\) og \(c\).
For å løse en ligning, må vi først bestemme hva slags ligning det er. Ligningen har 2 moduler. Modulen åpnes med pluss- og minustegn. Siden det er 2 moduler i likningen, har denne likningen 4 likninger, og derfor 4 røtter.
((|x| - 2) = 10;
- (|x| - 2) = 10;
Først åpner vi brakettene. Hvis det er et minustegn foran parentesene, endres tegnene til verdiene til det motsatte tegnet når de utvides. Hvis det er et plusstegn foran parentesene, forblir tegnene til verdiene uendret når de utvides. Det vil si at vi får:
La oss løse hver ligning separat og finne røttene til ligningen. For å løse ligningene kjente verdier vi overfører dem til den ene siden, og de ukjente til den andre siden. Ved overføring av verdier endres fortegnene deres til motsatt fortegn. Det vil si at vi får:
2) - x - 2 = 10;
3) - x + 2 = 10;
Herfra har vi 4 røtter av ligningen:
Modulen åpnes med pluss- og minustegn. Vi får 2 ligninger:
1) |x| - 2 = 10;
Vi overfører kjente verdier til den ene siden, og ukjente verdier til den andre siden. Ved overføring av verdier endres fortegnene deres til motsatt fortegn. Det vil si at vi får:
|x| = 10 + 2;
|x| = 12;
x = 12;
x = -12;
2) - (|x| - 2) = 10;
Åpne parentesen. Siden det er et minustegn foran parentesene, når de utvides, endres verdienes tegn til det motsatte tegnet. Det vil si at vi får:
- |x| + 2 = 10;
- |x| = 10-2;
- |x| = 8;
|x| = - 8;
x = 8;
x = -8;
Svar: x = 12, x = - 12, x = 8, x = - 8.
På 7. trinns matematikkkurs møter vi for første gang ligninger med to variabler, men de studeres bare i sammenheng med ligningssystemer med to ukjente. Det er grunnen til at en hel rekke problemer der visse forhold introduseres på koeffisientene til ligningen som begrenser dem faller ut av syne. I tillegg ignoreres metoder for å løse problemer som "Løs en ligning i naturlige tall eller heltall", selv om Unified State Exam materialer Og i opptaksprøver støter man på problemer av denne typen stadig oftere.
Hvilken ligning kalles en ligning med to variabler?
Så, for eksempel, ligningene 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, eller xy = 12 er ligninger i to variabler.
Tenk på ligningen 2x – y = 1. Den blir sann når x = 2 og y = 3, så dette paret med variabelverdier er en løsning på den aktuelle ligningen.
Dermed er løsningen på enhver ligning med to variabler et sett med ordnede par (x; y), verdier av variablene som gjør denne ligningen til en sann numerisk likhet.
En ligning med to ukjente kan:
EN) har én løsning. For eksempel har ligningen x 2 + 5y 2 = 0 en unik løsning (0; 0);
b) har flere løsninger. For eksempel har (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 4 løsninger: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
V) har ingen løsninger. For eksempel har likningen x 2 + y 2 + 1 = 0 ingen løsninger;
G) har uendelig mange løsninger. For eksempel, x + y = 3. Løsningene til denne ligningen vil være tall hvis sum er lik 3. Settet med løsninger til denne ligningen kan skrives på formen (k; 3 – k), der k er en hvilken som helst reelt tall.
Hovedmetodene for å løse likninger med to variabler er metoder basert på faktorisering av uttrykk, isolering av et komplett kvadrat, bruk av egenskapene til en kvadratisk ligning, begrensede uttrykk og estimeringsmetoder. Ligningen blir vanligvis transformert til en form som et system for å finne de ukjente kan hentes fra.
Faktorisering
Eksempel 1.
Løs ligningen: xy – 2 = 2x – y.
Løsning.
Vi grupperer begrepene for faktoriseringsformål:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Fra hver parentes tar vi ut en felles faktor:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Vi har:
y = 2, x – et hvilket som helst reelt tall eller x = -1, y – et hvilket som helst reelt tall.
Slik, svaret er alle parene av formen (x; 2), x € R og (-1; y), y € R.
Lik null er det ikke negative tall
Eksempel 2.
Løs ligningen: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Løsning.
Gruppering:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Nå kan hver brakett brettes ved å bruke kvadratisk forskjellsformel.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
Summen av to ikke-negative uttrykk er null bare hvis 3x – 2 = 0 og 2y – 3 = 0.
Dette betyr x = 2/3 og y = 3/2.
Svar: (2/3; 3/2).
Estimeringsmetode
Eksempel 3.
Løs ligningen: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
Løsning.
I hver parentes velger vi en komplett firkant:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. La oss anslå betydningen av uttrykkene i parentes.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 og (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, så er venstre side av ligningen alltid minst 2. Likhet er mulig hvis:
(x + 1) 2 + 1 = 1 og (y – 2) 2 + 2 = 2, som betyr x = -1, y = 2.
Svar: (-1; 2).
La oss bli kjent med en annen metode for å løse likninger med to variabler av andre grad. Denne metoden består i å behandle ligningen som kvadrat med hensyn til en variabel.
Eksempel 4.
Løs ligningen: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
Løsning.
La oss løse ligningen som en andregradsligning for x. La oss finne diskriminanten:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Ligningen vil bare ha en løsning når D = 0, det vil si hvis y = 4. Vi erstatter verdien av y i den opprinnelige ligningen og finner at x = 3.
Svar: (3; 4).
Ofte i ligninger med to ukjente indikerer de restriksjoner på variabler.
Eksempel 5.
Løs ligningen i hele tall: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Løsning.
La oss omskrive likningen på formen x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Høyresiden av den resulterende likningen ved delt på 5 gir en rest av 2. Derfor er ikke x 2 delelig med 5. Men kvadratet av en tall som ikke er delelig med 5 gir en rest av 1 eller 4. Dermed er likhet umulig og det finnes ingen løsninger.
Svar: ingen røtter.
Eksempel 6.
Løs ligningen: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
Løsning.
La oss fremheve de komplette rutene i hver parentes:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Venstre side av ligningen er alltid større enn eller lik 3. Likhet er mulig forutsatt |x| – 2 = 0 og y + 3 = 0. Dermed er x = ± 2, y = -3.
Svar: (2; -3) og (-2; -3).
Eksempel 7.
For hvert par negative heltall (x;y) som tilfredsstiller ligningen
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, beregn summen (x + y). Vennligst oppgi det minste beløpet i svaret.
Løsning.
La oss velge komplette firkanter:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Siden x og y er heltall, er kvadratene deres også heltall. Vi får summen av kvadratene av to heltall lik 37 hvis vi legger til 1 + 36. Derfor:
(x – y) 2 = 36 og (y + 2) 2 = 1
(x – y) 2 = 1 og (y + 2) 2 = 36.
Ved å løse disse systemene og ta i betraktning at x og y er negative, finner vi løsninger: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Svar: -17.
Fortvil ikke hvis du har problemer med å løse likninger med to ukjente. Med litt øvelse kan du håndtere enhver ligning.
Har du fortsatt spørsmål? Vet du ikke hvordan du løser ligninger i to variabler?
Registrer deg for å få hjelp fra en veileder.
Den første leksjonen er gratis!
nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves det en lenke til kilden.
Med dette matematikkprogrammet kan du løse andregradsligningen.
Programmet gir ikke bare svaret på problemet, men viser også løsningsprosessen på to måter:
- ved å bruke en diskriminant
- ved å bruke Vietas teorem (hvis mulig).
Dessuten vises svaret som nøyaktig, ikke omtrentlig.
For eksempel, for ligningen \(81x^2-16x-1=0\) vises svaret i følgende form:
Dette programmet kan være nyttig for videregående skoleelever ungdomsskoler i forberedelse til tester og eksamener, når du tester kunnskap før Unified State Exam, for foreldre å kontrollere løsningen av mange problemer i matematikk og algebra. Eller kanskje det er for dyrt for deg å ansette en veileder eller kjøpe nye lærebøker? Eller vil du bare få det gjort så raskt som mulig? lekser
i matematikk eller algebra? I dette tilfellet kan du også bruke våre programmer med detaljerte løsninger. På denne måten kan du gjennomføre din egen trening og/eller trening. yngre brødre
eller søstre, mens utdanningsnivået i feltet problemer som løses øker.
Hvis du ikke er kjent med reglene for å legge inn et kvadratisk polynom, anbefaler vi at du gjør deg kjent med dem.
Regler for å legge inn et kvadratisk polynom
Enhver latinsk bokstav kan fungere som en variabel.
For eksempel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.
Tall kan legges inn som hele eller brøktall. Dessuten, brøktall
kan angis ikke bare som en desimal, men også som en vanlig brøk.
Regler for inntasting av desimalbrøker.
I desimalbrøker kan brøkdelen skilles fra hele delen med enten punktum eller komma. For eksempel kan du gå inn desimaler
slik: 2,5x - 3,5x^2
Regler for inntasting av vanlige brøker.
Bare et helt tall kan fungere som teller, nevner og heltallsdel av en brøk.
Nevneren kan ikke være negativ. /
Når du legger inn en numerisk brøk, skilles telleren fra nevneren med et divisjonstegn: &
Hele delen er atskilt fra brøken med og-tegnet:
Inngang: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Resultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\) Når du legger inn et uttrykk du kan bruke parenteser
. I dette tilfellet, når du løser en kvadratisk ligning, blir det introduserte uttrykket først forenklet.
Avgjøre
Det ble oppdaget at noen skript som er nødvendige for å løse dette problemet, ikke ble lastet inn, og at programmet kanskje ikke fungerer.
Du kan ha AdBlock aktivert.
Her er instruksjoner for hvordan du aktiverer JavaScript i nettleseren din.
Fordi Det er mange mennesker som er villige til å løse problemet, forespørselen din har blitt satt i kø.
Om noen sekunder vil løsningen vises nedenfor. Vennligst vent
sek... Hvis du, så kan du skrive om dette i tilbakemeldingsskjemaet.
Ikke glem angi hvilken oppgave du bestemmer hva skriv inn i feltene.
Våre spill, puslespill, emulatorer:
Hver av ligningene
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ser ut som
\(ax^2+bx+c=0, \)
hvor x er en variabel, a, b og c er tall.
I den første ligningen a = -1, b = 6 og c = 1,4, i den andre a = 8, b = -7 og c = 0, i den tredje a = 1, b = 0 og c = 4/9. Slike ligninger kalles andregradsligninger.
Definisjon.
Kvadratisk ligning kalles en ligning av formen ax 2 +bx+c=0, der x er en variabel, a, b og c er noen tall, og \(a \neq 0 \).
Tallene a, b og c er koeffisientene til andregradsligningen. Tallet a kalles den første koeffisienten, tallet b er den andre koeffisienten, og tallet c er frileddet.
I hver av likningene på formen ax 2 +bx+c=0, hvor \(a\neq 0\), er den største potensen til variabelen x en kvadrat. Derav navnet: andregradsligning.
Merk at en kvadratisk ligning også kalles en ligning av andre grad, siden venstre side er et polynom av andre grad.
En annengradsligning der koeffisienten til x 2 er lik 1 kalles gitt andregradsligning. For eksempel er de gitte kvadratiske ligningene ligningene
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Hvis i en andregradsligning ax 2 +bx+c=0 minst én av koeffisientene b eller c lik null, så kalles en slik ligning ufullstendig andregradsligning. Dermed er ligningene -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ufullstendige andregradsligninger. I den første av dem er b=0, i den andre c=0, i den tredje b=0 og c=0.
Det er tre typer ufullstendige kvadratiske ligninger:
1) ax 2 +c=0, hvor \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, hvor \(b \neq 0 \);
3) øks 2 =0.
La oss vurdere å løse ligninger for hver av disse typene.
For å løse en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 +c=0 for \(c \neq 0 \), flytter du dens friledd til høyre side og deler begge sider av ligningen med a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Høyrepil x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
Siden \(c \neq 0 \), deretter \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
Hvis \(-\frac(c)(a)>0\), så har ligningen to røtter.
Hvis \(-\frac(c)(a) Å løse en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 +bx=0 med \(b \neq 0 \) faktor dens venstre side og få ligningen
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (matrise)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.
Dette betyr at en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 +bx=0 for \(b \neq 0 \) alltid har to røtter.
En ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 =0 tilsvarer ligningen x 2 =0 og har derfor en enkelt rot 0.
La oss nå vurdere hvordan vi løser kvadratiske ligninger der begge koeffisientene til de ukjente og det frie leddet ikke er null.
La oss løse den andregradsligningen i generelt syn og som et resultat får vi formelen for røttene. Denne formelen kan deretter brukes til å løse enhver kvadratisk ligning.
Løs den andregradsligningen ax 2 +bx+c=0
Ved å dele begge sider med a, får vi den ekvivalente reduserte andregradsligningen
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)
La oss transformere denne ligningen ved å velge kvadratet til binomialet:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^2- \venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Høyrepil \)
Det radikale uttrykket kalles diskriminant av en andregradsligning ax 2 +bx+c=0 ("diskriminerende" på latin - diskriminator). Det er betegnet med bokstaven D, dvs.
\(D = b^2-4ac\)
Nå, ved å bruke diskriminantnotasjonen, omskriver vi formelen for røttene til den kvadratiske ligningen:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), hvor \(D= b^2-4ac \)
Det er åpenbart at:
1) Hvis D>0, så har andregradsligningen to røtter.
2) Hvis D=0, så har den andregradsligningen én rot \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Hvis D Altså, avhengig av verdien av diskriminanten, kan en andregradsligning ha to røtter (for D > 0), en rot (for D = 0) eller ha ingen røtter (for D Når du løser en andregradsligning ved å bruke denne formel, er det tilrådelig å gjøre følgende:
1) beregne diskriminanten og sammenligne den med null;
2) hvis diskriminanten er positiv eller lik null, bruk rotformelen hvis diskriminanten er negativ, skriv ned at det ikke er noen røtter.
Den gitte andregradsligningen ax 2 -7x+10=0 har røttene 2 og 5. Summen av røttene er 7, og produktet er 10. Vi ser at summen av røttene er lik den andre koeffisienten tatt med det motsatte tegn, og produktet av røttene er lik frileddet. Enhver redusert kvadratisk ligning som har røtter har denne egenskapen.
Summen av røttene til den ovennevnte kvadratiske ligningen er lik den andre koeffisienten tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene er lik frileddet.
De. Vietas teorem sier at røttene x 1 og x 2 av den reduserte kvadratiske ligningen x 2 +px+q=0 har egenskapen:
\(\venstre\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)
kayabaparts.ru - Gang, kjøkken, stue. Hage. Stoler. Soverom