Løs likningen med brøk 5. Spesielle tilfeller av å løse likninger

Ligninger som inneholder en variabel i nevneren kan løses på to måter:

Redusere brøker til en fellesnevner

Bruke den grunnleggende egenskapen proporsjon

Uavhengig av metoden som er valgt, er det nødvendig, etter å ha funnet røttene til ligningen, å velge de akseptable verdiene fra de funnet verdiene, det vil si de som ikke snur nevneren til $0$.

1 vei. Å bringe brøker til en fellesnevner.

Eksempel 1

$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$

Beslutning:

1. Flytt brøken fra høyre side av ligningen til venstre

\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]

For å gjøre dette riktig, husker vi at når du flytter elementer til en annen del av ligningen, endres tegnet foran uttrykkene til det motsatte. Så hvis det på høyre side var et "+"-tegn før brøken, så vil det være et "-"-tegn foran på venstre side. Så på venstre side får vi forskjellen på brøkene.

2. Nå legger vi merke til at brøkene har ulike nevnere, noe som betyr at for å gjøre opp forskjellen er det nødvendig å bringe brøkene til en fellesnevner. Fellesnevneren vil være produktet av polynomene i nevnerne til de opprinnelige brøkene: $(2x-1)(x+3)$

For å få et identisk uttrykk må telleren og nevneren til den første brøken multipliseres med polynomet $(x+3)$, og det andre med polynomet $(2x-1)$.

\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]

La oss utføre transformasjonen i telleren til den første brøken - vi multipliserer polynomene. Husk at for dette er det nødvendig å multiplisere det første leddet i det første polynomet, multiplisere med hvert ledd i det andre polynomet, deretter multiplisere det andre leddet i det første polynomet med hvert ledd i det andre polynomet og legge til resultatene

\[\venstre(2x+3\høyre)\venstre(x+3\høyre)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]

Vi presenterer lignende termer i det resulterende uttrykket

\[\venstre(2x+3\høyre)\venstre(x+3\høyre)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]

Utfør en lignende transformasjon i telleren til den andre brøken - vi multipliserer polynomene

$\venstre(x-5\høyre)\venstre(2x-1\høyre)=x\cdot 2x-x\cdot 1-5\cdot 2x+5\cdot 1=(2x)^2-x-10x+ 5 =(2x)^2-11x+5$

Deretter vil ligningen ha formen:

\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]

Nå brøker med samme nevner, så du kan trekke fra. Husk at når du trekker fra brøker med samme nevner fra telleren til den første brøken, er det nødvendig å trekke fra telleren til den andre brøken, og la nevneren være den samme

\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]

La oss transformere uttrykket i telleren. For å åpne parentesene foran med "-"-tegnet, må alle tegn foran termene i parentes være reversert

\[(2x)^2+9x+9-\venstre((2x)^2-11x+5\høyre)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]

Vi presenterer like vilkår

$(2x)^2+9x+9-\venstre((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $

Deretter vil brøken ta formen

\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]

3. En brøk er lik $0$ hvis dens teller er 0. Derfor likestiller vi telleren for brøken til $0$.

\[(\rm 20x+4=0)\]

La oss løse den lineære ligningen:

4. La oss prøve røttene. Dette betyr at det er nødvendig å sjekke om nevnerne til de opprinnelige brøkene blir til $0$ når røttene er funnet.

Vi setter betingelsen om at nevnerne ikke er lik $0$

x$\ne 0,5$ x$\ne -3$

Dette betyr at alle verdiene til variablene er tillatt, bortsett fra $-3$ og $0,5$.

Roten vi fant er en gyldig verdi, så den kan trygt betraktes som roten av ligningen. Hvis den funnet roten ikke var en gyldig verdi, ville en slik rot være fremmed og selvfølgelig ikke inkludert i svaret.

Svar:$-0,2.$

Nå kan vi skrive en algoritme for å løse en ligning som inneholder en variabel i nevneren

En algoritme for å løse en ligning som inneholder en variabel i nevneren

Flytt alle elementene fra høyre side av ligningen til venstre side. For å få en identisk ligning, er det nødvendig å endre alle tegn foran uttrykkene på høyre side til motsatt

Hvis vi på venstre side får et uttrykk med forskjellige nevnere, så bringer vi dem til et felles ved å bruke hovedegenskapen til brøken. Utfør transformasjoner med identiske transformasjoner og få den siste brøken lik $0$.

Lik telleren med $0$ og finn røttene til den resulterende ligningen.

La oss prøve røttene, dvs. finn gyldige variabelverdier som ikke snur nevneren til $0$.

2-veis. Bruke den grunnleggende egenskapen proporsjon

Hovedegenskapen til en proporsjon er at produktet av de ekstreme leddene til andelen er lik produktet av de midterste leddene.

Eksempel 2

Vi bruker denne egenskapen til å løse denne oppgaven

\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]

1. La oss finne og sette likhetstegn mellom produktet av de ekstreme og midterste medlemmene av andelen.

$\venstre(2x+3\høyre)\cdot(\ x+3)=\venstre(x-5\høyre)\cdot(2x-1)$

\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]

Ved å løse den resulterende ligningen finner vi røttene til originalen

2. La oss finne tillatte verdier for en variabel.

Fra den forrige løsningen (1. vei) har vi allerede funnet ut at alle verdier er tillatt bortsett fra $-3$ og $0,5$.

Så, etter å ha fastslått at den funnet roten er en gyldig verdi, fant vi ut at $-0,2$ vil være roten.

"Løsning av rasjonelle brøklikninger"

Leksjonens mål:

Opplæringen:

dannelse av konseptet med rasjonelle brøklikninger; å vurdere ulike måter å løse rasjonelle brøklikninger på; vurdere en algoritme for å løse rasjonelle brøklikninger, inkludert betingelsen om at brøken er lik null; å lære løsningen av rasjonelle brøklikninger i henhold til algoritmen; sjekke nivået av assimilering av emnet ved å utføre testarbeid.

Utvikler:

utvikling av evnen til å fungere korrekt med den ervervede kunnskapen, til å tenke logisk; utvikling av intellektuelle ferdigheter og mentale operasjoner - analyse, syntese, sammenligning og generalisering; utvikling av initiativ, evnen til å ta beslutninger, ikke å stoppe der; utvikling kritisk tenking; utvikling av forskningskompetanse.

Pleie:

utdanning av kognitiv interesse for emnet; utdanning av uavhengighet i beslutninger Læringsmål; utdanning av vilje og utholdenhet for å oppnå de endelige resultatene.

Leksjonstype: leksjon - forklaring av nytt stoff.

I løpet av timene

1. Organisatorisk øyeblikk.

Hei folkens! Ligninger er skrevet på tavlen, se nøye på dem. Kan du løse alle disse ligningene? Hvilke er det ikke og hvorfor?

Ligninger der venstre og høyre side er rasjonelle brøkuttrykk kalles rasjonelle brøklikninger. Hva tror du vi skal studere i dag i leksjonen? Formuler temaet for leksjonen. Så vi åpner notatbøker og skriver ned emnet for leksjonen "Løsning av rasjonelle brøklikninger".

2. Aktualisering av kunnskap. Frontalundersøkelse, muntlig arbeid med klassen.

Og nå vil vi gjenta det viktigste teoretiske materialet som vi trenger å studere nytt emne. Vennligst svar på følgende spørsmål:

1. Hva er en ligning? ( Likhet med en variabel eller variabler.)

2. Hva kalles ligning #1? ( Lineær.) Løsningsmetode lineære ligninger. (Flytt alt med det ukjente til venstre side av ligningen, alle tall til høyre. Ta med like vilkår. Finn den ukjente multiplikatoren).

3. Hva kalles ligning #3? ( Torget.) Måter å løse andregradsligninger. (Valg av hele kvadratet, etter formler, ved å bruke Vieta-teoremet og dets konsekvenser.)

4. Hva er en proporsjon? ( Likestilling av to relasjoner.) Hovedegenskapen til proporsjoner. ( Hvis andelen er sann, er produktet av de ekstreme leddene lik produktet av de midterste leddene.)

5. Hvilke egenskaper brukes til å løse likninger? ( 1. Hvis vi i likningen overfører begrepet fra en del til en annen, og endrer fortegn, får vi en likning tilsvarende den gitte. 2. Hvis begge deler av ligningen multipliseres eller divideres med det samme tallet som ikke er null, vil det fås en ligning som tilsvarer den gitte.)

6. Når er en brøk lik null? ( Brøken er null når telleren null, og nevneren er ikke lik null.)

3. Forklaring av nytt materiale.

Løs ligning nr. 2 i notatbøker og på tavlen.

Svar: 10.

Hvilken rasjonell brøkligning kan du prøve å løse ved å bruke den grunnleggende egenskapen proporsjon? (nr. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Løs likning nr. 4 i notatbøker og på tavlen.

Svar: 1,5.

Hvilken rasjonell brøkligning kan du prøve å løse ved å multiplisere begge sider av likningen med nevneren? (nr. 6).

D=1>0, x1=3, x2=4.

Svar: 3;4.

Prøv nå å løse ligning #7 på en av måtene.

Forklar hvorfor dette skjedde? Hvorfor er det tre røtter i det ene tilfellet og to i det andre? Hvilke tall er røttene til denne rasjonelle brøklikningen?

Til nå har ikke elevene møtt begrepet en fremmed rot, det er egentlig veldig vanskelig for dem å forstå hvorfor dette skjedde. Hvis ingen i klassen kan gi en klar forklaring på denne situasjonen, stiller læreren ledende spørsmål.

Hvordan skiller ligning nr. 2 og 4 seg fra ligning nr. 5,6,7? ( I ligning nr. 2 og 4 i nevneren av tallet, nr. 5-7 - uttrykk med en variabel.) Hva er roten til ligningen? ( Verdien av variabelen der ligningen blir en sann likhet.) Hvordan finne ut om tallet er roten av ligningen? ( Gjør en sjekk.)

Når de gjør en test, merker noen elever at de må dele på null. De konkluderer med at tallene 0 og 5 ikke er røttene til denne ligningen. Spørsmålet oppstår: er det en måte å løse rasjonelle brøklikninger på som lar oss eliminere gitt feil? Ja, denne metoden er basert på betingelsen om at brøken er lik null.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Hvis x=5, så er x(x-5)=0, så 5 er en fremmed rot.

Hvis x=-2, så x(x-5)≠0.

Svar: -2.

La oss prøve å formulere en algoritme for å løse rasjonelle brøklikninger på denne måten. Barna formulerer selv algoritmen.

Algoritme for å løse rasjonelle brøklikninger:

1. Flytt alt til venstre side.

2. Ta med brøker til en fellesnevner.

3. Lag et system: brøken er lik null når telleren er lik null, og nevneren ikke er lik null.

4. Løs ligningen.

5. Sjekk ulikheten for å utelukke fremmede røtter.

6. Skriv ned svaret.

Diskusjon: hvordan formalisere løsningen hvis den grunnleggende egenskapen proporsjon brukes og multiplikasjon av begge sider av ligningen med en fellesnevner. (Suppler løsningen: ekskluder fra røttene de som snur fellesnevneren til null).

4. Primær forståelse av nytt materiale.

Arbeid i par. Elevene velger hvordan de skal løse ligningen på egenhånd, avhengig av type ligning. Oppgaver fra læreboka "Algebra 8", 2007: nr. 000 (b, c, i); nr. 000(a, e, g). Læreren kontrollerer gjennomføringen av oppgaven, svarer på spørsmålene som har dukket opp, og gir bistand til dårlig presterende elever. Selvtest: Svar skrives på tavlen.

b) 2 er en fremmed rot. Svar: 3.

c) 2 er en fremmed rot. Svar: 1.5.

a) Svar: -12.5.

g) Svar: 1; 1,5.

5. Uttalelse av lekser.

2. Lær algoritmen for å løse rasjonelle brøklikninger.

3. Løs i notatbøker nr. 000 (a, d, e); nr. 000(g, h).

4. Prøv å løse nr. 000(a) (valgfritt).

6. Gjennomføring av kontrolloppgaven på det studerte temaet.

Arbeidet gjøres på ark.

Eksempel på jobb:

A) Hvilke av ligningene er brøkrasjonelle?

B) En brøk er null når telleren er ___________ og nevneren er _______________________.

Sp) Er tallet -3 roten til ligning #6?

D) Løs ligning nr. 7.

Kriterier for oppgaveevaluering:

«5» gis dersom eleven har fullført mer enn 90 % av oppgaven riktig. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" gis til eleven som fullførte mindre enn 50% av oppgaven. Karakter 2 settes ikke i journalen, 3 er valgfritt.

7. Refleksjon.

På brosjyrene med selvstendig arbeid, skriv:

1 - hvis leksjonen var interessant og forståelig for deg; 2 - interessant, men ikke klart; 3 - ikke interessant, men forståelig; 4 - ikke interessant, ikke klart.

8. Oppsummering av leksjonen.

Så, i dag i leksjonen ble vi kjent med rasjonelle brøklikninger, lærte hvordan vi løser disse ligningene forskjellige måter, testet kunnskapen deres ved hjelp av trening selvstendig arbeid. Du vil lære resultatene av selvstendig arbeid i neste leksjon, hjemme vil du ha muligheten til å konsolidere den oppnådde kunnskapen.

Hvilken metode for å løse rasjonelle brøklikninger er etter din mening enklere, mer tilgjengelig, mer rasjonell? Uansett metode for å løse rasjonelle brøklikninger, hva bør ikke glemmes? Hva er "sluen" med rasjonelle brøklikninger?

Takk alle sammen, leksjonen er over.

Så langt har vi bare løst heltallsligninger med hensyn til det ukjente, det vil si ligninger der nevnerne (hvis noen) ikke inneholdt det ukjente.

Ofte må man løse likninger som inneholder det ukjente i nevnerne: slike likninger kalles brøk.

For å løse denne ligningen multipliserer vi begge sider av den med det vil si med et polynom som inneholder det ukjente. Vil den nye ligningen være ekvivalent med den gitte? For å svare på spørsmålet, la oss løse denne ligningen.

Multipliserer begge sider av det med , får vi:

Ved å løse denne ligningen av første grad finner vi:

Så ligning (2) har en enkelt rot

Setter vi den inn i ligning (1), får vi:

Derfor er også roten til ligning (1).

Ligning (1) har ingen andre røtter. I vårt eksempel kan dette for eksempel ses ut fra det faktum at i ligning (1)

hvordan ukjent deler må være lik utbyttet 1 delt på kvotienten 2, dvs.

Så, ligningene (1) og (2) har en enkelt rot, og derfor er de ekvivalente.

2. Vi løser nå følgende ligning:

Den enkleste fellesnevneren: ; multipliser alle leddene i ligningen med det:

Etter reduksjon får vi:

La oss utvide parentesene:

Med lignende termer har vi:

Ved å løse denne ligningen finner vi:

Setter vi inn i ligning (1), får vi:

På venstre side fikk vi uttrykk som ikke gir mening.

Derfor er ikke roten til ligning (1). Dette innebærer at ligningene (1) og ikke er ekvivalente.

I dette tilfellet sier vi at ligning (1) har fått en fremmed rot.

La oss sammenligne løsningen av likning (1) med løsningen av likningene vi vurderte tidligere (se § 51). For å løse denne ligningen måtte vi utføre to slike operasjoner som ikke hadde blitt sett før: For det første multipliserte vi begge sider av ligningen med et uttrykk som inneholder det ukjente (fellesnevneren), og for det andre reduserte vi algebraiske brøker med faktorer som inneholder det ukjente.

Ved å sammenligne ligning (1) med ligning (2), ser vi at ikke alle x-verdier som er gyldige for ligning (2) er gyldige for ligning (1).

Det er tallene 1 og 3 som ikke er tillatte verdier av det ukjente for ligning (1), og som et resultat av transformasjonen ble de tillatelige for ligning (2). Ett av disse tallene viste seg å være en løsning på ligning (2), men det kan selvfølgelig ikke være en løsning på ligning (1). Ligning (1) har ingen løsninger.

Dette eksemplet viser at når man multipliserer begge deler av ligningen med en faktor som inneholder det ukjente, og når man reduserer algebraiske brøker, kan man få en ligning som ikke er ekvivalent med den gitte, nemlig: fremmede røtter kan dukke opp.

Derfor trekker vi følgende konklusjon. Når du løser en likning som inneholder en ukjent i nevneren, må de resulterende røttene kontrolleres ved substitusjon i den opprinnelige likningen. Ytre røtter må kastes.

Løse ligninger med brøker la oss se på eksempler. Eksemplene er enkle og illustrerende. Med deres hjelp kan du forstå på den mest forståelige måten.
For eksempel må du løse en enkel likning x/b + c = d.

En ligning av denne typen kalles lineær, fordi nevneren inneholder kun tall.

Løsningen utføres ved å multiplisere begge sider av likningen med b, så har likningen formen x = b*(d – c), dvs. nevneren til brøken på venstre side reduseres.

For eksempel, hvordan løse en brøkligning:
x/5+4=9
Vi multipliserer begge deler med 5. Vi får:
x+20=45
x=45-20=25

Et annet eksempel der det ukjente er i nevneren:

Ligninger av denne typen kalles brøkrasjonelle eller ganske enkelt brøkdeler.

Vi løser en brøklikning ved å kvitte oss med brøker, hvoretter denne likningen som oftest blir til en lineær eller andregradsligning, som løses på vanlig måte. Du bør kun ta hensyn til følgende punkter:

• verdien av en variabel som snur nevneren til 0 kan ikke være en rot;
• du kan ikke dividere eller multiplisere ligningen med uttrykket =0.

Det er her områdebegrepet kommer inn i bildet. tillatte verdier(ODZ) - dette er verdiene til røttene til ligningen som ligningen gir mening for.

Dermed, ved å løse ligningen, er det nødvendig å finne røttene, og deretter sjekke dem for samsvar med ODZ. De røttene som ikke samsvarer med vårt DHS er ekskludert fra svaret.

For eksempel må du løse en brøkligning:

Basert på regelen ovenfor kan ikke x være = 0, dvs. ODZ i dette tilfellet: x - enhver annen verdi enn null.

Vi kvitter oss med nevneren ved å multiplisere alle ledd i ligningen med x

Og løs den vanlige ligningen

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Svar: x = 1/3

La oss løse ligningen mer komplisert:

ODZ er også tilstede her: x -2.

Ved å løse denne ligningen vil vi ikke overføre alt i én retning og bringe brøker til en fellesnevner. Vi multipliserer umiddelbart begge sider av ligningen med et uttrykk som vil redusere alle nevnerne samtidig.

For å redusere nevnerne må du multiplisere venstre side med x + 2, og høyre side med 2. Så begge sider av ligningen må multipliseres med 2 (x + 2):

Dette er den vanligste multiplikasjonen av brøker, som vi allerede har diskutert ovenfor.

Vi skriver samme ligning, men på en litt annen måte.

Venstre side reduseres med (x + 2), og høyre side med 2. Etter reduksjonen får vi den vanlige lineære ligningen:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, som tilsvarer vår ODZ

Svar: x = 2.

Løse ligninger med brøker ikke så vanskelig som det kan virke. I denne artikkelen har vi vist dette med eksempler. Hvis du har problemer med hvordan løse likninger med brøker, så avslutt abonnementet i kommentarfeltet.