Hvordan finne gyldige verdier for en variabel i et uttrykk. Akseptabel rekkevidde - ODZ

Personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Vennligst les vår personvernerklæring og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Følgende er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Samlet av oss personlig informasjon lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende deg viktige meldinger og kommunikasjoner.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende insentiv, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Offentliggjøring til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjon mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• Om nødvendig - i samsvar med loven, rettsorden, i rettssaker, og/eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig av hensyn til sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige interesser.
• Ved en omorganisering, fusjon eller salg kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til den aktuelle tredjeparts etterfølgeren.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt mot uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Opprettholde personvernet ditt på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetspraksis til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

48. Typer algebraiske uttrykk.

Fra tall og variabler, ved å bruke tegnene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon, heving til en rasjonell potens og trekke ut roten, og ved hjelp av parentes, kompileres algebraiske uttrykk.

Eksempler på algebraiske uttrykk:

Hvis et algebraisk uttrykk ikke inneholder inndeling i variabler og ekstraksjon av en rot fra variabler (spesielt eksponentiering med en brøkeksponent), kalles det et heltall. Av de som er skrevet ovenfor, er uttrykk 1, 2 og 6 heltall.

Hvis et algebraisk uttrykk er sammensatt av tall og variabler som bruker operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, eksponentiering med en naturlig eksponent og divisjon, og divisjon i uttrykk med variabler, kalles det brøk. Så, fra uttrykkene skrevet ovenfor, er uttrykk 3 og 4 brøkdeler.

Heltalls- og brøkuttrykk kalles rasjonelle uttrykk. Så fra det ovenstående er rasjonelle uttrykk uttrykk 1, 2, 3, 4 og 6.

Hvis et algebraisk uttrykk bruker ekstraksjon av en rot fra variabler (eller heving av variabler til en brøkpotens), kalles et slikt algebraisk uttrykk irrasjonelt. Så fra ovenstående er uttrykk 5 og 7 irrasjonelle.

Så algebraiske uttrykk kan være rasjonelle og irrasjonelle. Rasjonelle uttrykk er på sin side delt inn i heltall og brøk.

49. Gyldige verdier av variabler. Definisjonsdomene for et algebraisk uttrykk.

Variableverdier som det algebraiske uttrykket gir mening kalles tillatte variabelverdier. Settet med alle tillatte verdier av variabler kalles domenet til det algebraiske uttrykket.

Et heltallsuttrykk gir mening for alle verdier av variablene. Så, for alle verdier av variablene, gir hele uttrykkene 1, 2, 6 fra paragraf 48 mening.

Brøkuttrykk gir ikke mening for de verdiene til variabler som snur nevneren til null. Så, brøkuttrykket 3 fra element 48 gir mening for alle o, bortsett fra , og brøkuttrykket 4 gir mening for alle a, b, c, bortsett fra verdiene a

Et irrasjonelt uttrykk gir ikke mening for de verdiene til variabler som blir til et negativt tall et uttrykk inneholdt under rottegnet av en jevn grad eller under tegnet for eksponentiering til en brøkpotens. Dermed gir det irrasjonelle uttrykket 5 mening bare for de a, b for hvilke a det irrasjonelle uttrykket 7 gir mening bare for og (se punkt 48).

Hvis variablene i et algebraisk uttrykk gis gyldige verdier, vil et numerisk uttrykk fås; dens verdi kalles verdien av det algebraiske uttrykket for de valgte verdiene til variablene.

Eksempel. Finn verdien av uttrykket når

Løsning. Vi har

50. Konseptet med identisk transformasjon av et uttrykk. Identitet.

Tenk på to uttrykk når vi har . Tallene 0 og 3 kalles de tilsvarende verdiene. uttrykk for La oss finne de tilsvarende verdiene for de samme uttrykkene for

De tilsvarende verdiene til to uttrykk kan være lik hverandre (for eksempel i det vurderte eksemplet er likheten tilfredsstilt), eller de kan avvike fra hverandre (for eksempel i det vurderte eksemplet).

Ethvert uttrykk med en variabel har sitt utvalg av gyldige verdier der det finnes. DHS skal alltid tas med i avgjørelsen. Hvis ikke, kan du få et feil resultat.

Denne artikkelen vil vise hvordan du finner ODZ riktig, bruk den med eksempler. Den vil også vurdere viktigheten av å spesifisere ODZ i vedtaket.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Gyldige og ugyldige variabelverdier

Denne definisjonen er relatert til de tillatte verdiene for variabelen. Når du introduserer en definisjon, la oss se hvilket resultat den vil føre til.

Fra og med 7. klasse begynner vi å jobbe med tall og numeriske uttrykk. Opprinnelige definisjoner med variabler hoppe til verdien av uttrykk med valgte variabler.

Når det er uttrykk med utvalgte variabler, kan det hende at noen av dem ikke tilfredsstiller. For eksempel, et uttrykk som 1: a, hvis en \u003d 0, så gir det ikke mening, siden det er umulig å dele med null. Det vil si at uttrykket skal ha slike verdier som vil passe i alle fall og gi svaret. Med andre ord gir de mening med de tilgjengelige variablene.

Definisjon 1

Hvis det er et uttrykk med variabler, gir det mening bare hvis verdien kan beregnes når de erstattes.

Definisjon 2

Hvis det er et uttrykk med variabler, så gir det ikke mening når, med deres substitusjon, verdien ikke kan beregnes.

Det vil si at av dette følger den fullstendige definisjonen

Definisjon 3

Eksisterende gyldige variabler er de verdiene som uttrykket gir mening for. Og hvis det ikke gir mening, anses de som ugyldige.

For å klargjøre det ovenfor: hvis det er mer enn én variabel, kan det være et par passende verdier.

Eksempel 1

Tenk for eksempel på et uttrykk som 1 x - y + z , hvor det er tre variabler. Ellers kan du skrive det som x = 0 , y = 1 , z = 2 , mens den andre notasjonen er (0 , 1 , 2) . Disse verdiene kalles gyldige, noe som betyr at du kan finne verdien til uttrykket. Vi får at 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1 . Herfra ser vi at (1 , 1 , 2) er ugyldige. Substitusjonen resulterer i divisjon med null, det vil si 1 1 - 2 + 1 = 1 0 .

Hva er ODZ?

Gyldig område - viktig element ved evaluering av algebraiske uttrykk. Derfor er det verdt å være oppmerksom på dette når du beregner.

Definisjon 4

ODZ-området er settet med verdier som er tillatt for det gitte uttrykket.

La oss ta et eksempel på et uttrykk.

Eksempel 2

Hvis vi har et uttrykk på formen 5 z - 3 , så har ODZ formen (− ∞ , 3) ​​∪ (3 , + ∞) . Dette er utvalget av gyldige verdier som tilfredsstiller variabelen z for det gitte uttrykket.

Hvis det er uttrykk på formen z x - y , så er det klart at x ≠ y , z har en hvilken som helst verdi. Dette er det som kalles ODZ-uttrykket. Det må tas i betraktning for ikke å få divisjon med null ved innbytte.

Utvalget av gyldige verdier og definisjonsdomenet har samme betydning. Bare den andre av dem brukes til uttrykk, og den første brukes til likninger eller ulikheter. Ved hjelp av DPV gir uttrykket eller ulikheten mening. Domenet til funksjonsdefinisjonen faller sammen med domenet til tillatte verdier til variabelen x til uttrykket f (x) .

Hvordan finne ODZ? Eksempler, løsninger

Å finne DPV betyr å finne alle gyldige verdier som passer til en gitt funksjon eller ulikhet. Hvis disse betingelsene ikke er oppfylt, kan et feil resultat oppnås. For å finne ODZ er det ofte nødvendig å gå gjennom transformasjoner i et gitt uttrykk.

Det er uttrykk der de ikke kan evalueres:

• hvis det er en divisjon med null;
• trekke ut roten til et negativt tall;
• tilstedeværelsen av en negativ heltallsindikator - bare for positive tall;
• beregne logaritmen til et negativt tall;
• definisjonsdomenet til tangenten π 2 + π · k , k ∈ Z og cotangensen π · k , k ∈ Z ;
• finne verdien av arcsine og arccosine til et tall med en verdi som ikke tilhører [-1; en ] .

Alt dette taler om viktigheten av å ha en DHS.

Eksempel 3

Finn ODZ-uttrykket x 3 + 2 x y − 4 .

Løsning

Ethvert tall kan settes i terninger. Dette uttrykket har ikke en brøk, så x og y kan være hva som helst. Det vil si at ODZ er et hvilket som helst tall.

Svar: x og y er alle verdier.

Eksempel 4

Finn ODZ-uttrykket 1 3 - x + 1 0 .

Løsning

Det kan sees at det er én brøk, hvor nevneren er null. Dette betyr at for enhver verdi av x vil vi få en divisjon med null. Dette betyr at vi kan konkludere med at dette uttrykket anses å være ubestemt, det vil si at det ikke har ODZ.

Svar: ∅ .

Eksempel 5

Finn ODZ for det gitte uttrykket x + 2 · y + 3 - 5 · x .

Løsning

Tilstedeværelsen av en kvadratrot indikerer at dette uttrykket må være større enn eller lik null. Hvis det er negativt, har det ingen mening. Derfor er det nødvendig å skrive ned en ulikhet på formen x + 2 · y + 3 ≥ 0 . Det vil si at dette er det ønskede området av akseptable verdier.

Svar: sett av x og y , hvor x + 2 y + 3 ≥ 0 .

Eksempel 6

Bestem ODZ-uttrykket av formen 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) .

Løsning

Etter betingelse har vi en brøk, så nevneren bør ikke være lik null. Vi får at x + 1 - 1 ≠ 0 . Det radikale uttrykket gir alltid mening når det er større enn eller lik null, dvs. x + 1 ≥ 0 . Siden den har en logaritme, må uttrykket være strengt positivt, det vil si x 2 + 3 > 0. Grunnlaget for logaritmen må også ha positiv verdi og forskjellig fra 1 , så legger vi til flere betingelser x + 8 > 0 og x + 8 ≠ 1 . Av dette følger det at ønsket ODZ vil ha formen:

x + 1 - 1 ≠ 0 , x + 1 ≥ 0 , x 2 + 3 > 0 , x + 8 > 0 , x + 8 ≠ 1

Med andre ord kalles det et system av ulikheter med én variabel. Løsningen vil føre til en slik registrering av ODZ [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞) .

Svar: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

Hvorfor er det viktig å ta hensyn til LHS når man gjør endringer?

For identiske transformasjoner er det viktig å finne ODZ. Det er tilfeller der eksistensen av ODZ ikke finner sted. For å forstå om løsningen har et gitt uttrykk, må du sammenligne ODZ for variablene til det opprinnelige uttrykket og ODZ for det mottatte uttrykket.

Identitetstransformasjoner:

• påvirker kanskje ikke ODZ;
• kan føre til en utvidelse eller tillegg til DHS;
• kan begrense ODZ.

La oss se på et eksempel.

Eksempel 7

Hvis vi har et uttrykk på formen x 2 + x + 3 · x , så er dens ODZ definert på hele definisjonsdomenet. Selv med reduksjon av lignende termer og forenkling av uttrykket, endres ikke ODZ.

Eksempel 8

Hvis vi tar eksempelet med uttrykket x + 3 x − 3 x , så er ting annerledes. Vi har et brøkuttrykk. Og vi vet at deling med null ikke er tillatt. Da har ODZ formen (− ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) . Det kan ses at null ikke er en løsning, så vi legger det til med en parentes.

Tenk på et eksempel med tilstedeværelsen av et radikalt uttrykk.

Eksempel 9

Hvis det er x - 1 · x - 3, bør du være oppmerksom på ODZ, siden den må skrives som en ulikhet (x − 1) · (x − 3) ≥ 0 . Det er mulig å løse med intervallmetoden, da får vi at ODZ vil ha formen (− ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . Etter å ha transformert x - 1 · x - 3 og brukt egenskapene til røttene, har vi at ODZ kan suppleres og skrives ned som et system av ulikheter på formen x - 1 ≥ 0 , x - 3 ≥ 0 . Når vi løser det, får vi at [ 3 , + ∞) . Derfor skrives ODZ i sin helhet som følger: (− ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

Endringer som begrenser DHS bør unngås.

Eksempel 10

Tenk på et eksempel på uttrykket x - 1 · x - 3 når x = - 1 . Ved erstatning får vi at - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Hvis dette uttrykket transformeres og bringes til formen x - 1 x - 3, får vi ved beregning at 2 - 1 2 - 3 gir uttrykket ikke mening, siden det radikale uttrykket ikke skal være negativt.

Identiske transformasjoner bør følges, noe som ikke vil endre DHS.

Hvis det er eksempler som utvider det, bør det legges til DPV.

Eksempel 11

Tenk på eksempelet på en brøkdel av formen x x 3 + x. Hvis vi reduserer med x, får vi 1 x 2 + 1. Deretter utvides ODZ og blir (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Dessuten, når vi beregner, jobber vi allerede med den andre forenklede brøken.

I nærvær av logaritmer er situasjonen litt annerledes.

Eksempel 12

Hvis det er et uttrykk på formen ln x + ln (x + 3) , erstattes det med ln (x (x + 3)) , basert på egenskapen til logaritmen. Dette viser at ODZ fra (0 , + ∞) til (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) . Derfor, for å bestemme ODZ ln (x (x + 3)) er det nødvendig å utføre beregninger på ODZ, det vil si (0 , + ∞) sett.

Ved løsning er det alltid nødvendig å ta hensyn til strukturen og formen på uttrykket gitt av tilstanden. Hvis definisjonsdomenet er funnet riktig, vil resultatet være positivt.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Denne leksjonen diskuterer konseptet med en algebraisk brøk. Med brøker møter en person på det enkleste livssituasjoner: når det er nødvendig å dele en gjenstand i flere deler, for eksempel å kutte en kake likt for ti personer. Det er klart at alle får en del av kaken. I dette tilfellet står vi overfor begrepet en numerisk brøk, men en situasjon er mulig når et objekt er delt inn i et ukjent antall deler, for eksempel med x. I dette tilfellet oppstår begrepet et brøkuttrykk. Du møtte allerede heltallsuttrykk (som ikke inneholder inndeling i uttrykk med variabler) og deres egenskaper i klasse 7. Deretter vil vi vurdere konseptet med en rasjonell brøk, så vel som de tillatte verdiene til variabler.

Rasjonelle uttrykk er delt inn i heltalls- og brøkuttrykk.

Definisjon.rasjonell brøk er et brøkuttrykk av formen , hvor er polynomer. - teller nevner.

Eksemplerrasjonelle uttrykk:- brøkuttrykk; er heltallsuttrykk. I det første uttrykket er for eksempel telleren , og nevneren er .

Betydning algebraisk brøk, som alle andre algebraisk uttrykk, kommer an på numerisk verdi variablene den inneholder. Spesielt i det første eksemplet avhenger verdien av brøken av verdiene til variablene og , og i det andre bare av verdien av variabelen .

Tenk på den første typiske oppgaven: å beregne verdien rasjonell brøk på ulike verdier variabler inkludert i den.

Eksempel 1 Regn ut verdien av brøken for a), b), c)

Løsning. Bytt ut verdiene til variablene i den angitte brøkdelen: a), b), c) - eksisterer ikke (fordi du ikke kan dele med null).

Svar: a) 3; b) 1; c) eksisterer ikke.

Som du kan se, er det to typiske problemer for enhver brøk: 1) beregne brøken, 2) finne gyldige og ugyldige verdier bokstavelige variabler.

Definisjon.Gyldige variabelverdier er verdiene til variablene som uttrykket gir mening for. Settet med alle tillatte verdier av variabler kalles ODZ eller domene.

Verdien av bokstavelige variabler kan være ugyldige hvis nevneren til brøken for disse verdiene null. I alle andre tilfeller er verdiene til variablene gyldige, siden brøkdelen kan beregnes.

Eksempel 2

Løsning. For at dette uttrykket skal gi mening, er det nødvendig og tilstrekkelig at nevneren til brøken ikke er lik null. Dermed vil bare de verdiene til variabelen som nevneren vil være lik null for være ugyldige. Nevneren til brøken, så vi løser den lineære ligningen:

Derfor, for verdien av variabelen, gir ikke brøken mening.

Svar: -5.

Fra løsningen av eksempelet følger regelen for å finne ugyldige verdier av variabler - nevneren til brøken er lik null og røttene til den tilsvarende ligningen er funnet.

La oss se på noen få lignende eksempler.

Eksempel 3 Bestem ved hvilke verdier av en variabel en brøk ikke gir mening .

Løsning..

Svar..

Eksempel 4 Bestem for hvilke verdier av variabelen brøken ikke gir mening.

Løsning..

Det er andre formuleringer av dette problemet - å finne domene eller område med gyldige uttrykksverdier (ODZ). Dette betyr - finn alle gyldige verdier av variabler. I vårt eksempel er disse alle verdier unntatt . Definisjonsdomenet er beleilig avbildet på den numeriske aksen.

For å gjøre dette vil vi kutte ut et punkt på det, som vist på figuren:

Ris. en

På denne måten, brøkdomene vil være alle tall unntatt 3.

Svar..

Eksempel 5 Bestem for hvilke verdier av variabelen brøken ikke gir mening.

Løsning..

La oss skildre den resulterende løsningen på den numeriske aksen:

Ris. 2

Svar..

Eksempel 6

Løsning.. Vi har fått likheten til to variabler, vi gir numeriske eksempler: eller osv.

La oss plotte denne løsningen på en graf i det kartesiske koordinatsystemet:

Ris. 3. Graf over en funksjon

Koordinatene til ethvert punkt som ligger på denne grafen er ikke inkludert i området for tillatte verdier av brøkdelen.

Svar..

I de betraktede eksemplene ble vi møtt med en situasjon der en deling med null skjedde. Vurder nå saken når det er mer interessant situasjon med divisjonstype .

Eksempel 7 Bestem for hvilke verdier av variablene brøken ikke gir mening.

Løsning..

Det viser seg at brøken ikke gir mening når . Men det kan hevdes at dette ikke er tilfelle, fordi: .

Det kan virke som at hvis det endelige uttrykket er lik 8 for , kan det opprinnelige uttrykket også beregnes, og gir derfor mening for . Men hvis vi erstatter det med det opprinnelige uttrykket, får vi - det gir ikke mening.

Svar..

For å forstå dette eksemplet mer detaljert, løser vi følgende problem: for hvilke verdier er den angitte brøken lik null?