การยกกำลังสองตัวเลขใดๆ การยกกำลังสองตัวเลขสามหลัก

หนึ่งในบ่อยที่สุด การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในทางวิศวกรรมและการคำนวณอื่นๆ คือการบวกเลขยกกำลังสอง ซึ่งเรียกอีกอย่างว่ากำลังสอง ตัวอย่างเช่น วิธีนี้คำนวณพื้นที่ของวัตถุหรือตัวเลข น่าเสียดายที่ไม่มีเครื่องมือแยกต่างหากใน Excel ที่จะยกกำลังสองตัวเลขที่กำหนด อย่างไรก็ตาม การดำเนินการนี้สามารถทำได้โดยใช้เครื่องมือเดียวกันกับที่ใช้เพื่อเพิ่มพลังอื่น มาดูกันว่าควรใช้พวกมันอย่างไรในการคำนวณกำลังสองของตัวเลขที่กำหนด

อย่างที่คุณทราบ กำลังสองของตัวเลขคำนวณโดยการคูณด้วยตัวมันเอง แน่นอนว่าหลักการเหล่านี้รองรับการคำนวณตัวบ่งชี้นี้ใน Excel ในโปรแกรมนี้ มีสองวิธีในการยกกำลังสองตัวเลข: การใช้เครื่องหมายยกกำลังสำหรับสูตร «^» และใช้ฟังก์ชัน ระดับ. พิจารณาอัลกอริทึมสำหรับการใช้ตัวเลือกเหล่านี้ในทางปฏิบัติเพื่อประเมินว่าตัวเลือกใดดีกว่า

วิธีที่ 1: ก่อสร้างโดยใช้สูตร

ก่อนอื่น มาดูวิธีที่ง่ายที่สุดและใช้บ่อยที่สุดในการเพิ่มกำลังที่สองใน Excel ซึ่งเกี่ยวข้องกับการใช้สูตรที่มีสัญลักษณ์ «^» . ในกรณีนี้ ในฐานะวัตถุที่จะยกกำลังสอง คุณสามารถใช้ตัวเลขหรือการอ้างอิงไปยังเซลล์ที่มีค่าตัวเลขนี้

รูปแบบทั่วไปของสูตรการยกกำลังสองมีดังนี้:

ในนั้นแทน "น"คุณต้องแทนที่จำนวนเฉพาะที่ควรยกกำลังสอง

เรามาดูกันว่ามันทำงานอย่างไรพร้อมตัวอย่างเฉพาะ เริ่มด้วยการยกกำลังสองตัวเลขที่จะเป็น ส่วนสำคัญสูตร

ตอนนี้เรามาดูวิธีการยกกำลังสองค่าที่อยู่ในเซลล์อื่น

วิธีที่ 2: ใช้ฟังก์ชัน POWER

คุณยังสามารถใช้ฟังก์ชัน Excel ในตัวเพื่อยกกำลังสองตัวเลข ระดับ. ตัวดำเนินการนี้รวมอยู่ในหมวดหมู่ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ และหน้าที่ของมันคือการเพิ่มค่าตัวเลขบางอย่างให้เป็นกำลังที่ระบุ ไวยากรณ์ของฟังก์ชันมีดังนี้:

อำนาจ(จำนวน, องศา)

ข้อโต้แย้ง "ตัวเลข"อาจเป็นตัวเลขเฉพาะหรือการอ้างอิงถึงองค์ประกอบแผ่นงานที่อยู่

ข้อโต้แย้ง "ระดับ"บ่งบอกถึงอำนาจที่จะเพิ่มจำนวน เนื่องจากเรากำลังเผชิญกับคำถามเรื่องการยกกำลังสอง ในกรณีของเรา อาร์กิวเมนต์นี้จะเท่ากับ 2 .

ทีนี้มาดูที่ ตัวอย่างเฉพาะ, วิธีการยกกำลังสองโดยใช้โอเปอเรเตอร์ ระดับ.

นอกจากนี้ ในการแก้ปัญหา แทนที่จะใช้ตัวเลขเป็นอาร์กิวเมนต์ คุณสามารถใช้การอ้างอิงไปยังเซลล์ที่เซลล์นั้นตั้งอยู่ได้

วันนี้เราจะมาเรียนรู้วิธียกกำลังสองนิพจน์ขนาดใหญ่อย่างรวดเร็วโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข โดยมากฉันหมายถึงตัวเลขระหว่างสิบถึงหนึ่งร้อย นิพจน์ขนาดใหญ่นั้นหายากมากในปัญหาจริง และคุณรู้อยู่แล้วว่าจะนับค่าที่น้อยกว่าสิบได้อย่างไร เพราะนี่คือตารางสูตรคูณปกติ เนื้อหาของบทเรียนวันนี้จะมีประโยชน์สำหรับนักเรียนที่มีประสบการณ์พอสมควร เพราะนักเรียนที่เป็นมือใหม่จะไม่ชอบความเร็วและประสิทธิภาพของเทคนิคนี้

เริ่มต้นด้วย มาทำความเข้าใจโดยทั่วไปว่าเรากำลังพูดถึงอะไร ตัวอย่างเช่น ฉันเสนอให้สร้างนิพจน์ตัวเลขตามอำเภอใจ ตามที่เรามักจะทำ สมมุติว่า 34. เราเลี้ยงมันด้วยการคูณตัวเองด้วยคอลัมน์:

\[((34)^(2))=\times \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]

1156 คือสี่เหลี่ยมจัตุรัส 34

ปัญหา วิธีนี้สามารถอธิบายได้สองวิธี:

1) ต้องมีการลงทะเบียนเป็นลายลักษณ์อักษร

2) มันง่ายมากที่จะทำผิดพลาดในกระบวนการคำนวณ

วันนี้เราจะมาเรียนรู้วิธีคูณอย่างรวดเร็วโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข ทั้งทางวาจาและในทางปฏิบัติโดยไม่มีข้อผิดพลาด

มาเริ่มกันเลยดีกว่า ในการทำงาน เราต้องการสูตรหากำลังสองของผลบวกและส่วนต่าง มาเขียนมันลงไป:

\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]

\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]

สิ่งนี้ให้อะไรเราบ้าง? ความจริงก็คือค่าใด ๆ ระหว่าง 10 ถึง 100 สามารถแสดงเป็นตัวเลข $a$ ซึ่งหารด้วย 10 ลงตัว และตัวเลข $b$ ซึ่งเป็นจำนวนที่เหลือของการหารด้วย 10

ตัวอย่างเช่น 28 สามารถแสดงได้ดังนี้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

ในทำนองเดียวกัน เรานำเสนอตัวอย่างที่เหลือ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

อะไรทำให้เรามีความคิดเช่นนี้? ความจริงก็คือว่าด้วยผลรวมหรือส่วนต่าง เราสามารถใช้การคำนวณข้างต้นได้ แน่นอน เพื่อให้การคำนวณสั้นลง สำหรับแต่ละองค์ประกอบ ควรเลือกนิพจน์ด้วย วินาทีที่เล็กที่สุดภาคเรียน. ตัวอย่างเช่น จากตัวเลือก $20+8$ และ $30-2$ คุณควรเลือกตัวเลือก $30-2$

ในทำนองเดียวกัน เราเลือกตัวเลือกสำหรับตัวอย่างอื่นๆ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

เหตุใดเราจึงควรพยายามลดระยะที่สองในการคูณอย่างรวดเร็ว มันคือทั้งหมดที่เกี่ยวกับการคำนวณเริ่มต้นของกำลังสองของผลรวมและส่วนต่าง ความจริงก็คือว่าเทอมบวกหรือลบ $2ab$ นั้นยากที่สุดในการคำนวณเมื่อแก้ปัญหาจริง และถ้าตัวประกอบ $a$ ซึ่งเป็นผลคูณของ 10 คูณกันง่าย ๆ เสมอ ดังนั้นด้วยตัวประกอบ $b$ ซึ่งเป็นตัวเลขในช่วงตั้งแต่หนึ่งถึงสิบ นักเรียนจำนวนมากมักประสบปัญหา

\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]

\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]

\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]

\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]

\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]

\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]

\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]

\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]

ในสามนาที เราก็คูณแปดตัวอย่าง ซึ่งน้อยกว่า 25 วินาทีต่อนิพจน์ ในความเป็นจริง หลังจากฝึกฝนเพียงเล็กน้อย คุณจะนับได้เร็วยิ่งขึ้น จะใช้เวลาไม่เกินห้าหรือหกวินาทีในการคำนวณนิพจน์สองหลักใดๆ

แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด สำหรับผู้ที่เทคนิคที่แสดงดูเหมือนไม่เร็วพอและไม่เจ๋งพอฉันขอแนะนำมากกว่านี้ วิธีที่รวดเร็วการคูณซึ่งใช้ไม่ได้กับงานทั้งหมด แต่เฉพาะกับงานที่แตกต่างจากการคูณ 10 เท่านั้น ในบทเรียนของเรา มีค่าสี่ค่าดังนี้ 51, 21, 81 และ 39

ดูเหมือนว่าจะเร็วกว่ามากเรานับพวกมันตามตัวอักษรในสองสามบรรทัดแล้ว แต่ที่จริงแล้วเร่งได้ก็ทำได้อยู่แล้ว ด้วยวิธีดังต่อไปนี้. เราเขียนค่าเป็นทวีคูณของสิบซึ่งใกล้เคียงที่สุดกับค่าที่ต้องการ ตัวอย่างเช่น สมมติว่า 51 ดังนั้น เริ่มต้นด้วย เราจะเพิ่มห้าสิบ:

\[{{50}^{2}}=2500\]

ค่าที่เป็นทวีคูณของสิบจะง่ายกว่ามากในการยกกำลังสอง และตอนนี้เราเพียงแค่บวก 50 และ 51 ให้กับนิพจน์ดั้งเดิม คำตอบจะเหมือนเดิม:

\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]

และด้วยตัวเลขทั้งหมดที่ต่างกันไปหนึ่งตัว

หากค่าที่เราต้องการมากกว่าค่าที่เราคิด เราจะบวกตัวเลขลงในกำลังสองที่ได้ หากจำนวนที่ต้องการน้อยกว่าเช่นในกรณีของ 39 เมื่อทำการดำเนินการจะต้องลบค่าออกจากกำลังสอง มาฝึกโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลขกัน:

\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]

\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]

\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]

อย่างที่คุณเห็น ในทุกกรณี คำตอบจะเหมือนกัน นอกจากนี้ เทคนิคนี้สามารถใช้ได้กับค่าที่อยู่ติดกัน ตัวอย่างเช่น:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

ในเวลาเดียวกัน เราไม่จำเป็นต้องจำการคำนวณกำลังสองของผลรวมและส่วนต่างเลย แล้วใช้เครื่องคิดเลข ความเร็วในการทำงานอยู่เหนือการสรรเสริญ ดังนั้น พึงระลึกไว้ ฝึกฝน และนำไปใช้ในการปฏิบัติ

ประเด็นสำคัญ

ด้วยเทคนิคนี้ คุณสามารถทำการคูณใดๆ ได้อย่างง่ายดาย ตัวเลขธรรมชาติตั้งแต่ 10 ถึง 100 นอกจากนี้ การคำนวณทั้งหมดจะดำเนินการด้วยวาจา โดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลขและไม่ต้องใช้กระดาษ!

ขั้นแรก จำค่ากำลังสองที่ทวีคูณของ 10:

\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

วิธีนับเร็วยิ่งขึ้น

แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด! เมื่อใช้นิพจน์เหล่านี้ คุณสามารถทำการยกกำลังสองของตัวเลขที่ "อยู่ติดกัน" กับตัวเลขอ้างอิงได้ทันที ตัวอย่างเช่น เรารู้ 152 (ค่าอ้างอิง) แต่เราต้องหา 142 (ตัวเลขที่อยู่ติดกันซึ่งน้อยกว่าค่าอ้างอิงหนึ่งค่า) มาเขียนกัน:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

โปรดทราบ: ไม่มีเวทย์มนต์! ค่ากำลังสองของตัวเลขที่ต่างกันด้วย 1 นั้นได้มาจากการคูณตัวเลขอ้างอิงด้วยตัวเองโดยการลบหรือบวกค่าสองค่า:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

ทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น? ลองเขียนสูตรหากำลังสองของผลรวม (และส่วนต่าง) กัน ให้ $n$ เป็นค่าอ้างอิงของเรา แล้วนับดังนี้

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1 )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\end(align)\]

- นี่คือสูตร

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

- สูตรที่คล้ายกันสำหรับตัวเลขที่มากกว่า 1

ฉันหวังว่าเทคนิคนี้จะช่วยคุณประหยัดเวลาในการทดสอบและการสอบที่สำคัญทั้งหมดในวิชาคณิตศาสตร์ และนั่นคือทั้งหมดสำหรับฉัน แล้วพบกันใหม่!

พิจารณาการยกกำลังสองของทวินามและใช้มุมมองทางคณิตศาสตร์ เราจะพูดถึงกำลังสองของผลรวม นั่นคือ (a + b)² และกำลังสองของผลต่างของตัวเลขสองตัว นั่นคือ (a - b)² .

เนื่องจาก (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b)

จากนั้นเราจะพบว่า: (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² เช่น

(a + b)² = a² + 2ab + b²

เป็นประโยชน์ที่จะจำผลลัพธ์นี้ทั้งในรูปแบบของความเท่าเทียมกันข้างต้นและในคำพูด: กำลังสองของผลรวมของตัวเลขสองตัวเท่ากับกำลังสองของตัวเลขตัวแรกบวกผลคูณของสองด้วยตัวเลขตัวแรกและตัวที่สอง บวกกำลังสองของจำนวนที่สอง

เมื่อทราบผลลัพธ์นี้ เราก็สามารถเขียนได้ทันที เช่น

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1

(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2

มาดูตัวอย่างที่สองกัน เราต้องยกกำลังสองผลรวมของตัวเลขสองตัว: ตัวเลขแรกคือ 3ab ตัวที่สองคือ 1 มันควรจะเป็น: 1) กำลังสองของตัวเลขแรกนั่นคือ (3ab)² ซึ่งเท่ากับ9a²b²; 2) ผลคูณของสองด้วยตัวเลขตัวแรกและตัวที่สองเช่น 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) กำลังสองของตัวเลขที่ 2 เช่น 1² \u003d 1 - ต้องรวมทั้งสามคำนี้เข้าด้วยกัน

ในทำนองเดียวกัน เราได้สูตรการยกกำลังผลต่างของตัวเลขสองตัว นั่นคือ สำหรับ (a - b)²:

(a - b)² = (a - b) (a - b) = a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²,

นั่นคือ กำลังสองของผลต่างของตัวเลขสองตัวเท่ากับกำลังสองของจำนวนแรก ลบผลคูณของสองด้วยตัวเลขตัวแรกและตัวที่สอง บวกกำลังสองของตัวเลขที่สอง

เมื่อทราบผลลัพธ์นี้ เราสามารถทำการยกกำลังสองของทวินามแทนได้ทันที จากมุมมองของเลขคณิต คือผลต่างของตัวเลขสองตัว

(ม. - น.)² = ตร.ม. - 2 นาที + n²
(5ab 3 - 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 - 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2

(a n-1 - a) 2 \u003d a 2n-2 - 2a n + a 2 เป็นต้น

มาอธิบายตัวอย่างที่ 2 กัน ในวงเล็บ เรามีส่วนต่างของตัวเลขสองจำนวนในวงเล็บ: หมายเลขแรก 5ab 3 และหมายเลขที่สอง 3a 2 b ผลลัพธ์ควรเป็น: 1) กำลังสองของตัวเลขแรก เช่น (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) ผลคูณของสองด้วยตัวเลขที่ 1 และ 2 เช่น 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 และ 3) กำลังสองของตัวเลขที่สอง เช่น (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2; เทอมแรกและเทอมที่สามต้องใช้ a บวก และอันที่ 2 กับ a ลบ เราจะได้ 25a 2 b 6 - 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2 เพื่อชี้แจงตัวอย่างที่ 4 เราทราบเพียงว่า 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... เลขชี้กำลังต้องคูณด้วย 2 และ 2) ผลคูณของสองด้วยตัวเลขที่ 1 และ 2 = 2 ∙ n-1 ∙ a = 2a n .

หากเราใช้มุมมองของพีชคณิต ความเท่าเทียมกันทั้งสอง: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² และ 2) (a - b)² = a² - 2ab + b² แสดงสิ่งเดียวกัน กล่าวคือ: กำลังสองของทวินามเท่ากับกำลังสองของเทอมแรก บวกผลคูณของจำนวน (+2) คูณเทอมแรกและเทอมที่สอง บวกกำลังสองของเทอมที่สอง สิ่งนี้ชัดเจน เพราะความเท่าเทียมกันของเราสามารถเขียนใหม่เป็น:

1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a - b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (-b) + (-b)²

ในบางกรณี จะสะดวกที่จะตีความความเท่าเทียมกันที่ได้รับด้วยวิธีนี้:

(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²

ในที่นี้ทวินามกำลังสอง เทอมแรก = -4a และอันที่สอง = -3b จากนั้นเราจะได้ (-4a)² = 16a², (+2) (-4a) (-3b) = +24ab, (-3b)² = 9b² และสุดท้าย:

(-4a - 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²

นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ที่จะได้รับและจดจำสูตรสำหรับการยกกำลังไตรนาม ควอดริโนเมียล และโดยทั่วไปพหุนามใดๆ อย่างไรก็ตาม เราจะไม่ทำเช่นนี้ เพราะเราแทบไม่ต้องใช้สูตรเหล่านี้ และถ้าเราจำเป็นต้องยกกำลังพหุนามใดๆ (ยกเว้นทวินาม) เราจะลดจำนวนสสารลงเป็นการคูณ ตัวอย่างเช่น:

31. ใช้ความเท่าเทียมกัน 3 ประการที่ได้รับคือ:

(a + b) (a - b) = a² - b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²

เป็นเลขคณิต

ปล่อยให้มันเป็น 41 ∙ 39. จากนั้นเราสามารถแสดงมันในรูปแบบ (40 + 1) (40 - 1) และลดความเท่าเทียมกันแรก - เราได้40² - 1 หรือ 1600 - 1 \u003d 1599 ขอบคุณสิ่งนี้ เป็นการง่ายที่จะทำการคูณเช่น 21 ∙ 19; 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69 เป็นต้น

ให้มันเป็น 41 ∙ 41; มันเหมือนกับ41²หรือ (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681 และ 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225 ถ้าคุณต้องการ 37 ∙ 37 จากนั้นจะเท่ากับ (40 - 3)² = 1600 - 240 + 9 = 1369 การคูณดังกล่าว (หรือกำลังสองตัวเลขสองหลัก) นั้นง่ายต่อการดำเนินการด้วยทักษะบางอย่างในใจ

23 ตุลาคม 2559 เวลา 16:37 น.

ความสวยงามของตัวเลข วิธีคิดเลขในใจเร็ว

• วิทยาศาสตร์ยอดนิยม

บันทึกเก่าเกี่ยวกับใบเสร็จรับเงินในการชำระภาษี ("yasaka") หมายถึงจำนวน 1,232 รูเบิล 24 ค็อป ภาพประกอบจากหนังสือ: Yakov Perelman "เลขคณิตเพื่อความบันเทิง"

Richard Feynman เพิ่มเติมในหนังสือ “แน่นอน คุณล้อเล่นนะ คุณ Feynman! ” บอกเคล็ดลับหลายประการของบัญชีปากเปล่า แม้ว่าสิ่งเหล่านี้จะเป็นเทคนิคง่ายๆ แต่ก็ไม่ได้รวมอยู่ในหลักสูตรของโรงเรียนเสมอไป

ตัวอย่างเช่น หากต้องการยกกำลังสองจำนวน X อย่างรวดเร็วประมาณ 50 (50 2 = 2500) คุณต้องลบ / บวกหนึ่งร้อยสำหรับแต่ละหน่วยที่มีความแตกต่างระหว่าง 50 และ X แล้วจึงบวกผลต่างกำลังสอง คำอธิบายฟังดูซับซ้อนกว่าการคำนวณจริงมาก

52 2 = 2500 + 200 + 4
47 2 = 2500 – 300 + 9
58 2 = 2500 + 800 + 64

Feynman อายุน้อยได้รับการสอนเคล็ดลับนี้โดย Hans Bethe นักฟิสิกส์เพื่อนคนหนึ่งซึ่งทำงานที่ Los Alamos ในช่วงเวลานั้นในโครงการแมนฮัตตัน

ฮานส์แสดงกลเม็ดอื่นๆ อีกสองสามข้อที่เขาใช้ในการคำนวณอย่างรวดเร็ว ตัวอย่างเช่น ในการคำนวณรากที่สามและการยกกำลัง จะสะดวกที่จะจำตารางลอการิทึม ความรู้นี้ช่วยลดความยุ่งยากในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนได้อย่างมาก เช่น คำนวณทางจิตใจ ค่าโดยประมาณรากที่สามของ 2.5 อันที่จริง ด้วยการคำนวณดังกล่าว กฎสไลด์ชนิดหนึ่งทำงานในหัวของคุณ ซึ่งการคูณและการหารของตัวเลขจะถูกแทนที่ด้วยการบวกและการลบลอการิทึมของลอการิทึม สิ่งที่สะดวกที่สุด

ไม้บรรทัดลอการิทึม

ก่อนการถือกำเนิดของคอมพิวเตอร์และเครื่องคิดเลข กฎสไลด์ถูกใช้ทุกที่ นี่คือ "คอมพิวเตอร์" แอนะล็อกชนิดหนึ่งที่ให้คุณดำเนินการทางคณิตศาสตร์ได้หลายอย่าง รวมถึงการคูณและการหารตัวเลข การยกกำลังสองและลูกบาศก์ การคำนวณรากที่สองและลูกบาศก์ การคำนวณลอการิทึม โพเทนชิเอชัน การคำนวณฟังก์ชันตรีโกณมิติและไฮเพอร์โบลิก และการดำเนินการอื่นๆ หากคุณแบ่งการคำนวณออกเป็นสามขั้นตอน จากนั้นใช้กฎสไลด์ คุณสามารถเพิ่มตัวเลขเป็นกำลังจริงใดๆ และแยกรากของกำลังจริงใดๆ ความแม่นยำในการคำนวณมีประมาณ 3 ตัวเลขสำคัญ

ในการทำการคำนวณที่ซับซ้อนในใจของคุณได้อย่างรวดเร็วแม้จะไม่มีกฎแบบสไลด์ จะเป็นความคิดที่ดีที่จะจดจำกำลังสองของตัวเลขทั้งหมด อย่างน้อยที่สุดถึง 25 เพียงเพราะมักจะใช้ในการคำนวณ และตารางองศา - ที่พบบ่อยที่สุด จำง่ายกว่าการคำนวณใหม่ทุกครั้งที่ 5 4 = 625, 3 5 = 243, 2 20 = 1,048,576 และ √3 ≈ 1.732

Richard Feynman พัฒนาทักษะของเขาและค่อยๆ สังเกตเห็นรูปแบบและความสัมพันธ์ใหม่ที่น่าสนใจระหว่างตัวเลข เขายกตัวอย่างนี้: “ถ้ามีคนเริ่มหาร 1 ด้วย 1.73 เราสามารถตอบได้ทันทีว่ามันจะเป็น 0.577 เพราะ 1.73 เป็นตัวเลขที่ใกล้กับรากที่สองของสาม ดังนั้น 1/1.73 จึงเป็นประมาณหนึ่งในสามของสแควร์รูทของ 3"

การคำนวณทางจิตขั้นสูงดังกล่าวอาจทำให้เพื่อนร่วมงานประหลาดใจในวันที่ไม่มีคอมพิวเตอร์และเครื่องคิดเลข ในสมัยนั้น นักวิทยาศาสตร์ทุกคนสามารถนับได้ดีในจิตใจ ดังนั้น เพื่อที่จะบรรลุความเชี่ยวชาญ จึงจำเป็นต้องดำดิ่งลึกลงไปในโลกแห่งตัวเลขมากพอ

ทุกวันนี้ ผู้คนหยิบเครื่องคิดเลขออกมาเพื่อหาร 76 ด้วย 3 อันที่น่าแปลกใจกลายเป็นเรื่องง่ายขึ้นมาก ในสมัยของไฟน์แมนแทนที่จะเป็นเครื่องคิดเลขมีลูกคิดไม้ซึ่งสามารถผลิตได้ การดำเนินงานที่ซับซ้อนรวมถึงการรูตลูกบาศก์ นักฟิสิกส์ผู้ยิ่งใหญ่ได้สังเกตเห็นแล้วว่าการใช้เครื่องมือดังกล่าว ผู้คนไม่จำเป็นต้องจำชุดเลขคณิตจำนวนมากเลย แต่เพียงแค่เรียนรู้วิธีหมุนลูกบอลอย่างถูกต้อง กล่าวคือ คนที่มี "เครื่องขยาย" ของสมองไม่รู้ตัวเลข พวกเขาทำงานแย่ลงในโหมด "ออฟไลน์"

นี่คือห้ามาก เคล็ดลับง่ายๆบัญชีปากเปล่าซึ่งแนะนำโดย Yakov Perelman ในคู่มือ "Quick Count" ในปี 1941 โดยผู้จัดพิมพ์

1. หากจำนวนที่คูณหนึ่งถูกแยกออกเป็นปัจจัย จะสะดวกที่จะคูณพวกมันตามลำดับ

225 x 6 = 225 x 2 x 3 = 450 x 3
147 × 8 \u003d 147 × 2 × 2 × 2 นั่นคือเพิ่มผลลัพธ์เป็นสองเท่าสามครั้ง

2. เมื่อคูณด้วย 4 ก็เพียงพอที่จะเพิ่มผลลัพธ์เป็นสองเท่า ในทำนองเดียวกัน เมื่อหารด้วย 4 และ 8 จำนวนนั้นจะลดลงครึ่งหนึ่งสองครั้งหรือสามครั้ง

3. เมื่อคูณด้วย 5 หรือ 25 จำนวนหนึ่งสามารถหารด้วย 2 หรือ 4 แล้วบวกศูนย์หนึ่งหรือสองตัวเข้ากับผลลัพธ์

74 x 5 = 37 x 10
72 x 25 = 18 x 100

ที่นี่จะเป็นการดีกว่าที่จะประเมินทันทีว่าง่ายแค่ไหน ตัวอย่างเช่น จะสะดวกกว่าที่จะคูณ 31 × 25 เป็น 25 × 31 ด้วยวิธีมาตรฐาน นั่นคือ 750 + 25 และไม่ใช่ 31 × 25 นั่นคือ 7.75 × 100

เมื่อคูณด้วยจำนวนที่ใกล้เคียงกับจำนวนรอบ (98, 103) จะสะดวกที่จะคูณด้วยจำนวนรอบทันที (100) แล้วลบ / บวกผลต่างของผลต่าง

37 x 98 = 3700 - 74
37 x 104 = 3700 + 148

4. ในการยกกำลังจำนวนที่ลงท้ายด้วย 5 (เช่น 85) ให้คูณจำนวนหลักสิบ (8) ด้วยมันบวกหนึ่ง (9) และแอตทริบิวต์ 25

8 × 9 = 72 กำหนด 25 ดังนั้น 85 2 = 7225

เหตุใดจึงใช้กฎนี้ได้จากสูตร:

(10X + 5) 2 = 100X 2 + 100X + 25 = 100X (X+1) + 25

แนวทางนี้ยังใช้กับ เศษส่วนทศนิยมซึ่งลงท้ายด้วย 5:

8,5 2 = 72,25
14,5 2 = 210,25
0,35 2 = 0,1225

5. ตอนยกกำลังสองอย่าลืมสูตรสะดวก

(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
44 2 = 1600 + 16 + 320

แน่นอน ทุกวิธีสามารถรวมกันได้ สะดวกยิ่งขึ้น และ เทคนิคที่มีประสิทธิภาพสำหรับสถานการณ์เฉพาะ

อย่างที่คุณทราบ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคำนวณโดยการคูณความยาวของด้านที่ต่างกันสองด้าน สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านเท่ากันหมด คุณจึงต้องคูณด้านนั้นด้วยตัวมันเอง นี่คือที่มาของนิพจน์ "square" บางทีวิธีที่ง่ายที่สุดในการยกกำลังสองตัวเลขใดๆ คือการใช้เครื่องคิดเลขธรรมดาและคูณจำนวนที่ต้องการด้วยตัวมันเอง หากคุณไม่มีเครื่องคิดเลขติดตัว คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขในตัวใน โทรศัพท์มือถือ. สำหรับผู้ใช้ขั้นสูง เราสามารถแนะนำให้คุณใช้แอปพลิเคชัน Office Microsoft Excelโดยเฉพาะอย่างยิ่งหากจำเป็นต้องทำการคำนวณบ่อยครั้ง ในการดำเนินการนี้ ให้เลือกเซลล์ที่ต้องการ เช่น G7 แล้วป้อนสูตร =F7*F7 ลงในเซลล์ ถัดไป ป้อนตัวเลขใดๆ ในเซลล์ F7 และรับผลลัพธ์ในเซลล์ G7

วิธียกกำลังสองตัวเลขที่มีหลักสุดท้ายคือ 5 หากต้องการยกกำลังสองตัวเลขนี้ คุณต้องทิ้งหลักสุดท้ายของตัวเลขนั้น จำนวนผลลัพธ์จะต้องคูณด้วยจำนวนที่มากกว่าด้วย 1 จากนั้นคุณต้องเพิ่มหมายเลข 25 ทางด้านขวาหลังผลลัพธ์ ตัวอย่าง. ให้จำเป็นต้องได้กำลังสองของจำนวน 35 หลังจากทิ้งหลัก 5 ​​หลักสุดท้ายแล้วหมายเลข 3 จะยังคงอยู่ 1 ถูกเพิ่ม - ได้หมายเลข 4.3x4 = 12 เพิ่ม 25 แล้วได้ผลลัพธ์ 1225 35x35=3*4 เพิ่ม 25=1225

วิธียกกำลังสองตัวเลขที่มีหลักสุดท้ายคือ 6 อัลกอริธึมนี้เหมาะสำหรับผู้ที่คิดคำถามว่าจะยกกำลังสองของตัวเลขที่ลงท้ายด้วยหมายเลข 5 ได้อย่างไร ดังที่คุณทราบจากคณิตศาสตร์ ค่ากำลังสองของทวินามสามารถคำนวณได้โดยใช้ สูตร (A + B) x (A + B) \u003d AxA + 2xAxB + BxB ในกรณียกกำลังสองตัวเลข A หลักสุดท้ายคือ 6 ตัวเลขนี้สามารถแสดงเป็น A \u003d B + 1 โดยที่ B คือตัวเลขที่น้อยกว่าตัวเลข A 1 ดังนั้นตัวเลขสุดท้ายคือ 5 ในกรณีนี้ สามารถแสดงสูตรเพิ่มเติมได้ แบบง่ายๆ(B+1) x(B+1) = BxB+2xBx1+1x1=BxB + 2xB+1 ตัวอย่างเช่น ให้ตัวเลขนี้เป็น 16 คำตอบ 16 x16 \u003d 15 x15 + 2x15 x1 + 1x1 \u003d 225 + 30 + 1 \u003d 256 กฎช่องปาก: ในการหากำลังสองของตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 6: คุณต้อง ยกกำลังสองตัวเลขก่อนหน้า บวก 2 คูณตัวเลขก่อนหน้าแล้วบวก 1

วิธียกกำลังสองตัวเลขตั้งแต่ 11 ถึง 29 หากต้องการยกกำลังสองตัวเลขตั้งแต่ 11 ถึง 19 คุณต้องบวกจำนวนหน่วยเป็นตัวเลขเดิม คูณผลลัพธ์ด้วย 10 แล้วกำหนดจำนวนหน่วยยกกำลังสองไปทางขวา ตัวอย่าง. สแควร์ 13 จำนวนหน่วยในหมายเลขนี้คือ 3 ถัดไปคุณต้องคำนวณหมายเลขกลาง 13+3=16 แล้วคูณด้วย 10 ได้ 160 ยกกำลังสองของจำนวนนับคือ 3x3 = 9 ผลลัพธ์สุดท้ายคือ 169 สำหรับตัวเลขของสิบสามจะใช้อัลกอริทึมที่คล้ายกัน คุณเพียงต้องคูณด้วย 20 และเพิ่มกำลังสองของหน่วย ไม่ใช่แอตทริบิวต์ ตัวอย่าง. คำนวณกำลังสองของจำนวน 24 พบจำนวนหน่วย - 4 คำนวณจำนวนกลาง - 24 + 4 \u003d 28 การคูณด้วย 20 ผลลัพธ์ใน 560 กำลังสองของจำนวนหนึ่งคือ 4x4 = 16 ผลลัพธ์สุดท้ายคือ 560+16=576

วิธียกกำลังสองตัวเลขจาก 40 ถึง 60 อัลกอริทึมค่อนข้างง่าย ก่อนอื่นคุณต้องหาว่าตัวเลขที่ให้มานั้นมากหรือน้อยกว่าค่ากลางของช่วงตัวเลข 50 ให้บวก (ถ้าตัวเลขมากกว่า 50) หรือลบ (ถ้าตัวเลขน้อยกว่า 50) 25 เข้ากับผลลัพธ์ ได้ คูณผลรวมที่ได้ (หรือผลต่าง) ด้วย 100 เพิ่มกำลังสองให้กับผลต่างระหว่างตัวเลขที่คุณต้องการหากำลังสองกับจำนวน 50 ตัวอย่าง: คุณต้องหากำลังสองของตัวเลข 46 ความแตกต่าง คือ 50-46=4.5-4=1.1x100=0.4x4=6.0+16=2116 ผลลัพธ์: 46x46=2116.

เคล็ดลับอีกประการหนึ่งคือวิธียกกำลังสองตัวเลขจาก 40 ถึง 60 ในการคำนวณกำลังสองของตัวเลขจาก 40 เป็น 49 คุณต้องเพิ่มจำนวนหน่วยเป็น 15 คูณผลลัพธ์ด้วย 100 ทางด้านขวาของหน่วย ยกกำลังสองของผลต่างระหว่างหลักสุดท้ายของตัวเลขที่ระบุกับ 10 ตัวอย่าง คำนวณกำลังสองของตัวเลข 42 จำนวนหน่วยของตัวเลขนี้คือ 2 บวก 15: 2+15=17 พบความแตกต่างของจำนวนหน่วยเดียวกันและ 10 เท่ากับ 8 มันถูกยกกำลังสอง: 8x8 \u003d 64 หมายเลข 64 ถูกกำหนดไว้ทางด้านขวาของผลลัพธ์ก่อนหน้า 17 หมายเลขสุดท้ายคือ 1764 หากตัวเลขอยู่ในช่วงตั้งแต่ 51 ถึง 59 จะใช้อัลกอริทึมเดียวกันในการยกกำลังสอง ต้องเพิ่มเพียง 25 เท่านั้นในตัวเลข ของหน่วย

วิธีจัดตารางอะไรก็ได้ในใจคุณ เลขสองหลัก. ถ้าผู้ชายรู้วิธียกกำลังสอง เลขตัวเดียวกล่าวอีกนัยหนึ่ง - รู้ตารางสูตรคูณแล้วเขาจะไม่มีปัญหาในการคำนวณกำลังสองของตัวเลขสองหลัก ตัวอย่าง. คุณต้องยกกำลังสองตัวเลขสองหลัก 36 จำนวนนี้คูณด้วยจำนวนหลักสิบ 36x3=8. ถัดไปคุณต้องค้นหาผลคูณของตัวเลข: 3x6 \u003d 18 จากนั้นเพิ่มผลลัพธ์ทั้งสอง 108+18=126. ขั้นตอนต่อไป: คุณต้องยกกำลังสองหน่วยของจำนวนเดิม: 6x6=36 ในผลลัพธ์ที่ได้ จะกำหนดจำนวนหลักสิบ - 3 และเพิ่มลงในผลลัพธ์ก่อนหน้า: 126 + 3 = 129 และขั้นตอนสุดท้าย ทางด้านขวาของผลลัพธ์ที่ได้รับ จำนวนหน่วยของจำนวนเดิมจะถูกนำมาประกอบใน ตัวอย่างนี้- 6. ผลลัพธ์ที่ได้คือหมายเลข 1296

มีหลายวิธีในการยกกำลังสองตัวเลขต่างๆ อัลกอริธึมข้างต้นบางส่วนค่อนข้างง่าย บางขั้นตอนค่อนข้างยุ่งยากและเข้าใจยากในแวบแรก หลายคนถูกใช้โดยผู้คนมานานหลายศตวรรษ แต่ละคนสามารถพัฒนาอัลกอริธึมที่เข้าใจง่ายและน่าสนใจยิ่งขึ้น แต่ถ้ามีปัญหากับบัญชีปากเปล่าหรือปัญหาอื่น ๆ คุณจะต้องเกี่ยวข้องกับวิธีการทางเทคนิค