สมการที่มีพารามิเตอร์ ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ (วิธีการแก้ปัญหาแบบกราฟิก) บทนำ

Otdelkina Olga นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 9

หัวข้อนี้เป็นส่วนหนึ่งของการศึกษาหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียน จุดประสงค์ของงานนี้เพื่อศึกษาหัวข้อนี้ในเชิงลึกมากขึ้น เพื่อระบุวิธีแก้ปัญหาที่มีเหตุผลที่สุดที่จะนำไปสู่คำตอบอย่างรวดเร็ว บทความนี้จะช่วยให้นักเรียนคนอื่นๆ เข้าใจการใช้วิธีการแบบกราฟิกในการแก้สมการด้วยพารามิเตอร์ เรียนรู้ที่มา การพัฒนาวิธีนี้

ดาวน์โหลด:

ดูตัวอย่าง:

บทนำ2

บทที่ 1

ประวัติความเป็นมาของสมการด้วยพารามิเตอร์3

ทฤษฎีบทของเวียตา4

แนวคิดพื้นฐาน5

บทที่ 2 ประเภทของสมการพร้อมพารามิเตอร์

สมการเชิงเส้น6

สมการกำลังสอง…………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………7

บทที่ 3

วิธีวิเคราะห์……………………………………………………….8

วิธีกราฟิก ประวัติการเกิด……………………………9

อัลกอริธึมโซลูชันแบบกราฟิก ..………………………………….10

การแก้สมการด้วยโมดูลัส………………………………………………………….11

ส่วนที่ใช้ได้จริง…………………………………………………………………… 12

บทสรุป…………………………………………………………………………………….19

ข้อมูลอ้างอิง…………………………………………………………………… 20

บทนำ.

ฉันเลือกหัวข้อนี้เนื่องจากเป็นส่วนสำคัญของการศึกษาหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียน ฉันเตรียมงานนี้โดยตั้งเป้าหมายในการศึกษาหัวข้อนี้อย่างลึกซึ้งยิ่งขึ้น โดยระบุวิธีแก้ปัญหาที่มีเหตุผลที่สุดซึ่งนำไปสู่คำตอบอย่างรวดเร็ว เรียงความของฉันจะช่วยให้นักเรียนคนอื่นๆ เข้าใจการใช้วิธีการแบบกราฟิกในการแก้สมการด้วยพารามิเตอร์ เรียนรู้เกี่ยวกับที่มา การพัฒนาวิธีนี้

ในชีวิตสมัยใหม่ การศึกษากระบวนการทางกายภาพและรูปแบบทางเรขาคณิตจำนวนมากมักนำไปสู่การแก้ปัญหาด้วยพารามิเตอร์

ในการแก้สมการดังกล่าว วิธีกราฟิกจะมีประสิทธิภาพมากเมื่อจำเป็นต้องกำหนดจำนวนรากของสมการที่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ α

งานที่มีพารามิเตอร์เป็นงานที่มีความสนใจทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ มีส่วนช่วยในการพัฒนาทางปัญญาของนักเรียน และเป็นสื่อการสอนที่ดีสำหรับการฝึกทักษะ พวกเขามีคุณค่าในการวินิจฉัย เนื่องจากสามารถใช้ทดสอบความรู้ในส่วนหลักของคณิตศาสตร์ ระดับการคิดทางคณิตศาสตร์และตรรกะ ทักษะการวิจัยเบื้องต้น และโอกาสที่มีแนวโน้มว่าจะประสบความสำเร็จในการเรียนรู้หลักสูตรคณิตศาสตร์ในสถาบันอุดมศึกษา

ในบทคัดย่อของฉัน มีการพิจารณาประเภทของสมการที่พบได้ทั่วไป และฉันหวังว่าความรู้ที่ฉันได้รับจากกระบวนการทำงาน จะช่วยฉันได้เมื่อสอบผ่านโรงเรียนเพราะสมการพร้อมพารามิเตอร์ถือว่าเป็นหนึ่งในงานที่ยากที่สุดในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนอย่างถูกต้อง เป็นงานเหล่านี้ที่ตกอยู่ในรายการงานในการสอบแบบรวมศูนย์ USE

ประวัติความเป็นมาของสมการด้วยพารามิเตอร์

ปัญหาของสมการที่มีพารามิเตอร์พบแล้วในบทความทางดาราศาสตร์ "Aryabhattam" ซึ่งรวบรวมในปี 499 โดย Aryabhatta นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอินเดีย นักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียอีกคนหนึ่งคือ Brahmagupta (ศตวรรษที่ 7) ได้สรุปกฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่ลดลงให้อยู่ในรูปแบบบัญญัติเดียว:

αх 2 + bx = c, α>0

ในสมการสัมประสิทธิ์ยกเว้นพารามิเตอร์ยังสามารถเป็นค่าลบได้

สมการกำลังสองในอัลคอวาริซมี

บทความเกี่ยวกับพีชคณิตของ Al-Khwarizmi ให้การจำแนกประเภทสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองด้วยพารามิเตอร์ ผู้เขียนแสดงรายการสมการ 6 ประเภท แสดงได้ดังนี้

1) “สี่เหลี่ยมเท่ากับราก” เช่น αx 2 = ขx.

2) "กำลังสองเท่ากับตัวเลข" เช่น αx 2 = ค.

3) "รากมีค่าเท่ากับตัวเลข" เช่น αx = c.

4) “กำลังสองและจำนวนเท่ากับราก” เช่น αx 2 + c = bx

5) “กำลังสองและรากเท่ากับตัวเลข” เช่น αx 2 + bx = ค

6) "รากและตัวเลขเท่ากับกำลังสอง" เช่น bx + c = αx 2 .

สูตรสำหรับการแก้สมการกำลังสองตาม al-Khorezmi ในยุโรปมีกำหนดครั้งแรกใน "Book of the Abacus" ซึ่งเขียนในปี 1202 โดย Leonardo Fibonacci นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี

Vieta มีที่มาทั่วไปของสูตรสำหรับการแก้สมการกำลังสองด้วยพารามิเตอร์ แต่ Vieta รับรู้เฉพาะรากที่เป็นบวกเท่านั้น นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Tartaglia, Cardano, Bombelli เป็นหนึ่งในกลุ่มแรกในศตวรรษที่สิบสอง คำนึงถึงนอกเหนือไปจากรากบวกและลบ เฉพาะในศตวรรษที่ XVII ต้องขอบคุณผลงานของ Girard, Descartes, Newton และนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ วิธีการแก้สมการกำลังสองจึงมีรูปลักษณ์ที่ทันสมัย

ทฤษฎีบทของเวียตา

ทฤษฎีบทที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างพารามิเตอร์ สัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองและรากของมันซึ่งมีชื่อเรียกว่า Vieta ได้รับการคิดค้นขึ้นเป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1591 ดังนี้ “ถ้า b + d คูณด้วย α ลบ α 2 เท่ากับ bc จากนั้น α เท่ากับ b และเท่ากับ d

เพื่อให้เข้าใจ Vieta เราควรจำไว้ว่า α เช่นเดียวกับสระใด ๆ หมายถึงสิ่งที่ไม่รู้จัก (x ของเรา) ในขณะที่สระ b, d เป็นสัมประสิทธิ์ของค่าที่ไม่รู้จัก ในภาษาของพีชคณิตสมัยใหม่ สูตรของ Vieta ด้านบนหมายถึง:

ถ้ามี

(α + b)x - x 2 \u003d αb,

นั่นคือ x 2 - (α -b)x + αb \u003d 0

จากนั้น x 1 = α, x 2 = b

การแสดงความสัมพันธ์ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการโดยสูตรทั่วไปที่เขียนโดยใช้สัญลักษณ์ Vieta ได้สร้างความสม่ำเสมอในวิธีการแก้สมการ อย่างไรก็ตาม สัญลักษณ์ของ Vieta ยังห่างไกลจากรูปแบบที่ทันสมัย เขาไม่รู้จักจำนวนลบ ดังนั้น เมื่อแก้สมการ เขาพิจารณาเฉพาะกรณีที่รากทั้งหมดเป็นบวก

แนวคิดพื้นฐาน

พารามิเตอร์ - ตัวแปรอิสระ ค่าที่ถือว่าเป็นตัวเลขคงที่หรือโดยพลการ หรือตัวเลขที่เป็นของช่วงที่กำหนดโดยเงื่อนไขของปัญหา

สมการที่มีพารามิเตอร์- คณิตศาสตร์สมการซึ่งลักษณะที่ปรากฏและวิธีแก้ปัญหาขึ้นอยู่กับค่าของพารามิเตอร์ตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป

แก้ปัญหา สมการด้วยพารามิเตอร์หมายถึงแต่ละค่าหาค่า x ที่ตรงตามสมการนี้และยัง:

1. 1. ตรวจสอบว่าสมการมีรากของค่าพารามิเตอร์ใดและมีกี่ค่าสำหรับค่าพารามิเตอร์ต่างๆ
2. 2. ค้นหานิพจน์ทั้งหมดสำหรับรูตและระบุค่าของพารามิเตอร์ที่นิพจน์นี้กำหนดรูทของสมการสำหรับแต่ละรายการ

พิจารณาสมการ α(х+k)= α +c โดยที่ α, c, k, x เป็นตัวแปร

ระบบค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปร α, c, k, xระบบเรียกค่าตัวแปรใด ๆ ซึ่งทั้งส่วนซ้ายและขวาของสมการนี้ใช้ค่าจริง

ให้ A เป็นชุดของค่าที่ยอมรับได้ทั้งหมดของ α, K - ชุดของค่าที่ยอมรับได้ทั้งหมดของ k, X - ชุดของค่าที่ยอมรับได้ทั้งหมดของ x, C - ชุดของค่าที่ยอมรับได้ทั้งหมด ของค. หากสำหรับแต่ละเซต A, K, C, X เราเลือกและแก้ไขตามลำดับ หนึ่งค่า α, k, c และแทนที่พวกมันลงในสมการ เราจะได้สมการสำหรับ x นั่นคือ สมการที่ไม่รู้จัก

ตัวแปร α, k, c ซึ่งถือว่าคงที่เมื่อแก้สมการเรียกว่าพารามิเตอร์ และตัวสมการเองเรียกว่าสมการที่มีพารามิเตอร์

พารามิเตอร์แสดงด้วยอักษรตัวแรกของอักษรละติน: α, b, c, d, …, k , l, m, n และ unknowns - ด้วยตัวอักษร x, y, z

สมการสองสมการที่มีพารามิเตอร์เหมือนกันเรียกว่าเทียบเท่าถ้า:

ก) เหมาะสมสำหรับค่าพารามิเตอร์เดียวกัน

b) ทุกคำตอบของสมการแรกคือคำตอบของสมการที่สองและในทางกลับกัน

ประเภทของสมการพร้อมพารามิเตอร์

สมการที่มีพารามิเตอร์คือ: เชิงเส้นและสี่เหลี่ยม

1) สมการเชิงเส้น แบบฟอร์มทั่วไป:

α x = b โดยที่ x ไม่เป็นที่รู้จักα , b - พารามิเตอร์

สำหรับสมการนี้ ค่าพิเศษหรือค่าควบคุมของพารามิเตอร์คือค่าที่สัมประสิทธิ์หายไปโดยไม่ทราบค่า

เมื่อแก้สมการเชิงเส้นด้วยพารามิเตอร์ จะพิจารณากรณีต่างๆ เมื่อพารามิเตอร์เท่ากับค่าพิเศษและแตกต่างจากพารามิเตอร์นั้น

ค่าพิเศษของพารามิเตอร์ α คือค่าα = 0.

1.ถ้า, a ≠0 จากนั้นสำหรับคู่ของพารามิเตอร์α และขก็มีทางออกที่ไม่เหมือนใคร x = .

2. ถ้า, a =0 จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ: 0 x = ข . ในกรณีนี้ ค่าข = 0 เป็นค่าพารามิเตอร์พิเศษข.

2.1. สำหรับข ≠ 0 สมการไม่มีคำตอบ

2.2. สำหรับข =0 สมการจะอยู่ในรูปแบบ: 0 x=0.

คำตอบของสมการนี้คือจำนวนจริงใดๆ

สมการกำลังสองพร้อมพารามิเตอร์

แบบฟอร์มทั่วไป:

α x 2 + bx + c = 0

โดยที่พารามิเตอร์ α ≠0, b และ c - ตัวเลขโดยพลการ

ถ้า α =1 จากนั้นสมการจะเรียกว่าสมการกำลังสองลดรูป

รากของสมการกำลังสองหาได้จากสูตร

นิพจน์ D = b 2 - 4 α c เรียกว่าผู้เลือกปฏิบัติ

1. ถ้า D> 0 - สมการมีสองรากที่แตกต่างกัน

2. ถ้า D< 0 — уравнение не имеет корней.

3. ถ้า D = 0 - สมการมีสองรากเท่ากัน

วิธีการแก้สมการด้วยพารามิเตอร์:

1. วิเคราะห์ - วิธีการแก้ปัญหาโดยตรงที่ทำซ้ำขั้นตอนมาตรฐานเพื่อค้นหาคำตอบในสมการโดยไม่มีพารามิเตอร์
2. กราฟิค - ขึ้นอยู่กับสภาพของปัญหา ตำแหน่งของกราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่เกี่ยวข้องในระบบพิกัดจะถูกพิจารณา

วิธีวิเคราะห์

อัลกอริทึมของโซลูชัน:

1. ก่อนดำเนินการแก้ปัญหาด้วยพารามิเตอร์ด้วยวิธีการวิเคราะห์ จำเป็นต้องเข้าใจสถานการณ์สำหรับค่าตัวเลขเฉพาะของพารามิเตอร์ก่อน ตัวอย่างเช่น นำค่าของพารามิเตอร์ α =1 และตอบคำถาม: คือค่าของพารามิเตอร์ α =1 เป็นค่าที่จำเป็นสำหรับปัญหานี้

ตัวอย่างที่ 1: ตัดสินใจเกี่ยวกับ X สมการเชิงเส้นพร้อมพารามิเตอร์ m:

ตามความหมายของโจทย์ (m-1)(x+3) = 0 นั่นคือ m= 1, x = -3.

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย (m-1)(x+3) เราจะได้สมการ

เราได้รับ

ดังนั้น ที่ m = 2.25

ตอนนี้จำเป็นต้องตรวจสอบว่าไม่มีค่าดังกล่าวของ m หรือไม่

ค่า x ที่พบคือ -3

การแก้สมการนี้ เราจะได้ว่า x เป็น -3 เมื่อ m = -0.4

คำตอบ: ที่ m=1, m=2.25.

วิธีกราฟิก ประวัติการเกิด

การศึกษาการพึ่งพาอาศัยกันทั่วไปเริ่มขึ้นในศตวรรษที่ 14 วิทยาศาสตร์ยุคกลางเป็นวิชาการ ด้วยลักษณะดังกล่าว ไม่มีที่ว่างสำหรับการศึกษาการพึ่งพาเชิงปริมาณ มันเกี่ยวกับคุณภาพของวัตถุและความสัมพันธ์ระหว่างกันเท่านั้น แต่ในหมู่นักปราชญ์ ก็มีโรงเรียนที่ยืนยันว่าคุณสมบัติจะรุนแรงได้ไม่มากก็น้อย (การแต่งกายของคนที่ตกลงไปในแม่น้ำนั้นเปียกยิ่งกว่าคนที่เพิ่งโดนฝน)

นักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Nicholas Oresme เริ่มพรรณนาถึงความเข้มของความยาวของปล้อง เมื่อเขาจัดเรียงส่วนเหล่านี้ในแนวตั้งฉากกับเส้นตรงบางส่วนปลายของพวกมันกลายเป็นเส้นซึ่งเขาเรียกว่า "เส้นความเข้ม" หรือ "เส้นของขอบบน" (กราฟของการพึ่งพาฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน) Oresmus ศึกษาแม้กระทั่ง "ระนาบ" และคุณสมบัติ "ร่างกาย" กล่าวคือ หน้าที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรสองหรือสามตัว

ความสำเร็จที่สำคัญของ Oresmes คือความพยายามที่จะจำแนกกราฟผลลัพธ์ เขาแยกแยะคุณสมบัติสามประเภท: สม่ำเสมอ (ที่มีความเข้มคงที่) สม่ำเสมอสม่ำเสมอ (ด้วยอัตราการเปลี่ยนแปลงความเข้มคงที่) และไม่สม่ำเสมอ (ที่เหลือทั้งหมด) รวมถึงคุณสมบัติเฉพาะของกราฟของคุณสมบัติดังกล่าว

ในการสร้างเครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับศึกษากราฟฟังก์ชันนั้น ต้องใช้แนวคิดของตัวแปร แนวคิดนี้ถูกนำมาใช้ในวิทยาศาสตร์โดยนักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส René Descartes (1596-1650) เดส์การตส์เป็นผู้คิดค้นแนวคิดเกี่ยวกับเอกภาพของพีชคณิตและเรขาคณิตและเกี่ยวกับบทบาทของตัวแปร เดส์การตส์แนะนำส่วนของหน่วยคงที่และเริ่มพิจารณาความสัมพันธ์ของส่วนอื่นๆ กับส่วนนั้น

ดังนั้น กราฟของฟังก์ชันตลอดระยะเวลาที่ดำรงอยู่ได้ผ่านชุดของการเปลี่ยนแปลงพื้นฐานที่นำพวกเขามาสู่รูปแบบที่เราคุ้นเคย แต่ละขั้นตอนหรือขั้นตอนในการพัฒนากราฟของฟังก์ชันเป็นส่วนสำคัญของประวัติศาสตร์พีชคณิตและเรขาคณิตสมัยใหม่

วิธีแบบกราฟิกสำหรับกำหนดจำนวนรากของสมการขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่รวมอยู่ในนั้นสะดวกกว่าวิธีวิเคราะห์

อัลกอริธึมโซลูชันแบบกราฟิก

กราฟฟังก์ชัน คือเซตของจุดที่abscissaเป็นค่าอาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้อง, แต่ พิกัด- ค่าที่สอดคล้องกันฟังก์ชั่น.

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการแบบกราฟิกพร้อมพารามิเตอร์:

1. หาโดเมนของสมการ.
2. เราแสดง α เป็นฟังก์ชันของ x
3. ในระบบพิกัด เราสร้างกราฟของฟังก์ชันα (x) สำหรับค่าของ x ที่อยู่ภายในโดเมนของสมการที่กำหนด
4. การหาจุดตัดของเส้นตรงα =c พร้อมกราฟฟังก์ชัน

ขวาน). ถ้าเส้น α =c ข้ามกราฟα (x) จากนั้นเราจะกำหนดจุดตัดของจุดตัดกัน การทำเช่นนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะแก้สมการค = α (x) เทียบกับ x

1. เขียนคำตอบ

การแก้สมการด้วยโมดูลัส

เมื่อแก้สมการด้วยโมดูลัสที่มีพารามิเตอร์แบบกราฟิก จำเป็นต้องพล็อตกราฟฟังก์ชันและพิจารณากรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับค่าต่างๆ ของพารามิเตอร์

ตัวอย่างเช่น │х│= a,

คำตอบ: ถ้า < 0, то нет корней, a > 0 จากนั้น x \u003d a, x \u003d - a, ถ้า a \u003d 0 แล้ว x \u003d 0

การแก้ปัญหา.

ปัญหาที่ 1. สมการมีกี่ราก| | x | - 2 | = ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ก?

สารละลาย. ในระบบพิกัด (x; y) เราพล็อตกราฟของฟังก์ชัน y = | | x | - 2 | และ y=เอ . กราฟของฟังก์ชัน y = | | x | - 2 | แสดงในรูป

กราฟของฟังก์ชัน y =α a = 0)

เห็นได้จากกราฟว่า

ถ้า a = 0 แล้วเส้น y = a ตรงกับแกน Ox และมีกราฟของฟังก์ชัน y = | | x | - 2 | สองจุดร่วมกัน ดังนั้นสมการเดิมจึงมีรากสองราก (ในกรณีนี้ สามารถหารากได้ดังนี้ x 1,2 = + 2).
ถ้า0< a < 2, то прямая y = α มีกับกราฟฟังก์ชัน y = | | x | - 2 | สี่จุดร่วม ดังนั้น สมการดั้งเดิมจึงมีสี่ราก
ถ้าเอ = 2 แล้วเส้น y = 2 มีสามจุดที่เหมือนกันกับกราฟของฟังก์ชัน จากนั้นสมการเดิมจะมีสามราก
ถ้า a > 2 แล้วเส้น y = a จะมีจุดสองจุดพร้อมกราฟของฟังก์ชันเดิม กล่าวคือ สมการนี้จะมีรากสองราก

คำตอบ: ถ้า < 0, то корней нет;
ถ้า a = 0, a > 2 แล้วสองราก;
ถ้า a = 2 แสดงว่ามีสามราก
ถ้า 0< a < 2, то четыре корня.

ปัญหาที่ 2 สมการมีกี่ราก| x 2 - 2| x | - 3 | = ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ก?

สารละลาย. ในระบบพิกัด (x; y) เราพล็อตกราฟของฟังก์ชัน y = | x 2 - 2| x | - 3 | และ y = ก

กราฟของฟังก์ชัน y = | x 2 - 2| x | - 3 | แสดงในรูป กราฟของฟังก์ชัน y =α เป็นเส้นขนานกับวัวหรือประจวบกับมัน (เมื่อก = 0).

จากกราฟคุณจะเห็น:

ถ้า a = 0 แล้วเส้น y = a ตรงกับแกน Ox และมีกราฟของฟังก์ชัน y = | x2 - 2| x | - 3 | จุดร่วมสองจุด เช่นเดียวกับเส้น y =เอ จะมีกับกราฟฟังก์ชัน y = | x 2 - 2| x | - 3 | สองจุดร่วมกัน a > 4. ดังนั้น สำหรับ a = 0 และ a > 4 สมการเดิมมีสองราก
ถ้า0< เอ< 3, то прямая y = a มีกับกราฟฟังก์ชัน y = | x 2 - 2| x | - 3 | จุดร่วมสี่จุด เช่นเดียวกับเส้น y=เอ จะมีจุดร่วมสี่จุดพร้อมกราฟของฟังก์ชันที่สร้างขึ้นที่ a = 4 ดังนั้น ที่ 0< a < 3, a = 4 สมการเดิมมีสี่ราก
ถ้า a = 3 แล้วเส้น y = a ตัดกราฟของฟังก์ชันที่ห้าจุด ดังนั้นสมการจึงมีห้าราก
ถ้า3< เอ< 4, прямая y = α ตัดกราฟของฟังก์ชันที่สร้างขึ้นที่จุดหกจุด ดังนั้น สำหรับค่าพารามิเตอร์เหล่านี้ สมการดั้งเดิมจึงมีหกราก
ถ้าเอ < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α ไม่ตัดกับกราฟของฟังก์ชัน y = | x 2 - 2| x | - 3 |.

คำตอบ: ถ้า < 0, то корней нет;
ถ้า a = 0, a > 4 แสดงว่ามีรากที่สอง
ถ้า 0< a < 3, a = 4 จากนั้นสี่ราก

ถ้า = 3 จากนั้นห้ารูต
ถ้า3< a < 4, то шесть корней.

ปัญหาที่ 3 สมการมีกี่ราก

ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ก?

สารละลาย. เราสร้างในระบบพิกัด (x; y) กราฟของฟังก์ชัน

แต่ก่อนอื่นให้ใส่ไว้ในแบบฟอร์ม:

เส้น x = 1, y = 1 เป็นเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน กราฟของฟังก์ชัน y = | x | +เอ ได้จากกราฟของฟังก์ชัน y = | x | ออฟเซ็ตโดยหน่วยตามแนวแกน Oy

กราฟฟังก์ชัน ตัดกันที่จุดหนึ่งที่เอ > - 1; ดังนั้นสมการ (1) สำหรับค่าพารามิเตอร์เหล่านี้จึงมีคำตอบเดียว

สำหรับ a = - 1, a = - 2 กราฟตัดกันที่จุดสองจุด; ดังนั้น สำหรับค่าพารามิเตอร์เหล่านี้ สมการ (1) จึงมี 2 ราก
ที่ - 2< เอ< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

คำตอบ: ถ้า > - 1 แล้วหนึ่งวิธีแก้ไข;
ถ้า a = - 1, a = - 2, จากนั้นสองคำตอบ;
ถ้า - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

ความคิดเห็น เมื่อแก้สมการของปัญหาควรให้ความสนใจเป็นพิเศษในกรณีที่เมื่อเอ = - 2 เนื่องจากจุด (-1; - 1) ไม่ได้อยู่ในกราฟของฟังก์ชันแต่อยู่ในกราฟของฟังก์ชัน y = | x | +ก.

ปัญหาที่ 4. สมการมีกี่ราก

x + 2 = a | x - 1 |

ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ก?

สารละลาย. โปรดทราบว่า x = 1 ไม่ใช่รากของสมการนี้ เนื่องจากความเท่าเทียมกัน 3 =เอ 0 ไม่สามารถเป็นจริงได้สำหรับค่าพารามิเตอร์ใดๆเอ . เราหารสมการทั้งสองข้างด้วย | x - 1 |(| x - 1 |0) จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบในระบบพิกัด xOy เราพล็อตฟังก์ชัน

กราฟของฟังก์ชันนี้แสดงในรูป กราฟของฟังก์ชัน y =เอ เป็นเส้นตรงขนานกับแกนวัวหรือประจวบกับมัน (forก = 0).

ถึง งานที่มีพารามิเตอร์รวมถึงตัวอย่างเช่น การค้นหาคำตอบของสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไป การศึกษาสมการสำหรับจำนวนรากที่มีอยู่ ขึ้นอยู่กับค่าของพารามิเตอร์

โดยไม่ให้คำจำกัดความโดยละเอียด ให้พิจารณาสมการต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง:

y = kx โดยที่ x, y เป็นตัวแปร k คือพารามิเตอร์

y = kx + b โดยที่ x, y คือตัวแปร k และ b คือพารามิเตอร์

ax 2 + bx + c = 0 โดยที่ x คือตัวแปร a, b และ c คือพารามิเตอร์

ในการแก้สมการ (อสมการ, ระบบ) ด้วยพารามิเตอร์หมายถึงตามกฎแล้ว ให้แก้สมการอนันต์ (อสมการ, ระบบ)

งานที่มีพารามิเตอร์สามารถแบ่งออกเป็นสองประเภทตามเงื่อนไข:

แต่)เงื่อนไขบอกว่า: แก้สมการ (อสมการ, ระบบ) - ซึ่งหมายความว่าสำหรับค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ ค้นหาคำตอบทั้งหมด หากยังไม่ได้สำรวจอย่างน้อยหนึ่งกรณี การแก้ปัญหาดังกล่าวไม่ถือเป็นที่น่าพอใจ

ข)จำเป็นต้องระบุค่าที่เป็นไปได้ของพารามิเตอร์ที่สมการ (อสมการ, ระบบ) มีคุณสมบัติบางอย่าง ตัวอย่างเช่น มีวิธีแก้ปัญหาเดียว ไม่มีวิธีแก้ปัญหา มีวิธีแก้ปัญหาที่เป็นของช่วงเวลา ฯลฯ ในงานดังกล่าว จำเป็นต้องระบุอย่างชัดเจนว่าค่าพารามิเตอร์ใดที่เงื่อนไขที่ต้องการได้รับความพึงพอใจ

พารามิเตอร์ซึ่งเป็นจำนวนคงที่ที่ไม่รู้จักมีความเป็นคู่พิเศษ ก่อนอื่นต้องคำนึงว่าชื่อเสียงที่ถูกกล่าวหาแนะนำว่าพารามิเตอร์ต้องถูกมองว่าเป็นตัวเลข ประการที่สอง เสรีภาพในการจัดการพารามิเตอร์นั้นถูกจำกัดโดยไม่ทราบสาเหตุ ตัวอย่างเช่น การดำเนินการหารด้วยนิพจน์ที่มีพารามิเตอร์หรือการแยกรากของระดับคู่จากนิพจน์ที่คล้ายกันจำเป็นต้องมีการวิจัยเบื้องต้น ดังนั้นต้องใช้ความระมัดระวังในการจัดการพารามิเตอร์

ตัวอย่างเช่น หากต้องการเปรียบเทียบตัวเลขสองตัว -6a และ 3a จะต้องพิจารณาสามกรณี:

1) -6a จะมากกว่า 3a ถ้า a เป็นจำนวนลบ

2) -6a = 3a ในกรณีที่ a = 0;

3) -6a จะน้อยกว่า 3a ถ้า a เป็นจำนวนบวก 0

การตัดสินใจจะเป็นคำตอบ

ให้สมการ kx = b ถูกกำหนด สมการนี้เป็นการจดชวเลขสำหรับชุดสมการอนันต์ในตัวแปรเดียว

เมื่อแก้สมการดังกล่าวอาจมีบางกรณี:

1. ให้ k เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ และ b จำนวนใดๆ จาก R แล้ว x = b/k

2. ให้ k = 0 และ b ≠ 0 สมการเดิมจะอยู่ในรูปแบบ 0 · x = b เห็นได้ชัดว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบ

3. ให้ k กับ b เป็นตัวเลขเท่ากับศูนย์ แล้วเราจะมีความเท่าเทียมกัน 0 · x = 0 คำตอบของมันคือจำนวนจริงใดๆ

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการประเภทนี้:

1. กำหนดค่า "การควบคุม" ของพารามิเตอร์

2. แก้สมการเดิมของ x ด้วยค่าของพารามิเตอร์ที่กำหนดไว้ในย่อหน้าแรก

3. แก้สมการเดิมของ x ด้วยค่าพารามิเตอร์ที่แตกต่างจากที่เลือกไว้ในย่อหน้าแรก

4. คุณสามารถเขียนคำตอบในรูปแบบต่อไปนี้:

1) เมื่อ ... (ค่าพารามิเตอร์) สมการมีราก ...;

2) เมื่อ ... (ค่าพารามิเตอร์) ไม่มีรากในสมการ

ตัวอย่างที่ 1

แก้สมการด้วยพารามิเตอร์ |6 – x| = ก.

สารละลาย.

มันง่ายที่จะเห็นว่าที่นี่ ≥ 0

ตามกฎของโมดูโล 6 – x = ±a เราแสดง x:

คำตอบ: x = 6 ± a โดยที่ a ≥ 0

ตัวอย่าง 2

แก้สมการ a(x - 1) + 2(x - 1) = 0 เทียบกับตัวแปร x

สารละลาย.

มาเปิดวงเล็บกันเถอะ: axe - a + 2x - 2 \u003d 0

ลองเขียนสมการในรูปแบบมาตรฐาน: x(a + 2) = a + 2

ถ้านิพจน์ a + 2 ไม่ใช่ศูนย์ นั่นคือ ถ้า ≠ -2 เรามีคำตอบ x = (a + 2) / (a ​​​​+ 2), i.e. x = 1

ถ้า a + 2 เท่ากับศูนย์ นั่นคือ a \u003d -2 แล้วเรามีความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง 0 x \u003d 0 ดังนั้น x เป็นจำนวนจริงใดๆ

คำตอบ: x \u003d 1 สำหรับ a ≠ -2 และ x € R สำหรับ a \u003d -2

ตัวอย่างที่ 3

แก้สมการ x/a + 1 = a + x เทียบกับตัวแปร x

สารละลาย.

ถ้า a \u003d 0 เราจะแปลงสมการเป็นรูปแบบ a + x \u003d a 2 + ax หรือ (a - 1) x \u003d -a (a - 1) สมการสุดท้ายของ a = 1 มีรูปแบบ 0 · x = 0 ดังนั้น x จึงเป็นตัวเลขใดๆ

ถ้า ≠ 1 สมการสุดท้ายจะอยู่ในรูปแบบ x = -a

วิธีแก้ปัญหานี้สามารถแสดงได้บนเส้นพิกัด (รูปที่ 1)

คำตอบ: ไม่มีคำตอบสำหรับ a = 0; x - ตัวเลขใดๆ ที่ a = 1; x \u003d -a ที่มี ≠ 0 และ 1

วิธีกราฟิก

พิจารณาอีกวิธีหนึ่งในการแก้สมการด้วยพารามิเตอร์ - แบบกราฟิก วิธีนี้ใช้ค่อนข้างบ่อย

ตัวอย่างที่ 4

สมการ ||x| . มีกี่ราก ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ a – 2| = เอ?

สารละลาย.

ในการแก้ปัญหาด้วยวิธีกราฟิก เราสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = ||x| – 2| และ y = a (รูปที่ 2).

ภาพวาดแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงกรณีที่เป็นไปได้ของตำแหน่งของเส้น y = a และจำนวนรากในแต่ละเส้น

คำตอบ: สมการจะไม่มีรากถ้า a< 0; два корня будет в случае, если a >2 และ a = 0; สมการจะมีสามรากในกรณี a = 2; สี่ราก - ที่ 0< a < 2.

ตัวอย่างที่ 5

ซึ่งสมการ 2|x| + |x – 1| = a มีรูทเดียว?

สารละลาย.

มาวาดกราฟของฟังก์ชัน y = 2|x| . กัน + |x – 1| และ y = ก สำหรับ y = 2|x| + |x - 1| การขยายโมดูลด้วยวิธี gap เราได้รับ:

(-3x + 1, ที่ x< 0,

y = (x + 1 สำหรับ 0 ≤ x ≤ 1

(3x – 1 สำหรับ x > 1

บน รูปที่ 3จะเห็นได้ชัดเจนว่าสมการจะมีรูทเฉพาะเมื่อ a = 1

คำตอบ: ก = 1

ตัวอย่างที่ 6

กำหนดจำนวนคำตอบของสมการ |x + 1| + |x + 2| = a ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ a?

สารละลาย.

กราฟของฟังก์ชัน y = |x + 1| + |x + 2| จะเป็นเส้นขาด จุดยอดจะอยู่ที่จุด (-2; 1) และ (-1; 1) (ภาพที่ 4).

คำตอบ: ถ้าพารามิเตอร์ a น้อยกว่าหนึ่ง สมการจะไม่มีราก ถ้า a = 1 คำตอบของสมการจะเป็นชุดของตัวเลขจากเซกเมนต์ [-2; -หนึ่ง]; หากค่าของพารามิเตอร์ a มากกว่า 1 สมการจะมีรากที่สอง

คุณมีคำถามใด ๆ หรือไม่? ไม่ทราบวิธีแก้สมการด้วยพารามิเตอร์?
เพื่อรับความช่วยเหลือจากติวเตอร์ - ลงทะเบียน
บทเรียนแรก ฟรี!

เว็บไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

สมการที่มีพารามิเตอร์ถือว่าเป็นหนึ่งในงานที่ยากที่สุดในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน เป็นงานเหล่านี้ที่ตกทุกปีในรายการงานประเภท B และ C ในการสอบรัฐแบบรวมของการตรวจสอบแบบรวมศูนย์ อย่างไรก็ตาม ในบรรดาสมการที่มีพารามิเตอร์จำนวนมาก มีสมการที่แก้ได้แบบกราฟิกอย่างง่ายดาย ลองพิจารณาวิธีนี้ในตัวอย่างการแก้ปัญหาต่างๆ

หาผลรวมของค่าจำนวนเต็มของ a ที่สมการ |x 2 – 2x – 3| = a มีสี่ราก

สารละลาย.

เพื่อตอบคำถามของปัญหา เราสร้างกราฟของฟังก์ชันบนระนาบพิกัดเดียว

y = |x 2 – 2x – 3| และ y = ก

กราฟของฟังก์ชันแรก y = |x 2 – 2x – 3| จะได้จากกราฟของพาราโบลา y = x 2 - 2x - 3 โดยแสดงสมมาตรเกี่ยวกับแกน abscissa ของส่วนของกราฟที่อยู่ด้านล่างแกน Ox ส่วนของกราฟด้านบนแกน x จะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

มาทำทีละขั้นตอนกัน กราฟของฟังก์ชัน y \u003d x 2 - 2x - 3 เป็นพาราโบลาซึ่งมีกิ่งก้านชี้ขึ้นด้านบน ในการสร้างกราฟ เราจะหาพิกัดของจุดยอด สามารถทำได้โดยใช้สูตร x 0 = -b / 2a ดังนั้น x 0 \u003d 2/2 \u003d 1 ในการหาพิกัดบนสุดของพาราโบลาตามแนวแกน y เราแทนที่ค่าที่ได้รับสำหรับ x 0 ลงในสมการของฟังก์ชันที่กำลังพิจารณา เราได้รับว่า y 0 \u003d 1 - 2 - 3 \u003d -4 ดังนั้นจุดยอดของพาราโบลาจึงมีพิกัด (1; -4)

ถัดไป คุณต้องหาจุดตัดของกิ่งของพาราโบลาด้วยแกนพิกัด ที่จุดตัดของกิ่งก้านของพาราโบลาที่มีแกน abscissa ค่าของฟังก์ชันจะเป็นศูนย์ ดังนั้นเราจึงแก้สมการกำลังสอง x 2 - 2x - 3 \u003d 0 รากของมันจะเป็นจุดที่ต้องการ ตามทฤษฎีบทเวียตา เราได้ x 1 = -1, x 2 = 3

ที่จุดตัดของกิ่งก้านของพาราโบลาที่มีแกน y ค่าของอาร์กิวเมนต์จะเป็นศูนย์ ดังนั้น จุด y = -3 คือจุดตัดของกิ่งก้านของพาราโบลากับแกน y กราฟผลลัพธ์จะแสดงในรูปที่ 1

เพื่อให้ได้กราฟของฟังก์ชัน y = |x 2 - 2x - 3| เราจะแสดงส่วนของกราฟที่อยู่ด้านล่างแกน x แบบสมมาตรเกี่ยวกับแกน x กราฟผลลัพธ์จะแสดงในรูปที่ 2

กราฟของฟังก์ชัน y = a เป็นเส้นตรงขนานกับแกน x มันแสดงในรูปที่ 3 จากรูปที่ 3 ใช้รูปและเราพบว่ากราฟมีจุดร่วมสี่จุด (และสมการมีสี่ราก) ถ้า a เป็นของช่วงเวลา (0; 4)

ค่าจำนวนเต็มของจำนวน a จากช่วงที่ได้รับ: 1; 2; 3. เพื่อตอบคำถามของปัญหา ให้หาผลรวมของตัวเลขเหล่านี้: 1 + 2 + 3 = 6

คำตอบ: 6.

หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าจำนวนเต็มของจำนวน a ซึ่งสมการ |x 2 – 4|x| – 1| = a มีหกราก

เริ่มต้นด้วยการพล็อตฟังก์ชัน y = |x 2 – 4|x| – 1|. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราใช้ความเท่าเทียมกัน a 2 = |a| 2 และเลือกสี่เหลี่ยมเต็มในนิพจน์โมดูลย่อยที่เขียนทางด้านขวาของฟังก์ชัน:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 - 4|x| + 4) - 1 - 4 = (|x | - 2) 2 - 5.

จากนั้นฟังก์ชันดั้งเดิมจะมีลักษณะดังนี้ y = |(|x| – 2) 2 – 5|

ในการสร้างกราฟของฟังก์ชันนี้ เราสร้างกราฟของฟังก์ชันอย่างต่อเนื่อง:

1) y \u003d (x - 2) 2 - 5 - พาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุดที่มีพิกัด (2; -5); (รูปที่ 1).

2) y = (|x| - 2) 2 - 5 - ส่วนของพาราโบลาที่สร้างในย่อหน้าที่ 1 ซึ่งอยู่ทางด้านขวาของแกนกำหนด จะแสดงแบบสมมาตรทางด้านซ้ายของแกน Oy (รูปที่ 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| - ส่วนของกราฟที่สร้างในย่อหน้าที่ 2 ซึ่งอยู่ใต้แกน x จะแสดงแบบสมมาตรเทียบกับแกน abscissa ขึ้นไป (รูปที่ 3).

พิจารณาภาพวาดที่ได้:

กราฟของฟังก์ชัน y = a เป็นเส้นตรงขนานกับแกน x

จากรูป เราสรุปได้ว่ากราฟฟังก์ชันมีจุดร่วม 6 จุด (สมการมีราก 6 ราก) ถ้า a อยู่ในช่วง (1; 5)

สามารถเห็นได้ในรูปต่อไปนี้:

ค้นหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าจำนวนเต็มของพารามิเตอร์ a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

คำตอบ: 3.

blog.site ที่คัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

สำหรับแต่ละค่าของพารามิเตอร์ a แก้อสมการ | 2 x + ก | ≤ x + 2 |2x+a| \leq x+2 .

มาแก้ปัญหาเสริมกันก่อน พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันนี้เป็นความไม่เท่าเทียมกันที่มีตัวแปรสองตัว x x และ a และวาดบนระนาบพิกัด x O a xOa ทุกจุดที่พิกัดตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน

ถ้า 2 x + a ≥ 0 2x+a \geq 0 (เช่น บนเส้น a = - 2 xa=-2x และสูงกว่า) เราก็จะได้ 2 x + a ≤ x + 2 ⇔ a ≤ 2 - x 2x+ a \leq x+2 \Leftrightarrow a \leq 2-x

ชุดแสดงในรูปที่ สิบเอ็ด

ทีนี้มาแก้ปัญหาเดิมโดยใช้ภาพวาดนี้กัน ถ้าเราแก้ไข a แล้วเราจะได้เส้นแนวนอน a = const a = \textrm(const) ในการกำหนดค่าของ x x คุณต้องหา abscissas ของจุดตัดของเส้นนี้ด้วยชุดคำตอบของอสมการ ตัวอย่างเช่น ถ้า a = 8 a=8 แสดงว่าอสมการไม่มีคำตอบ (เส้นไม่ตัดเซต) ถ้า a = 1 a=1 ดังนั้น x x ทั้งหมดจากช่วง [ - 1 ; 1 ] [-1;1] เป็นต้น ดังนั้น มีสามตัวเลือก

1) ถ้า $$a>4$$ แสดงว่าไม่มีทางแก้ไข

2) ถ้า a = 4 a=4 แล้ว x = - 2 x=-2 .

คำตอบ

สำหรับ $$a

ด้วย a = 4 a=4 - x = - 2 x=-2 ;

สำหรับ $$a>4$$ - ไม่มีวิธีแก้ไข

ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ a ที่อสมการ $$3-|x-a| > x^2$$ a) มีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งวิธี b) มีทางออกเชิงบวกอย่างน้อยหนึ่งข้อ

ลองเขียนอสมการใหม่เป็น $$3-x^2 > |x-a)$$ ลองพลอตกราฟของส่วนซ้ายและขวาบนระนาบ x O y xOy กราฟทางด้านซ้ายคือพาราโบลากิ่งล่างที่มีจุดยอดอยู่ที่ (0 ; 3) (0;3) กราฟตัดแกน x ที่จุด (± 3 ; 0) (\pm \sqrt(3);0) กราฟด้านขวาเป็นมุมที่มีจุดยอดบนแกน abscissa ซึ่งด้านข้างหันขึ้นด้านบนเป็นมุม 45 ° 45^(\circ) ไปยังแกนพิกัด abscissa ของจุดยอดคือจุด x = a x=a .

ก) เพื่อให้ความไม่เท่าเทียมกันมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งข้อ จำเป็นและเพียงพอที่อย่างน้อยจุดหนึ่งพาราโบลาจะสูงกว่ากราฟ y = | x - a | y=|x-a| . ทำได้หากจุดยอดมุมอยู่ระหว่างจุด A A และ B B ของแกน x (ดูรูปที่ 12 - ไม่รวมจุด A A และ B B) ดังนั้นจึงจำเป็นต้องกำหนดว่าจุดยอดด้านใดที่กิ่งก้านของมุมสัมผัสกับพาราโบลา

พิจารณากรณีที่จุดยอดของมุมอยู่ที่จุด A A จากนั้นกิ่งด้านขวาของมุมสัมผัสกับพาราโบลา ความชันเท่ากับหนึ่ง ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = 3 - x 2 y = 3-x^2 ที่จุดสัมผัสจะเท่ากับ 1 1 , เช่น - 2 x = 1 -2x=1 ดังนั้น x = - 1 2 x = -\frac( 1)(2) . จากนั้นพิกัดของจุดสัมผัสคือ y = 3 - (1 2) 2 = 11 4 y = 3 - (\frac(1)(2))^2 = \frac(11)(4) สมการของเส้นตรงที่มีความชัน k = 1 k=1 และผ่านจุดที่มีพิกัด (- 1 2 ; 11 4) (-\frac(1)(2); \frac(11)(4)) ต่อไปนี้คือ * ( \^* : y - 11 4 = 1 · (x + 1 2) y - \frac{11}{4} = 1 \cdot (x+ \frac{1}{2}) , откуда y = x + 13 4 y = x + \frac{13}{4} .!}

นี่คือสมการของกิ่งขวาของมุม จุดตัดของจุดตัดที่มีแกน xx คือ - 13 4 -\frac(13)(4) , เช่น จุด AA มีพิกัด A (- 13 4 ; 0) A(-\frac(13)(4); 0) . ด้วยเหตุผลสมมาตร จุด B B มีพิกัด: B (13 4 ; 0) B(\frac(13)(4); 0) .

ดังนั้นเราจึงได้ a ∈ (- 13 4 ; 13 4) a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4))

b) ความไม่เท่าเทียมกันมีคำตอบที่เป็นบวก ถ้าจุดยอดของมุมอยู่ระหว่างจุด FF และ ข ข (ดูรูปที่ 13) การหาตำแหน่งของจุด FF นั้นไม่ใช่เรื่องยาก: หากจุดยอดของมุมอยู่ที่จุด FF แสดงว่ากิ่งทางขวาของจุดนั้น (เส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ y \u003d x - ay \u003d xa ผ่านจุดนั้น (0 ; 3) (0; 3) . จากที่นี่เราพบว่า a \u003d - 3 a=-3 และจุด FF มีพิกัด (- 3 ; 0) (-3; 0) ดังนั้น a ∈ (- 3 ; 13 4) a \in (-3; \frac(13)(4) )

คำตอบ

a) a ∈ (- 13 4 ; 13 4) ,       a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)),\:\:\: b) a ∈ (- 3 ; 13 4) a \in (-3; \frac(13)(4))

* {\^* Полезные формулы: !}

- \-- เส้นตรงที่ลากผ่านจุด (x 0; y 0) (x_0; y_0) และมีความชัน kk ได้จากสมการ y - y 0 = k (x - x 0) y-y_0=k (x-x_0 ) ;

- \-- ความชันของเส้นตรงที่ลากผ่านจุด (x 0 ; y 0) (x_0; y_0) และ (x 1 ; y 1) (x_1; y_1) โดยที่ x 0 ≠ x 1 x_0 \neq x_1 , คำนวณจากสูตร k = y 1 - y 0 x 1 - x 0 k = \dfrac(y_1-y_0)(x_1-x_0)

ความคิดเห็นหากคุณต้องการหาค่าของพารามิเตอร์ที่เส้นตรง y = kx + ly=kx+l และพาราโบลา y = ax 2 + bx + cy = ax^2+bx+c สัมผัสกัน คุณสามารถเขียน เงื่อนไขว่าสมการ kx + l = ax 2 + bx + c kx+l = ax^2+bx+c มีคำตอบเพียงข้อเดียว จากนั้น อีกวิธีหนึ่งในการค้นหาค่าของพารามิเตอร์ aa ที่จุดยอดของมุม อยู่ที่จุด AA มีดังต่อไปนี้ สมการ x - a = 3 - x 2 xa = 3-x^2 มีคำตอบเพียงข้อเดียว ⇔ D = 1 + 4 (a + 3) = 0 ⇔ a = - 13 4 \Leftrightarrow D = 1 + 4(a+3) = 0 \Leftrightarrow a = -\ dfrac(13)(4) .

โปรดทราบว่าด้วยวิธีนี้ เป็นไปไม่ได้ที่จะเขียนเงื่อนไขของการแตะเส้นตรงด้วยกราฟตามอำเภอใจ ตัวอย่างเช่น เส้น y = 3 x - 2 y = 3x - 2 สัมผัสกับลูกบาศก์พาราโบลา y = x 3 y=x^3 ที่จุด (1 ; 1) (1; 1) และตัดกันที่จุด (- 2 ; - 8) (-2;-8) , เช่น สมการ x 3 = 3 x + 2 x^3 = 3x+2 มีสองคำตอบ

ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ aa ที่สมการ (a + 1 - | x + 2 |) (x 2 + 4 x + 1 - a) = 0 (a+1-|x+2|)(x ^2 +4x+1-a) = 0 มี a) รากที่แตกต่างกันสองอัน b) สามรากที่แตกต่างกันอย่างแน่นอน

ลองทำแบบเดียวกับในตัวอย่างที่ 25 วาดเซตของคำตอบของสมการนี้บนระนาบ x O a xOa เทียบเท่ากับการรวมกันของสองสมการ:

1) a = | x + 2 | - 1 a = |x+2| -1 คือมุมที่มีกิ่งก้านขึ้นและยอดที่ (- 2 ; - 1) (-2;-1) .

2) a \u003d x 2 + 4 x + 1 a \u003d x ^ 2 + 4x + 1 เป็นพาราโบลาที่มีกิ่งก้านขึ้นและจุดยอดที่จุด (- 2; - 3) (-2; -3) . ดูรูปที่ สิบสี่

หาจุดตัดของกราฟสองกราฟ กิ่งก้านด้านขวาของมุมถูกกำหนดโดยสมการ y = x + 1 y=x+1 . การแก้สมการ

x + 1 = x 2 + 4 x + 1 x+1 = x^2+4x+1

เราพบว่า x = 0 x=0 หรือ x = - 3 x=-3 . เฉพาะค่า x = 0 x=0 เท่านั้นที่เหมาะสม (เพราะสำหรับแบรนช์ด้านขวา x + 2 ≥ 0 x+2 \geq 0) แล้ว a = 1 a=1 . ในทำนองเดียวกัน เราพบพิกัดของจุดแยกที่สอง - (- 4 ; 1) (-4; 1) .

เรากลับไปที่ปัญหาเดิม สมการมีสองคำตอบสำหรับ a โดยที่เส้นแนวนอน a = const a=\textrm(const) ตัดกับชุดคำตอบของสมการที่จุดสองจุด จากกราฟ เราจะเห็นว่านี่เป็นความจริงสำหรับ a ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 ) a\in (-3;-1)\bigcup\(1\) วิธีแก้ปัญหาสามจุดในกรณีของจุดตัดกันสามจุด ซึ่งเป็นไปได้สำหรับ a = - 1 a=-1 เท่านั้น

คำตอบ

a) a ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 ) ; a\in (-3;-1)\bigcup\(1\);\:\:\: b) a = - 1 a=-1

$$\begin(กรณี) x^2-x-a \leq 0,\\ x^2+2x-6a \leq 0 \end(กรณี) $$

มีทางออกเดียว

ให้เราแสดงวิธีแก้ปัญหาของระบบอสมการบนระนาบ x O a xOa . เขียนระบบใหม่เป็น $$ \begin(cases) a \leq -x^2+x,\\ a \geq \dfrac(x^2+6x)(6) .\end(cases) $$

ความเหลื่อมล้ำแรกเป็นที่พึงพอใจโดยจุดที่อยู่บนพาราโบลา a = - x 2 + xa = -x^2+x และต่ำกว่า และจุดที่สอง - โดยจุดที่อยู่บนพาราโบลา a = x 2 + 6 x 6 a = \dfrac(x^2 +6x)(6) หรือสูงกว่า เราหาพิกัดของจุดยอดของพาราโบลาและจุดตัดของพวกมัน แล้วสร้างกราฟ จุดยอดของพาราโบลาแรกคือ (1 2 ; 1 4) (\dfrac(1)(2);\dfrac(1)(4)) พาราโบลาที่สองคือ (- 1 ; - 1 6) (-1; -\dfrac( 1)(6)) จุดสี่แยกคือ (0 ; 0) (0;0) และ (4 7 ; 12 49) (\dfrac(4)(7); \dfrac(12)(49) )) . ชุดของจุดที่ตรงกับระบบจะแสดงในรูปที่ 15. จะเห็นได้ว่าเส้นแนวนอน a = const a=\textrm(const) มีจุดร่วมเพียงจุดเดียวในเซตนี้ (ซึ่งหมายความว่าระบบมีคำตอบเพียงข้อเดียว) ในกรณี a = 0 a=0 และ a = 1 4 a= \dfrac(1)(4) .

คำตอบ

A = 0 ,   a = 1 4 a=0,\: a=\dfrac(1)(4)

ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของพารามิเตอร์ a สำหรับแต่ละค่าที่ระบบ

$$\begin(กรณี) x^2+y^2 + 3a^2 = 2y + 2\sqrt(3)ax,\\ \sqrt(3)|x|-y=4 \end(กรณี) $$

มีโซลูชั่นที่เป็นเอกลักษณ์

ลองแปลงสมการแรกกัน เน้นสี่เหลี่ยมเต็ม:

(x 2 - 2 3 a x + 3 a 2) + (y 2 - 2 y + 1) = 1 ⇔ (x - a 3) 2 + (y - 1) 2 = 1 . 18 (x^2- 2\sqrt(3)ax+3a^2)+(y^2-2y+1)=1 \Leftrightarrow (xa\sqrt(3))^2+(y-1)^2 =1. \:\:\:\left(18\right)

ต่างจากงานก่อนหน้านี้ การวาดภาพบนระนาบ x O y xOy จะดีกว่า (การวาดในระนาบ "ตัวแปร - พารามิเตอร์" มักจะใช้สำหรับปัญหาเกี่ยวกับตัวแปรหนึ่งตัวและหนึ่งพารามิเตอร์ - ส่งผลให้ได้ชุด บนเครื่องบิน ในปัญหานี้ เราจะจัดการกับสอง (x; y; a) (x; y; a) ในพื้นที่สามมิติเป็นงานที่ยาก นอกจากนี้ การวาดภาพดังกล่าวไม่น่าจะมองเห็นได้) สมการ (18) กำหนดวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง (a 3 ; 1) (a\sqrt(3);1) รัศมี 1 ขึ้นอยู่กับค่าของ aa จุดศูนย์กลางของวงกลมนี้สามารถอยู่ที่จุดใดก็ได้ของเส้น y = 1 ปี=1 .

สมการที่สองของระบบ y = 3 | x | - 4 y = \sqrt(3)|x|-4 กำหนดมุมโดยให้ด้านอยู่ในมุม 60 ° 60^(\circ) ถึงแกน x (ความชันของเส้นตรงคือแทนเจนต์ของความชัน มุม tg 60 ° = 3 \textrm(tg )(60^(\circ)) = \sqrt(3)) สิ้นสุดที่ (0 ; - 4) (0;-4)

ระบบสมการนี้มีคำตอบเดียวถ้าวงกลมสัมผัสกับกิ่งมุมด้านใดด้านหนึ่ง เป็นไปได้ในสี่กรณี (รูปที่ 16): จุดศูนย์กลางของวงกลมสามารถอยู่ที่จุดใดจุดหนึ่ง A A , B B , C C , D D เนื่องจากเราต้องหาค่าที่น้อยที่สุดของพารามิเตอร์ a a เราจึงสนใจ abscissa ของจุด D D พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก D H M DHM . ระยะทางจากจุด D D ถึงเส้น H M HM เท่ากับรัศมีของวงกลม ดังนั้น D H = 1 DH=1 . ดังนั้น D M = D H บาป 60 ° = 2 3 DM=\dfrac(DH)(\textrm(sin)(60^(\circ))) = \dfrac(2)(\sqrt(3)) พิกัดของจุด MM หาได้จากพิกัดของจุดตัดของเส้นสองเส้น y = 1 y=1 และ y = - 3 x - 4 y=-\sqrt(3)x-4 (ด้านซ้ายของมุม ).

เราได้ M (- 5 3) M(-\dfrac(5)(\sqrt(3))) แล้ว abscissa ของจุด DD คือ - 5 3 - 2 3 = - 7 3 -\dfrac(5)(\sqrt(3))-\dfrac(2)(\sqrt(3))=-\dfrac(7 )(\ sqrt(3)) .

เนื่องจาก abscissa ของจุดศูนย์กลางของวงกลมคือ 3 a\sqrt(3) จึงตามมาว่า a = - 7 3 a=-\dfrac(7)(3)

คำตอบ

A = - 7 3 a=-\dfrac(7)(3)

ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ a a สำหรับแต่ละค่าที่ระบบ

$$\begin(กรณี) |4x+3y| \leq 12a,\\ x^2+y^2 \leq 14ax +6ay -57a^2+16a+64 \end(กรณี) $$

มีทางออกเดียว

ให้เราอธิบายชุดคำตอบของอสมการแต่ละตัวบนระนาบ x O y xOy

ในอสมการที่สอง เราเลือกกำลังสองสมบูรณ์:

x 2 - 14 ax + 49 + y 2 - 6 ay + 9 a 2 ≤ a 2 + 16 a + 64 ⇔ (x - 7 a) 2 + (y - 3 a) 2 ≤ (a + 8) 2         (19 ) x^2-14ax+49 + y^2-6ay + 9a^2 \leq a^2 + 16a + 64 \Leftrightarrow (x-7a)^2+(y-3a)^2 \leq (a+8) )^2 \:\:\:\: (19)

สำหรับ + ​​8 = 0 a+8=0 (a = - 8 a=-8) อสมการ (19) กำหนดจุดที่มีพิกัด (7 a ; 3 a) (7a;3a) เช่น (- 56 ; - 24 ) (-56; -24) . สำหรับค่าอื่นๆ ทั้งหมดของ a (19) ให้นิยามวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุด (7 a ; 3 a) (7a;3a) ของรัศมี | a + 8 | |a+8| .

พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันอย่างแรก
1) สำหรับลบ a ไม่มีคำตอบ ดังนั้นระบบก็ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

2) ถ้า a = 0 a=0 เราก็จะได้เส้นตรง 4 x + 3 y = 0 4x+3y=0 จากอสมการที่สอง เราได้วงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง (0 ; 0) (0; 0) ของรัศมี 8 แน่นอน คำตอบออกมามากกว่าหนึ่งตัว

3) หาก $$a>0$$ อสมการนี้เทียบเท่ากับอสมการสองเท่า - 12 a ≤ 4 x + 3 y ≤ 12 a -12a \leq 4x+3y \leq 12a มันกำหนดแถบระหว่างสองบรรทัด y = ± 4 a - 4 x 3 y=\pm 4a -\dfrac(4x)(3) ซึ่งแต่ละเส้นขนานกับเส้น 4 x + 3 y = 0 4x+3y= 0 (รูปที่ 17)

เนื่องจากเรากำลังพิจารณา $$a>0$$ จุดศูนย์กลางของวงกลมจึงอยู่ในจตุภาคแรกของเส้น y = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) อันที่จริงพิกัดของจุดศูนย์กลางคือ x = 7 a x=7a , y = 3 a y=3a ; แสดง a และเท่ากับ x 7 = y 3 \dfrac(x)(7)=\dfrac(y)(3) ดังนั้น y = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) เพื่อให้ระบบมีทางออกเดียว จำเป็นและเพียงพอที่วงกลมจะแตะเส้น 2 a_2 สิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อรัศมีของวงกลมเท่ากับระยะทางจากจุดศูนย์กลางของวงกลมถึงเส้น a 2 a_2 ตามสูตรระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง * (\^{*} получаем, что расстояние от точки (7 a ; 3 a) (7a;3a) до прямой 4 x + 3 y - 12 a = 0 4x+3y-12a=0 равно | 4 · 7 a + 3 · 3 a - 12 a | 4 2 + 3 2 = 5 a \dfrac{|4\cdot 7a + 3\cdot 3a -12a|}{\sqrt{4^2+3^2}} = 5\left|a\right| . Приравнивая к радиусу круга, получаем 5 a = | a + 8 | 5{a} = |a+8| . Так как $$a>0$$, опускаем модули и находим, что a = 2 a=2 .!}

คำตอบ

A=2 เป็=2

* {\^{*} Пусть даны точка M (x 0 ; y 0) M (x_0;y_0) и прямая l l , заданная уравнением a x + b y + c = 0 ax+by+c=0 . Тогда расстояние от точки M M до прямой l l определяется формулой ρ = | a x 0 + b x 0 + c | a 2 + b 2 \rho = \dfrac{|ax_0+bx_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} . !}

สำหรับค่าใดของพารามิเตอร์ a ระบบ

$$\begin(กรณี) |x|+|y|=1,\\ |x+a|+|y+a|=1 \end(cases)$$ ไม่มีวิธีแก้ปัญหา?

สมการแรกของระบบกำหนดสี่เหลี่ยม ABCD ABCD บนระนาบ x O y xOy (ในการสร้าง ให้พิจารณา x ≥ 0 x\geq 0 และ y ≥ 0 y\geq 0 . จากนั้นสมการจะมีรูปแบบ x + y = 1 x+y=1 . เราได้ส่วน - ส่วนหนึ่งของเส้น x + y = 1 x + y \u003d 1 นอนในไตรมาสแรกต่อไปเราสะท้อนส่วนนี้เกี่ยวกับแกน O x Ox แล้วเรา สะท้อนชุดผลลัพธ์เกี่ยวกับแกน O y Oy) (ดูรูปที่ 18) สมการที่สองให้สี่เหลี่ยมจัตุรัส P Q R S PQRS เท่ากับสี่เหลี่ยมจัตุรัส A B C D ABCD แต่อยู่กึ่งกลางที่จุด (- a ; - a) (-a;-a) ในรูป 18 ตัวอย่างเช่น สี่เหลี่ยมนี้แสดงสำหรับ a = - 2 a=-2 ระบบไม่มีคำตอบหากสี่เหลี่ยมทั้งสองนี้ไม่ตัดกัน

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าถ้าส่วน P Q PQ และ B C BC ตรงกัน ศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมที่สองจะอยู่ที่จุด (1 ; 1) (1; 1) เราจะใช้ค่าเหล่านั้นของ a ซึ่งจุดศูนย์กลางอยู่ "ด้านบน" และ "ทางขวา" เช่น $$a1$$

คำตอบ

A ∈ (- ∞ ; - 1) ∪ (1 ; + ∞) a\in (-\infty;-1)\bigcup(1;+\infty) .

ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ b b ที่ระบบ

$$\begin(กรณี) y=|b-x^2|,\\ y=a(x-b) \end(cases) $$

มีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งค่าสำหรับค่า a

ลองพิจารณาหลายกรณี

1) ถ้า $$b2) ถ้า b = 0 b=0 จากนั้นระบบจะกลายเป็น $$\begin(cases) y=x^2,\\ y=ax .\end(cases) $$

สำหรับ a ใดๆ คู่ตัวเลข (0 ; 0) (0;0) คือคำตอบของระบบนี้ ดังนั้น b = 0 b=0 จึงเหมาะสม

3) แก้ไข $$b>0$$ บางส่วน สมการแรกเป็นที่พอใจโดยเซตของคะแนนที่ได้จากพาราโบลา y \u003d x 2 - b y \u003d x ^ 2-b โดยสะท้อนส่วนหนึ่งของพาราโบลานี้เกี่ยวกับแกน O x Ox (ดูรูปที่ 19a, b) สมการที่สองกำหนดตระกูลของเส้น (แทนค่าที่แตกต่างกัน aa คุณสามารถรับเส้นทุกชนิดที่ผ่านจุด (b ; 0) (b; 0) ยกเว้นแนวตั้ง) ผ่านจุด ( b ; 0) (b; 0) . หากจุด (b ; 0) (b; 0) อยู่บนเซ็กเมนต์ [ - b ; b ] [-\sqrt(b);\sqrt(b)] . แกน x จากนั้นเส้นตรงตัดกับกราฟของฟังก์ชันแรกที่ความชันใดๆ (รูปที่ 19a) มิฉะนั้น (รูปที่ 19b) ไม่ว่าในกรณีใด จะมีเส้นตรงที่ไม่ตัดกับกราฟนี้ การแก้ความไม่เท่าเทียมกัน - b ≤ b ≤ b -\sqrt(b)\leq b \leq \sqrt(b) และพิจารณาว่า $$b>0$$ เราจะได้ b ∈ (0 ; 1 ] b \ ใน ( 0;1] .

รวมผลลัพธ์: $$b \in $$

คำตอบ

$$b \in $$

ค้นหาค่าทั้งหมด a a ซึ่งแต่ละฟังก์ชัน f (x) = x 2 - | x - a 2 | - 3 x f(x) = x^2-|x-a^2|-3x มีจุดสูงสุดอย่างน้อยหนึ่งจุด

ขยายโมดูลเราได้รับที่

$$f(x) = \begin(กรณี) x^2-4x+a^2, \:\:\: x\geq a^2 ,\\ x^2-2x-a^2, \:\ :\: x\leq a^2 \end(กรณี) $$

ในแต่ละช่วงเวลาทั้งสอง กราฟของฟังก์ชัน y = f (x) y=f(x) คือพาราโบลาที่มีกิ่งขึ้น

เนื่องจากพาราโบลาที่แตกแขนงขึ้นไม่สามารถมีจุดสูงสุดได้ ความเป็นไปได้เพียงอย่างเดียวคือจุดสูงสุดคือจุดขอบเขตของช่องว่างเหล่านี้ - จุด x = a 2 x=a^2 จะมีค่าสูงสุด ณ จุดนี้หากจุดยอดของพาราโบลา y = x 2 - 4 x + a 2 y=x^2-4x+a^2 ตรงกับช่วง $$x>a^2$$ และ จุดยอดของพาราโบลา y = x 2 - 2 x - a 2 y=x^2-2x-a^2 - บนช่วง $$x\lt a^2$$ (ดูรูปที่ 20) เงื่อนไขนี้กำหนดโดยอสมการและ $$2 \gt a^2$$ และ $$1 \lt a^2$$ ซึ่งเราพบว่า a ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\ sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2)) .

คำตอบ

A ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2))

ค้นหาค่าทั้งหมด a a สำหรับแต่ละค่าที่แก้สมการอสมการทั่วไป

y + 2 x ≥ a y+2x \geq a และ y - x ≥ 2 a                 (20) y-x \geq 2a \:\:\:\:\:\:\:\: (20)

เป็นการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน

$$2y-x>a+3 \:\:\:\:\:\:\:\:\: (21)$$

ในการกำหนดทิศทางในสถานการณ์นั้น บางครั้งการพิจารณาค่าพารามิเตอร์เพียงค่าเดียวก็มีประโยชน์ มาวาดรูปกัน เช่น a = 0 a=0 ความไม่เท่าเทียมกัน (20) (อันที่จริง เรากำลังจัดการกับระบบความไม่เท่าเทียมกัน (20)) ถูกพอใจโดยจุดของมุม BAC BAC (ดูรูปที่ 21) - จุด ซึ่งแต่ละจุดอยู่เหนือทั้งสองเส้น y = - 2 xy = -2x และ y = xy =x (หรือในบรรทัดเหล่านี้) ความไม่เท่าเทียมกัน (21) เป็นที่พอใจโดยจุดที่อยู่เหนือเส้น y = 1 2 x + 3 2 y = \dfrac(1)(2)x + \dfrac(3)(2) จะเห็นได้ว่าสำหรับ a = 0 a=0 เงื่อนไขของปัญหาไม่เป็นไปตามเงื่อนไข

จะเกิดอะไรขึ้นหากเราใช้ค่าพารามิเตอร์ a ต่างกัน แต่ละเส้นจะเคลื่อนที่และเข้าสู่เส้นขนานกับตัวมันเอง เนื่องจากความชันของเส้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับ a เพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหา จำเป็นที่มุมทั้งหมด B A C BAC จะอยู่เหนือเส้น ล. . เนื่องจากโมดูลัสของความชันของเส้น A B AB และ A C AC มีค่ามากกว่าความชันของเส้น ล. ล. จึงมีความจำเป็นและเพียงพอที่จุดยอดของมุมจะอยู่เหนือเส้น ล. ล.

การแก้ระบบสมการ

$$\begin(กรณี) y+2x=a,\\ y-x=2a, \end(กรณี)$$

หาพิกัดของจุด A (- a 3 ; 5 a 3) A(-\dfrac(a)(3);\dfrac(5a)(3)) พวกเขาต้องตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน (21) ดังนั้น $$\dfrac(10a)(3)+\dfrac(a)(3) > a+3$$ ดังนั้น $$a>\dfrac(9)(8)$$ .

คำตอบ

$$a>\dfrac(9)(8)$$