สมการลอการิทึมและอสมการ อสมการลอการิทึมเชิงซ้อน

คิดว่ายังมีเวลาก่อนสอบและจะมีเวลาเตรียมตัวมั้ย? บางทีอาจเป็นเช่นนี้ แต่ไม่ว่าในกรณีใด ยิ่งนักเรียนเริ่มฝึกเร็วเท่าไหร่ เขาก็ยิ่งสอบผ่านได้สำเร็จมากขึ้นเท่านั้น วันนี้เราตัดสินใจที่จะอุทิศบทความให้กับอสมการลอการิทึม นี่เป็นหนึ่งในงานซึ่งหมายถึงโอกาสในการได้รับคะแนนพิเศษ

คุณรู้อยู่แล้วว่าลอการิทึม (ล็อก) คืออะไร? เราหวังอย่างนั้นจริงๆ แต่แม้ว่าคุณจะไม่มีคำตอบสำหรับคำถามนี้ แต่ก็ไม่ใช่ปัญหา มันง่ายมากที่จะเข้าใจว่าลอการิทึมคืออะไร

ทำไม 4 แน่นอน? คุณต้องเพิ่มเลข 3 ให้เป็นกำลังเพื่อให้ได้ 81 เมื่อคุณเข้าใจหลักการแล้ว คุณสามารถดำเนินการคำนวณที่ซับซ้อนมากขึ้นได้

คุณผ่านความไม่เท่าเทียมกันเมื่อสองสามปีก่อน และตั้งแต่นั้นมา คุณมักจะพบกับพวกเขาในวิชาคณิตศาสตร์ หากคุณกำลังประสบปัญหาในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน โปรดดูส่วนที่เกี่ยวข้อง
เมื่อเราคุ้นเคยกับแนวคิดแยกกัน เราจะส่งต่อไปยังการพิจารณาโดยทั่วไป

อสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด

อสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดไม่ได้จำกัดอยู่แค่ตัวอย่างนี้ ยังมีอีกสามตัวที่มีเครื่องหมายต่างกันเท่านั้น ทำไมสิ่งนี้จึงจำเป็น? เพื่อให้เข้าใจวิธีการแก้อสมการด้วยลอการิทึมมากขึ้น ตอนนี้เรายกตัวอย่างที่ใช้งานได้จริงมากขึ้น ซึ่งค่อนข้างง่าย เราปล่อยให้อสมการลอการิทึมที่ซับซ้อนไว้ใช้ในภายหลัง

วิธีแก้ปัญหา? ทุกอย่างเริ่มต้นด้วย ODZ คุณควรทราบข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้หากต้องการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันอย่างง่ายๆ เสมอ

ODZ คืออะไร? DPV สำหรับอสมการลอการิทึม

ตัวย่อหมายถึงช่วงของค่าที่ถูกต้อง ในการบ้านสอบ ประโยคนี้มักจะปรากฏขึ้น DPV มีประโยชน์กับคุณไม่เฉพาะในกรณีของอสมการลอการิทึมเท่านั้น

ดูตัวอย่างด้านบนอีกครั้ง เราจะพิจารณา ODZ ตามนั้น เพื่อให้คุณเข้าใจหลักการ และการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันลอการิทึมจะไม่ทำให้เกิดคำถาม จากนิยามของลอการิทึมว่า 2x+4 ต้องมากกว่าศูนย์ ในกรณีของเรา นี่หมายถึงสิ่งต่อไปนี้

ตัวเลขนี้ต้องเป็นค่าบวกตามคำจำกัดความ แก้ความไม่เท่าเทียมกันที่นำเสนอข้างต้น สิ่งนี้สามารถทำได้ด้วยวาจา เป็นที่ชัดเจนว่า X ต้องไม่น้อยกว่า 2 คำตอบของความไม่เท่าเทียมกันคือนิยามของช่วงของค่าที่ยอมรับได้
ทีนี้มาดูการแก้สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดกัน

เราละทิ้งลอการิทึมเองจากอสมการทั้งสองส่วน ผลที่ตามมาคืออะไรสำหรับเรา? ความไม่เท่าเทียมกันง่ายๆ

มันง่ายที่จะแก้ปัญหา X ต้องมากกว่า -0.5 ตอนนี้เรารวมสองค่าที่ได้รับเข้ากับระบบ ทางนี้,

นี่จะเป็นขอบเขตของค่าที่ยอมรับได้สำหรับอสมการลอการิทึมที่พิจารณา

ทำไม ODZ จึงมีความจำเป็น? นี่เป็นโอกาสที่จะขจัดคำตอบที่ไม่ถูกต้องและเป็นไปไม่ได้ หากคำตอบไม่อยู่ในช่วงของค่าที่ยอมรับได้ คำตอบก็ไม่สมเหตุสมผล สิ่งนี้ควรค่าแก่การจดจำเป็นเวลานานเนื่องจากในการสอบมักมีความจำเป็นต้องค้นหา ODZ และไม่เพียงเกี่ยวข้องกับความไม่เท่าเทียมกันลอการิทึมเท่านั้น

อัลกอริทึมสำหรับการแก้อสมการลอการิทึม

การแก้ปัญหาประกอบด้วยหลายขั้นตอน อันดับแรก จำเป็นต้องค้นหาช่วงของค่าที่ยอมรับได้ จะมีสองค่าใน ODZ เราพิจารณาสิ่งนี้ข้างต้น ขั้นตอนต่อไปคือการแก้ความไม่เท่าเทียมกันนั้นเอง วิธีการแก้ปัญหามีดังนี้:

• วิธีการเปลี่ยนตัวคูณ
• การสลายตัว;
• วิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง

ควรใช้วิธีการใดวิธีการหนึ่งข้างต้น ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับสถานการณ์ ไปตรงที่วิธีแก้ปัญหา เราจะเปิดเผยวิธีการที่นิยมมากที่สุดซึ่งเหมาะสำหรับการแก้งาน USE ในเกือบทุกกรณี ต่อไปเราจะพิจารณาวิธีการสลายตัว สามารถช่วยได้หากคุณพบความไม่เท่าเทียมกันที่ "ยุ่งยาก" โดยเฉพาะ ดังนั้น อัลกอริทึมสำหรับการแก้อสมการลอการิทึม

ตัวอย่างโซลูชัน :

มันไม่ไร้ประโยชน์ที่เราเอาความไม่เท่าเทียมกันอย่างแม่นยำ! ให้ความสนใจกับฐาน ข้อควรจำ: หากมีค่ามากกว่าหนึ่ง เครื่องหมายจะยังคงเหมือนเดิมเมื่อค้นหาช่วงของค่าที่ถูกต้อง มิฉะนั้นจะต้องเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ

เป็นผลให้เราได้รับความไม่เท่าเทียมกัน:

ตอนนี้เรานำด้านซ้ายมาอยู่ในรูปของสมการเท่ากับศูนย์ แทนที่จะใส่เครื่องหมาย "น้อยกว่า" เราใส่ "เท่ากับ" เราแก้สมการ ดังนั้น เราจะพบ ODZ เราหวังว่าคุณจะไม่มีปัญหากับการแก้สมการง่ายๆ คำตอบคือ -4 และ -2 นั่นไม่ใช่ทั้งหมด. คุณต้องแสดงจุดเหล่านี้บนแผนภูมิ วาง "+" และ "-" ต้องทำอะไรเพื่อสิ่งนี้? แทนที่ตัวเลขจากช่วงเวลาลงในนิพจน์ โดยที่ค่าเป็นบวก เราจะใส่ "+" ไว้ที่นั่น

ตอบ: x ต้องไม่มากกว่า -4 และน้อยกว่า -2

เราพบช่วงของค่าที่ถูกต้องสำหรับด้านซ้ายเท่านั้น ตอนนี้เราต้องค้นหาช่วงของค่าที่ถูกต้องสำหรับด้านขวา นี้ไม่ได้หมายความว่าง่ายกว่า คำตอบ: -2. เราตัดกันทั้งสองพื้นที่ที่ได้รับ

และตอนนี้เราเริ่มแก้ความไม่เท่าเทียมกันเอง

เรามาลดความซับซ้อนให้มากที่สุดเพื่อให้ง่ายต่อการตัดสินใจ

เราใช้วิธีช่วงเวลาในการแก้ปัญหาอีกครั้ง ข้ามการคำนวณไปกับเขาทุกอย่างชัดเจนจากตัวอย่างก่อนหน้านี้ ตอบ.

แต่วิธีนี้เหมาะถ้าอสมการลอการิทึมมีฐานเท่ากัน

การแก้สมการลอการิทึมและอสมการที่มีฐานต่างกันเกี่ยวข้องกับการลดลงเริ่มต้นเป็นฐานเดียว จากนั้นใช้วิธีข้างต้น แต่ก็มีกรณีที่ซับซ้อนกว่านั้น พิจารณาอสมการลอการิทึมที่ซับซ้อนที่สุดประเภทหนึ่ง

อสมการลอการิทึมกับฐานตัวแปร

จะแก้ความไม่เท่าเทียมกันในลักษณะดังกล่าวได้อย่างไร? ใช่และสามารถพบได้ในการสอบ การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันด้วยวิธีต่อไปนี้จะส่งผลดีต่อกระบวนการศึกษาของคุณ มาดูประเด็นโดยละเอียดกัน เลิกใช้ทฤษฏีแล้วลงมือปฏิบัติได้เลย ในการแก้อสมการลอการิทึม ก็เพียงพอแล้วที่จะทำความคุ้นเคยกับตัวอย่าง

ในการแก้สมการลอการิทึมของแบบฟอร์มที่นำเสนอ จำเป็นต้องลดด้านขวาของลอการิทึมที่มีฐานเดียวกัน หลักการนี้คล้ายกับการเปลี่ยนแปลงที่เทียบเท่ากัน เป็นผลให้ความไม่เท่าเทียมกันจะมีลักษณะเช่นนี้

อันที่จริง มันยังคงสร้างระบบความไม่เท่าเทียมกันโดยไม่มีลอการิทึม โดยใช้วิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง เราส่งผ่านไปยังระบบอสมการที่เทียบเท่ากัน คุณจะเข้าใจกฎเองเมื่อคุณแทนที่ค่าที่เหมาะสมและติดตามการเปลี่ยนแปลง ระบบจะมีความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้

โดยใช้วิธีหาเหตุผลเข้าข้างตนเองเมื่อแก้ความไม่เท่าเทียมกัน คุณต้องจำสิ่งต่อไปนี้: คุณต้องลบหนึ่งออกจากฐาน x โดยนิยามของลอการิทึม จะถูกลบออกจากทั้งสองส่วนของความไม่เท่าเทียมกัน (ขวาจากซ้าย) ทั้งสอง นิพจน์จะถูกคูณและตั้งค่าภายใต้เครื่องหมายเดิมที่สัมพันธ์กับศูนย์

วิธีแก้ไขเพิ่มเติมดำเนินการโดยวิธีช่วงเวลา ทุกอย่างง่ายที่นี่ เป็นสิ่งสำคัญสำหรับคุณที่จะเข้าใจความแตกต่างในวิธีการแก้ปัญหา จากนั้นทุกอย่างจะเริ่มทำงานได้อย่างง่ายดาย

มีความแตกต่างหลายอย่างในอสมการลอการิทึม วิธีที่ง่ายที่สุดคือง่ายพอที่จะแก้ไข ทำอย่างไรจึงจะแก้ปัญหาแต่ละข้อได้โดยไม่มีปัญหา? คุณได้รับคำตอบทั้งหมดในบทความนี้แล้ว ตอนนี้คุณมีแนวปฏิบัติที่ยาวนานอยู่ข้างหน้าคุณ หมั่นฝึกฝนการแก้ปัญหาต่าง ๆ ภายในข้อสอบ แล้วคุณจะสามารถทำคะแนนสูงสุดได้ ขอให้โชคดีในการทำงานที่ยากลำบากของคุณ!

ในบรรดาอสมการลอการิทึมที่หลากหลายทั้งหมด ศึกษาอสมการที่มีฐานตัวแปรแยกกัน พวกเขาได้รับการแก้ไขตามสูตรพิเศษซึ่งด้วยเหตุผลบางอย่างที่โรงเรียนไม่ค่อยสอน:

บันทึก k (x ) f (x ) ∨ บันทึก k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

แทนที่จะเป็นแม่แรง "∨" คุณสามารถใส่เครื่องหมายอสมการใดก็ได้: มากหรือน้อย สิ่งสำคัญคือในความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองสัญญาณจะเหมือนกัน

ดังนั้นเราจึงกำจัดลอการิทึมและลดปัญหาให้เป็นอสมการตรรกยะ อันหลังแก้ได้ง่ายกว่ามาก แต่เมื่อละทิ้งลอการิทึม รูตพิเศษอาจปรากฏขึ้น หากต้องการตัดออก ก็เพียงพอที่จะค้นหาช่วงของค่าที่ยอมรับได้ หากคุณลืม ODZ ของลอการิทึม ขอแนะนำให้ทำซ้ำ - ดู "ลอการิทึมคืออะไร"

ทุกอย่างที่เกี่ยวข้องกับช่วงของค่าที่ยอมรับได้จะต้องเขียนและแก้ไขแยกกัน:

f(x) > 0; ก.(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

ความไม่เท่าเทียมกันทั้งสี่นี้ประกอบขึ้นเป็นระบบและต้องปฏิบัติตามพร้อมกัน เมื่อพบช่วงของค่าที่ยอมรับได้ มันยังคงข้ามมันด้วยคำตอบของอสมการเชิงเหตุผล - และคำตอบก็พร้อม

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

ขั้นแรก ให้เขียน ODZ ของลอการิทึม:

อสมการสองตัวแรกจะดำเนินการโดยอัตโนมัติ และอสมการสุดท้ายจะต้องถูกเขียน เนื่องจากกำลังสองของตัวเลขเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวตัวเลขนั้นเป็นศูนย์ เราจึงมี:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

ปรากฎว่า ODZ ของลอการิทึมเป็นตัวเลขทั้งหมดยกเว้นศูนย์: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞) ตอนนี้เราแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันหลัก:

เราดำเนินการเปลี่ยนจากอสมการลอการิทึมเป็นอสมการ ความไม่เท่าเทียมกันเดิมมีเครื่องหมาย "น้อยกว่า" ซึ่งหมายความว่าความไม่เท่าเทียมกันที่เป็นผลลัพธ์ควรมีเครื่องหมาย "น้อยกว่า" ด้วย เรามี:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 - x2) x2< 0;
(3 – x) (3 + x) x 2< 0.

ศูนย์ของนิพจน์นี้: x = 3; x = -3; x = 0 นอกจากนี้ x = 0 ยังเป็นรูทของทวีคูณที่สอง ซึ่งหมายความว่าเมื่อผ่านไป เครื่องหมายของฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลง เรามี:

เราได้ x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) ชุดนี้มีอยู่ใน ODZ ของลอการิทึมอย่างสมบูรณ์ ซึ่งหมายความว่านี่คือคำตอบ

การแปลงอสมการลอการิทึม

บ่อยครั้งที่ความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมแตกต่างจากที่กล่าวข้างต้น ซึ่งแก้ไขได้ง่ายตามกฎมาตรฐานสำหรับการทำงานกับลอการิทึม - ดู "คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม" กล่าวคือ:

1. ตัวเลขใดๆ สามารถแสดงเป็นลอการิทึมด้วยฐานที่กำหนด
2. ผลรวมและผลต่างของลอการิทึมที่มีฐานเดียวกันสามารถแทนที่ด้วยลอการิทึมเดียว

แยกจากกัน ฉันต้องการเตือนคุณเกี่ยวกับช่วงของค่าที่ยอมรับได้ เนื่องจากอาจมีลอการิทึมหลายลอการิทึมในอสมการดั้งเดิม จึงจำเป็นต้องหา DPV ของแต่ละลอการิทึม ดังนั้นรูปแบบทั่วไปสำหรับการแก้อสมการลอการิทึมจึงเป็นดังนี้:

1. ค้นหา ODZ ของลอการิทึมแต่ละตัวที่รวมอยู่ในอสมการ
2. ลดความไม่เท่าเทียมกันให้เป็นค่ามาตรฐานโดยใช้สูตรสำหรับการบวกและลบลอการิทึม
3. แก้ไขความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นตามรูปแบบด้านบน

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ (ODZ) ของลอการิทึมแรก:

เราแก้โดยวิธีช่วงเวลา การหาศูนย์ของตัวเศษ:

3x − 2 = 0;
x = 2/3

จากนั้น - ศูนย์ของตัวส่วน:

x − 1 = 0;
x = 1

เราทำเครื่องหมายศูนย์และเครื่องหมายบนลูกศรพิกัด:

เราได้ x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) ลอการิทึมที่สองของ ODZ จะเท่ากัน ถ้าไม่เชื่อก็เช็คได้ ตอนนี้เราแปลงลอการิทึมที่สองเพื่อให้ฐานเป็นสอง:

อย่างที่คุณเห็น เลขสามตัวที่ฐานและก่อนลอการิทึมหดตัว รับลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน มารวมกัน:

บันทึก 2 (x − 1) 2< 2;
บันทึก 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

เราได้รับอสมการลอการิทึมมาตรฐาน เรากำจัดลอการิทึมด้วยสูตร เนื่องจากมีเครื่องหมายน้อยกว่าในอสมการดั้งเดิม นิพจน์ตรรกยะที่ได้จึงต้องน้อยกว่าศูนย์ด้วย เรามี:

(f (x) - ก. (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).

เราได้สองชุด:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. ตอบผู้สมัคร: x ∈ (-1; 3)

ยังคงต้องข้ามชุดเหล่านี้ - เราได้รับคำตอบที่แท้จริง:

เราสนใจจุดตัดของเซตต่างๆ ดังนั้นเราจึงเลือกช่วงเวลาที่แรเงาบนลูกศรทั้งสอง เราได้ x ∈ (-1; 2/3)∪(1; 3) - จุดทั้งหมดถูกเจาะ

บ่อยครั้งเมื่อแก้สมการลอการิทึม มีปัญหากับฐานตัวแปรของลอการิทึม ดังนั้น ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ

เป็นมาตรฐานความไม่เท่าเทียมกันของโรงเรียน ตามกฎแล้วในการแก้ปัญหาจะใช้การเปลี่ยนไปใช้ชุดระบบที่เทียบเท่ากัน:

ข้อเสียของวิธีนี้คือต้องแก้เจ็ดอสมการไม่นับสองระบบและชุดเดียว แม้จะให้ฟังก์ชันกำลังสอง การแก้ปัญหาประชากรอาจต้องใช้เวลามาก

ทางเลือกอื่นที่ใช้เวลาน้อยกว่าในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันมาตรฐานนี้สามารถเสนอได้ ในการทำเช่นนี้ เราคำนึงถึงทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบทที่ 1 ให้ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องในชุด X จากนั้นในเซตนี้ เครื่องหมายของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันจะตรงกับเครื่องหมายของการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ กล่าวคือ , ที่ไหน .

หมายเหตุ: หากฟังก์ชันลดลงอย่างต่อเนื่องในชุด X ดังนั้น

กลับไปที่ความไม่เท่าเทียมกัน ไปที่ลอการิทึมทศนิยม (คุณสามารถไปที่ใด ๆ ที่มีฐานคงที่มากกว่าหนึ่ง)

ตอนนี้ เราสามารถใช้ทฤษฎีบท โดยสังเกตในตัวเศษว่าการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน และในตัวส่วน มันก็จริงนะ

ด้วยเหตุนี้ จำนวนการคำนวณที่นำไปสู่คำตอบจึงลดลงประมาณครึ่งหนึ่ง ซึ่งไม่เพียงประหยัดเวลาเท่านั้น แต่ยังช่วยให้คุณสร้างข้อผิดพลาดทางคณิตศาสตร์และความประมาทน้อยลงได้อีกด้วย

ตัวอย่าง 1

เปรียบเทียบกับ (1) เราพบว่า , , .

ผ่านไปยัง (2) เราจะมี:

ตัวอย่าง 2

เปรียบเทียบกับ (1) เราพบว่า , , .

ผ่านไปยัง (2) เราจะมี:

ตัวอย่างที่ 3

เนื่องจากด้านซ้ายของอสมการเป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นของ and จากนั้นคำตอบจะถูกกำหนด

ชุดตัวอย่างที่สามารถใช้ Terme 1 สามารถขยายได้อย่างง่ายดายหากพิจารณา Terme 2

ปล่อยให้อยู่ในชุด Xฟังก์ชัน , , , ถูกกำหนดไว้ และในเซตนี้จะมีเครื่องหมายและตรงกัน กล่าวคือ แล้วจะเป็นธรรม

ตัวอย่างที่ 4

ตัวอย่างที่ 5

ด้วยวิธีมาตรฐาน ตัวอย่างจะได้รับการแก้ไขตามแบบแผน: ผลิตภัณฑ์มีค่าน้อยกว่าศูนย์เมื่อปัจจัยต่างกัน เหล่านั้น. เราพิจารณาชุดของอสมการสองระบบ ซึ่งดังที่ได้ระบุไว้ในตอนต้น ความไม่เท่าเทียมกันแต่ละส่วนแบ่งออกเป็นเจ็ดระบบ

หากเราพิจารณาทฤษฎีบท 2 ปัจจัยแต่ละอย่างเมื่อพิจารณา (2) สามารถแทนที่ด้วยฟังก์ชันอื่นที่มีเครื่องหมายเหมือนกันในตัวอย่างนี้ของ O.D.Z.

วิธีการแทนที่การเพิ่มของฟังก์ชันด้วยอาร์กิวเมนต์ที่เพิ่มขึ้นโดยคำนึงถึงทฤษฎีบท 2 จะสะดวกมากในการแก้ปัญหา C3 USE ทั่วไป

ตัวอย่างที่ 6

ตัวอย่าง 7

. แสดงว่า. รับ

. โปรดทราบว่าการแทนที่หมายถึง: กลับมาที่สมการจะได้ .

ตัวอย่างที่ 8

ในทฤษฎีบทที่เราใช้ ไม่มีการจำกัดคลาสของฟังก์ชัน ในบทความนี้ เป็นตัวอย่าง ทฤษฎีบทถูกนำไปใช้กับการแก้ปัญหาอสมการลอการิทึม ตัวอย่างต่อไปนี้จะแสดงให้เห็นถึงคำมั่นสัญญาของวิธีการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันประเภทอื่น