วิธีหาตัวอย่างจำนวนเชิงซ้อน โมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน

ตัวเลขที่ซับซ้อน

จินตนาการ และ ตัวเลขที่ซับซ้อน Abscissa และ ordinate

จำนวนเชิงซ้อน. ผันจำนวนเชิงซ้อน

การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อน เรขาคณิต

การแสดงจำนวนเชิงซ้อน เครื่องบินที่ซับซ้อน

โมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน ตรีโกณมิติ

แบบฟอร์มจำนวนเชิงซ้อน การดำเนินงานที่ซับซ้อน

ตัวเลขในรูปแบบตรีโกณมิติ สูตรมอยเวอร์

ข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับ จินตภาพ และ ตัวเลขเชิงซ้อน ระบุไว้ในส่วน "จำนวนจินตภาพและจำนวนเชิงซ้อน" ความต้องการตัวเลขเหล่านี้ในรูปแบบใหม่ปรากฏขึ้นเมื่อแก้สมการกำลังสองสำหรับกรณีดี< 0 (здесь ดีเป็นดิสคริมิแนนต์ของสมการกำลังสอง) เป็นเวลานานที่ตัวเลขเหล่านี้ไม่พบการใช้งานจริง ด้วยเหตุนี้จึงเรียกว่าตัวเลข "จินตภาพ" อย่างไรก็ตาม ตอนนี้มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านฟิสิกส์ต่างๆ

และเทคโนโลยี: วิศวกรรมไฟฟ้า อุทกพลศาสตร์และอากาศพลศาสตร์ ทฤษฎีความยืดหยุ่น ฯลฯ

ตัวเลขที่ซับซ้อน ถูกเขียนเป็น:a+bi. ที่นี่ เอและ ข – ตัวเลขจริง , แ ผม – หน่วยจินตภาพอี ผม 2 = –1. ตัวเลข เอเรียกว่า abscissa, แ b - กำหนดจำนวนเชิงซ้อนเอ + ข .สองจำนวนเชิงซ้อนa+biและ อะบิ เรียกว่า ผันตัวเลขที่ซับซ้อน

ข้อตกลงหลัก:

1. จำนวนจริงเอสามารถเขียนในรูปแบบจำนวนเชิงซ้อน:เป็น + 0 ผมหรือ ก - 0 ผม. ตัวอย่างเช่น รายการ 5 + 0ผมและ 5 - 0 ผมหมายถึงเลขเดียวกัน 5 .

2. จำนวนเชิงซ้อน 0 + สองเรียกว่า จินตนาการล้วนๆ ตัวเลข. การบันทึกสองมีความหมายเหมือนกับ 0 + สอง.

3. สองจำนวนเชิงซ้อนa+bi และค + ดิถือว่าเท่ากันถ้าก = คและ ข = d. มิฉะนั้น จำนวนเชิงซ้อนไม่เท่ากัน

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป. ผลรวมของจำนวนเชิงซ้อนa+biและ ค + ดิเรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน (a+c ) + (b+d ) ผม .ทางนี้, เมื่อเพิ่ม จำนวนเชิงซ้อน abscissas และพิกัดจะถูกเพิ่มแยกกัน

คำจำกัดความนี้เป็นไปตามกฎสำหรับการจัดการกับพหุนามสามัญ

การลบ ความแตกต่างระหว่างจำนวนเชิงซ้อนสองตัวa+bi(ลดลง) และ ค + ดิ(ลบออก) เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน (a-c ) + (b-d ) ผม .

ทางนี้, เมื่อลบจำนวนเชิงซ้อนสองตัว abscissas และ ordinates ของพวกมันจะถูกลบแยกกัน

การคูณ ผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนa+biและ ค + ดิ เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน

(ac-bd ) + (โฆษณา+bc ) ผม .คำจำกัดความนี้เกิดจากข้อกำหนดสองประการ:

1) ตัวเลข a+biและ ค + ดิควรคูณเหมือนพีชคณิตทวินาม

2) หมายเลข ผมมีคุณสมบัติหลัก:ผม 2 = – 1.

ตัวอย่าง ( a + bi )(อะบิ) = 2 +ข 2 . เพราะเหตุนี้, งาน

สองจำนวนเชิงซ้อนคอนจูเกตเท่ากับจำนวนจริง

จำนวนบวก

แผนก. หารจำนวนเชิงซ้อนa+bi (แบ่งได้) ให้กับคนอื่นค + ดิ(ตัวแบ่ง) - แปลว่า หาเลขสามอี + ฟิ(แชท) ซึ่งเมื่อคูณด้วยตัวหารค + ดิซึ่งส่งผลให้เงินปันผลเอ + ข .

ถ้าตัวหารไม่ใช่ศูนย์ การหารนั้นเป็นไปได้เสมอ

ตัวอย่าง ค้นหา (8+ผม ) : (2 – 3 ผม) .

สารละลาย. ลองเขียนอัตราส่วนนี้เป็นเศษส่วนใหม่:

การคูณทั้งเศษและส่วนด้วย 2 + 3ผม

และ หลังจากทำการแปลงทั้งหมดแล้ว เราได้รับ:

การแสดงทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน จำนวนจริงแสดงด้วยจุดบนเส้นจำนวน:

นี่แหละคือประเด็น อาหมายถึงหมายเลข -3, dotบีเป็นเลข 2 และ อู๋- ศูนย์ ในทางตรงกันข้าม จำนวนเชิงซ้อนจะแสดงด้วยจุดบนระนาบพิกัด สำหรับสิ่งนี้ เราเลือกพิกัดสี่เหลี่ยม (คาร์ทีเซียน) ที่มีมาตราส่วนเดียวกันบนทั้งสองแกน แล้วจำนวนเชิงซ้อนa+bi จะถูกแสดงด้วยจุด P กับ abscissa a และกำหนด b (ดูรูป) ระบบพิกัดนี้เรียกว่า ระนาบที่ซับซ้อน .

โมดูล จำนวนเชิงซ้อนเรียกว่าความยาวของเวกเตอร์OP, แสดงจำนวนเชิงซ้อนบนพิกัด ( ครอบคลุม) เครื่องบิน. โมดูลัสจำนวนเชิงซ้อนa+biแสดงโดย | a+bi| หรือจดหมาย r

§ 1 จำนวนเชิงซ้อน: คำจำกัดความ การตีความทางเรขาคณิต การดำเนินการในรูปแบบพีชคณิต ตรีโกณมิติ และเลขชี้กำลัง

นิยามของจำนวนเชิงซ้อน

ความเท่าเทียมกันที่ซับซ้อน

การแสดงทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

โมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน

รูปแบบพีชคณิตและตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

รูปแบบเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน

สูตรออยเลอร์

§ 2 ฟังก์ชันทั้งหมด (พหุนาม) และคุณสมบัติพื้นฐานของพวกมัน แก้สมการพีชคณิตในชุดของจำนวนเชิงซ้อน

นิยามสมการพีชคณิตของดีกรี th

คุณสมบัติพื้นฐานของพหุนาม

ตัวอย่างการแก้สมการพีชคณิตในชุดของจำนวนเชิงซ้อน

คำถามสำหรับการตรวจสอบตนเอง

อภิธานศัพท์

§ 1 จำนวนเชิงซ้อน: คำจำกัดความ การตีความทางเรขาคณิต การดำเนินการในรูปแบบพีชคณิต ตรีโกณมิติ และเลขชี้กำลัง

คำจำกัดความของจำนวนเชิงซ้อน ( กำหนดนิยามของจำนวนเชิงซ้อน)

จำนวนเชิงซ้อน z คือนิพจน์ของรูปแบบต่อไปนี้:

จำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต(1)

ที่ไหน x y Î;

- คอนจูเกตที่ซับซ้อน หมายเลข z ;

- หมายเลขตรงข้าม หมายเลข z ;

- ศูนย์ที่ซับซ้อน ;

- นี่คือเซตของจำนวนเชิงซ้อน

1)z = 1 + ผมÞ เร z= 1 อิม z = 1, = 1 – ผม, = –1 – ผม ;

2)z = –1 + ผมÞ เร z= –1, อิม z = , = –1 – ผม, = –1 –ผม ;

3)z = 5 + 0ผม= 5 Þ อีกครั้ง z= 5 อิม z = 0, = 5 – 0ผม = 5, = –5 – 0ผม = –5

Þถ้าฉัน z= 0 แล้วก็ z = x- เบอร์จริง;

4)z = 0 + 3ผม = 3ผมÞ เร z= 0, อิ่ม z = 3, = 0 – 3ผม = –3ผม , = –0 – 3ผม = – 3ผม

Þ ถ้าเร z= 0 แล้วก็ z = ฉัน - จำนวนจินตภาพล้วนๆ.

ความเท่าเทียมกันที่ซับซ้อน (กำหนดความหมายของความเท่าเทียมกันที่ซับซ้อน)

1) ;

2) .

ความเท่าเทียมกันเชิงซ้อนหนึ่งเทียบเท่ากับระบบของความเท่าเทียมกันที่แท้จริงสองประการ ความเท่าเทียมกันที่แท้จริงเหล่านี้ได้มาจากความเท่าเทียมกันที่ซับซ้อนโดยแยกส่วนจริงและส่วนจินตภาพออก

1) ;

2) .

การแสดงทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน ( การแสดงทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อนคืออะไร?)

จำนวนเชิงซ้อน zแสดงด้วยจุด ( x , y) บนระนาบเชิงซ้อนหรือเวกเตอร์รัศมีของจุดนี้

เข้าสู่ระบบ zในจตุภาคที่สองหมายความว่าระบบพิกัดคาร์ทีเซียนจะถูกใช้เป็นระนาบเชิงซ้อน

โมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน ( โมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนคืออะไร?)

โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนเป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ

.(2)

ในเชิงเรขาคณิต โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนคือความยาวของเวกเตอร์แทนตัวเลข z, หรือรัศมีขั้วของจุด ( x , y).

วาดตัวเลขต่อไปนี้บนระนาบเชิงซ้อนแล้วเขียนในรูปตรีโกณมิติ

1)z = 1 + ผม Þ

,

Þ

Þ ;

,

Þ

Þ ;

,

5),

นั่นคือสำหรับ z = 0 มันจะเป็น

, เจไม่ได้กำหนด

การดำเนินการเลขคณิตกับจำนวนเชิงซ้อน (ให้คำจำกัดความและแสดงรายการคุณสมบัติหลักของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับจำนวนเชิงซ้อน)

การบวก (การลบ) ของจำนวนเชิงซ้อน

z 1 ± z 2 = (x 1 + ฉัน 1)±( x 2 + ฉัน 2) = (x 1 ± x 2) + ผม (y 1 ± y 2),(5)

นั่นคือ เมื่อบวก (ลบ) จำนวนเชิงซ้อน ส่วนที่จริงและส่วนจินตภาพจะถูกบวก (ลบ)

1)(1 + ผม) + (2 – 3ผม) = 1 + ผม + 2 –3ผม = 3 – 2ผม ;

2)(1 + 2ผม) – (2 – 5ผม) = 1 + 2ผม – 2 + 5ผม = –1 + 7ผม .

คุณสมบัติพื้นฐานของการบวก

1)z 1 + z 2 = z 2 + z 1;

2)z 1 + z 2 + z 3 = (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3);

3)z 1 – z 2 = z 1 + (– z 2);

4)z + (–z) = 0;

การคูณจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต

z 1∙z 2 = (x 1 + ฉัน 1)∙(x 2 + ฉัน 2) = x 1x 2 + x 1ฉัน 2 + ฉัน 1x 2 + ผม 2y 1y 2 = (6)

= (x 1x 2 – y 1y 2) + ผม (x 1y 2 + y 1x 2),

กล่าวคือ การคูณจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิตจะดำเนินการตามกฎของการคูณพีชคณิตของทวินามด้วยทวินาม ตามด้วยการแทนที่และการลดลงของจำนวนที่คล้ายกันในเงื่อนไขจริงและจินตภาพ

1)(1 + ผม)∙(2 – 3ผม) = 2 – 3ผม + 2ผม – 3ผม 2 = 2 – 3ผม + 2ผม + 3 = 5 – ผม ;

2)(1 + 4ผม)∙(1 – 4ผม) = 1 – 42 ผม 2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + ผม)2 = 22 + 4ผม + ผม 2 = 3 + 4ผม .

การคูณรูปแบบตรีโกณมิติจำนวนเชิงซ้อน

z 1∙z 2 = r 1(cos เจ 1 + ผมบาป เจ 1)× r 2(คอส เจ 2 + ผมบาป เจ 2) =

= r 1r 2(คอส เจ 1cos เจ 2 + ผม cos เจ 1sin เจ 2 + ผมบาป เจ 1cos เจ 2 + ผม 2 บาป เจ 1sin เจ 2) =

= r 1r 2((cos เจ 1cos เจ 2-sin เจ 1sin เจ 2) + ผม(คอส เจ 1sin เจ 2+ บาป เจ 1cos เจ 2))

ผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ กล่าวคือ เมื่อจำนวนเชิงซ้อนถูกคูณในรูปแบบตรีโกณมิติ โมดูลิของพวกมันจะถูกคูณและเพิ่มอาร์กิวเมนต์

คุณสมบัติพื้นฐานของการคูณ

1)z 1× z 2 = z 2× z 1 - การสับเปลี่ยน;

2)z 1× z 2× z 3 = (z 1× z 2)× z 3 = z 1×( z 2× z 3) - การเชื่อมโยง;

3)z 1×( z 2 + z 3) = z 1× z 2 + z 1× z 3 - การกระจายในส่วนที่เกี่ยวกับการเพิ่ม;

4)z×0 = 0; z×1 = z ;

การหารจำนวนเชิงซ้อน

การหารเป็นผลผกผันของการคูณ ดังนั้น

ถ้า z × z 2 = z 1 และ z 2 ¹ 0 แล้ว .

เมื่อทำการหารในรูปแบบพีชคณิต ตัวเศษและตัวส่วนของเศษจะถูกคูณด้วยคอนจูเกตที่ซับซ้อนของตัวส่วน:

การหารจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต(7)

เมื่อทำการหารในรูปแบบตรีโกณมิติ โมดูลจะถูกแบ่งและลบอาร์กิวเมนต์:

การหารจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ (8)

2)
.

การเพิ่มจำนวนเชิงซ้อนให้เป็นกำลังธรรมชาติ

การเพิ่มพลังธรรมชาติจะสะดวกกว่าในการดำเนินการในรูปแบบตรีโกณมิติ:

สูตร Moivre,(9)

นั่นคือ เมื่อจำนวนเชิงซ้อนถูกยกขึ้นเป็นกำลังธรรมชาติ โมดูลัสของมันถูกยกขึ้นเป็นกำลังนั้น และอาร์กิวเมนต์จะถูกคูณด้วยเลขชี้กำลัง

คำนวณ (1 + ผม)10.

หมายเหตุ

1. เมื่อทำการคูณและเพิ่มกำลังตามธรรมชาติในรูปแบบตรีโกณมิติ ค่ามุมสามารถรับได้นอกรอบเดียว แต่สามารถลดลงเป็นมุมได้เสมอหรือโดยการลดจำนวนเต็มของรอบการหมุนที่สมบูรณ์ตามคุณสมบัติคาบของฟังก์ชันและ

2. ความหมาย เรียกว่าค่าหลักของอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน

ในกรณีนี้ ค่าของมุมที่เป็นไปได้ทั้งหมดหมายถึง ;

เป็นที่ชัดเจนว่า , .

การแยกรากของดีกรีธรรมชาติจากจำนวนเชิงซ้อน

สูตรออยเลอร์(16)

ซึ่งฟังก์ชันตรีโกณมิติและตัวแปรจริงแสดงในรูปของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (เลขชี้กำลัง) ด้วยเลขชี้กำลังจินตภาพล้วนๆ

§ 2 ฟังก์ชันทั้งหมด (พหุนาม) และคุณสมบัติพื้นฐานของพวกมัน แก้สมการพีชคณิตในชุดของจำนวนเชิงซ้อน

พหุนามสองตัวที่มีดีกรีเท่ากัน นจะเท่ากันทุกประการก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์สัมประสิทธิ์ตรงกับกำลังของตัวแปรเท่ากัน x, นั่นคือ

การพิสูจน์

w Identity (3) ถือสำหรับ "xн (หรือ "xн)

Þ มันถูกต้องสำหรับ ; แทนที่ เราจะได้ หนึ่ง = bn .

ให้เราร่วมกันทำลายเงื่อนไขใน (3) หนึ่งและ bnและหารทั้งสองส่วนด้วย x :

ตัวตนนี้เป็นจริงสำหรับ " xรวมทั้งเมื่อ x = 0

Þ สมมุติ x= 0 เราได้ หนึ่ง – 1 = bn – 1.

ทำลายล้างซึ่งกันและกันในเงื่อนไข (3") หนึ่ง– 1 และ เอ น– 1 และหารทั้งสองส่วนด้วย xส่งผลให้เราได้รับ

ต่อด้วยการโต้เถียงในทำนองเดียวกัน เราได้รับว่า หนึ่ง – 2 = bn –2, …, เอ 0 = ข 0.

ดังนั้นจึงพิสูจน์ได้ว่าจากความเท่าเทียมกันของพหุนาม 2x ตามความบังเอิญของสัมประสิทธิ์ที่องศาเดียวกัน x .

ประโยคสนทนานั้นชัดเจนถูกต้อง กล่าวคือ ถ้าพหุนามสองพหุนามมีค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากัน พวกมันคือฟังก์ชันเดียวกัน ดังนั้น ค่าของพหุนามจะเหมือนกันสำหรับค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ ซึ่งหมายความว่าความเท่าเทียมกันที่เหมือนกัน คุณสมบัติ 1 ได้รับการพิสูจน์อย่างสมบูรณ์ วี

เมื่อหารพหุนาม PN (x) ถึงความแตกต่าง ( x – X 0) ส่วนที่เหลือเท่ากับ PN (x 0) นั่นคือ

ทฤษฎีบทของเบซูต(4)

ที่ไหน Qn – 1(x) - ส่วนจำนวนเต็มของการหาร เป็นพหุนามของดีกรี ( น – 1).

การพิสูจน์

w ลองเขียนสูตรหารด้วยเศษที่เหลือกัน:

PN (x) = (x – X 0)∙Qn – 1(x) + อา ,

ที่ไหน Qn – 1(x) - พหุนามดีกรี ( น – 1),

อา- ส่วนที่เหลือซึ่งเป็นตัวเลขเนื่องจากอัลกอริทึมที่รู้จักกันดีในการหารพหุนามเป็นทวินาม "ในคอลัมน์"

ความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงสำหรับ " xรวมทั้งเมื่อ x = X 0 Þ

PN (x 0) = (x 0 – x 0)× Qn – 1(x 0) + อา Þ

อา = PN (X 0), h.t.d. วี

ข้อพิสูจน์จากทฤษฎีบทของเบโซต์ เรื่องการหารพหุนามด้วยทวินามที่ไม่มีเศษเหลือ

ถ้าตัวเลข X 0 เป็นศูนย์ของพหุนาม แล้วพหุนามนี้หารด้วยผลต่างลงตัว ( x – X 0) ไม่มีเศษ นั่นคือ

Þ .(5)

1) , เพราะ พี 3(1) º 0

2) เพราะ พี 4(–2) º 0

3) เพราะ พี 2(–1/2) º 0

การหารพหุนามเป็นทวินาม "ในคอลัมน์":

_

_

_

_

_

ทุกพหุนามของดีกรี n ³ 1 มีศูนย์อย่างน้อยหนึ่งศูนย์ จริงหรือเชิงซ้อน

การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้อยู่นอกเหนือขอบเขตของหลักสูตรของเรา ดังนั้นเราจึงยอมรับทฤษฎีบทโดยไม่มีการพิสูจน์

มาทำงานกับทฤษฎีบทนี้และทฤษฎีบทของเบโซต์ด้วยพหุนามกัน PN (x).

หลังจาก น-พับประยุกต์ทฤษฎีบทเหล่านี้ เราได้รับสิ่งนั้น

ที่ไหน เอ 0 คือสัมประสิทธิ์ที่ x นใน PN (x).

ข้อพิสูจน์จากทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต การสลายตัวของพหุนามเป็นปัจจัยเชิงเส้น

พหุนามของดีกรีใดๆ บนเซตของจำนวนเชิงซ้อน แตกตัวเป็น นตัวประกอบเชิงเส้น นั่นคือ

การสลายตัวของพหุนามเป็นตัวประกอบเชิงเส้น (6)

โดยที่ x1, x2, ... xn คือศูนย์ของพหุนาม

ในขณะเดียวกัน ถ้า kตัวเลขจากชุด X 1, X 2, … xnตรงกันและด้วยตัวเลข a จากนั้นในผลิตภัณฑ์ (6) ปัจจัย ( x– ก) k. แล้วเลข x= เรียกว่า k-fold ศูนย์พหุนาม PN ( x) . ถ้า k= 1 จากนั้นศูนย์จะเรียกว่า พหุนามศูนย์ง่าย ๆ PN ( x) .

1)พี 4(x) = (x – 2)(x– 4)3 Þ x 1 = 2 - ศูนย์ง่าย ๆ x 2 = 4 - ศูนย์สามเท่า;

2)พี 4(x) = (x – ผม)4 x = ผม- ศูนย์คูณ 4

คุณสมบัติ 4 (กับจำนวนรากของสมการพีชคณิต)

สมการพีชคณิตใดๆ Pn(x) = 0 ของดีกรี n มี n รากบนเซตของจำนวนเชิงซ้อนพอดีเป๊ะ หากแต่ละรูตถูกนับหลายเท่าของจำนวนทวีคูณของมัน

1)x 2 – 4x+ 5 = 0 - สมการพีชคณิตของดีกรีที่สอง

Þ x 1.2 = 2 ± = 2 ± ผม- สองราก

2)x 3 + 1 = 0 - สมการพีชคณิตของดีกรีที่สาม

Þ x 1,2,3 = - สามราก

3)พี 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 x 1 = 1 เพราะ พี 3(1) = 0.

หารพหุนาม พี 3(x) บน ( x – 1):

x 3	+	x 2	–	x	–	1	x – 1
x 3	–	x 2	x 2 + 2x +1
2x 2	–	x
2x 2	–	2x
x	–	1
x	–	1
0

สมการเริ่มต้น

พี 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 Û( x – 1)(x 2 + 2x+ 1) = 0 วัตต์( x – 1)(x + 1)2 = 0

Þ x 1 = 1 - รูทอย่างง่าย x 2 \u003d -1 - รูทคู่

1) จับคู่รากคอนจูเกตที่ซับซ้อน

พหุนามใดๆ ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จริงสลายตัวเป็นผลคูณของฟังก์ชันเชิงเส้นและกำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์จริง

การพิสูจน์

w เลท x 0 = เอ + สอง- พหุนามศูนย์ PN (x). ถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนามนี้เป็นจำนวนจริง มันก็เป็นศูนย์ด้วย (ตามคุณสมบัติ 5)

เราคำนวณผลคูณของทวินาม :

สมการพหุนามจำนวนเชิงซ้อน

ได้ ( x – เอ)2 + ข 2 - trinomial สี่เหลี่ยมพร้อมสัมประสิทธิ์จริง

ดังนั้น ทวินามคู่ใดๆ ที่มีรากคอนจูเกตที่ซับซ้อนในสูตร (6) จะนำไปสู่พหุนามกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์จริง วี

1)พี 3(x) = x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x + 1);

2)พี 4(x) = x 4 – x 3 + 4x 2 – 4x = x (x –1)(x 2 + 4).

ตัวอย่างการแก้สมการพีชคณิตในชุดของจำนวนเชิงซ้อน ( ยกตัวอย่างการแก้สมการพีชคณิตในชุดของจำนวนเชิงซ้อน)

1. สมการพีชคณิตของระดับแรก:

, เป็นรูทที่เรียบง่ายเพียงตัวเดียว

2. สมการกำลังสอง:

, - มีสองรากเสมอ (ต่างกันหรือเท่ากัน)

1) .

3. สมการดีกรี 2 ภาค:

, - มีรากต่างกันเสมอ

,

ตอบ: , .

4. แก้สมการลูกบาศก์

สมการของดีกรีที่สามมีสามรูต (จริงหรือเชิงซ้อน) และแต่ละรูตจะต้องถูกนับหลายครั้งเท่าทวีคูณ เนื่องจากสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการนี้เป็นจำนวนจริง รากเชิงซ้อนของสมการ หากมี จะเป็นคอนจูเกตเชิงซ้อนเชิงซ้อนแบบคู่

โดยการเลือก เราจะพบรากแรกของสมการ เนื่องจาก

โดยผลที่ตามมาของทฤษฎีบทของเบซูต เราคำนวณส่วนนี้ "ในคอลัมน์":

_
_
_

แทนพหุนามเป็นผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้นและกำลังสอง เราได้รับ:

.

เราพบรากอื่นเป็นรากของสมการกำลังสอง:

ตอบ: , .

5. เขียนสมการพีชคณิตของดีกรีน้อยที่สุดกับสัมประสิทธิ์จริงถ้าทราบว่าตัวเลข x 1 = 3 และ x 2 = 1 + ผมเป็นรากของมันและ x 1 เป็นรูตคู่และ x 2 - ง่าย

ตัวเลขยังเป็นรากของสมการด้วยเพราะ สัมประสิทธิ์ของสมการต้องเป็นจำนวนจริง

โดยรวมแล้วสมการที่ต้องการมี 4 ราก: x 1, x 1,x 2, . ดังนั้นดีกรีของมันคือ 4 เราเขียนพหุนามของดีกรีที่ 4 ด้วยศูนย์ x

11. ศูนย์ที่ซับซ้อนคืออะไร?

13. กำหนดความหมายของความเท่าเทียมกันที่ซับซ้อน

15. โมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนคืออะไร?

17. อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนคืออะไร?

18. ชื่อหรือความหมายของสูตรคืออะไร?

19. อธิบายความหมายของสัญกรณ์ในสูตรนี้:

27. ให้คำจำกัดความและแสดงรายการคุณสมบัติหลักของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับจำนวนเชิงซ้อน

28. ชื่อหรือความหมายของสูตรคืออะไร?

29. อธิบายความหมายของสัญกรณ์ในสูตรนี้:

31. ชื่อหรือความหมายของสูตรคืออะไร?

32. อธิบายความหมายของสัญกรณ์ในสูตรนี้:

34. ชื่อหรือความหมายของสูตรคืออะไร?

35. อธิบายความหมายของสัญกรณ์ในสูตรนี้:

61. ทำรายการคุณสมบัติหลักของพหุนาม

63. กำหนดคุณสมบัติเกี่ยวกับการหารพหุนามด้วยผลต่าง (x - x0)

65. ชื่อหรือความหมายของสูตรคืออะไร?

66. อธิบายความหมายของสัญกรณ์ในสูตรนี้:

67. ⌂ .

69. กำหนดทฤษฎีบทที่ทฤษฎีบทของพีชคณิตเป็นพื้นฐาน

70. ชื่อหรือความหมายของสูตรคืออะไร?

71. อธิบายความหมายของสัญกรณ์ในสูตรนี้:

75. กำหนดคุณสมบัติเกี่ยวกับจำนวนรากของสมการพีชคณิต

78. กำหนดคุณสมบัติเกี่ยวกับการสลายตัวของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จริงเป็นตัวประกอบเชิงเส้นและกำลังสอง

อภิธานศัพท์

ศูนย์ k-fold ของพหุนามเรียกว่า... (หน้า 18)

พหุนามพีชคณิตเรียกว่า... (หน้า 14)

สมการพีชคณิตของดีกรีที่ n เรียกว่า ... (หน้า 14)

รูปแบบพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่า... (หน้า 5)

อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนคือ... (หน้า 4)

ส่วนที่แท้จริงของจำนวนเชิงซ้อน z คือ... (หน้า 2)

คอนจูเกตที่ซับซ้อนคือ... (หน้า 2)

ศูนย์เชิงซ้อนคือ... (หน้า 2)

จำนวนเชิงซ้อนเรียกว่า... (หน้า 2)

รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่า... (หน้า 10)

รากของสมการเรียกว่า ... (หน้า 14)

สัมประสิทธิ์พหุนามคือ... (หน้า 14)

หน่วยจินตภาพคือ... (หน้า 2)

ส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน z คือ... (หน้า 2)

โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่า... (หน้า 4)

เรียกค่าศูนย์ของฟังก์ชัน... (หน้า 14)

รูปแบบเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่า... (หน้า 11)

พหุนามเรียกว่า... (หน้า 14)

ศูนย์อย่างง่ายของพหุนามเรียกว่า... (หน้า 18)

เลขตรงข้ามคือ... (หน้า 2)

ดีกรีของพหุนามคือ... (หน้า 14)

รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่า... (หน้า 5)

สูตรของ De Moivre คือ... (หน้า 9)

สูตรของออยเลอร์คือ... (หน้า 13)

เรียกฟังก์ชันทั้งหมดว่า... (หน้า 14)

จำนวนจินตภาพล้วนๆ คือ... (หน้า 2)

จำข้อมูลที่จำเป็นเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อนเป็นการแสดงออกของรูปแบบ เอ + สอง, ที่ไหน เอ, ขเป็นจำนวนจริง และ ผม- ที่เรียกว่า หน่วยจินตภาพ, สัญลักษณ์ที่มีกำลังสองคือ -1 เช่น ผม 2 = -1 ตัวเลข เอเรียกว่า ส่วนจริงและหมายเลข ข - ส่วนจินตภาพจำนวนเชิงซ้อน z = เอ + สอง. ถ้า ข= 0 จากนั้นแทนที่จะเป็น เอ + 0ผมเขียนง่ายๆ เอ. จะเห็นได้ว่าจำนวนจริงเป็นกรณีพิเศษของจำนวนเชิงซ้อน

การดำเนินการเลขคณิตของจำนวนเชิงซ้อนจะเหมือนกับจำนวนจริง: สามารถบวก ลบ คูณ และหารกันเองได้ การบวกและการลบดำเนินการตามกฎ ( เอ + สอง) ± ( ค + ดิ) = (เอ ± ค) + (ข ± d)ผม, และการคูณ - ตามกฎ ( เอ + สอง) · ( ค + ดิ) = (ac – bd) + (โฆษณา + bc)ผม(ที่นี่ใช้แค่ว่า ผม 2 = -1). จำนวน = เอ – สองเรียกว่า คอนจูเกตที่ซับซ้อนถึง z = เอ + สอง. ความเท่าเทียมกัน z · = เอ 2 + ข 2 ช่วยให้คุณเข้าใจวิธีการหารจำนวนเชิงซ้อนตัวหนึ่งด้วยจำนวนเชิงซ้อนอื่น (ไม่ใช่ศูนย์)

(ตัวอย่างเช่น, .)

ตัวเลขที่ซับซ้อนมีการแสดงทางเรขาคณิตที่สะดวกและมองเห็นได้: หมายเลข z = เอ + สองสามารถแสดงเป็นเวกเตอร์ที่มีพิกัด ( เอ; ข) บนระนาบคาร์ทีเซียน (หรือซึ่งเกือบจะเหมือนกันคือจุด - จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่มีพิกัดเหล่านี้) ในกรณีนี้ ผลรวมของจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนจะแสดงเป็นผลรวมของเวกเตอร์ที่สอดคล้องกัน (ซึ่งหาได้จากกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน) ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความยาวของเวกเตอร์ที่มีพิกัด ( เอ; ข) เท่ากับ . ค่านี้เรียกว่า โมดูลจำนวนเชิงซ้อน z = เอ + สองและเขียนแทนด้วย | z|. มุมที่เวกเตอร์นี้ทำด้วยทิศทางบวกของแกน x (นับทวนเข็มนาฬิกา) เรียกว่า การโต้แย้งจำนวนเชิงซ้อน zและเขียนแทนด้วย Arg z. อาร์กิวเมนต์ไม่ได้กำหนดไว้อย่างเฉพาะเจาะจง แต่ขึ้นกับการเพิ่มทวีคูณของ 2 . เท่านั้น π เรเดียน (หรือ 360° ถ้าคุณนับเป็นองศา) เป็นที่ชัดเจนว่าการหมุนมุมรอบจุดกำเนิดนั้นจะไม่เปลี่ยนเวกเตอร์ แต่ถ้าเวกเตอร์ของความยาว rเกิดเป็นมุม φ ด้วยทิศทางบวกของแกน x ดังนั้นพิกัดของมันจะเท่ากับ ( r cos φ ; rบาป φ ). ปรากฎว่า สัญกรณ์ตรีโกณมิติจำนวนเชิงซ้อน: z = |z| (cos(อาร์ก z) + ผมบาป(Arg z)). การเขียนตัวเลขที่ซับซ้อนในรูปแบบนี้มักจะสะดวก เนื่องจากช่วยให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก การคูณจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติดูง่ายมาก: zหนึ่ง · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(อาร์ก z 1+หาเรื่อง z 2) + ผมบาป(Arg z 1+หาเรื่อง z 2)) (เมื่อคูณจำนวนเชิงซ้อนสองตัว โมดูลัสของพวกมันจะถูกคูณและเพิ่มอาร์กิวเมนต์) จากที่นี่ติดตาม สูตร De Moivre: z n = |z|น(เพราะ( น(อาร์ก z)) + ผมบาป( น(อาร์ก z))). ด้วยความช่วยเหลือของสูตรเหล่านี้ จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะเรียนรู้วิธีการแยกรากของระดับใดๆ จากจำนวนเชิงซ้อน รากที่ n ของ zเป็นจำนวนเชิงซ้อน w, อะไร w n = z. เป็นที่ชัดเจนว่า , และที่ไหน kสามารถนำค่าใดก็ได้จากชุด (0, 1, ..., น- หนึ่ง). แปลว่ามีตรงเสมอ นราก นระดับ th จากจำนวนเชิงซ้อน (บนระนาบจะอยู่ที่จุดยอดของค่าปกติ น-กอน).

การใช้เครื่องคิดเลข

ในการประเมินนิพจน์ คุณต้องป้อนสตริงเพื่อประเมิน เมื่อป้อนตัวเลข ตัวคั่นทศนิยมคือจุด สามารถใช้วงเล็บได้ การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อน ได้แก่ การคูณ (*), การหาร (/), การบวก (+), การลบ (-), การยกกำลัง (^) และอื่นๆ ในการบันทึกจำนวนเชิงซ้อน คุณสามารถใช้รูปแบบเลขชี้กำลังและพีชคณิตได้ ป้อนหน่วยจินตภาพ ผมเป็นไปได้โดยไม่ต้องมีเครื่องหมายคูณ ในกรณีอื่นๆ จำเป็นต้องใช้เครื่องหมายคูณ เช่น ระหว่างวงเล็บหรือระหว่างตัวเลขกับค่าคงที่ ค่าคงที่ยังสามารถใช้ได้: ตัวเลข π ถูกป้อนเป็น pi, เลขชี้กำลัง อีนิพจน์ใดๆ ที่เป็นเลขชี้กำลังต้องอยู่ในวงเล็บ

ตัวอย่างสตริงที่จะคำนวณ: (4.5+i12)*(3.2i-2.5)/e^(i1.25*pi)ซึ่งสอดคล้องกับนิพจน์ \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\]

เครื่องคิดเลขสามารถใช้ค่าคงที่ ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ การดำเนินการเพิ่มเติม และนิพจน์ที่ซับซ้อนมากขึ้น คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับคุณลักษณะเหล่านี้ได้ในหน้ากฎทั่วไปสำหรับการใช้เครื่องคิดเลขบนไซต์นี้

เว็บไซต์อยู่ระหว่างการปรับปรุง บางหน้าอาจไม่พร้อมใช้งาน

ข่าว

07.07.2016
เพิ่มเครื่องคิดเลขสำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตไม่เชิงเส้น:

30.06.2016
ไซต์มีการออกแบบที่ตอบสนอง หน้าจะแสดงได้อย่างเพียงพอทั้งบนจอภาพขนาดใหญ่และบนอุปกรณ์เคลื่อนที่

สปอนเซอร์

RGOnline.ru - โซลูชันทันทีสำหรับงานไฟฟ้าออนไลน์

อาชีพ 12 . ตัวเลขที่ซับซ้อน

12.1. นิยามของจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต การเปรียบเทียบและการแสดงจำนวนเชิงซ้อนบนระนาบเชิงซ้อน การผันคำกริยาที่ซับซ้อน การบวก การคูณ การหารจำนวนเชิงซ้อน

12.2. โมดูลัส อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน

12.3. รูปแบบตรีโกณมิติและเลขชี้กำลังของการเขียนจำนวนเชิงซ้อน

12.4. เพิ่มกำลังเป็นจำนวนเต็มและแยกรากออกจากจำนวนเชิงซ้อน

นิยามของจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต การเปรียบเทียบและการแสดงจำนวนเชิงซ้อนบนระนาบเชิงซ้อน การผันคำกริยาที่ซับซ้อน การบวก การคูณ การหารจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิตคือจำนวน

ที่ไหน
เรียกว่า หน่วยจินตภาพและ
- ตัวเลขจริง:
เรียกว่า ของจริง (ของจริง) ส่วนหนึ่ง;
- ส่วนจินตภาพจำนวนเชิงซ้อน . ตัวเลขที่ซับซ้อนของแบบฟอร์ม
เรียกว่า ตัวเลขจินตภาพล้วนๆ. เซตของจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดเขียนแทนด้วยตัวอักษร .

ตามคำจำกัดความ

เซตของจำนวนจริงทั้งหมด เป็นส่วนหนึ่งของชุด
: . ในทางกลับกัน มีตัวเลขเชิงซ้อนที่ไม่อยู่ในเซต . ตัวอย่างเช่น,
และ
, เพราะ
.

ตัวเลขที่ซับซ้อนในรูปแบบพีชคณิตเกิดขึ้นตามธรรมชาติเมื่อแก้สมการกำลังสองด้วยการเลือกปฏิบัติเชิงลบ

ตัวอย่างที่ 1. แก้สมการ
.

วิธีการแก้. ,

ดังนั้นสมการกำลังสองที่ให้มาจึงมีรากที่ซับซ้อน

,
.

ตัวอย่าง 2. ค้นหาส่วนจริงและจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน

,

,
.

ดังนั้น ส่วนจริงและส่วนจินตภาพของจำนวนนั้น ,

จำนวนเชิงซ้อนใดๆ
แสดงโดยเวกเตอร์บนระนาบเชิงซ้อน , เป็นตัวแทนของระนาบที่มีระบบพิกัดคาร์ทีเซียน
. จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์อยู่ที่จุด และจุดสิ้นสุดอยู่ที่จุดที่มีพิกัด
(รูปที่ 1) Axis
เรียกว่าแกนจริง และแกน
- แกนจินตภาพของระนาบเชิงซ้อน .

ตัวเลขเชิงซ้อนจะถูกเปรียบเทียบกันโดยใช้เครื่องหมายเท่านั้น
. . หากมีความเท่าเทียมกันอย่างน้อยหนึ่งอย่าง:
ละเมิดแล้ว
. รายการประเภท
ไม่สมเหตุสมผล.

ตามคำจำกัดความซับซ้อน ตัวเลข
เรียกว่า คอนจูเกตเชิงซ้อนของจำนวน
. ในกรณีนี้ให้เขียน
. เห็นได้ชัดว่า
. ทุกที่ด้านล่าง แถบที่อยู่เหนือจำนวนเชิงซ้อนจะหมายถึงการผันคำกริยาที่ซับซ้อน

ตัวอย่างเช่น, .

การดำเนินการเช่นการบวก (การลบ) การคูณและการหารสามารถทำได้บนจำนวนเชิงซ้อน

1. การบวกจำนวนเชิงซ้อนทำได้ดังนี้:

คุณสมบัติการทำงานเพิ่มเติม:

- สมบัติของการสับเปลี่ยน;

- ทรัพย์สินสัมพันธ์

ง่ายที่จะเห็นว่าการบวกจำนวนเชิงซ้อนทางเรขาคณิตนั้น
หมายถึงการเพิ่มของที่สอดคล้องกันบนเครื่องบิน เวกเตอร์ตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การดำเนินการลบตัวเลข จากหมายเลข ทำได้ดังนี้:

2. การคูณจำนวนเชิงซ้อนทำได้ดังนี้:

คุณสมบัติของการดำเนินการคูณ:

- สมบัติของการสับเปลี่ยน;

- คุณสมบัติของการเชื่อมโยง;

- กฎหมายว่าด้วยการกระจายสินค้า

3. การหารจำนวนเชิงซ้อน ทำได้ก็ต่อเมื่อ
และทำดังนี้

.

ตัวอย่างที่ 3. หา
, ถ้า .

ตัวอย่างที่ 4. คำนวณ
, ถ้า .

z เพราะ
.

.(อุ๊ย!)

ง่ายต่อการตรวจสอบ (เสนอให้ทำเอง) ความถูกต้องของข้อความต่อไปนี้:

โมดูลัส อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน

โมดูลัสจำนวนเชิงซ้อน
(โมดูล หมายถึง ) เป็นจำนวนไม่เป็นลบ
, เช่น.
.

ความรู้สึกทางเรขาคณิต - ความยาวของเวกเตอร์แทนตัวเลข บนระนาบที่ซับซ้อน . สมการ
กำหนดชุดของตัวเลขทั้งหมด (เวกเตอร์ต่อ ) ซึ่งปลายอยู่บนวงกลมหน่วย
.

อาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อน
(การโต้แย้ง หมายถึง
) คือมุม เป็นเรเดียนระหว่างแกนจริง
และหมายเลข บนระนาบที่ซับซ้อน , และ เป็นบวกหากนับจาก
ก่อน ทวนเข็มนาฬิกาและ เชิงลบถ้า วัดจากแกน
ก่อน ตามเข็มนาฬิกา.

ดังนั้น อาร์กิวเมนต์ตัวเลข ถูกกำหนดไว้อย่างคลุมเครือจนถึงคำว่า
, ที่ไหน
. อาร์กิวเมนต์ตัวเลขแน่นอน กำหนดไว้ภายในหนึ่งการข้ามของวงกลมหนึ่งหน่วย
บนพื้นผิว . ปกติต้องหาให้เจอ
ภายในช่วงเวลา
,ค่าดังกล่าวเรียกว่าค่าหลักของอาร์กิวเมนต์ตัวเลข และเขียนว่า
.

และ
ตัวเลข หาได้จากสมการ
, โดยที่ อย่างจำเป็น ต้องคำนึงอยู่ในไตรมาสใดของเครื่องบิน อยู่ที่จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ - จุด
:

ถ้า
(ไตรมาสที่ 1 ของเครื่องบิน ), แล้ว ;

ถ้า
(ไตรมาสที่ 2 ของเครื่องบิน ), แล้ว;

ถ้า
(ไตรมาสที่ 3 ของเครื่องบิน ), แล้ว ;

ถ้า
(ไตรมาสที่ 4 ของเครื่องบิน ), แล้ว .

อันที่จริง โมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของจำนวน
, นี่คือพิกัดเชิงขั้ว
คะแนน
- จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ บนพื้นผิว .

ตัวอย่างที่ 5. ค้นหาโมดูลัสและค่าหลักของอาร์กิวเมนต์ตัวเลข:

.

อาร์กิวเมนต์ของตัวเลขนอนแกน
แยกไตรมาส 1,2,3,4 ของระนาบเชิงซ้อน , ถูกพบทันทีโดยการแสดงตัวเลขเหล่านี้บนเครื่องบิน .

รูปแบบตรีโกณมิติและเลขชี้กำลังของการเขียนจำนวนเชิงซ้อน การคูณและการหารจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติและเลขชี้กำลัง

สัญกรณ์ตรีโกณมิติจำนวนเชิงซ้อน
ดูเหมือน:

, (2)

ที่ไหน - โมดูล, - อาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อน . การแทนค่าจำนวนเชิงซ้อนดังกล่าวตามมาจากความเท่าเทียมกัน

สาธิต(เลขชี้กำลัง) รูปแบบสัญกรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน
ดูเหมือน:

, (3)

ที่ไหน - โมดูล, - อาร์กิวเมนต์ตัวเลข . ความเป็นไปได้ของการแสดงจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบเลขชี้กำลัง (3) ตามมาจากรูปแบบตรีโกณมิติ (2) และสูตรออยเลอร์:

. (4)

สูตรนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วในหลักสูตร TFKP (ทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน)

ตัวอย่างที่ 6. ค้นหารูปแบบตรีโกณมิติและเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน: จากตัวอย่างที่ 5

วิธีการแก้. ลองใช้ผลลัพธ์ของตัวอย่างที่ 5 ซึ่งพบโมดูลและอาร์กิวเมนต์ของตัวเลขที่ระบุทั้งหมด

,

.

- รูปแบบตรีโกณมิติของการเขียนตัวเลข ,

- รูปแบบเลขชี้กำลัง (เลขชี้กำลัง) ของการเขียนตัวเลข .

3)

- รูปแบบตรีโกณมิติของการเขียนตัวเลข ,

- รูปแบบเลขชี้กำลัง (เลขชี้กำลัง) ของการเขียนตัวเลข .

รูปแบบตรีโกณมิติของการเขียนตัวเลข ,

- รูปแบบเลขชี้กำลัง (เลขชี้กำลัง) ของการเขียนตัวเลข .

5)

- รูปแบบตรีโกณมิติของการเขียนตัวเลข ,

- รูปแบบเลขชี้กำลัง (เลขชี้กำลัง) ของการเขียนตัวเลข .

รูปตรีโกณมิติของตัวเลข ,

.

7)

- รูปแบบตรีโกณมิติของการเขียนตัวเลข ,

- รูปแบบเลขชี้กำลัง (เลขชี้กำลัง) ของตัวเลข .

- รูปแบบตรีโกณมิติของการเขียนตัวเลข ,

- รูปแบบเลขชี้กำลัง (เลขชี้กำลัง) ของการเขียนตัวเลข .

รูปแบบเลขชี้กำลังของการเขียนจำนวนเชิงซ้อนนำไปสู่การตีความทางเรขาคณิตของการดำเนินการของการคูณและการหารของจำนวนเชิงซ้อนดังต่อไปนี้ อนุญาต
- รูปแบบเลขชี้กำลัง
.

1. เมื่อคูณจำนวนเชิงซ้อน โมดูลีของพวกมันจะถูกคูณ และอาร์กิวเมนต์จะถูกเพิ่ม.

2. เมื่อหารจำนวนเชิงซ้อน ต่อจำนวน ได้จำนวนเชิงซ้อน , โมดูล ซึ่งเท่ากับอัตราส่วนของโมดูล และข้อโต้แย้ง - ความแตกต่าง
อาร์กิวเมนต์ตัวเลข
.

เพิ่มกำลังเป็นจำนวนเต็มและแยกรากออกจากจำนวนเชิงซ้อน

ตามคำจำกัดความ

เมื่อยกกำลังเป็นจำนวนเต็ม จำนวนเชิงซ้อน
คุณควรดำเนินการดังนี้: ค้นหาโมดูลก่อน และข้อโต้แย้ง หมายเลขนี้; แนะนำ ในรูปแบบการสาธิต
; หา
โดยทำตามขั้นตอนต่อไปนี้

ที่ไหน . (5)

ความคิดเห็นการโต้แย้ง
ตัวเลข
อาจไม่อยู่ในระยะ
. ในกรณีนี้ตามค่าที่ได้รับ หาค่าเงินต้น การโต้แย้ง

ตัวเลข
, บวก (หรือลบ) ตัวเลข
ด้วยความหมายนี้
, ถึง

เป็นของช่วงเวลา
. หลังจากนั้นจำเป็นต้องเปลี่ยนสูตร (5) บน .

ตัวอย่าง 7. หา และ
, ถ้า
.

1)
=
(ดูหมายเลข จากตัวอย่างที่ 6)

2)
, ที่ไหน
.
.
.

เพราะเหตุนี้, สามารถแทนที่ด้วยและดังนั้น

ที่ไหน
.

3)
, ที่ไหน
.
.

มาเปลี่ยนกันเถอะ บน . เพราะเหตุนี้,

การสกัดราก ปริญญา
จากจำนวนเชิงซ้อน
ดำเนินการตามสูตร Moivre-Laplace