5 จำนวนเชิงซ้อน บทช่วยสอน: ตัวเลขที่ซับซ้อน

ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน คุณต้องเข้าใจคำจำกัดความพื้นฐาน วัตถุประสงค์หลักของบทความทบทวนนี้คือเพื่ออธิบายว่าจำนวนเชิงซ้อนคืออะไรและนำเสนอวิธีการในการแก้ปัญหาพื้นฐานเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้น จำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นตัวเลขของรูปแบบ z = a + bi, ที่ไหน ก, ข- จำนวนจริงซึ่งเรียกว่าส่วนจริงและส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อนตามลำดับและแสดงว่า a = Re(z), b=Im(z).
ผมเรียกว่า หน่วยจินตภาพ ผม 2 \u003d -1. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนจริงใดๆ อาจถือได้ว่าซับซ้อน: a = a + 0iโดยที่ a เป็นจริง ถ้า a = 0และ ข ≠ 0แล้วเรียกจำนวนนั้นว่าจินตภาพล้วนๆ

ตอนนี้เราแนะนำการดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อน
พิจารณาจำนวนเชิงซ้อนสองตัว z 1 = a 1 + b 1 iและ z 2 = a 2 + b 2 i.

พิจารณา z = a + bi.

เซตของจำนวนเชิงซ้อนขยายเซตของจำนวนจริง ซึ่งจะขยายเซตของจำนวนตรรกยะ และอื่นๆ ห่วงโซ่ของการฝังนี้สามารถเห็นได้ในรูป: N - ตัวเลขธรรมชาติ, Z - จำนวนเต็ม, Q - ตรรกยะ, R - จริง, C - คอมเพล็กซ์

การแทนค่าจำนวนเชิงซ้อน

สัญกรณ์พีชคณิต

พิจารณาจำนวนเชิงซ้อน z = a + bi, รูปแบบการเขียนจำนวนเชิงซ้อนนี้เรียกว่า พีชคณิต. เราได้กล่าวถึงรูปแบบการเขียนนี้โดยละเอียดแล้วในหัวข้อที่แล้ว มักใช้ภาพวาดภาพประกอบต่อไปนี้

แบบฟอร์มตรีโกณมิติ

จะเห็นได้จากตัวเลขว่า z = a + biสามารถเขียนต่างกันได้ เห็นได้ชัดว่า a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, เพราะเหตุนี้ z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) เรียกว่าอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน การแสดงจำนวนเชิงซ้อนนี้เรียกว่า แบบฟอร์มตรีโกณมิติ. บางครั้งรูปแบบตรีโกณมิติของสัญกรณ์สะดวกมาก ตัวอย่างเช่น สะดวกในการเพิ่มจำนวนเชิงซ้อนเป็นยกกำลังจำนวนเต็ม กล่าวคือ if z = rcos(φ) + rsin(φ)i, แล้ว z n = r n cos(nφ) + r n บาป(nφ)i, สูตรนี้เรียกว่า สูตรของ De Moivre.

แบบฟอร์มการสาธิต

พิจารณา z = rcos(φ) + rsin(φ)iเป็นจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ เราเขียนมันในอีกรูปแบบหนึ่ง z = r(cos(φ) + บาป (φ)i) = อีกครั้ง iφความเท่าเทียมกันสุดท้ายตามมาจากสูตรออยเลอร์ ดังนั้นเราจึงได้รูปแบบใหม่ของการเขียนจำนวนเชิงซ้อน: z = อีกครั้ง iφ, ซึ่งเรียกว่า สาธิต. รูปแบบของสัญกรณ์นี้สะดวกมากสำหรับการเพิ่มจำนวนเชิงซ้อนเป็นยกกำลัง: z n = r n อี ในφ, ที่นี่ นไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม แต่สามารถเป็นจำนวนจริงตามอำเภอใจได้ การเขียนแบบนี้มักใช้ในการแก้ปัญหา

ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตที่สูงขึ้น

ลองนึกภาพว่าเรามีสมการกำลังสอง x 2 + x + 1 = 0 แน่นอน ดิสคริมิแนนต์ของสมการนี้เป็นค่าลบ และไม่มีรากที่แท้จริง แต่ปรากฎว่าสมการนี้มีรากเชิงซ้อนสองแบบที่แตกต่างกัน ดังนั้น ทฤษฎีบทหลักของพีชคณิตที่สูงกว่ากล่าวว่าพหุนามของดีกรี n ใดๆ มีรากเชิงซ้อนอย่างน้อยหนึ่งราก จากนี้ไปพหุนามของดีกรี n ใดๆ มีรากเชิงซ้อน n ตัวพอดี โดยคำนึงถึงหลายหลากของพวกมัน ทฤษฎีบทนี้เป็นผลลัพธ์ที่สำคัญมากในวิชาคณิตศาสตร์และมีการใช้กันอย่างแพร่หลาย ผลสืบเนื่องง่ายๆ ของทฤษฎีบทนี้คือมีรากของเอกภาพระดับ n ที่แตกต่างกัน n ราก

งานประเภทหลัก

ในส่วนนี้ จะพิจารณาประเภทหลักของปัญหาจำนวนเชิงซ้อนอย่างง่าย ตามอัตภาพ ปัญหาของจำนวนเชิงซ้อนสามารถแบ่งออกเป็นประเภทต่อไปนี้

• ดำเนินการเลขคณิตอย่างง่ายกับจำนวนเชิงซ้อน
• การหารากของพหุนามในจำนวนเชิงซ้อน
• การเพิ่มจำนวนเชิงซ้อนเป็นยกกำลัง
• การสกัดรากจากจำนวนเชิงซ้อน
• การนำจำนวนเชิงซ้อนมาแก้ปัญหาอื่นๆ

พิจารณาวิธีการทั่วไปในการแก้ปัญหาเหล่านี้

การคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุดด้วยจำนวนเชิงซ้อนจะดำเนินการตามกฎที่อธิบายไว้ในส่วนแรก แต่ถ้าแสดงจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติหรือเลขชี้กำลัง ในกรณีนี้ จะสามารถแปลงเป็นรูปแบบพีชคณิตและดำเนินการตามกฎที่ทราบได้

การหารากของพหุนามมักจะมาจากการหารากของสมการกำลังสอง สมมุติว่าเรามีสมการกำลังสอง ถ้า discriminant ไม่เป็นลบ รากของมันจะเป็นจริงและหาได้ตามสูตรที่ทราบกันดี หากการเลือกปฏิบัติเป็นลบแล้ว D = -1∙a 2, ที่ไหน เอเป็นจำนวนหนึ่งแล้วเราสามารถแสดงการเลือกปฏิบัติในรูปแบบ D = (เอีย) 2, เพราะเหตุนี้ √D = ฉัน|a|จากนั้นคุณสามารถใช้สูตรที่ทราบอยู่แล้วสำหรับรากของสมการกำลังสอง

ตัวอย่าง. กลับไปที่สมการกำลังสองที่กล่าวถึงข้างต้น x 2 + x + 1 = 0
เลือกปฏิบัติ - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
ตอนนี้เราสามารถหารากได้ง่าย:

การเพิ่มจำนวนเชิงซ้อนเป็นยกกำลังสามารถทำได้หลายวิธี หากคุณต้องการเพิ่มจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิตให้เป็นกำลังน้อย (2 หรือ 3) คุณสามารถทำได้โดยการคูณโดยตรง แต่ถ้าดีกรีสูงกว่า (ในปัญหามักจะมากกว่านั้นมาก) คุณต้อง เขียนตัวเลขนี้ในรูปแบบตรีโกณมิติหรือเลขชี้กำลังและใช้วิธีที่ทราบอยู่แล้ว

ตัวอย่าง. พิจารณา z = 1 + i แล้วยกกำลังสิบ
เราเขียน z ในรูปแบบเลขชี้กำลัง: z = √2 e iπ/4 .
แล้ว z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
กลับไปที่รูปแบบพีชคณิต: z 10 = -32i

การแยกรากออกจากจำนวนเชิงซ้อนเป็นการดำเนินการผกผันของการยกกำลัง ดังนั้นจึงทำในลักษณะเดียวกัน ในการแยกราก มักใช้รูปแบบเลขชี้กำลังในการเขียนตัวเลข

ตัวอย่าง. หารากของระดับ 3 ของความสามัคคีทั้งหมด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะหารากของสมการ z 3 = 1 ทั้งหมด เราจะหารากในรูปแบบเลขชี้กำลัง
แทนที่ในสมการ: r 3 e 3iφ = 1 หรือ r 3 e 3iφ = e 0 .
ดังนั้น: r = 1, 3φ = 0 + 2πk ดังนั้น φ = 2πk/3
ได้รากต่างๆ ที่ φ = 0, 2π/3, 4π/3
ดังนั้น 1 , e i2π/3 , e i4π/3 เป็นราก
หรือในรูปแบบพีชคณิต:

ปัญหาประเภทสุดท้ายรวมถึงปัญหาที่หลากหลาย และไม่มีวิธีการทั่วไปในการแก้ปัญหา นี่คือตัวอย่างง่ายๆ ของงานดังกล่าว:

หาจำนวนเงิน บาป(x) + บาป(2x) + บาป(2x) + … + บาป(nx).

แม้ว่าการกำหนดของปัญหานี้ไม่ได้หมายถึงจำนวนเชิงซ้อน แต่ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขาก็สามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดาย ในการแก้ปัญหาจะใช้การแทนค่าต่อไปนี้:


หากตอนนี้เราแทนที่การแทนค่านี้เป็นผลรวม ปัญหาก็จะลดลงเหลือเป็นผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตตามปกติ

บทสรุป

ตัวเลขเชิงซ้อนถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในวิชาคณิตศาสตร์ บทความทบทวนนี้กล่าวถึงการดำเนินการพื้นฐานเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน อธิบายปัญหามาตรฐานหลายประเภท และอธิบายวิธีการทั่วไปสั้นๆ ในการแก้ปัญหา เพื่อศึกษาความเป็นไปได้ของจำนวนเชิงซ้อนโดยละเอียดยิ่งขึ้น ใช้วรรณกรรมเฉพาะทาง

วรรณกรรม

จำข้อมูลที่จำเป็นเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อนเป็นการแสดงออกของรูปแบบ เอ + สอง, ที่ไหน เอ, ขเป็นจำนวนจริง และ ผม- ที่เรียกว่า หน่วยจินตภาพ, สัญลักษณ์ที่มีกำลังสองคือ -1 เช่น ผม 2 = -1 ตัวเลข เอเรียกว่า ส่วนจริงและหมายเลข ข - ส่วนจินตภาพจำนวนเชิงซ้อน z = เอ + สอง. ถ้า ข= 0 จากนั้นแทนที่จะเป็น เอ + 0ผมเขียนง่ายๆ เอ. จะเห็นได้ว่าจำนวนจริงเป็นกรณีพิเศษของจำนวนเชิงซ้อน

การดำเนินการเลขคณิตของจำนวนเชิงซ้อนจะเหมือนกับจำนวนจริง: สามารถบวก ลบ คูณ และหารกันเองได้ การบวกและการลบดำเนินการตามกฎ ( เอ + สอง) ± ( ค + ดิ) = (เอ ± ค) + (ข ± d)ผม, และการคูณ - ตามกฎ ( เอ + สอง) · ( ค + ดิ) = (ac – bd) + (โฆษณา + bc)ผม(ที่นี่ใช้แค่ว่า ผม 2 = -1). จำนวน = เอ – สองเรียกว่า คอนจูเกตที่ซับซ้อนถึง z = เอ + สอง. ความเท่าเทียมกัน z · = เอ 2 + ข 2 ช่วยให้คุณเข้าใจวิธีการหารจำนวนเชิงซ้อนตัวหนึ่งด้วยจำนวนเชิงซ้อนอื่น (ไม่ใช่ศูนย์)

(ตัวอย่างเช่น, .)

ตัวเลขที่ซับซ้อนมีการแสดงทางเรขาคณิตที่สะดวกและมองเห็นได้: หมายเลข z = เอ + สองสามารถแสดงเป็นเวกเตอร์ที่มีพิกัด ( เอ; ข) บนระนาบคาร์ทีเซียน (หรือซึ่งเกือบจะเหมือนกันคือจุด - จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่มีพิกัดเหล่านี้) ในกรณีนี้ ผลรวมของจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนจะแสดงเป็นผลรวมของเวกเตอร์ที่สอดคล้องกัน (ซึ่งหาได้จากกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน) ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความยาวของเวกเตอร์ที่มีพิกัด ( เอ; ข) เท่ากับ . ค่านี้เรียกว่า โมดูลจำนวนเชิงซ้อน z = เอ + สองและเขียนแทนด้วย | z|. มุมที่เวกเตอร์นี้ทำด้วยทิศทางบวกของแกน x (นับทวนเข็มนาฬิกา) เรียกว่า การโต้แย้งจำนวนเชิงซ้อน zและเขียนแทนด้วย Arg z. อาร์กิวเมนต์ไม่ได้กำหนดไว้อย่างเฉพาะเจาะจง แต่ขึ้นกับการเพิ่มทวีคูณของ 2 . เท่านั้น π เรเดียน (หรือ 360° ถ้าคุณนับเป็นองศา) เป็นที่ชัดเจนว่าการหมุนมุมรอบจุดกำเนิดนั้นจะไม่เปลี่ยนเวกเตอร์ แต่ถ้าเวกเตอร์ของความยาว rเกิดเป็นมุม φ ด้วยทิศทางบวกของแกน x ดังนั้นพิกัดของมันจะเท่ากับ ( r cos φ ; rบาป φ ). ปรากฎว่า สัญกรณ์ตรีโกณมิติจำนวนเชิงซ้อน: z = |z| (cos(อาร์ก z) + ผมบาป(Arg z)). การเขียนตัวเลขที่ซับซ้อนในรูปแบบนี้มักจะสะดวก เนื่องจากช่วยให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก การคูณจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติดูง่ายมาก: zหนึ่ง · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(อาร์ก z 1+หาเรื่อง z 2) + ผมบาป(Arg z 1+หาเรื่อง z 2)) (เมื่อคูณจำนวนเชิงซ้อนสองตัว โมดูลัสของพวกมันจะถูกคูณและเพิ่มอาร์กิวเมนต์) จากที่นี่ติดตาม สูตร De Moivre: z n = |z|น(เพราะ( น(อาร์ก z)) + ผมบาป( น(อาร์ก z))). ด้วยความช่วยเหลือของสูตรเหล่านี้ จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะเรียนรู้วิธีการแยกรากของระดับใดๆ จากจำนวนเชิงซ้อน รากที่ n ของ zเป็นจำนวนเชิงซ้อน w, อะไร w n = z. เป็นที่ชัดเจนว่า , และที่ไหน kสามารถนำค่าใดก็ได้จากชุด (0, 1, ..., น- หนึ่ง). แปลว่ามีตรงเสมอ นราก นระดับ th จากจำนวนเชิงซ้อน (บนระนาบจะอยู่ที่จุดยอดของค่าปกติ น-กอน).

§ 1 จำนวนเชิงซ้อน: คำจำกัดความ การตีความทางเรขาคณิต การดำเนินการในรูปแบบพีชคณิต ตรีโกณมิติ และเลขชี้กำลัง

นิยามของจำนวนเชิงซ้อน

ความเท่าเทียมกันที่ซับซ้อน

การแสดงทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

โมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน

รูปแบบพีชคณิตและตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

รูปแบบเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน

สูตรออยเลอร์

§ 2 ฟังก์ชันทั้งหมด (พหุนาม) และคุณสมบัติพื้นฐานของพวกมัน แก้สมการพีชคณิตในชุดของจำนวนเชิงซ้อน

นิยามสมการพีชคณิตของดีกรี th

คุณสมบัติพื้นฐานของพหุนาม

ตัวอย่างการแก้สมการพีชคณิตในชุดของจำนวนเชิงซ้อน

คำถามสำหรับการตรวจสอบตนเอง

อภิธานศัพท์

§ 1 จำนวนเชิงซ้อน: คำจำกัดความ การตีความทางเรขาคณิต การดำเนินการในรูปแบบพีชคณิต ตรีโกณมิติ และเลขชี้กำลัง

คำจำกัดความของจำนวนเชิงซ้อน ( กำหนดนิยามของจำนวนเชิงซ้อน)

จำนวนเชิงซ้อน z คือนิพจน์ของรูปแบบต่อไปนี้:

จำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต(1)

ที่ไหน x y Î;

- คอนจูเกตที่ซับซ้อน หมายเลข z ;

- หมายเลขตรงข้าม หมายเลข z ;

- ศูนย์ที่ซับซ้อน ;

- นี่คือเซตของจำนวนเชิงซ้อน

1)z = 1 + ผมÞ เร z= 1 อิม z = 1, = 1 – ผม, = –1 – ผม ;

2)z = –1 + ผมÞ เร z= –1, อิม z = , = –1 – ผม, = –1 –ผม ;

3)z = 5 + 0ผม= 5 Þ อีกครั้ง z= 5 อิม z = 0, = 5 – 0ผม = 5, = –5 – 0ผม = –5

Þถ้าฉัน z= 0 แล้วก็ z = x- เบอร์จริง;

4)z = 0 + 3ผม = 3ผมÞ เร z= 0, อิ่ม z = 3, = 0 – 3ผม = –3ผม , = –0 – 3ผม = – 3ผม

Þ ถ้าเร z= 0 แล้วก็ z = ฉัน - จำนวนจินตภาพล้วนๆ.

ความเท่าเทียมกันที่ซับซ้อน (กำหนดความหมายของความเท่าเทียมกันที่ซับซ้อน)

1) ;

2) .

ความเท่าเทียมกันเชิงซ้อนหนึ่งเทียบเท่ากับระบบของความเท่าเทียมกันที่แท้จริงสองประการ ความเท่าเทียมกันที่แท้จริงเหล่านี้ได้มาจากความเท่าเทียมกันที่ซับซ้อนโดยแยกส่วนจริงและส่วนจินตภาพออก

1) ;

2) .

การแสดงทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน ( การแสดงทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อนคืออะไร?)

จำนวนเชิงซ้อน zแสดงด้วยจุด ( x , y) บนระนาบเชิงซ้อนหรือเวกเตอร์รัศมีของจุดนี้

เข้าสู่ระบบ zในจตุภาคที่สองหมายความว่าระบบพิกัดคาร์ทีเซียนจะถูกใช้เป็นระนาบเชิงซ้อน

โมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน ( โมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนคืออะไร?)

โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนเป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ

.(2)

ในเชิงเรขาคณิต โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนคือความยาวของเวกเตอร์แทนตัวเลข z, หรือรัศมีขั้วของจุด ( x , y).

วาดตัวเลขต่อไปนี้บนระนาบเชิงซ้อนแล้วเขียนในรูปตรีโกณมิติ

1)z = 1 + ผม Þ

,

Þ

Þ ;

,

Þ

Þ ;

,

5),

นั่นคือสำหรับ z = 0 มันจะเป็น

, เจไม่ได้กำหนด

การดำเนินการเลขคณิตกับจำนวนเชิงซ้อน (ให้คำจำกัดความและแสดงรายการคุณสมบัติหลักของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับจำนวนเชิงซ้อน)

การบวก (การลบ) ของจำนวนเชิงซ้อน

z 1 ± z 2 = (x 1 + ฉัน 1)±( x 2 + ฉัน 2) = (x 1 ± x 2) + ผม (y 1 ± y 2),(5)

นั่นคือ เมื่อบวก (ลบ) จำนวนเชิงซ้อน ส่วนที่จริงและส่วนจินตภาพจะถูกบวก (ลบ)

1)(1 + ผม) + (2 – 3ผม) = 1 + ผม + 2 –3ผม = 3 – 2ผม ;

2)(1 + 2ผม) – (2 – 5ผม) = 1 + 2ผม – 2 + 5ผม = –1 + 7ผม .

คุณสมบัติพื้นฐานของการบวก

1)z 1 + z 2 = z 2 + z 1;

2)z 1 + z 2 + z 3 = (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3);

3)z 1 – z 2 = z 1 + (– z 2);

4)z + (–z) = 0;

การคูณจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต

z 1∙z 2 = (x 1 + ฉัน 1)∙(x 2 + ฉัน 2) = x 1x 2 + x 1ฉัน 2 + ฉัน 1x 2 + ผม 2y 1y 2 = (6)

= (x 1x 2 – y 1y 2) + ผม (x 1y 2 + y 1x 2),

กล่าวคือ การคูณจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิตจะดำเนินการตามกฎของการคูณพีชคณิตของทวินามด้วยทวินาม ตามด้วยการแทนที่และการลดลงของจำนวนที่คล้ายกันในเงื่อนไขจริงและจินตภาพ

1)(1 + ผม)∙(2 – 3ผม) = 2 – 3ผม + 2ผม – 3ผม 2 = 2 – 3ผม + 2ผม + 3 = 5 – ผม ;

2)(1 + 4ผม)∙(1 – 4ผม) = 1 – 42 ผม 2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + ผม)2 = 22 + 4ผม + ผม 2 = 3 + 4ผม .

การคูณรูปแบบตรีโกณมิติจำนวนเชิงซ้อน

z 1∙z 2 = r 1(cos เจ 1 + ผมบาป เจ 1)× r 2(คอส เจ 2 + ผมบาป เจ 2) =

= r 1r 2(คอส เจ 1cos เจ 2 + ผม cos เจ 1sin เจ 2 + ผมบาป เจ 1cos เจ 2 + ผม 2 บาป เจ 1sin เจ 2) =

= r 1r 2((cos เจ 1cos เจ 2-sin เจ 1sin เจ 2) + ผม(คอส เจ 1sin เจ 2+ บาป เจ 1cos เจ 2))

ผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ กล่าวคือ เมื่อจำนวนเชิงซ้อนถูกคูณในรูปแบบตรีโกณมิติ โมดูลิของพวกมันจะถูกคูณและเพิ่มอาร์กิวเมนต์

คุณสมบัติพื้นฐานของการคูณ

1)z 1× z 2 = z 2× z 1 - การสับเปลี่ยน;

2)z 1× z 2× z 3 = (z 1× z 2)× z 3 = z 1×( z 2× z 3) - การเชื่อมโยง;

3)z 1×( z 2 + z 3) = z 1× z 2 + z 1× z 3 - การกระจายในส่วนที่เกี่ยวกับการเพิ่ม;

4)z×0 = 0; z×1 = z ;

การหารจำนวนเชิงซ้อน

การหารเป็นผลผกผันของการคูณ ดังนั้น

ถ้า z × z 2 = z 1 และ z 2 ¹ 0 แล้ว .

เมื่อทำการหารในรูปแบบพีชคณิต ตัวเศษและตัวส่วนของเศษจะถูกคูณด้วยคอนจูเกตที่ซับซ้อนของตัวส่วน:

การหารจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต(7)

เมื่อทำการหารในรูปแบบตรีโกณมิติ โมดูลจะถูกแบ่งและลบอาร์กิวเมนต์:

การหารจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ (8)

2)
.

การเพิ่มจำนวนเชิงซ้อนให้เป็นกำลังธรรมชาติ

การเพิ่มพลังธรรมชาติจะสะดวกกว่าในการดำเนินการในรูปแบบตรีโกณมิติ:

สูตร Moivre,(9)

นั่นคือ เมื่อจำนวนเชิงซ้อนถูกยกขึ้นเป็นกำลังธรรมชาติ โมดูลัสของมันถูกยกขึ้นเป็นกำลังนั้น และอาร์กิวเมนต์จะถูกคูณด้วยเลขชี้กำลัง

คำนวณ (1 + ผม)10.

หมายเหตุ

1. เมื่อทำการคูณและเพิ่มกำลังตามธรรมชาติในรูปแบบตรีโกณมิติ ค่ามุมสามารถรับได้นอกรอบเดียว แต่สามารถลดลงเป็นมุมได้เสมอหรือโดยการลดจำนวนเต็มของรอบการหมุนที่สมบูรณ์ตามคุณสมบัติคาบของฟังก์ชันและ

2. ความหมาย เรียกว่าค่าหลักของอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน

ในกรณีนี้ ค่าของมุมที่เป็นไปได้ทั้งหมดหมายถึง ;

เป็นที่ชัดเจนว่า , .

การแยกรากของดีกรีธรรมชาติจากจำนวนเชิงซ้อน

สูตรออยเลอร์(16)

ซึ่งฟังก์ชันตรีโกณมิติและตัวแปรจริงแสดงในรูปของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (เลขชี้กำลัง) ด้วยเลขชี้กำลังจินตภาพล้วนๆ

§ 2 ฟังก์ชันทั้งหมด (พหุนาม) และคุณสมบัติพื้นฐานของพวกมัน แก้สมการพีชคณิตในชุดของจำนวนเชิงซ้อน

พหุนามสองตัวที่มีดีกรีเท่ากัน นจะเท่ากันทุกประการก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์สัมประสิทธิ์ตรงกับกำลังของตัวแปรเท่ากัน x, นั่นคือ

การพิสูจน์

w Identity (3) ถือสำหรับ "xн (หรือ "xн)

Þ มันถูกต้องสำหรับ ; แทนที่ เราจะได้ หนึ่ง = bn .

ให้เราร่วมกันทำลายเงื่อนไขใน (3) หนึ่งและ bnและหารทั้งสองส่วนด้วย x :

ตัวตนนี้เป็นจริงสำหรับ " xรวมทั้งเมื่อ x = 0

Þ สมมุติ x= 0 เราได้ หนึ่ง – 1 = bn – 1.

ทำลายล้างซึ่งกันและกันในเงื่อนไข (3") หนึ่ง– 1 และ เอ น– 1 และหารทั้งสองส่วนด้วย xส่งผลให้เราได้รับ

ต่อด้วยการโต้เถียงในทำนองเดียวกัน เราได้รับว่า หนึ่ง – 2 = bn –2, …, เอ 0 = ข 0.

ดังนั้นจึงพิสูจน์ได้ว่าจากความเท่าเทียมกันของพหุนาม 2x ตามความบังเอิญของสัมประสิทธิ์ที่องศาเดียวกัน x .

ประโยคสนทนานั้นชัดเจนถูกต้อง กล่าวคือ ถ้าพหุนามสองพหุนามมีค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากัน พวกมันคือฟังก์ชันเดียวกัน ดังนั้น ค่าของพหุนามจะเหมือนกันสำหรับค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ ซึ่งหมายความว่าความเท่าเทียมกันที่เหมือนกัน คุณสมบัติ 1 ได้รับการพิสูจน์อย่างสมบูรณ์ วี

เมื่อหารพหุนาม PN (x) ถึงความแตกต่าง ( x – X 0) ส่วนที่เหลือเท่ากับ PN (x 0) นั่นคือ

ทฤษฎีบทของเบซูต(4)

ที่ไหน Qn – 1(x) - ส่วนจำนวนเต็มของการหาร เป็นพหุนามของดีกรี ( น – 1).

การพิสูจน์

w ลองเขียนสูตรหารด้วยเศษที่เหลือกัน:

PN (x) = (x – X 0)∙Qn – 1(x) + อา ,

ที่ไหน Qn – 1(x) - พหุนามดีกรี ( น – 1),

อา- ส่วนที่เหลือซึ่งเป็นตัวเลขเนื่องจากอัลกอริทึมที่รู้จักกันดีในการหารพหุนามเป็นทวินาม "ในคอลัมน์"

ความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงสำหรับ " xรวมทั้งเมื่อ x = X 0 Þ

PN (x 0) = (x 0 – x 0)× Qn – 1(x 0) + อา Þ

อา = PN (X 0), h.t.d. วี

ข้อพิสูจน์จากทฤษฎีบทของเบโซต์ เรื่องการหารพหุนามด้วยทวินามที่ไม่มีเศษเหลือ

ถ้าตัวเลข X 0 เป็นศูนย์ของพหุนาม แล้วพหุนามนี้หารด้วยผลต่างลงตัว ( x – X 0) ไม่มีเศษ นั่นคือ

Þ .(5)

1) , เพราะ พี 3(1) º 0

2) เพราะ พี 4(–2) º 0

3) เพราะ พี 2(–1/2) º 0

การหารพหุนามเป็นทวินาม "ในคอลัมน์":

_

_

_

_

_

ทุกพหุนามของดีกรี n ³ 1 มีศูนย์อย่างน้อยหนึ่งศูนย์ จริงหรือเชิงซ้อน

การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้อยู่นอกเหนือขอบเขตของหลักสูตรของเรา ดังนั้นเราจึงยอมรับทฤษฎีบทโดยไม่มีการพิสูจน์

มาทำงานกับทฤษฎีบทนี้และทฤษฎีบทของเบโซต์ด้วยพหุนามกัน PN (x).

หลังจาก น-พับประยุกต์ทฤษฎีบทเหล่านี้ เราได้รับสิ่งนั้น

ที่ไหน เอ 0 คือสัมประสิทธิ์ที่ x นใน PN (x).

ข้อพิสูจน์จากทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต การสลายตัวของพหุนามเป็นปัจจัยเชิงเส้น

พหุนามของดีกรีใดๆ บนเซตของจำนวนเชิงซ้อน แตกตัวเป็น นตัวประกอบเชิงเส้น นั่นคือ

การสลายตัวของพหุนามเป็นตัวประกอบเชิงเส้น (6)

โดยที่ x1, x2, ... xn คือศูนย์ของพหุนาม

ในขณะเดียวกัน ถ้า kตัวเลขจากชุด X 1, X 2, … xnตรงกันและด้วยตัวเลข a จากนั้นในผลิตภัณฑ์ (6) ปัจจัย ( x– ก) k. แล้วเลข x= เรียกว่า k-fold ศูนย์พหุนาม PN ( x) . ถ้า k= 1 จากนั้นศูนย์จะเรียกว่า พหุนามศูนย์ง่าย ๆ PN ( x) .

1)พี 4(x) = (x – 2)(x– 4)3 Þ x 1 = 2 - ศูนย์ง่าย ๆ x 2 = 4 - ศูนย์สามเท่า;

2)พี 4(x) = (x – ผม)4 x = ผม- ศูนย์คูณ 4

คุณสมบัติ 4 (กับจำนวนรากของสมการพีชคณิต)

สมการพีชคณิตใดๆ Pn(x) = 0 ของดีกรี n มี n รากบนเซตของจำนวนเชิงซ้อนพอดีเป๊ะ หากแต่ละรูตถูกนับหลายเท่าของจำนวนทวีคูณของมัน

1)x 2 – 4x+ 5 = 0 - สมการพีชคณิตของดีกรีที่สอง

Þ x 1.2 = 2 ± = 2 ± ผม- สองราก

2)x 3 + 1 = 0 - สมการพีชคณิตของดีกรีที่สาม

Þ x 1,2,3 = - สามราก

3)พี 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 x 1 = 1 เพราะ พี 3(1) = 0.

หารพหุนาม พี 3(x) บน ( x – 1):

สมการเริ่มต้น

พี 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 Û( x – 1)(x 2 + 2x+ 1) = 0 วัตต์( x – 1)(x + 1)2 = 0

Þ x 1 = 1 - รูทอย่างง่าย x 2 \u003d -1 - รูทคู่

1) จับคู่รากคอนจูเกตที่ซับซ้อน

พหุนามใดๆ ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จริงสลายตัวเป็นผลคูณของฟังก์ชันเชิงเส้นและกำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์จริง

การพิสูจน์

w เลท x 0 = เอ + สอง- พหุนามศูนย์ PN (x). ถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนามนี้เป็นจำนวนจริง มันก็เป็นศูนย์ด้วย (ตามคุณสมบัติ 5)

เราคำนวณผลคูณของทวินาม :

สมการพหุนามจำนวนเชิงซ้อน

ได้ ( x – เอ)2 + ข 2 - trinomial สี่เหลี่ยมพร้อมสัมประสิทธิ์จริง

ดังนั้น ทวินามคู่ใดๆ ที่มีรากคอนจูเกตที่ซับซ้อนในสูตร (6) จะนำไปสู่พหุนามกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์จริง วี

1)พี 3(x) = x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x + 1);

2)พี 4(x) = x 4 – x 3 + 4x 2 – 4x = x (x –1)(x 2 + 4).

ตัวอย่างการแก้สมการพีชคณิตในชุดของจำนวนเชิงซ้อน ( ยกตัวอย่างการแก้สมการพีชคณิตในชุดของจำนวนเชิงซ้อน)

1. สมการพีชคณิตของระดับแรก:

, เป็นรูทที่เรียบง่ายเพียงตัวเดียว

2. สมการกำลังสอง:

, - มีสองรากเสมอ (ต่างกันหรือเท่ากัน)

1) .

3. สมการดีกรี 2 ภาค:

, - มีรากต่างกันเสมอ

,

ตอบ: , .

4. แก้สมการลูกบาศก์

สมการของดีกรีที่สามมีสามรูต (จริงหรือเชิงซ้อน) และแต่ละรูตจะต้องถูกนับหลายครั้งเท่าทวีคูณ เนื่องจากสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการนี้เป็นจำนวนจริง รากเชิงซ้อนของสมการ หากมี จะเป็นคอนจูเกตเชิงซ้อนเชิงซ้อนแบบคู่

โดยการเลือก เราจะพบรากแรกของสมการ เนื่องจาก

โดยผลที่ตามมาของทฤษฎีบทของเบซูต เราคำนวณส่วนนี้ "ในคอลัมน์":

_
_
_

แทนพหุนามเป็นผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้นและกำลังสอง เราได้รับ:

.

เราพบรากอื่นเป็นรากของสมการกำลังสอง:

ตอบ: , .

5. เขียนสมการพีชคณิตของดีกรีน้อยที่สุดกับสัมประสิทธิ์จริงถ้าทราบว่าตัวเลข x 1 = 3 และ x 2 = 1 + ผมเป็นรากของมันและ x 1 เป็นรูตคู่และ x 2 - ง่าย

ตัวเลขยังเป็นรากของสมการด้วยเพราะ สัมประสิทธิ์ของสมการต้องเป็นจำนวนจริง

โดยรวมแล้วสมการที่ต้องการมี 4 ราก: x 1, x 1,x 2, . ดังนั้นดีกรีของมันคือ 4 เราเขียนพหุนามของดีกรีที่ 4 ด้วยศูนย์ x

11. ศูนย์ที่ซับซ้อนคืออะไร?

13. กำหนดความหมายของความเท่าเทียมกันที่ซับซ้อน

15. โมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนคืออะไร?

17. อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนคืออะไร?

18. ชื่อหรือความหมายของสูตรคืออะไร?

19. อธิบายความหมายของสัญกรณ์ในสูตรนี้:

27. ให้คำจำกัดความและแสดงรายการคุณสมบัติหลักของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับจำนวนเชิงซ้อน

28. ชื่อหรือความหมายของสูตรคืออะไร?

29. อธิบายความหมายของสัญกรณ์ในสูตรนี้:

31. ชื่อหรือความหมายของสูตรคืออะไร?

32. อธิบายความหมายของสัญกรณ์ในสูตรนี้:

34. ชื่อหรือความหมายของสูตรคืออะไร?

35. อธิบายความหมายของสัญกรณ์ในสูตรนี้:

61. ทำรายการคุณสมบัติหลักของพหุนาม

63. กำหนดคุณสมบัติเกี่ยวกับการหารพหุนามด้วยผลต่าง (x - x0)

65. ชื่อหรือความหมายของสูตรคืออะไร?

66. อธิบายความหมายของสัญกรณ์ในสูตรนี้:

67. ⌂ .

69. กำหนดทฤษฎีบทที่ทฤษฎีบทของพีชคณิตเป็นพื้นฐาน

70. ชื่อหรือความหมายของสูตรคืออะไร?

71. อธิบายความหมายของสัญกรณ์ในสูตรนี้:

75. กำหนดคุณสมบัติเกี่ยวกับจำนวนรากของสมการพีชคณิต

78. กำหนดคุณสมบัติเกี่ยวกับการสลายตัวของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จริงเป็นตัวประกอบเชิงเส้นและกำลังสอง

อภิธานศัพท์

ศูนย์ k-fold ของพหุนามเรียกว่า... (หน้า 18)

พหุนามพีชคณิตเรียกว่า... (หน้า 14)

สมการพีชคณิตของดีกรีที่ n เรียกว่า ... (หน้า 14)

รูปแบบพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่า... (หน้า 5)

อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนคือ... (หน้า 4)

ส่วนที่แท้จริงของจำนวนเชิงซ้อน z คือ... (หน้า 2)

คอนจูเกตที่ซับซ้อนคือ... (หน้า 2)

ศูนย์เชิงซ้อนคือ... (หน้า 2)

จำนวนเชิงซ้อนเรียกว่า... (หน้า 2)

รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่า... (หน้า 10)

รากของสมการเรียกว่า ... (หน้า 14)

สัมประสิทธิ์พหุนามคือ... (หน้า 14)

หน่วยจินตภาพคือ... (หน้า 2)

ส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน z คือ... (หน้า 2)

โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่า... (หน้า 4)

เรียกค่าศูนย์ของฟังก์ชัน... (หน้า 14)

รูปแบบเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่า... (หน้า 11)

พหุนามเรียกว่า... (หน้า 14)

ศูนย์อย่างง่ายของพหุนามเรียกว่า... (หน้า 18)

เลขตรงข้ามคือ... (หน้า 2)

ดีกรีของพหุนามคือ... (หน้า 14)

รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่า... (หน้า 5)

สูตรของ De Moivre คือ... (หน้า 9)

สูตรของออยเลอร์คือ... (หน้า 13)

เรียกฟังก์ชันทั้งหมดว่า... (หน้า 14)

จำนวนจินตภาพล้วนๆ คือ... (หน้า 2)

การใช้เครื่องคิดเลข

ในการประเมินนิพจน์ คุณต้องป้อนสตริงเพื่อประเมิน เมื่อป้อนตัวเลข ตัวคั่นทศนิยมคือจุด สามารถใช้วงเล็บได้ การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อน ได้แก่ การคูณ (*), การหาร (/), การบวก (+), การลบ (-), การยกกำลัง (^) และอื่นๆ ในการบันทึกจำนวนเชิงซ้อน คุณสามารถใช้รูปแบบเลขชี้กำลังและพีชคณิตได้ ป้อนหน่วยจินตภาพ ผมเป็นไปได้โดยไม่ต้องมีเครื่องหมายคูณ ในกรณีอื่นๆ จำเป็นต้องใช้เครื่องหมายคูณ เช่น ระหว่างวงเล็บหรือระหว่างตัวเลขกับค่าคงที่ ค่าคงที่ยังสามารถใช้ได้: ตัวเลข π ถูกป้อนเป็น pi, เลขชี้กำลัง อีนิพจน์ใดๆ ที่เป็นเลขชี้กำลังต้องอยู่ในวงเล็บ

ตัวอย่างสตริงที่จะคำนวณ: (4.5+i12)*(3.2i-2.5)/e^(i1.25*pi)ซึ่งสอดคล้องกับนิพจน์ \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\]

เครื่องคิดเลขสามารถใช้ค่าคงที่ ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ การดำเนินการเพิ่มเติม และนิพจน์ที่ซับซ้อนมากขึ้น คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับคุณลักษณะเหล่านี้ได้ในหน้ากฎทั่วไปสำหรับการใช้เครื่องคิดเลขบนไซต์นี้

เว็บไซต์อยู่ระหว่างการปรับปรุง บางหน้าอาจไม่พร้อมใช้งาน

ข่าว

07.07.2016
เพิ่มเครื่องคิดเลขสำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตไม่เชิงเส้น:

30.06.2016
ไซต์มีการออกแบบที่ตอบสนอง หน้าจะแสดงได้อย่างเพียงพอทั้งบนจอภาพขนาดใหญ่และบนอุปกรณ์เคลื่อนที่

สปอนเซอร์

RGOnline.ru - โซลูชันทันทีสำหรับงานไฟฟ้าออนไลน์