Vis typer brøker. Positive og negative brøker

Vil du føle deg som en sapper? Da er denne leksjonen for deg! For nå skal vi studere brøker - dette er så enkle og ufarlige matematiske objekter som i sin evne til å "blåse sinnet" overgår resten av algebrakurset.

Hovedfaren ved fraksjoner er at de oppstår i det virkelige liv. Slik skiller de seg for eksempel fra polynomer og logaritmer, som du kan studere og lett glemme etter eksamen. Derfor kan materialet som presenteres i denne leksjonen, uten å overdrive, kalles eksplosivt.

En tallbrøk (eller ganske enkelt en brøk) er et par heltall skrevet atskilt med en skråstrek eller en horisontal strek.

Brøker skrevet gjennom en horisontal linje:

De samme brøkene skrevet med en skråstrek:
5/7; 9/(−30); 64/11; (−1)/4; 12/1.

Brøker skrives vanligvis gjennom en horisontal linje - det er lettere å jobbe med dem på denne måten, og de ser bedre ut. Tallet som er skrevet på toppen kalles telleren av brøken, og tallet som er skrevet under kalles nevneren.

Ethvert heltall kan representeres som en brøk med nevneren 1. For eksempel er 12 = 12/1 brøken fra eksemplet ovenfor.

Generelt kan du sette et hvilket som helst helt tall inn i telleren og nevneren for en brøk. Den eneste begrensningen er at nevneren må være forskjellig fra null. Husk den gode gamle regelen: "Du kan ikke dele med null!"

Hvis nevneren fortsatt har en null, kalles brøken en ubestemt brøk. En slik post er meningsløs og kan ikke brukes i beregninger.

Hovedegenskapen til en brøk

Brøkene a /b og c /d sies å være like hvis ad = bc.

Av denne definisjonen følger det at samme brøk kan skrives på forskjellige måter. For eksempel, 1/2 = 2/4, siden 1 4 = 2 2. Selvfølgelig er det mange brøker som ikke er like med hverandre. For eksempel, 1/3 ≠ 5/4, siden 1 4 ≠ 3 5.

Et rimelig spørsmål dukker opp: hvordan finne alle brøker lik en gitt? Vi gir svaret i form av en definisjon:

Hovedegenskapen til en brøk er at telleren og nevneren kan multipliseres med samme tall annet enn null. Dette vil resultere i en brøk lik den gitte.

Dette er veldig viktig eiendom- husk det. Ved å bruke den grunnleggende egenskapen til en brøk kan du forenkle og forkorte mange uttrykk. I fremtiden vil det stadig "dukke opp" i skjemaet ulike egenskaper og teoremer.

Uekte brøker. Velge en hel del

Hvis telleren er mindre enn nevneren, kalles det en egenbrøk. Ellers (dvs. når telleren er større enn eller minst lik nevneren), kalles brøken uegentlig, og en heltallsdel kan skilles i den.

Hele delen er skrevet med et stort tall foran brøken og ser slik ut (merket med rødt):

For å isolere hele delen av en upassende brøkdel, må du følge tre enkle trinn:

1. Finn hvor mange ganger nevneren passer i telleren. Med andre ord, finn det maksimale heltall som, når multiplisert med nevneren, fortsatt vil være mindre enn telleren (høyst lik). Dette tallet vil være heltallsdelen, så vi skriver det foran;
2. Multipliser nevneren med heltallsdelen funnet i forrige trinn, og trekk resultatet fra telleren. Den resulterende "stubben" kalles resten av divisjonen, den vil alltid være positiv (i ekstreme tilfeller null). Vi skriver det i telleren til den nye brøken;
3. Vi omskriver nevneren uten endringer.

Vel, er det vanskelig? Ved første øyekast kan det være vanskelig. Men med litt øvelse vil du kunne gjøre det nesten muntlig. I mellomtiden kan du ta en titt på eksemplene:

Oppgave. Velg hele delen i de angitte brøkene:

I alle eksemplene er hele delen uthevet i rødt, og resten av inndelingen er uthevet med grønt.

Vær oppmerksom på den siste brøken, hvor resten av divisjonen viser seg å være lik null. Det viser seg at telleren er helt delt på nevneren. Dette er ganske logisk, fordi 24: 6 = 4 er et vanskelig faktum fra multiplikasjonstabellen.

Hvis alt er gjort riktig, vil telleren til den nye brøken definitivt være mindre enn nevneren, dvs. brøken blir riktig. Jeg vil også merke meg at det er bedre å markere hele delen helt på slutten av oppgaven, før du skriver ned svaret. Ellers kan beregningene bli betydelig kompliserte.

Går til en upassende brøkdel

Det er også en omvendt operasjon, når vi blir kvitt hele delen. Dette kalles uekte brøkovergang og er mye mer vanlig fordi det er mye lettere å jobbe med uekte brøker.

Overgangen til en upassende brøk utføres også i tre trinn:

1. Multipliser hele delen med nevneren. Resultatet kan bli ganske store tall, men dette burde ikke plage oss;
2. Legg det resulterende tallet til telleren til den opprinnelige brøken. Skriv resultatet i telleren for den uekte brøken;
3. Skriv om nevneren - igjen, uten endringer.

Her er spesifikke eksempler:

Oppgave. Konverter til feil brøkdel:

For klarhetens skyld er heltallsdelen igjen uthevet i rødt, og telleren til den opprinnelige brøken er uthevet i grønt.

Tenk på tilfellet når telleren eller nevneren til brøken inneholder negativt tall. For eksempel:

I utgangspunktet er det ikke noe straffbart i dette. Det kan imidlertid være upraktisk å jobbe med slike fraksjoner. Derfor er det i matematikk vanlig å plassere minuser som brøktegn.

Dette er veldig enkelt å gjøre hvis du husker reglene:

1. "Pluss for minus gir minus." Derfor, hvis telleren inneholder et negativt tall, og nevneren inneholder et positivt tall (eller omvendt), kan du gjerne krysse ut minus og sette den foran hele brøken;
2. "To negative gir en bekreftende". Når det er et minus i både telleren og nevneren, krysser vi dem ganske enkelt ut - ingen ekstra handlinger er nødvendig.

Disse reglene kan selvsagt også anvendes i motsatt retning, dvs. Du kan legge inn et minustegn under brøktegnet (oftest i telleren).

Vi vurderer bevisst ikke "pluss på pluss"-saken - med det tror jeg alt er klart. La oss se hvordan disse reglene fungerer i praksis:

Oppgave. Ta ut negativene til de fire brøkene som er skrevet ovenfor.

Vær oppmerksom på den siste brøken: det er allerede et minustegn foran den. Imidlertid er det "brent" i henhold til regelen "minus for minus gir et pluss."

Ikke flytt minuser i brøker med hele delen uthevet. Disse brøkene konverteres først til uekte brøker – og først da begynner beregningene.

Telleren, og det som deles på er nevneren.

For å skrive en brøk, skriv først telleren, tegn deretter en horisontal linje under tallet, og skriv nevneren under linjen. Den horisontale linjen som skiller telleren og nevneren kalles en brøklinje. Noen ganger er det avbildet som en skrå "/" eller "∕". I dette tilfellet skrives telleren til venstre for linjen, og nevneren til høyre. Så for eksempel vil brøken "to tredjedeler" skrives som 2/3. For klarhetens skyld er telleren vanligvis skrevet øverst på linjen, og nevneren nederst, det vil si i stedet for 2/3 kan du finne: ⅔.

For å beregne produktet av brøker, multipliser først telleren av én brøker til telleren er annerledes. Skriv resultatet i telleren til den nye brøker. Etter dette multipliserer du nevnerne. Skriv inn totalverdien i den nye brøker. For eksempel 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

For å dele en brøkdel med en annen, multipliser først telleren til den første med nevneren til den andre. Gjør det samme med den andre brøken (divisor). Eller, før du utfører alle handlingene, "snu" først divisoren, hvis det er mer praktisk for deg: nevneren skal vises i stedet for telleren. Multipliser deretter nevneren til utbyttet med den nye nevneren til divisoren og gang tellerne. For eksempel, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

Kilder:

• Grunnleggende brøkoppgaver

Brøktall kan uttrykkes i i ulike former eksakt verdi mengder. Du kan gjøre de samme matematiske operasjonene med brøker som du kan med hele tall: subtraksjon, addisjon, multiplikasjon og divisjon. Å lære å bestemme brøker, må vi huske noen av funksjonene deres. De avhenger av typen brøker, tilstedeværelsen av en heltallsdel, en fellesnevner. Noen aritmetiske operasjoner krever at brøkdelen av resultatet reduseres etter utførelse.

Du trenger

• - kalkulator

Instruksjoner

Se nøye på tallene. Hvis det blant brøkene er desimaler og uregelmessige, er det noen ganger mer praktisk å først utføre operasjoner med desimaler, og deretter konvertere dem til den uregelmessige formen. Kan du oversette brøker i denne formen til å begynne med, skrive verdien etter desimaltegnet i telleren og sette 10 i nevneren. Reduser om nødvendig brøken ved å dele tallene over og under med én divisor. Brøker der hele delen er isolert må konverteres til feil form ved å multiplisere den med nevneren og legge til telleren til resultatet. Gitt verdi blir den nye telleren brøker. For å velge en hel del fra en opprinnelig feil brøker, må du dele telleren på nevneren. Skriv hele resultatet fra brøker. Og resten av divisjonen vil bli den nye telleren, nevneren brøker det endrer seg ikke. For brøker med en heltallsdel er det mulig å utføre handlinger separat, først for heltall og deretter for brøkdeler. For eksempel kan summen av 1 2/3 og 2 ¾ beregnes:
- Konvertering av brøker til feil form:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Summering av separate heltalls- og brøkdeler av termer:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Skriv dem om ved å bruke ":"-skilletegn og fortsett med normal deling.

For å oppnå det endelige resultatet, reduser den resulterende brøken ved å dele telleren og nevneren med ett helt tall, størst mulig i dette tilfellet. I dette tilfellet må det være heltall over og under linjen.

Vær oppmerksom på

Ikke utfør aritmetikk med brøker hvis nevnere er forskjellige. Velg et tall slik at når du multipliserer telleren og nevneren for hver brøk med det, blir resultatet at nevnerne til begge brøkene er like.

Nyttige råd

Ved opptak brøktall Utbyttet skrives over streken. Denne mengden er utpekt som telleren av brøken. Divisor, eller nevner, av brøken er skrevet under linjen. For eksempel vil halvannet kilo ris skrives som en brøk som følger: 1 ½ kg ris. Hvis nevneren til en brøk er 10, kalles brøken en desimal. I dette tilfellet er telleren (utbytte) skrevet til høyre for hele delen, atskilt med komma: 1,5 kg ris. For å lette beregningen kan en slik brøk alltid skrives i feil form: 1 2/10 kg poteter. For å forenkle kan du redusere teller- og nevnerverdiene ved å dele dem med ett heltall. I i dette eksemplet kan deles på 2. Resultatet blir 1 1/5 kg poteter. Pass på at tallene du skal regne med er presentert i samme form.

Vanlig brøk

Kvarter

1. Ordentlighet. en Og b det er en regel som lar en identifisere en og bare én av tre relasjoner mellom dem: "< », « >" eller " = ". Denne regelen kalles bestillingsregel og er formulert som følger: to ikke-negative tall og er relatert av samme relasjon som to heltall og ; to ikke-positive tall en Og b er relatert av samme forhold som to ikke-negative tall og ; hvis plutselig en ikke-negativ, men b– negativt altså en > b.

   

   src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

2. Legge til brøker Tilleggsoperasjon. en Og b For alle rasjonelle tall det er en såkalt summeringsregel c summeringsregel. Dessuten selve tallet ringte beløp en Og b tall og er betegnet med , og prosessen med å finne et slikt tall kalles summering . Summeringsregelen har: .
3. neste visning Tilleggsoperasjon. en Og b For alle rasjonelle tall Multiplikasjonsoperasjon. multiplikasjonsregel summeringsregel c summeringsregel. Dessuten selve tallet , som tildeler dem et rasjonelt tall beløp en Og b arbeid og er betegnet med , og prosessen med å finne et slikt tall kalles også multiplikasjon .
4. . Multiplikasjonsregelen ser slik ut: Transitivitet av ordrerelasjonen. en , b Og summeringsregel For enhver trippel av rasjonelle tall en Hvis b Og b Hvis summeringsregel mindre en Hvis summeringsregel, Det en, og hvis b Og b, og hvis summeringsregel mindre en, og hvis summeringsregel lik
5. . 6435">Kommutativitet av addisjon. Endring av plassering av rasjonelle termer endrer ikke summen.
6. Assosiativitet av tillegg. Det er et rasjonelt tall 0 som bevarer hvert annet rasjonelt tall når det legges til.
7. Tilstedeværelsen av motsatte tall. Ethvert rasjonelt tall har et motsatt rasjonelt tall, som når det legges til gir 0.
8. Kommutativitet av multiplikasjon.Å endre stedene for rasjonelle faktorer endrer ikke produktet.
9. Assosiativitet av multiplikasjon. Rekkefølgen som tre rasjonelle tall multipliseres i, påvirker ikke resultatet.
10. Tilgjengelighet av enhet. Det er et rasjonelt tall 1 som bevarer hvert annet rasjonelt tall når det multipliseres.
11. Tilstedeværelse av gjensidige tall. Ethvert rasjonelt tall har et inverst rasjonelt tall, som når multiplisert med gir 1.
12. Fordeling av multiplikasjon i forhold til addisjon. Multiplikasjonsoperasjonen koordineres med addisjonsoperasjonen gjennom distribusjonsloven:
13. Kobling av ordrerelasjonen med driften av tillegg. Til venstre og høyre del rasjonell ulikhet du kan legge til det samme rasjonelle tallet.
14. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0"> Arkimedes aksiom. en Uansett rasjonelt tall en, kan du ta så mange enheter at summen deres overstiger

.

src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0"> Ytterligere eiendommer Alle andre egenskaper som er iboende i rasjonelle tall skilles ikke ut som grunnleggende, fordi de generelt sett ikke lenger er basert direkte på egenskapene til heltall, men kan bevises basert på de gitte grunnleggende egenskapene eller direkte ved definisjonen av et matematisk objekt . Slik

tilleggsegenskaper

så mange. Det er fornuftig å liste opp bare noen få av dem her.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Telbarhet av et sett

Nummerering av rasjonelle tall For å estimere antall rasjonelle tall, må du finne kardinaliteten til settet deres. Det er lett å bevise at settet med rasjonelle tall kan telles. For å gjøre dette er det nok å gi en algoritme som teller rasjonelle tall, dvs. etablerer en bijeksjon mellom settene med rasjonelle og naturlige tall. Den enkleste av disse algoritmene ser slik ut. Et endeløst bord er laget vanlige brøker, på hver jeg-te linje i hver vanlige brøker j jeg den kolonnen som fraksjonen er plassert av. For nøyaktighetens skyld antas det at radene og kolonnene i denne tabellen er nummerert fra én. Tabellceller er merket med , hvor

Den resulterende tabellen krysses ved hjelp av en "slange" i henhold til følgende formelle algoritme.

Disse reglene søkes fra topp til bunn og neste posisjon velges basert på den første kampen.

I prosessen med en slik traversering blir hvert nytt rasjonelt tall knyttet til et annet naturlig tall. Det vil si at brøken 1/1 tildeles tallet 1, brøken 2/1 til tallet 2 osv. Det skal bemerkes at kun irreduserbare brøker er nummerert. Et formelt tegn på irreduserbarhet er at den største felles divisor for telleren og nevneren til en brøk er lik én.

Ved å følge denne algoritmen kan vi telle opp alle positive rasjonelle tall. Dette betyr at settet med positive rasjonelle tall kan telles. Det er lett å etablere en bijeksjon mellom settene med positive og negative rasjonelle tall ved ganske enkelt å tilordne hvert rasjonelt tall dets motsatte. At. settet med negative rasjonelle tall kan også telles. Foreningen deres kan også telles etter eiendommen til tellbare sett. Settet med rasjonelle tall kan også telles som foreningen av en tellbar mengde med en endelig.

Utsagnet om tellebarheten til settet med rasjonelle tall kan forårsake en del forvirring, siden det ved første øyekast ser ut til at det er mye mer omfattende enn settet med naturlige tall. Faktisk er det ikke slik, og det er nok naturlige tall til å telle opp alle rasjonelle.

Mangel på rasjonelle tall

Hypotenusen til en slik trekant kan ikke uttrykkes med noe rasjonelt tall

Rasjonale tall på formen 1 / n for øvrig n vilkårlig små mengder kan måles. Dette faktum skaper det misvisende inntrykket at rasjonelle tall kan brukes til å måle alle geometriske avstander. Det er lett å vise at dette ikke stemmer.

Fra Pythagoras teorem vet vi at hypotenusen til en rettvinklet trekant er uttrykt som kvadratroten av summen av kvadratene av dens ben. At. lengden på hypotenusen til en likebenet rettvinklet trekant med en enhet er ben lik, dvs. et tall hvis kvadrat er 2.

Hvis vi antar at et tall kan representeres med et eller annet rasjonelt tall, så er det et slikt heltall m og et slikt naturlig tall n, at , og brøken er irreduserbar, dvs. tall m Og n– gjensidig enkelt.

Hvis, da , dvs. m 2 = 2n 2. Derfor tallet m 2 er partall, men produktet av to oddetall er oddetall, som betyr at selve tallet m også til og med. Så det er et naturlig tall k, slik at tallet m kan representeres i skjemaet m = 2k. Tall kvadrat m i denne forstand m 2 = 4k 2, men på den annen side m 2 = 2n 2 betyr 4 k 2 = 2n 2, eller n 2 = 2k 2. Som vist tidligere for nummeret m, betyr dette at tallet n- selv som m. Men så er de ikke relativt prime, siden begge er todelt. Den resulterende motsigelsen beviser at det ikke er et rasjonelt tall.

Vi kommer over brøker i livet mye tidligere enn vi begynner å studere dem på skolen. Hvis vi kutter et helt eple i to, får vi ½ av frukten. La oss kutte det igjen - det blir ¼. Dette er brøker. Og alt virket enkelt. For en voksen. For et barn (og dette emnet begynner å bli studert på slutten av barneskolen), er abstrakte matematiske begreper fortsatt skremmende uforståelige, og læreren må tydelig forklare hva riktig brøk og uregelmessig, ordinær og desimal, hvilke operasjoner som kan utføres med dem og, viktigst av alt, hvorfor alt dette er nødvendig.

Hva er brøker?

Å introdusere et nytt tema på skolen begynner med vanlige brøker. De gjenkjennes lett på den horisontale linjen som skiller de to tallene - over og under. Den øverste kalles telleren, den nederste er nevneren. Det er også et alternativ for små bokstaver for å skrive upassende og riktige vanlige brøker - gjennom en skråstrek, for eksempel: ½, 4/9, 384/183. Dette alternativet brukes når linjehøyden er begrenset og det ikke er mulig å bruke et "to-etasjers" påmeldingsskjema. Hvorfor? Ja, fordi det er mer praktisk. Dette får vi se litt senere.

I tillegg til de vanlige finnes det også desimaler. Det er veldig enkelt å skille dem: hvis det i det ene tilfellet brukes en horisontal eller skråstrek, brukes et komma i det andre for å skille tallsekvenser. La oss se på et eksempel: 2.9; 163,34; 1.953. Vi brukte med vilje et semikolon som skilletegn for å avgrense tallene. Den første av dem vil lese slik: "to komma ni."

Nye konsepter

La oss gå tilbake til vanlige brøker. De kommer i to typer.

Definisjonen av en egenbrøk er som følger: det er en brøk hvis teller er mindre enn nevneren. Hvorfor er dette viktig? Vi får se nå!

Du har flere epler, halvert. Totalt - 5 deler. Hvordan vil du si: har du "to og et halvt" eller "fem og et halvt" epler? Selvfølgelig høres det første alternativet mer naturlig ut, og vi vil bruke det når vi snakker med venner. Men hvis vi trenger å beregne hvor mange frukter hver person vil få, hvis det er fem personer i selskapet, vil vi skrive ned tallet 5/2 og dele det på 5 - fra et matematisk synspunkt vil dette være mer tydelig .

Så, for å navngi riktige og uekte brøker, er regelen denne: hvis en hel del kan skilles i en brøk (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), så er den uregelmessig. Hvis dette ikke kan gjøres, som for ½, 13/16, 9/10, vil det være riktig.

Hovedegenskapen til en brøk

Hvis telleren og nevneren til en brøk multipliseres eller divideres med samme tall samtidig, endres ikke verdien. Tenk deg: de kuttet kaken i 4 like deler og ga deg en. De kuttet den samme kaken i åtte stykker og ga deg to. Betyr det virkelig noe? Tross alt er ¼ og 2/8 det samme!

Reduksjon

Forfattere av problemer og eksempler i lærebøker i matematikk søker ofte å forvirre elevene ved å tilby brøker som er tungvinte å skrive, men som faktisk kan forkortes. Her er et eksempel på en egen brøk: 167/334, som, det ser ut til, ser veldig "skummelt ut". Men vi kan faktisk skrive det som ½. Tallet 334 er delelig med 167 uten en rest - etter å ha utført denne operasjonen får vi 2.

Blandede tall

En uekte brøk kan representeres som et blandet tall. Dette er når hele delen bringes frem og skrives på nivå med den horisontale linjen. Faktisk har uttrykket form av en sum: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 og så videre.

For å ta ut hele delen må du dele telleren på nevneren. Skriv resten av inndelingen på toppen, over linjen, og hele delen - før uttrykket. Dermed får vi to strukturelle deler: hele enheter + egenbrøk.

Du kan også utføre den inverse operasjonen - for å gjøre dette må du multiplisere heltallsdelen med nevneren og legge til den resulterende verdien til telleren. Ikke noe komplisert.

Multiplikasjon og divisjon

Merkelig nok er det lettere å multiplisere brøker enn å legge til. Alt som kreves er å forlenge den horisontale linjen: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Med divisjon er alt også enkelt: du må multiplisere brøkene på kryss og tvers: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

Legge til brøker

Hva gjør du hvis du trenger å legge til eller de har forskjellige tall i nevneren? Det vil ikke fungere å gjøre det samme som med multiplikasjon - her bør du forstå definisjonen av en egenbrøk og dens essens. Det er nødvendig å bringe begrepene til en fellesnevner, det vil si at den nedre delen av begge brøkene må ha samme tall.

For å gjøre dette bør du bruke den grunnleggende egenskapen til en brøk: multipliser begge deler med samme tall. For eksempel, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Hvordan velge hvilken nevner vilkårene skal reduseres til? Dette må være minimumstallet som er et multiplum av begge tallene i nevnerne til brøkene: for 1/3 og 1/9 vil det være 9; for ½ og 1/7 - 14, fordi det ikke er noen mindre verdi delelig med 2 og 7 uten en rest.

Bruk

Hva brukes uekte brøker til? Tross alt er det mye mer praktisk å umiddelbart velge hele delen, få et blandet nummer - og være ferdig med det! Det viser seg at hvis du trenger å multiplisere eller dele to brøker, er det mer lønnsomt å bruke uregelmessige.

La oss ta følgende eksempel: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Det ser ut til at det ikke er noe å kutte i det hele tatt. Men hva om vi skriver addisjonsresultatet i den første parentesen som en uekte brøk? Se: (37/17) / (37/68)

Nå faller alt på plass! La oss skrive eksempelet på en slik måte at alt blir åpenbart: (37*68) / (17*37).

La oss annullere 37 i telleren og nevneren og til slutt dele toppen og bunnen med 17. Husker du grunnregelen for riktige og uekte brøker? Vi kan multiplisere og dele dem med et hvilket som helst tall så lenge vi gjør det for telleren og nevneren samtidig.

Så vi får svaret: 4. Eksemplet så komplisert ut, men svaret inneholder bare ett tall. Dette skjer ofte i matematikk. Det viktigste er ikke å være redd og følge enkle regler.

Vanlige feil

Ved implementering kan en student lett gjøre en av de vanlige feilene. Vanligvis oppstår de på grunn av uoppmerksomhet, og noen ganger på grunn av det faktum at materialet som er studert ennå ikke er riktig lagret i hodet.

Ofte gir summen av tall i telleren at du ønsker å redusere dens individuelle komponenter. La oss si i eksemplet: (13 + 2) / 13, skrevet uten parentes (med en horisontal linje), mange elever, på grunn av uerfarenhet, krysser ut 13 over og under. Men dette bør ikke gjøres under noen omstendigheter, for dette er en grov feil! Hvis det i stedet for addisjon var et multiplikasjonstegn, ville vi fått tallet 2 i svaret. Men når du utfører addisjon, er ingen operasjoner med ett av leddene tillatt, bare med hele summen.

Gutter gjør også ofte feil når de deler brøker. La oss ta to egentlige irreduserbare brøker og dele med hverandre: (5/6) / (25/33). Eleven kan blande det sammen og skrive det resulterende uttrykket som (5*25) / (6*33). Men dette ville skje med multiplikasjon, men i vårt tilfelle vil alt være noe annerledes: (5*33) / (6*25). Vi reduserer det som er mulig, og svaret blir 11/10. Vi skriver den resulterende uekte brøken som en desimal - 1,1.

Parenteser

Husk at i ethvert matematisk uttrykk bestemmes operasjonsrekkefølgen av forrangen til operasjonstegnene og tilstedeværelsen av parenteser. Alt annet likt telles handlingsrekkefølgen fra venstre til høyre. Dette gjelder også for brøker - uttrykket i telleren eller nevneren beregnes strengt i henhold til denne regelen.

Tross alt er dette resultatet av å dele ett tall med et annet. Hvis de ikke er jevnt fordelt, blir det en brøkdel - det er alt.

Hvordan skrive en brøk på en datamaskin

Siden standardverktøy ikke alltid tillater å lage en brøkdel bestående av to "lag", tyr studentene noen ganger til forskjellige triks. For eksempel kopierer de tellerne og nevnerne inn i Paints grafiske editor og limer dem sammen og tegner mellom dem horisontal linje. Selvfølgelig er det et enklere alternativ, som forresten gir mye av tilleggsfunksjoner, som vil være nyttig for deg i fremtiden.

Åpne Microsoft Word. Et av panelene øverst på skjermen heter "Sett inn" - klikk på det. Til høyre, på siden der lukk- og minimervindusikonene er plassert, er det en "Formel"-knapp. Dette er akkurat det vi trenger!

Hvis du bruker denne funksjonen, vil et rektangulært område vises på skjermen der du kan bruke alle matematiske symboler som ikke er på tastaturet, samt skrive brøker i klassisk form. Det vil si å dele telleren og nevneren med en horisontal linje. Du kan til og med bli overrasket over at en slik riktig brøk er så lett å skrive.

Lær matematikk

Går du i 5-6 klasse, vil det snart kreves kunnskap om matematikk (inkludert evnen til å arbeide med brøker!) i mange skolefag. I nesten alle problemer i fysikk, når du måler massen av stoffer i kjemi, i geometri og trigonometri, kan du ikke klare deg uten brøker. Snart vil du lære å beregne alt i tankene dine, uten engang å skrive ned uttrykk på papir, men mer og mer komplekse eksempler. Så lær hva en riktig brøk er og hvordan du kan jobbe med den, følg med på pensum, gjør leksene dine i tide, og du vil lykkes.

Brøker regnes fortsatt som et av de vanskeligste områdene i matematikk. Historien til brøker går tilbake mer enn tusen år. Evnen til å dele en helhet i deler oppsto på territoriet til det gamle Egypt og Babylon. Gjennom årene har operasjoner utført med brøker blitt mer komplekse, og formen på registreringen av dem har endret seg. Hver hadde sine egne egenskaper i sitt "forhold" til denne grenen av matematikk.

Hva er en brøk?

Når behovet oppsto for å dele en helhet i deler uten ekstra innsats, dukket det opp brøker. Brøkenes historie er uløselig knyttet til løsningen av utilitaristiske problemer. Begrepet "brøk" i seg selv har arabiske røtter og kommer fra et ord som betyr "å bryte, dele." Lite har endret seg i denne forstand siden antikken. Den moderne definisjonen er som følger: en brøk er en del eller sum av deler av en enhet. Følgelig representerer eksempler med brøker sekvensiell utførelse av matematiske operasjoner med brøker av tall.

I dag er det to måter å registrere dem på. oppsto i forskjellige tider: de første er eldre.

Kom fra uminnelige tider

For første gang begynte de å operere med fraksjoner i Egypt og Babylon. Tilnærmingen til matematikerne i de to landene hadde betydelige forskjeller. Begynnelsen ble imidlertid laget på samme måte i begge tilfeller. Den første brøken var halvparten eller 1/2. Så oppsto en fjerdedel, en tredje og så videre. I følge arkeologiske utgravninger går historien om opprinnelsen til fraksjoner tilbake rundt 5 tusen år. For første gang finnes brøkdeler av et tall i egyptiske papyrus og på babylonske leirtavler.

Det gamle Egypt

Typer vanlige brøker i dag inkluderer de såkalte egyptiske. De representerer summen av flere ledd på formen 1/n. Telleren er alltid én, og nevneren er et naturlig tall. Det er vanskelig å gjette at slike fraksjoner dukket opp i det gamle Egypt. Ved beregningen forsøkte vi å skrive ned alle aksjer i form av slike beløp (for eksempel 1/2 + 1/4 + 1/8). Bare brøkene 2/3 og 3/4 hadde separate betegnelser resten ble delt inn i ledd. Det var spesielle tabeller der brøker av et tall ble presentert som en sum.

Den eldste kjente referansen til et slikt system finnes i Rhind Mathematical Papyrus, som dateres fra begynnelsen av det andre årtusen f.Kr. Det inkluderer et brøkark og matematiske oppgaver med løsninger og svar presentert som brøksummer. Egypterne visste hvordan de skulle addere, dividere og multiplisere brøkdeler av et tall. Brøker i Nildalen ble skrevet ved hjelp av hieroglyfer.

Representasjonen av en brøkdel av et tall som en sum av ledd av formen 1/n, karakteristisk for det gamle Egypt, ble brukt av matematikere ikke bare i dette landet. Frem til middelalderen ble egyptiske fraksjoner brukt i Hellas og andre land.

Utvikling av matematikk i Babylon

Matematikk så annerledes ut i det babylonske riket. Historien om fremveksten av brøker her er direkte relatert til funksjonene i tallsystemet som er arvet gammel stat arvet fra forgjengeren, den sumerisk-akkadiske sivilisasjonen. Beregningsteknologi i Babylon var mer praktisk og mer avansert enn i Egypt. Matematikk i dette landet løste et mye bredere spekter av problemer.

Babylonernes prestasjoner i dag kan bedømmes etter de overlevende leirtavlene fylt med kileskrift. Takket være egenskapene til materialet kom de inn til oss store mengder. I følge noen ble et velkjent teorem oppdaget i Babylon før Pythagoras, som utvilsomt vitner om utviklingen av vitenskapen i denne eldgamle tilstanden.

Brøker: Historien om brøker i Babylon

Tallsystemet i Babylon var sexagesimalt. Hvert nye siffer skilte seg fra det forrige med 60. Dette systemet ble bevart i moderne verden for å angi tid og vinkler. Fraksjoner var også sexagesimale. Spesielle ikoner ble brukt til opptak. Som i Egypt inneholdt eksempler med brøk separate symboler for 1/2, 1/3 og 2/3.

Det babylonske systemet forsvant ikke sammen med staten. Brøker skrevet i det 60-sifrede systemet ble brukt av antikke og arabiske astronomer og matematikere.

Antikkens Hellas

Historien til vanlige brøker har vært lite beriket antikkens Hellas. Innbyggerne i Hellas mente at matematikk bare skulle operere med heltall. Derfor ble uttrykk med brøker praktisk talt aldri funnet på sidene til gamle greske avhandlinger. Imidlertid ga pytagoreerne et visst bidrag til denne grenen av matematikken. De forsto brøker som forholdstall eller proporsjoner, og enheten ble også ansett som udelelig. Pythagoras og hans disipler bygde generell teori brøker, lært å utføre alle fire regneoperasjonene, samt sammenligne brøker ved å redusere dem til en fellesnevner.

Det hellige romerske rike

Det romerske brøksystemet ble assosiert med et vektmål kalt "ass". Den ble delt inn i 12 aksjer. 1/12 av et ess ble kalt en unse. Det var 18 navn på brøker. Her er noen av dem:

semis - en halv assa;

sextante - den sjette delen av rumpa;

syv unse - en halv unse eller 1/24 ass.

Ulempen med et slikt system var umuligheten av å representere et tall som en brøk med en nevner på 10 eller 100. Romerske matematikere overvant vanskeligheten ved å bruke prosenter.

Skrive vanlige brøker

I antikken ble brøker allerede skrevet på en kjent måte: ett tall over et annet. Det var imidlertid én vesentlig forskjell. Telleren var plassert under nevneren. De begynte først å skrive brøker på denne måten det gamle India. Den moderne metoden ble brukt av araberne. Men ingen av de navngitte folkene brukte en horisontal linje for å skille telleren og nevneren. Det dukker først opp i skriftene til Leonardo av Pisa, bedre kjent som Fibonacci, i 1202.

Kina

Hvis historien om fremveksten av vanlige brøker begynte i Egypt, dukket desimaler først opp i Kina. I det himmelske riket begynte de å bli brukt rundt det 3. århundre f.Kr. Historien om desimalbrøker begynte med den kinesiske matematikeren Liu Hui, som foreslo å bruke dem til å trekke ut kvadratrøtter.

I det 3. århundre e.Kr. begynte desimalbrøker å bli brukt i Kina for å beregne vekt og volum. Gradvis begynte de å trenge dypere og dypere inn i matematikken. I Europa kom imidlertid desimaler i bruk mye senere.

Al-Kashi fra Samarkand

Uavhengig av de kinesiske forgjengerne ble desimalbrøker oppdaget av astronomen al-Kashi fra gammel by Samarkand. Han levde og arbeidet på 1400-tallet. Forskeren skisserte teorien sin i avhandlingen "The Key to Arithmetic", som ble publisert i 1427. Al-Kashi foreslo å bruke ny uniform skrive brøker. Både heltalls- og brøkdelene ble nå skrevet på én linje. Samarkand-astronomen brukte ikke komma for å skille dem. Han skrev hele tallet og brøkdelen forskjellige farger med svart og rødt blekk. Noen ganger brukte al-Kashi også en vertikal linje for å skille.

Desimaler i Europa

En ny type brøker begynte å dukke opp i verkene til europeiske matematikere på 1200-tallet. Det skal bemerkes at de ikke var kjent med verkene til al-Kashi, så vel som med oppfinnelsen av kineserne. Desimalbrøker dukket opp i skriftene til Jordan Nemorarius. Deretter ble de brukt allerede på 1500-tallet av en fransk vitenskapsmann som skrev "Matematisk kanon", som inneholdt trigonometriske tabeller. Vieth brukte desimalbrøker i dem. For å skille hele og brøkdeler brukte forskeren en vertikal linje, så vel som forskjellig størrelse font.

Dette var imidlertid kun spesielle tilfeller av vitenskapelig bruk. Desimalbrøker begynte å bli brukt i Europa noe senere for å løse hverdagslige problemer. Dette skjedde takket være den nederlandske vitenskapsmannen Simon Stevin på slutten av 1500-tallet. Han publiserte det matematiske verket "Tenth" i 1585. I den skisserte forskeren teorien om å bruke desimalbrøker i aritmetikk, i pengesystemet og for å bestemme vekter og mål.

Punktum, punktum, komma

Stevin brukte heller ikke komma. Han skilte de to delene av brøken ved å bruke en null omgitt av en sirkel.

Første gang et komma skilte to deler av en desimalbrøk var i 1592. I England begynte de imidlertid å bruke en prikk i stedet. I USA skrives desimaler fortsatt på denne måten.

En av initiativtakerne til bruken av begge skilletegn for å skille heltalls- og brøkdelene var den skotske matematikeren John Napier. Han uttrykte sitt forslag i 1616-1617. Den tyske vitenskapsmannen brukte også kommaet

Brøker i russ

På russisk jord var den første matematikeren som forklarte inndelingen av helheten i deler Novgorod-munken Kirik. I 1136 skrev han et verk der han skisserte metoden for å «telle år». Kirik tok for seg spørsmål om kronologi og kalender. I sitt arbeid siterte han også inndelingen av timen i deler: femtedeler, tjuefemtedeler og så videre.

Å dele opp helheten i deler ble brukt ved beregning av avgiftsbeløpet i XV-XVII århundrer. Operasjonene addisjon, subtraksjon, divisjon og multiplikasjon med brøkdeler ble brukt.

Selve ordet "brøk" dukket opp i Rus' på 800-tallet. Det kommer fra verbet "å dele, å dele i deler." Våre forfedre brukte spesielle ord for å navngi brøker. For eksempel ble 1/2 angitt som en halv eller en halv, 1/4 som en fjerdedel, 1/8 som en halv, 1/16 som en halv og så videre.

Den komplette teorien om brøker, ikke mye forskjellig fra den moderne, ble presentert i den første læreboken om aritmetikk, skrevet i 1701 av Leonty Filippovich Magnitsky. «Aritmetikk» besto av flere deler. Forfatteren snakker om brøker i detalj i avsnittet "Om tall brutt eller med brøker." Magnitsky gir operasjoner med "ødelagte" tall og deres forskjellige betegnelser.

I dag er brøker fortsatt blant de vanskeligste grenene av matematikk. Historien om brøk har heller ikke vært enkel. Ulike nasjoner noen ganger uavhengig av hverandre, og noen ganger ved å låne erfaringen fra sine forgjengere, kom de til behovet for å introdusere, mestre og bruke brøkdeler av tall. Studiet av brøker har alltid vokst ut av praktiske observasjoner og takket være presserende problemer. Det var nødvendig å dele brød, merke ut like jordstykker, beregne skatter, måle tid og så videre. Funksjoner ved bruk av brøker og matematiske operasjoner med dem var avhengig av tallsystemet i staten og på generelt nivå utvikling av matematikk. På en eller annen måte, etter å ha overvunnet mer enn tusen år, har delen av algebraen viet til brøkdeler av tall blitt dannet, utviklet og brukes med hell i dag for en rekke behov, både praktiske og teoretiske.