hjem

Hvordan finne et komplekst tall eksempler. Modul og argument for et komplekst tall

Komplekse tall

Innbilt og komplekse tall. Abscisse og ordinat

komplekst tall. Konjuger komplekse tall.

Operasjoner med komplekse tall. Geometrisk

representasjon av komplekse tall. komplekst plan.

Modul og argument for et komplekst tall. trigonometrisk

kompleks tallform. Operasjoner med kompleks

tall i trigonometrisk form. Moivre formel.

Grunnleggende informasjon om innbilt og komplekse tall er gitt i avsnittet "imaginære og komplekse tall". Behovet for disse tallene av en ny type dukket opp ved løsning av andregradsligninger for tilfelletD< 0 (здесь Der diskriminanten til den kvadratiske ligningen). I lang tid fant ikke disse tallene fysisk bruk, og derfor ble de kalt «imaginære» tall. Imidlertid er de nå veldig mye brukt i ulike felt av fysikk.

og teknologi: elektroteknikk, hydro- og aerodynamikk, elastisitetsteorien, etc.

Komplekse tall er skrevet som:a+bi. Her en og b – reelle tall , a Jeg – imaginær enhet. e. Jeg 2 = –1. Antall en kalt abscisse, a b - ordinatkomplekst talla + b.To komplekse talla+bi og a-bi kalt konjugerer komplekse tall.

Hovedavtaler:

1. Reelt tallenkan også skrives i skjemaetkomplekst tall:et + 0 Jeg eller en - 0 Jeg. For eksempel oppføringer 5 + 0Jeg og 5-0 Jegbetyr samme tall 5 .

2. Kompleks tall 0 + bikalt rent imaginært Antall. Innspillingbibetyr det samme som 0 + bi.

3. To komplekse talla+bi ogc + dianses like hvisa = c og b = d. Ellers komplekse tall er ikke like.

Addisjon. Summen av komplekse talla+bi og c + dikalles et komplekst tall (a+c ) + (b+d ) Jeg .På denne måten, når det legges til komplekse tall, deres abscisse og ordinater legges til separat.

Denne definisjonen følger reglene for håndtering av vanlige polynomer.

Subtraksjon. Forskjellen mellom to komplekse talla+bi(redusert) og c + di(trukket fra) kalles et komplekst tall (a-c ) + (b-d ) Jeg .

På denne måten, når du trekker fra to komplekse tall, trekkes abscissene og ordinatene deres separat.

Multiplikasjon. Produktet av komplekse talla+bi og c + di kalles et komplekst tall.

(ac-bd ) + (annonse+bc ) Jeg .Denne definisjonen stammer fra to krav:

1) tall a+bi og c + diskal multiplisere som algebraisk binomialer,

2) nummer Jeghar hovedegenskapen:Jeg 2 = – 1.

EKSEMPEL ( a + bi )(a-bi) = a 2 +b 2 . Følgelig arbeid

to konjugerte komplekse tall er lik det reelle

positivt tall.

Inndeling. Del et komplekst talla+bi (delelig) til en annenc + di(deler) - betyr å finne det tredje tallete + fi(chat), som, når multiplisert med en divisorc + di, som resulterer i utbyttea + b.

Hvis divisor ikke er null, er divisjon alltid mulig.

EKSEMPEL Finn (8+Jeg ) : (2 – 3 Jeg) .

Løsning. La oss omskrive dette forholdet som en brøk:

Multipliser telleren og nevneren med 2 + 3Jeg

Og etter å ha utført alle transformasjonene får vi:

Geometrisk representasjon av komplekse tall. Reelle tall er representert med punkter på tallinjen:

Her er poenget ENbetyr nummer -3, prikkB er tallet 2, og O- null. I kontrast er komplekse tall representert av punkter på koordinatplanet. Til dette velger vi rektangulære (kartesiske) koordinater med samme skalaer på begge akser. Deretter det komplekse talleta+bi vil bli representert med en prikk P med abscisse a og ordinat b (se fig.). Dette koordinatsystemet kalles komplekst plan .

modul komplekst tall kalles lengden på vektorenOP, som viser et komplekst tall på koordinaten ( integrert) fly. Kompleks tallmodula+bi betegnet med | a+bi| eller brev r

§ 1. Komplekse tall: definisjoner, geometrisk tolkning, operasjoner i algebraiske, trigonometriske og eksponentielle former

Definisjon av et komplekst tall

Komplekse likheter

Geometrisk representasjon av komplekse tall

Modul og argument for et komplekst tall

Algebraiske og trigonometriske former for et komplekst tall

Eksponentiell form av et komplekst tall

Euler formler

§ 2. Hele funksjoner (polynomer) og deres grunnleggende egenskaper. Løsning av algebraiske ligninger på settet med komplekse tall

Definisjon av en algebraisk ligning av th grad

Grunnleggende egenskaper ved polynomer

Eksempler på løsning av algebraiske ligninger på settet med komplekse tall

Spørsmål til selvransakelse

Ordliste

§ 1. Komplekse tall: definisjoner, geometrisk tolkning, operasjoner i algebraiske, trigonometriske og eksponentielle former

Definisjon av et komplekst tall ( Formuler definisjonen av et komplekst tall)

Et komplekst tall z er et uttrykk av følgende form:

Kompleks tall i algebraisk form,(1)

hvor x, y Î;

- komplekst konjugat nummer z ;

- motsatt tall nummer z ;

- kompleks null ;

- dette er settet med komplekse tall.

1)z = 1 + JegÞ Re z= 1, Im z = 1, = 1 – Jeg, = –1 – Jeg ;

2)z = –1 + JegÞ Re z= –1, Im z = , = –1 – Jeg, = –1 –Jeg ;

3)z = 5 + 0Jeg= 5 Þ Re z= 5, Im z = 0, = 5 – 0Jeg = 5, = –5 – 0Jeg = –5

Þ hvis jeg z= 0, da z = x- ekte nummer;

4)z = 0 + 3Jeg = 3JegÞ Re z= 0, Im z = 3, = 0 – 3Jeg = –3Jeg , = –0 – 3Jeg = – 3Jeg

Þ hvis Re z= 0, da z = iy - rent imaginært tall.

Komplekse likheter (Formuler betydningen av kompleks likhet)

1) ;

2) .

En kompleks likhet tilsvarer et system med to reelle likheter. Disse reelle likhetene oppnås fra den komplekse likheten ved å skille de reelle og imaginære delene.

1) ;

2) .

Geometrisk representasjon av komplekse tall ( Hva er den geometriske representasjonen av komplekse tall?)

Komplekst tall z representert med en prikk ( x , y) på det komplekse planet eller radiusvektoren til dette punktet.

Skilt z i andre kvadrant betyr at det kartesiske koordinatsystemet vil bli brukt som det komplekse planet.

Modul og argument for et komplekst tall ( Hva er modulen og argumentet til et komplekst tall?)

Modulen til et komplekst tall er et ikke-negativt reelt tall

.(2)

Geometrisk er modulen til et komplekst tall lengden på vektoren som representerer tallet z, eller polarradiusen til et punkt ( x , y).

Tegn følgende tall på det komplekse planet og skriv dem i trigonometrisk form.

1)z = 1 + Jeg Þ

Þ ;

5),

det vil si at for z = 0 vil det være

, j ikke bestemt.

Aritmetiske operasjoner på komplekse tall (Gi definisjoner og liste opp hovedegenskapene til aritmetiske operasjoner på komplekse tall.)

Addisjon (subtraksjon) av komplekse tall

z 1 ± z 2 = (x 1 + iy 1)±( x 2 + iy 2) = (x 1 ± x 2) + Jeg (y 1 ± y 2),(5)

det vil si at når man legger til (subtraherer) komplekse tall, blir deres reelle og imaginære deler lagt til (trukket fra).

1)(1 + Jeg) + (2 – 3Jeg) = 1 + Jeg + 2 –3Jeg = 3 – 2Jeg ;

2)(1 + 2Jeg) – (2 – 5Jeg) = 1 + 2Jeg – 2 + 5Jeg = –1 + 7Jeg .

Grunnleggende egenskaper ved tilsetning

1)z 1 + z 2 = z 2 + z 1;

2)z 1 + z 2 + z 3 = (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3);

3)z 1 – z 2 = z 1 + (– z 2);

4)z + (–z) = 0;

Multiplikasjon av komplekse tall i algebraisk form

z 1∙z 2 = (x 1 + iy 1)∙(x 2 + iy 2) = x 1x 2 + x 1iy 2 + iy 1x 2 + Jeg 2y 1y 2 = (6)

= (x 1x 2 – y 1y 2) + Jeg (x 1y 2 + y 1x 2),

det vil si at multiplikasjonen av komplekse tall i algebraisk form utføres i henhold til regelen om algebraisk multiplikasjon av et binomial med et binomial, etterfulgt av erstatning og reduksjon av lignende i reelle og imaginære termer.

1)(1 + Jeg)∙(2 – 3Jeg) = 2 – 3Jeg + 2Jeg – 3Jeg 2 = 2 – 3Jeg + 2Jeg + 3 = 5 – Jeg ;

2)(1 + 4Jeg)∙(1 – 4Jeg) = 1 – 42 Jeg 2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + Jeg)2 = 22 + 4Jeg + Jeg 2 = 3 + 4Jeg .

Multiplikasjon av komplekse tall trigonometrisk form

z 1∙z 2 = r 1 (cos j 1 + Jeg synd j 1)× r 2 (cos j 2 + Jeg synd j 2) =

= r 1r 2 (cos j 1cos j 2 + Jeg cos j 1sin j 2 + Jeg synd j 1cos j 2 + Jeg 2 synd j 1sin j 2) =

= r 1r 2((cos j 1cos j 2-synd j 1sin j 2) + Jeg(cos j 1sin j 2+ synd j 1cos j 2))

Produktet av komplekse tall i trigonometrisk form, det vil si at når komplekse tall multipliseres på trigonometrisk form, multipliseres modulene deres og argumentene legges til.

Grunnleggende egenskaper ved multiplikasjon

1)z 1× z 2 = z 2× z 1 - kommutativitet;

2)z 1× z 2× z 3 = (z 1× z 2)× z 3 = z 1×( z 2× z 3) - assosiativitet;

3)z 1×( z 2 + z 3) = z 1× z 2 + z 1× z 3 - distributivitet med hensyn til tillegg;

4)z×0 = 0; z×1 = z ;

Divisjon av komplekse tall

Divisjon er det motsatte av multiplikasjon, altså

hvis z × z 2 = z 1 og z 2¹ 0, deretter .

Når du utfører divisjon i algebraisk form, multipliseres telleren og nevneren til brøken med det komplekse konjugatet til nevneren:

Divisjon av komplekse tall i algebraisk form.(7)

Når du utfører divisjon i trigonometrisk form, deles moduler og argumenter trekkes fra:

Divisjon av komplekse tall i trigonometrisk form.(8)

2)
.

Heve et komplekst tall til en naturlig potens

Å heve til en naturlig kraft er mer praktisk å utføre i trigonometrisk form:

Moivre formel,(9)

det vil si at når et komplekst tall heves til en naturlig potens, heves dets modul til den potensen, og argumentet multipliseres med eksponenten.

Beregn (1 + Jeg)10.

Merknader

1. Når du utfører operasjoner med multiplikasjon og heving til en naturlig potens i trigonometrisk form, kan vinkelverdier oppnås utenfor en hel omdreining. Men de kan alltid reduseres til vinkler eller ved å slippe et helt antall komplette omdreininger i henhold til periodisitetsegenskapene til funksjonene og .

2. Mening kalles hovedverdien til argumentet til et komplekst tall;

i dette tilfellet angir verdiene for alle mulige vinkler ;

det er åpenbart at .

Trekke ut roten til en naturlig grad fra et komplekst tall

Euler-formler(16)

over hvilke trigonometriske funksjoner og en reell variabel er uttrykt i form av en eksponentiell funksjon (eksponent) med en rent imaginær eksponent.

§ 2. Hele funksjoner (polynomer) og deres grunnleggende egenskaper. Løsning av algebraiske ligninger på settet med komplekse tall

To polynomer av samme grad n er identisk like med hverandre hvis og bare hvis koeffisientene deres sammenfaller med samme potenser av variabelen x, det er

Bevis

w Identitet (3) gjelder for "xн (eller "xн)

Þ den er gyldig for ; erstatter, får vi an = mrd .

La oss gjensidig utslette vilkårene i (3) an og mrd og dele begge deler med x :

Denne identiteten gjelder også for " x, inkludert når x = 0

Þ forutsatt x= 0, får vi an – 1 = mrd – 1.

Gjensidig utslette i (3") termer an– 1 og en n– 1 og del begge deler med x, som et resultat får vi

Fortsetter vi argumentet på samme måte, får vi det an – 2 = mrd –2, …, en 0 = b 0.

Dermed er det bevist at fra den identiske likheten til 2-x polynomer følger sammenfallet av koeffisientene deres i samme grader x .

Det omvendte utsagnet er med rette åpenbart, dvs. hvis to polynomer har de samme alle koeffisientene, så er de de samme funksjonene, derfor er verdiene deres de samme for alle verdiene av argumentet, noe som betyr at de er identiske. Eiendom 1 er påvist fullstendig. v

Når du deler et polynom PN (x) til forskjellen ( x – X 0) resten er lik PN (x 0), altså

Bezouts teorem, (4)

hvor Qn – 1(x) - heltallsdelen av divisjon, er et polynom av grad ( n – 1).

Bevis

w La oss skrive divisjonsformelen med en rest:

PN (x) = (x – X 0)∙Qn – 1(x) + EN ,

hvor Qn – 1(x) - gradspolynom ( n – 1),

EN- resten, som er et tall på grunn av den velkjente algoritmen for å dele et polynom i et binomial "i en kolonne".

Denne likheten gjelder for " x, inkludert når x = X 0 Þ

PN (x 0) = (x 0 – x 0)× Qn – 1(x 0) + EN Þ

EN = PN (X 0), h.t.d. v

Konsekvens fra Bezouts teorem. På deling av et polynom med et binomial uten en rest

Hvis nummer X 0 er null av polynomet, så er dette polynomet delelig med forskjellen ( x – X 0) uten rest, altså

Þ .(5)

1), siden P 3(1) º 0

2) , siden P 4(–2) º 0

3) fordi P 2(–1/2) º 0

Inndeling av polynomer i binomer "i en kolonne":

Hvert polynom av grad n ³ 1 har minst en null, reell eller kompleks

Beviset for denne teoremet ligger utenfor rammen av kurset vårt. Derfor aksepterer vi teoremet uten bevis.

La oss jobbe med denne teoremet og Bezouts teorem med et polynom PN (x).

Etter n-fold anvendelse av disse teoremene, får vi det

hvor en 0 er koeffisienten ved x n i PN (x).

Konsekvens fra algebras fundamentalteorem. Om dekomponering av et polynom til lineære faktorer

Ethvert gradspolynom på settet med komplekse tall dekomponeres til n lineære faktorer, altså

Dekomponering av et polynom i lineære faktorer, (6)

hvor x1, x2, ... xn er nullpunktene til polynomet.

Samtidig hvis k tall fra settet X 1, X 2, … xn faller sammen med hverandre og med tallet a, så i produktet (6) faktoren ( x– a) k. Så nummeret x= a kalles k-fold null polynom PN ( x) . Hvis en k= 1, så kalles null enkelt nullpolynom PN ( x) .

1)P 4(x) = (x – 2)(x– 4)3 Þ x 1 = 2 - enkel null, x 2 = 4 - trippel null;

2)P 4(x) = (x – Jeg)4 x = Jeg- null multiplisitet 4.

Egenskap 4 (på antall røtter til en algebraisk ligning)

Enhver algebraisk ligning Pn(x) = 0 av grad n har nøyaktig n røtter på settet med komplekse tall hvis hver rot telles like mange ganger som dens multiplisitet.

1)x 2 – 4x+ 5 = 0 - algebraisk ligning av andre grad

Þ x 1,2 = 2 ± = 2 ± Jeg- to røtter;

2)x 3 + 1 = 0 - algebraisk likning av tredje grad

Þ x 1,2,3 = - tre røtter;

3)P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 x 1 = 1, fordi P 3(1) = 0.

Del polynomet P 3(x) på ( x – 1):

x 3	+	x 2	–	x	–	1	x – 1
x 3	–	x 2	x 2 + 2x +1
2x 2	–	x
2x 2	–	2x
x	–	1
x	–	1
0

Innledende ligning

P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 Û( x – 1)(x 2 + 2x+ 1) = 0 w( x – 1)(x + 1)2 = 0

Þ x 1 = 1 - enkel rot, x 2 \u003d -1 - dobbel rot.

1) er parrede komplekse konjugerte røtter;

Ethvert polynom med reelle koeffisienter dekomponeres til et produkt av lineære og kvadratiske funksjoner med reelle koeffisienter.

Bevis

w La x 0 = en + bi- polynom null PN (x). Hvis alle koeffisientene til dette polynomet er reelle tall, er det også null (ved egenskap 5).

Vi beregner produktet av binomialer :

kompleks tall polynom ligning

Fikk ( x – en)2 + b 2 - kvadrattrinomial med reelle koeffisienter.

Dermed fører ethvert par binomialer med komplekse konjugerte røtter i formel (6) til et kvadratisk trinomium med reelle koeffisienter. v

1)P 3(x) = x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x + 1);

2)P 4(x) = x 4 – x 3 + 4x 2 – 4x = x (x –1)(x 2 + 4).

Eksempler på å løse algebraiske ligninger på settet med komplekse tall ( Gi eksempler på løsning av algebraiske ligninger på settet med komplekse tall)

1. Algebraiske ligninger av første grad:

, er den eneste enkle roten.

2. Kvadratiske ligninger:

, - har alltid to røtter (ulike eller like).

1) .

3. To-term gradsligninger:

,- har alltid forskjellige røtter.

Svar: , .

4. Løs kubikkligningen.

En likning av tredje grad har tre røtter (reelle eller komplekse), og hver rot må telles like mange ganger som dens multiplisitet. Siden alle koeffisientene til denne ligningen er reelle tall, vil de komplekse røttene til ligningen, hvis noen, være parvis komplekse konjugerte.

Ved seleksjon finner vi den første roten av ligningen , siden .

Av en følge av Bezouts teorem. Vi beregner denne inndelingen "i en kolonne":

_

_

_

Ved å representere polynomet som et produkt av en lineær og kvadratisk faktor, får vi:

Vi finner andre røtter som røttene til den kvadratiske ligningen:

Svar: , .

5. Lag en algebraisk ligning av minste grad med reelle koeffisienter, hvis det er kjent at tallene x 1 = 3 og x 2 = 1 + Jeg er dens røtter, og x 1 er en dobbeltrot, og x 2 - enkelt.

Tallet er også roten til ligningen, fordi koeffisientene til ligningen må være reelle.

Totalt har den ønskede ligningen 4 røtter: x 1, x 1,x 2,. Derfor er graden 4. Vi komponerer et polynom av 4. grad med nuller x

11. Hva er kompleks null?

13. Formuler betydningen av kompleks likhet.

15. Hva er modulen og argumentet til et komplekst tall?

17. Hva er argumentet til et komplekst tall?

18. Hva er navnet eller betydningen av formelen?

19. Forklar betydningen av notasjonen i denne formelen:

27. Gi definisjoner og liste opp hovedegenskapene til aritmetiske operasjoner på komplekse tall.

28. Hva er navnet eller betydningen av formelen?

29. Forklar betydningen av notasjonen i denne formelen:

31. Hva er navnet eller betydningen av formelen?

32. Forklar betydningen av notasjonen i denne formelen:

34. Hva er navnet eller betydningen av formelen?

35. Forklar betydningen av notasjonen i denne formelen:

61. List opp hovedegenskapene til polynomer.

63. Formuler en egenskap om å dele et polynom med en forskjell (x - x0).

65. Hva er navnet eller betydningen av formelen?

66. Forklar betydningen av notasjonen i denne formelen:

67. ⌂ .

69. Formuler teoremet algebraens teorem er grunnleggende.

70. Hva er navnet eller betydningen av formelen?

71. Forklar betydningen av notasjonen i denne formelen:

75. Formuler en egenskap om antall røtter til en algebraisk ligning.

78. Formuler en egenskap om dekomponering av et polynom med reelle koeffisienter til lineære og kvadratiske faktorer.

Ordliste

K-fold null i et polynom kalles... (s. 18)

et algebraisk polynom kalles... (s. 14)

en algebraisk ligning av n-te grad kalles ... (s. 14)

den algebraiske formen til et komplekst tall kalles... (s. 5)

argumentet til et komplekst tall er... (s. 4)

den reelle delen av det komplekse tallet z er... (side 2)

det komplekse konjugatet er... (side 2)

kompleks null er... (side 2)

et komplekst tall kalles... (s. 2)

den n-te roten av et komplekst tall kalles... (s. 10)

roten til ligningen kalles ... (s. 14)

polynomkoeffisienter er... (s. 14)

den imaginære enheten er... (side 2)

den imaginære delen av et komplekst tall z er... (side 2)

modulen til et komplekst tall kalles... (s. 4)

nullpunktet til en funksjon kalles... (s. 14)

eksponentialformen til et komplekst tall kalles... (s. 11)

et polynom kalles... (s. 14)

den enkle nullen til et polynom kalles... (s. 18)

det motsatte tallet er... (side 2)

graden av et polynom er... (s. 14)

den trigonometriske formen til et komplekst tall kalles... (s. 5)

De Moivres formel er... (s. 9)

Eulers formler er... (s. 13)

en hel funksjon kalles... (s. 14)

et rent imaginært tall er... (s. 2)

Husk nødvendig informasjon om komplekse tall.

Komplekst tall er et uttrykk for formen en + bi, hvor en, b er reelle tall, og Jeg- såkalte imaginær enhet, symbolet hvis kvadrat er -1, dvs. Jeg 2 = -1. Antall en kalt ekte del, og nummeret b - imaginær del komplekst tall z = en + bi. Hvis en b= 0, så i stedet for en + 0Jeg skriv enkelt en. Man kan se at reelle tall er et spesialtilfelle av komplekse tall.

Aritmetiske operasjoner på komplekse tall er de samme som på reelle: de kan adderes, subtraheres, multipliseres og divideres med hverandre. Addisjon og subtraksjon fortsetter i henhold til regelen ( en + bi) ± ( c + di) = (en ± c) + (b ± d)Jeg, og multiplikasjon - i henhold til regelen ( en + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (annonse + f.Kr)Jeg(her er det bare brukt det Jeg 2 = -1). Tall = en – bi kalt komplekst konjugat til z = en + bi. Likestilling z · = en 2 + b 2 lar deg forstå hvordan du deler et komplekst tall med et annet (ikke-null) komplekst tall:

(For eksempel, .)

Komplekse tall har en praktisk og visuell geometrisk representasjon: tallet z = en + bi kan representeres som en vektor med koordinater ( en; b) på det kartesiske planet (eller, som er nesten det samme, et punkt - slutten av vektoren med disse koordinatene). I dette tilfellet er summen av to komplekse tall avbildet som summen av de tilsvarende vektorene (som kan finnes av parallellogramregelen). Ved Pythagoras teorem, lengden på vektoren med koordinater ( en; b) er lik . Denne verdien kalles modul komplekst tall z = en + bi og er betegnet med | z|. Vinkelen som denne vektoren lager med den positive retningen til x-aksen (telt mot klokken) kalles argument komplekst tall z og betegnet med Arg z. Argumentet er ikke unikt definert, men bare opp til tillegg av et multiplum av 2 π radianer (eller 360°, hvis du teller i grader) - det er tross alt klart at det å snu gjennom en slik vinkel rundt origo ikke vil endre vektoren. Men hvis vektoren av lengde r danner en vinkel φ med den positive retningen til x-aksen, så er dens koordinater lik ( r cos φ ; r synd φ ). Derfor viser det seg trigonometrisk notasjon komplekst tall: z = |z| (cos(Arg z) + Jeg synd (Arg z)). Det er ofte praktisk å skrive komplekse tall i denne formen, fordi det i stor grad forenkler beregninger. Multiplikasjon av komplekse tall i trigonometrisk form ser veldig enkelt ut: z en · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+arg z 2) + Jeg synd (Arg z 1+arg z 2)) (når du multipliserer to komplekse tall, multipliseres modulene deres og argumentene legges til). Herfra følger De Moivre-formler: z n = |z|n(for( n(Arg z)) + Jeg synd( n(Arg z))). Ved hjelp av disse formlene er det lett å lære å trekke ut røtter av en hvilken som helst grad fra komplekse tall. n-te rot av z er et så komplekst tall w, hva w n = z. Det er klart det , Og hvor k kan ta hvilken som helst verdi fra settet (0, 1, ..., n- en). Dette betyr at det alltid er nøyaktig n røtter n grad fra et komplekst tall (på planet er de plassert ved toppunktene til en regulær n-gon).

Bruke kalkulatoren

For å evaluere et uttrykk, må du skrive inn en streng for å evaluere. Når du legger inn tall, er desimalskilletegnet et punktum. Parentes kan brukes. Operasjoner på komplekse tall er multiplikasjon (*), divisjon (/), addisjon (+), subtraksjon (-), eksponentiering (^) og andre. Som en registrering av komplekse tall kan du bruke eksponentiell og algebraisk form. Skriv inn en tenkt enhet Jeg mulig uten multiplikasjonstegn, i andre tilfeller kreves multiplikasjonstegnet, for eksempel mellom parentes eller mellom et tall og en konstant. Konstanter kan også brukes: tallet π legges inn som pi, eksponenten e, må alle uttrykk i eksponenten omsluttes i parentes.

Eksempelstreng å beregne: (4,5+i12)*(3,2i-2,5)/e^(i1,25*pi), som tilsvarer uttrykket \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\]

Kalkulatoren kan bruke konstanter, matematiske funksjoner, tilleggsoperasjoner og mer komplekse uttrykk, du kan gjøre deg kjent med disse funksjonene på siden med generelle regler for bruk av kalkulatorer på denne siden.

Siden er under konstruksjon, noen sider er kanskje ikke tilgjengelige.

Nyheter

07.07.2016
Lagt til en kalkulator for å løse systemer med ikke-lineære algebraiske ligninger: .

30.06.2016
Siden har et responsivt design, sidene vises tilstrekkelig både på store skjermer og på mobile enheter.

Sponsor

RGOnline.ru - en umiddelbar løsning for elektrisk arbeid på nettet.

Yrke 12 . Komplekse tall.

12.1. Definisjon av komplekse tall i algebraisk form. Sammenligning og representasjon av komplekse tall på det komplekse planet. Kompleks konjugasjon. Addisjon, multiplikasjon, divisjon av komplekse tall.

12.2. Modulus, argument for et komplekst tall.

12.3. Trigonometriske og eksponentielle former for å skrive et komplekst tall.

12.4. Heve til et heltall og trekke ut en rot fra et komplekst tall.

Definisjon av komplekse tall i algebraisk form. Sammenligning og representasjon av komplekse tall på det komplekse planet. Kompleks konjugasjon. Addisjon, multiplikasjon, divisjon av komplekse tall.

Et komplekst tall i algebraisk form er et tall

hvor
kalt imaginær enhet og
- reelle tall:
kalt ekte (ekte) del;
- imaginær del komplekst tall . Komplekse tall i skjemaet
kalt rent imaginære tall. Settet med alle komplekse tall er angitt med bokstaven .

Per definisjon,

Settet av alle reelle tall er en del av settet
: . På den annen side er det komplekse tall som ikke tilhører mengden . For eksempel,
og
, fordi
.

Komplekse tall i algebraisk form oppstår naturlig når man løser andregradsligninger med en negativ diskriminant.

Eksempel 1. løse ligningen
.

Løsning. ,

Derfor har den gitte kvadratiske ligningen komplekse røtter

,
.

Eksempel 2. Finn reelle og imaginære deler av komplekse tall

,

,
.

Følgelig, de virkelige og imaginære delene av tallet ,

Et hvilket som helst komplekst tall
representert av en vektor på det komplekse planet , som representerer et plan med et kartesisk koordinatsystem
. Begynnelsen av vektoren ligger ved punktet , og slutten er på punktet med koordinatene
(Figur 1.) Akse
kalles den reelle aksen, og aksen
- den imaginære aksen til det komplekse planet .

Komplekse tall sammenlignes med hverandre bare med tegn.
. . Hvis minst en av likhetene:
krenket altså
. Oppføringer av type
gir ikke mening.

Per definisjon, kompleks Antall
kalles det komplekse konjugatet av tallet
. Skriv i dette tilfellet
. Det er åpenbart det
. Overalt under, vil en stolpe over et komplekst tall bety kompleks bøying.

For eksempel, .

Operasjoner som addisjon (subtraksjon), multiplikasjon og divisjon kan utføres på komplekse tall.

1. Addisjon av komplekse tall gjøres slik:

Egenskaper for tilleggsoperasjon:

- egenskapen til kommutativitet;

- Assosiativitetseiendom.

Det er lett å se at geometrisk addisjon av komplekse tall
betyr tillegg av tilsvarende til dem på flyet vektorer i henhold til parallellogramregelen.

Tallsubtraksjonsoperasjon fra nummeret gjøres slik:

2. Multiplikasjon av komplekse tall gjøres slik:

Egenskaper for multiplikasjonsoperasjonen:

- egenskapen til kommutativitet;

- egenskapen til assosiativitet;

- distribusjonsloven.

3. Divisjon av komplekse tall bare mulig når
og gjøres slik:

Eksempel 3. Finne
, hvis .

Eksempel 4. Regne ut
, hvis .

z, fordi
.

.(au!)

Det er lett å verifisere (det foreslås å gjøre det selv) gyldigheten av følgende utsagn:

Modulus, argument for et komplekst tall.

Kompleks tallmodul
(modul angitt ) er et ikke-negativt tall
, dvs.
.

geometrisk sans - lengden på vektoren som representerer tallet på det komplekse planet . Ligningen
definerer settet med alle tall (vektorer pr ) hvis ender ligger på enhetssirkelen
.

Kompleks tallargument
(argument angitt
) er vinkelen i radianer mellom den reelle aksen
og nummer på det komplekse planet , og er positivt hvis det regnes fra
før mot klokken, og negativ hvis målt fra aksen
før med urviseren.

Altså tallargumentet er definert tvetydig, opp til begrepet
, hvor
. Absolutt et tallargument definert innenfor en kryssing av enhetssirkelen
på overflaten . Vanligvis må du finne
innenfor intervallet
,en slik verdi kalles hovedverdien til tallargumentet og betegnet
.

og
tall kan finnes fra ligningen
, hvori nødvendigvis må tas i betraktning i hvilken fjerdedel av flyet ligger slutten av vektoren - punktum
:

hvis
(1. kvartal av flyet ), deretter ;

hvis
(2. kvartal av flyet ), deretter;

hvis
(3. kvartal av flyet ), deretter ;

hvis
(fjerde kvartal av flyet ), deretter .

Faktisk modulen og argumentet til tallet
, dette er polare koordinater
poeng
- slutten av vektoren på overflaten .

Eksempel 5. Finn modulen og hovedverdien til tallargumentet:

Argumenter for tall liggende akser
skiller kvartalene 1,2,3,4 av det komplekse planet , finnes umiddelbart av de grafiske representasjonene av disse tallene på flyet .

Trigonometriske og eksponentielle former for å skrive et komplekst tall. Multiplikasjon og divisjon av komplekse tall i trigonometrisk og eksponentiell notasjon.

Trigonometrisk notasjon komplekst tall
ser ut som:

, (2)

hvor - modul, - komplekst tallargument . En slik representasjon av komplekse tall følger av likhetene.

Demonstrasjon(eksponentiell) notasjonsform av et komplekst tall
ser ut som:

, (3)

hvor - modul, - tallargument . Muligheten for å representere komplekse tall i eksponentiell form (3) følger av den trigonometriske formen (2) og Euler-formelen:

. (4)

Denne formelen er bevist i kurset TFKP (Teori om funksjoner til en kompleks variabel).

Eksempel 6. Finn trigonometriske og eksponentielle former for komplekse tall: fra eksempel 5.

Løsning. La oss bruke resultatene fra eksempel 5, der modulene og argumentene til alle de angitte tallene finnes.

- trigonometrisk form for å skrive et tall ,

- eksponentiell (eksponentiell) form for å skrive et tall .

- trigonometrisk form for å skrive et tall ,

- eksponentiell (eksponentiell) form for å skrive et tall .

Trigonometrisk form for å skrive et tall ,

- eksponentiell (eksponentiell) form for å skrive et tall .

- trigonometrisk form for å skrive et tall ,

- eksponentiell (eksponentiell) form for å skrive et tall .

Trigonometrisk form av et tall ,

- trigonometrisk form for å skrive et tall ,

- eksponentiell (eksponentiell) form av et tall .

- trigonometrisk form for å skrive et tall ,

- eksponentiell (eksponentiell) form for å skrive et tall .

Den eksponentielle formen for å skrive komplekse tall fører til følgende geometriske tolkning av operasjonene for multiplikasjon og divisjon av komplekse tall. La
- eksponentielle former for tall
.

1. Når komplekse tall multipliseres, multipliseres modulene deres, og argumentene legges til.

2. Når du deler et komplekst tall per nummer få et komplekst tall , modul som er lik forholdet mellom moduler , og argumentasjonen - forskjeller
tallargumenter
.

Heve til et heltall og trekke ut en rot fra et komplekst tall.

Per definisjon,

Når hevet til en heltallspotens komplekst tall
, bør du fortsette som følger: først finn modulen og argumentasjon dette nummeret; introdusere i demonstrasjonsform
; finne
ved å gjøre følgende trinn