rumah

Bagaimana untuk mencari contoh nombor kompleks. Modulus dan hujah bagi nombor kompleks

Nombor kompleks

khayalan dan nombor kompleks. Abscissa dan ordinat

nombor kompleks. Konjugasi nombor kompleks.

Operasi dengan nombor kompleks. Geometrik

perwakilan nombor kompleks. satah kompleks.

Modulus dan hujah bagi nombor kompleks. trigonometri

bentuk nombor kompleks. Operasi dengan kompleks

nombor dalam bentuk trigonometri. Formula Moivre.

Maklumat asas tentang khayalan dan nombor kompleks diberikan dalam bahagian "Nombor khayalan dan kompleks". Keperluan untuk nombor jenis baharu ini muncul apabila menyelesaikan persamaan kuadratik untuk kes ituD< 0 (здесь Dialah diskriminasi bagi persamaan kuadratik). Untuk masa yang lama, nombor ini tidak menemui penggunaan fizikal, sebab itu ia dipanggil nombor "khayalan". Walau bagaimanapun, kini ia digunakan secara meluas dalam pelbagai bidang fizik.

dan teknologi: kejuruteraan elektrik, hidro dan aerodinamik, teori keanjalan, dsb.

Nombor kompleks ditulis sebagai:a+bi. Di sini a dan b – nombor nyata , a i – unit khayalan. e. i 2 = –1. Nombor a dipanggil abscissa, a b - selarasnombor kompleksa + b .Dua nombor kompleksa+bi dan a-bi dipanggil konjugasi nombor kompleks.

Perjanjian utama:

1. Nombor sebenaraboleh juga ditulis dalam bentuknombor kompleks:a + 0 i atau a - 0 i. Sebagai contoh, entri 5 + 0i dan 5 - 0 ibermakna nombor yang sama 5 .

2. Nombor kompleks 0 + bidipanggil khayalan semata-mata nombor. Rakamanbibermakna sama dengan 0 + bi.

3. Dua nombor kompleksa+bi danc + didianggap sama jikaa = c dan b = d. Jika tidak nombor kompleks tidak sama.

Penambahan. Jumlah nombor kompleksa+bi dan c + didipanggil nombor kompleks (a+c ) + (b+d ) i .Dengan cara ini, apabila ditambah nombor kompleks, absis dan ordinatnya ditambah secara berasingan.

Takrifan ini mengikut peraturan untuk berurusan dengan polinomial biasa.

Penolakan. Perbezaan antara dua nombor kompleksa+bi(dikurangkan) dan c + di(ditolak) dipanggil nombor kompleks (a-c ) + (b-d ) i .

Dengan cara ini, apabila menolak dua nombor kompleks, absis dan ordinatnya ditolak secara berasingan.

Pendaraban. Hasil darab nombor kompleksa+bi dan c + di dipanggil nombor kompleks.

(ac-bd ) + (iklan+bc ) i .Definisi ini berpunca daripada dua keperluan:

1) nombor a+bi dan c + dihendaklah mendarab seperti algebra binomial,

2) nombor imempunyai sifat utama:i 2 = – 1.

CONTOH ( a + bi )(a-bi) = a 2 +b 2 . Akibatnya, kerja

dua nombor kompleks konjugat adalah sama dengan nyata

nombor positif.

Bahagian. Bahagikan nombor kompleksa+bi (boleh dibahagikan) kepada yang lainc + di(pembahagi) - bermakna mencari nombor ketigae + fi(sembang), yang, apabila didarab dengan pembahagic + di, yang menghasilkan dividena + b .

Jika pembahagi bukan sifar, pembahagian sentiasa mungkin.

CONTOH Cari (8+i ) : (2 – 3 i) .

Penyelesaian. Mari kita tulis semula nisbah ini sebagai pecahan:

Mendarabkan pengangka dan penyebutnya dengan 2 + 3i

Dan selepas melakukan semua transformasi, kami mendapat:

Perwakilan geometri bagi nombor kompleks. Nombor nyata diwakili oleh titik pada garis nombor:

Inilah maksudnya Abermakna nombor -3, titikB ialah nombor 2, dan O- sifar. Sebaliknya, nombor kompleks diwakili oleh titik pada satah koordinat. Untuk ini, kami memilih koordinat segi empat tepat (Cartesian) dengan skala yang sama pada kedua-dua paksi. Kemudian nombor kompleksa+bi akan diwakili oleh titik P dengan absis a dan ordinat b (lihat rajah.). Sistem koordinat ini dipanggil satah kompleks .

modul nombor kompleks dipanggil panjang vektorOP, menggambarkan nombor kompleks pada koordinat ( bersepadu) kapal terbang. Modulus nombor kompleksa+bi dilambangkan dengan | a+bi| atau surat r

§ 1. Nombor kompleks: takrifan, tafsiran geometri, operasi dalam bentuk algebra, trigonometri dan eksponen

Definisi nombor kompleks

Persamaan kompleks

Perwakilan geometri bagi nombor kompleks

Modulus dan hujah bagi nombor kompleks

Bentuk algebra dan trigonometri bagi nombor kompleks

Bentuk eksponen bagi nombor kompleks

Formula Euler

§ 2. Keseluruhan fungsi (polinomial) dan sifat asasnya. Penyelesaian persamaan algebra pada set nombor kompleks

Takrif persamaan algebra bagi darjah ke

Sifat asas polinomial

Contoh penyelesaian persamaan algebra pada set nombor kompleks

Soalan untuk pemeriksaan diri

Glosari

§ 1. Nombor kompleks: takrifan, tafsiran geometri, operasi dalam bentuk algebra, trigonometri dan eksponen

Definisi nombor kompleks ( Merumus definisi nombor kompleks)

Nombor kompleks z ialah ungkapan bentuk berikut:

Nombor kompleks dalam bentuk algebra,(1)

Di mana x, y Î;

- konjugat kompleks nombor z ;

- nombor berlawanan nombor z ;

- sifar kompleks ;

- ini ialah set nombor kompleks.

1)z = 1 + iÞ Semula z= 1, Im z = 1, = 1 – saya, = –1 – i ;

2)z = –1 + iÞ Semula z= –1, Im z = , = –1 – saya, = –1 –i ;

3)z = 5 + 0i= 5 Þ Semula z= 5, Im z = 0, = 5 – 0i = 5, = –5 – 0i = –5

Þ jika Im z= 0, maka z = x- nombor sebenar;

4)z = 0 + 3i = 3iÞ Semula z= 0, Im z = 3, = 0 – 3i = –3i , = –0 – 3i = – 3i

Þ jika Re z= 0, maka z = iy - nombor khayalan tulen.

Persamaan kompleks (Rumuskan maksud kesamaan kompleks)

1) ;

2) .

Satu kesamaan kompleks adalah bersamaan dengan sistem dua kesamaan nyata. Kesamaan sebenar ini diperoleh daripada kesamaan kompleks dengan memisahkan bahagian nyata dan khayalan.

1) ;

2) .

Perwakilan geometri bagi nombor kompleks ( Apakah perwakilan geometri bagi nombor kompleks?)

Nombor kompleks z diwakili oleh titik ( x , y) pada satah kompleks atau vektor jejari titik ini.

Tanda z dalam kuadran kedua bermakna sistem koordinat Cartesan akan digunakan sebagai satah kompleks.

Modulus dan hujah bagi nombor kompleks ( Apakah modulus dan hujah bagi nombor kompleks?)

Modulus nombor kompleks ialah nombor nyata bukan negatif

.(2)

Secara geometri, modulus nombor kompleks ialah panjang vektor yang mewakili nombor itu z, atau jejari kutub suatu titik ( x , y).

Lukis nombor berikut pada satah kompleks dan tuliskannya dalam bentuk trigonometri.

1)z = 1 + i Þ

Þ ;

5),

iaitu, untuk z = 0 ia akan menjadi

, j tidak ditentukan.

Operasi aritmetik pada nombor kompleks (Berikan definisi dan senaraikan sifat utama operasi aritmetik pada nombor kompleks.)

Penambahan (tolak) nombor kompleks

z 1 ± z 2 = (x 1 + iy 1)±( x 2 + iy 2) = (x 1 ± x 2) + i (y 1 ± y 2),(5)

iaitu apabila menambah (menolak) nombor kompleks, bahagian nyata dan khayalannya ditambah (ditolak).

1)(1 + i) + (2 – 3i) = 1 + i + 2 –3i = 3 – 2i ;

2)(1 + 2i) – (2 – 5i) = 1 + 2i – 2 + 5i = –1 + 7i .

Sifat asas penambahan

1)z 1 + z 2 = z 2 + z 1;

2)z 1 + z 2 + z 3 = (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3);

3)z 1 – z 2 = z 1 + (– z 2);

4)z + (–z) = 0;

Pendaraban nombor kompleks dalam bentuk algebra

z 1∙z 2 = (x 1 + iy 1)∙(x 2 + iy 2) = x 1x 2 + x 1iy 2 + iy 1x 2 + i 2y 1y 2 = (6)

= (x 1x 2 – y 1y 2) + i (x 1y 2 + y 1x 2),

iaitu pendaraban nombor kompleks dalam bentuk algebra dijalankan mengikut peraturan pendaraban algebra binomial dengan binomial, diikuti dengan penggantian dan pengurangan yang serupa dalam sebutan nyata dan khayalan.

1)(1 + i)∙(2 – 3i) = 2 – 3i + 2i – 3i 2 = 2 – 3i + 2i + 3 = 5 – i ;

2)(1 + 4i)∙(1 – 4i) = 1 – 42 i 2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + i)2 = 22 + 4i + i 2 = 3 + 4i .

Pendaraban nombor kompleks bentuk trigonometri

z 1∙z 2 = r 1 (kos j 1 + i dosa j 1)× r 2 (kos j 2 + i dosa j 2) =

= r 1r 2 (kos j 1cos j 2 + i cos j 1dosa j 2 + i dosa j 1cos j 2 + i 2 dosa j 1dosa j 2) =

= r 1r 2((kos j 1cos j 2-dosa j 1dosa j 2) + i(cos j 1dosa j 2+ dosa j 1cos j 2))

Hasil darab nombor kompleks dalam bentuk trigonometri, iaitu apabila nombor kompleks didarab dalam bentuk trigonometri, modulinya didarab dan hujah ditambah.

Sifat asas pendaraban

1)z 1× z 2 = z 2× z 1 - komutatif;

2)z 1× z 2× z 3 = (z 1× z 2)× z 3 = z 1×( z 2× z 3) - pergaulan;

3)z 1×( z 2 + z 3) = z 1× z 2 + z 1× z 3 - pengagihan berkenaan dengan penambahan;

4)z×0 = 0; z×1 = z ;

Pembahagian nombor kompleks

Pembahagian ialah songsang bagi pendaraban, jadi

jika z × z 2 = z 1 dan z 2 ¹ 0, kemudian .

Apabila melakukan pembahagian dalam bentuk algebra, pengangka dan penyebut pecahan didarab dengan konjugat kompleks penyebut:

Pembahagian nombor kompleks dalam bentuk algebra.(7)

Apabila melakukan pembahagian dalam bentuk trigonometri, modul dibahagikan dan hujah ditolak:

Pembahagian nombor kompleks dalam bentuk trigonometri.(8)

2)
.

Menaikkan nombor kompleks kepada kuasa semula jadi

Meningkatkan kuasa semula jadi adalah lebih mudah untuk dilakukan dalam bentuk trigonometri:

Formula Moivre,(9)

iaitu, apabila nombor kompleks dinaikkan kepada kuasa semula jadi, modulusnya dinaikkan kepada kuasa itu, dan hujah didarab dengan eksponen.

Kira (1 + i)10.

Kenyataan

1. Apabila melakukan operasi pendaraban dan peningkatan kepada kuasa semula jadi dalam bentuk trigonometri, nilai sudut boleh diperolehi di luar satu pusingan penuh. Tetapi mereka sentiasa boleh dikurangkan kepada sudut atau dengan menjatuhkan nombor integer pusingan lengkap mengikut sifat berkala bagi fungsi dan .

2. Maksud dipanggil nilai utama bagi hujah nombor kompleks;

dalam kes ini, nilai semua sudut yang mungkin menunjukkan;

sudah jelas bahawa , .

Mengeluarkan punca darjah semula jadi daripada nombor kompleks

Formula Euler(16)

yang mana fungsi trigonometri dan pembolehubah nyata dinyatakan dalam sebutan fungsi eksponen (eksponen) dengan eksponen khayalan semata-mata.

§ 2. Keseluruhan fungsi (polinomial) dan sifat asasnya. Penyelesaian persamaan algebra pada set nombor kompleks

Dua polinomial yang sama darjah n adalah sama dengan satu sama lain jika dan hanya jika pekalinya bertepatan pada kuasa pembolehubah yang sama x, itu dia

Bukti

w Identiti (3) memegang untuk "xн (atau "xн)

Þ ia sah untuk ; menggantikan , kita dapat an = bn .

Marilah kita sama-sama menghapuskan istilah dalam (3) an dan bn dan bahagikan kedua-dua bahagian dengan x :

Identiti ini juga benar untuk " x, termasuk bila x = 0

Þ andaikan x= 0, kita dapat an – 1 = bn – 1.

Saling memusnahkan dalam istilah (3") an– 1 dan a n– 1 dan bahagikan kedua-dua bahagian dengan x, hasilnya kita dapat

Meneruskan hujah yang sama, kita mendapat itu an – 2 = bn –2, …, a 0 = b 0.

Oleh itu, terbukti bahawa daripada kesamaan identik polinomial 2-x mengikuti kebetulan pekalinya pada darjah yang sama x .

Pernyataan sebaliknya adalah betul-betul jelas, i.e. jika dua polinomial mempunyai semua pekali yang sama, maka ia adalah fungsi yang sama, oleh itu, nilainya adalah sama untuk semua nilai hujah, yang bermaksud kesamaan yang sama. Harta 1 terbukti sepenuhnya. v

Apabila membahagikan polinomial PN (x) kepada perbezaan ( x – X 0) bakinya adalah sama dengan PN (x 0), iaitu

Teorem Bezout,(4)

di mana Qn – 1(x) - bahagian integer pembahagian, ialah polinomial darjah ( n – 1).

Bukti

w Mari kita tulis formula bahagi dengan baki:

PN (x) = (x – X 0)∙Qn – 1(x) + A ,

di mana Qn – 1(x) - polinomial darjah ( n – 1),

A- baki, yang merupakan nombor disebabkan oleh algoritma yang terkenal untuk membahagikan polinomial kepada binomial "dalam lajur".

Persamaan ini benar untuk " x, termasuk bila x = X 0 Þ

PN (x 0) = (x 0 – x 0)× Qn – 1(x 0) + A Þ

A = PN (X 0), h.t.d. v

Akibat daripada teorem Bezout. Mengenai pembahagian polinomial dengan binomial tanpa baki

Jika nombor X 0 ialah sifar polinomial, maka polinomial ini boleh dibahagikan dengan perbezaan ( x – X 0) tanpa baki, iaitu

Þ .(5)

1) , sejak P 3(1) º 0

2) , sejak P 4(–2) º 0

3) kerana P 2(–1/2) º 0

Pembahagian polinomial kepada binomial "dalam lajur":

Setiap polinomial darjah n ³ 1 mempunyai sekurang-kurangnya satu sifar, nyata atau kompleks

Bukti teorem ini adalah di luar skop kursus kami. Oleh itu, kami menerima teorem tanpa bukti.

Mari kita kerjakan teorem ini dan teorem Bezout dengan polinomial PN (x).

Selepas n-melipat penggunaan teorem ini, kita memperolehnya

di mana a 0 ialah pekali pada x n dalam PN (x).

Akibat daripada teorem asas algebra. Mengenai penguraian polinomial kepada faktor linear

Sebarang polinomial darjah pada set nombor kompleks terurai menjadi n faktor linear, iaitu

Penguraian polinomial kepada faktor linear, (6)

dengan x1, x2, ... xn ialah sifar polinomial.

Pada masa yang sama, jika k nombor daripada set X 1, X 2, … xn bertepatan antara satu sama lain dan dengan nombor a, maka dalam hasil darab (6) faktor ( x– a) k. Kemudian nombor x= a dipanggil k-lipatan sifar polinomial PN ( x) . Sekiranya k= 1, maka sifar dipanggil polinomial sifar mudah PN ( x) .

1)P 4(x) = (x – 2)(x– 4)3 Þ x 1 = 2 - sifar mudah, x 2 = 4 - tiga kali ganda sifar;

2)P 4(x) = (x – i)4 x = i- sifar kepelbagaian 4.

Sifat 4 (pada bilangan punca persamaan algebra)

Mana-mana persamaan algebra Pn(x) = 0 darjah n mempunyai tepat n punca pada set nombor kompleks jika setiap punca dikira seberapa banyak kali gandanya.

1)x 2 – 4x+ 5 = 0 - persamaan algebra darjah kedua

Þ x 1.2 = 2 ± = 2 ± i- dua akar;

2)x 3 + 1 = 0 - persamaan algebra darjah ketiga

Þ x 1,2,3 = - tiga akar;

3)P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 x 1 = 1, kerana P 3(1) = 0.

Bahagikan polinomial P 3(x) pada ( x – 1):

x 3	+	x 2	–	x	–	1	x – 1
x 3	–	x 2	x 2 + 2x +1
2x 2	–	x
2x 2	–	2x
x	–	1
x	–	1
0

Persamaan Awal

P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 Û( x – 1)(x 2 + 2x+ 1) = 0 w( x – 1)(x + 1)2 = 0

Þ x 1 = 1 - punca mudah, x 2 \u003d -1 - punca berganda.

1) adalah berpasangan akar konjugat kompleks;

Mana-mana polinomial dengan pekali nyata terurai menjadi hasil darab fungsi linear dan kuadratik dengan pekali nyata.

Bukti

w Biarkan x 0 = a + bi- sifar polinomial PN (x). Jika semua pekali polinomial ini adalah nombor nyata, maka adalah juga sifarnya (dengan sifat 5).

Kami mengira hasil darab binomial :

persamaan polinomial nombor kompleks

mendapat ( x – a)2 + b 2 - trinomial persegi dengan pekali nyata.

Oleh itu, sebarang pasangan binomial dengan akar konjugat kompleks dalam formula (6) membawa kepada trinomial segi empat sama dengan pekali nyata. v

1)P 3(x) = x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x + 1);

2)P 4(x) = x 4 – x 3 + 4x 2 – 4x = x (x –1)(x 2 + 4).

Contoh penyelesaian persamaan algebra pada set nombor kompleks ( Berikan contoh penyelesaian persamaan algebra pada set nombor kompleks)

1. Persamaan algebra darjah pertama:

, adalah satu-satunya punca mudah.

2. Persamaan kuadratik:

, - sentiasa mempunyai dua punca (berbeza atau sama).

1) .

3. Persamaan darjah dua jangka:

, - sentiasa mempunyai akar yang berbeza.

Jawapan: , .

4. Selesaikan persamaan padu.

Persamaan darjah ketiga mempunyai tiga punca (nyata atau kompleks), dan setiap punca mesti dikira seberapa banyak kali gandanya. Oleh kerana semua pekali persamaan ini adalah nombor nyata, maka punca kompleks persamaan, jika ada, akan menjadi konjugat kompleks berpasangan.

Dengan pemilihan kita dapati punca pertama persamaan , sejak .

Dengan akibat daripada teorem Bezout. Kami mengira bahagian ini "dalam lajur":

_

_

_

Mewakili polinomial sebagai hasil darab faktor linear dan segi empat sama, kita dapat:

Kami mencari punca-punca lain sebagai punca-punca persamaan kuadratik:

Jawapan: , .

5. Susun persamaan algebra dengan darjah terkecil dengan pekali nyata, jika diketahui bahawa nombor x 1 = 3 dan x 2 = 1 + i adalah akarnya, dan x 1 ialah punca berganda, dan x 2 - mudah.

Nombor itu juga merupakan punca persamaan, kerana pekali persamaan mestilah nyata.

Secara keseluruhan, persamaan yang dikehendaki mempunyai 4 punca: x 1, x 1,x 2, . Oleh itu, darjahnya ialah 4. Kami menyusun polinomial darjah ke-4 dengan sifar x

11. Apakah kompleks sifar?

13. Merumus maksud persamaan kompleks.

15. Apakah modulus dan hujah bagi nombor kompleks?

17. Apakah hujah bagi nombor kompleks?

18. Apakah nama atau maksud formula tersebut?

19. Terangkan maksud tatatanda dalam formula ini:

27. Berikan definisi dan senaraikan sifat utama operasi aritmetik pada nombor kompleks.

28. Apakah nama atau maksud formula tersebut?

29. Terangkan maksud tatatanda dalam formula ini:

31. Apakah nama atau maksud formula tersebut?

32. Terangkan maksud tatatanda dalam formula ini:

34. Apakah nama atau maksud formula tersebut?

35. Terangkan maksud tatatanda dalam formula ini:

61. Senaraikan sifat utama polinomial.

63. Rumuskan sifat tentang membahagi polinomial dengan beza (x - x0).

65. Apakah nama atau maksud formula tersebut?

66. Terangkan maksud tatatanda dalam formula ini:

67. ⌂ .

69. Rumuskan teorem teorem algebra adalah asas.

70. Apakah nama atau maksud formula tersebut?

71. Terangkan maksud tatatanda dalam formula ini:

75. Merumuskan sifat tentang bilangan punca bagi persamaan algebra.

78. Merumuskan sifat tentang penguraian polinomial dengan pekali nyata kepada faktor linear dan kuadratik.

Glosari

Sifar lipatan k bagi polinomial dipanggil... (ms 18)

polinomial algebra dipanggil... (ms 14)

persamaan algebra darjah ke-n dipanggil ... (ms 14)

bentuk algebra bagi nombor kompleks dipanggil... (ms 5)

hujah bagi nombor kompleks ialah... (ms 4)

bahagian nyata bagi nombor kompleks z ialah... (halaman 2)

konjugat kompleks ialah... (halaman 2)

sifar kompleks ialah... (halaman 2)

nombor kompleks dipanggil... (ms 2)

punca ke-n bagi nombor kompleks dipanggil... (ms 10)

punca persamaan dipanggil ... (ms 14)

pekali polinomial ialah... (ms 14)

unit khayalan ialah... (halaman 2)

bahagian khayalan bagi nombor kompleks z ialah... (halaman 2)

modulus nombor kompleks dipanggil... (ms 4)

sifar fungsi dipanggil... (ms 14)

bentuk eksponen bagi nombor kompleks dipanggil... (ms 11)

polinomial dipanggil... (ms 14)

sifar mudah polinomial dipanggil... (ms 18)

nombor bertentangan ialah... (muka surat 2)

darjah polinomial ialah... (ms 14)

bentuk trigonometri nombor kompleks dipanggil... (ms 5)

Formula De Moivre ialah... (ms 9)

Formula Euler ialah... (ms 13)

keseluruhan fungsi dipanggil... (ms 14)

nombor khayalan semata-mata ialah... (ms 2)

Ingat kembali maklumat yang diperlukan tentang nombor kompleks.

Nombor kompleks adalah ungkapan bentuk a + bi, di mana a, b ialah nombor nyata, dan i- kononnya unit khayalan, simbol yang kuasa duanya ialah -1, i.e. i 2 = -1. Nombor a dipanggil bahagian sebenar, dan nombor b - bahagian khayalan nombor kompleks z = a + bi. Sekiranya b= 0, kemudian bukannya a + 0i menulis secara ringkas a. Dapat dilihat bahawa nombor nyata adalah kes khas nombor kompleks.

Operasi aritmetik pada nombor kompleks adalah sama seperti pada nombor nyata: ia boleh ditambah, ditolak, didarab dan dibahagikan dengan satu sama lain. Penambahan dan penolakan diteruskan mengikut peraturan ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, dan pendaraban - mengikut peraturan ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (iklan + bc)i(di sini ia hanya digunakan itu i 2 = -1). Nombor = a – bi dipanggil konjugat kompleks kepada z = a + bi. Kesaksamaan z · = a 2 + b 2 membolehkan anda memahami cara membahagi satu nombor kompleks dengan nombor kompleks lain (bukan sifar):

(Sebagai contoh, .)

Nombor kompleks mempunyai perwakilan geometri yang mudah dan visual: nombor z = a + bi boleh diwakili sebagai vektor dengan koordinat ( a; b) pada satah Cartesian (atau, yang hampir sama, titik - hujung vektor dengan koordinat ini). Dalam kes ini, jumlah dua nombor kompleks digambarkan sebagai jumlah vektor yang sepadan (yang boleh didapati oleh peraturan selari). Dengan teorem Pythagoras, panjang vektor dengan koordinat ( a; b) adalah sama dengan . Nilai ini dipanggil modul nombor kompleks z = a + bi dan dilambangkan dengan | z|. Sudut yang dibuat oleh vektor ini dengan arah positif paksi-x (dikira lawan jam) dipanggil hujah nombor kompleks z dan dilambangkan dengan Arg z. Hujah tidak ditakrifkan secara unik, tetapi hanya sehingga penambahan gandaan 2 π radians (atau 360°, jika anda mengira dalam darjah) - lagipun, jelas bahawa membelok melalui sudut sedemikian di sekeliling asal tidak akan mengubah vektor. Tetapi jika vektor panjang r membentuk sudut φ dengan arah positif paksi-x, maka koordinatnya adalah sama dengan ( r cos φ ; r dosa φ ). Oleh itu ternyata tatatanda trigonometri nombor kompleks: z = |z| (cos(Arg z) + i dosa (Arg z)). Selalunya mudah untuk menulis nombor kompleks dalam bentuk ini, kerana ia sangat memudahkan pengiraan. Pendaraban nombor kompleks dalam bentuk trigonometri kelihatan sangat mudah: z satu · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+arg z 2) + i dosa (Arg z 1+arg z 2)) (apabila mendarab dua nombor kompleks, moduli mereka didarab dan hujah ditambah). Dari sini ikuti Formula De Moivre: z n = |z|n(cos( n(Arg z)) + i dosa( n(Arg z))). Dengan bantuan formula ini, adalah mudah untuk mempelajari cara mengekstrak akar dari mana-mana darjah daripada nombor kompleks. punca ke-n bagi z adalah nombor yang kompleks w, apa w n = z. Ia adalah jelas bahawa , Dan di mana k boleh mengambil sebarang nilai daripada set (0, 1, ..., n- satu). Ini bermakna sentiasa ada yang tepat n akar n darjah ke- dari nombor kompleks (pada satah ia terletak di bucu nombor biasa n-gon).

Menggunakan kalkulator

Untuk menilai ungkapan, anda mesti memasukkan rentetan untuk menilai. Apabila memasukkan nombor, pemisah perpuluhan ialah noktah. Tanda kurung boleh digunakan. Operasi pada nombor kompleks ialah pendaraban (*), bahagi (/), tambah (+), tolak (-), eksponen (^) dan lain-lain. Sebagai rekod nombor kompleks, anda boleh menggunakan bentuk eksponen dan algebra. Masukkan unit khayalan i mungkin tanpa tanda darab, dalam kes lain tanda darab diperlukan, contohnya, antara kurungan atau antara nombor dan pemalar. Pemalar juga boleh digunakan: nombor π dimasukkan sebagai pi, eksponen e, sebarang ungkapan dalam eksponen mesti disertakan dalam kurungan.

Contoh rentetan untuk dikira: (4.5+i12)*(3.2i-2.5)/e^(i1.25*pi), yang sepadan dengan ungkapan \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\]

Kalkulator boleh menggunakan pemalar, fungsi matematik, operasi tambahan dan ungkapan yang lebih kompleks, anda boleh membiasakan diri dengan ciri-ciri ini di halaman peraturan am untuk menggunakan kalkulator di laman web ini.

Tapak ini sedang dalam pembinaan, beberapa halaman mungkin tidak tersedia.

Berita

07.07.2016
Menambah kalkulator untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra tak linear: .

30.06.2016
Tapak ini mempunyai reka bentuk responsif, halaman dipaparkan secukupnya pada monitor besar dan pada peranti mudah alih.

Penaja

RGOnline.ru - penyelesaian segera untuk kerja elektrik dalam talian.

pekerjaan 12 . Nombor kompleks.

12.1. Definisi nombor kompleks dalam bentuk algebra. Perbandingan dan perwakilan nombor kompleks pada satah kompleks. Konjugasi kompleks. Penambahan, pendaraban, pembahagian nombor kompleks.

12.2. Modulus, hujah nombor kompleks.

12.3. Bentuk trigonometri dan eksponen untuk menulis nombor kompleks.

12.4. Menaikkan kepada kuasa integer dan mengekstrak punca daripada nombor kompleks.

Definisi nombor kompleks dalam bentuk algebra. Perbandingan dan perwakilan nombor kompleks pada satah kompleks. Konjugasi kompleks. Penambahan, pendaraban, pembahagian nombor kompleks.

Nombor kompleks dalam bentuk algebra ialah nombor

di mana
dipanggil unit khayalan dan
- nombor nyata:
dipanggil bahagian nyata (nyata).;
- bahagian khayalan nombor kompleks . Nombor kompleks borang
dipanggil nombor khayalan semata-mata. Set semua nombor kompleks dilambangkan dengan huruf .

Mengikut definisi,

Set semua nombor nyata adalah sebahagian daripada set
: . Sebaliknya, terdapat nombor kompleks yang bukan milik set . Sebagai contoh,
dan
, kerana
.

Nombor kompleks dalam bentuk algebra secara semula jadi timbul apabila menyelesaikan persamaan kuadratik dengan diskriminasi negatif.

Contoh 1. selesaikan persamaan
.

Penyelesaian. ,

Oleh itu, persamaan kuadratik yang diberikan mempunyai punca kompleks

,
.

Contoh 2. Cari bahagian nyata dan khayalan bagi nombor kompleks

,

,
.

Sehubungan itu, bahagian sebenar dan khayalan nombor itu ,

Mana-mana nombor kompleks
diwakili oleh vektor pada satah kompleks , mewakili satah dengan sistem koordinat Cartesan
. Permulaan vektor terletak pada titik , dan penghujungnya adalah pada titik dengan koordinat
(Rajah 1.) Paksi
dipanggil paksi sebenar, dan paksi
- paksi khayalan satah kompleks .

Nombor kompleks dibandingkan dengan satu sama lain hanya dengan tanda.
. . Jika sekurang-kurangnya satu daripada persamaan:
dilanggar, maka
. Entri jenis
tak masuk akal.

Mengikut definisi, kompleks nombor
dipanggil konjugat kompleks nombor itu
. Dalam kes ini, tulis
. Jelas sekali
. Di mana-mana di bawah, bar di atas nombor kompleks akan bermakna konjugasi kompleks.

Sebagai contoh, .

Operasi seperti tambah (tolak), darab, dan bahagi boleh dilakukan pada nombor kompleks.

1. Penambahan nombor kompleks dilakukan seperti ini:

Sifat operasi tambahan:

- sifat komutatif;

- Harta pergaulan.

Ia adalah mudah untuk melihat bahawa penambahan geometri nombor kompleks
bermakna penambahan yang sepadan dengan mereka di dalam pesawat vektor mengikut peraturan selari.

Operasi tolak nombor daripada nombor dilakukan seperti ini:

2. Pendaraban nombor kompleks dilakukan seperti ini:

Sifat operasi darab:

- sifat komutatif;

- harta pergaulan;

- hukum pengagihan.

3. Pembahagian nombor kompleks boleh dilakukan hanya apabila
dan dilakukan seperti ini:

Contoh 3. Cari
, jika .

Contoh 4. Kira
, jika .

z, kerana
.

.(Aduh!)

Adalah mudah untuk mengesahkan (ia dicadangkan untuk melakukannya sendiri) kesahihan pernyataan berikut:

Modulus, hujah nombor kompleks.

Modulus nombor kompleks
(modul dilambangkan ) ialah nombor bukan negatif
, iaitu
.

deria geometri - panjang vektor yang mewakili nombor pada satah kompleks . Persamaan
mentakrifkan set semua nombor (vektor per ) yang hujungnya terletak pada bulatan unit
.

Hujah nombor kompleks
(hujah dilambangkan
) ialah sudut dalam radian antara paksi sebenar
dan nombor pada satah kompleks , dan adalah positif jika dikira daripada
sebelum ini lawan jam, dan negatif jika diukur dari paksi
sebelum ini mengikut arah jam.

Jadi hujah nombor ditakrifkan secara samar-samar, sehingga istilah
, di mana
. Sudah tentu hujah nombor ditakrifkan dalam satu lintasan bulatan unit
di permukaan . Biasanya anda perlu mencari
dalam selang waktu
,nilai sedemikian dipanggil nilai utama argumen nombor dan dilambangkan
.

dan
nombor boleh didapati daripada persamaan
, di mana semestinya mesti diambil kira dalam suku mana pesawat terletak hujung vektor - titik
:

jika
(suku pertama pesawat ), maka ;

jika
(suku ke-2 pesawat ), maka;

jika
(suku ketiga pesawat ), maka ;

jika
(suku keempat pesawat ), kemudian.

Malah, modulus dan hujah nombor
, ini adalah koordinat kutub
mata
- penghujung vektor di permukaan .

Contoh 5. Cari modulus dan nilai prinsipal bagi hujah nombor:

Hujah nombor berbaring paksi
memisahkan suku 1,2,3,4 satah kompleks itu , ditemui serta-merta oleh perwakilan grafik nombor ini pada pesawat .

Bentuk trigonometri dan eksponen untuk menulis nombor kompleks. Pendaraban dan pembahagian nombor kompleks dalam tatatanda trigonometri dan eksponen.

Tatatanda trigonometri nombor kompleks
kelihatan seperti:

, (2)

di mana - modul, - hujah nombor kompleks . Perwakilan nombor kompleks sedemikian mengikut daripada kesamaan.

Demonstrasi(eksponen) bentuk tatatanda nombor kompleks
kelihatan seperti:

, (3)

di mana - modul, - hujah nombor . Kemungkinan untuk mewakili nombor kompleks dalam bentuk eksponen (3) berikutan daripada bentuk trigonometri (2) dan formula Euler:

. (4)

Formula ini dibuktikan dalam kursus TFKP (Teori fungsi pembolehubah kompleks).

Contoh 6. Cari bentuk trigonometri dan eksponen bagi nombor kompleks: daripada contoh 5.

Penyelesaian. Mari kita gunakan keputusan Contoh 5, di mana modul dan hujah semua nombor yang ditunjukkan ditemui.

- bentuk trigonometri untuk menulis nombor ,

- bentuk eksponen (eksponen) penulisan nombor .

- bentuk trigonometri untuk menulis nombor ,

- bentuk eksponen (eksponen) penulisan nombor .

Bentuk trigonometri untuk menulis nombor ,

- bentuk eksponen (eksponen) penulisan nombor .

- bentuk trigonometri untuk menulis nombor ,

- bentuk eksponen (eksponen) penulisan nombor .

Bentuk trigonometri nombor ,

- bentuk trigonometri untuk menulis nombor ,

- bentuk eksponen (eksponen) nombor .

- bentuk trigonometri untuk menulis nombor ,

- bentuk eksponen (eksponen) penulisan nombor .

Bentuk eksponen untuk menulis nombor kompleks membawa kepada tafsiran geometri berikut bagi operasi pendaraban dan pembahagian nombor kompleks. biarlah
- bentuk eksponen nombor
.

1. Apabila mendarab nombor kompleks, moduli mereka didarab, dan hujah ditambah.

2. Apabila membahagi nombor kompleks setiap nombor mendapatkan nombor kompleks , modul yang sama dengan nisbah modul , dan hujah - perbezaan
hujah nombor
.

Menaikkan kepada kuasa integer dan mengekstrak punca daripada nombor kompleks.

Mengikut definisi,

Apabila dinaikkan kepada kuasa integer nombor kompleks
, anda harus meneruskan seperti berikut: mula-mula cari modul dan hujah nombor ini; memperkenalkan dalam bentuk demonstrasi
; cari
dengan melakukan langkah-langkah berikut