5 nombor kompleks. Tutorial: Nombor Kompleks

Untuk menyelesaikan masalah dengan nombor kompleks, anda perlu memahami definisi asas. Objektif utama artikel ulasan ini adalah untuk menerangkan apa itu nombor kompleks dan mengemukakan kaedah untuk menyelesaikan masalah asas dengan nombor kompleks. Oleh itu, nombor kompleks ialah nombor bentuk z = a + bi, di mana a, b- nombor nyata, yang masing-masing dipanggil bahagian nyata dan khayalan nombor kompleks, dan menandakan a = Re(z), b=Im(z).
i dipanggil unit khayalan. i 2 \u003d -1. Khususnya, sebarang nombor nyata boleh dianggap kompleks: a = a + 0i, di mana a adalah sebenar. Jika a = 0 dan b ≠ 0, maka nombor itu dipanggil khayalan semata-mata.

Kami kini memperkenalkan operasi pada nombor kompleks.
Pertimbangkan dua nombor kompleks z 1 = a 1 + b 1 i dan z 2 = a 2 + b 2 i.

Pertimbangkan z = a + bi.

Set nombor kompleks memanjangkan set nombor nyata, yang seterusnya memanjangkan set nombor rasional, dan seterusnya. Rantaian benam ini boleh dilihat dalam rajah: N - nombor asli, Z - integer, Q - rasional, R - nyata, C - kompleks.

Perwakilan nombor kompleks

tatatanda algebra.

Pertimbangkan nombor kompleks z = a + bi, bentuk penulisan nombor kompleks ini dipanggil algebra. Kami telah membincangkan bentuk penulisan ini secara terperinci dalam bahagian sebelumnya. Agak kerap menggunakan lukisan ilustrasi berikut

bentuk trigonometri.

Ia boleh dilihat daripada rajah bahawa nombor z = a + bi boleh ditulis secara berbeza. Jelas sekali a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, Akibatnya z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) dipanggil hujah bagi nombor kompleks. Perwakilan nombor kompleks ini dipanggil bentuk trigonometri. Bentuk notasi trigonometri kadangkala sangat mudah. Sebagai contoh, ia adalah mudah untuk menggunakannya untuk menaikkan nombor kompleks kepada kuasa integer, iaitu, jika z = rcos(φ) + rsin(φ)i, kemudian z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, formula ini dipanggil Formula De Moivre.

Bentuk tunjuk cara.

Pertimbangkan z = rcos(φ) + rsin(φ)i ialah nombor kompleks dalam bentuk trigonometri, kita menulisnya dalam bentuk yang berbeza z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = semula iφ, kesamaan terakhir mengikuti daripada formula Euler, jadi kami mendapat bentuk baharu penulisan nombor kompleks: z = semula iφ, yang dipanggil demonstratif. Bentuk tatatanda ini juga sangat mudah untuk menaikkan nombor kompleks kepada kuasa: z n = r n e inφ, di sini n tidak semestinya integer, tetapi boleh menjadi nombor nyata arbitrari. Bentuk penulisan ini agak kerap digunakan untuk menyelesaikan masalah.

Teorem asas algebra yang lebih tinggi

Bayangkan bahawa kita mempunyai persamaan kuadratik x 2 + x + 1 = 0 . Adalah jelas bahawa diskriminasi persamaan ini adalah negatif dan ia tidak mempunyai punca sebenar, tetapi ternyata persamaan ini mempunyai dua punca kompleks yang berbeza. Jadi, teorem utama algebra yang lebih tinggi menyatakan bahawa sebarang polinomial darjah n mempunyai sekurang-kurangnya satu punca kompleks. Ia berikutan daripada ini bahawa mana-mana polinomial darjah n mempunyai tepat n punca kompleks, dengan mengambil kira kepelbagaiannya. Teorem ini merupakan hasil yang sangat penting dalam matematik dan digunakan secara meluas. Konsekuensi mudah teorem ini ialah terdapat betul-betul n punca-punca n-darjah perpaduan yang berbeza.

Jenis tugas utama

Dalam bahagian ini, jenis utama masalah nombor kompleks mudah akan dipertimbangkan. Secara konvensional, masalah nombor kompleks boleh dibahagikan kepada kategori berikut.

• Menjalankan operasi aritmetik mudah pada nombor kompleks.
• Mencari punca polinomial dalam nombor kompleks.
• Menaikkan nombor kompleks kepada kuasa.
• Pengekstrakan akar daripada nombor kompleks.
• Aplikasi nombor kompleks untuk menyelesaikan masalah lain.

Sekarang pertimbangkan kaedah umum untuk menyelesaikan masalah ini.

Operasi aritmetik paling mudah dengan nombor kompleks dilakukan mengikut peraturan yang diterangkan dalam bahagian pertama, tetapi jika nombor kompleks dibentangkan dalam bentuk trigonometri atau eksponen, maka dalam kes ini ia boleh ditukar menjadi bentuk algebra dan melakukan operasi mengikut peraturan yang diketahui.

Mencari punca polinomial biasanya datang kepada mencari punca persamaan kuadratik. Katakan kita mempunyai persamaan kuadratik, jika diskriminasinya bukan negatif, maka akarnya akan menjadi nyata dan ditemui mengikut formula yang terkenal. Jika diskriminasi adalah negatif, maka D = -1∙a 2, di mana a ialah nombor tertentu, maka kita boleh mewakili diskriminasi dalam bentuk D = (ia) 2, Akibatnya √D = i|a|, dan kemudian anda boleh menggunakan formula yang telah diketahui untuk punca-punca persamaan kuadratik.

Contoh. Mari kita kembali kepada persamaan kuadratik yang disebutkan di atas x 2 + x + 1 = 0.
Diskriminasi - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Sekarang kita boleh mencari akarnya dengan mudah:

Menaikkan nombor kompleks kepada kuasa boleh dilakukan dalam beberapa cara. Jika anda ingin menaikkan nombor kompleks dalam bentuk algebra kepada kuasa kecil (2 atau 3), maka anda boleh melakukan ini dengan pendaraban langsung, tetapi jika darjahnya lebih besar (dalam masalah selalunya lebih besar), maka anda perlu tulis nombor ini dalam bentuk trigonometri atau eksponen dan gunakan kaedah yang telah diketahui.

Contoh. Pertimbangkan z = 1 + i dan naikkan kepada kuasa kesepuluh.
Kami menulis z dalam bentuk eksponen: z = √2 e iπ/4 .
Kemudian z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Mari kita kembali kepada bentuk algebra: z 10 = -32i.

Mengeluarkan punca daripada nombor kompleks ialah operasi songsang bagi eksponen, jadi ia dilakukan dengan cara yang sama. Untuk mengekstrak akar, bentuk eksponen menulis nombor sering digunakan.

Contoh. Cari semua punca darjah 3 perpaduan. Untuk melakukan ini, kita dapati semua punca persamaan z 3 = 1, kita akan mencari punca dalam bentuk eksponen.
Gantikan dalam persamaan: r 3 e 3iφ = 1 atau r 3 e 3iφ = e 0 .
Oleh itu: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, maka φ = 2πk/3.
Pelbagai punca diperolehi pada φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Oleh itu 1 , e i2π/3 , e i4π/3 ialah punca.
Atau dalam bentuk algebra:

Jenis masalah terakhir termasuk pelbagai jenis masalah dan tidak ada kaedah umum untuk menyelesaikannya. Berikut adalah contoh mudah tugas sedemikian:

Cari jumlahnya sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Walaupun rumusan masalah ini tidak merujuk kepada nombor kompleks, tetapi dengan bantuan mereka ia boleh diselesaikan dengan mudah. Untuk menyelesaikannya, perwakilan berikut digunakan:


Jika sekarang kita menggantikan perwakilan ini ke dalam jumlah, maka masalahnya dikurangkan kepada penjumlahan janjang geometri biasa.

Kesimpulan

Nombor kompleks digunakan secara meluas dalam matematik, artikel ulasan ini membincangkan operasi asas pada nombor kompleks, menerangkan beberapa jenis masalah standard dan menerangkan secara ringkas kaedah umum untuk menyelesaikannya, untuk kajian yang lebih terperinci tentang kemungkinan nombor kompleks, adalah disyorkan untuk menggunakan kesusasteraan khusus.

kesusasteraan

Ingat kembali maklumat yang diperlukan tentang nombor kompleks.

Nombor kompleks adalah ungkapan bentuk a + bi, di mana a, b ialah nombor nyata, dan i- kononnya unit khayalan, simbol yang kuasa duanya ialah -1, i.e. i 2 = -1. Nombor a dipanggil bahagian sebenar, dan nombor b - bahagian khayalan nombor kompleks z = a + bi. Sekiranya b= 0, kemudian bukannya a + 0i menulis secara ringkas a. Dapat dilihat bahawa nombor nyata adalah kes khas nombor kompleks.

Operasi aritmetik pada nombor kompleks adalah sama seperti pada nombor nyata: ia boleh ditambah, ditolak, didarab dan dibahagikan dengan satu sama lain. Penambahan dan penolakan diteruskan mengikut peraturan ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, dan pendaraban - mengikut peraturan ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (iklan + bc)i(di sini ia hanya digunakan itu i 2 = -1). Nombor = a – bi dipanggil konjugat kompleks kepada z = a + bi. Kesaksamaan z · = a 2 + b 2 membolehkan anda memahami cara membahagi satu nombor kompleks dengan nombor kompleks lain (bukan sifar):

(Sebagai contoh, .)

Nombor kompleks mempunyai perwakilan geometri yang mudah dan visual: nombor z = a + bi boleh diwakili sebagai vektor dengan koordinat ( a; b) pada satah Cartesian (atau, yang hampir sama, titik - hujung vektor dengan koordinat ini). Dalam kes ini, jumlah dua nombor kompleks digambarkan sebagai jumlah vektor yang sepadan (yang boleh didapati oleh peraturan selari). Dengan teorem Pythagoras, panjang vektor dengan koordinat ( a; b) adalah sama dengan . Nilai ini dipanggil modul nombor kompleks z = a + bi dan dilambangkan dengan | z|. Sudut yang dibuat oleh vektor ini dengan arah positif paksi-x (dikira lawan jam) dipanggil hujah nombor kompleks z dan dilambangkan dengan Arg z. Hujah tidak ditakrifkan secara unik, tetapi hanya sehingga penambahan gandaan 2 π radians (atau 360°, jika anda mengira dalam darjah) - lagipun, jelas bahawa membelok melalui sudut sedemikian di sekeliling asal tidak akan mengubah vektor. Tetapi jika vektor panjang r membentuk sudut φ dengan arah positif paksi-x, maka koordinatnya adalah sama dengan ( r cos φ ; r dosa φ ). Oleh itu ternyata tatatanda trigonometri nombor kompleks: z = |z| (cos(Arg z) + i dosa (Arg z)). Selalunya mudah untuk menulis nombor kompleks dalam bentuk ini, kerana ia sangat memudahkan pengiraan. Pendaraban nombor kompleks dalam bentuk trigonometri kelihatan sangat mudah: z satu · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+arg z 2) + i dosa (Arg z 1+arg z 2)) (apabila mendarab dua nombor kompleks, moduli mereka didarab dan hujah ditambah). Dari sini ikuti Formula De Moivre: z n = |z|n(cos( n(Arg z)) + i dosa( n(Arg z))). Dengan bantuan formula ini, adalah mudah untuk mempelajari cara mengekstrak akar dari mana-mana darjah daripada nombor kompleks. punca ke-n bagi z adalah nombor yang kompleks w, apa w n = z. Ia adalah jelas bahawa , Dan di mana k boleh mengambil sebarang nilai daripada set (0, 1, ..., n- satu). Ini bermakna sentiasa ada yang tepat n akar n darjah ke- dari nombor kompleks (pada satah ia terletak di bucu nombor biasa n-gon).

§ 1. Nombor kompleks: takrifan, tafsiran geometri, operasi dalam bentuk algebra, trigonometri dan eksponen

Definisi nombor kompleks

Persamaan kompleks

Perwakilan geometri bagi nombor kompleks

Modulus dan hujah bagi nombor kompleks

Bentuk algebra dan trigonometri bagi nombor kompleks

Bentuk eksponen bagi nombor kompleks

Formula Euler

§ 2. Keseluruhan fungsi (polinomial) dan sifat asasnya. Penyelesaian persamaan algebra pada set nombor kompleks

Takrif persamaan algebra bagi darjah ke

Sifat asas polinomial

Contoh penyelesaian persamaan algebra pada set nombor kompleks

Soalan untuk pemeriksaan diri

Glosari

§ 1. Nombor kompleks: takrifan, tafsiran geometri, operasi dalam bentuk algebra, trigonometri dan eksponen

Definisi nombor kompleks ( Merumus definisi nombor kompleks)

Nombor kompleks z ialah ungkapan bentuk berikut:

Nombor kompleks dalam bentuk algebra,(1)

Di mana x, y Î;

- konjugat kompleks nombor z ;

- nombor berlawanan nombor z ;

- sifar kompleks ;

- ini ialah set nombor kompleks.

1)z = 1 + iÞ Semula z= 1, Im z = 1, = 1 – saya, = –1 – i ;

2)z = –1 + iÞ Semula z= –1, Im z = , = –1 – saya, = –1 –i ;

3)z = 5 + 0i= 5 Þ Semula z= 5, Im z = 0, = 5 – 0i = 5, = –5 – 0i = –5

Þ jika Im z= 0, maka z = x- nombor sebenar;

4)z = 0 + 3i = 3iÞ Semula z= 0, Im z = 3, = 0 – 3i = –3i , = –0 – 3i = – 3i

Þ jika Re z= 0, maka z = iy - nombor khayalan tulen.

Persamaan kompleks (Rumuskan maksud kesamaan kompleks)

1) ;

2) .

Satu kesamaan kompleks adalah bersamaan dengan sistem dua kesamaan nyata. Kesamaan sebenar ini diperoleh daripada kesamaan kompleks dengan memisahkan bahagian nyata dan khayalan.

1) ;

2) .

Perwakilan geometri bagi nombor kompleks ( Apakah perwakilan geometri bagi nombor kompleks?)

Nombor kompleks z diwakili oleh titik ( x , y) pada satah kompleks atau vektor jejari titik ini.

Tanda z dalam kuadran kedua bermakna sistem koordinat Cartesan akan digunakan sebagai satah kompleks.

Modulus dan hujah bagi nombor kompleks ( Apakah modulus dan hujah bagi nombor kompleks?)

Modulus nombor kompleks ialah nombor nyata bukan negatif

.(2)

Secara geometri, modulus nombor kompleks ialah panjang vektor yang mewakili nombor itu z, atau jejari kutub suatu titik ( x , y).

Lukis nombor berikut pada satah kompleks dan tuliskannya dalam bentuk trigonometri.

1)z = 1 + i Þ

,

Þ

Þ ;

,

Þ

Þ ;

,

5),

iaitu, untuk z = 0 ia akan menjadi

, j tidak ditentukan.

Operasi aritmetik pada nombor kompleks (Berikan definisi dan senaraikan sifat utama operasi aritmetik pada nombor kompleks.)

Penambahan (tolak) nombor kompleks

z 1 ± z 2 = (x 1 + iy 1)±( x 2 + iy 2) = (x 1 ± x 2) + i (y 1 ± y 2),(5)

iaitu apabila menambah (menolak) nombor kompleks, bahagian nyata dan khayalannya ditambah (ditolak).

1)(1 + i) + (2 – 3i) = 1 + i + 2 –3i = 3 – 2i ;

2)(1 + 2i) – (2 – 5i) = 1 + 2i – 2 + 5i = –1 + 7i .

Sifat asas penambahan

1)z 1 + z 2 = z 2 + z 1;

2)z 1 + z 2 + z 3 = (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3);

3)z 1 – z 2 = z 1 + (– z 2);

4)z + (–z) = 0;

Pendaraban nombor kompleks dalam bentuk algebra

z 1∙z 2 = (x 1 + iy 1)∙(x 2 + iy 2) = x 1x 2 + x 1iy 2 + iy 1x 2 + i 2y 1y 2 = (6)

= (x 1x 2 – y 1y 2) + i (x 1y 2 + y 1x 2),

iaitu pendaraban nombor kompleks dalam bentuk algebra dijalankan mengikut peraturan pendaraban algebra binomial dengan binomial, diikuti dengan penggantian dan pengurangan yang serupa dalam sebutan nyata dan khayalan.

1)(1 + i)∙(2 – 3i) = 2 – 3i + 2i – 3i 2 = 2 – 3i + 2i + 3 = 5 – i ;

2)(1 + 4i)∙(1 – 4i) = 1 – 42 i 2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + i)2 = 22 + 4i + i 2 = 3 + 4i .

Pendaraban nombor kompleks bentuk trigonometri

z 1∙z 2 = r 1 (kos j 1 + i dosa j 1)× r 2 (kos j 2 + i dosa j 2) =

= r 1r 2 (kos j 1cos j 2 + i cos j 1dosa j 2 + i dosa j 1cos j 2 + i 2 dosa j 1dosa j 2) =

= r 1r 2((kos j 1cos j 2-dosa j 1dosa j 2) + i(cos j 1dosa j 2+ dosa j 1cos j 2))

Hasil darab nombor kompleks dalam bentuk trigonometri, iaitu apabila nombor kompleks didarab dalam bentuk trigonometri, modulinya didarab dan hujah ditambah.

Sifat asas pendaraban

1)z 1× z 2 = z 2× z 1 - komutatif;

2)z 1× z 2× z 3 = (z 1× z 2)× z 3 = z 1×( z 2× z 3) - pergaulan;

3)z 1×( z 2 + z 3) = z 1× z 2 + z 1× z 3 - pengagihan berkenaan dengan penambahan;

4)z×0 = 0; z×1 = z ;

Pembahagian nombor kompleks

Pembahagian ialah songsang bagi pendaraban, jadi

jika z × z 2 = z 1 dan z 2 ¹ 0, kemudian .

Apabila melakukan pembahagian dalam bentuk algebra, pengangka dan penyebut pecahan didarab dengan konjugat kompleks penyebut:

Pembahagian nombor kompleks dalam bentuk algebra.(7)

Apabila melakukan pembahagian dalam bentuk trigonometri, modul dibahagikan dan hujah ditolak:

Pembahagian nombor kompleks dalam bentuk trigonometri.(8)

2)
.

Menaikkan nombor kompleks kepada kuasa semula jadi

Meningkatkan kuasa semula jadi adalah lebih mudah untuk dilakukan dalam bentuk trigonometri:

Formula Moivre,(9)

iaitu, apabila nombor kompleks dinaikkan kepada kuasa semula jadi, modulusnya dinaikkan kepada kuasa itu, dan hujah didarab dengan eksponen.

Kira (1 + i)10.

Kenyataan

1. Apabila melakukan operasi pendaraban dan peningkatan kepada kuasa semula jadi dalam bentuk trigonometri, nilai sudut boleh diperolehi di luar satu pusingan penuh. Tetapi mereka sentiasa boleh dikurangkan kepada sudut atau dengan menjatuhkan nombor integer pusingan lengkap mengikut sifat berkala bagi fungsi dan .

2. Maksud dipanggil nilai utama bagi hujah nombor kompleks;

dalam kes ini, nilai semua sudut yang mungkin menunjukkan;

sudah jelas bahawa , .

Mengeluarkan punca darjah semula jadi daripada nombor kompleks

Formula Euler(16)

di mana fungsi trigonometri dan pembolehubah nyata dinyatakan dalam sebutan fungsi eksponen (eksponen) dengan eksponen khayalan semata-mata.

§ 2. Keseluruhan fungsi (polinomial) dan sifat asasnya. Penyelesaian persamaan algebra pada set nombor kompleks

Dua polinomial yang sama darjah n adalah sama dengan satu sama lain jika dan hanya jika pekalinya bertepatan pada kuasa pembolehubah yang sama x, itu dia

Bukti

w Identiti (3) memegang untuk "xн (atau "xн)

Þ ia sah untuk ; menggantikan , kita dapat an = bn .

Marilah kita sama-sama menghapuskan istilah dalam (3) an dan bn dan bahagikan kedua-dua bahagian dengan x :

Identiti ini juga benar untuk " x, termasuk bila x = 0

Þ andaikan x= 0, kita dapat an – 1 = bn – 1.

Saling memusnahkan dalam istilah (3") an– 1 dan a n– 1 dan bahagikan kedua-dua bahagian dengan x, hasilnya kita dapat

Meneruskan hujah yang sama, kita mendapat itu an – 2 = bn –2, …, a 0 = b 0.

Oleh itu, terbukti bahawa daripada kesamaan identik polinomial 2-x mengikuti kebetulan pekalinya pada darjah yang sama x .

Pernyataan sebaliknya adalah betul-betul jelas, i.e. jika dua polinomial mempunyai semua pekali yang sama, maka ia adalah fungsi yang sama, oleh itu, nilainya adalah sama untuk semua nilai hujah, yang bermaksud kesamaan yang sama. Harta 1 terbukti sepenuhnya. v

Apabila membahagikan polinomial PN (x) kepada perbezaan ( x – X 0) bakinya adalah sama dengan PN (x 0), iaitu

Teorem Bezout,(4)

di mana Qn – 1(x) - bahagian integer pembahagian, ialah polinomial darjah ( n – 1).

Bukti

w Mari kita tulis formula bahagi dengan baki:

PN (x) = (x – X 0)∙Qn – 1(x) + A ,

di mana Qn – 1(x) - polinomial darjah ( n – 1),

A- baki, yang merupakan nombor disebabkan oleh algoritma yang terkenal untuk membahagikan polinomial kepada binomial "dalam lajur".

Persamaan ini benar untuk " x, termasuk bila x = X 0 Þ

PN (x 0) = (x 0 – x 0)× Qn – 1(x 0) + A Þ

A = PN (X 0), h.t.d. v

Akibat daripada teorem Bezout. Mengenai pembahagian polinomial dengan binomial tanpa baki

Jika nombor X 0 ialah sifar polinomial, maka polinomial ini boleh dibahagikan dengan perbezaan ( x – X 0) tanpa baki, iaitu

Þ .(5)

1) , kerana P 3(1) º 0

2) , kerana P 4(–2) º 0

3) kerana P 2(–1/2) º 0

Pembahagian polinomial kepada binomial "dalam lajur":

_

_

_

_

_

Setiap polinomial darjah n ³ 1 mempunyai sekurang-kurangnya satu sifar, nyata atau kompleks

Bukti teorem ini adalah di luar skop kursus kami. Oleh itu, kami menerima teorem tanpa bukti.

Mari kita kerjakan teorem ini dan teorem Bezout dengan polinomial PN (x).

Selepas n-melipat penggunaan teorem ini, kita memperolehnya

di mana a 0 ialah pekali pada x n dalam PN (x).

Akibat daripada teorem asas algebra. Mengenai penguraian polinomial kepada faktor linear

Sebarang polinomial darjah pada set nombor kompleks terurai menjadi n faktor linear, iaitu

Penguraian polinomial kepada faktor linear, (6)

dengan x1, x2, ... xn ialah sifar polinomial.

Pada masa yang sama, jika k nombor daripada set X 1, X 2, … xn bertepatan antara satu sama lain dan dengan nombor a, maka dalam hasil darab (6) faktor ( x– a) k. Kemudian nombor x= a dipanggil k-lipatan sifar polinomial PN ( x) . Sekiranya k= 1, maka sifar dipanggil polinomial sifar mudah PN ( x) .

1)P 4(x) = (x – 2)(x– 4)3 Þ x 1 = 2 - sifar mudah, x 2 = 4 - tiga kali ganda sifar;

2)P 4(x) = (x – i)4 x = i- sifar kepelbagaian 4.

Sifat 4 (pada bilangan punca persamaan algebra)

Mana-mana persamaan algebra Pn(x) = 0 darjah n mempunyai tepat n punca pada set nombor kompleks jika setiap punca dikira seberapa banyak kali gandanya.

1)x 2 – 4x+ 5 = 0 - persamaan algebra darjah kedua

Þ x 1.2 = 2 ± = 2 ± i- dua akar;

2)x 3 + 1 = 0 - persamaan algebra darjah ketiga

Þ x 1,2,3 = - tiga akar;

3)P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 x 1 = 1, kerana P 3(1) = 0.

Bahagikan polinomial P 3(x) pada ( x – 1):

Persamaan Awal

P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 Û( x – 1)(x 2 + 2x+ 1) = 0 w( x – 1)(x + 1)2 = 0

Þ x 1 = 1 - punca mudah, x 2 \u003d -1 - punca berganda.

1) adalah berpasangan akar konjugat kompleks;

Mana-mana polinomial dengan pekali nyata terurai menjadi hasil darab fungsi linear dan kuadratik dengan pekali nyata.

Bukti

w Biarkan x 0 = a + bi- sifar polinomial PN (x). Jika semua pekali polinomial ini adalah nombor nyata, maka juga adalah sifarnya (dengan sifat 5).

Kami mengira hasil darab binomial :

persamaan polinomial nombor kompleks

mendapat ( x – a)2 + b 2 - trinomial persegi dengan pekali nyata.

Oleh itu, sebarang pasangan binomial dengan akar konjugat kompleks dalam formula (6) membawa kepada trinomial segi empat sama dengan pekali nyata. v

1)P 3(x) = x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x + 1);

2)P 4(x) = x 4 – x 3 + 4x 2 – 4x = x (x –1)(x 2 + 4).

Contoh penyelesaian persamaan algebra pada set nombor kompleks ( Berikan contoh penyelesaian persamaan algebra pada set nombor kompleks)

1. Persamaan algebra darjah pertama:

, adalah satu-satunya punca mudah.

2. Persamaan kuadratik:

, - sentiasa mempunyai dua punca (berbeza atau sama).

1) .

3. Persamaan darjah dua jangka:

, - sentiasa mempunyai akar yang berbeza.

,

Jawapan: , .

4. Selesaikan persamaan padu.

Persamaan darjah ketiga mempunyai tiga punca (nyata atau kompleks), dan setiap punca mesti dikira seberapa banyak kali gandanya. Oleh kerana semua pekali persamaan ini adalah nombor nyata, maka punca kompleks persamaan, jika ada, akan menjadi konjugat kompleks berpasangan.

Dengan pemilihan kita dapati punca pertama persamaan , sejak .

Dengan akibat daripada teorem Bezout. Kami mengira bahagian ini "dalam lajur":

_
_
_

Mewakili polinomial sebagai hasil darab faktor linear dan segi empat sama, kita dapat:

.

Kami mencari punca-punca lain sebagai punca-punca persamaan kuadratik:

Jawapan: , .

5. Susun persamaan algebra dengan darjah terkecil dengan pekali nyata, jika diketahui bahawa nombor x 1 = 3 dan x 2 = 1 + i adalah akarnya, dan x 1 ialah punca berganda, dan x 2 - mudah.

Nombor itu juga merupakan punca persamaan, kerana pekali persamaan mestilah nyata.

Secara keseluruhan, persamaan yang dikehendaki mempunyai 4 punca: x 1, x 1,x 2, . Oleh itu, darjahnya ialah 4. Kami menyusun polinomial darjah ke-4 dengan sifar x

11. Apakah kompleks sifar?

13. Merumus maksud persamaan kompleks.

15. Apakah modulus dan hujah bagi nombor kompleks?

17. Apakah hujah bagi nombor kompleks?

18. Apakah nama atau maksud formula tersebut?

19. Terangkan maksud tatatanda dalam formula ini:

27. Berikan definisi dan senaraikan sifat utama operasi aritmetik pada nombor kompleks.

28. Apakah nama atau maksud formula tersebut?

29. Terangkan maksud tatatanda dalam formula ini:

31. Apakah nama atau maksud formula tersebut?

32. Terangkan maksud tatatanda dalam formula ini:

34. Apakah nama atau maksud formula tersebut?

35. Terangkan maksud tatatanda dalam formula ini:

61. Senaraikan sifat utama polinomial.

63. Rumuskan sifat tentang membahagi polinomial dengan beza (x - x0).

65. Apakah nama atau maksud formula tersebut?

66. Terangkan maksud tatatanda dalam formula ini:

67. ⌂ .

69. Rumuskan teorem teorem algebra adalah asas.

70. Apakah nama atau maksud formula tersebut?

71. Terangkan maksud tatatanda dalam formula ini:

75. Merumuskan sifat tentang bilangan punca bagi persamaan algebra.

78. Merumuskan sifat tentang penguraian polinomial dengan pekali nyata kepada faktor linear dan kuadratik.

Glosari

Sifar lipatan k bagi polinomial dipanggil... (ms 18)

polinomial algebra dipanggil... (ms 14)

persamaan algebra darjah ke-n dipanggil ... (ms 14)

bentuk algebra bagi nombor kompleks dipanggil... (ms 5)

hujah bagi nombor kompleks ialah... (ms 4)

bahagian nyata bagi nombor kompleks z ialah... (halaman 2)

konjugat kompleks ialah... (halaman 2)

sifar kompleks ialah... (halaman 2)

nombor kompleks dipanggil... (ms 2)

punca ke-n bagi nombor kompleks dipanggil... (ms 10)

punca persamaan dipanggil ... (ms 14)

pekali polinomial ialah... (ms 14)

unit khayalan ialah... (halaman 2)

bahagian khayalan bagi nombor kompleks z ialah... (halaman 2)

modulus nombor kompleks dipanggil... (ms 4)

sifar fungsi dipanggil... (ms 14)

bentuk eksponen bagi nombor kompleks dipanggil... (ms 11)

polinomial dipanggil... (ms 14)

sifar mudah polinomial dipanggil... (ms 18)

nombor bertentangan ialah... (muka surat 2)

darjah polinomial ialah... (ms 14)

bentuk trigonometri nombor kompleks dipanggil... (ms 5)

Formula De Moivre ialah... (ms 9)

Formula Euler ialah... (ms 13)

keseluruhan fungsi dipanggil... (ms 14)

nombor khayalan semata-mata ialah... (ms 2)

Menggunakan kalkulator

Untuk menilai ungkapan, anda mesti memasukkan rentetan untuk menilai. Apabila memasukkan nombor, pemisah perpuluhan ialah noktah. Tanda kurung boleh digunakan. Operasi pada nombor kompleks ialah pendaraban (*), bahagi (/), tambah (+), tolak (-), eksponen (^) dan lain-lain. Sebagai rekod nombor kompleks, anda boleh menggunakan bentuk eksponen dan algebra. Masukkan unit khayalan i mungkin tanpa tanda darab, dalam kes lain tanda darab diperlukan, contohnya, antara kurungan atau antara nombor dan pemalar. Pemalar juga boleh digunakan: nombor π dimasukkan sebagai pi, eksponen e, sebarang ungkapan dalam eksponen mesti disertakan dalam kurungan.

Contoh rentetan untuk dikira: (4.5+i12)*(3.2i-2.5)/e^(i1.25*pi), yang sepadan dengan ungkapan \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\]

Kalkulator boleh menggunakan pemalar, fungsi matematik, operasi tambahan dan ungkapan yang lebih kompleks, anda boleh membiasakan diri dengan ciri-ciri ini di halaman peraturan am untuk menggunakan kalkulator di laman web ini.

Tapak ini sedang dalam pembinaan, beberapa halaman mungkin tidak tersedia.

Berita

07.07.2016
Menambahkan kalkulator untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra tak linear: .

30.06.2016
Tapak ini mempunyai reka bentuk responsif, halaman dipaparkan secukupnya pada monitor besar dan pada peranti mudah alih.

Penaja

RGOnline.ru - penyelesaian segera untuk kerja elektrik dalam talian.