Høyden fra rett vinkel er lik. Høyre trekant

Gjennomsnittlig nivå

Høyre trekant. Komplett illustrert veiledning (2019)

HØYRE TREKANT. FØRSTE NIVÅ.

I problemer er en rett vinkel ikke nødvendig i det hele tatt - den nedre venstre, så du må lære å gjenkjenne en rettvinklet trekant i denne formen,

og i slikt

og i slikt

Hva er bra med en rettvinklet trekant? Vel... for det første er det spesielle vakre navn på festene hans.

Oppmerksomhet på tegningen!

Husk og ikke forveksle: ben - to, og hypotenusen - bare en(den eneste, unike og lengste)!

Vel, vi diskuterte navnene, nå det viktigste: Pythagoras teorem.

Pythagoras teorem.

Denne teoremet er nøkkelen til å løse mange problemer som involverer en rettvinklet trekant. Det ble bevist av Pythagoras i helt uminnelige tider, og siden da har det brakt mange fordeler for de som kjenner det. Og det beste med henne er at hun er enkel.

Så, Pythagoras teorem:

Husker du vitsen: «Pythagorean-bukser er like på alle kanter!»?

La oss tegne disse pytagoreiske buksene og se på dem.

Ser det virkelig ut som shorts? Vel, på hvilke sider og hvor er de like? Hvorfor og hvor kom vitsen fra? Og denne vitsen henger nettopp sammen med Pythagoras teorem, mer presist med måten Pythagoras selv formulerte teoremet på. Og han formulerte det slik:

"Sum område av firkanter, bygget på bena, er lik kvadratisk areal bygget på hypotenusen.

Høres det ikke litt annerledes ut, gjør det ikke? Og så da Pythagoras tegnet utsagnet om teoremet sitt, viste det seg nettopp et slikt bilde.

I dette bildet er summen av arealene til de små firkantene lik arealet til den store firkanten. Og slik at barna bedre husker at summen av kvadratene på bena er lik kvadratet på hypotenusen, fant noen vittig opp denne vitsen om pytagoreiske bukser.

Hvorfor formulerer vi Pythagoras teorem nå?

Led Pythagoras og snakket om firkanter?

Du skjønner, i antikken var det ingen ... algebra! Det var ingen tegn og så videre. Det var ingen inskripsjoner. Kan du forestille deg hvor forferdelig det var for de stakkars eldgamle studentene å lære alt utenat med ord??! Og vi kan være glade for at vi har en enkel formulering av Pythagoras teorem. La oss gjenta det igjen for bedre å huske:

Nå skal det være enkelt:

Vel, det viktigste teoremet om en rettvinklet trekant ble diskutert. Hvis du er interessert i hvordan det er bevist, les de neste teorinivåene, og la oss nå gå videre ... inn i den mørke skogen ... av trigonometri! Til de forferdelige ordene sinus, cosinus, tangent og cotangens.

Sinus, cosinus, tangens, cotangens i en rettvinklet trekant.

Faktisk er ikke alt så skummelt i det hele tatt. Selvfølgelig bør den "virkelige" definisjonen av sinus, cosinus, tangens og cotangens ses på i artikkelen. Men du vil virkelig ikke, gjør du? Vi kan glede oss: for å løse problemer om en rettvinklet trekant, kan du ganske enkelt fylle ut følgende enkle ting:

Hvorfor handler det om hjørnet? Hvor er hjørnet? For å forstå dette må du vite hvordan utsagnene 1 - 4 er skrevet med ord. Se, forstå og husk!

1.
Det høres faktisk slik ut:

Hva med vinkelen? Er det et ben som er motsatt hjørnet, det vil si det motsatte benet (for hjørnet)? Selvfølgelig har! Dette er en katet!

Men hva med vinkelen? Se nærmere. Hvilket ben er ved siden av hjørnet? Selvfølgelig, katten. Så, for vinkelen, er benet tilstøtende, og

Og nå, oppmerksomhet! Se hva vi har:

Se hvor flott det er:

La oss nå gå videre til tangent og cotangens.

Hvordan sette ord på det nå? Hva er beinet i forhold til hjørnet? Motsatt, selvfølgelig - den "ligger" overfor hjørnet. Og kateten? I tilknytning til hjørnet. Så hva fikk vi?

Ser du hvordan telleren og nevneren er reversert?

Og nå igjen hjørnene og byttet:

Sammendrag

La oss kort skrive ned det vi har lært.

Pythagoras teorem:

Den viktigste rettvinklede trekantsatsen er Pythagoras teorem.

Pythagoras teorem

Husker du forresten godt hva bena og hypotenusen er? Hvis ikke, så se på bildet - oppdater kunnskapen din

Det er mulig du allerede har brukt Pythagoras teorem mange ganger, men har du noen gang lurt på hvorfor en slik teorem er sann. Hvordan vil du bevise det? La oss gjøre som de gamle grekerne. La oss tegne en firkant med en side.

Du ser hvor snedig vi delte sidene inn i segmenter av lengder og!

La oss nå koble sammen de merkede punktene

Her noterte vi imidlertid noe annet, men du selv ser på bildet og tenker på hvorfor.

Hva er arealet av den større firkanten?

Ikke sant, .

Hva med det mindre området?

Gjerne,.

Det totale arealet av de fire hjørnene gjenstår. Tenk deg at vi tok to av dem og lente oss mot hverandre med hypotenuser.

Hva skjedde? To rektangler. Så arealet til "borekaks" er likt.

La oss sette alt sammen nå.

La oss transformere:

Så vi besøkte Pythagoras - vi beviste teoremet hans på en eldgammel måte.

Rettvinklet trekant og trigonometri

For en rettvinklet trekant gjelder følgende relasjoner:

Sinusen til en spiss vinkel er lik forholdet mellom det motsatte benet og hypotenusen

Cosinus til en spiss vinkel er lik forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen.

Tangensen til en spiss vinkel er lik forholdet mellom det motsatte benet og det tilstøtende benet.

Kotangensen til en spiss vinkel er lik forholdet mellom det tilstøtende benet og det motsatte benet.

Og nok en gang, alt dette i form av en tallerken:

Det er veldig praktisk!

Tegn på likhet av rette trekanter

I. På to ben

II. Ved ben og hypotenusa

III. Ved hypotenus og spiss vinkel

IV. Langs benet og spiss vinkel

en)

b)

Merk følgende! Her er det veldig viktig at bena er "korresponderende". For eksempel, hvis det går slik:

DA ER IKKE TREKANTENE LIKE, til tross for at de har en identisk spiss vinkel.

Trenger å i begge trekanter var benet ved siden av hverandre, eller i begge - motsatt.

Har du lagt merke til hvordan likhetstegnene til rette trekanter skiller seg fra de vanlige likhetstegnene til trekanter?

Se på emnet "og vær oppmerksom på det faktum at for likheten mellom "vanlige" trekanter trenger du likheten mellom de tre elementene: to sider og en vinkel mellom dem, to vinkler og en side mellom dem, eller tre sider.

Men for likestilling av rettvinklede trekanter er bare to tilsvarende elementer nok. Det er flott, ikke sant?

Omtrent samme situasjon med tegn på likhet av rette trekanter.

Tegn på likhet med rette trekanter

I. Akutt hjørne

II. På to bein

III. Ved ben og hypotenusa

Median i en rettvinklet trekant

Hvorfor er det slik?

Tenk på et helt rektangel i stedet for en rettvinklet trekant.

La oss tegne en diagonal og vurdere et punkt - skjæringspunktet mellom diagonalene. Hva vet du om diagonalene til et rektangel?

Og hva følger av dette?

Så det skjedde

1. - median:

Husk dette faktum! Hjelper mye!

Det som er enda mer overraskende er at det motsatte også er sant.

Hva kan man få ut av det faktum at medianen trukket til hypotenusen er lik halve hypotenusen? La oss se på bildet

Se nærmere. Vi har: , det vil si at avstandene fra punktet til alle tre hjørnene i trekanten viste seg å være like. Men i en trekant er det bare ett punkt, avstandene som omtrent alle tre toppunktene i trekanten er like fra, og dette er SENTERET AV SIRKUMET beskrevet. Så hva skjedde?

Så la oss starte med dette "foruten...".

La oss se på i.

Men i like trekanter er alle vinkler like!

Det samme kan sies om og

La oss nå tegne det sammen:

Hvilken nytte kan trekkes fra denne "trippel" likheten.

Vel, for eksempel - to formler for høyden til en rettvinklet trekant.

Vi skriver forholdet til de tilsvarende partene:

For å finne høyden løser vi proporsjonen og får første formel "Høyde i en rettvinklet trekant":

Så la oss bruke likheten: .

Hva vil skje nå?

Igjen løser vi proporsjonen og får den andre formelen:

Begge disse formlene må huskes veldig godt og den som er mer praktisk å bruke.

La oss skrive dem ned igjen.

Pythagoras teorem:

I en rettvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lik summen av kvadratene til bena:.

Tegn på likhet i rette trekanter:

• på to ben:
• langs benet og hypotenusen: eller
• langs benet og den tilstøtende spisse vinkelen: eller
• langs benet og motsatt spiss vinkel: eller
• ved hypotenus og spiss vinkel: eller.

Tegn på likhet med rette trekanter:

• ett skarpt hjørne: eller
• fra proporsjonaliteten til de to benene:
• fra proporsjonaliteten til benet og hypotenusen: eller.

Sinus, cosinus, tangens, cotangens i en rettvinklet trekant

• Sinusen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det motsatte benet og hypotenusen:
• Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen:
• Tangenten til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det motsatte benet og det tilstøtende:
• Kotangensen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det tilstøtende benet og det motsatte:.

Høyde på en rettvinklet trekant: eller.

I en rettvinklet trekant er medianen trukket fra toppunktet til den rette vinkelen lik halve hypotenusen: .

Arealet av en rettvinklet trekant:

• gjennom katetrene:
• gjennom benet og en spiss vinkel: .

Vel, emnet er over. Hvis du leser disse linjene, er du veldig kul.

Fordi bare 5% av mennesker er i stand til å mestre noe på egenhånd. Og hvis du har lest til slutten, så er du på 5%!

Nå er det viktigste.

Du har funnet ut teorien om dette emnet. Og, jeg gjentar, det er ... det er bare supert! Du er allerede bedre enn de aller fleste av dine jevnaldrende.

Problemet er at dette kanskje ikke er nok...

For hva?

For vellykket bestått eksamen, for opptak til instituttet på budsjettet og, VIKTIGST, for livet.

Jeg vil ikke overbevise deg om noe, jeg vil bare si en ting ...

Folk som har fått god utdanning tjener mye mer enn de som ikke har fått den. Dette er statistikk.

Men dette er ikke hovedsaken.

Hovedsaken er at de er MER LYKKELIG (det finnes slike studier). Kanskje fordi mye flere muligheter åpner seg foran dem og livet blir lysere? Vet ikke...

Men tenk selv...

Hva skal til for å være sikker på å være bedre enn andre på eksamen og til slutt ... bli lykkeligere?

FYLL HÅNDEN DIN, LØS PROBLEMER OM DETTE EMNET.

På eksamen vil du ikke bli spurt om teori.

Du vil trenge løse problemer i tide.

Og hvis du ikke har løst dem (MASSE!), vil du definitivt gjøre en dum feil et sted eller rett og slett ikke gjøre det i tide.

Det er som i sport - du må gjenta mange ganger for å vinne sikkert.

Finn en samling hvor som helst du vil nødvendigvis med løsninger, detaljert analyse og bestemme, bestemme, bestemme!

Du kan bruke oppgavene våre (ikke nødvendig) og vi anbefaler dem absolutt.

For å få en hånd ved hjelp av oppgavene våre, må du bidra til å forlenge levetiden til YouClever-læreboken du leser nå.

Hvordan? Det er to alternativer:

1. Lås opp tilgang til alle skjulte oppgaver i denne artikkelen - 299 gni.
2. Lås opp tilgang til alle skjulte oppgaver i alle de 99 artiklene i opplæringen - 499 gni.

Ja, vi har 99 slike artikler i læreboka og tilgang til alle oppgaver og alle skjulte tekster i dem kan åpnes umiddelbart.

Tilgang til alle skjulte oppgaver er gitt for hele levetiden til nettstedet.

For å konkludere...

Hvis du ikke liker oppgavene våre, finn andre. Bare ikke slutt med teori.

«Forstått» og «Jeg vet hvordan jeg skal løse» er helt forskjellige ferdigheter. Du trenger begge deler.

Finn problemer og løs!

Høyre trekant er en trekant der en av vinklene er rett, det vil si lik 90 grader.

• Siden motsatt den rette vinkelen kalles hypotenusen. c eller AB)
• Siden ved siden av den rette vinkelen kalles beinet. Hver rettvinklet trekant har to ben (angitt som en og b eller AC og BC)

Formler og egenskaper til en rettvinklet trekant

(se bildet over)

a, b- ben i en rettvinklet trekant

c- hypotenusa

α, β - spisse vinkler i en trekant

S- område

h- høyden falt fra toppen av den rette vinkelen til hypotenusen

m a en fra motsatt hjørne ( α )

m b- median trukket til siden b fra motsatt hjørne ( β )

mc- median trukket til siden c fra motsatt hjørne ( γ )

I høyre trekant begge bena er mindre enn hypotenusen(Formel 1 og 2). Denne egenskapen er en konsekvens pythagoras teoremer.

Cosinus for hvilken som helst av de spisse vinklene mindre enn én (Formel 3 og 4). Denne egenskapen følger av den forrige. Siden noen av bena er mindre enn hypotenusen, er forholdet mellom benet og hypotenusen alltid mindre enn én.

Kvadraten på hypotenusen er lik summen av kvadratene på bena ( Pythagoras teorem). (Formel 5). Denne egenskapen brukes stadig til å løse problemer.

Arealet av en rettvinklet trekant lik halvparten av produktet av bena (Formel 6)

Summen av kvadratiske medianer til bena er lik fem kvadrater av medianen til hypotenusen og fem kvadrater av hypotenusen delt på fire (formel 7). I tillegg til ovennevnte, der 5 flere formler, så det anbefales at du også leser leksjonen " Median av en rettvinklet trekant, som beskriver egenskapene til medianen.

Høyde av en rettvinklet trekant er lik produktet av bena delt på hypotenusen (formel 8)

Firkantene på bena er omvendt proporsjonale med kvadratet på høyden som faller ned til hypotenusen (formel 9). Denne identiteten er også en av konsekvensene av Pythagoras teorem.

Lengden på hypotenusen lik diameteren (to radier) til den omskrevne sirkelen (formel 10). Hypotenusen til en rettvinklet trekant er diameteren til den omskrevne sirkelen. Denne egenskapen brukes ofte i problemløsning.

Innskrevet radius i høyre trekant sirkler kan finnes som halvparten av uttrykket, som inkluderer summen av bena til denne trekanten minus lengden på hypotenusen. Eller som produktet av bena delt på summen av alle sidene (omkretsen) av en gitt trekant. (Formel 11)
Sinus av en vinkel motsatte dette hjørnet bein til hypotenusa(per definisjon av en sinus). (Formel 12). Denne egenskapen brukes når du løser problemer. Når du kjenner dimensjonene til sidene, kan du finne vinkelen de danner.

Cosinus av en vinkel A (α, alfa) i en rettvinklet trekant vil være lik forhold ved siden av dette hjørnet bein til hypotenusa(per definisjon av en sinus). (Formel 13)

Triangel – Dette er en av de mest kjente geometriske formene. Den brukes overalt - ikke bare i tegningene, men også som interiørartikler, detaljer av ulike design og bygninger. Det er flere typer av denne figuren - en rektangulær av dem. Dens kjennetegn er tilstedeværelsen av en rett vinkel lik 90°. For å finne to av de tre høydene er det nok å måle bena. Den tredje er verdien mellom toppunktet til den rette vinkelen og midtpunktet til hypotenusen. Ofte i geometri er spørsmålet hvordan man finner høyden på en rettvinklet trekant. La oss løse dette enkle problemet.

Nødvendig:

- Hersker;
- en bok om geometri;
- høyre trekant.

Instruksjon:

• Tegn en trekant med rett vinkel ABS, hvor er vinkelen ABS er lik 90 ° , det vil si at den er direkte. Senk høyden H fra rett vinkel til hypotenusen SOM. Stedet der segmentene berører, marker med en prikk D.
• Du bør få en annen trekant - adb. Merk at den ligner på den eksisterende ABS, siden hjørnene ABS Og ADB = 90°, så er de like med hverandre, og vinkelen dårlig er felles for begge geometriske formene. Ved å sammenligne dem kan vi konkludere med at partene AD/AB = BD/BS = AB/AS. Fra de resulterende relasjonene kan det utledes at END er lik AB2/AS.
• Siden den resulterende trekanten adb har en rett vinkel, mens du måler sidene og hypotenusen, kan du bruke Pythagoras teorem. Slik ser det ut: AB² = AD² + BD². For å løse det, bruk den resulterende likheten AD. Du bør få følgende: BD² = AB² - (AB²/AC)². Siden den målte trekanten ABS er rektangulær, da BS² er lik AS² — AB². Derfor siden BD2 er lik AB²BC²/AC², som med rotutvinning vil være lik BD=AB*BS/AS.
• På samme måte kan løsningen utledes ved å bruke en annen resulterende trekant -
  bds. I dette tilfellet ligner den også originalen ABS, takket være to vinkler - ABS Og BDS = 90°, og vinkelen DSB er vanlig. Videre, som i forrige eksempel, vises proporsjonen i sideforholdet, hvor BD/AB = DS/BS = BS/AS. Derav verdien D.S. avledet gjennom likestilling BS2/AS. Fordi, AB² = AD*AS , deretter BS² = DS*AS. Derfor konkluderer vi med det BD2 = (AB*BS/AS)² eller AD*AS*DS*AS/AS², som tilsvarer AD*DS. For å finne høyden i dette tilfellet er det nok å ta roten til produktet D.S. Og AD.

Først av alt er en trekant en geometrisk figur, som er dannet av tre punkter som ikke ligger på en rett linje, som er forbundet med tre segmenter. For å finne høyden på en trekant, er det først og fremst nødvendig å bestemme typen. Trekanter er forskjellige i størrelsen på vinklene og antall like vinkler. Avhengig av størrelsen på vinklene kan trekanten være spissvinklet, stumpvinklet og rettvinklet. I henhold til antall like sider skilles likebente, likesidede og skala trekanter. Høyden er vinkelrett som senkes til motsatt side av trekanten fra toppunktet. Hvordan finne høyden på en trekant?

Hvordan finne høyden på en likebenet trekant

En likebent trekant er preget av likheten mellom sider og vinkler ved basen, derfor er høydene til en likebenet trekant trukket til sidene av trekanten alltid lik hverandre. Høyden på denne trekanten er også både en median og en halveringslinje. Følgelig deler høyden basen i to. Vi vurderer den resulterende rettvinklet og finner siden, det vil si høyden til den likebenede trekanten, ved å bruke Pythagoras teorem. Ved å bruke følgende formel beregner vi høyden: H \u003d 1/2 * √4 * a 2 - b 2, hvor: a - siden av denne likebenede trekanten, b - basen til denne likebenede trekanten.

Hvordan finne høyden på en likesidet trekant

En trekant med like sider kalles en likesidet trekant. Høyden til en slik trekant er utledet fra formelen for høyden til en likebenet trekant. Det viser seg: H = √3/2*a, der a er siden av den gitte likesidede trekanten.

Hvordan finne høyden på en skala trekant

En skala trekant er en trekant der ingen to sider er like hverandre. I en slik trekant vil alle tre høydene være forskjellige. Du kan beregne høydelengdene ved å bruke formelen: H = sin60*a = a*(sgrt3)/2, hvor a er siden av trekanten, eller først beregne arealet til en bestemt trekant ved å bruke Heron-formelen, som ser slik ut: S = (p*(pc)* (pb)*(pa))^1/2, der a, b, c er sidene av en skala trekant, og p er dens halve omkrets. Hver høyde = 2*areal/side

Hvordan finne høyden på en rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant har én rett vinkel. Høyden som går over til det ene bena er samtidig det andre beinet. Derfor, for å finne høydene som ligger på bena, må du bruke den modifiserte pytagoreiske formelen: a \u003d √ (c 2 - b 2), der a, b er bena (a er benet som skal finnes), c er lengden på hypotenusen. For å finne den andre høyden, må du sette den resulterende verdien a i stedet for b. For å finne den tredje høyden som ligger inne i trekanten, brukes følgende formel: h \u003d 2s / a, hvor h er høyden til en rettvinklet trekant, s er arealet, a er lengden på siden som høyden vil være vinkelrett.

En trekant kalles spiss hvis alle vinklene er spisse. I dette tilfellet er alle tre høydene plassert inne i en spiss trekant. En trekant kalles stump hvis den har én stump vinkel. To høyder av en stump trekant er utenfor trekanten og faller på forlengelsen av sidene. Den tredje siden er inne i trekanten. Høyden bestemmes ved hjelp av samme Pythagoras teorem.

Generelle formler som å beregne høyden til en trekant

• Formelen for å finne høyden til en trekant gjennom sidene: H= 2/a √p*(pc)*(pb)*(pb), hvor h er høyden som skal finnes, a, b og c er sidene av denne trekanten er p dens halvperimeter, .
• Formelen for å finne høyden til en trekant i form av vinkel og side: H=b sin y = c sin ß
• Formelen for å finne høyden til en trekant i form av areal og side: h = 2S / a, der a er siden av trekanten, og h er høyden bygget til side a.
• Formelen for å finne høyden til en trekant i form av radius og sider: H= bc/2R.