Trigonometri profilnivå. Trigonometriske ligninger

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse e-post osv.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Samlet av oss personlig informasjon lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• Om nødvendig, i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser, og/eller basert på offentlige henvendelser eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
• I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

MBOU "Mordovsko-Paevskaya ungdomsskole" i Insarsky-distriktet i Republikken Moldova

Fullført av: Pantileikina Nadezhda,

11. klasse elev

Leder: Kadyshkina N.V.,

mattelærer

Innholdsfortegnelse

Introduksjon……………………………………………………………………………………….

Kapittel I. Om trigonometriske ligninger…………………………………………..…5

1) Grunnleggende typer trigonometriske ligninger og metoder for å løse dem:

1. Ligninger redusert til de enkleste. …………………………………..5

2. Ligninger som reduserer til kvadratisk……………………………….5

3. Homogene likninger acosx + b sin x = 0………………………………...6

4. Ligninger av formen acosx + b sin x = c, c≠ 0…………………………………………7

5. Ligninger løst ved faktorisering…………………………….7

6. Ikke-standard ligninger………………………………………………………….8

Kapittel II. Grunnleggende begreper og formler for trigonometri………………………….8-10

Kapittel II JEG. Ligninger som tilbys på Unified State-eksamenen fra tidligere år………………………10-14

Konklusjon……………………………………………………………………………………………….14

Vedlegg………………………………………………………………..……………………….15-17

Litteratur………………………………………………………………………………………………..18

Introduksjon

"Den eneste veien som fører til kunnskap er aktivitet ..."

Bernard Shaw

Arbeidets relevans.

Om noen måneder er jeg ferdig med skolen.

Slik at det ikke er noen problemer med videre valg livsvei, nødvendig få et skolebevis, og for å få et skolebevis må du bestå to obligatoriske eksamener i form av Unified State Examination - og en av demmatematikk. Hva kan vi si, avsluttende eksamener er en avgjørende periode i livet til enhver student, som ikke bare den endelige karakteren i sertifikatet avhenger av, men også hans profesjonelle fremtid, inntekt og karriere.

Unified State-eksamenen er en viktig test før du flytter til nytt liv og opptak til universitet eller høyskole. Det er spesielt viktig å bestå den med gode score.Unified State Exam i matematikk er en seriøs test og uten et godt grunnlag vil en student ikke kunne kreve et anstendig resultat.

Hvordan unngå å stryke på eksamen og få gode score? For å gjøre dette må du løse oppgavene godt. Jeg krever ikke maksimal poengsum, men jeg forbereder meg likevel flittig. Og jeg la merke til at selv på den første oppgaven i del C, nemlig å løse trigonometriske ligninger og deres systemer, gjør jeg feil.Ved første øyekast er oppgave C1 en relativt enkel ligning eller system av ligninger som kan inneholde trigonometriske funksjoner,En av hovedmetodene for å løse dem er å forenkle dem sekvensielt for å redusere dem til en eller flere enkleste.Så hvorfor tar jeg feil?

Temaets relevans bestemmes av at elevene må forstå visse metoder for å løse trigonometriske ligninger.

Derfor satte jeg meg følgendemål:

Systematisere og utvide kunnskaper og ferdigheter knyttet til bruk av metoder for løsning av trigonometriske ligninger.

Studieobjekt er studiet av trigonometriske ligninger i Unified State Examination-oppgaver.

Gjenstand for forskning- er løsningen på trigonometriske ligninger

Slik, hovedmål skriver dette kursarbeid er studiet av trigonometriske ligninger og deres systemer, metoder for å løse dem.

I samsvar med studiens mål, objekt og emne er følgende definert: oppgaver:

1). Studer alle oppgavene knyttet til løsning av trigonometriske ligninger som tilbys på Unified State Examination fungerer tidligere år og ved opptreden diagnostisk arbeid;

2) Studere metoder for å løse trigonometriske ligninger.

3). Identifiser det viktigste mulige feil når du løser slike ligninger;

4). Finn ut årsaken til å gjøre slike feil.

6). Trekk konklusjoner.

I arbeidet mitt vil jeg løse flere trigonometriske ligninger, vise mulige feil ved å løse dem og prøve å svare på følgende spørsmål:

1). Er det mulig å unngå feil når du utfører type C1-oppgaver?

2) Hvis jeg øver på å løse likninger av denne typen, så kan jeg det

Er det mulig å utføre slike oppgaver uten feil?

For dette formålet studerte jeg alle demoene og opplæringsoppgaver tilbrakte med oss, Unified State Exam materialer tidligere år;

studert referansekilder;

selvstendig løste oppgaver fra Internett;

konsulterte læreren hennes i tilfelle vanskeligheter;

Jeg lærte å analysere og formatere resultatene riktig.

Kapittel JEG. Om trigonometriske ligninger.

1) Definisjon 1. En trigonometrisk ligning er en ligning som inneholder en variabel under tegnet til trigonometriske funksjoner.

Protozoer trigonometriske ligninger- dette er ligninger av formen sin x = a,

cos x=a, tg x=a, ctg x = a.

I slike ligninger står variabelen under tegnet til den trigonometriske funksjonen, og er det gitte tallet.

Å løse en trigonometrisk ligning består av to trinn: transformering av ligningen for å få sin enkleste form og løse den resulterende enkleste trigonometriske ligningen.

2) Grunnleggende typer trigonometriske ligninger.

Ligninger redusert til de enkleste.

Løs ligningen

Løsning:

Svare:

Ligninger som reduseres til kvadratisk.

1) Løs ligningen 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Svare:

Homogene ligninger: asinx + bcosx = 0

en synd 2 x + b sinxcosx + c koster 2 x = 0.

Løs ligningen 2sinx – 3cosx = 0

Løsning: La cosx = 0, så 2sinx = 0 og sinx = 0 - en motsetning med

at sin 2 x + cos 2 x = 1. Dette betyr cosx ≠ 0 og vi kan dele ligningen på cosx.

Vi får

Svare:

Eksempel: Løs ligningen

Løsning:

Svare:

Ligninger løst ved faktorisering.

Prier: Løs ligningen sin2x – sinx = 0.

Løsning: Ved å bruke formelen sin2x = 2sinxcosx får vi

2sinxcosx – sinx = 0,

sinx (2cosx – 1) = 0.

Produktet er lik null hvis minst en av faktorene er lik null.

Svare:

Ikke-standard ligninger.

Løs ligningen cosx = X 2 + 1.

Løsning:

La oss se på funksjonene

Kapittel II. Grunnleggende begreper og formler for trigonometri.

Trigonometriske ligninger er et obligatorisk emne i enhver matematikk eksamen.

OMx, hvor mye smerte læring trigonometri forårsaker elever.

Visse vanskeligheter oppstår selv om det er en lærer i nærheteni matematikk og forklarer hver minste detalj. Dette er forståelig; det er mer enn tjue grunnleggende formler alene. Og hvis vi teller deres deriverte... Eleven blir forvirret i beregningene og kan ikke huske mekanismene som disse formlene lar en finne f.eks. .

Du kjenner formlene – det er lett for deg å bestemme. Hvis du ikke vet, vil du ikke forstå, selv om de gir deg formelen.Du trenger ikke bare å kjenne formelen, men du må vite hvor den kan brukes, hvordan du åpner den og hva essensen av formelen er, og for dette må du løse eksempler spesifikt for de problemene som er vanskelig å løse.

Først virket det for megtrigonometri er et kjedelig sett med formler og grafer. Men etter hvert som jeg ble kjent med nye begreper innen trigonometri og metoder for å løse trigonometriske ligninger, ble jeg overbevist hver gang hvor interessant og fascinerende trigonometriens verden er.

For det første, for å lykkes med å løse trigonometriske ligninger, må du ha god kunnskap om trigonometriske formler, ikke bare de grunnleggende, men også tilleggsformler (konvertere summen av trigonometriske funksjoner til et produkt og produkter til en sum, formler for å redusere grader, etc. ),siden bruk av jukseark og mobiltelefoner forbudt

(vedlegg 1)

For det andre , vi må tydelig kjenne standardformlene for røttene til de enkleste trigonometriske ligningene (det er nyttig å huske eller kunne få forenklede formler for røttene til ligningene ved å bruke den trigonometriske sirkelen)

Hver av disse ligningene løses ved hjelp av formler du bør kjenne til. Dette er formlene:

a) Funksjony= syndx. Funksjonen er begrenset: den er innenfor [-1; 1]. Dette betyr at når man løser ligninger somsinx=2 ellersinxsinx

1) sinx =a,x= (-1) n buesin a +n,n Z

2) sinx = - a,x= (-1) n+1 buesin a +n,n Z

Du må også kjenne til spesielle tilfeller: 1) sinx =- 1,

2)sinx =0,

3)sinx = en,

Du må også kunne løsei form av to serier med røtter

2. Funksjon y = cos x . Funksjonen er begrenset: den er innenfor [-1; 1]. Dette betyr at når man løser ligninger somcosx=2 ellercosx=-5 svaret viser seg å være: ingen røtter. Formler for funksjonen y=cosx:

1. cosx =a, X=± arccos a+2n,n Z

2.fordi x=-a, X=±(  - arccos a)+2n,n Z

Spesielle tilfeller: 1. cosx =-1, X =  +2 n, n Z

2. cosx =0,

3. cosx =1, X= 2n,n Z

3. Funksjony= tgx.

Det er bare én formel, uten spesielle tilfeller:tgx = ± en .

X = ± arctan a+n,n Z

For det tredje må du kjenne verdiene til trigonometriske funksjoner;

(vedlegg 2)

For det fjerde Hvis den trigonometriske funksjonen i en ligning er under det radikale tegnet, vil en slik trigonometrisk ligning være irrasjonell. I slike likninger må du følge alle reglene som brukes når du løser vanlige likninger. irrasjonelle ligninger(området tatt i betraktning akseptable verdier både selve ligningen og når den er frigjort fra en rot av jevn grad).

V. Ligninger som tilbys på Unified State-eksamenen fra tidligere år.

"En løsningsmetode er bra hvis vi helt fra begynnelsen kan forutse - og etterpå bekrefte dette - at vi ved å følge denne metoden vil nå målet."

Leibniz

1. Ligninger som reduserer til kvadratisk.

C1. Løs ligningen:

Løsning: Ved å bruke den grunnleggende trigonometriske identiteten,vi skriver om likningen i formen

Erstatningcos= tligningen reduseres til kvadratisk:2t 2 + 9 t-5 =0, som har røttert 1 = ½ ogt 2 = -5. Tilbake til variabelen x, får vi
,

Den andre ligningen har ingen røtter siden |cosx |≥1, og fra den første x =± +6k, k Z

Svar: =± +6k, k Z

Konklusjon: Når du introduserer en ny variabel, må du ta hensyn til at verdiene til sin x og cos x er begrenset av segmentet
, ellers vil fremmede røtter dukke opp.

2. Ligninger løst ved faktorisering

Oppgave C1 (2011)

a) Løs ligningen

b) Angi røttene til ligningen som tilhører segmentet

Løsning: a) løs ved å faktorisere venstre side:

vi grupperer og setter fellesfaktoren utenfor parentes, får vi

Ligning 1) har ingen løsninger.

Den andre ligningen er homogen, kan løses ved å dele ledd på ledd med cosx ≠0, vi får
, hvor

b)

Svar: a)
b)

Konklusjon:

1. Når du løser en likning av denne typen, må du først vite at |sin x|≤1 og |cosx |≤1, og ligningen sinx =-2 har ingen løsninger;

2. For det andre, begrunn divisjon med cosx ≠о (siden hvis cosx = 0, så er sin x = 0, men dette er umulig;

for det tredje er det rimelig å velge røtter som tilhører et gitt intervall

3
.Ligning for å bruke reduksjonsformler

C1 (2010) Gitt ligningen

a) løse ligningen;

b
) Angi røttene som tilhører segmentet

Løsning: Ved å bruke reduksjonsformlene får vi:

sin 2 x – cos x =0,

2 sinx cosx- cosx =0,

Med osx (2 sinx -1)=0, hvorav cosx= 0 eller sinx =½,

b) Finn verdiene til k som røttene skal tilhøre

det angitte intervallet. For å velge røttene. som tilhører et gitt intervall, presenterer vi løsningen i formen:

b

) La oss finne verdiene til k der røttene vil tilhøre det angitte intervallet.

2)

Å løse denne ulikheten, helheten

vi får ikke verdiene for k.

Svar: a)

b)

Konklusjon:

Når du løser en ligning av denne typen, er det nødvendig å kjenne formlene til den gitte ligningen og bruke den riktig; kunne presentere en løsning
i to serier av røtter; velg de riktige røttene som tilhører et gitt segment.

4. Systemer av trigonometriske ligninger

C1 (2010). Løs ligningssystem

Løsning: O.D.Z

En brøk er lik null hvis telleren er 0 og nevneren ikke er 0.

Fra ligningen 2sin 2 x – 3 sinx +1 =0, løser vi ved å introdusere en ny variabel, finner vi

eller sin x =1.

1) La
, Deretter
og y = cos x = ›0 (ved å bruke den grunnleggende trigonometriske identiteten)

eller
Og
- det er ingen løsning.

2) La sinx = 1, så y = cos x = 0 – det er ingen løsning.

Svare:
og y =

Konklusjon: 1) det er nødvendig å ta hensyn til begrensningene til trigonometrisk

funksjoner

2) Registrer og ta hensyn til O.D.Z.

5. C1 (Unified State Exam 2011) Løs ligningen:

O.D.Z. – cos x ≥ 0, sin x ≤ 0.

4sin 2 x + 12 sinx + 5 = 0 eller cos x =0

sinx = t

4 t 2 + 12 t + 5=0, hvor t 1 = -½, t 2 = -

sinx = -½ sinx=- - har ingen løsning

x =

x =

tar hensyn til O.D.Z. x =

Svar: x =

Konklusjon: Skriv ned svaret under hensyntagen til O.D.Z.

KONKLUSJON

I arbeidet jeg gjorde studerte jeg løsninger på trigonometriske ligninger, vurderte anbefalinger for å løse trigonometriske ligninger, metoder for å løse trigonometriske ligninger, og vurderte feil som er mulige når man løser dem.

jeg kom til følgende konklusjoner:

1. Type C1-oppgaver tester evnen til å løse trigonometriske ligninger. Disse oppgavene er faktisk enkle, noe som gir overdreven selvtillit og demper oppmerksomheten. Den eneste vanskeligheten med disse oppgavene er at etter å ha løst en ligning eller et system av ligninger, må man forkaste fremmede røtter.

2. Oppgave C1 er mest enkel oppgave gruppe C. Ved løsning av den skal det ikke oppstå tungvinte transformasjoner og komplekse beregninger. Hvis de dukker opp, må du umiddelbart stoppe, sjekke løsningen og prøve å forstå hva som er galt her.

3. Til syvende og sist,Hovedkravet er at løsningen må være matematisk literær, og resonnementsforløpet må fremgå av det.Du må prøve å skrive ned avgjørelsen din kort og tydelig, men viktigst av alt - riktig!

4. Og viktigst av alt, for å lære å løse ligninger uten feil, må du løse dem! Tross alt, som Polya sa, "Hvis du vil lære å svømme, så dykk gjerne ned i vannet, og hvis du vil lære å løse problemer, må du løse dem!"

Vedlegg 1 (grunnleggende formler for trigonometri)

1) grunnleggende trigonometrisk identitetsynd 2 α + cos 2 α= 1,

Å dele denne ligningen med kvadratet av henholdsvis cosinus og sinus, har vi

2) doble argumentformlersynd2a = 2syndα cos α,

cos 2α =cos 2 α -synd 2 α ,

Cos 2α = 1- 2sin 2 α,

3) formler for å redusere graden:

4) formler for summen og differansen av to argumenter:

synd(α+ β )= syndα cosβ + cos α syndβ

synd(α- β )= syndα cos β - cos α synd β

cos(α+ β )= cosα cos β + synd α synd β

cos(α- β )= syndα cos β + syndα synd β

5) Reduksjonsformler

Reduksjonsformler kalles formler følgende type:

Summer og forskjeller av trigonometriske ligninger

Paritet

kosinus-jevn, sinus, tangens og cotangens, det vil si:

Kontinuitet

Sinus og kosinus - . Tangent og har

,cotangens 0; ±π; ±2π;…

Periodisitet

Funksjonery = cosx, y = syndx -

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg med unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• Om nødvendig - i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser og/eller på grunnlag av offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige myndigheter på territoriet til den russiske føderasjonen - for å avsløre din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
• I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.