Ikke-standardiserte metoder for å løse ligninger. Ikke-standardiserte metoder for å løse irrasjonelle ulikheter og ligninger

Emne: "Ikke-standardmetoder for å løse ligninger"

Mål: vurdere noen metoder for å løse ligninger som lar studentene forberede seg på å løse problemer med avsluttende eksamen.

I løpet av timene.

1. Studiet av teoretisk materiale.

METODE FOR UTVALG AV ROT .

Ligninger som https://pandia.ru/text/78/386/images/image002_13.png" width="47" height="29 src=">.png" width="143" height="29 src=" >rasjonell ligning av n-te grad.

1) Hvis heltallet N er root.png" width="22" height="29 src=">.png" width="22" height="29 src=">.png" width="10" høyde = "40 src=">.png" width="52" height="29 src=">.png" width="23" height="29 src=">.png" width="260" height=" 30 src="> .

Beslutning. I saken under behandling https://pandia.ru/text/78/386/images/image015_5.png" width="252" height="29 src=">

Så den irreduserbare brøken https://pandia.ru/text/78/386/images/image017_5.png" width="69" height="40 src="> ; https://pandia.ru/text/78/386/images/image019_4.png" height="40 src="> er en rasjonell løsning på den opprinnelige ligningen.

Eksempel 2. Finn heltallsrøtter til et polynomf(x)= https://pandia.ru/text/78/386/images/image021_1.png" width="143" height="29 src="> Ved å erstatte de oppnådde tallene i det opprinnelige polynomet, kan vi forsikre oss om at tallene 1, 2, -2 er røttene til polynomet.

5) Polynomet er en kontinuerlig funksjon, så hvis det er minst én rot av dette i endene https://pandia.ru/text/78/386/images/image023_1.png" polynom.

Eksempel 3. Finn minst én heltallsrot av et polynomf(x)= https://pandia.ru/text/78/386/images/image025_2.png" width="336" height="29 src="> Derfor ligger minst én rot i intervallet https://pandia.ru/text/78/386/images/image027_0.png" width="358" height="241 src=">

Dermed kan det opprinnelige polynomet skrives som: 2https://pandia.ru/text/78/386/images/image029_1.png" width="214" height="29 src=">

Beslutning. Den ledende koeffisienten er 1, og frileddet har divisorer 1,2,8,16, derfor har denne ligningen en rasjonell rot, så er denne roten absolutt et heltall og er blant tallene hvis https://pandia.ru/ text/78/386/ images/image031_0.png" width="16" height="29 src=">16..png" width="324" height="243 src=">

Derfor https://pandia.ru/text/78/386/images/image035_1.png" width="569" height="64 src=">

Oppgaver for selvstendig løsning.

1..png" width="265" height="29 src=">

3..png" width="89" height="29 src=">+10x+24=0;

5..png" width="109" height="29 src=">.png" width="83" height="29 src=">.png" width="72" height="29 src="> .png" width="22" height="29 src=">.png" width="212" height="29 src=">.png" width="154" height="29 src=">.png " width="288" height="29 src=">+-https://pandia.ru/text/78/386/images/image055_1.png" width="624" height="58">

Dette polynomet må være identisk lik det opprinnelige polynomet, noe som er mulig hvis koeffisientene til de tilsvarende potensene er like.

2https://pandia.ru/text/78/386/images/image057_1.png" width="302" height="29 src=">.png" width="570" height="130 src="> =1.

Dermed kan det opprinnelige polynomet skrives som:

2https://pandia.ru/text/78/386/images/image061_1.png" width="159" height="29 src=">

Eksempel1..png" width="286" height="25 src=">.png" width="146" height="25 src=">.png" width="149" height="103 src="> .png" width="82" height="29 src=">.png" width="165" height="50 src=">.png" width="61" height="29 src=">.

Den russiske filologen Dmitrij Nikolajevitsj Ushakov gir i sin forklarende ordbok en slik definisjon av begrepet "metode" - en måte, en metode, en metode for teoretisk forskning eller praktisk implementering av noe (D. N. Ushakov, 2000).

Hva er metodene for å lære å løse problemer i matematikk, som vi for tiden anser som ikke-standard? Dessverre har ingen kommet opp med en universell oppskrift, gitt det unike ved disse oppgavene. Noen lærere trener på maløvelser. Dette skjer på følgende måte: læreren viser vei til løsning, og så gjentar eleven dette ved oppgaveløsning mange ganger. Samtidig drepes elevenes interesse for matematikk, noe som i hvert fall er trist.

I matematikk er det ingen generelle regler som tillater å løse ethvert ikke-standardproblem, siden slike problemer til en viss grad er unike. En ikke-standard oppgave blir i de fleste tilfeller oppfattet som "en utfordring for intellektet, og gir opphav til behovet for å realisere seg selv i å overvinne hindringer, i å utvikle kreative evner".

Vurder flere metoder for å løse ikke-standard problemer:

• · algebraisk;
• · aritmetikk;
• oppregningsmetode;
• metode for resonnement;
• praktisk;
• metoden for å gjette.

Algebraisk metode problemløsning utvikler kreative evner, evnen til å generalisere, danner abstrakt tenkning og har fordeler som kortfattet skriving og resonnement når man utarbeider ligninger, sparer tid.

For å løse problemet ved hjelp av den algebraiske metoden, er det nødvendig:

• · å analysere problemet for å velge det viktigste ukjente og identifisere forholdet mellom mengdene, samt uttrykket av disse avhengighetene i matematisk språk i form av to algebraiske uttrykk;
• finn grunnlaget for å koble disse uttrykkene med tegnet "=" og lag en ligning;
• finne løsninger på den resulterende ligningen, organiser en sjekk av løsningen av ligningen.

Alle disse stadiene for å løse problemet henger logisk sammen. For eksempel nevner vi søket etter et grunnlag for å koble to algebraiske uttrykk med et likhetstegn som et spesielt stadium, men det er klart at på forrige stadium er disse uttrykkene ikke dannet vilkårlig, men under hensyntagen til muligheten for å koble dem sammen med tegnet "=".

Både identifisering av avhengigheter mellom mengder og oversettelse av disse avhengighetene til matematisk språk krever intens analytisk og syntetisk mental aktivitet. Suksess i denne aktiviteten avhenger spesielt av om elevene vet hvilke relasjoner disse mengdene kan ha generelt, og om de forstår den virkelige betydningen av disse relasjonene (for eksempel relasjoner uttrykt med begrepene "senere av ...", " eldre med ... ganger " osv.). Videre kreves det en forståelse av hva slags matematisk handling eller egenskap ved handlingen, eller hvilken sammenheng (avhengighet) mellom komponentene og resultatet av handlingen, denne eller den spesielle sammenhengen kan beskrives.

La oss gi et eksempel på å løse et ikke-standardproblem ved hjelp av den algebraiske metoden.

Oppgave. Fiskeren fanget en fisk. På spørsmål: "Hva er massen?", svarte han: "Massene til halen er 1 kg, massen på hodet er den samme som massen til halen og halvparten av kroppen. Og massen av kroppen er den samme som massen av hodet og halen sammen. Hva er massen til fisken?

La x kg være kroppens masse; da er (1+1/2x) kg massen til hodet. Siden kroppens masse etter betingelse er lik summen av massene til hodet og halen, komponerer og løser vi ligningen:

x = 1 + 1/2x + 1,

4 kg er kroppens masse, deretter er 1+1/2 4=3 (kg) massen til hodet og 3+4+1=8 (kg) er massen til hele fisken;

Svar: 8 kg.

Aritmetisk metode løsninger krever også mye psykisk stress, noe som har en positiv effekt på utviklingen av mentale evner, matematisk intuisjon, på dannelsen av evnen til å forutse en virkelig livssituasjon.

Tenk på et eksempel på å løse et ikke-standardproblem ved hjelp av en aritmetisk metode:

Oppgave. To fiskere ble spurt: "Hvor mange fisk er det i kurvene dine?"

"I kurven min er halvparten av det han har i kurven, og 10 til," svarte den første. "Og jeg har like mange i kurven min som han har, og til og med 20," regnet den andre ut. Vi telte, og nå teller du.

La oss lage et diagram for problemet. La det første segmentet av diagrammet angi antall fisk den første fiskeren har. Det andre segmentet angir antall fisk fra den andre fiskeren.

På grunn av det faktum at en moderne person trenger å ha en ide om hovedmetodene for dataanalyse og sannsynlighetsmønstre som spiller en viktig rolle i vitenskap, teknologi og økonomi, introduseres elementer av kombinatorikk, sannsynlighetsteori og matematisk statistikk. inn i skolens matematikkkurs, som er praktiske å forstå å bruke oppregningsmetode.

Inkludering av kombinatoriske problemer i løpet av matematikk har en positiv innvirkning på utviklingen av skolebarn. «Målrettet læring for å løse kombinatoriske problemer bidrar til utviklingen av en slik kvalitet ved matematisk tenkning som variabilitet. Under tenkningens variabilitet mener vi retningen til elevens mentale aktivitet for å søke etter ulike løsninger på problemet i det tilfellet det ikke er spesielle instruksjoner for dette.

Kombinatoriske problemer kan løses med ulike metoder. Konvensjonelt kan disse metodene deles inn i "formelle" og "uformelle". Med den "formelle" løsningsmetoden må du bestemme arten av valget, velge riktig formel eller kombinatorisk regel (det er sum- og produktregler), erstatte tall og beregne resultatet. Resultatet er antall mulige alternativer, men selve alternativene dannes ikke i dette tilfellet.

Med den "uformelle" løsningsmetoden kommer prosessen med å kompilere ulike alternativer i forgrunnen. Og det viktigste er ikke hvor mye, men hvilke alternativer som kan oppnås. Slike metoder inkluderer oppregningsmetode. Denne metoden er tilgjengelig selv for yngre studenter, og lar deg få erfaring med praktisk løsning av kombinatoriske problemer, som tjener som grunnlag for introduksjon av kombinatoriske prinsipper og formler i fremtiden. I tillegg må en person i livet ikke bare bestemme antall mulige alternativer, men også komponere alle disse alternativene direkte, og etter å ha mestret metodene for systematisk opptelling, kan dette gjøres mer rasjonelt.

Oppgaver er delt inn i tre grupper i henhold til kompleksiteten til oppregning:

• en . Oppgaver der du må lage en fullstendig oppregning av alle mulige alternativer.
• 2. Oppgaver der det er upraktisk å bruke full oppregningsteknikk og du umiddelbart må ekskludere noen alternativer uten å vurdere dem (det vil si å utføre en forkortet oppregning).
• 3. Oppgaver der oppregningsoperasjonen utføres flere ganger og i forhold til ulike typer objekter.

Her er relevante eksempler på oppgaver:

Oppgave. Plasser tegnene "+" og "-" mellom de gitte tallene 9 ... 2 ... 4, lag opp alle mulige uttrykk.

Det er en fullstendig liste over alternativer:

• a) to tegn i uttrykket kan være like, da får vi:
  • 9 + 2 + 4 eller 9 - 2 - 4;
• b) to tegn kan være forskjellige, da får vi:
  • 9 + 2 - 4 eller 9 - 2 + 4.

Oppgave. Læreren forteller at han tegnet 4 figurer på rad: store og små firkanter, store og små sirkler slik at sirkelen er i første omgang og figurene med samme form ikke står side om side, og inviterer elevene til å gjette rekkefølgen disse figurene er ordnet i.

Det er totalt 24 forskjellige arrangementer av disse figurene. Og det er ikke tilrådelig å komponere dem alle, og deretter velge de som tilsvarer denne tilstanden, derfor utføres en forkortet oppregning.

En stor sirkel kan være i første omgang, så kan en liten bare være på tredje plass, mens store og små firkanter kan plasseres på to måter - på andre og fjerde plass.

Et lignende resonnement utføres hvis det første stedet er en liten sirkel, og to alternativer er også kompilert.

Oppgave. Tre partnere fra samme firma holder verdipapirer i en safe med 3 låser. Ledsagerne ønsker å fordele nøklene til låsene seg imellom slik at safen kun kan åpnes i nærvær av minst to ledsagere, men ikke én. Hvordan kan jeg gjøre det?

Først er alle mulige tilfeller av nøkkelfordeling oppregnet. Hver ledsager kan gis én nøkkel, eller to forskjellige nøkler, eller tre.

La oss anta at hver følgesvenn har tre forskjellige nøkler. Da kan safen åpnes av én ledsager, og denne oppfyller ikke betingelsen.

La oss anta at hver følgesvenn har én nøkkel. Så hvis to av dem kommer, vil de ikke kunne åpne safen.

La oss gi hver følgesvenn to forskjellige nøkler. Den første - 1 og 2 nøkler, den andre - 1 og 3 nøkler, den tredje - 2 og 3 nøkler. La oss sjekke når to ledsagere kommer for å se om de kan åpne safen.

Den første og andre ledsageren kan komme, de vil ha alle nøklene (1 og 2, 1 og 3). Den første og tredje ledsageren kan komme, de vil også ha alle nøklene (1 og 2, 2 og 3). Til slutt kan andre og tredje følgesvenn komme, de vil også ha alle nøklene (1 og 3, 2 og 3).

For å finne svaret i dette problemet, må du derfor utføre iterasjonsoperasjonen flere ganger.

Ved valg av kombinatoriske problemer bør man være oppmerksom på emnet og presentasjonsformen for disse problemene. Det er ønskelig at oppgavene ikke ser kunstige ut, men er forståelige og interessante for barn, fremkaller positive følelser i dem. Du kan bruke praktisk materiale fra livet til å tegne oppgaver.

Det er andre problemer som kan løses ved oppregning.

Som et eksempel, la oss løse problemet: "Marquis Karabas var 31 år gammel, og hans unge energiske Puss in Boots var 3 år gammel, da hendelsene kjent fra eventyret fant sted. Hvor mange år har gått siden den gang, hvis katten nå er tre ganger yngre enn eieren? Oppregningen av alternativer er representert av en tabell.

Age of the Marquis of Carabas og Puss in Boots

14 - 3 = 11 (år)

Svar: 11 år har gått.

Samtidig eksperimenterer eleven så å si, observerer, sammenligner fakta og trekker på grunnlag av bestemte konklusjoner visse generelle konklusjoner. I prosessen med disse observasjonene blir hans virkelig-praktiske erfaring beriket. Dette er nettopp den praktiske verdien av oppregningsproblemer. I dette tilfellet brukes ordet "oppregning" i betydningen å analysere alle mulige tilfeller som tilfredsstiller betingelsene for problemet, og viser at det ikke kan finnes andre løsninger.

Dette problemet kan også løses med en algebraisk metode.

La katten være x år gammel, så er markisen 3x, basert på tilstanden til problemet, vil vi komponere ligningen:

• 3x - x \u003d 28,
• 2x = 28,

Katten er nå 14 år gammel, så gikk 14 - 3 = 11 (år).

Svar: 11 år har gått.

resonnementmetode kan brukes til å løse matematiske sofismer.

Feilene som gjøres i sofismen kommer vanligvis ned til følgende: å utføre "forbudte" handlinger, bruke feilaktige tegninger, feil ordbruk, unøyaktige formuleringer, "ulovlige" generaliseringer, feil anvendelse av teoremer.

Å avsløre sofisme betyr å påpeke en feil i resonnementet, basert på hvilken det ytre utseendet av bevis ble skapt.

Analyse av sofismer utvikler først og fremst logisk tenkning, innpoderer ferdighetene til riktig tenkning. Å oppdage en feil i sofisme betyr å gjenkjenne den, og bevisstheten om en feil forhindrer at den gjentas i andre matematiske resonnementer. I tillegg til det kritiske ved matematisk tenkning, avslører denne typen ikke-standardoppgaver tenkningens fleksibilitet. Vil eleven være i stand til å "bryte ut av grepet" av denne veien, som ved første øyekast er strengt logisk, bryte kjeden av slutninger ved selve leddet som er feil og gjør alle videre resonnementer feilaktige?

Analysen av sofismer hjelper også med bevisst assimilering av materialet som studeres, utvikler observasjon og en kritisk holdning til det som studeres.

a) Her er for eksempel en sofisme med feil anvendelse av teoremet.

La oss bevise at 2 2 = 5.

La oss ta følgende åpenbare likhet som startforhold: 4: 4 = 5: 5 (1)

Vi tar ut av parentes den felles faktoren i venstre og høyre del, vi får:

4 (1: 1) = 5 (1: 1) (2)

Tallene i parentes er like, så 4 = 5 eller 2 2 = 5.

I resonnementet, når man går fra likhet (1) til likhet (2), skapes en illusjon av sannsynlighet på grunnlag av en falsk analogi med den fordelende egenskapen multiplikasjon med hensyn til addisjon.

b) Sofisme ved bruk av "ulovlige" generaliseringer.

Det er to familier - Ivanovs og Petrovs. Hver består av 3 personer - far, mor og sønn. Ivanovs far kjenner ikke Petrovs far. Ivanovs mor kjenner ikke Petrovas mor. Den eneste sønnen til Ivanovs kjenner ikke den eneste sønnen til Petrovs. Konklusjon: ikke et eneste medlem av Ivanov-familien kjenner et eneste medlem av Petrov-familien. Er dette sant?

Hvis et medlem av Ivanov-familien ikke kjenner et medlem av Petrov-familien lik sivilstatus, betyr ikke dette at han ikke kjenner hele familien. For eksempel kan Ivanovs far kjenne Petrovs mor og sønn.

Resonneringsmetoden kan også brukes til å løse logiske problemer. Logiske oppgaver forstås vanligvis som de oppgavene som løses ved kun å bruke logiske operasjoner. Noen ganger krever løsningen deres lange resonnementer, hvis nødvendige retning ikke kan forutses på forhånd.

Oppgave. De sier at Tortila ga den gyldne nøkkelen til Pinocchio ikke så enkelt som A. N. Tolstoy sa, men på en helt annen måte. Hun tok frem tre bokser: rød, blå og grønn. På den røde boksen var det skrevet: "Her ligger en gylden nøkkel", og på den blå - "Den grønne boksen er tom", og på den grønne - "Her sitter en slange". Tortila leste inskripsjonene og sa: "Det er faktisk en gylden nøkkel i den ene boksen, en slange i den andre, og den tredje er tom, men alle inskripsjonene er feil. Hvis du gjetter hvilken boks som inneholder den gyldne nøkkelen, er den din." Hvor er den gyldne nøkkelen?

Siden alle inskripsjonene på boksene er feil, inneholder den røde boksen ikke en gylden nøkkel, den grønne boksen er ikke tom og det er ingen slange i den, noe som betyr at nøkkelen er i den grønne boksen, slangen er i den røde, og den blå er tom.

Ved løsning av logiske problemer aktiveres logisk tenkning, og dette er evnen til å utlede konsekvenser fra premisser, noe som er avgjørende for vellykket mestring av matematikk.

En rebus er en gåte, men en gåte er ikke helt vanlig. Ord og tall i matematiske gåter er avbildet ved hjelp av tegninger, stjerner, tall og forskjellige tegn. For å lese hva som er kryptert i rebus, må du navngi alle objektene som er avbildet riktig og forstå hvilket skilt som viser hva. Folk brukte gåter selv når de ikke kunne skrive. De komponerte brevene sine fra gjenstander. For eksempel sendte lederne av en stamme en gang en fugl, en mus, en frosk og fem piler i stedet for et brev til naboene. Dette betydde: «Kan du fly som fugler og gjemme deg i bakken som mus, hoppe gjennom sumper som frosker? Hvis du ikke vet hvordan, så ikke prøv å kjempe mot oss. Vi vil bombardere deg med piler så snart du kommer inn i landet vårt.»

Ut fra den første bokstaven i summen 1), D = 1 eller 2.

Anta at D = 1. Da, Y? 5. Y \u003d 5 er ekskludert, fordi P kan ikke være lik 0. Y? 6, fordi 6 + 6 = 12, dvs. P = 2. Men en slik verdi av P er ikke egnet for ytterligere verifisering. På samme måte, U? 7.

Anta at Y = 8. Da er P = 6, A = 2, K = 5, D = 1.

Et magisk (magisk) kvadrat er et kvadrat der summen av tallene vertikalt, horisontalt og diagonalt er den samme.

Oppgave. Ordne tallene fra 1 til 9 slik at du vertikalt, horisontalt og diagonalt får samme sum av tall, lik 15.

Selv om det ikke finnes generelle regler for løsning av ikke-standardiserte problemer (det er derfor disse problemene kalles ikke-standard), har vi forsøkt å gi en rekke generelle retningslinjer - anbefalinger som bør følges ved løsning av ikke-standardiserte problemer av ulike typer .

Hver ikke-standard oppgave er original og unik i sin løsning. I denne forbindelse danner den utviklede metodikken for undervisning i søkeaktiviteter når du løser ikke-standardoppgaver ikke ferdigheter for å løse ikke-standardoppgaver, vi kan bare snakke om å utvikle visse ferdigheter:

• evne til å forstå oppgaven, fremheve de viktigste (støttende) ordene;
• evnen til å identifisere tilstanden og spørsmålet, kjent og ukjent i problemet;
• evnen til å finne en sammenheng mellom dataene og det ønskede, det vil si å analysere teksten til problemet, hvis resultat er valget av en aritmetisk operasjon eller en logisk operasjon for å løse et ikke-standardproblem;
• evnen til å registrere fremdriften til løsningen og svaret på problemet;
• · evne til å utføre tilleggsarbeid på oppgaven;
• evnen til å velge nyttig informasjon i selve problemet, i prosessen med å løse det, for å systematisere denne informasjonen, korrelere den med eksisterende kunnskap.

Ikke-standardoppgaver utvikler romlig tenkning, som kommer til uttrykk i evnen til å gjenskape i sinnet de romlige bildene av objekter og utføre operasjoner på dem. Romlig tenkning manifesteres når man løser problemer som: «På toppen av kanten av en rund kake ble det plassert 5 fløteprikker i samme avstand fra hverandre. Kutt ble foretatt gjennom alle poengpar. Hvor mange kakestykker fikk du totalt?

praktisk metode kan vurderes for ikke-standard delingsproblemer.

Oppgave. Pinnen må kuttes i 6 stykker. Hvor mange kutt vil være nødvendig?

Løsning: Kutt vil trenge 5.

Når du studerer ikke-standard divisjonsproblemer, må du forstå: for å kutte et segment i P-deler, bør du lage et (P - 1) kutt. Dette faktum må etableres med barn induktivt, og deretter brukes til å løse problemer.

Oppgave. I en tre meter stang - 300 cm. Den må kuttes i stenger 50 cm lange hver. Hvor mange kutt trenger du å lage?

Løsning: Vi får 6 barer 300: 50 = 6 (barer)

Vi argumenterer som følger: for å dele stangen i to, det vil si i to deler, må du lage 1 kutt, i 3 deler - 2 kutt, og så videre, i 6 deler - 5 kutt.

Så du må lage 6 - 1 = 5 (kutt).

Svar: 5 kutt.

Så et av hovedmotivene som oppmuntrer studenter til å studere er interesse for faget. Interesse er en aktiv kognitiv orientering av en person til et bestemt objekt, fenomen og aktivitet, skapt med en positiv følelsesmessig holdning til dem. Et av virkemidlene for å utvikle interesse for matematikk er ikke-standardiserte oppgaver. En ikke-standard oppgave er forstått som slike oppgaver som det ikke er noen generelle regler og forskrifter for i løpet av matematikk som bestemmer det nøyaktige programmet for løsningen deres. Å løse slike problemer gjør at elevene kan delta aktivt i læringsaktiviteter. Det finnes ulike klassifiseringer av problemer og metoder for løsning. De mest brukte er algebraisk, aritmetikk, praktiske metoder og oppregning, resonnement og formodninger.

Kommunal konkurranse av forskning og kreative verk av skolebarn

"Gå inn i vitenskapen"

Seksjon for MATEMATIKK

Emne: Ikke-standard metoder for å løse irrasjonelle

ligninger.

Nuzhdina Maria, MAOU ungdomsskole №2

10. klasse, landsbyen Karymskoye

Vitenskapelig rådgiver: Vasilyeva Elena Valerievna,

matematikklærer

MAOU ungdomsskole nr. 2, landsbyen Karymskoye

bosetning Karymskoe, 2013

Sammendrag……………………………………………………………………………….3

Studieplan…………………………………………………………………………………………………………………..4-5

Arbeidsbeskrivelse:

§en. Grunnleggende teknikker for å løse irrasjonelle ligninger………………6-9

§2. Løse irrasjonelle ligninger med metoden for å erstatte det ukjente ... 10-14

§3. Irrasjonelle ligninger redusert til modulen ………….15-17

§4. Faktorisering………………………………………………………..18-19

§5. Formlikninger ………………………………………20-22

§6. Geometrisk middelsetning i irrasjonelle ligninger

; ……………………………23-24

4) Referanser………………………………………………………………………………25

Merknad.

Temaet for vårt forskningsarbeid: "Ikke-standardmetoder for å løse irrasjonelle ligninger."

Når du utførte arbeidet, var det nødvendig å: sammenligne forskjellige løsningsmetoder; gå fra offentlige til private metoder, og omvendt; argumentere og bevise utsagnene; studere og oppsummere informasjon samlet inn fra ulike kilder. I denne forbindelse kan følgende metoder for forskningsaktivitet skilles ut: empirisk; logisk og teoretisk (forskning); steg for steg; reproduktiv og heuristisk;

Som et resultat av utført arbeid er følgende resultater og konklusjoner:

Det finnes mange triks for å løse irrasjonelle ligninger;

Ikke alle irrasjonelle ligninger løses med standardtriks;

Vi har studert de hyppige substitusjonene hvorved komplekse irrasjonelle ligninger reduseres til de enkleste;

Vi vurderte ikke-standardiserte metoder for å løse irrasjonelle ligninger

Emne: "Ikke-standardmetoder for å løse irrasjonelle ligninger"

Nuzhdina M.P., Trans-Baikal-territoriet, Karymskoye-bosetningen, MAOU ungdomsskole nr. 2, klasse 10.

Forskningsplan.

Objektområde som vi har forsket på er algebra. En gjenstand forskning- løsning av ligninger. Blant de mange ligningene vurderte vi irrasjonelle ligninger - ting vår forskning.

I skolekurset i algebra vurderes kun standardmetoder og teknikker for løsning (hevet til en makt og enkle erstatningsteknikker). Men i prosessen med forskning viste det seg at det finnes irrasjonelle ligninger som standard teknikker og metoder ikke er nok til å løse. Slike ligninger løses ved hjelp av andre, mer rasjonelle metoder.

Derfor mener vi at studiet av slike løsningsmetoder er et nødvendig og interessant arbeid.

I prosessen med forskning viste det seg at det er veldig mange irrasjonelle ligninger og det er problematisk å gruppere dem etter typer og metoder.

mål forskning er studiet og systematiseringen av metoder for å løse irrasjonelle ligninger.

Hypotese: Hvis du kjenner til ikke-standardiserte metoder for å løse irrasjonelle ligninger, vil dette forbedre kvaliteten på ytelsen til noen Olympiade og testoppgaver til Unified State Examination.

For å nå de fastsatte målene og teste hypotesen er det nødvendig å løse følgende oppgaver:

Karakteriser typene irrasjonelle ligninger.

Etablere koblinger mellom typer og løsninger.

Vurder verdien av å sjekke og finne ODZ.

Vurder ikke-standardiserte tilfeller når du løser irrasjonelle ligninger (geometrisk middelsetning, monotonisitetsegenskaper til funksjoner).

I løpet av studien, mange lærebøker av slike forfattere som M.I.Skanavi, I.F.Sharygin, O.Yu.Cherkasov, A.N.Rurukin, I.T. metodisk tidsskrift "Mathematics at School".

Emne: "Ikke-standardmetoder for å løse irrasjonelle ligninger"

Nuzhdina M.P., Trans-Baikal-territoriet, Karymskoye-bosetningen, MAOU ungdomsskole nr. 2, klasse 10.

Arbeidsbeskrivelse.

§1 Grunnleggende teknikker for å løse irrasjonelle ligninger

Ligningen y(x)=0 er irrasjonell hvis funksjonen y(x) inneholder røtter fra en ukjent verdi x eller uttrykk som avhenger av x.

Mange irrasjonelle ligninger kan løses kun basert på konseptene til roten og rekkevidden av tillatte verdier til ligningen (ODV), men det finnes andre metoder, hvorav noen vil bli diskutert i arbeidet.

Hovedteknikken for å løse irrasjonelle ligninger anses å være tilbaketrukkethet i en del av den radikale ligningen, etterfulgt av å heve begge deler av ligningen i passende grad. Hvis det er flere slike radikaler, må forresten ligningen heves til den opprinnelige makten gjentatte ganger, mens det ikke er nødvendig å passe på at uttrykket under tegnet av den ensomme radikalen ville være ikke-negativt.

Men når den heves til en jevn styrke, kan det dukke opp fremmede røtter, det vil si røtter som ikke er en løsning på den opprinnelige ligningen.

Derfor, når du bruker en slik løsning, må røttene kontrolleres og fremmede kasseres, i dette tilfellet er kontrollen et element i løsningen og er nødvendig selv i tilfeller der ekstra røtter ikke dukket opp, men løsningens forløp var slik at de kan dukke opp. På den annen side, noen ganger er det lettere å sjekke enn å bevise at det er nødvendig.

La oss se på noen eksempler:

Svar: ingen røtter

- fremmed rot

I disse eksemplene så vi på standardmetodene for å løse irrasjonelle ligninger (løfte begge sider til en potens og sjekke røttene).

Imidlertid kan mange irrasjonelle ligninger løses ved

basert kun på konseptene roten og ODZ til ligningen.

Siden ligningen bare inkluderer radikaler med jevne grader, er det tilstrekkelig å løse systemet med ulikheter.

3x -2x 2 +5 ≥0 (ODZ-ligningsbetingelser)

4x 2 -26x +40 ≥0

Ved å løse dette ulikhetssystemet får vi:

x € Hvor x = 2,5.

x € (-∞ ; 2,5] ᴗ )