Termeh grunnleggende. Grunnleggende begreper i teoretisk mekanikk

Statikk- dette er seksjonen teoretisk mekanikk, der forholdene for likevekt av materielle legemer under påvirkning av krefter studeres.

I statikk forstås en likevektstilstand som en tilstand der alle deler av et mekanisk system er i ro (i forhold til et fast koordinatsystem). Selv om metodene for statikk også kan brukes på bevegelige kropper, og med deres hjelp er det mulig å studere problemer med dynamikk, er de grunnleggende objektene for å studere statikk stasjonære mekaniske kropper og systemer.

Styrke er et mål på innflytelsen av en kropp på en annen. Kraft er en vektor som har et påføringspunkt på overflaten av kroppen. Under påvirkning av en kraft mottar et fritt legeme en akselerasjon proporsjonal med kraftvektoren og omvendt proporsjonal med kroppens masse.

Loven om likhet mellom handling og reaksjon

Kraften som den første kroppen virker på den andre er lik absolutt verdi og er motsatt i retning av kraften som den andre kroppen virker på den første.

Herdeprinsipp

Hvis et deformerbart legeme er i likevekt, vil dets likevekt ikke bli forstyrret hvis kroppen anses som absolutt solid.

Statikk av et materialpunkt

La oss vurdere et materiell punkt som er i likevekt. Og la n krefter virke på den, k = 1, 2, ..., n.

Hvis et materialpunkt er i likevekt, er vektorsummen av kreftene som virker på det lik null:
(1) .

I likevekt er den geometriske summen av kreftene som virker på et punkt null.

Geometrisk tolkning. Hvis du plasserer begynnelsen av den andre vektoren på slutten av den første vektoren, og plasserer begynnelsen av den tredje på slutten av den andre vektoren, og deretter fortsetter denne prosessen, vil slutten av den siste, n-te vektoren bli justert med begynnelsen av den første vektoren. Det vil si at vi får en lukket geometrisk figur, lengdene på sidene er lik modulene til vektorene.

Hvis alle vektorer ligger i samme plan, får vi en lukket polygon. Det er ofte praktisk å velge rektangulært koordinatsystem

Oxyz.
.
Da er summene av projeksjonene til alle kraftvektorene på koordinataksene lik null:
.
Hvis du velger en hvilken som helst retning spesifisert av en vektor, er summen av projeksjonene av kraftvektorene på denne retningen lik null:
La oss multiplisere ligning (1) skalært med vektoren:
.

Her er skalarproduktet av vektorene og .

Merk at projeksjonen av vektoren på retningen til vektoren bestemmes av formelen:

Stiv kroppsstatikk

Et øyeblikk av makt, påført kroppen ved punkt A, i forhold til det faste senteret O, kalles en vektor lik vektorproduktet av vektorer og:
(2) .

Geometrisk tolkning

Kraftmomentet er lik produktet av kraft F og arm OH.

La vektorene og være plassert i tegneplanet. I henhold til egenskapen til kryssproduktet er vektoren vinkelrett på vektorene og det vil si vinkelrett på planen til tegningen. Retningen bestemmes av den riktige skrueregelen. På figuren er dreiemomentvektoren rettet mot oss. Absolutt dreiemomentverdi:
.
Siden da
(3) .

Ved hjelp av geometri kan vi gi en annen tolkning av kraftmomentet. For å gjøre dette, tegn en rett linje AH gjennom kraftvektoren. Fra sentrum O senker vi den perpendikulære OH til denne rette linjen. Lengden på denne perpendikulæren kalles skulder av styrke
(4) .
. Da

Siden er formlene (3) og (4) likeverdige. Slik, absolutt verdi av kraftmomentet i forhold til sentrum O er lik kraftprodukt per skulder

denne kraften i forhold til det valgte senteret O.
,
Ved beregning av dreiemoment er det ofte praktisk å dekomponere kraften i to komponenter: Hvor . Kraften går gjennom punkt O. skulder av styrke
.
Så det er hennes øyeblikk
.

lik null

Absolutt dreiemomentverdi:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Momentkomponenter i et rektangulært koordinatsystem
.
Hvis vi velger et rektangulært koordinatsystem Oxyz med senter i punktet O, vil kraftmomentet ha følgende komponenter:

Her er koordinatene til punkt A i det valgte koordinatsystemet:

Komponentene representerer verdiene av kraftmomentet om henholdsvis aksene.

Kraftmomentets egenskaper i forhold til sentrum

Momentet om sentrum O, på grunn av kraften som går gjennom dette sentrum, er lik null.
.

Hvis punktet for påføring av kraften flyttes langs en linje som går gjennom kraftvektoren, vil øyeblikket, med en slik bevegelse, ikke endres.

Momentet fra vektorsummen av krefter påført ett punkt av kroppen er lik vektorsummen av momenter fra hver av kreftene påført det samme punktet:
,
Det samme gjelder krefter hvis fortsettelseslinjer skjærer hverandre i ett punkt. I dette tilfellet bør skjæringspunktet deres tas som punktet for påføring av krefter.
.

Hvis vektorsummen av krefter er null:

da avhenger ikke summen av momentene fra disse kreftene av posisjonen til senteret i forhold til som momentene er beregnet til: Et par krefter Et par krefter- dette er to krefter like i absolutt størrelse og har motsatte retninger, knyttet til

Et par krefter er preget av øyeblikket de skaper. Siden vektorsummen av kreftene som kommer inn i paret er null, avhenger ikke momentet som er opprettet av paret av punktet i forhold til som momentet beregnes. Fra synspunktet om statisk likevekt, spiller arten av kreftene involvert i paret ingen rolle. Et kraftpar brukes for å indikere at et kraftmoment av en viss verdi virker på en kropp.

Kraftmoment om en gitt akse

Det er ofte tilfeller der vi ikke trenger å vite alle komponentene i momentet til en kraft om et valgt punkt, men bare trenger å vite momentet til en kraft rundt en valgt akse.

Kraftmomentet rundt en akse som går gjennom punktet O er projeksjonen av vektoren til kraftmomentet, i forhold til punktet O, på aksens retning.

Egenskaper til kraftmomentet om aksen

Momentet rundt aksen på grunn av kraften som går gjennom denne aksen er lik null.

Momentet om en akse på grunn av en kraft parallelt med denne aksen er lik null.

Beregning av kraftmomentet rundt en akse

La en kraft virke på kroppen i punkt A.

La oss finne øyeblikket til denne kraften i forhold til O′O′′-aksen.
.
La oss konstruere et rektangulært koordinatsystem. La Oz-aksen falle sammen med O′O′′.
.

Fra punkt A senker vi den perpendikulære OH til O′O′′.

Gjennom punktene O og A tegner vi okseaksen.

Vi tegner Oy-aksen vinkelrett på Ox og Oz.
(6.1) ;
(6.2) .

La oss dekomponere kraften i komponenter langs aksene til koordinatsystemet:

Kraften skjærer O′O′′-aksen.

Derfor er øyeblikket null. Kraften er parallell med O′O′′-aksen.
.
Derfor er øyeblikket også null. Ved å bruke formel (5.3) finner vi:
.

Legg merke til at komponenten er rettet tangentielt til sirkelen hvis sentrum er punktet O.

Retningen til vektoren bestemmes av riktig skrueregel.

La oss vurdere en av de viktigste kreftene - tyngdekraften. Her påføres ikke kreftene på visse punkter av kroppen, men blir kontinuerlig fordelt over hele volumet. For hvert område av kroppen med et uendelig lite volum ΔV, virker tyngdekraften.

Her er ρ tettheten til kroppens substans, og er tyngdeakselerasjonen.

La være massen til en uendelig liten del av kroppen. Og la punktet A k bestemme posisjonen til denne delen. La oss finne størrelsene knyttet til gravitasjon som er inkludert i likevektsligningene (6).
,
La oss finne summen av gravitasjonskrefter dannet av alle deler av kroppen:
.

hvor er kroppsmassen. Dermed kan summen av gravitasjonskreftene til individuelle infinitesimale deler av kroppen erstattes med en vektor av gravitasjonskraften til hele kroppen:

.
La oss finne summen av tyngdemomentene, på en relativt vilkårlig måte for det valgte senteret O: Her har vi introdusert punkt C, som kalles tyngdepunkt
(7) .

kropper. Plasseringen av tyngdepunktet, i et koordinatsystem sentrert ved punkt O, bestemmes av formelen:
,
Så når man bestemmer statisk likevekt, kan summen av gravitasjonskreftene til individuelle deler av kroppen erstattes av den resulterende

påføres massesenteret til kroppen C, hvis posisjon bestemmes av formel (7). Tyngdepunktposisjon for ulike geometriske former

finnes i relevante oppslagsverk. Hvis et legeme har en akse eller symmetriplan, er tyngdepunktet plassert på denne aksen eller planet. Således er tyngdepunktene til en kule, sirkel eller sirkel plassert i sentrum av sirklene til disse figurene. Tyngdepunktene til et rektangulært parallellepiped, rektangel eller firkant er også plassert i sentrene deres - i skjæringspunktene mellom diagonalene.

Jevnt (A) og lineært (B) fordelt last. Det er også tilfeller som ligner på tyngdekraften, når krefter ikke påføres på visse punkter av kroppen, men kontinuerlig fordeles over overflaten eller volumet. Slike krefter kalles fordelte krefter

eller . (Figur A). Også, som i tilfellet med tyngdekraften, kan den erstattes av en resulterende styrkekraft , påført ved tyngdepunktet til diagrammet. Siden diagrammet i figur A er et rektangel, er tyngdepunktet til diagrammet i sentrum - punkt C:.

| AC| = | CB|
.
(Figur B). Den kan også erstattes av resultanten. Størrelsen på resultanten er lik arealet av diagrammet:

Påføringspunktet er i tyngdepunktet i diagrammet. Tyngdepunktet til en trekant, høyde h, er plassert i en avstand fra basen. Det er derfor.

Friksjonskrefter. La kroppen stå på en flat overflate. Og la være kraften vinkelrett på overflaten som overflaten virker på kroppen med (trykkkraft). Da er den glidende friksjonskraften parallell med overflaten og rettet til siden, og forhindrer bevegelse av kroppen. Dens største verdi er:
,
hvor f er friksjonskoeffisienten. Friksjonskoeffisienten er en dimensjonsløs størrelse.

Rullende friksjon. La en rund kropp rulle eller være i stand til å rulle på overflaten. Og la være trykkkraften vinkelrett på overflaten som overflaten virker på kroppen fra. Da virker et øyeblikk med friksjonskrefter på kroppen, ved kontaktpunktet med overflaten, og hindrer kroppens bevegelse. Den største verdien av friksjonsmomentet er lik:
,
hvor δ er rullefriksjonskoeffisienten. Den har lengdedimensjonen.

Brukt litteratur:
S. M. Targ, Kort kurs teoretisk mekanikk, "Higher School", 2010.

Teoretisk mekanikk

Teoretisk mekanikk- vitenskapen om de generelle lovene for mekanisk bevegelse og interaksjon av materielle legemer. Å være i hovedsak en av grenene av fysikk, teoretisk mekanikk, har absorbert grunnleggende grunnlag i form av aksiomatikk, ble en selvstendig vitenskap og ble mye utviklet på grunn av dens omfattende og viktige anvendelser innen naturvitenskap og teknologi, som den er et av fundamentene til.

I fysikk

I fysikk under teoretisk mekanikk refererer til den delen av teoretisk fysikk som studerer matematiske metoder klassisk mekanikk, alternativ til direkte anvendelse av Newtons lover (såkalt analytisk mekanikk). Dette inkluderer spesielt metoder basert på Lagrange-ligninger, prinsipper for minste handling, Hamilton-Jacobi-ligning, etc.

Det bør understrekes at analytisk mekanikk enten kan være ikke-relativistisk – da skjærer den seg med klassisk mekanikk, eller relativistisk. Prinsippene for analytisk mekanikk er så generelle at relativiseringen ikke fører til grunnleggende vanskeligheter.

I tekniske vitenskaper

I tekniske vitenskaper Teoretisk mekanikk betyr et sett med fysiske og matematiske metoder som letter beregninger av mekanismer, strukturer, fly etc. (såkalt anvendt mekanikk eller ingeniørmekanikk). Nesten alltid er disse metodene avledet fra lovene i klassisk mekanikk - hovedsakelig fra Newtons lover, selv om noen av metodene for analytisk mekanikk er nyttige i noen tekniske problemer.

Teoretisk mekanikk er basert på et visst antall lover etablert i eksperimentell mekanikk, akseptert som sannheter som ikke krever bevis - aksiomer. Disse aksiomene erstatter de induktive sannhetene til eksperimentell mekanikk. Teoretisk mekanikk er deduktiv i naturen. Ved å stole på aksiomer som et grunnlag kjent og testet ved praksis og eksperimenter, reiser teoretisk mekanikk sin bygning ved hjelp av strenge matematiske deduksjoner.

Teoretisk mekanikk, som en del av naturvitenskapen som bruker matematiske metoder, omhandler ikke virkelige materielle objekter selv, men med deres modeller. Slike modeller studert i teoretisk mekanikk er

• materialpunkter og systemer av materialpunkter,
• absolutt stive kropper og systemer av stive kropper,
• deformerbare kontinuerlige medier.

Vanligvis i teoretisk mekanikk er det slike seksjoner som

Metoder er mye brukt i teoretisk mekanikk

• vektorregning og differensialgeometri,

Teoretisk mekanikk var grunnlaget for opprettelsen av mange anvendte områder som har fått stor utvikling. Disse er væske- og gassmekanikk, mekanikk for deformerbare faste stoffer, teori om svingninger, dynamikk og styrke til maskiner, gyroskopi, kontrollteori, flyteori, navigasjon, etc.

I høyere utdanning

Teoretisk mekanikk er en av de grunnleggende mekaniske disiplinene i mekanikk- og matematiske fakulteter ved russiske universiteter. I denne disiplinen arrangeres det årlige all-russiske, nasjonale og regionale student-olympiader, samt Internasjonal Olympiade.

Notater

Litteratur

Se også

• Teoretisk mekanikksimulator - en programmert manual om teoretisk mekanikk.

Wikimedia Foundation.

2010.

Se hva "Teoretisk mekanikk" er i andre ordbøker: teoretisk mekanikk - generell mekanikk En seksjon av mekanikk som beskriver de grunnleggende lovene og prinsippene for denne vitenskapen og studier generelle egenskaper

bevegelse av mekaniske systemer. [Samling av anbefalte vilkår. Utgave 102. Teoretisk mekanikk. USSRs vitenskapsakademi. Komiteen... ... Se MEKANIKK-ordbok fremmedord

Se hva "Teoretisk mekanikk" er i andre ordbøker:, inkludert i det russiske språket. Pavlenkov F., 1907 ... - teoretisk mekanikk; generell mekanikk En gren av mekanikk som beskriver de grunnleggende lovene og prinsippene for denne vitenskapen og studerer de generelle egenskapene til bevegelsen til mekaniske systemer...

Polyteknisk terminologisk forklarende ordbok Substantiv, antall synonymer: 1 teoretisk mekanikk (2) Synonymordbok ASIS. V.N. Trishin. 2013…

Se hva "Teoretisk mekanikk" er i andre ordbøker:- teorinė mechanika statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. teoretisk mekanikk vok. theoretische Mechanik, f rus. teoretisk mekanikk, f pr. mécanique rationnelle, f … Fizikos terminų žodynas

- (gresk mekaniker, fra mekanikkmaskin). En del av anvendt matematikk, vitenskapen om kraft og motstand i maskiner; kunsten å bruke kraft på handling og bygge maskiner. Ordbok med utenlandske ord inkludert i det russiske språket. Chudinov A.N., 1910. MEKANIKK... ... Ordbok med utenlandske ord i det russiske språket

mekanikk- Vitenskapen om mekanisk bevegelse og mekanisk interaksjon av materielle legemer. [Samling av anbefalte vilkår. Utgave 102. Teoretisk mekanikk. USSRs vitenskapsakademi. Komiteen for vitenskapelig og teknisk terminologi. 1984] Teoretiske emner... ... Teknisk oversetterveiledning

- (fra det greske mechanike (techne) vitenskapen om maskiner, kunsten å bygge maskiner), vitenskapen om mekanikk. bevegelse mater. kropper og interaksjonene mellom dem. Under mekanisk bevegelse forstås som en endring i kroppens relative posisjon over tid eller ... Fysisk leksikon

Teoretisk fysikk er en gren av fysikken der den viktigste måten å forstå naturen på er å lage matematiske modeller av fenomener og sammenligne dem med virkeligheten. I denne formuleringen er teoretisk fysikk... ... Wikipedia

- (gresk: μηχανική kunsten å bygge maskiner) område av fysikk som studerer bevegelsen til materielle kropper og samspillet mellom dem. Bevegelse i mekanikk er endringen i tid av den relative posisjonen til legemer eller deres deler i rommet... ... Wikipedia

Introduksjon

Teoretisk mekanikk er en av de viktigste grunnleggende allmennvitenskapelige disiplinene. Det spiller en betydelig rolle i opplæringen av ingeniører av enhver spesialisering. Generelle ingeniørdisipliner er basert på resultatene av teoretisk mekanikk: styrke av materialer, maskindeler, teori om mekanismer og maskiner og andre.

Hovedoppgaven til teoretisk mekanikk er studiet av bevegelsen av materielle kropper under påvirkning av krefter. En viktig spesiell oppgave er studiet av likevekten til kropper under påvirkning av krefter.

Forelesningskurs. Teoretisk mekanikk

Strukturen til teoretisk mekanikk. Grunnleggende om statikk

Likevektsbetingelser for et vilkårlig kraftsystem.

Likevektsligninger for et stivt legeme.

Flatt kraftsystem.

Spesielle tilfeller av stiv kroppslikevekt.

Balanseproblem for en bjelke.

Bestemmelse av indre krefter i stangkonstruksjoner.

Grunnleggende om punktkinematikk.

Naturlige koordinater.

Eulers formel.

Fordeling av akselerasjoner av punkter i et stivt legeme.

Translasjons- og rotasjonsbevegelser.

Planparallell bevegelse.

Kompleks punktbevegelse.

Grunnleggende om punktdynamikk.

Differensialligninger for bevegelse av et punkt.

Spesielle typer kraftfelt.

Grunnleggende om dynamikken til et poengsystem.

Generelle teoremer om dynamikken til et punktsystem.

Dynamikk av rotasjonsbevegelse av en kropp.

Dobronravov V.V., Nikitin N.N. Kurs i teoretisk mekanikk. M., videregående skole, 1983.

Butenin N.V., Lunts Ya.L., Merkin D.R. Kurs i teoretisk mekanikk, del 1 og 2. M., Higher School, 1971.

Petkevich V.V. Teoretisk mekanikk. M., Nauka, 1981.

Samling av oppgaver for kurs i teoretisk mekanikk. Ed. A.A. Yablonsky. M., videregående skole, 1985.

Forelesning 1. Strukturen til teoretisk mekanikk. Grunnleggende om statikk

I teoretisk mekanikk studeres bevegelsen av legemer i forhold til andre legemer, som er fysiske referansesystemer.

Mekanikk tillater ikke bare å beskrive, men også å forutsi bevegelsen av kropper, og etablere årsakssammenhenger i et visst, veldig bredt spekter av fenomener.

Grunnleggende abstrakte modeller av ekte kropper:

materiell poeng – har masse, men ingen størrelse;

helt stiv kropp – et volum med endelige dimensjoner, fullstendig fylt med et stoff, og avstandene mellom to punkter på mediet som fyller volumet, endres ikke under bevegelse;

kontinuerlig deformerbart medium – fyller et begrenset volum eller ubegrenset plass; avstandene mellom punktene i et slikt medium kan variere.

Av disse systemene:

System av gratis materiale poeng;

Tilkoblede systemer;

En absolutt solid kropp med et hulrom fylt med væske osv.

"Degenerert" modeller:

Uendelig tynne stenger;

Uendelig tynne plater;

Vektløse stenger og gjenger som forbinder materialpunkter osv.

Av erfaring: mekaniske fenomener gå annerledes frem i forskjellige steder fysisk referansesystem. Denne egenskapen er heterogeniteten til rommet bestemt av det fysiske referansesystemet. Her forstås heterogenitet som avhengigheten av naturen til forekomsten av et fenomen av stedet der vi observerer dette fenomenet.

En annen egenskap er anisotropi (ikke-isotropi), bevegelsen til en kropp i forhold til et fysisk referansesystem kan være forskjellig avhengig av retningen. Eksempler: elvestrøm langs meridianen (fra nord til sør - Volga); prosjektilflyging, Foucault pendel.

Egenskapene til referansesystemet (inhomogenitet og anisotropi) gjør det vanskelig å observere bevegelsen til en kropp.

Praktisk talt fri fra dette - geosentrisk system: midten av systemet er i midten av jorden og systemet roterer ikke i forhold til de "faste" stjernene). Det geosentriske systemet er praktisk for å beregne bevegelser på jorden.

Til himmelmekanikk(for solsystemlegemer): heliosentrisk referanseramme, som beveger seg med massesenteret solsystemet og roterer ikke i forhold til de "faste" stjernene. For dette systemet ennå ikke oppdaget heterogenitet og anisotropi av rommet

i forhold til mekaniske fenomener.

Så abstraktet er introdusert treghet referanseramme der rommet er homogent og isotropt i forhold til mekaniske fenomener.

Treghetsreferanseramme- en hvis egen bevegelse ikke kan oppdages av noe mekanisk eksperiment. Tankeeksperiment: "et punkt alene i hele verden" (isolert) er enten i ro eller beveger seg i en rett linje og jevnt.

Alle referansesystemer som beveger seg i forhold til det opprinnelige rettlinjet og jevnt vil være treghets. Dette tillater innføring av et enhetlig kartesisk koordinatsystem. Et slikt rom kalles euklidisk.

Konvensjonell avtale - ta riktig koordinatsystem (fig. 1).

I tid– i klassisk (ikke-relativistisk) mekanikk absolutt, det samme for alle referansesystemer, det vil si at det første øyeblikket er vilkårlig. I motsetning til relativistisk mekanikk, hvor relativitetsprinsippet brukes.

Bevegelsestilstanden til systemet på tidspunktet t bestemmes av koordinatene og hastighetene til punktene i dette øyeblikket.

Virkelige kropper samhandler og det oppstår krefter som endrer bevegelsestilstanden til systemet. Dette er essensen av teoretisk mekanikk.

Hvordan studeres teoretisk mekanikk?

Læren om likevekten til et sett med kropper med en viss referanseramme - seksjon statikk.

Kapittel kinematikk: del av mekanikk der avhengigheter mellom størrelser som karakteriserer bevegelsestilstanden til systemene studeres, men årsakene som forårsaker en endring i bevegelsestilstanden vurderes ikke.

Etter dette vil vi vurdere påvirkning av krefter [HOVDELEL].

Kapittel dynamikk: del av mekanikk som omhandler påvirkning av krefter på bevegelsestilstanden til systemer av materielle objekter.

Prinsipper for å konstruere hovedkurset – dynamikk:

1) basert på et system av aksiomer (basert på erfaring, observasjoner);

Stadig - hensynsløs kontroll av praksis. Tegn på eksakt vitenskap - tilstedeværelse av intern logikk (uten den - sett med urelaterte oppskrifter)!

Statisk kalles den delen av mekanikken hvor forholdene studeres som kreftene som virker på et system av materialpunkter må tilfredsstille for at systemet skal være i likevekt, og betingelsene for ekvivalens av kraftsystemer.

Likevektsproblemer i elementær statikk vil bli vurdert ved bruk av utelukkende geometriske metoder basert på egenskapene til vektorer. Denne tilnærmingen brukes i geometrisk statikk(i motsetning til analytisk statikk, som ikke vurderes her).

Posisjonene til ulike materielle organer vil være knyttet til koordinatsystemet, som vi vil ta som stasjonært.

Ideelle modeller av materielle kropper:

1) materialpunkt – et geometrisk punkt med masse.

2) en absolutt stiv kropp er en samling av materielle punkter, hvor avstandene mellom disse ikke kan endres ved noen handlinger.

Av krefter vi ringer objektive grunner, som er et resultat av samspillet mellom materielle objekter, i stand til å forårsake bevegelse av kropper fra en hviletilstand eller endre den eksisterende bevegelsen til sistnevnte.

Siden kraft bestemmes av bevegelsen den forårsaker, har den også en relativ natur, avhengig av valg av referansesystem.

Spørsmålet om krefters natur vurderes i fysikk.

Et system av materielle punkter er i likevekt hvis det, i hvile, ikke mottar noen bevegelse fra kreftene som virker på det.

Fra hverdagslig erfaring: krefter har en vektornatur, det vil si størrelse, retning, handlingslinje, påføringspunkt. Betingelsen for likevekt av krefter som virker på et stivt legeme er redusert til egenskapene til vektorsystemer.

For å oppsummere opplevelsen av å studere de fysiske naturlovene, formulerte Galileo og Newton mekanikkens grunnleggende lover, som kan betraktes som mekanikkens aksiomer, siden de har er basert på eksperimentelle fakta.

Aksiom 1. Virkningen av flere krefter på et punkt av et stivt legeme tilsvarer virkningen av en resulterende kraft konstruert etter regelen for vektoraddisjon (fig. 2).

Konsekvens. Kraftene som påføres et punkt på en stiv kropp summerer seg i henhold til parallellogramregelen.

Aksiom 2. To krefter påført en stiv kropp gjensidig balansert hvis og bare hvis de er like store, rettet i motsatte retninger og ligger på samme rette linje.

Aksiom 3. Virkningen av et kraftsystem på en stiv kropp vil ikke endres hvis legg til dette systemet eller forkast fra det to krefter av samme størrelse, rettet i motsatte retninger og som ligger på samme rette linje.

Konsekvens. Kraften som virker på et punkt på et stivt legeme kan overføres langs kraftens virkelinje uten å endre likevekten (det vil si at kraften er en glidevektor, fig. 3)

1) Aktiv - skape eller er i stand til å skape bevegelsen til en stiv kropp. For eksempel vektkraft.

2) Passiv - ikke skap bevegelse, men begrens bevegelsen til en solid kropp, hindre bevegelse. For eksempel strekkkraften til en ikke-utvidbar tråd (fig. 4).

Aksiom 4. Virkningen av en kropp på en annen er lik og motsatt av virkningen av denne andre kroppen på den første ( handling er lik reaksjon).

Vi vil kalle de geometriske forholdene begrensende bevegelse av punkter forbindelser.

Vilkår for kommunikasjon: for eksempel

- stang av indirekte lengde l.

- fleksibel ikke-strekkbar tråd med lengde l.

Krafter forårsaket av forbindelser og hindrer bevegelse kalles reaksjonskrefter.

Aksiom 5. Forbindelsene pålagt et system av materialpunkter kan erstattes av reaksjonskrefter, hvis virkning er ekvivalent med virkningen av forbindelsene.

Når passive krefter ikke kan balansere virkningen av aktive krefter, begynner bevegelse.

To spesielle problemer med statikk

1. System av konvergerende krefter som virker på et stivt legeme

Et system av konvergerende krefter kalles et slikt system av krefter, hvis handlingslinjer skjærer hverandre i ett punkt, som alltid kan tas som opphav til koordinater (fig. 5).

Anslag av resultatet:

;

;

.

Hvis , forårsaker kraften bevegelsen til det stive legemet.

Likevektsbetingelse for et konvergerende kraftsystem:

2. Balanse av tre krefter

Hvis tre krefter virker på et stivt legeme, og virkningslinjene til de to kreftene skjærer hverandre på et punkt A, er likevekt mulig hvis og bare hvis virkningslinjen til den tredje kraften også går gjennom punkt A, og kraften i seg selv er lik i størrelse og motsatt i retning av summen (Fig. 6).

Eksempler:

Kraftmoment rundt punkt O la oss definere det som en vektor, i størrelse lik to ganger arealet av en trekant, hvis base er kraftvektoren med toppunktet i et gitt punkt O; retning– ortogonalt på planet til den aktuelle trekanten i retningen der rotasjonen produsert av kraften rundt punkt O er synlig mot klokken. er øyeblikket til den glidende vektoren og er gratis vektor(fig. 9).

Så: eller

,

Hvor ;;.

Der F er kraftmodulen, er h skulderen (avstanden fra punktet til kraftens retning).

Kraftmoment om aksen er den algebraiske verdien av projeksjonen på denne aksen til vektoren for kraftmomentet i forhold til et vilkårlig punkt O tatt på aksen (Fig. 10).

Dette er en skalar uavhengig av valg av punkt. Faktisk, la oss utvide :|| og i flyet.

Om øyeblikk: la O 1 være skjæringspunktet med planet. Da:

a) fra - øyeblikk => projeksjon = 0.

b) fra - øyeblikket => er en projeksjon.

Så, moment om en akse er momentet til kraftkomponenten i et plan vinkelrett på aksen i forhold til skjæringspunktet mellom planet og aksen.

Varignons teorem for et system med konvergerende krefter:

Moment av resulterende kraft for et system av konvergerende krefter i forhold til et vilkårlig punkt A lik summen momenter av alle kraftkomponenter i forhold til samme punkt A (fig. 11).

Bevis i teorien om konvergerende vektorer.

Forklaring: addisjon av krefter etter parallellogramregelen => den resulterende kraften gir et totalt moment.

Sikkerhetsspørsmål:

1. Nevn hovedmodellene av virkelige kropper i teoretisk mekanikk.

2. Formuler statikkens aksiomer.

3. Hva kalles kraftmomentet om et punkt?

Forelesning 2. Likevektsbetingelser for et vilkårlig kraftsystem

Fra statikkens grunnleggende aksiomer følger elementære operasjoner på krefter:

1) kraft kan overføres langs handlingslinjen;

2) krefter hvis handlingslinjer skjærer kan adderes i henhold til parallellogramregelen (i henhold til regelen for vektoraddisjon);

3) til systemet av krefter som virker på en stiv kropp, kan du alltid legge til to krefter, like store, som ligger på samme rette linje og rettet i motsatte retninger.

Elementære operasjoner endrer ikke den mekaniske tilstanden til systemet.

La oss kalle to kraftsystemer tilsvarende, hvis den ene fra den andre kan oppnås ved hjelp av elementære operasjoner (som i teorien om glidende vektorer).

Et system med to parallelle krefter, like store og rettet i motsatte retninger, kalles et par krefter(Fig. 12).

Øyeblikk av et par krefter- en vektor som er lik i størrelse med arealet til parallellogrammet konstruert på vektorene til paret, og rettet ortogonalt til parets plan i retningen fra hvor rotasjonen gitt av vektorene til paret sees å skje mot klokken .

, det vil si kraftmomentet i forhold til punkt B.

Et par krefter er fullstendig preget av sitt moment.

Et par krefter kan overføres ved elementære operasjoner til et hvilket som helst plan parallelt med planet til paret; endre størrelsen på kreftene til paret i omvendt proporsjon med skuldrene til paret.

Kraftpar kan adderes, og momentene til kraftpar adderes i henhold til regelen for addisjon av (frie) vektorer.

Å bringe et system av krefter som virker på et stivt legeme til et vilkårlig punkt (reduksjonssenter)- betyr å erstatte dagens system med et enklere: system med tre krefter, hvorav en går gjennom et forhåndsbestemt punkt, og de to andre representerer et par.

Det kan bevises ved hjelp av elementære operasjoner (fig. 13).

Et system med konvergerende krefter og et system av kraftpar.

- resulterende kraft.

Resulterende par.

Det var det som måtte vises.

To kraftsystemer vilje tilsvarende hvis og bare hvis begge systemene reduseres til en resulterende kraft og ett resulterende par, det vil si når betingelsene er oppfylt:

Generelt tilfelle av likevekt av et kraftsystem som virker på et stivt legeme

La oss redusere kraftsystemet til (fig. 14):

Resulterende kraft gjennom opprinnelsen;

Det resulterende paret gjennom punkt O.

Det vil si at de førte til og - to krefter, hvorav den ene går gjennom et gitt punkt O.

Likevekt, hvis de to på samme rette linje er like og motsatte i retning (aksiom 2).

Så går den gjennom punkt O, altså.

Så, generelle betingelser likevekt til et stivt legeme:

Disse betingelsene er gyldige for et vilkårlig punkt i rommet.

Sikkerhetsspørsmål:

1. List opp de elementære operasjonene på styrker.

2. Hvilke kraftsystemer kalles ekvivalente?

3. Skriv de generelle betingelsene for likevekten til en stiv kropp.

Forelesning 3. Likevektsligninger for et stivt legeme

La O være opprinnelsen til koordinatene; – resulterende kraft; – momentet til det resulterende paret. La punkt O1 være det nye reduksjonssenteret (fig. 15).

Nytt strømsystem:

Når reduksjonspunktet endres, endres => bare (i en retning med ett tegn, i den andre retningen med et annet). Det vil si, poenget: linjene stemmer overens

Analytisk: (kolinearitet av vektorer)

; koordinatene til punkt O1.

Dette er ligningen til en rett linje, for alle punkter hvor retningen til den resulterende vektoren faller sammen med retningen til øyeblikket til det resulterende paret - den rette linjen kalles dynamo.

Hvis dynamikken => på aksen, så tilsvarer systemet en resulterende kraft, som kalles resulterende kraft i systemet. Samtidig, alltid, altså.

Fire tilfeller av å bringe styrker:

1.) ;- dynamikk.

2.) ;- resulterende.

3.) ;- par.

4.) ;- balanse.

To vektorlikevektsligninger: hovedvektoren og hovedmomentet er lik null,.

Eller seks skalare ligninger i projeksjoner på kartesiske koordinatakser:

Her:

Kompleksiteten til ligningstypen avhenger av valget av reduksjonspunktet => dyktigheten til kalkulatoren.

Finne likevektsbetingelsene for et system av faste legemer i samspill<=>problemet med likevekten til hver kropp separat, og kroppen påvirkes av ytre krefter og indre krefter (samspillet mellom kropper ved kontaktpunkter med like og motsatt rettede krefter - aksiom IV, fig. 17).

La oss velge for alle organer i systemet ett adduksjonssenter. Så for hver kropp med likevektstilstandsnummeret:

, , (= 1, 2, …, k)

hvor , er den resulterende kraften og momentet til det resulterende paret av alle krefter, unntatt interne reaksjoner.

Den resulterende kraften og momentet til det resulterende kraftparet av indre reaksjoner.

Formell oppsummering av og tar hensyn til IV-aksiomet

vi får nødvendige forhold for likevekten til et fast legeme:

,

Eksempel.

Likevekt: = ?

Sikkerhetsspørsmål:

1. Nevn alle tilfeller av å bringe et styrkesystem til ett punkt.

2. Hva er dynamikk?

3. Formuler de nødvendige betingelsene for likevekt i et system av faste legemer.

Forelesning 4. Flat kraftsystem

Et spesielt tilfelle av den generelle leveringen av problemet.

La alt aktive krefter ligge i samme plan - for eksempel et ark. La oss velge punkt O som reduksjonssenter - i samme plan. Vi oppnår den resulterende kraften og den resulterende dampen i samme plan, det vil si (fig. 19)

Kommentar.

Systemet kan reduseres til én resulterende kraft.

Likevektsforhold:

eller skalar:

Svært vanlig i applikasjoner som materialers styrke.

Eksempel.

Med friksjonen til ballen på brettet og på flyet. Likevektstilstand: = ?

Problemet med likevekten til et ikke-fritt stivt legeme.

En stiv kropp hvis bevegelse er begrenset av bindinger kalles ufri. For eksempel andre kropper, hengslede fester.

Ved bestemmelse av likevektsbetingelser: en ikke-fri kropp kan betraktes som fri, og erstatter bindinger med ukjente reaksjonskrefter.

Eksempel.

Sikkerhetsspørsmål:

1. Hva kalles et plan kraftsystem?

2. Skriv likevektsbetingelsene for et plan kraftsystem.

3. Hvilket fast legeme kalles ikke-fritt?

Forelesning 5. Spesielle tilfeller av stiv kroppslikevekt

Teorem. Tre krefter balanserer en stiv kropp bare hvis de alle ligger i samme plan.

Bevis.

La oss velge et punkt på virkningslinjen til den tredje kraften som reduksjonspunkt. Deretter (fig. 22)

Det vil si at planene S1 og S2 faller sammen, og for ethvert punkt på kraftaksen osv. (Enklere: i flyet bare der for balansering).

Eksempler på problemløsning i teoretisk mekanikk

Statikk

Problemforhold

Kinematikk

Kinematikk av et materiell punkt

Problemtilstand

Bestemme hastigheten og akselerasjonen til et punkt ved å bruke de gitte ligningene for dets bevegelse.
Bruk de gitte bevegelseslikningene til et punkt, fastsett typen av dets bane og for tidspunktet t = 1 s finn posisjonen til punktet på banen, dets hastighet, totale, tangentielle og normale akselerasjon, samt krumningsradiusen til banen.
Bevegelsesligninger for et punkt:
x = 12 sin(πt/6), cm;
y = 6 cos 2 (πt/6), cm.

Kinematisk analyse av en flat mekanisme

Problemtilstand

Den flate mekanismen består av stenger 1, 2, 3, 4 og en glider E. Stengene er sammenkoblet, med glidere og faste støtter koblet til ved hjelp av sylindriske hengsler. Punkt D er plassert midt på stang AB. Lengdene på stengene er lik hhv
11 = 0,4 m; 12 = 1,2 m; 13 = 1,6 m; l 4 = 0,6 m.

Det relative arrangementet av mekanismeelementene i en spesifikk versjon av problemet bestemmes av vinklene α, β, γ, φ, ϑ. Stang 1 (stang O 1 A) roterer rundt et fast punkt O 1 mot klokken med konstant vinkelhastighet ω 1.

For en gitt posisjon av mekanismen er det nødvendig å bestemme:

• lineære hastigheter V A, V B, V D og V E for punktene A, B, D, E;
• vinkelhastigheter ω 2, ω 3 og ω 4 av leddene 2, 3 og 4;
• lineær akselerasjon a B av punkt B;
• vinkelakselerasjon ε AB av ledd AB;
• posisjoner for øyeblikkelige hastighetssentre C 2 og C 3 til lenker 2 og 3 til mekanismen.

Bestemmelse av absolutt hastighet og absolutt akselerasjon av et punkt

Problemtilstand

Diagrammet nedenfor tar for seg bevegelsen til punkt M i trauet til et roterende legeme. Bruk de gitte ligningene for bærbar bevegelse φ = φ(t) og relativ bevegelse OM = OM(t), bestem den absolutte hastigheten og den absolutte akselerasjonen til et punkt på et gitt tidspunkt.

Last ned løsningen på problemet >>>

Dynamikk

Integrasjon av differensialligninger for bevegelse av et materialpunkt under påvirkning av variable krefter

Problemtilstand

En last D med masse m, etter å ha mottatt en starthastighet V 0 ved punkt A, beveger seg i et buet rør ABC plassert i et vertikalt plan. I en seksjon AB, hvis lengde er l, påvirkes lasten av en konstant kraft T (retningen er vist i figuren) og en kraft R av middelmotstanden (modulen til denne kraften R = μV 2, vektoren R er rettet motsatt av hastigheten V til lasten).

Lasten, etter å ha beveget seg ferdig i seksjon AB, ved punkt B av røret, uten å endre verdien på hastighetsmodulen, beveger seg til seksjon BC. I avsnitt BC påvirkes lasten av en variabel kraft F, hvis projeksjon F x på x-aksen er gitt.

Ved å betrakte lasten som et materiell punkt, finn loven for dens bevegelse i avsnitt BC, dvs. x = f(t), hvor x = BD. Forsøm friksjonen til belastningen på røret.

Last ned løsningen på problemet >>>

Teorem om endring i kinetisk energi til et mekanisk system

Problemtilstand

Det mekaniske systemet består av vektene 1 og 2, en sylindrisk rulle 3, to-trinns trinser 4 og 5. Systemets kropper er forbundet med gjenger viklet på trinsene; seksjoner av gjenger er parallelle med de tilsvarende planene. Rullen (en solid homogen sylinder) ruller langs støtteplanet uten å gli. Radiene til trinnene til trinse 4 og 5 er henholdsvis lik R 4 = 0,3 m, r 4 = 0,1 m, R 5 = 0,2 m, r 5 = 0,1 m. Massen til hver remskive anses å være jevnt fordelt langs dens ytre kant. Støtteplanene til last 1 og 2 er grove, glidefriksjonskoeffisienten for hver last er f = 0,1.

Under påvirkning av en kraft F, hvis modul endres i henhold til loven F = F(s), hvor s er forskyvningen av punktet for påføringen, begynner systemet å bevege seg fra en hviletilstand. Når systemet beveger seg, påvirkes remskiven 5 av motstandskrefter, hvis moment i forhold til rotasjonsaksen er konstant og lik M 5 .

Bestem verdien av vinkelhastigheten til trinse 4 i det øyeblikket når forskyvningen s av kraftpåføringspunktet F blir lik s 1 = 1,2 m.

Last ned løsningen på problemet >>>

Anvendelse av den generelle dynamikkligningen til studiet av bevegelsen til et mekanisk system

Problemtilstand

For et mekanisk system, bestem den lineære akselerasjonen a 1 . Anta at massene av blokker og ruller er fordelt langs ytre radius. Kabler og belter bør betraktes som vektløse og ikke-utvidbare; det er ingen glidning. Forsømmelse av rullende og glidende friksjon.

Last ned løsningen på problemet >>>

Anvendelse av d'Alemberts prinsipp for å bestemme reaksjonene til støttene til et roterende legeme

Problemtilstand

Vertikal skaft AK, som roterer jevnt med vinkelhastighet ω = 10 s -1, er festet med et trykklager i punkt A og et sylindrisk lager i punkt D.

Stivt festet til akselen er en vektløs stang 1 med en lengde på l 1 = 0,3 m, ved den frie enden av hvilken det er en last med en masse på m 1 = 4 kg, og en homogen stang 2 med en lengde på l 2 = 0,6 m, med en masse på m 2 = 8 kg. Begge stengene ligger i samme vertikale plan. Festepunktene for stengene til akselen, samt vinklene α og β er angitt i tabellen. Mål AB=BD=DE=EK=b, hvor b = 0,4 m Ta lasten som materialpunkt.

Forsømmelse av massen til akselen, bestem reaksjonene til trykklageret og lageret.

Innenfor noen opplæringskurs Studiet av fysikk begynner med mekanikk. Ikke fra teoretisk, ikke fra anvendt eller beregningsmessig, men fra god gammel klassisk mekanikk. Denne mekanikken kalles også newtonsk mekanikk. Ifølge legenden gikk en vitenskapsmann i hagen, så et eple falle, og det var dette fenomenet som fikk ham til å oppdage loven universell gravitasjon. Selvfølgelig har loven alltid eksistert, og Newton ga den bare en form som var forståelig for folk, men hans fortjeneste er uvurderlig. I denne artikkelen vil vi ikke beskrive lovene til newtonsk mekanikk så detaljert som mulig, men vi vil skissere grunnleggende, grunnleggende kunnskap, definisjoner og formler som alltid kan spille i hendene dine.

Mekanikk er en gren av fysikk, en vitenskap som studerer bevegelsen til materielle kropper og samspillet mellom dem.

Selve ordet er av gresk opprinnelse og er oversatt som «kunsten å bygge maskiner». Men før vi bygger maskiner, er vi fortsatt som månen, så la oss følge i fotsporene til våre forfedre og studere bevegelsen av steiner kastet i vinkel mot horisonten, og epler som faller på hodet fra en høyde h.

Hvorfor begynner studiet av fysikk med mekanikk? Fordi dette er helt naturlig, burde vi ikke starte med termodynamisk likevekt?!

Mekanikk er en av de eldste vitenskapene, og historisk begynte studiet av fysikk nettopp med grunnlaget for mekanikk. Plassert innenfor rammen av tid og rom, kunne folk faktisk ikke begynne med noe annet, uansett hvor mye de ville. Bevegelige kropper er det første vi legger merke til.

Hva er bevegelse?

Mekanisk bevegelse er en endring i posisjonen til legemer i rommet i forhold til hverandre over tid.

Det er etter denne definisjonen vi ganske naturlig kommer til begrepet en referanseramme. Endre posisjonen til kropper i rommet i forhold til hverandre. Stikkord her: i forhold til hverandre . Tross alt beveger en passasjer i en bil seg i forhold til personen som står på siden av veien med en viss hastighet, og er i ro i forhold til naboen i setet ved siden av ham, og beveger seg i en annen hastighet i forhold til passasjeren i bilen som kjører forbi dem.

Det er derfor, for å normalt måle parametrene til bevegelige objekter og ikke bli forvirret, trenger vi referansesystem - stivt sammenkoblet referanselegeme, koordinatsystem og klokke. For eksempel beveger jorden seg rundt solen i en heliosentrisk referanseramme. I hverdagen utfører vi nesten alle våre målinger i et geosentrisk referansesystem knyttet til jorden. Jorden er et referanselegeme i forhold til hvilke biler, fly, mennesker og dyr beveger seg.

Mekanikk, som vitenskap, har sin egen oppgave. Mekanikkens oppgave er å vite posisjonen til en kropp i rommet til enhver tid. Mekanikk bygger med andre ord en matematisk beskrivelse av bevegelse og finner sammenhenger mellom fysiske mengder, som kjennetegner den.

For å komme videre trenger vi konseptet " materiell poeng " De sier at fysikk er en eksakt vitenskap, men fysikere vet hvor mange tilnærminger og antakelser som må gjøres for å bli enige om akkurat denne nøyaktigheten. Ingen har noen gang sett et materiell punkt eller luktet en ideell gass, men de eksisterer! De er rett og slett mye lettere å leve med.

Et materiell punkt er en kropp hvis størrelse og form kan neglisjeres i sammenheng med dette problemet.

Seksjoner av klassisk mekanikk

Mekanikk består av flere seksjoner

• Kinematikk
• Dynamikk
• Statikk

Kinematikk fra et fysisk synspunkt studerer den nøyaktig hvordan en kropp beveger seg. Denne delen tar med andre ord for seg de kvantitative egenskapene til bevegelse. Finn hastighet, vei - typiske kinematikkproblemer

Dynamikk løser spørsmålet om hvorfor den beveger seg slik den gjør. Det vil si at den tar hensyn til kreftene som virker på kroppen.

Statikk studerer balansen mellom kropper under påvirkning av krefter, det vil si svarer på spørsmålet: hvorfor faller det ikke i det hele tatt?

Anvendelsesgrenser for klassisk mekanikk.

Klassisk mekanikk hevder ikke lenger å være en vitenskap som forklarer alt (på begynnelsen av forrige århundre var alt helt annerledes), og har en klar ramme for anvendelighet. Generelt er lovene for klassisk mekanikk gyldige i den verden vi er vant til i størrelse (makroworld). De slutter å virke i tilfellet med partikkelverdenen, når kvantemekanikk erstatter klassisk mekanikk. Klassisk mekanikk er heller ikke aktuelt i tilfeller der bevegelser av kropper skjer med en hastighet nær lysets hastighet. I slike tilfeller blir relativistiske effekter uttalt. Grovt sett, innenfor rammen av kvante- og relativistisk mekanikk, er klassisk mekanikk spesielt tilfelle, når kroppsstørrelsen er stor og hastigheten er lav. Du kan lære mer om det fra artikkelen vår.

Generelt sett forsvinner ikke kvanteeffekter og relativistiske effekter også under den vanlige bevegelsen til makroskopiske legemer med en hastighet som er mye lavere enn lysets hastighet. En annen ting er at effekten av disse effektene er så liten at den ikke går utover de mest nøyaktige målingene. Klassisk mekanikk vil dermed aldri miste sin grunnleggende betydning.

Vi vil fortsette å studere fysiske fundamenter mekanikk i de følgende artiklene. For en bedre forståelse av mekanikken kan du alltid henvende deg til dem, som individuelt vil belyse mørk flekk den vanskeligste oppgaven.