Deling av heltall. utbytte, divisor, kvotient

Inndeling- Dette er den aritmetiske operasjonen invers til multiplikasjon, som man vet hvor mange ganger ett tall er inneholdt i et annet.

Tallet som blir delt kalles delelig, tallet som det er delt med kalles deler, kalles resultatet av divisjon privat.

Akkurat som multiplikasjon erstatter gjentatt addisjon, erstatter divisjon gjentatt subtraksjon. For eksempel betyr tallet 10 delt på 2 å finne ut hvor mange ganger tallet 2 er inneholdt i 10:

10 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 = 0

Ved å gjenta operasjonen med å trekke 2 fra 10, finner vi at 2 er inneholdt i 10 fem ganger. Dette kan enkelt bekreftes ved å legge til 2 fem ganger eller multiplisere 2 med 5:

10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 5

For å skrive divisjon brukes et tegn: (kolon), ÷ (obelus) eller / (skråstrek). Den plasseres mellom utbyttet og divisor, med utbytte skrevet til venstre for divisjonstegnet, og divisor til høyre. For eksempel betyr oppføringen 10: 5 at tallet 10 er delelig med tallet 5. Til høyre for divisjonsinnføringen setter du tegnet = (lik), hvoretter resultatet av divisjonen registreres. Dermed ser hele divisjonsrekorden slik ut:

Denne oppføringen lyder som følger: kvotienten ti og fem er lik to, eller ti delt på fem er lik to.

Divisjon kan også betraktes som en handling der ett tall deles på så mange like deler, hvor mange enheter som er inneholdt i et annet tall (som er delelig med). Dette bestemmer hvor mange enheter som er i hver enkelt del.

For eksempel har vi 10 epler, ved å dele 10 med 2 får vi to like deler, som hver inneholder 5 epler:

Divisjonssjekk

For å sjekke divisjonen kan du multiplisere kvotienten med divisoren (eller omvendt). Hvis resultatet av multiplikasjon er et tall lik utbyttet, er divisjonen riktig.

Tenk på uttrykket:

hvor 12 er utbyttet, 4 er divisor og 3 er kvotient. La oss nå sjekke divisjonen ved å multiplisere kvotienten med divisor:

eller divisor etter kvotient:

Divisjon kan også kontrolleres ved divisjon, for dette er det nødvendig å dele utbyttet med kvotienten. Hvis resultatet av divisjon er et tall som er lik divisor, er divisjonen riktig:

Hovedeiendommen til private

Private har en viktig eiendom:

Kvotienten endres ikke dersom utbyttet og divisoren multipliseres eller divideres med samme naturlige tall.

For eksempel,

32: 4 = 8, (32 3) : (4 3) = 96: 12 = 8 32: 4 = 8, (32: 2) : (4: 2) = 16: 2 = 8

Deling av et tall for seg selv og ett

For alle naturlig tall en likheter er riktige:

en : 1 = en
en : en = 1

Nummer 0 i divisjon

Å dele null på et hvilket som helst naturlig tall resulterer i null:

0: en = 0

Du kan ikke dele på null.

La oss se hvorfor vi ikke kan dele med null. Hvis utbyttet ikke er null, men et hvilket som helst annet tall, for eksempel 4, vil det å dele det med null bety å finne et tall som, etter å ha blitt multiplisert med null, resulterer i tallet 4. Men det er ikke noe slikt tall, fordi et hvilket som helst tall etter multiplikasjon med null gir igjen null.

Hvis utbyttet også er lik null, er divisjon mulig, men et hvilket som helst tall kan tjene som et privat tall, fordi i dette tilfellet gir et hvilket som helst tall etter å ha multiplisert med divisoren (0) oss utbyttet (det vil si igjen 0) . Selv om deling er mulig, fører derfor ikke til et enkelt bestemt resultat.

Divisjon (matematikk)

Inndeling(divisjonsoperasjon) - en av de fire enkleste aritmetiske operasjonene, inversen av multiplikasjon. Divisjon er en slik operasjon, som et resultat av at det oppnås et tall (kvotient), som, multiplisert med en divisor, gir utbyttet. Det er flere symboler som brukes til å representere divisjonsoperatøren.

Tenk for eksempel på dette spørsmålet:

Hvor mange ganger er 3 av 14?

Ved å gjenta operasjonen med å trekke 3 fra 14, finner vi at 3 "skriver inn" 14 fire ganger, og fortsatt "blir" tallet 2.

I dette tilfellet ringes nummeret 14 delelig, nummer 3 - deler, nummer 4 - (ufullstendig) privat og nummer 2 - resten (fra divisjon).

Resultatet av divisjon kalles også holdning.

Divisjon av naturlige tall

Vanligvis pålegges følgende begrensninger for resten (slik at den er riktig, det vil si unikt definert):

hvor er utbyttet, er divisor, er kvotient og er resten.

Deling av heltall

Delingen av vilkårlige heltall skiller seg ikke vesentlig fra delingen av naturlige tall - det er nok å dele modulene deres og ta hensyn til tegnregelen.

Imidlertid er deling av heltall med en rest ikke unikt definert. I ett tilfelle, (så vel som uten en rest), vurderes modulene først, og som et resultat får resten samme fortegn som divisor eller utbytte (for eksempel med en rest (-1)); i et annet tilfelle er konseptet med resten direkte generalisert og begrensningene er lånt fra de naturlige tallene:

Deling av rasjonelle tall

Forskjellen ligger i det faktum at når man deler polynomer, er hovedvekten på graden av utbytte og divisor, og ikke på koeffisientene. Derfor antas det vanligvis at kvotienten og divisoren (og dermed resten) er definert opp til en konstant faktor.

Divisjon med null

I henhold til reglene for standardregning er deling med 0 forbudt.

En annen ting er divisjon med en uendelig liten funksjon eller sekvens. Delingen av endelige funksjoner i infinitesimals fører til utseendet til infinitesimals, og forholdet mellom to infinitesimals kalles usikkerhet 0/0, som kan transformeres (se avsløring av usikkerheter) for å oppnå et bestemt resultat.

Som følger av definisjonen av divisjonsoperasjonen, kan resultatet av operasjonen 0:0 være et hvilket som helst reelt tall, så verdien av operasjonen 0:0 på ubestemt tid og problemet med å dele null med null har et uendelig antall løsninger. . Dette samsvarer ikke med standarddefinisjonen av en binær operasjon, som sier at en operasjon på to tall bare kan resultere i en enkelt verdi.

Operasjonen med å dele et tall som ikke er null med null, tilsvarer ikke noe reelt tall.

Resultatet av denne operasjonen anses som uendelig stort og lik uendelig:
, hvor
Betydningen av dette uttrykket er at hvis divisor nærmer seg null, og utbyttet forblir lik en eller nærmer seg det, så øker kvotienten i det uendelige (modulo).

Siden uendelig ikke er et reelt tall, er en slik operasjon utenfor algebraens grenser reelle tall, hvis den binære operasjonen i den er definert som . .

se også

Notater

Wikimedia Foundation. 2010 .

Se hva "divisjon (matematikk)" er i andre ordbøker:

Divisjon med rest (modulo, finne resten av divisjon, rest av divisjon) er en aritmetisk operasjon som resulterer i to heltall: en ufullstendig kvotient og resten av å dele et heltall med et annet heltall. ... ... Wikipedia

Modulo-operasjonen i ulike språk Programmeringsspråk Operatør Resultattegn Delbar Ada mod Quotient rem Dividend ASP Mod Ikke definert C (ISO 1990) % Ikke definert C (ISO 1999) ... Wikipedia

Wiktionary har en artikkel om fisjon Celledeling Divisjon (matematikk) er en matematisk operasjon. Inndeling med resten ... Wikipedia

Funksjon y = 1/x. Når x nærmer seg null fra høyre, nærmer y seg uendelig. Når x nærmer seg null fra venstre, nærmer y seg minus uendelig... Wikipedia

- (begynnelse) "Matematikk i ni bøker" ( tradisjonell kinesisk 九章算術 ... Wikipedia

I. Definisjon av matematikkfaget, sammenheng med andre vitenskaper og teknologi. Matematikk (gresk mathematike, fra máthema kunnskap, vitenskap), vitenskapen om kvantitative relasjoner og romlige former for den virkelige verden. "Ren... Stor sovjetisk leksikon

Kipukamayok fra Guaman Poma de Ayalas The First New Chronicle and Good Government. Til venstre ved føttene av kipukamayoka yupana, som inneholder beregningene av det hellige tallet for sangen "Sumak Newst" (i originalmanuskriptet er tegningen ikke farget, men svart og hvit; ... ... Wikipedia

Å bestemme hvor mange ganger du må ta det minste tallet 2 for å få det større tallet 6, betyr å bestemme hvor mange ganger tallet 2 er inneholdt i 6, eller hvor mange ganger tallet 6 inneholder 2.

Tallet 2 er inneholdt i 6 tre ganger, fordi for å få 6, må du ta summen av tre like ledd:

Finn deretter hvor mange ganger tallet 2 er inneholdt i 6 dele opp 6 av 2.

Definisjon. Divisjon er en operasjon der to gitte tall bestemmer hvor mange ganger ett tall er inneholdt i et annet.

Disse tallene i divisjon kalles delelig og deler, kalles ønsket privat.

Utbyttet er tallet som inneholder den andre.

Divisor er tallet i den andre.

Kvotienten viser hvor mange ganger divisor er i utbyttet.

I dette eksemplet er utbyttet 6, deleren er 2 og kvotienten er 3.

Å dele 6 med 2 betyr også å dele 6 i 2 like ledd og finne verdien deres. Tallet 6 vil bli representert ved å bruke to like begreper i skjemaet:

Hvert av de like vilkårene kalles en del av utbyttet.

Ved å dele heltall vet man også hvor stort hvert ledd er, dersom utbyttet deles i like mange like ledd som det er enheter i divisoren.

I dette tilfellet det delbare er det tallet som er delbart eller delt i like deler. Divisor viser hvor mange like deler utbyttet er delt inn i. Kvotienten viser hvor mye det er for hver del.

Divisjonsmetoder

Gitt to tall 12 og 4, kan vi dele 12 med 4 på forskjellige måter.

Med tillegg vi kan bestemme hvor mange ganger vi må ta 4 termer for å få totalt 12. Så hvis vi tar 4 termer 3 ganger, finner vi i summen:

derfor er 4 inneholdt i 12 tre ganger.

Med subtraksjon vi bestemmer hvor mange ganger det er mulig å trekke de minste 4 fra det større tallet 12. I dette tilfellet trekker vi divisoren så lenge som mulig. Så, ved å trekke fra sekvensielt fra 12 til 4, har vi:

12 - 4 = 8
8 - 4 = 4
4 - 4 = 0

Fra dette finner vi at det er mulig å trekke 4 fra 12 nøyaktig tre ganger.

Divisjon er en forkortet subtraksjon av like subtrahender.

Endelig, gjennom multiplikasjon, kan vi bestemme med hvilket tall vi må gange 4 for å få 12. Multipliserer 4 etter hverandre med 1, 2, 3, finner vi at for å få 12, må vi gange 4 med 3.

Ulike tilfeller ved deling

Når du deler heltall, er det to tilfeller:

Å dele 12 med 4 finner vi i kvotienten 3. Divisor 4 er inneholdt nøyaktig 3 ganger i utbytte 12. Ved å subtrahere suksessivt fra 12 med 4, kunne vi subtrahere tallet 4 nøyaktig tre ganger og ikke få noen rest. I dette tilfellet sier de det delingen var fullstendig eller uten rest. Multipliserer kvotienten 3 med divisoren 4, får vi utbyttet 12.

Ved å dele 26 på 8, trekker vi suksessivt fra:

26 - 8 = 18
18 - 8 = 10
10 - 8 = 2

Resten er alltid mindre enn divisoren. I dette tilfellet sier de det inndelingen er ikke fullført eller deling gjøres med en rest.

Ved å dele 26 på 8 kunne vi trekke deleren av 8 tre ganger, og resten fikk vi 2. Vi vil kalle tallet 3 en kvotient. Hele kvotienten er ikke en fullstendig kvotient, fordi den ikke fullt ut uttrykker hvor mange ganger et mindre tall er inneholdt i et større. Tallet 8 er ikke inneholdt i 26 nøyaktig 3 ganger. I dette tilfellet sier de: tallet 8 er inneholdt i 26 tre ganger og får fortsatt resten. Ved å multiplisere divisor 8 med heltallskvotienten 3, får vi ikke utbyttet 26, og tallet 24 er mindre enn utbyttet. For å få utbytte må du legge til en rest på 2 til dette produktet.

Heltallskvotienten kalles noen ganger ganske enkelt kvotienten.

Så når vi deler, har vi to tilfeller:

divisjon helt eller uten rest. Når deleren er inneholdt i utbyttet et jevnt antall ganger, er delingen fullført eller uten rest. Kvotienten uttrykker hvor mange ganger divisor er i utbyttet. Utbyttet er lik divisoren multiplisert med kvotienten. I dette tilfellet er deling en handling der det for et gitt verk og en av produsentene er en annen produsent.

Hvis et produkt og en multiplikand er gitt, finnes multiplikatoren, det vil si antall like ledd; hvis et produkt og en faktor er gitt, blir multiplikatoren funnet, det vil si størrelsen på like ledd.

Divisjon med resten. Når deleren ikke er inkludert i utbyttet et jevnt antall ganger, utføres ikke delingen helt, eller delingen utføres med en rest. Resten er alltid mindre enn divisoren, og utbyttet er lik produktet av divisoren og heltallskvotienten lagt til resten.

Når du deler heltall, synker utbyttet alltid like mange ganger som i divisor av enheter, derfor divisjon er det motsatte av multiplikasjon.

Divisjonsskilt

I vårt eksempel er inndelingen avbildet skriftlig:

Divisjonstegnet kom til oss fra gamle matematikere.

Grunnleggende triks for å dele

Å dele betyr å trekke divisor sekvensielt fra utbyttet, så lenge som mulig. Denne inndelingsmetoden kan betraktes som generell. Denne teknikken fører imidlertid til lange beregninger dersom utbyttet er veldig stort, så det finnes ulike snarveier for å dele.

For å bestemme kvotienten i tilfellet når den er uttrykt i ett siffer, tyr de til multiplikasjonstabellen.

For å dele 27 på 3 skriver vi

For kvotienten velger vi et slikt tall at vi ved å multiplisere divisoren med kvotienten får utbyttet. For å finne kvotienten prøver vi å multiplisere divisoren med forskjellige tall, eller, som de vanligvis sier, får vi forskjellige tall, og sammenligner produktet av divisoren med kvotienten med utbyttet.

Ved å dele 27 med 3 og mentalt sortere gjennom alle produktene av 3 med forskjellige tall i multiplikasjonstabellen, finner vi at produktet av 3 × 9 er 27, og derfor skriver vi i kvotienten 9. Subtrahere produktet av divisoren med kvoten fra utbyttet får vi null i resten.

Selve beregningen er uttrykt skriftlig:

Delingen var fullført.

Noen ganger er deleren ikke inkludert i utbyttet et jevnt antall ganger; så, ved å dele 27 med 4, finner vi ikke i tabellen et heltall som, når multiplisert med 4, ville gi 27; da er ikke delingen komplett.

Ser vi spesielt etter helheten, har vi tre tilfeller:

Regelen for å bestemme kvotienten:

Hvis resten ved deling er større enn eller lik divisor, er kvotienten liten og må økes.

Hvis produktet av deleren og kvoten er større enn utbyttet, er kvoten stor og må reduseres.

Hvis resten er mindre enn divisor, er kvotienten riktig.

Denne regelen viser det når du deler, må du velge et slikt tall for kvotienten at resten er mindre enn divisoren. Å spørre på denne måten betyr å spørre det største heltall.

I dette eksemplet er 27 ikke delelig med 4, men resten er 3; tallet 6 er en kvotient heltall og

27 = 4 × 6 + 3 = 24 + 3

Utbyttet 27 er lik produktet av deleren 4 og heltallskvotienten 6, lagt til med resten av 3.

Deling av et flersifret tall med et ettsifret tall

Kvotienten for å dele et flersifret tall med et enkelt uttrykkes noen ganger som et tall som også består av flere sifre. I dette tilfellet brytes divisjonen ned i flere separate handlinger.

Del 702 med 3. Kvotienten inneholder tre sifre. Det er større enn 100 og mindre enn 1000, fordi utbyttet er større enn 300 (3 × 100) og mindre enn 3000 (3 × 1000). Inkludert tre sifre, inneholder kvotienten hundrevis, tiere og enere. I dette tilfellet bryter vi inndelingen i tre separate handlinger, det vil si at vi ser sekvensielt etter hundrevis, deretter tiere og til slutt enheter av kvotienten. Vi starter handlingen med hundrevis.

Hvis du ikke skriver ekstra nuller hver gang og kun tar hensyn til de tallene på utbyttet som har innvirkning på kvotienten, vil delingen bli avbildet skriftlig:

verbalt:

Vi skiller 7 - ett siffer av utbyttet; 3 av 7 er inneholdt 2 ganger, - vi skriver privat 2; multipliserer vi divisor 3 med den og trekker produktet 6 fra 7, får vi den første resten 1.

Vi river 3 - neste siffer i utbyttet; 3 av 13 er 4 ganger, 3 ganger 4 er 12; trekker vi 12 fra 13, får vi resten av 1.

Vi river neste siffer i utbyttet; 3 av 12 er inneholdt 4 ganger, vi skriver privat 4; 3 ganger 4 er 12. Trekker vi 12, får vi null i resten og 244 i kvotienten.

Eksempel. Del 2417 med 3. Beregningsprosessen vil bli uttrykt skriftlig:

verbalt:

Ved å skille ett siffer 2 ser vi at 3 i 2 ikke inneholder et heltall antall ganger, så vi må skille to siffer; 3 av 24 inneholder 8 ganger, - vi skriver 8 privat. Multipliserer 8 med en divisor på 3 og trekker fra produktet av 24, får vi null i resten.

Vi river neste nummer 1; 3 i 1 er ikke inneholdt, - vi skriver i privat null.

Vi river neste nummer 7; 3 av 17 inneholder 5 ganger, - vi skriver privat 5; 3 ganger 5 er 15; trekker vi 15 fra 17, får vi resten 2 og heltallskvotienten 805.

Å dele et flersifret tall med et flersifret tall

Når vi deler et flersifret tall med et flersifret, går vi frem på nøyaktig samme måte som vi gjorde ved å dele et flersifret tall med et ensifret tall.

Ved å dele tallet 37207 med 47, bestemmer vi først og fremst hvor mange sifre kvotienten består av. Kvotienten er mindre enn 1000 og større enn 100, fordi 37207 er mindre enn 47000 (47 × 1000) og større enn 4700 (47 × 100), derfor består kvotienten av hundrevis, tiere og enheter. Fra og med hundrevis definerer vi hvert siffer i kvotienten separat:

Så etter deling har vi en kvotient på 791 som helhet og en rest på 30.

Hvis du ikke skriver ekstra nuller hver gang og kun tar hensyn til de tallene for utbyttet som har innvirkning på kvotienten, vil beregningen bli avbildet skriftlig:

verbalt:

Vi skiller i utbyttet fra venstre til høyre så mange sifre slik at divisor kan inneholdes i den separerte delen av utbyttet. I dette tilfellet skiller vi 3 sifre, 47 er inneholdt i 372 syv ganger; vi multipliserer deleren av 47 med 7, kvotientsifferet, og trekker produktet 47 × 7 = 329 fra 372, får vi 43 i resten.

Til resten av 43 river vi 0, neste siffer i utbyttet; 430 inneholder ni ganger 430, vi skriver i kvotienten 9. Multipliserer 47 med 9 og trekker produktet av 423 fra 430, får vi resten 7.

Vi river det neste sifferet av den private 7 til resten; 47 er inneholdt i 77 en gang. Vi skriver enheten privat.

Multipliserer vi divisoren med den og trekker 47 fra 77, får vi 30 i resten og 791 generelt.

Eksempel. Del 671064 med 335. Inndelingen vil bli vist skriftlig:

verbalt:

Vi skiller 671 i utbytte; 335 er inneholdt i 671 to ganger, vi skriver i kvotienten 2. Multipliserer 335 med 2 og trekker fra produktet av 670, får vi 1 i resten.

Vi river 0, neste siffer i utbyttet; 335 er ikke inneholdt i 10 - vi skriver privat 0 for det andre sifferet.

Vi river 6, neste siffer i utbyttet; 335 er ikke inneholdt i 106 - vi skriver privat 0 for det tredje sifferet.

Vi river neste siffer i utbyttet 4; 335 er inneholdt i 1064 tre ganger - vi skriver i kvotient 3. Multipliserer divisoren med 3 og trekker fra produktet, får vi 59 i resten og 2003 generelt.

Fra de gitte eksemplene utleder vi følgende regel:

For å dele et flersifret tall i et ett- eller flersifret tall, må du skille i utbyttet fra venstre til høyre så mange sifre som det er i divisoren. Hvis deleren ikke er inneholdt, skiller du utbyttet med ett siffer mer. Ved å dele det separerte tallet med divisoren, oppnås det første sifferet i kvotienten, divisoren multipliseres med det, og det resulterende produktet trekkes fra den separerte delen av utbyttet.

Det neste sifferet i utbyttet tas ned til resten og settes på nytt.

Hvis dette resulterer i et tall mindre enn divisor, skriver de null privat, river neste siffer og setter på nytt.

Etter å ha mottatt et nytt siffer av privaten, opptrer de med det på samme måte som med det første sifferet.

Delingen fortsetter inntil alle sifrene i utbyttet er fjernet og dermed alle sifrene til den private er oppnådd.

Hver gang du må dele, må du spesifisere i kvotienten et slikt tall at resten er mindre enn divisoren. For å gjøre det lettere å finne et slikt kvotesiffer, når du deler et flersifret tall med et flersifret tall, ta hensyn til ett eller to ledende sifre i divisoren og sett dem bare i den tilsvarende delen av utbyttet. Samtidig, i utbyttet og i divisor, skilles de fra høyre hånd til venstre samme antall sifre. Så når vi bestemmer hvor mange ganger 6373 er ​​inneholdt i 27302, spør vi oss selv fire, fordi 6 av 27 inneholder 4 ganger.

Den resulterende kvotienten vil enten være lik eller større enn det faktiske tallet. I sistnevnte tilfelle må den reduseres.

Noen ganger, når de deler, signerer de ikke produktet av kvotientsifferet med divisor, men, som betyr det i sinnet, signerer de en rest. Reduser delingen på denne måten, skildre det skriftlig:

verbalt:

8 av 43 er inneholdt 5 ganger; 5. 8 - førti. Ved å trekke 40 fra 43 får vi en rest av 3.

Riving 2; 8 av 32 er inneholdt 4 ganger; 4 ganger 8 er 32. Trekker vi fra 32, får vi null i resten.

Vi river 8; 8 i 8 inneholder 1 gang, 1 gang 8 er 8. Subtraherer 8, får vi null i resten og 541 i kvotienten.

Del med 10, 100, 1000 osv.

Ved å dele et tall med 10, gjør vi titalls av utbyttet til enheter, hundrevis til tiere, tusenvis til hundrevis, generelt sett senker vi alle bestillinger av utbyttet med én. Dette oppnår vi ved å skille enhetssifferet med komma. Tallet før desimaltegnet vil uttrykke kvotienten, og etter desimaltegnet resten.

Ved å dele på 100 senker vi alle rekkefølgen av det delbare med to enheter, for hvilke vi skiller to sifre fra høyre til venstre hånd med komma, osv. Derav regelen:

For å dele et tall med ett med nuller, må du skille like mange sifre fra høyre til venstre som det er null i divisoren; deretter uttrykker tallet før desimaltegnet hele kvotienten, og etter desimaltegnet - resten.

Eksempel. Deler 30207 med 100. Ved å skille 2 sifre til høyre finner vi 302.07. Heltallskvotienten vil være 302, og resten vil være 7.

Divisjon med et tall som slutter på null

Del tallet 27057 med 400 og gjør det som en generell regel

vi legger merke til at de to siste sifrene i utbyttet ikke har noen effekt på kvoten. De er i restene uten endring. Hvor kommer regelen fra:

Hvis divisor ender på null, skiller du i utbyttet med et komma fra høyre til venstre så mange sifre som det er krysset ut null i divisor, og dividerer delen av utbyttet med desimaltegnet med de signifikante sifrene i divisoren. De adskilte sifrene i utbyttet legges til resten.

I dette eksemplet vil divisjonen bli representert som

Dersom utbytte og divisor ender på null, krysses de likt ut i utbytte, divisor og deling gjøres; de gjennomstrekede nullpunktene til utbyttet legges til resten.

For å dele 27300 på 4100, del 273 på 41:

Kvoten vil være 6 og resten vil være 2700.

Antall sifre i kvotienten. Ved deling skiller de i utbyttet fra venstre til høyre så mange sifre som det er i divisoren, eller ett til. Hvert gjenværende siffer i utbyttet tilsvarer et spesielt siffer for det private, derfor antall sifre i kvotienten vil enten være lik forskjellen mellom antall sifre i utbytte og divisor, eller én mer enn denne forskjellen.

Sammenheng mellom data og nødvendige inndelinger

Når vi deler heltall, har vi to tilfeller: a) hele divisjonen, eller ingen rest, og b) divisjon med resten.

Hvert av disse tilfellene tilsvarer et spesielt forhold mellom dataene og de nødvendige inndelingene.

divisjon hel eller uten rest

Når du deler på et heltall

Kvoten er lik utbyttet delt på divisoren.

Ved å dele 42 med 7, har vi en privat 6; derfor,

42 ÷ 7 = 6, eller 6 = 42 ÷ 7

Utbyttet er lik divisoren multiplisert med kvotienten.

Siden divisor og kvotient er to faktorer hvis produkt er lik det delbare, da divisor er lik utbyttet delt på kvotienten.

Divisjon med resten

Når du deler med en rest

Utbyttet er lik produktet av divisoren og heltallskvotienten lagt til resten.

Når vi deler 47 på 6, har vi en kvotient på 7 som helhet, med en rest på 5.

Delelig 47 = 6 × 7 + 5.

Utbytte uten rest er delelig med divisor og hele kvotienten.

Differansen av utbyttet uten en rest er lik produktet av divisor og heltallskvotient, det vil si at denne forskjellen, når den deles på divisoren, gir heltallskvotienten, når den deles på heltallet, gir kvotienten divisoren.

Selv om matematikk ser ut til å være en vanskelig vitenskap for de fleste, er det langt fra tilfelle. Mange matematiske operasjoner er ganske enkle å forstå, spesielt hvis du kan reglene og formlene. Så når du kjenner multiplikasjonstabellen, kan du raskt multiplisere i tankene dine. Det viktigste er å hele tiden trene og ikke glemme multiplikasjonsreglene. Det samme kan sies om deling.

La oss ta en titt på inndelingen av heltall, brøk og negativ. Husk de grunnleggende reglene, teknikkene og metodene.

divisjonsdrift

La oss kanskje starte med selve definisjonen og navnet på tallene som er involvert i denne operasjonen. Dette vil i stor grad lette den videre presentasjonen og oppfatningen av informasjon.

Divisjon er en av de fire grunnleggende matematiske operasjonene. Studiet begynner i grunnskole. Det var da barna ble vist det første eksemplet på å dele et tall på et tall, og reglene ble forklart.

Operasjonen involverer to tall: utbytte og divisor. Det første er tallet som skal deles, det andre er tallet som skal deles på. Resultatet av divisjon er en kvotient.

Det er flere notasjoner for å registrere denne operasjonen: ":", "/" og en horisontal linje - en post i form av en brøk, når utbyttet er øverst, og divisor er nederst, under linjen.

regler

Når du studerer en bestemt matematisk operasjon, er læreren forpliktet til å gjøre elevene kjent med de grunnleggende reglene du bør kjenne til. Riktignok blir de ikke alltid husket så godt som vi ønsker. Derfor bestemte vi oss for å friske opp hukommelsen litt med de fire grunnleggende reglene.

De grunnleggende reglene for å dele tall som du alltid bør huske:

1. Du kan ikke dele på null. Denne regelen bør huskes først og fremst.

2. Du kan dele null på et hvilket som helst tall, men resultatet vil alltid være null.

3. Hvis tallet deles på én, får vi samme tall.

4. Hvis tallet deles på seg selv, får vi en.

Som du kan se, er reglene ganske enkle og enkle å huske. Selv om noen kan glemme en så enkel regel som umuligheten, eller forveksle delingen av null med et tall med den.

per nummer

En av de mest nyttige regler- et tegn som bestemmer muligheten for å dele et naturlig tall med et annet uten rest. Så det er tegn på delbarhet med 2, 3, 5, 6, 9, 10. La oss vurdere dem mer detaljert. De letter i stor grad utførelsen av operasjoner på tall. Vi vil også gi et eksempel på å dele et tall med et tall for hver regel.

Disse regelskiltene er ganske mye brukt av matematikere.

Tegn på delbarhet med 2

Det enkleste tegnet å huske. Et tall som ender på et partall (2, 4, 6, 8) eller 0 er alltid delelig med to. Ganske enkelt å huske og bruke. Så tallet 236 ender i et partall, noe som betyr at det er delt med to fullstendig.

La oss sjekke: 236:2 = 118. Faktisk er 236 delelig med 2 uten en rest.

Denne regelen er mest kjent ikke bare for voksne, men også for barn.

Tegn på delbarhet med 3

Hvordan dele tall med 3 riktig? Husk følgende regel.

Et tall er jevnt delelig med 3 hvis summen av sifrene er et multiplum av 3. La oss for eksempel ta tallet 381. Summen av alle sifrene vil være 12. Dette er tre, som betyr at det er delelig med 3 uten en rest.

Sjekk også gitt eksempel. 381: 3 = 127, så alt stemmer.

Tegn på delbarhet av tall med 5

Alt er enkelt her også. Du kan dele på 5 uten en rest bare de tallene som ender på 5 eller 0. Ta for eksempel tall som 705 eller 800. Det første slutter på 5, det andre slutter på null, derfor er de begge delbare med 5. Dette er en fra de enkleste reglene, som lar deg raskt dele inn i enkeltsifret 5.

La oss sjekke dette tegnet på følgende eksempler: 405:5 = 81; 600:5 = 120. Som du ser fungerer skiltet.

Delelig med 6

Hvis du vil vite om et tall er delelig med 6, må du først finne ut om det er delbart med 2, og deretter med 3. I så fall kan tallet deles på 6 uten en rest. tallet 216 er også delelig med 2, siden det ender med et partall, og 3, siden summen av sifrene er 9.

La oss sjekke: 216:6 = 36. Eksemplet viser at denne funksjonen er gyldig.

Delelig med 9

La oss også snakke om hvordan man deler tall med 9. Summen av sifrene som er et multiplum av 9, deles på dette tallet. På samme måte som regelen for divisjon med 3. For eksempel tallet 918. La oss legge sammen alle tallene og få 18 - et multiplum av 9. Så det er delelig med 9 uten en rest.

La oss løse dette eksemplet for verifisering: 918:9 = 102.

Delelig med 10

Det siste tegnet å være oppmerksom på. Bare de tallene som ender på 0 er delbare med 10. Dette mønsteret er ganske enkelt og lett å huske. Så 500:10 = 50.

Det er alle hovedtegnene. Ved å huske dem kan du gjøre livet ditt enklere. Selvfølgelig er det andre tall som det er tegn på delbarhet for, men vi har identifisert bare de viktigste.

divisjonstabell

I matematikk er det ikke bare en multiplikasjonstabell, men også en divisjonstabell. Etter å ha lært det, kan du enkelt utføre operasjoner. I hovedsak er divisjonstabellen multiplikasjonstabellen i revers. Å kompilere det selv er ikke vanskelig. For å gjøre dette, omskriv hver linje fra multiplikasjonstabellen på denne måten:

1. Vi setter produktet av tallet i første rekke.

2. Vi setter et divisjonstegn og skriver ned den andre faktoren fra tabellen.

3. Etter likhetstegnet skriver vi ned den første faktoren.

La oss for eksempel ta følgende linje fra multiplikasjonstabellen: 2*3= 6. Nå skriver vi den om i henhold til algoritmen og får: 6 ÷ 3 = 2.

Ganske ofte blir barn bedt om å lage et bord på egenhånd, og dermed utvikle deres hukommelse og oppmerksomhet.

Hvis du ikke har tid til å skrive det, kan du bruke den som presenteres i artikkelen.

Divisjonstyper

La oss snakke litt om divisjonstypene.

La oss starte med det faktum at deling av heltall og brøktall kan skilles. I dette tilfellet, i det første tilfellet, kan vi snakke om operasjoner med heltall og desimaler, og i den andre - bare ca brøktall. I dette tilfellet kan enten utbytte eller divisor, eller begge deler samtidig, være brøkdeler. Dette skyldes det faktum at operasjoner på brøker er forskjellige fra operasjoner på heltall.

Basert på tallene som deltar i operasjonen, kan to typer deling skilles: i ensifrede tall og i flersifrede. Det enkleste er å dele med et enkelt siffer. Her trenger du ikke utføre tungvinte beregninger. Dessuten kan en divisjonstabell hjelpe mye. Å dele inn i andre - to -, tresifrede tall- vanskeligere.

Tenk på eksempler for disse typer inndeling:

14:7 = 2 (delt på et enkelt tall).

240:12 = 20 (delt på to sifre).

45387: 123 = 369 (delt på et tresifret tall).

Den siste divisjonen kan skilles, der positive og negative tall deltar. Når du arbeider med sistnevnte, bør du kjenne reglene for at resultatet tildeles en positiv eller negativ verdi.

Når du deler tall med forskjellige tegn(utbyttet er et positivt tall, divisor er negativ, eller omvendt) får vi et negativt tall. Når vi deler tall med ett fortegn (både utbyttet og divisor er positive eller omvendt), får vi et positivt tall.

Tenk på følgende eksempler for klarhet:

Inndeling av brøker

Så vi har analysert de grunnleggende reglene, gitt et eksempel på å dele et tall med et tall, la oss nå snakke om hvordan du korrekt utfører de samme operasjonene med brøker.

Selv om å dele brøker først virker som en ganske vanskelig oppgave, er det i virkeligheten ikke så vanskelig å jobbe med dem. Brøkdeling utføres omtrent på samme måte som multiplikasjon, men med én forskjell.

For å dele en brøk, må du først multiplisere telleren av utbyttet med nevneren til divisor og fikse resultatet som en kvotienteller. Multipliser deretter nevneren til utbyttet med telleren til deleren og skriv resultatet som nevneren til kvotienten.

Det kan gjøres enda enklere. Skriv om brøkdelen av divisoren, bytt telleren med nevneren, og multipliser deretter de resulterende tallene.

La oss for eksempel dele to brøker: 4/5:3/9. Først snur du divisoren, vi får 9/3. La oss nå gange brøkene: 4/5 * 9/3 = 36/15.

Som du kan se, er alt ganske enkelt og ikke vanskeligere enn å dele med et enkelt siffer. Eksempler løses ikke lett, hvis du ikke glemmer denne regelen.

funn

Divisjon er en av de matematiske operasjonene som hvert barn lærer på barneskolen. Det er visse regler du bør kjenne til, teknikker som letter denne operasjonen. Divisjon skjer med en rest og uten, det er en deling av negative og brøktall.

Det er ganske enkelt å huske funksjonene til denne matematiske operasjonen. Vi har analysert mest viktige poeng, så på mer enn ett eksempel på å dele et tall på et tall, snakket til og med om hvordan man jobber med brøktall.

Hvis du ønsker å forbedre kunnskapen om matematikk, anbefaler vi deg å huske disse enkle regler. I tillegg kan vi råde deg til å utvikle hukommelse og mentale regneferdigheter ved å gjøre matematiske diktater eller bare prøve å beregne kvotienten av to verbalt. tilfeldige tall. Tro meg, disse ferdighetene vil aldri være overflødige.

I denne artikkelen vil vi bli kjent med begrepet divisjon. Dette er en flerkomponentbetegnelse som kan brukes i en lang rekke områder av menneskelig aktivitet, og konsekvensene er observert i naturen til levende organismer. Uavhengig av omfanget av begrepet og / eller miljøet i prosessen, er et ekstremt viktig konsept.

celledeling

Celledeling er et pedagogisk fenomen der det, gjennom deling av en celle, dannes to datterstrukturer, vanligvis identiske med materialet i modersystemet.

Prokaryotisk deling innebærer deling i to like deler. Dette innledes med forlengelse av cellen, den påfølgende dannelsen av et tverrgående skillevegg, og først da en divergens.

Eukaryote celler kan dele seg på to måter: mitose og meiose. Måten for reproduksjon vil avhenge av celletypen.

Amitose og forberedelse

celledeling inkluderer prosessene med amitose og forberedelse.

Direkte deling er amitose. De kaller det en direkte form for deling. Dette skjer med interfasekjernen gjennom innsnevring og uten å skape en spindel som separasjonen av cellulære strukturer og informasjon om kjernen vil skje gjennom. Amitosis er det mest kostnadseffektive fisjonsalternativet på grunn av dets lave energibehov. Amitose har en rekke likheter med cellereproduksjonen til prokaryoter.

Bakterieceller inkluderer oftest et DNA-molekyl i sirkulær form. Den er alltid alene og er festet til cellemembranen. Før starten av deling (reproduksjon) begynner DNA å replikere og danne 2 identiske molekylstrukturer. Videre, i løpet av delingen, vokser membranen inn mellom disse 2 molekylene. Som et resultat er det på begge sider av spindelen i forskjellige ender av cellen 2 fragmenter med arvelig informasjon som er identiske med hverandre. Denne formen for reproduksjon kalles binær fisjon.

Divisjon er en prosess forut for forberedelse. Det begynner på et visst stadium av cellesyklusen, kalt interfase. På dette stadiet er det kritiske prosesser lar cellene formere seg. Proteinbiosyntese utføres, dobling av de viktigste strukturene. Det er også en dobling av kromosomet, bestående av to halvdeler (kromatider). Varigheten av interfase i dyreorganismer og planteopprinnelse tar ca 10-20 timer. Deretter kommer mitose.

Mitose og meiose

Celledeling er måten å reproduksjon på. Det er to hovedveier: mitose og meiose.

Mitose er en form for overføring av arvelig informasjon, hvor en kopi av de originale kromosomene er bevart. En av de få fordelene med denne delingen fremfor meiose er fraværet av komplikasjoner i en celle med en hvilken som helst ploiditetsindeks. Dette skyldes fraværet av obligatorisk bruk av kromosomal konjugering på profasestadiet. Denne prosessen inkluderer stadiene av profase, metafase, anafase og telofase, mellom hvilke interfase oppstår. De samme stadiene observeres i meiose, men de forekommer to ganger med noen forskjeller.

Meiose er en celledeling der det observeres en halvering av kromosomtallet. Dette er det samme for alle barneceller. Den første som beskrev det hos dyr var V. Flemming i 1882, og plantemeiose ble forklart av E. Strasburger i 1888.

Meiose er dannelsen av kjønnsceller. I løpet av reduksjonen får både sporer og kjønnscellestrukturer med et kromosomsett ett kromosom fra hvert kromosom, dannet av to kromatider og inneholdt i en diploid celle. Ytterligere befruktning vil tillate den nye organismen å få et kromosomsett i diploid form. Karyotypen forblir uendret.

Administrativ-territoriell form for deling av territorier

Territoriell inndeling- dette er en inndeling av territoriet gitt av statens administrative-territoriale struktur. Oftest gjelder dette enhetsmakter. I samsvar med deres inndeling i separate områder og plott skapes et organsystem som er ansvarlig for et spesifikt territorium. Separasjonen kan være forårsaket av naturlige, politiske, etniske og økonomiske faktorer. Den administrativ-territoriale formen for deling brukes også i føderale stater. Imidlertid, i motsetning til enhetlige strukturer, har en føderasjon en tilsvarende type enhet (føderal).

Om ATD

Fagene til føderasjonen er oftest tildelt en enhetlig struktur av det administrativt-territoriale settet med regler om deling. Enheter som er fag i forbundet tilhører oftest fagene lokal selvregulering og ledelse. Listen over deres rettigheter er bestemt og beskyttet av et spesielt sett med lover.

Territoriell inndeling er en avgrensning som kan være et resultat av sammenbruddet av en stat med tilsvarende form for inndeling. Den tidligere interne administrative grensen kan bli en ny avgrensning av territoriet til det nyopprettede landet. Imidlertid blir dette oftest et problematisk problem, noe som fører til dannelsen av mellomstatlige tvister.

Divisjon i matematikk

I matematikk er divisjon en spesiell operasjon som er inversen av multiplikasjon. I matematikk er det betegnet ved å bruke et kolon, en skråstrek eller en obelus, samt en horisontal strek.

Denne operasjonen ligner på multiplikasjon, hvor den gjentatte repetisjonen av tillegg av et tall erstattes. Imidlertid er resultatet av divisjon den motsatte handlingen, som involverer gjentatt subtraksjon.

La oss bli kjent med divisjon på et eksempel: 15/4=?

Fra uttrykket følger spørsmålet om hvor mange ganger tallet 4 gjentas når man trekker fra 15.

Å gjenta subtraksjonen av de fire vil vise oss innholdet av tre firere og en trippel. I dette tilfellet er 15 utbyttet, 4 er deleren, trippel repetisjon av 4 er den ufullstendige kvotienten, og 3 er resten. Sluttresultatet av splittende arbeid kalles også et forholdstall.

Om tall

Glem aldri at divisjon og produkt er forskjellige konsepter. Sistnevnte refererer til multiplikasjon. Det vil være nyttig å nevne dette her, siden folk ofte stiller slike spørsmål.

For tiden brukes divisjon, gjeldende for et stort antall tall opprettet og betinget delt av mennesker. I dag er det en divisjon: naturlige, rasjonelle, komplekse og heltall, og dette inkluderer også deling av polynomer, med null og algebraisk.

"Forskjellen er splittelse." En lignende påstand finnes også ofte i internettkilder, men dette er ikke sant. Forskjellen er tallet (r), som indikerer det totale antallet enheter som dannes når en beregningskomponent trekkes fra en annen: a - b \u003d c, der a er minus, b er subtrahend, og c er forskjellen . Denne definisjonen er ekvivalent og det samme for alle former for tall, for eksempel rasjonelle brøker eller heltall, osv. Ikke vær som blondiner som stiller spørsmålet "er forskjellen multiplikasjon eller divisjon?". Differanse er det motsatte av multiplikasjon.

Divisjon med null

I det standard aritmetiske regelsettet er divisjon med null udefinert.

Når det gjelder inndeling i uendelig små funksjoner eller andre sekvenser enn null, kan det hevdes at punkter med en divisorfunksjon i form av null har en ubestemt kvotientfunksjon. Hvis du deler en funksjon som er avgrenset og langt fra null med en uendelig liten en, så kan du få en uendelig stor. Usikkerhet er forholdet mellom 2 infinitesimale funksjoner (0/0). Det kan endres for å få visse resultater.