Inndeling av heltall. utbytte, divisor, kvotient
Vi kan forestille oss hvordan selve tallet med seg selv så mange ganger som vi trenger for å multiplisere det.
Divisjon kan representeres som flere. La oss se på dette problemet mer detaljert.
Tallinndeling
La oss se på bildet.
På bildet ser vi 12 epler på et fat. Epler er delt inn i fire grupper på 3 epler. Du kan skrive det slik:
12 ÷ 4 = 3
Tallet vi deler kalles utbytte, tallet vi deler med kalles divisor, og resultatet inndeling kalt privat. I vårt eksempel utbytte 12, divisor er 4 , og kvotient er 3 .
Divisjon kan kontrolleres ved multiplikasjon:
3 x 4 = 12
Og også divisjon kan kontrolleres ved gjentatt subtraksjon:
12 – 3 – 3 – 3 – 3 = 0
Vi ser at hvis vi trekker 4 ganger 3 fra 12, får vi null. Så 12 ganger 4 er delelig uten en rest.
Tenk på et annet eksempel, del 13 på 4.
Figuren viser at når vi deler 13 epler på 4, får vi 3 og resten er ett eple.
13 ÷ 4 = 3 (rest.1)
La oss sjekke ved subtraksjon:
13 – 3 – 3 – 3 – 3 = 1
Vi ser at dersom tallet 3 trekkes fire ganger fra 13, så gjenstår 1. Eksempelet vårt heter divisjon med en rest. Her er 13 utbyttet, 4 er deleren og 3 er det ufullstendig kvotient, 1 – resten av divisjonen.
Sjekk nå med multiplikasjon:
3 x 4 + 1 = 13
Grunnleggende inndelingsregler
1. IKKE DEL MED NULL!
2. Hvis utbytte og divisor er like, vil kvotienten være lik 1:
a ÷ a = 1
Det vil si at hvis 5 pærer skal deles på fem gutter, så får hver en pære.
8÷8 = 1
12 ÷ 12 = 1
3. Hvis utbyttet er null og kvotienten er null:
0 ÷ a = 0
Det vil si at hvis du ikke deler noe med noe, så får du ingenting.
Eksempel:
0 ÷ 9 = 0
0 ÷ 34 = 0
4. Hvis divisor er 1, er kvotienten lik utbyttet:
a ÷ 1 = a
Det vil si at hvis en gutt har fem pærer og han er alene, så får han alle fem pærene.
6 ÷ 1 = 6
81 ÷ 1 = 81
I de følgende artiklene skal vi se på inndelingen store tall, samt flere oppgaver vil bli presentert for å konsolidere materialet.
Hvis du ønsker å motta kunngjøringer om artiklene våre, abonner på e-postlisten "Site News". For å gjøre dette, vennligst gå til.
Inndeling- Dette er den aritmetiske operasjonen invers til multiplikasjon, som man vet hvor mange ganger ett tall er inneholdt i et annet.
Tallet som blir delt kalles delelig, tallet som det er delt med kalles deler, kalles resultatet av divisjon privat.
Akkurat som multiplikasjon erstatter gjentatt addisjon, erstatter divisjon gjentatt subtraksjon. For eksempel betyr tallet 10 delt på 2 å finne ut hvor mange ganger tallet 2 er inneholdt i 10:
10 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 = 0
Ved å gjenta operasjonen med å trekke 2 fra 10, finner vi at 2 er inneholdt i 10 fem ganger. Dette kan enkelt sjekkes ved å legge til 2 fem ganger eller multiplisere 2 med 5:
10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 5
For å skrive divisjon brukes et tegn: (kolon), ÷ (obelus) eller / (skråstrek). Den plasseres mellom utbyttet og divisor, med utbytte skrevet til venstre for divisjonstegnet, og divisor til høyre. For eksempel betyr oppføringen 10: 5 at tallet 10 er delelig med tallet 5. Til høyre for divisjonsinnføringen setter du tegnet = (lik), hvoretter resultatet av divisjonen registreres. Dermed ser hele divisjonsrekorden slik ut:
Denne oppføringen lyder som følger: kvotienten ti og fem er lik to, eller ti delt på fem er lik to.
Divisjon kan også betraktes som en handling der ett tall deles med så mange like deler, hvor mange enheter som er inneholdt i et annet tall (som er delelig med). Dette bestemmer hvor mange enheter som er i hver enkelt del.
For eksempel har vi 10 epler, ved å dele 10 med 2 får vi to like deler, som hver inneholder 5 epler:
Divisjonssjekk
For å sjekke divisjonen kan du multiplisere kvotienten med divisoren (eller omvendt). Hvis resultatet av multiplikasjon er et tall lik utbyttet, er divisjonen riktig.
Tenk på uttrykket:
hvor 12 er utbyttet, 4 er divisor og 3 er kvotient. La oss nå sjekke divisjonen ved å multiplisere kvotienten med divisoren:
eller divisor etter kvotient:
Divisjon kan også kontrolleres ved divisjon, for dette er det nødvendig å dele utbyttet med kvotienten. Hvis resultatet av divisjon er et tall som er lik divisor, er divisjonen riktig:
Hovedeiendommen til private
Privat har en viktig eiendom:
Kvotienten endres ikke dersom utbyttet og divisoren multipliseres eller divideres med samme naturlige tall.
For eksempel,
32: 4 = 8, (32 3) : (4 3) = 96: 12 = 8 32: 4 = 8, (32: 2) : (4: 2) = 16: 2 = 8
Deling av et tall for seg selv og ett
For et hvilket som helst naturlig tall en likheter er riktige:
en : 1 = en
en : en = 1
Nummer 0 i divisjon
Å dele null på et hvilket som helst naturlig tall resulterer i null:
0: en = 0
Du kan ikke dele på null.
La oss se hvorfor vi ikke kan dele med null. Hvis utbyttet ikke er null, men et hvilket som helst annet tall, for eksempel 4, vil det å dele det med null bety å finne et tall som, etter å ha blitt multiplisert med null, resulterer i tallet 4. Men det er ikke noe slikt tall, fordi et hvilket som helst tall etter multiplikasjon med null gir igjen null.
Hvis utbyttet også er lik null, er divisjon mulig, men et hvilket som helst tall kan tjene som et privat, fordi i dette tilfellet gir et hvilket som helst tall etter multiplikasjon med divisoren (0) oss utbyttet (det vil si igjen 0) . Selv om deling er mulig, fører det altså ikke til et enkelt bestemt resultat.
Denne leksjonen er viet til studiet av emnet "Navnet på komponentene og resultatet av divisjon." Vi vil kunne finne ut hvordan tallene kalles ved deling. Vi skal også snakke om hvordan man leser divisjon riktig og hvilke navn komponentene og resultatet av divisjon har.
Se på dette uttrykket.
Dette uttrykket bruker divisjonstegnet. La oss lese den.
21: 7 = 3 (21 delt på 7, vi får 3).
Ved deling, som med andre matematiske operasjoner, har hvert tall sitt eget navn.
Tallet som blir delt kalles utbytte.
Tallet som deles på kalles divisor.
Resultatet av divisjon kalles en kvotient. (Figur 1)
Ris. 1. Navn på tall ved deling
La oss lese det samme uttrykket ved å bruke de nye begrepene.
21: 7 = 3 (utbytte er 21, divisor er 7, kvotient er 3).
Den samme likheten kan skrives på en annen måte. Kvoten av 21 og 7 er 3.
La oss finne kvotienten ved hjelp av bilder.
Finn ut hvor mange ganger 3 er i tallet 9.
La oss representere tallet 9 for enkelhets skyld i form av et bilde. (Fig. 2)
Ris. 2. Nummer 9
Hvor mange ganger 3 jordbær finnes i tallet 9. Del jordbærene med 3. (Fig. 3).
Ris. 3. Del jordbærene i 3
Vi ser at tallet 9 x 3 inneholder 3 ganger. La oss skrive dette som et uttrykk.
Les ligningen vår.
9 delt på 3 gir 3; utbytte - 9, divisor - 3, kvotient - 3; kvotienten av 9 og 3 er 3.
La oss finne ut hvor mange ganger 4 er inneholdt i tallet 8. For å gjøre det mer praktisk, vil vi representere tallet 8 i form av et bilde. (Fig. 4).
Ris. 4. Nummer 8
Hvor mange ganger 4 er i 8?
Del tallet 8 i grupper på 4. (Fig. 5)
Ris. 5. Del tallet 8 i grupper på 4
La oss skrive ned ved hjelp av uttrykket hva vi har gjort.
La oss lese vår likestilling.
Utbytte - 8, divisor - 4, kvotient - 2; kvotienten av 8 og 4 er 2.
La oss øve på å skrive likestilling ved å bruke de nye begrepene.
Kvotient 10 og 2 er lik 5.
Vi husker at kvotienten er et resultat av divisjon. Så vi skriver ligningen slik:
Utbyttet er 12, deleren er 2, kvotienten er 6.
Utbytte, divisor og kvotient er komponentene i divisjon. Så ligningen vil se slik ut:
Prøv nå å skrive dine egne likheter:
Kvotient 15 og 3 er lik 5.
Utbyttet er 20, deleren er 5, og kvotienten er 4.
Korrekt svar:
I denne leksjonen lærte vi navnene på komponentene i divisjon og resultatet av divisjon. Vi lærte også å telle likheter på ulike måter.
Bibliografi
- Alexandrova E.I. Matte. Karakter 2 - M.: Bustard, 2004.
- Bashmakov M.I., Nefyodova M.G. Matte. Karakter 2 - M.: Astrel, 2006.
- Dorofeev G.V., Mirakova T.I. Matte. Karakter 2 - M.: Utdanning, 2012.
- Festival.1september.ru ().
- Nsportal.ru ().
- Irina-se.com ().
Hjemmelekser
Komponer uttrykk og finn resultatene deres:
en) utbytte - 24, deler - 6 b) utbytte - 10, deler - 2 i) utbytte - 18, deler - 6.
Løs uttrykk:
a) 14:7 b) 28:4 c) 30:6
Fullfør likhetene med de manglende tallene:
a) 16: * = 4 b) 21: 3 = * c) 25: * = 5
Divisjon (matematikk)
Inndeling(divisjonsoperasjon) - en av de fire enkleste aritmetiske operasjonene, inversen av multiplikasjon. Divisjon er en slik operasjon, som et resultat av at det oppnås et tall (kvotient), som, multiplisert med en divisor, gir utbyttet. Det er flere symboler som brukes til å representere divisjonsoperatøren.
Tenk for eksempel på dette spørsmålet:
Hvor mange ganger er 3 av 14?
Ved å gjenta operasjonen med å trekke 3 fra 14, finner vi at 3 "skriver inn" 14 fire ganger, og fortsatt "blir" tallet 2.
I dette tilfellet ringes nummeret 14 delelig, nummer 3 - deler, nummer 4 - (ufullstendig) privat og nummer 2 - resten (fra divisjon).
Resultatet av divisjon kalles også holdning.
Divisjon av naturlige tall
Vanligvis pålegges følgende begrensninger for resten (slik at den er riktig, det vil si unikt definert):
, ,hvor er utbyttet, er divisor, er kvotient og er resten.
Inndeling av heltall
Divisjon av vilkårlige heltall er ikke vesentlig forskjellig fra divisjon naturlige tall- det er nok å dele modulene sine og ta hensyn til skiltregelen.
Imidlertid er deling av heltall med en rest ikke unikt definert. I ett tilfelle, (så vel som uten en rest), vurderes modulene først, og som et resultat får resten samme fortegn som divisor eller utbytte (for eksempel med en rest (-1)); i et annet tilfelle er konseptet med resten direkte generalisert og begrensningene er lånt fra de naturlige tallene:
.Deling av rasjonelle tall
Forskjellen ligger i det faktum at når man deler polynomer, er hovedvekten på graden av utbytte og divisor, og ikke på koeffisientene. Derfor antas det vanligvis at kvotienten og divisoren (og dermed resten) er definert opp til en konstant faktor.
Divisjon med null
I henhold til reglene for standardregning er deling med 0 forbudt.
En annen ting er divisjon med en uendelig liten funksjon eller sekvens. Delingen av endelige funksjoner i infinitesimals fører til utseendet til infinitesimals, og forholdet mellom to infinitesimals kalles usikkerhet 0/0, som kan transformeres (se avsløring av usikkerheter) for å oppnå et bestemt resultat.
Som følger av definisjonen av divisjonsoperasjonen, kan resultatet av operasjonen 0:0 være et hvilket som helst reelt tall, så verdien av operasjonen 0:0 på ubestemt tid og problemet med å dele null med null har et uendelig antall løsninger. . Dette samsvarer ikke med standarddefinisjonen av en binær operasjon, som sier at en operasjon på to tall bare kan resultere i en enkelt verdi.
Operasjonen med å dele et tall som ikke er null med null, tilsvarer ikke noe reelt tall.
Resultatet av denne operasjonen anses som uendelig stort og lik uendelig:
, hvor
Betydningen av dette uttrykket er at hvis divisor nærmer seg null, og utbyttet forblir lik en eller nærmer seg det, så øker kvotienten i det uendelige (modulo).
Siden uendelig ikke er et reelt tall, er en slik operasjon utenfor algebraens grenser reelle tall, hvis den binære operasjonen i den er definert som . .
se også
Notater
Wikimedia Foundation. 2010 .
Se hva "divisjon (matematikk)" er i andre ordbøker:
Divisjon med rest (modulo, finne resten av divisjon, resten av divisjon) er en aritmetisk operasjon som resulterer i to heltall: en ufullstendig kvotient og resten av å dele et heltall med et annet heltall. ... ... Wikipedia
Modulo-operasjonen i ulike språk Programmeringsspråk Operatør Resultattegn Delbar Ada mod Quotient rem Dividend ASP Mod Ikke definert C (ISO 1990) % Ikke definert C (ISO 1999) ... Wikipedia
Wiktionary har en artikkel om fisjon Celledeling Divisjon (matematikk) er en matematisk operasjon. Inndeling med resten ... Wikipedia
Funksjon y = 1/x. Når x nærmer seg null fra høyre, nærmer y seg uendelig. Når x nærmer seg null fra venstre, nærmer y seg minus uendelig... Wikipedia
- (begynnelse) "Matematikk i ni bøker" ( tradisjonell kinesisk 九章算術 ... Wikipedia
I. Definisjon av matematikkfaget, sammenheng med andre vitenskaper og teknologi. Matematikk (gresk mathematike, fra máthema kunnskap, vitenskap), vitenskapen om kvantitative relasjoner og romlige former for den virkelige verden. "Ren... Stor sovjetisk leksikon
Kipukamayok fra Guaman Poma de Ayalas The First New Chronicle and Good Government. Til venstre ved føttene av kipukamayoka yupana, som inneholder beregningene av det hellige tallet for sangen "Sumak Newst" (i det originale manuskriptet er tegningen ikke farget, men svart og hvit; ... ... Wikipedia
jeg, jfr. 1. Handling på verb. dele (i 1 verdi). 2. Handling og stat etter vb. andel (i 1 verdi); desintegrasjon, fragmentering. Inndelingen av samfunnet i klasser. || biol. Liten akademisk ordbok