Eksponentielle ulikheter alternativ 2. Eksponentielle ulikheter
Mange tror at eksponentielle ulikheter er noe så komplisert og uforståelig. Og at det å lære å løse dem er nesten en stor kunst, som bare de utvalgte er i stand til å forstå...
Fullstendig tull! Eksponentielle ulikheter er lett. Og de er alltid enkle å løse. Vel, nesten alltid. :)
I dag vil vi analysere dette emnet langt og bredt. Denne leksjonen vil være veldig nyttig for de som akkurat har begynt å forstå denne delen av skolematematikk. La oss starte med enkle oppgaver og gå videre til mer komplekse problemstillinger. Det blir ingen hardhet i dag, men det du skal lese vil være nok til å løse de fleste ulikhetene i all slags kontroll og selvstendig arbeid. Og på denne eksamenen din også.
Som alltid, la oss starte med en definisjon. En eksponentiell ulikhet er enhver ulikhet som inneholder en eksponentiell funksjon. Det kan med andre ord alltid reduseres til en formulikhet
\[((a)^(x)) \gt b\]
Hvor rollen som $b$ kan være et vanlig tall, eller kanskje noe tøffere. Eksempler? Ja takk:
\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\end(align)\]
Jeg tror meningen er klar: det er en eksponentiell funksjon $((a)^(x))$, den sammenlignes med noe, og blir deretter bedt om å finne $x$. I spesielt kliniske tilfeller, i stedet for variabelen $x$, kan de sette en funksjon $f\left(x \right)$ og derved komplisere ulikheten litt. :)
Selvfølgelig kan ulikheten i noen tilfeller se mer alvorlig ut. For eksempel:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
Eller til og med dette:
Generelt kan kompleksiteten til slike ulikheter være svært forskjellig, men til slutt kommer de likevel ned til en enkel konstruksjon $((a)^(x)) \gt b$. Og vi vil på en eller annen måte håndtere et slikt design (i spesielt kliniske tilfeller, når ingenting kommer til tankene, vil logaritmer hjelpe oss). Derfor vil vi nå lære hvordan du løser slike enkle konstruksjoner.
Løsning av de enkleste eksponentielle ulikhetene
La oss se på noe veldig enkelt. For eksempel, her er det:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
Tydeligvis kan tallet til høyre skrives om som en potens av to: $4=((2)^(2))$. Dermed blir den opprinnelige ulikheten omskrevet i en veldig praktisk form:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
Og nå klør hendene etter å "strege ut" toerne, stående i bunnen av gradene, for å få svaret $x \gt 2$. Men før vi krysser ut noe, la oss huske kreftene til to:
\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]
Som du kan se, jo større tall i eksponenten, jo større utgangsnummer. "Takk, Cap!" vil en av elevene utbryte. Skjer det annerledes? Dessverre skjer det. For eksempel:
\[((\venstre(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ høyre))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\venstre(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8) );...\]
Også her er alt logisk: jo større grad, jo flere ganger multipliseres tallet 0,5 med seg selv (det vil si at det er delt i to). Dermed minker den resulterende tallrekkefølgen, og forskjellen mellom den første og andre sekvensen er bare i basen:
- Hvis basisen for grad $a \gt 1$, vil også tallet $((a)^(n))$ vokse etter hvert som eksponenten $n$ vokser;
- Omvendt, hvis $0 \lt a \lt 1$, vil tallet $((a)^(n))$ reduseres etter hvert som eksponenten $n$ vokser.
Når vi oppsummerer disse fakta, får vi den viktigste uttalelsen, som hele løsningen av eksponentielle ulikheter er basert på:
Hvis $a \gt 1$, er ulikheten $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekvivalent med ulikheten $x \gt n$. Hvis $0 \lt a \lt 1$, er ulikheten $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekvivalent med ulikheten $x \lt n$.
Med andre ord, hvis basen er større enn én, kan du ganske enkelt fjerne den - ulikhetstegnet vil ikke endres. Og hvis basen er mindre enn én, kan den også fjernes, men tegnet på ulikhet må også endres.
Merk at vi ikke har vurdert alternativene $a=1$ og $a\le 0$. For i disse tilfellene er det usikkerhet. Anta hvordan løser en ulikhet på formen $((1)^(x)) \gt 3$? En en til enhver makt vil igjen gi en en - vi vil aldri få en treer eller flere. De. det finnes ingen løsninger.
Med negative grunnlag er det enda mer interessant. Tenk for eksempel på følgende ulikhet:
\[((\venstre(-2 \høyre))^(x)) \gt 4\]
Ved første øyekast er alt enkelt:
Ikke sant? Men nei! Det er nok å erstatte et par partall og et par oddetall i stedet for $x$ for å være sikker på at løsningen er feil. Ta en titt:
\[\begin(align) & x=4\Høyrepil ((\venstre(-2 \høyre))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Høyrepil ((\venstre(-2 \høyre))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Høyrepil ((\venstre(-2 \høyre))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Høyrepil ((\venstre(-2 \høyre))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]
Som du kan se, veksler skiltene. Men det er fortsatt brøkgrader og annet tinn. Hvordan vil du for eksempel bestille $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus to hevet til roten av syv)? Aldri!
Derfor, for nøyaktighetens skyld, antar vi at i alle eksponentielle ulikheter (og likninger forresten også) $1\ne a \gt 0$. Og så er alt løst veldig enkelt:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Høyrepil \venstre[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(align) \right.\]
Generelt, husk nok en gang hovedregelen: hvis basen i eksponentialligningen er større enn én, kan du ganske enkelt fjerne den; og hvis basen er mindre enn én, kan den også fjernes, men dette vil endre ulikhetstegnet.
Løsningseksempler
Så tenk på noen enkle eksponentielle ulikheter:
\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(align)\]
Den primære oppgaven er den samme i alle tilfeller: å redusere ulikhetene til den enkleste formen $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Det er dette vi nå skal gjøre med hver ulikhet, og samtidig skal vi gjenta egenskapene til potenser og eksponentialfunksjonen. Så la oss gå!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
Hva kan gjøres her? Vel, på venstresiden har vi allerede et demonstrativt uttrykk – ingenting må endres. Men til høyre er det en slags dritt: en brøkdel, og til og med en rot i nevneren!
Husk imidlertid reglene for arbeid med brøker og potenser:
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(align)\]
Hva betyr det? For det første kan vi enkelt kvitte oss med brøken ved å gjøre den om til en negativ eksponent. Og for det andre, siden nevneren er roten, ville det vært fint å gjøre det om til en grad – denne gangen med en brøkeksponent.
La oss bruke disse handlingene sekvensielt på høyre side av ulikheten og se hva som skjer:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\venstre(\sqrt(2) \høyre))^(-1))=((\venstre(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]
Ikke glem at når du hever en grad til en potens, blir eksponentene for disse gradene lagt til. Og generelt, når du arbeider med eksponentielle ligninger og ulikheter, er det absolutt nødvendig å kjenne til i det minste de enkleste reglene for å jobbe med potenser:
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\venstre(((a)^(x)) \høyre))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(align)\]
Egentlig brukte vi bare den siste regelen. Derfor vil vår opprinnelige ulikhet omskrives som følger:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Høyrepil ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]
Nå blir vi kvitt toeren ved basen. Siden 2 > 1 forblir ulikhetstegnet det samme:
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Høyrepil x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]
Det er hele løsningen! Hovedvanskeligheten er ikke i det hele tatt i den eksponentielle funksjonen, men i den kompetente transformasjonen av det opprinnelige uttrykket: du må forsiktig og så raskt som mulig bringe det til sin enkleste form.
Tenk på den andre ulikheten:
\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]
Vel vel. Her venter vi på desimalbrøker. Som jeg har sagt mange ganger, i alle uttrykk med potenser, bør du kvitte deg med desimalbrøker - ofte er dette den eneste måten å se en rask og enkel løsning. Her er hva vi blir kvitt:
\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ høyre))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Høyrepil ((\venstre(\frac(1)(10) \høyre))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\end(align)\]
Foran oss er igjen den enkleste ulikheten, og selv med grunntallet 1/10, dvs. mindre enn én. Vel, vi fjerner basene, og endrer samtidig skiltet fra "mindre" til "større", og vi får:
\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(align)\]
Vi fikk det endelige svaret: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Vær oppmerksom på at svaret er nøyaktig settet, og ikke i noe tilfelle er konstruksjonen av formen $x \lt -1$. Fordi en slik konstruksjon formelt sett ikke er et sett i det hele tatt, men en ulikhet med hensyn til variabelen $x$. Ja, det er veldig enkelt, men det er ikke svaret!
Viktig notat. Denne ulikheten kunne løses på en annen måte - ved å redusere begge deler til en potens med en base større enn én. Ta en titt:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Høyrepil ((\venstre(((10)^(-1)) \høyre))^(1-x)) \ lt ((\venstre(((10)^(-1)) \right))^(2))\Høyrepil ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
Etter en slik transformasjon får vi igjen en eksponentiell ulikhet, men med en base på 10 > 1. Og dette betyr at du rett og slett kan krysse ut de ti - ulikhetstegnet vil ikke endre seg. Vi får:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(align)\]
Som du kan se, er svaret nøyaktig det samme. Samtidig reddet vi oss fra behovet for å endre skiltet og generelt huske noen regler der. :)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
Men ikke la det skremme deg. Uansett hva som står i indikatorene, forblir teknologien for å løse selve ulikheten den samme. Derfor merker vi først at 16 = 2 4 . La oss omskrive den opprinnelige ulikheten ved å ta hensyn til dette faktum:
\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]
Hurra! Vi fikk den vanlige kvadratulikheten! Tegnet har ikke endret seg noe sted, siden basen er en toer - et tall større enn én.
Funksjonsnuller på tallinjen
Vi ordner tegnene for funksjonen $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - tydeligvis vil grafen være en parabel med grener opp, så det vil være "pluss " på sidene. Vi er interessert i regionen hvor funksjonen er mindre enn null, dvs. $x\in \left(2;5 \right)$ er svaret på det opprinnelige problemet.
Til slutt, vurder en annen ulikhet:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
Igjen ser vi en eksponentiell funksjon med en desimalbrøk i grunntallet. La oss konvertere denne brøken til en vanlig brøk:
\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Høyrepil \\ & \Høyrepil ((0) ,2)^(1+((x)^(2))))=((\venstre(((5)^(-1)) \høyre))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]
I dette tilfellet utnyttet vi bemerkningen tidligere - vi reduserte basen til tallet 5\u003e 1 for å forenkle vår videre beslutning. La oss gjøre det samme med høyre side:
\[\frac(1)(25)=((\venstre(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\venstre(((5)^(-1)) \ høyre))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
La oss omskrive den opprinnelige ulikheten, og ta hensyn til begge transformasjonene:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Høyrepil ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \høyre)))\ge ((5)^(-2))\]
Basene på begge sider er like og større enn én. Det er ingen andre begreper på høyre og venstre side, så vi "krysser" bare femtallene og får et veldig enkelt uttrykk:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \venstre| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]
Det er her du må være forsiktig. Mange elever liker å ganske enkelt ta kvadratroten av begge sider av ulikheten og skrive noe sånt som $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Du bør aldri gjøre dette, siden roten til det eksakte kvadratet er modulen, og på ingen måte den opprinnelige variabelen:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\venstre| x\right|\]
Men å jobbe med moduler er ikke den mest behagelige opplevelsen, ikke sant? Så vi vil ikke jobbe. I stedet flytter vi ganske enkelt alle leddene til venstre og løser den vanlige ulikheten ved å bruke intervallmetoden:
$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \venstre(x-1 \høyre)\venstre(x+1 \høyre)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$
Igjen markerer vi de oppnådde punktene på talllinjen og ser på tegnene:
Vennligst merk: prikker er skyggelagt. Siden vi løste en ikke-streng ulikhet, er alle punktene på grafen skyggelagt. Derfor vil svaret være: $x\in \left[ -1;1 \right]$ er ikke et intervall, men et segment.
Generelt vil jeg merke at det ikke er noe komplisert i eksponentielle ulikheter. Betydningen av alle transformasjonene vi utførte i dag koker ned til en enkel algoritme:
- Finn basen som vi skal redusere alle grader til;
- Utfør forsiktig transformasjoner for å få en ulikhet på formen $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Selvfølgelig, i stedet for variablene $x$ og $n$, kan det være mye mer komplekse funksjoner, men dette endrer ikke betydningen;
- Kryss ut basene til gradene. I dette tilfellet kan ulikhetstegnet endres hvis grunntallet $a \lt 1$.
Faktisk er dette en universell algoritme for å løse alle slike ulikheter. Og alt annet som vil bli fortalt deg om dette emnet er bare spesifikke triks og triks for å forenkle og fremskynde transformasjonen. Her er et av triksene vi skal snakke om nå. :)
rasjonaliseringsmetode
Tenk på en annen gruppe ulikheter:
\[\begin(align) & ((\tekst( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\tekst( )\!\!\pi \!\!\tekst( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\venstre(2\sqrt(3)-3 \høyre))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \høyre))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]
Vel, hva er så spesielt med dem? De er også lette. Skjønt, stopp! Er pi hevet til en makt? Hva slags tull?
Og hvordan heve tallet $2\sqrt(3)-3$ til en potens? Eller $3-2\sqrt(2)$? Kompilatorene av problemene drakk åpenbart for mye "Hawthorn" før de satte seg ned for å jobbe. :)
Det er faktisk ikke noe galt med disse oppgavene. La meg minne deg på: en eksponentiell funksjon er et uttrykk på formen $((a)^(x))$, der grunntallet $a$ er et hvilket som helst positivt tall, bortsett fra ett. Tallet π er positivt - dette vet vi allerede. Tallene $2\sqrt(3)-3$ og $3-2\sqrt(2)$ er også positive - dette er lett å se hvis vi sammenligner dem med null.
Det viser seg at alle disse "skremmende" ulikhetene ikke er forskjellige fra de enkle diskuterte ovenfor? Og gjør de det på samme måte? Ja, helt rett. Men ved å bruke deres eksempel, vil jeg vurdere ett triks som sparer mye tid på selvstendig arbeid og eksamener. Vi vil snakke om metoden for rasjonalisering. Så oppmerksomhet:
Enhver eksponentiell ulikhet av formen $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ tilsvarer ulikheten $\left(xn \right)\cdot \left(a-1 \ høyre) \gt 0 $.
Det er hele metoden. :) Trodde du at det ville bli en slags neste kamp? Ingenting som dette! Men dette enkle faktum, bokstavelig skrevet på én linje, vil i stor grad forenkle arbeidet vårt. Ta en titt:
\[\begin(matrise) ((\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( ))^(x+7)) \gt ((\tekst( )\!\!\pi\ !\!\tekst( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Nedover \\ \venstre(x+7-\venstre(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( )-1 \right) \gt 0 \\\slutt(matrise)\]
Her er ikke flere eksponentielle funksjoner! Og du trenger ikke huske om skiltet endres eller ikke. Men et nytt problem oppstår: hva skal man gjøre med multiplikatoren \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Vi vet ikke hva den nøyaktige verdien av pi er. Kapteinen ser imidlertid ut til å antyde det åpenbare:
\[\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( )\ca. 3,14... \gt 3\Høyrepil \tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( )-1 \gt 3-1=2\]
Generelt sett plager ikke den nøyaktige verdien av π oss mye - det er bare viktig for oss å forstå at i alle fall $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. er en positiv konstant, og vi kan dele begge sider av ulikheten med den:
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\tekst( )-1 \høyre) \gt 0 \\ & x+7-\venstre(((x)^(2))-3x+2 \høyre) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \venstre| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Som du kan se, på et visst tidspunkt måtte vi dele på minus én, og ulikhetstegnet endret seg. På slutten utvidet jeg kvadrattrinomialet i henhold til Vieta-setningen - det er åpenbart at røttene er lik $((x)_(1))=5$ og $((x)_(2))=- 1$. Deretter løses alt med den klassiske metoden for intervaller:
Vi løser ulikheten ved hjelp av intervallmetoden Alle punkter er punktert fordi den opprinnelige ulikheten er streng. Vi er interessert i området med negative verdier, så svaret er $x\in \left(-1;5 \right)$. Det er løsningen. :)
La oss gå videre til neste oppgave:
\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
Alt er enkelt her, fordi det er en enhet til høyre. Og vi husker at en enhet er et hvilket som helst tall hevet til null. Selv om dette tallet er et irrasjonelt uttrykk, står ved basen til venstre:
\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3\høyre))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \høyre))^(0)); \\\end(align)\]
Så la oss rasjonalisere:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Det gjenstår bare å håndtere skiltene. Multiplikatoren $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ inneholder ikke variabelen $x$ - det er bare en konstant, og vi må finne ut fortegnet. For å gjøre dette, legg merke til følgende:
\[\begin(matrise) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2) -2 \right)=0 \\\end(matrise)\]
Det viser seg at den andre faktoren ikke bare er en konstant, men en negativ konstant! Og når du deler med det, vil tegnet på den opprinnelige ulikheten endres til det motsatte:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\venstre(x-2 \høyre) \gt 0. \\\end(align)\]
Nå blir alt ganske åpenbart. Røttene til kvadrattrinomialet til høyre er $((x)_(1))=0$ og $((x)_(2))=2$. Vi markerer dem på talllinjen og ser på tegnene til funksjonen $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:
Saken når vi er interessert i laterale intervaller Vi er interessert i intervallene merket med plusstegn. Det gjenstår bare å skrive ned svaret:
La oss gå videre til neste eksempel:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ høyre))^(16-x))\]
Vel, alt er ganske åpenbart her: basene er potenser av samme tall. Derfor vil jeg skrive alt kort:
\[\begin(matrise) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Nedover \\ ((\venstre(((3)^(-1)) \høyre))^((x)^(2) )+2x)) \gt ((\venstre(((3)^(-2)) \høyre))^(16-x)) \\\slutt(matrise)\]
\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ venstre(16-x\høyre))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \venstre| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Som du kan se, i prosessen med transformasjoner, måtte vi multiplisere med et negativt tall, så ulikhetstegnet endret seg. Helt på slutten brukte jeg igjen Vietas teorem for å faktorisere et kvadratisk trinomium. Som et resultat vil svaret være følgende: $x\in \left(-8;4 \right)$ - de som ønsker det kan verifisere dette ved å tegne en talllinje, markere punkter og telle tegn. I mellomtiden vil vi gå videre til den siste ulikheten fra vårt "sett":
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
Som du kan se, er basen igjen et irrasjonelt tall, og enheten er igjen til høyre. Derfor omskriver vi vår eksponentielle ulikhet som følger:
\[((\venstre(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\venstre(3-2\sqrt(2) \ høyre))^(0))\]
La oss rasjonalisere:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Imidlertid er det ganske åpenbart at $1-\sqrt(2) \lt 0$, siden $\sqrt(2)\ca. 1.4... \gt 1$. Derfor er den andre faktoren igjen en negativ konstant, som begge deler av ulikheten kan deles med:
\[\begin(matrise) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matrise)\]
\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \venstre| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\venstre(x-3 \høyre) \lt 0. \\\end(align)\]
Bytt til en annen base
Et eget problem ved å løse eksponentielle ulikheter er søket etter det "riktige" grunnlaget. Dessverre er det ved første øyekast på oppgaven langt fra alltid åpenbart hva man skal legge til grunn, og hva man skal gjøre som graden av dette grunnlaget.
Men ikke bekymre deg: det er ingen magi og "hemmelige" teknologier her. I matematikk kan enhver ferdighet som ikke kan algoritmes enkelt utvikles gjennom praksis. Men for dette må du løse problemer med forskjellige kompleksitetsnivåer. For eksempel er disse:
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\venstre(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ end(align)\]
Vanskelig? Skummelt? Ja, det er lettere enn en kylling på asfalten! La oss prøve. Første ulikhet:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))))\]
Vel, jeg tror alt er klart her:
Vi omskriver den opprinnelige ulikheten, og reduserer alt til basen "to":
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Høyrepil \venstre(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]
Ja, ja, du forsto det riktig: Jeg brukte nettopp rasjonaliseringsmetoden beskrevet ovenfor. Nå må vi jobbe forsiktig: vi har en brøk-rasjonell ulikhet (dette er en som har en variabel i nevneren), så før du likestiller noe til null, må du redusere alt til en fellesnevner og kvitte deg med konstantfaktoren .
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \venstre(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]
Nå bruker vi standard intervallmetoden. Tellernuller: $x=\pm 4$. Nevneren går til null bare når $x=0$. Totalt er det tre punkter som skal markeres på talllinjen (alle punkter er stanset ut, fordi ulikhetstegnet er strengt). Vi får:
Mer komplisert sak: tre røtter Som du kanskje gjetter, markerer skravering intervallene der uttrykket til venstre tar negative verdier. Derfor vil to intervaller gå inn i det endelige svaret på en gang:
Endene av intervallene er ikke inkludert i svaret fordi den opprinnelige ulikheten var streng. Ingen ytterligere validering av dette svaret er nødvendig. I denne forbindelse er eksponentielle ulikheter mye enklere enn logaritmiske: ingen DPV, ingen begrensninger, etc.
La oss gå videre til neste oppgave:
\[((\venstre(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
Det er ingen problemer her heller, siden vi allerede vet at $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, så hele ulikheten kan skrives om slik:
\[\begin(align) & ((\venstre(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Høyrepil ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\venstre(-2\høyre)\høyre. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]
Vær oppmerksom på: i den tredje linjen bestemte jeg meg for å ikke kaste bort tid på bagateller og umiddelbart dele alt med (−2). Minul gikk inn i den første braketten (nå er det plusser overalt), og toeren ble redusert med en konstant multiplikator. Dette er nøyaktig hva du bør gjøre når du gjør reelle beregninger for uavhengig og kontrollarbeid - du trenger ikke å male hver handling og transformasjon direkte.
Deretter kommer den kjente metoden med intervaller inn. Null i telleren: men det er ingen. Fordi diskriminanten vil være negativ. På sin side settes nevneren til null bare når $x=0$ - akkurat som forrige gang. Vel, det er klart at brøken vil ta positive verdier til høyre for $x=0$, og negative til venstre. Siden vi kun er interessert i negative verdier, er det endelige svaret $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]
Og hva bør gjøres med desimalbrøker i eksponentielle ulikheter? Det stemmer: bli kvitt dem ved å gjøre dem om til vanlige. Her oversetter vi:
\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\venstre(\frac(4)(25) \høyre))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Høyrepil ((\venstre(6,25 \høyre))^(x))=((\venstre(\ frac(25)(4) \høyre))^(x)). \\\end(align)\]
Vel, hva fikk vi i basene til eksponentielle funksjoner? Og vi fikk to gjensidige tall:
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ høyre))^(x))=((\venstre(((\venstre(\frac(4)(25) \høyre))^(-1)) \høyre))^(x))=((\ venstre(\frac(4)(25) \right))^(-x))\]
Dermed kan den opprinnelige ulikheten omskrives som følger:
\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \høyre))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(align)\]
Selvfølgelig, når du multipliserer potenser med samme base, summeres indikatorene deres, noe som skjedde i den andre linjen. I tillegg har vi representert enheten til høyre, også som en potens i base 4/25. Det gjenstår bare å rasjonalisere:
\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]
Merk at $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, dvs. den andre faktoren er en negativ konstant, og når det deles på den, vil ulikhetstegnet endres:
\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Høyrepil x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]
Til slutt, den siste ulikheten fra det nåværende "settet":
\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
I prinsippet er ideen om en løsning her også klar: alle eksponentielle funksjoner som utgjør ulikheten må reduseres til basen "3". Men for dette må du pusle litt med røtter og grader:
\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(align)\]
Gitt disse fakta, kan den opprinnelige ulikheten omskrives som følger:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2)) \høyre))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(align)\]
Vær oppmerksom på 2. og 3. linje med beregninger: før du gjør noe med ulikhet, sørg for å bringe det til den formen vi snakket om helt fra begynnelsen av leksjonen: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Så lenge du har venstre eller høyre venstre multiplikator, ekstra konstanter osv., ingen rasjonalisering og «overkryssing» av grunnene kan utføres! Utallige oppgaver har blitt gjort feil på grunn av en misforståelse av dette enkle faktum. Selv observerer jeg hele tiden dette problemet med elevene mine når vi akkurat begynner å analysere eksponentielle og logaritmiske ulikheter.
Men tilbake til vår oppgave. La oss prøve denne gangen å klare oss uten rasjonalisering. Vi husker: bunnen av graden er større enn én, så trippelene kan ganske enkelt krysses ut - ulikhetstegnet vil ikke endre seg. Vi får:
\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]
Det er alt. Endelig svar: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.
Fremheve et stabilt uttrykk og erstatte en variabel
Avslutningsvis foreslår jeg å løse ytterligere fire eksponentielle ulikheter, som allerede er ganske vanskelige for uforberedte studenter. For å takle dem, må du huske reglene for å jobbe med grader. Spesielt å sette vanlige faktorer utenfor parentes.
Men det viktigste er å lære å forstå: hva som kan settes i parentes. Et slikt uttrykk kalles stabilt - det kan betegnes med en ny variabel og dermed bli kvitt eksponentialfunksjonen. Så la oss se på oppgavene:
\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]
La oss starte med den aller første linjen. La oss skrive denne ulikheten separat:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
Legg merke til at $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, slik at høyresiden kan skrives om:
Merk at det ikke er andre eksponentielle funksjoner bortsett fra $((5)^(x+1))$ i ulikheten. Og generelt forekommer ikke variabelen $x$ noe annet sted, så la oss introdusere en ny variabel: $((5)^(x+1))=t$. Vi får følgende konstruksjon:
\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]
Vi går tilbake til den opprinnelige variabelen ($t=((5)^(x+1))$), og husker samtidig at 1=5 0 . Vi har:
\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(align)\]
Det er hele løsningen! Svar: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. La oss gå videre til den andre ulikheten:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
Alt er likt her. Legg merke til at $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Deretter kan venstre side skrives om:
\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \høyre. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Høyrepil ((3)^(x))\ge 9\Høyrepil ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Høyrepil x\in \venstre[ 2;+\infty \right). \\\end(align)\]
Det er omtrent slik du trenger å utarbeide et vedtak om reell kontroll og selvstendig arbeid.
Vel, la oss prøve noe vanskeligere. For eksempel, her er en ulikhet:
\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
Hva er problemet her? Først av alt er basene til eksponentialfunksjonene til venstre forskjellige: 5 og 25. Imidlertid 25 \u003d 5 2, så det første leddet kan transformeres:
\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]
Som du kan se, brakte vi først alt til samme base, og så la vi merke til at det første leddet lett reduseres til det andre - det er nok bare å utvide eksponenten. Nå kan vi trygt introdusere en ny variabel: $((5)^(2x+2))=t$, og hele ulikheten vil bli omskrevet slik:
\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]
Igjen, ikke noe problem! Endelig svar: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Gå videre til den endelige ulikheten i dagens leksjon:
\[((\venstre(0,5 \høyre))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]
Det første du bør være oppmerksom på er selvfølgelig desimalbrøken i grunnflaten av første grad. Det er nødvendig å kvitte seg med det, og samtidig bringe alle eksponentielle funksjoner til samme base - tallet "2":
\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\venstre(((2)^(-1)) \høyre))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Høyrepil ((16)^(x+1,5))=((\venstre(((2)^(4)) \høyre))^( x+1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]
Flott, vi har tatt det første steget – alt har ført til samme grunnlag. Nå må vi fremheve det stabile uttrykket. Legg merke til at $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Hvis vi introduserer en ny variabel $((2)^(4x+6))=t$, kan den opprinnelige ulikheten omskrives som følger:
\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(align)\]
Naturligvis kan spørsmålet oppstå: hvordan fant vi ut at 256 = 2 8? Dessverre, her trenger du bare å kjenne potensene til to (og samtidig potensene til tre og fem). Vel, eller del 256 med 2 (du kan dele, siden 256 er et partall) til vi får resultatet. Det vil se omtrent slik ut:
\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =(2)^(8)).\end(align )\]
Det samme er med de tre (tallene 9, 27, 81 og 243 er dens potenser), og med de syv (nummer 49 og 343 ville også vært fint å huske). Vel, de fem har også "vakre" grader som du trenger å vite:
\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(align)\]
Selvfølgelig kan alle disse tallene, hvis ønskelig, gjenopprettes i sinnet, ganske enkelt ved suksessivt å multiplisere dem med hverandre. Men når du må løse flere eksponentielle ulikheter, og hver neste er vanskeligere enn den forrige, så er det siste du vil tenke på potensene til noen tall der. Og slik sett er disse problemene mer komplekse enn de "klassiske" ulikhetene, som løses med intervallmetoden.
Jeg håper denne leksjonen hjalp deg med å mestre dette emnet. Hvis noe ikke er klart, spør i kommentarfeltet. Og vi sees i de neste veiledningene. :)
I denne leksjonen vil vi vurdere ulike eksponentielle ulikheter og lære hvordan vi løser dem basert på metoden for å løse de enkleste eksponentielle ulikhetene
1. Definisjon og egenskaper til eksponentialfunksjonen
Husk definisjonen og hovedegenskapene til en eksponentiell funksjon. Det er på egenskapene løsningen av alle eksponentielle ligninger og ulikheter er basert.
Eksponentiell funksjon er en funksjon av formen , der basen er graden og Her er x en uavhengig variabel, et argument; y - avhengig variabel, funksjon.
Ris. 1. Graf over eksponentialfunksjonen
Grafen viser en økende og avtagende eksponent, og illustrerer eksponentialfunksjonen ved en base som er større enn én og mindre enn én, men større enn null, henholdsvis.
Begge kurvene går gjennom punktet (0;1)
Egenskaper til eksponentialfunksjonen:
Domene: ;
Verdiområde: ;
Funksjonen er monoton, øker som , avtar som .
En monoton funksjon tar hver av sine verdier med en enkelt verdi av argumentet.
Når , når argumentet øker fra minus til pluss uendelig, øker funksjonen fra null, ikke inkluderende, til pluss uendelig, dvs. for gitte verdier av argumentet, har vi en monotont økende funksjon (). Når tvert imot, når argumentet øker fra minus til pluss uendelig, reduseres funksjonen fra uendelig til null, inklusive, dvs. for gitte verdier av argumentet, har vi en monotont avtagende funksjon ().
2. De enkleste eksponentielle ulikhetene, løsningsteknikk, eksempel
Basert på det foregående presenterer vi en metode for å løse de enkleste eksponentielle ulikhetene:
Metode for å løse ulikheter:
Utlik basene til gradene;
Sammenlign indikatorer, hold eller endre til motsatt tegn på ulikhet.
Løsningen av komplekse eksponentielle ulikheter består som regel i at de reduseres til de enkleste eksponentielle ulikhetene.
Grunnlaget for graden er større enn én, noe som betyr at ulikhetstegnet er bevart:
La oss transformere høyre side i henhold til egenskapene til graden:
Grunnlaget for graden er mindre enn én, ulikhetstegnet må reverseres:
For å løse en kvadratisk ulikhet løser vi den tilsvarende kvadratiske ligningen:
Ved Vietas teorem finner vi røttene:
Parabolens grener er rettet oppover.
Dermed har vi en løsning på ulikheten:
Det er lett å gjette at høyresiden kan representeres som en potens med null eksponent:
Grunnlaget for graden er større enn én, ulikhetstegnet endres ikke, vi får:
Husk prosedyren for å løse slike ulikheter.
Tenk på en rasjonell brøkfunksjon:
Finne definisjonsdomenet:
Vi finner røttene til funksjonen:
Funksjonen har en enkelt rot, 
Vi skiller ut intervaller for tegnkonstans og bestemmer funksjonens tegn på hvert intervall:
Ris. 2. Intervaller for tegnkonstans
Så vi fikk svaret.
Svar: 
3. Løsning av typiske eksponentielle ulikheter
Tenk på ulikheter med de samme eksponentene, men forskjellige baser.
En av egenskapene til en eksponentiell funksjon er at den tar strengt tatt positive verdier for alle verdiene av argumentet, noe som betyr at den kan deles inn i en eksponentiell funksjon. La oss dele den gitte ulikheten på dens høyre side:
Grunnlaget for graden er større enn én, ulikhetstegnet er bevart.
La oss illustrere løsningen:
Figur 6.3 viser grafene til funksjonene og . Selvfølgelig, når argumentet er større enn null, er grafen til funksjonen plassert høyere, denne funksjonen er større. Når verdiene til argumentet er negative, går funksjonen under, den er mindre. Hvis verdien av argumentet er lik, så er det gitte punktet også en løsning på den gitte ulikheten.
Ris. 3. Illustrasjon for eksempel 4
Vi transformerer den gitte ulikheten i henhold til egenskapene til graden:
Her er lignende medlemmer:
La oss dele begge deler inn i:
Nå fortsetter vi å løse på samme måte som eksempel 4, vi deler begge deler med:
Grunnlaget for graden er større enn én, ulikhetstegnet er bevart:
4. Grafisk løsning av eksponentielle ulikheter
Eksempel 6 - løs ulikheten grafisk:
Vurder funksjonene på venstre og høyre side og plott hver av dem.
Funksjonen er en eksponent, den øker over hele definisjonsdomenet, det vil si for alle reelle verdier av argumentet.
Funksjonen er lineær og avtar over hele definisjonsdomenet, det vil si for alle reelle verdier av argumentet.
Hvis disse funksjonene krysser hverandre, det vil si at systemet har en løsning, så er en slik løsning unik og kan lett gjettes. For å gjøre dette, iterer over heltall ()
Det er lett å se at roten til dette systemet er:
Dermed skjærer funksjonsgrafene i et punkt med et argument lik én.
Nå må vi få svar. Betydningen av den gitte ulikheten er at eksponenten må være større enn eller lik den lineære funksjonen, det vil si at den må være større enn eller lik den. Svaret er åpenbart: (Figur 6.4)
Ris. 4. Illustrasjon for eksempel 6
Så vi har vurdert løsningen av forskjellige typiske eksponentielle ulikheter. Deretter går vi til vurderingen av mer komplekse eksponentielle ulikheter.
Bibliografi
Mordkovich A. G. Algebra og begynnelsen av matematisk analyse. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravina O. V. Algebra og begynnelsen av matematisk analyse. - M.: Bustard. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. et al. Algebra og begynnelsen av matematisk analyse. - M.: Opplysning.
Matte. md. Matematikk-repetisjon. com. Diffur. kemsu. ru.
Hjemmelekser
1. Algebra og begynnelsen av analyse, karakterer 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, nr. 472, 473;
2. Løs ulikheten:
3. Løs ulikheten.
Eksponentielle ligninger og ulikheter er de ligningene og ulikhetene der det ukjente er inneholdt i eksponenten.
Løsningen av eksponentielle ligninger kommer ofte ned til å løse ligningen a x \u003d a b, der a\u003e 0, a ≠ 1, x er det ukjente. Denne ligningen har en enkelt rot x \u003d b, siden følgende teorem er sant:
Teorem. Hvis a > 0, a ≠ 1 og a x 1 = a x 2, så er x 1 = x 2.
La oss begrunne den vurderte påstanden.
Anta at likheten x 1 = x 2 ikke er oppfylt, dvs. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, så øker eksponentialfunksjonen y \u003d a x og derfor ulikheten a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >en x 2. I begge tilfeller fikk vi en motsetning til betingelsen a x 1 = a x 2 .
La oss vurdere flere oppgaver.
Løs ligningen 4 ∙ 2 x = 1.
Løsning.
Vi skriver ligningen på formen 2 2 ∙ 2 x = 2 0 - 2 x + 2 = 2 0 x = -2.
Svar. x = -2.
Løs ligning 2 3x ∙ 3 x = 576.
Løsning.
Siden 2 3x \u003d (2 3) x \u003d 8 x, 576 \u003d 24 2, kan ligningen skrives i formen 8 x ∙ 3 x \u003d 24 2 eller i formen 24 x \u003d 24 2.
Herfra får vi x = 2.
Svar. x = 2.
Løs ligningen 3 x + 1 - 2∙3 x - 2 = 25.
Løsning.
Hvis den felles faktoren er 3 x - 2 på venstre side, får vi 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) \u003d 25 - 3 x - 2 ∙ 25 \u003d 25,
hvorav 3 x - 2 = 1, dvs. x - 2 = 0, x = 2.
Svar. x = 2.
Løs ligningen 3 x = 7 x.
Løsning.
Siden 7 x ≠ 0, kan ligningen skrives som 3 x / 7 x = 1, derav (3/7) x = 1, x = 0.
Svar. x = 0.
Løs ligningen 9 x - 4 ∙ 3 x - 45 = 0.
Løsning.
Ved å erstatte 3 x \u003d a, reduseres denne ligningen til en kvadratisk ligning a 2 - 4a - 45 \u003d 0.
Ved å løse denne ligningen finner vi røttene: a 1 \u003d 9, og 2 \u003d -5, hvorfra 3 x \u003d 9, 3 x \u003d -5.
Ligningen 3 x = 9 har en rot 2, og ligningen 3 x = -5 har ingen røtter, siden eksponentialfunksjonen ikke kan ta negative verdier.
Svar. x = 2.
Å løse eksponentielle ulikheter kommer ofte ned til å løse ulikheter a x > a b eller a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.
La oss vurdere noen oppgaver.
Løs de 3 x ulikhetene< 81.
Løsning.
Vi skriver ulikheten på formen 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, så øker funksjonen y \u003d 3 x.
Derfor, for x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .
Altså for x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.
Svar. X< 4.
Løs ulikheten 16 x +4 x - 2 > 0.
Løsning.
Angi 4 x = t, så får vi den kvadratiske ulikheten t2 + t - 2 > 0.
Denne ulikheten gjelder for t< -2 и при t > 1.
Siden t = 4 x, får vi to ulikheter 4 x< -2, 4 х > 1.
Den første ulikheten har ingen løsning, siden 4 x > 0 for alle x ∈ R.
Vi skriver den andre ulikheten på formen 4 x > 4 0 , derfra x > 0.
Svar. x > 0.
Løs grafisk ligningen (1/3) x = x - 2/3.
Løsning.
1) La oss plotte grafene til funksjonene y \u003d (1/3) x og y \u003d x - 2/3.
2) Basert på figuren vår kan vi konkludere med at grafene til de betraktede funksjonene skjærer hverandre i et punkt med abscissen x ≈ 1. Verifikasjon beviser at
x \u003d 1 - roten til denne ligningen:
(1/3) 1 = 1/3 og 1 - 2/3 = 1/3.
Vi har med andre ord funnet en av røttene til ligningen. 
3) Finn andre røtter eller bevis at det ikke finnes noen. Funksjonen (1/3) x er avtagende, og funksjonen y \u003d x - 2/3 øker. Derfor, for x > 1, er verdiene til den første funksjonen mindre enn 1/3, og den andre er større enn 1/3; på x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 og x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.
Svar. x = 1.
Merk at fra løsningen av dette problemet, spesielt, følger det at ulikheten (1/3) x > x – 2/3 er tilfredsstilt for x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.
nettstedet, med hel eller delvis kopiering av materialet, kreves en lenke til kilden.
Leksjon og presentasjon om emnet: "Eksponentielle ligninger og eksponentielle ulikheter"
Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, tilbakemeldinger, forslag! Alt materiale kontrolleres av et antivirusprogram.
Læremidler og simulatorer i nettbutikken "Integral" for 11. klasse
Interaktiv manual for klasse 9-11 "Trigonometri"
Interaktiv manual for klasse 10-11 "Logarithms"
Definisjon av eksponentialligninger
Gutter, vi studerte eksponentielle funksjoner, lærte egenskapene deres og bygde grafer, analyserte eksempler på ligninger der eksponentielle funksjoner ble møtt. I dag skal vi studere eksponentielle ligninger og ulikheter.Definisjon. Ligninger av formen: $a^(f(x))=a^(g(x))$, hvor $a>0$, $a≠1$ kalles eksponentialligninger.
Når vi husker teoremene som vi studerte i emnet "Eksponentiell funksjon", kan vi introdusere et nytt teorem:
Teorem. Eksponentialligningen $a^(f(x))=a^(g(x))$, der $a>0$, $a≠1$ er ekvivalent med ligningen $f(x)=g(x) $.
Eksempler på eksponentialligninger
Eksempel.Løs ligninger:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Løsning.
a) Vi vet godt at $27=3^3$.
La oss omskrive ligningen vår: $3^(3x-3)=3^3$.
Ved å bruke teoremet ovenfor får vi at ligningen vår reduseres til ligningen $3x-3=3$, løser vi denne ligningen får vi $x=2$.
Svar: $x=2$.
B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Deretter kan ligningen vår skrives om: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) )=((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2x+0,2=$0,2.
$x=0$.
Svar: $x=0$.
C) Den opprinnelige ligningen tilsvarer ligningen: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ og $x_2=-3$.
Svar: $x_1=6$ og $x_2=-3$.
Eksempel.
Løs ligningen: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
Løsning:
Vi vil sekvensielt utføre en rekke handlinger og bringe begge delene av ligningen vår til samme base.
La oss utføre en rekke operasjoner på venstre side:
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
La oss gå videre til høyre side:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Den opprinnelige ligningen tilsvarer ligningen:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Svar: $x=0$.
Eksempel.
Løs ligningen: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Løsning:
La oss omskrive ligningen vår: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
La oss gjøre en endring av variabler, la $a=3^x$.
I de nye variablene vil ligningen ha formen: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ og $a_2=3$.
La oss utføre omvendt endring av variabler: $3^x=-12$ og $3^x=3$.
I den siste leksjonen lærte vi at eksponentielle uttrykk bare kan ta positive verdier, husk grafen. Dette betyr at den første ligningen ikke har noen løsninger, den andre ligningen har én løsning: $x=1$.
Svar: $x=1$.
La oss lage et notat om måter å løse eksponentielle ligninger på:
1. Grafisk metode. Vi representerer begge deler av ligningen som funksjoner og bygger deres grafer, finner skjæringspunktene til grafene. (Vi brukte denne metoden i forrige leksjon).
2. Prinsippet om likhet av indikatorer. Prinsippet er basert på at to uttrykk med samme base er like hvis og bare hvis gradene (eksponentene) til disse basene er like. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Endring av variabler metode. Denne metoden bør brukes hvis ligningen, når du endrer variabler, forenkler formen og er mye lettere å løse.
Eksempel.
Løs ligningssystemet: $\begin (tilfeller) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end(cases)$.
Løsning.
Vurder begge likningene til systemet separat:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Tenk på den andre ligningen:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
La oss bruke metoden for endring av variabler, la $y=2^(x+y)$.
Deretter vil ligningen ha formen:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ og $y_2=-3$.
La oss gå videre til de innledende variablene, fra den første ligningen får vi $x+y=2$. Den andre ligningen har ingen løsninger. Da er vårt innledende ligningssystem ekvivalent med systemet: $\begin (cases) x+3y=0, \\ x+y=2. \end(cases)$.
Trekk den andre likningen fra den første likningen, vi får: $\begin (tilfeller) 2y=-2, \\ x+y=2. \end(cases)$.
$\begin (tilfeller) y=-1, \\ x=3. \end(cases)$.
Svar: $(3;-1)$.
eksponentielle ulikheter
La oss gå videre til ulikheter. Når du løser ulikheter, er det nødvendig å ta hensyn til grunnlaget for graden. Det er to mulige scenarier for utvikling av hendelser ved løsning av ulikheter.Teorem. Hvis $a>1$, er den eksponentielle ulikheten $a^(f(x))>a^(g(x))$ ekvivalent med ulikheten $f(x)>g(x)$.
Hvis $0
Eksempel.
Løs ulikheter:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Løsning.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Vår ulikhet er ekvivalent med ulikheten:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.
B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) I ligningen vår er basen med en grad mindre enn 1, så når du erstatter en ulikhet med en tilsvarende, er det nødvendig å endre tegnet.
$2x-4>2$.
$x>3$.
C) Vår ulikhet er ekvivalent med ulikheten:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
La oss bruke intervallløsningsmetoden:
Svar: $(-∞;-5]U)