Membahagi bulatan kepada bahagian yang sama menggunakan kompas dan garis lurus. Membahagi bulatan kepada bahagian yang sama

Muka surat 2 daripada 6

PEMBAHAGIAN BULATAN KEPADA BAHAGIAN SAMA

Sesetengah bahagian mesin dan peranti mempunyai elemen yang sama rata di sekeliling lilitan, contohnya, bahagian dalam Rajah. 52-59. Apabila membuat lukisan bahagian tersebut, anda perlu mengetahui peraturan untuk membahagikan bulatan kepada bilangan bahagian yang sama.

Pembahagian bulatan kepada empat dan lapan bahagian yang sama banyak. Pada rajah. 52, a menunjukkan penutup yang mempunyai lapan lubang yang sama rata di sekeliling lilitan. Apabila membina lukisan kontur penutup (Rajah 52 G) Bahagikan bulatan kepada lapan bahagian yang sama. Ini boleh dilakukan dengan menggunakan segi empat sama dengan sudut 45 ° (Rajah 52, c), hipotenus segi empat sama mesti melalui pusat bulatan, atau dengan pembinaan.

Dua diameter bulatan yang saling berserenjang membahagikannya kepada empat bahagian yang sama (titik 7, 3, 5, 7 dalam Rajah 52, b). Untuk membahagi bulatan kepada lapan bahagian yang sama, teknik yang terkenal membahagikan sudut tepat dengan kompas kepada dua bahagian yang sama digunakan. Dapatkan mata 2, 4, 6, 8.

Pembahagian bulatan kepada tiga, enam dan dua belas bahagian yang sama. Dalam bebibir (Rajah 53, a) terdapat tiga lubang yang sama rata di sekeliling lilitan. Apabila melukis kontur bebibir (Rajah 53, d), adalah perlu untuk membahagikan bulatan kepada tiga bahagian yang sama.

Untuk mencari titik membahagi bulatan jejari R kepada tiga bahagian yang sama, cukup dari mana-mana titik pada bulatan, sebagai contoh, satu titik TETAPI, lukis lengkok dengan jejari R . Persilangan lengkok dengan bulatan memberikan dua titik yang dikehendaki 2 dan 3; titik pembahagian ketiga akan terletak pada persilangan paksi bulatan yang dilukis dari titik L dengan bulatan (Rajah 53, b).

Anda juga boleh membahagikan bulatan kepada tiga bahagian yang sama dengan segi empat sama dengan sudut 30 dan 60 ° (Rajah 53, c), hipotenus segi empat sama mesti melalui pusat bulatan.

Pada rajah. 54, b menunjukkan pembahagian bulatan dengan kompas kepada enam bahagian yang sama banyak. Dalam kes ini, pembinaan yang sama dilakukan seperti dalam Rajah. 53, b tetapi lengkok diterangkan bukan sekali, tetapi dua kali, dari titik dan jejari R sama dengan jejari bulatan.

Anda juga boleh membahagikan bulatan kepada enam bahagian yang sama dengan segi empat sama dengan sudut 30 dan 60 ° (Rajah 54, c). Pada rajah. 54, a penutup ditunjukkan, apabila melukis yang mana ia perlu membahagikan bulatan kepada enam bahagian.

Untuk membuat lukisan bahagian (Rajah 55, a), yang mempunyai 12 lubang sama rata di sepanjang bulatan, anda perlu membahagikan bulatan paksi kepada 12 bahagian yang sama (Rajah 55, d).

Apabila membahagi bulatan kepada 12 bahagian yang sama menggunakan kompas, anda boleh menggunakan teknik yang sama seperti semasa membahagi bulatan kepada enam bahagian yang sama (Rajah 54, b), tetapi lengkok dengan jejari R huraikan empat kali daripada mata 1, 7, 4 dan 10 (Gamb. 55, b).

Menggunakan segi empat sama dengan sudut 30 dan 60 °, diikuti dengan memutarkannya sebanyak 180 °, bahagikan bulatan kepada 12 bahagian yang sama (Rajah 55, dalam).

Pembahagian bulatan kepada lima, sepuluh dan tujuh bahagian yang sama banyak. Dalam dadu (Rajah 56, a) terdapat lima lubang yang sama rata di sekeliling lilitan. Apabila melukis dadu (Rajah 56, c), adalah perlu untuk membahagikan bulatan kepada lima bahagian yang sama. Melalui pusat O yang dimaksudkan (Rajah 56, b)

dengan bantuan segi empat sama T dan segi empat sama, garis paksi dilukis dan dari titik O mereka menerangkan bulatan diameter tertentu dengan kompas. Dari titik A dengan jejari R sama dengan jejari bulatan yang diberi, satu lengkok dilukis yang bersilang dengan bulatan pada titik n. Dari titik n, serenjang diturunkan ke garis tengah mengufuk, titik C diperoleh. Dari titik C dengan jejari R 1 sama dengan jarak dari titik C ke titik 1, lengkok dilukis yang memotong garis tengah mengufuk pada titik t Dari titik 1 dengan jejari R sama dengan jarak dari titik 1 ke titik m, lukis lengkok yang bersilang dengan bulatan di titik 2. Lengkok 12 ialah 1/5 daripada lilitan. Titik 3,4 dan 5 ditemui dengan mengetepikan segmen yang sama dengan m1 dengan kompas.

Perincian "asterisk" (Gamb. 57, a) mempunyai 10 elemen yang sama sama rata di sekeliling lilitan. Untuk melukis asterisk (Rajah 57, i), bulatan hendaklah dibahagikan kepada 10 bahagian yang sama. Dalam kes ini, pembinaan yang sama harus digunakan seperti apabila membahagikan bulatan kepada lima bahagian (lihat Rajah 56, b). Segmen garisan p 1 akan sama dengan kord yang membahagi bulatan kepada 10 bahagian yang sama.

Pada rajah. 58, a takal ditunjukkan, dan dalam rajah. 58, dalam- lukisan takal, di mana bulatan dibahagikan kepada tujuh bahagian yang sama.

Pembahagian bulatan kepada tujuh bahagian yang sama ditunjukkan dalam Rajah. 58b. Dari satu titik TAPI lengkok bantu dilukis dengan jejari R, sama dengan jejari bulatan yang diberi yang bersilang dengan bulatan pada satu titik. Dari satu titik n turunkan serenjang dengan garis tengah mendatar. Dari satu titik 1 jejari sama dengan segmen nc, buat tujuh serif di sekeliling lilitan dan dapatkan tujuh mata yang diingini.

Pembahagian bulatan kepada sebarang bilangan bahagian yang sama. Dengan ketepatan yang mencukupi, anda boleh membahagikan bulatan kepada sebarang bilangan bahagian yang sama, menggunakan jadual pekali untuk mengira panjang kord (Jadual 9).

Mengetahui berapa banyak (n) adalah perlu untuk membahagikan bulatan, cari pekali dari jadual. Apabila mendarab pekali k dengan diameter bulatan D, panjang kord l diperoleh, yang diplot dengan kompas pada bulatan n sekali.

Apabila membina lukisan cincin (Rajah 59, a) adalah perlu untuk membahagikan bulatan dengan diameter D \u003d 142 mm ke dalam 32 bahagian yang sama. Bilangan bahagian bulatan n=32 sepadan dengan pekali k=0.098. Kira panjang kord itu l= Dk= 142x0.098 \u003d 13.9 mm, ia diletakkan dengan kompas pada bulatan 32 kali (Rajah 59, b dan dalam).

Dan pembinaan poligon bertulis biasa

Membahagi bulatan kepada 3, 6 dan 12 bahagian yang sama. Pembinaan segi tiga bertulis biasa, heksagon dan dodekagon.

Untuk membina segi tiga bertulis biasa, ia perlu dari satu titik TAPI persilangan garis tengah dengan bulatan ketepikan saiz yang sama dengan jejari R, ke satu pihak dan yang lain. Kami mendapat bucu 1 dan 2( nasi. 26, a). Puncak 3 terletak pada titik bertentangan TAPI hujung diameter.

1/3 1/6 1/12

a B C)

nasi. 26

Sisi heksagon adalah sama dengan jejari bulatan. Pembahagian kepada 6 bahagian ditunjukkan dalam rajah. 26, b.

Untuk membahagikan bulatan kepada 12 bahagian, adalah perlu untuk mengetepikan saiz yang sama dengan jejari pada bulatan dalam satu arah dan yang lain dari empat pusat (Rajah 26, dalam).

Membahagi bulatan kepada 4 dan 8

segi empat dan oktagon bertulis.

nasi. 27

Bulatan dibahagikan kepada 4 bahagian dengan dua garis tengah yang saling berserenjang. Untuk membahagi kepada 8 bahagian, satu lengkok bersamaan dengan suku bulatan mesti dibahagikan kepada separuh ( Rajah 27.)

Membahagi bulatan kepada 5 dan 10 bahagian yang sama. Membina yang betul

pentagon dan dekagon bertulis.

1/5 1/10

a) b)

nasi. 28

Separuh daripada sebarang diameter (jejari) dibahagikan kepada separuh ( nasi. 28, a), dapatkan mata N. Dari satu titik N, seperti dari pusat, lukis lengkok dengan jejari R1, sama dengan jarak dari titik N to the point TAPI, sehingga ia bersilang dengan separuh kedua diameter ini, pada titik R. Segmen garisan AR sama dengan kord yang mencakar lengkok yang panjangnya ialah 1/5 daripada lilitan. Membuat serif pada bulatan dengan jejari R2, sama dengan segmen AR, bahagikan bulatan kepada lima bahagian yang sama banyak. Titik permulaan dipilih bergantung pada lokasi pentagon. ( ! Tidak mustahil untuk melakukan serif dalam satu arah, kerana ralat berlaku dan bahagian terakhir pentagon ternyata condong.)

Pembahagian bulatan kepada 10 bahagian yang sama dilakukan sama seperti pembahagian bulatan kepada lima bahagian yang sama ( nasi. 28b), tetapi mula-mula bahagikan bulatan kepada lima bahagian, bermula pembinaan dari titik A, dan kemudian dari titik B, terletak di hujung bertentangan diameter. Boleh digunakan untuk melukis segmen ATAU- panjangnya sama dengan kord 1/10 lilitan.

Membahagi bulatan kepada 7 bahagian yang sama.

1/7

a B C)

nasi. 29

Dari mana-mana sahaja (cth. TAPI) bulatan, dengan jejari bulatan tertentu, lukis lengkok sehingga ia bersilang dengan bulatan pada titik AT dan D (Rajah 29, a). Dengan menyambungkan titik AT dan D lurus, kena potong matahari, sama dengan kord yang menyerikan lengkok yang 1/7 daripada lilitan. Serif dilakukan dalam urutan yang ditunjukkan pada nasi. 29 b.

berpasangan

Selalunya dalam reka bentuk bahagian, satu permukaan melepasi yang lain. Biasanya peralihan ini dibuat dengan lancar, yang meningkatkan kekuatan bahagian dan menjadikannya lebih mudah untuk digunakan. Berpasangan adalah peralihan yang lancar dari satu baris ke baris yang lain. Pembinaan konjugasi turun kepada tiga perkara: 1) menentukan pusat konjugasi; 2) mencari titik simpang; 3) pembinaan lengkok konjugasi jejari tertentu. Untuk membina pasangan, jejari pasangan paling kerap ditentukan. Pusat dan titik simpang ditakrifkan secara grafik.

Pembahagian bulatan kepada 3 bahagian yang sama.

Untuk membahagikan bulatan berjejari R kepada 3 bahagian yang sama dan menulis segitiga sama sisi ke dalamnya, dari titik persilangan diameter dengan bulatan (contohnya, dari titik A), lengkok tambahan jejari R diterangkan sebagai dari pusat.Mata 2 dan 3 diperoleh.Mata 1, 2, 3 membahagi bulatan kepada tiga bahagian yang sama. Dengan menyambungkan garis lurus titik 1, 2, 3 membina segi tiga sama sisi.

Pembahagian bulatan kepada 6 bahagian yang sama.

Untuk membahagikan bulatan kepada 6 bahagian yang sama, dua lengkok jejari R dilukis daripada dua titik bertentangan (1 dan 4) persilangan diameter dengan bulatan. Mata (2, 3, 5, 6) diperolehi. Bersama-sama dengan mata yang diperolehi di persimpangan diameter dengan bulatan, dia membahagikan bulatan kepada 6 bahagian yang sama.

Membahagi bulatan kepada 12 bahagian yang sama.

Untuk membahagikan bulatan kepada 12 bahagian yang sama daripada empat titik persilangan paksi simetri dengan bulatan, 4 lengkok jejari R diterangkan. Titik yang diperoleh, bersama-sama dengan yang diperoleh dengan melintasi paksi simetri dengan bulatan, bahagikan bulatan kepada 12 bahagian yang sama.

Jenis penetapan bahagian dalam lukisan

Untuk menunjukkan bentuk melintang bahagian, gunakan imej yang dipanggil bahagian (Gamb. 13). Untuk mendapatkan bahagian, bahagian itu dibedah secara mental oleh satah pemotongan khayalan di tempat di mana bentuknya perlu didedahkan. Angka yang diperoleh hasil daripada memotong bahagian dengan satah pemotongan digambarkan dalam lukisan. Oleh itu keratan ialah imej rajah yang diperoleh dengan membedah secara mental objek oleh satah atau beberapa satah.

Bahagian hanya menunjukkan apa yang diperoleh secara langsung dalam satah pemotongan.

Untuk kejelasan lukisan, bahagian diserlahkan dengan penetasan. Garis penetasan selari condong dilukis pada sudut 45 ° ke garisan bingkai lukisan, dan jika ia bertepatan dengan arah dengan garis kontur atau garis tengah, maka pada sudut 30 ° atau 60 °.

Bahagian terdedah.

Kontur bahagian yang diberikan digariskan dengan garis tebal pepejal dengan ketebalan yang sama seperti garis yang digunakan untuk kontur imej yang boleh dilihat. Jika bahagian itu dikeluarkan, maka, sebagai peraturan, garis terbuka dilukis, dua pukulan tebal, dan anak panah menunjukkan arah pandangan. Dari luar anak panah, huruf besar yang sama digunakan. Di atas bahagian, huruf yang sama ditulis melalui sengkang dengan garis nipis di bawah. Jika bahagian itu adalah angka simetri dan terletak pada kesinambungan garis keratan (garis putus-putus), maka tiada sebutan digunakan.

Bahagian tumpang tindih.

Kontur bahagian bertindih ialah garis nipis pepejal (S/2 - S/3), dan kontur pandangan di lokasi bahagian bertindih tidak terganggu. Bahagian bertindih biasanya tidak ditunjukkan. Tetapi jika bahagian itu bukan angka simetri, sebatan garis terbuka dan anak panah dilukis, tetapi huruf tidak digunakan.

Penamaan bahagian

Kedudukan satah pemotongan ditunjukkan dalam lukisan oleh garis bahagian - garis terbuka, yang dilukis dalam bentuk pukulan berasingan yang tidak bersilang dengan kontur imej yang sepadan. Ketebalan pukulan diambil dalam julat dari $ hingga 1 1/2 S, dan panjangnya adalah dari 8 hingga 20 mm. Pada pukulan awal dan akhir, berserenjang dengannya, pada jarak 2-3 mm dari penghujung pukulan, letakkan anak panah yang menunjukkan arah pandangan. Pada permulaan dan penghujung baris bahagian, mereka meletakkan huruf besar abjad Rusia yang sama. Huruf digunakan berhampiran anak panah yang menunjukkan arah pandangan dari luar, rajah. 12. Di atas bahagian, inskripsi dibuat mengikut jenis A-A. Jika bahagian berada dalam jurang antara bahagian-bahagian jenis yang sama, maka dengan angka simetri, garisan bahagian tidak melepasi R4. Bahagian itu boleh diputar, maka simbol A-A mesti ditambah pada tulisan

bertukar O, iaitu A-AO.

Dengan bantuan kompas dan garis lurus, adalah mungkin untuk membahagikan bulatan kepada lebih daripada beberapa bahagian. Ahli matematik telah membuktikan bahawa adalah mungkin untuk membahagikan kepada 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, ..., 257, ... bahagian, tetapi tidak kepada 7, 9, 11, 13, 14, ... bahagian .

Malangnya, tidak ada satu cara untuk membahagikan. Mari kita lihat yang paling penting.

1) Pembahagian bulatan kepada 6, 3, 12, 24, …, 3×2 k (k=0,1,2,3,…) bahagian yang sama.

Bermula dengan membahagi bulatan kepada 6 bahagian. Untuk melakukan ini, dengan penyelesaian kompas yang sama dengan mana bulatan dilukis, dari mana-mana titik pada bulatan, seperti dari pusat, adalah perlu untuk melukis bulatan. Kemudian ulangi prosedur, mengambil sebagai pusat titik persilangan bulatan awal dan baru.

Untuk membahagikan bulatan kepada 3 bahagian, anda perlu membahagikannya kepada 6 bahagian dan mengambil mata melalui satu (Rajah 5a). Untuk membahagikan bulatan kepada 12 bahagian, anda perlu membahagikannya kepada 6 bahagian dan membahagikan setiap lengkok kepada separuh, kemudian proses membahagikan lengkok kepada separuh boleh diteruskan selama-lamanya.

Panjang serenjang yang dijatuhkan dari tengah bulatan ke sisi heksagon adalah anggaran yang baik untuk panjang sisi heptagon yang tertera dalam bulatan (ditunjukkan dalam lorekan dalam Rajah 5a). Panjang serenjang ≈0.866R, panjang sisi heptagon ≈0.868R – ketepatan ≈2%.

2) Pembahagian bulatan kepada 2, 4, 8, 16,…, 2 k (k=1,2,3,…) bahagian yang sama.

Anda boleh membahagi bulatan kepada 2 bahagian menggunakan pembaris dengan melukis garis lurus melalui pusat bulatan. Tetapi adalah mungkin untuk menangguhkan jejari bulatan dari mana-mana titik bulatan sebanyak 3 kali. Titik permulaan dan penamat membelah bulatan (diameter boleh dilukis melaluinya - Rajah 5a). Untuk membahagikan bulatan kepada 4 bahagian, adalah perlu untuk membahagikan arka yang terhasil separuh. Pelaksanaan pembahagian lengkok yang terhasil secara konsisten pada separuh memastikan pembahagian bulatan menjadi 8, 16, dsb. bahagian.

3) Pembahagian bulatan kepada 5 bahagian.

Kaedah pembinaan yang diguna pakai dalam lukisan menggunakan nisbah antara sisi dekagon biasa ( a 10) dan pentagon sekata ( a 5)- a 5 2 = R 2 + a 10 2 . Pembinaan dijalankan seperti berikut. Mari kita lukis 2 garis serenjang melalui pusat bulatan O. A dan B ialah titik persilangan mereka dengan bulatan. Dari titik A, seperti dari pusat, kita melukis bulatan dengan jejari yang sama (kita dapati tengah segmen AO - titik C). Dari tengah segmen AO titik C, kita lukis satu lagi bulatan jejari CB. Segmen BE adalah sama dengan sisi pentagon, OE adalah sama dengan dekagon (Rajah 5b).

Anda boleh membahagi bulatan kepada 5 dan 10 bahagian mengikut cara yang ditunjukkan dalam Rajah 5c. Segmen BC ialah sisi pentagon, AC ialah sisi dekagon. Mengenai sifat luar biasa pentagon dan dekagon dan mengapa kaedah pembinaan yang ditunjukkan dalam Rajah 5c adalah betul, kami akan memberitahu dalam bab seterusnya.

Madrasah Kukeldash (abad XVI, Tashkent)

Rajah 5d menunjukkan penerimaan penyelesaian geometri anggaran kepada masalah membahagi bulatan kepada sebarang bilangan bahagian. Biarkan, sebagai contoh, ia diperlukan untuk membahagikan bulatan yang diberikan kepada 7 bahagian yang sama. Kami membina segi tiga sama sisi ABC pada diameter bulatan AB dan membahagikan diameter AB dengan titik D berhubung dengan AD:AB=2:7 (umumnya 2:n). Untuk melakukan ini, anda perlu melukis garis tambahan, ketepikan n + 2 segmen yang sama di atasnya, sambungkan titik ekstrem dengan titik B dan lukis garis selari dengan garis BF melalui titik kedua. Lukis garis DC ke persilangan dengan bulatan. Arka AE akan menjadi bahagian ke-7 bulatan (dalam kes umum, ke-n). Kaedah ini untuk n<11 дает погрешность не более 1%.

Algoritma untuk membahagikan bulatan kepada bahagian yang sama boleh digunakan, sebagai contoh, untuk membina titik rujukan untuk lingkaran - lingkaran Archimedes, dinamakan sempena ahli sains Yunani kuno yang hebat Archimedes (abad III SM), yang pertama kali mengkaji garis ini, dan lingkaran logaritma. .

Hari ini dalam siaran saya menyiarkan beberapa gambar kapal dan gambar rajah untuk mereka untuk sulaman dengan benang iso (gambar boleh diklik).

Pada mulanya, perahu layar kedua dibuat pada carnation. Dan kerana carnation mempunyai ketebalan tertentu, ternyata dua benang berlepas dari masing-masing. Selain itu, melapis satu layar pada yang kedua. Akibatnya, kesan tertentu dari membelah imej muncul di mata. Jika anda menyulam kapal pada kadbod, saya fikir ia akan kelihatan lebih menarik.
Bot kedua dan ketiga agak mudah untuk disulam daripada yang pertama. Setiap layar mempunyai titik tengah (di bahagian bawah layar) dari mana sinar memanjang ke titik di sepanjang perimeter layar.
bergurau:
- Adakah anda mempunyai benang?
- Terdapat.
- Dan yang keras?
- Ia hanya mimpi ngeri! Saya takut untuk datang!

Debut pertama saya Kelas induk. Semoga bukan yang terakhir. Kami akan menyulam burung merak. Gambar rajah produk.Apabila menandakan tempat tusukan, beri perhatian khusus supaya ia berada dalam kontur tertutup nombor genap.Asas gambar adalah padat kadbod(Saya mengambil coklat dengan ketumpatan 300 g / m2, anda boleh mencubanya dengan warna hitam, maka warna akan kelihatan lebih cerah), lebih baik dicelup pada kedua-dua belah pihak(untuk penduduk Kiev - saya mengambilnya di jabatan alat tulis di Central Department Store di Khreshchatyk). Benang- flos (mana-mana pengilang, saya mempunyai DMC), dalam satu benang, i.e. kami membuka berkas menjadi gentian individu. Sulaman terdiri daripada tiga lapisan benang. Pada mulanya kami menyulam lapisan pertama dalam bulu di kepala burung merak, sayap (warna benang biru muda), serta bulatan biru tua pada ekor menggunakan kaedah lantai. Lapisan pertama badan disulam dengan kord dengan nada berubah-ubah, cuba membuat benang berjalan secara tangen ke kontur sayap. Kemudian kami menyulam ranting (jahitan serpentin, benang berwarna mustard), daun (pertama hijau tua, kemudian yang lain ...