Riyazi oyun nəzəriyyəsi. İdarəetmə praktikasında oyun nəzəriyyəsindən istifadə
IN son illər Oyun nəzəriyyəsinin əhəmiyyəti iqtisadiyyatın bir çox sahələrində əhəmiyyətli dərəcədə artmışdır və ictimai elmlər. İqtisadiyyatda bu, təkcə ümumi iqtisadi problemlərin həlli üçün deyil, həm də müəssisələrin və inkişafların strateji problemlərinin təhlili üçün tətbiq olunur. təşkilati strukturlar və həvəsləndirmə sistemləri.
Artıq 1944-cü ildə J. Neumann və O. Morgenstern tərəfindən "Oyun nəzəriyyəsi və iqtisadi davranış" monoqrafiyasının nəşri hesab edilən başlanğıc anında bir çoxları yeni yanaşmanın istifadəsi sayəsində iqtisad elmlərində inqilab olacağını proqnozlaşdırdılar. Bu proqnozları çox cəsarətli hesab etmək olmazdı, çünki əvvəldən bu nəzəriyyə iqtisadi və sosial elmlərin əksər aktual problemləri üçün xarakterik olan bir-biri ilə əlaqəli situasiyalarda qərar qəbul edərkən rasional davranışı təsvir etdiyini iddia edirdi. Strateji davranış, rəqabət, əməkdaşlıq, risk və qeyri-müəyyənlik kimi tematik sahələr oyun nəzəriyyəsinin açarıdır və idarəetmə problemləri ilə birbaşa bağlıdır.
Oyun nəzəriyyəsi üzrə ilk əsərlər sadələşdirilmiş fərziyyələr və yüksək dərəcədə formal abstraksiya ilə xarakterizə olunurdu ki, bu da onlardan çox az istifadə edirdi. praktik istifadə. Son 10-15 il ərzində vəziyyət kəskin şəkildə dəyişdi. Sənaye iqtisadiyyatının sürətli inkişafı tətbiqi sahədə oyun üsullarının məhsuldarlığını göstərdi.
Son zamanlar bu üsullar idarəetmə praktikasına daxil olmuşdur. Çox güman ki, oyun nəzəriyyəsi, əməliyyat dəyəri və himayəçi-agent nəzəriyyələri ilə birlikdə təşkilat nəzəriyyəsinin ən iqtisadi cəhətdən əsaslandırılmış elementi kimi qəbul ediləcəkdir. Qeyd etmək lazımdır ki, artıq 80-ci illərdə M.Porter nəzəriyyənin bəzi əsas anlayışlarını, xüsusən də “strateji hərəkət” və “oyunçu” kimi anlayışları tətbiq etmişdir. Düzdür, bu halda tarazlıq anlayışı ilə bağlı açıq təhlil hələ də yox idi.
Oyun nəzəriyyəsinin əsas prinsipləri
Oyunu təsvir etmək üçün əvvəlcə onun iştirakçılarını müəyyən etməlisiniz. Şahmat, kanasta və s. kimi adi oyunlara gəldikdə bu şərt asanlıqla qarşılanır. “Bazar oyunları” ilə bağlı vəziyyət fərqlidir. Burada bütün oyunçuları tanımaq həmişə asan deyil, yəni. hazırkı və ya potensial rəqiblər. Təcrübə göstərir ki, bütün oyunçuları müəyyən etmək lazım deyil, ən vaciblərini kəşf etmək lazımdır.
Oyunlar adətən oyunçuların ardıcıl və ya eyni vaxtda hərəkətlər etdiyi bir neçə dövrü əhatə edir. Bu hərəkətlər "hərəkət" termini ilə təyin olunur. Hərəkətlər qiymətlər, satış həcmi, tədqiqat və inkişaf xərcləri və s. ilə bağlı ola bilər. Oyunçuların hərəkət etdikləri dövrlər oyunun mərhələləri adlanır. Hər bir mərhələdə seçilən hərəkətlər son nəticədə hər bir oyunçunun maddi sərvətlərdə və ya pulda (əsasən endirimli mənfəət) ifadə oluna bilən “gəlişini” (qalib və ya itki) müəyyən edir.
Bu nəzəriyyənin digər əsas konsepsiyası oyunçu strategiyasıdır. Bu, oyunun hər mərhələsində oyunçuya müəyyən sayda alternativ variantlardan digər oyunçuların hərəkətlərinə "ən yaxşı cavab" kimi görünən hərəkəti seçməyə imkan verən mümkün hərəkətlərə aiddir. Strategiya anlayışına gəldikdə, qeyd etmək lazımdır ki, oyunçu öz hərəkətlərini yalnız müəyyən bir oyunun həqiqətən çatdığı mərhələlər üçün deyil, həm də bütün vəziyyətlər, o cümlədən müəyyən bir oyunun gedişi zamanı yarana bilməyəcək vəziyyətlər üçün müəyyən edir.
Oyunun təqdim olunduğu forma da vacibdir. Adətən ağac şəklində verilmiş normal və ya matris forması və genişlənmiş forması var. Sadə bir oyun üçün bu formalar Şəkildə göstərilmişdir. 1a və 1b.
Nəzarət sahəsi ilə ilk əlaqə yaratmaq üçün oyunu aşağıdakı kimi təsvir etmək olar. Oxşar məhsullar istehsal edən iki müəssisə seçim qarşısındadır. Bir halda, onlar yüksək qiymət təyin etməklə bazarda mövqe qazana bilərlər ki, bu da onlara orta kartel mənfəəti P K. Şiddətli rəqabətə girəndə hər ikisi qazanc əldə edir P W . Rəqiblərdən biri yüksək qiymət, ikincisi isə aşağı qiymət təyin edərsə, ikincisi inhisar mənfəəti P M həyata keçirir, digəri isə P G itkisinə məruz qalır. Oxşar vəziyyət, məsələn, hər iki firma öz qiymətini elan etməli olduqda yarana bilər, sonradan bu qiymətə yenidən baxıla bilməz.
Sərt şərtlər olmadığı halda, hər iki müəssisənin təyin edilməsi faydalıdır aşağı qiymət. İstənilən firma üçün “aşağı qiymət” strategiyası üstünlük təşkil edir: rəqabət aparan firma hansı qiyməti seçməsindən asılı olmayaraq, həmişə aşağı qiymət təyin etməyə üstünlük verilir. Lakin bu halda firmalar dilemma ilə üzləşirlər, çünki mənfəət P K (hər iki oyunçu üçün P W mənfəətindən yüksəkdir) əldə olunmur.
Müvafiq ödənişlərlə “aşağı qiymətlər/aşağı qiymətlər”in strateji birləşməsi Nash tarazlığını təmsil edir ki, bu zaman hər iki oyunçu üçün seçilmiş strategiyadan ayrı-ayrılıqda kənara çıxması əlverişsizdir. Bu tarazlıq konsepsiyası strateji vəziyyətlərin həllində əsasdır, lakin müəyyən şəraitdə hələ də təkmilləşdirmə tələb edir.
Yuxarıdakı dilemmaya gəldikdə, onun həlli, xüsusən də oyunçuların hərəkətlərinin orijinallığından asılıdır. Müəssisənin strateji dəyişənlərinə (bu halda qiymət) yenidən baxmaq imkanı varsa, oyunçular arasında sərt razılaşma olmadan da problemin kooperativ həlli tapıla bilər. İntuisiya göstərir ki, oyunçular arasında təkrar təmasda məqbul “kompensasiya” əldə etmək üçün imkanlar yaranır. Beləliklə, müəyyən şəraitdə gələcəkdə “qiymət müharibəsi” yarana biləcəyi halda qiymət dempinqi yolu ilə qısamüddətli yüksək mənfəət əldə etməyə çalışmaq yersizdir.
Qeyd edildiyi kimi, hər iki şəkil eyni oyunu xarakterizə edir. Normal vəziyyətdə oyunu normal formada təqdim etmək “sinxronluğu” əks etdirir. Bununla belə, bu, hadisələrin "eyni zamanda" olması demək deyil, oyunçunun strategiya seçimini rəqibin strategiya seçimindən xəbərsiz olaraq həyata keçirdiyini göstərir. Genişlənmiş formada bu vəziyyət oval boşluq (informasiya sahəsi) vasitəsilə ifadə edilir. Bu boşluq olmadıqda, oyun vəziyyəti fərqli bir xarakter alır: birincisi, bir oyunçu qərar verməli idi, digəri isə ondan sonra bunu edə bilərdi.
Strateji idarəetmə qərarlarının qəbulu üçün oyun nəzəriyyəsinin tətbiqi
Burada misal olaraq prinsipial qiymət siyasətinin həyata keçirilməsi, yeni bazarlara çıxış, əməkdaşlıq və birgə müəssisələrin yaradılması, innovasiya sahəsində liderlərin və icraçıların müəyyən edilməsi, şaquli inteqrasiya və s. ilə bağlı qərarları göstərmək olar. Bu nəzəriyyənin müddəaları, prinsipcə, bütün növ qərarlar üçün istifadə oluna bilər, əgər onların qəbul edilməsinə başqaları təsir edirsə personajlar. Bu şəxslər və ya oyunçular mütləq bazarda rəqib olmaq məcburiyyətində deyillər; onların rolu tədarükçülər, aparıcı müştərilər, təşkilatların işçiləri, habelə iş yoldaşları ola bilər.
Kvadrantlar 1 Və 2 rəqiblərin reaksiyasının şirkətin ödənişlərinə əhəmiyyətli təsir göstərmədiyi bir vəziyyəti xarakterizə edin. Bu, rəqibin motivasiyası olmadığı hallarda baş verir (sahə 1 ) və ya imkanlar (sahə 2 ) zərbəyə cavab vermək. Ona görə də ehtiyac yoxdur ətraflı təhlil rəqiblərin motivasiyalı hərəkətləri üçün strategiyalar.
Bənzər bir nəticə, fərqli bir səbəbdən və kvadrantın əks etdirdiyi vəziyyətə görə də gəlir 3 . Burada rəqiblərin reaksiyası şirkətə əhəmiyyətli dərəcədə təsir göstərə bilər, lakin onun öz hərəkətləri rəqibin ödənişlərinə böyük təsir göstərə bilmədiyi üçün onun reaksiyasından qorxmaq lazım deyil. Buna misal olaraq bazar nişinə daxil olmaq qərarlarını göstərmək olar: müəyyən şəraitdə böyük rəqiblərin kiçik bir şirkətin belə bir qərarına reaksiya vermək üçün heç bir səbəbi yoxdur.
Yalnız kvadrantda göstərilən vəziyyət 4 (bazar tərəfdaşları tərəfindən cavab addımlarının mümkünlüyü) oyun nəzəriyyəsi müddəalarından istifadəni tələb edir. Bununla belə, bunlar yalnız zəruri, lakin rəqiblərlə mübarizə üçün oyun nəzəriyyəsi çərçivəsinin istifadəsini əsaslandırmaq üçün kifayət deyil. Rəqibin hansı hərəkətləri etməsindən asılı olmayaraq, bir strategiya şübhəsiz ki, bütün digərlərində üstünlük təşkil edəcək vəziyyətlər var. Məsələn, dərman bazarını götürsək, o zaman bir şirkətin bazara ilk dəfə yeni məhsul təqdim etməsi çox vaxt vacibdir: “ilk hərəkət edənin” qazancı o qədər əhəmiyyətli olur ki, bütün digər “ oyunçular” yalnız innovativ fəaliyyətlərini sürətlə gücləndirə bilər.
Eyni oyun vəziyyəti normal formada təqdim edilə bilər (şək. 4). Burada iki hal var: “giriş/dost reaksiyası” və “girişsiz/aqressiv reaksiya”. Aydındır ki, ikinci tarazlıq qeyri-mümkündür. Genişləndirilmiş formadan belə çıxır ki, artıq bazarda öz yerini tutmuş şirkət üçün yeni rəqibin meydana çıxmasına aqressiv reaksiya vermək yersizdir: aqressiv davranışla mövcud inhisarçı 1 (ödəniş) alır, dostluq münasibəti ilə. davranış - 3. Autsayder şirkət də inhisarçının onu sıxışdırıb çıxarmaq üçün fəaliyyətə başlamasının rasional olmadığını bilir və buna görə də bazara daxil olmaq qərarına gəlir. Xarici şirkət (-1) ilə təhdid edilən itkiləri daşımayacaq.
Belə rasional tarazlıq qəsdən absurd hərəkətləri istisna edən "qismən təkmilləşdirilmiş" oyun üçün xarakterikdir. Praktikada belə tarazlıq hallarını, prinsipcə, tapmaq olduqca asandır. Tarazlıq konfiqurasiyaları istənilən sonlu oyun üçün əməliyyatların tədqiqi sahəsindən xüsusi alqoritmdən istifadə etməklə müəyyən edilə bilər. Qərar verən şəxs belə hərəkət edir: əvvəlcə oyunun son mərhələsində “ən yaxşı” gediş seçilir, sonra sonuncu mərhələdə seçimi nəzərə alınmaqla əvvəlki mərhələdə “ən yaxşı” gediş seçilir və s. , ağacın başlanğıc node oyunlarına çatana qədər.
Şirkətlər oyun nəzəriyyəsinə əsaslanan təhlildən necə faydalana bilər? Məsələn, IBM və Telex arasında maraqların toqquşması ilə bağlı məşhur bir hadisə var. Sonuncunun bazara daxil olmaq üçün hazırlıq planlarının elanı ilə əlaqədar olaraq, IBM rəhbərliyinin “böhran” iclası keçirildi, bu iclasda yeni rəqibi yeni bazara daxil olmaq niyyətindən əl çəkməyə məcbur edən tədbirlər təhlil edildi.
Görünür, Telex bu hadisələrdən xəbərdar olub. Oyun nəzəriyyəsinə əsaslanan təhlillər, IBM-ə olan təhdidlərdən qaynaqlandığını göstərdi yüksək xərclərəsassız.
Bu, şirkətlərin oyun tərəfdaşlarının mümkün reaksiyalarını açıq şəkildə nəzərdən keçirmələrinin faydalı olduğunu göstərir. Təcrid olunmuş iqtisadi hesablamalar, hətta qərar qəbuletmə nəzəriyyəsinə əsaslananlar da, təsvir edilən vəziyyətdə olduğu kimi, çox vaxt məhdud xarakter daşıyır. Beləliklə, ilkin təhlil onu bazara nüfuz etmənin inhisarçının aqressiv reaksiyasına səbəb olacağına inandırarsa, autsayder şirkət “girişsiz” hərəkəti seçə bilər. Bu halda, gözlənilən dəyər meyarına uyğun olaraq, 0,5 aqressiv reaksiya ehtimalı ilə "müdaxilə etməmək" hərəkətini seçmək məqsədəuyğundur.
Müəssisə üçün 1 müəssisə olsa yaxşı olar 2 yarışmaqdan imtina etdi. Bu halda onun faydası 3 (ödəniş) olacaqdır. Çox güman ki, müəssisə 2 Müəssisə rəqabətdə qalib gəldiyində 1 azaldılmış investisiya proqramını qəbul edərdi və müəssisə 2 - daha geniş. Bu mövqe matrisin yuxarı sağ kvadrantında əks olunur.
Vəziyyətin təhlili göstərir ki, tarazlıq müəssisənin yüksək elmi-tədqiqat xərcləri ilə baş verir 2 və aşağı müəssisələr 1 . İstənilən digər ssenaridə rəqiblərdən birinin strateji birləşmədən yayınmaq üçün səbəbi var: məsələn, müəssisə üçün 1 müəssisənin büdcəsinin azaldılmasına üstünlük verilir 2 müsabiqədə iştirakdan imtina edəcək; eyni zamanda müəssisəyə 2 Məlumdur ki, rəqibin xərcləri az olduqda, tədqiqat və inkişafa investisiya qoymaq onun üçün sərfəlidir.
Texnoloji üstünlüyə malik olan müəssisə son nəticədə özü üçün optimal nəticə əldə etmək üçün oyun nəzəriyyəsi əsasında vəziyyəti təhlil etməyə müraciət edə bilər. Müəyyən bir siqnalın köməyi ilə tədqiqat və inkişafa böyük xərclər etməyə hazır olduğunu göstərməlidir. Belə bir siqnal alınmazsa, o zaman müəssisə üçün 2 müəssisə olduğu aydındır 1 ucuz variantı seçir.
Siqnalın etibarlılığı müəssisənin öhdəlikləri ilə sübut edilməlidir. Bu halda bu, müəssisənin qərarı ola bilər 1 yeni laboratoriyaların alınması və ya əlavə tədqiqat işçilərinin işə götürülməsi haqqında.
Oyun nəzəriyyəsi nöqteyi-nəzərindən bu cür öhdəliklər oyunun gedişatını dəyişdirməyə bərabərdir: eyni vaxtda qərar qəbul etmə vəziyyəti ardıcıl hərəkətlər vəziyyəti ilə əvəz olunur. Şirkət 1 böyük məsrəflər etmək niyyətini qəti şəkildə nümayiş etdirir, müəssisə 2 bu addımı qeydə alır və onun artıq rəqabətdə iştirak etmək üçün heç bir səbəbi yoxdur. Yeni tarazlıq “müəssisənin iştirak etməməsi” ssenarisindən irəli gəlir 2 ” və “müəssisənin elmi-tədqiqat və inkişaf işlərinə yüksək məsrəflər 1 ”.
Oyun nəzəriyyəsinin istifadəsinə mühüm töhfələr gəlir eksperimental iş. Bir çox nəzəri hesablamalar laboratoriya şəraitində sınaqdan keçirilir və əldə edilən nəticələr praktikantlar üçün təkan rolunu oynayır. Nəzəri olaraq, eqoist fikirli iki tərəfdaşın hansı şərtlərdə əməkdaşlıq etməsinin və özləri üçün daha yaxşı nəticələr əldə etməsinin məqsədəuyğun olduğu aydınlaşdırıldı.
Bu bilik iki firmaya qalib/qazan vəziyyətinə nail olmaq üçün müəssisə təcrübəsində istifadə edilə bilər. Bu gün oyun sahəsində təlim keçmiş məsləhətçilər müştərilər, sub-təchizatçılar, inkişaf tərəfdaşları və s. ilə sabit, uzunmüddətli müqavilələr bağlamaq üçün bizneslərin istifadə edə biləcəyi imkanları tez və aydın şəkildə müəyyənləşdirirlər.
Praktik tətbiqi problemləri
idarəçilikdə
Bununla belə, qeyd etmək lazımdır ki, oyun nəzəriyyəsinin analitik vasitələrinin tətbiqi üçün müəyyən məhdudiyyətlər var. Aşağıdakı hallarda, yalnız əlavə məlumat əldə edildikdə istifadə edilə bilər.
Birincisi, bu, bizneslərin iştirak etdikləri oyunla bağlı müxtəlif təsəvvürlərə malik olduqları və ya bir-birlərinin imkanları haqqında kifayət qədər məlumatlı olmadıqları hallardır. Məsələn, rəqibin ödənişləri (xərc strukturu) haqqında aydın olmayan məlumatlar ola bilər. Çox mürəkkəb olmayan məlumat natamamlıqla xarakterizə olunursa, müəyyən fərqləri nəzərə alaraq oxşar halları müqayisə etməklə işləyə bilərsiniz.
İkincisi, oyun nəzəriyyəsini bir çox tarazlıq vəziyyətlərinə tətbiq etmək çətindir. Bu problem hətta eyni vaxtda strateji qərarlar qəbul edilən sadə oyunlar zamanı da yarana bilər.
Üçüncüsü, əgər strateji qərar vəziyyəti çox mürəkkəbdirsə, oyunçular çox vaxt özləri üçün ən yaxşı variantları seçə bilmirlər. Yuxarıda müzakirə ediləndən daha mürəkkəb bazara nüfuzetmə vəziyyətini təsəvvür etmək asandır. Məsələn, bazara fərqli terminlər Bir neçə müəssisə daxil ola bilər və ya artıq orada olan müəssisələrin cavabı aqressiv və ya dostluqdan daha mürəkkəb ola bilər.
Eksperimental olaraq sübut edilmişdir ki, oyun on və ya daha çox mərhələyə qədər genişləndikdə, oyunçular daha uyğun alqoritmlərdən istifadə edə və tarazlıq strategiyaları ilə oyunu davam etdirə bilmirlər.
Oyun nəzəriyyəsinin əsasını təşkil edən əsas fərziyyə “ ümumi bilik" Orada deyilir: bütün qaydaları olan oyun oyunçulara məlumdur və onların hər biri bütün oyunçuların oyundakı digər tərəfdaşların bildiklərindən xəbərdar olduğunu bilir. Və bu vəziyyət oyunun sonuna kimi qalır.
Ancaq müəssisənin müəyyən bir vəziyyətdə üstünlük verdiyi qərarı qəbul etməsi üçün bu şərt həmişə tələb olunmur. Bunun üçün “qarşılıqlı bilik” və ya “rasionallaşdırıla bilən strategiyalar” kimi daha az sərt ilkin şərtlər çox vaxt kifayətdir.
Sonda, xüsusilə vurğulamaq lazımdır ki, oyun nəzəriyyəsi çox mürəkkəb bilik sahəsidir. Onu idarə edərkən diqqətli olmalı və onun istifadəsinin sərhədlərini aydın şəkildə bilməlisiniz. İstər firmanın özü, istərsə də məsləhətçilərin köməyi ilə qəbul edilmiş çox sadə şərhlər gizli təhlükələrlə doludur. Mürəkkəbliyinə görə, oyun nəzəriyyəsinin təhlili və məsləhətləşmələr yalnız xüsusilə vacib problem sahələri üçün tövsiyə olunur. Firmaların təcrübəsi göstərir ki, birdəfəlik, prinsipial əhəmiyyətli planlaşdırılmış strateji qərarlar qəbul edilərkən, o cümlədən iri əməkdaşlıq müqavilələri hazırlanarkən müvafiq alətlərdən istifadəyə üstünlük verilir.
Bələdiyyə təhsil müəssisəsi
___ nömrəli tam orta məktəb
şəhər rayonu - Voljsky şəhəri, Volqoqrad vilayəti
Tələbələrin yaradıcılıq və tədqiqat işlərinin şəhər konfransı
"Həyat üçün riyaziyyat"
Elmi istiqamət - riyaziyyat
“Oyun nəzəriyyəsi və onun praktik tətbiqi”
9b sinif şagirdi
Bələdiyyə təhsil müəssisəsi 2 saylı tam orta məktəb
Elmi məsləhətçi:
riyaziyyat müəllimi N.D. Qriqoryeva
Giriş
Seçilmiş mövzunun aktuallığı onun tətbiqinin genişliyi ilə əvvəlcədən müəyyən edilir. Oyun nəzəriyyəsi sənaye təşkilatı nəzəriyyəsi, müqavilə nəzəriyyəsi, korporativ maliyyə nəzəriyyəsi və bir çox başqa sahələrdə mərkəzi rol oynayır. Oyun nəzəriyyəsinin tətbiq sahəsinə təkcə iqtisadi fənlər deyil, həm də biologiya, politologiya, hərbi elm və s.
Məqsəd bu layihənin əsas məqsədi tədqiqatları inkişaf etdirməkdir mövcud növlər oyunlar, eləcə də onların müxtəlif sənaye sahələrində praktiki tətbiqi imkanları.
Layihənin məqsədi vəzifələrini əvvəlcədən müəyyənləşdirdi:
Oyun nəzəriyyəsinin yaranma tarixi ilə tanış olmaq;
Oyun nəzəriyyəsinin konsepsiyasını və mahiyyətini müəyyənləşdirmək;
Oyunların əsas növlərini təsvir edin;
Bu nəzəriyyənin praktikada tətbiqinin mümkün sahələrini nəzərdən keçirin.
Layihənin obyekti oyun nəzəriyyəsi idi.
Tədqiqatın mövzusu oyun nəzəriyyəsinin mahiyyəti və praktikada tətbiqidir.
Əsərin yazılmasının nəzəri əsası olmuşdur iqtisadi ədəbiyyat J. von Neumann, Owen G., Vasin A.A., Morozov V.V., Zamkov O.O., Tolstopyatenko A.V., Cheremnıx Yu.N. kimi müəlliflər.
1. Oyun nəzəriyyəsinə giriş
1.1 Tarix
Oyun kimi xüsusi forma fəaliyyət nümayişi qeyri-adi uzun müddət əvvəl yaranmışdır. Arxeoloji qazıntılar oyun üçün istifadə olunan əşyaları aşkar edir. Qayaüstü rəsmlər bizə qəbilələrarası taktiki oyunların ilk əlamətlərini göstərir. Zamanla oyun təkmilləşdi və bir neçə tərəf arasında adi münaqişə formasına çatdı. Oyunun ailə əlaqələri praktik fəaliyyətlər az nəzərə çarpdı, oyun cəmiyyətin xüsusi fəaliyyətinə çevrildi.
Şahmat və ya kart oyunlarının tarixi bir neçə min il əvvələ gedirsə, nəzəriyyənin ilk eskizləri yalnız üç əsr əvvəl Bernullinin əsərlərində ortaya çıxdı. Əvvəlcə Puankare və Borelin əsərləri bizə oyun nəzəriyyəsinin təbiəti haqqında qismən məlumat verdi və yalnız J. von Neumann və O. Morgenstern-in fundamental işi bizə bu elm sahəsinin bütün bütövlüyünü və çox yönlülüyünü təqdim etdi.
J. Neumann və O. Morgensternin “Oyun nəzəriyyəsi və iqtisadi davranış” monoqrafiyası oyun nəzəriyyəsinin yaranma anı hesab olunur. 1944-cü ildə nəşr olunduqdan sonra bir çox elm adamları yeni yanaşma sayəsində iqtisad elmlərində inqilab olacağını proqnozlaşdırdılar. Bu nəzəriyyə müxtəlif elmi sahələrdə bir çox aktual problemlərin həllinə kömək edən bir-biri ilə əlaqəli vəziyyətlərdə rasional qərar qəbuletmə davranışını təsvir etdi. Monoqrafiyada strateji davranış, rəqabət, əməkdaşlıq, risk və qeyri-müəyyənliyin oyun nəzəriyyəsinin əsas elementləri olduğu və idarəetmə problemləri ilə birbaşa əlaqəli olduğu vurğulanmışdır.
Oyun nəzəriyyəsi üzrə ilkin iş onun fərziyyələrinin sadəliyi ilə səciyyələnirdi ki, bu da onu praktiki istifadə üçün daha az uyğun edirdi. Son 10-15 il ərzində vəziyyət kəskin şəkildə dəyişdi. Sənayedə irəliləyiş tətbiqi fəaliyyətlərdə oyun üsullarının məhsuldarlığını göstərdi.
Son zamanlar bu üsullar idarəetmə praktikasına daxil olmuşdur. Qeyd etmək lazımdır ki, artıq 20-ci əsrin sonlarında M.Porter nəzəriyyənin “strateji gediş” və “oyunçu” kimi bəzi anlayışlarını istifadəyə təqdim etmişdir ki, bu da sonradan əsas anlayışlardan birinə çevrilmişdir.
Hazırda iqtisadi və sosial elmlərin bir çox sahələrində oyun nəzəriyyəsinin əhəmiyyəti xeyli artmışdır. İqtisadiyyatda o, təkcə ümumi iqtisadi əhəmiyyət kəsb edən müxtəlif problemlərin həlli üçün deyil, həm də müəssisələrin strateji problemlərinin təhlili, idarəetmə strukturlarının və həvəsləndirici sistemlərin işlənib hazırlanması üçün tətbiq edilir.
1958-1959-cu illərdə 1965-1966-cı illərdə Sıfır məbləğli oyunlar və ciddi hərbi tətbiqlər sahəsində səylərin cəmlənməsi ilə xarakterizə olunan Sovet oyun nəzəriyyəsi məktəbi yaradıldı. Əvvəlcə bu, Amerika məktəbindən geri qalmağa səbəb oldu, çünki o zaman antaqonist oyunlarda əsas kəşflər artıq edilmişdi. SSRİ-də 1970-ci illərin ortalarına qədər riyaziyyatçılar. idarəetmə və iqtisadiyyat sahəsinə buraxılmadı. Və hətta sovet iqtisadi sistemi dağılmağa başlayanda da iqtisadiyyat oyun-nəzəri tədqiqatların əsas mərkəzinə çevrilmədi. Oyun nəzəriyyəsi ilə məşğul olan və hazırda məşğul olan ixtisaslaşmış institut Rusiya Elmlər Akademiyasının Sistem Təhlili İnstitutudur.
1.2 Oyun nəzəriyyəsinin tərifi
Oyun nəzəriyyəsi oyunlarda optimal strategiyaları öyrənmək üçün riyazi metoddur. Oyun iki və ya daha çox tərəfin iştirak etdiyi, öz maraqlarını həyata keçirmək üçün mübarizə apardığı bir prosesdir. Hər bir tərəfin öz məqsədi var və davranışından və digər oyunçuların davranışından asılı olaraq, qalib gəlməyə və ya məğlubiyyətə səbəb ola biləcək bəzi strategiyalardan istifadə edir. Oyun nəzəriyyəsi digər iştirakçıların mülahizələrini, onların resurslarını və nəzərdə tutulan hərəkətlərini nəzərə alaraq ən sərfəli strategiyaları seçməyə kömək edir.
Bu nəzəriyyə riyaziyyatın münaqişəli vəziyyətləri öyrənən bir qoludur.
Bütün ailə üzvlərinin ədalətli olduğunu tanıması üçün tortu necə bölmək olar? İdman klubu ilə oyunçular ittifaqı arasında əməkhaqqı mübahisəsini necə həll etmək olar? Hərrac zamanı qiymət müharibələrinin qarşısını necə almaq olar? Bunlar iqtisadi elmin əsas sahələrindən birinin - oyun nəzəriyyəsinin həll etdiyi problemlərin yalnız üç nümunəsidir
Bu elm sahəsi riyazi metodlardan istifadə etməklə münaqişələri təhlil edir. Nəzəriyyə öz adını ona görə aldı ki, münaqişənin ən sadə nümunəsi oyundur (məsələn, şahmat və ya tic-tac-toe). İstər oyunda, istərsə də münaqişədə hər bir oyunçunun öz məqsədləri olur və müxtəlif strateji qərarlar qəbul edərək onlara nail olmağa çalışır.
1.3 Münaqişə vəziyyətlərinin növləri
İstənilən sosial, sosial-iqtisadi hadisənin səciyyəvi cəhətlərindən biri də maraqların sayı və müxtəlifliyi, həmçinin bu maraqları ifadə etməyə qadir olan tərəflərin olmasıdır. Burada klassik nümunələr, bir tərəfdən bir alıcının, digər tərəfdən satıcının olduğu, bir neçə istehsalçının məhsulun qiymətinə təsir etmək üçün kifayət qədər güclə bazara daxil olduğu vəziyyətlərdir. Daha çox çətin vəziyyətlər maraqların toqquşmasında iştirak edən birliklər və ya qruplar olduqda, məsələn, mərc oynadıqda yaranır. əmək haqqı fəhlə və sahibkarların həmkarlar ittifaqları və ya assosiasiyaları tərəfindən parlamentdə səsvermənin nəticələri təhlil edilərkən və s.
Münaqişə həm də müxtəlif tərəflərin maraqlarını əks etdirən, eyni zamanda eyni şəxsin çoxtərəfli maraqlarını əks etdirən məqsədlər fərqindən də yarana bilər. Məsələn, iqtisadi siyasətçi adətən vəziyyətə qoyulan ziddiyyətli tələbləri (istehsal həcminin artırılması, gəlirlərin artırılması, ekoloji yükün azaldılması və s.) uzlaşdıraraq müxtəlif məqsədlər güdür. Münaqişə təkcə müxtəlif iştirakçıların şüurlu hərəkətləri nəticəsində deyil, həm də müəyyən “kortəbii qüvvələrin” (sözdə “təbiətlə oyunlar” halı) fəaliyyəti nəticəsində özünü göstərə bilər.
Oyun münaqişəni təsvir etmək üçün riyazi modeldir.
Oyunlar ciddi şəkildə müəyyən edilmiş riyazi obyektlərdir. Oyun oyunçular tərəfindən formalaşır, hər bir oyunçu üçün bir sıra strategiyalar və strategiyaların hər bir kombinasiyası üçün oyunçuların qazancları və ya gəlirləri.
Və nəhayət, oyun nümunələri adi oyunlardır: salon oyunları, idman oyunları, kart oyunları və s. Riyazi oyun nəzəriyyəsi məhz belə oyunların təhlili ilə başlamışdır; bu günə qədər bu nəzəriyyənin müddəalarını və nəticələrini təsvir etmək üçün əla material kimi xidmət edirlər. Bu oyunlar bu gün də aktualdır.
Deməli, sosial-iqtisadi hadisənin hər bir riyazi modeli konfliktin özünəməxsus xüsusiyyətlərinə malik olmalıdır, yəni. təsvir etmək:
a) bir çox maraqlı tərəflər. Oyunçuların sayı məhdud olduğu halda (əlbəttə), onlar öz saylarına və ya onlara verilən adlara görə fərqlənirlər;
b) hər bir tərəfin mümkün hərəkətləri, həmçinin strategiyalar və ya hərəkətlər;
c) oyunçuların hər biri üçün ödəmə (ödəniş) funksiyaları ilə təmsil olunan tərəflərin maraqları.
Oyun nəzəriyyəsində güman edilir ki, qazanc funksiyaları və hər bir oyunçu üçün mövcud olan strategiyalar toplusu ümumiyyətlə məlumdur, yəni. Hər bir oyunçu öz gəlir funksiyasını və ixtiyarında olan strategiyalar toplusunu, həmçinin bütün digər oyunçuların qazanc funksiyalarını və strategiyalarını bilir və davranışını bu məlumatlara uyğun formalaşdırır.
2 Oyun növləri
2.1 Məhbus dilemması
Oyun nəzəriyyəsinin populyarlaşmasına töhfə verən ən məşhur və klassik nümunələrindən biri məhbus dilemmasıdır. Oyun nəzəriyyəsində məhbus dilemması(adı "daha az istifadə olunur" quldur dilemması") oyunçuların fayda əldə etməyə çalışdıqları və ya əməkdaşlıq etdikləri və ya bir-birlərinə xəyanət etdikləri qeyri-kooperativ bir oyundur. Hamısında olduğu kimi oyun nəzəriyyəsi , güman edilir ki, oyunçu başqalarının xeyrinə fikir vermədən öz uduşlarını maksimuma çatdırır, yəni artırır.
Bu vəziyyəti nəzərdən keçirək. İki şübhəlinin istintaqı davam edir. İstintaqda kifayət qədər dəlil olmadığı üçün şübhəlilər bölündükdən sonra onların hər birinə sövdələşmə təklif olunub. Onlardan biri susarsa, digəri isə onun əleyhinə ifadə verərsə, birinciyə 10 il, ikincisi isə istintaqa köməklik göstərdiyi üçün azadlığa buraxılacaq. Hər ikisi sussa, 6 ay alacaqlar. Nəhayət, hər ikisi bir-birinə girov qoysalar, 2 il alacaqlar. Sual olunur: onlar hansı seçimi edəcəklər?
Cədvəl 1 – “Məhkumun dilemması” oyununda qazanc matrisi
Tutaq ki, bu ikisi öz itkilərini minimuma endirmək istəyən rasional insanlardır. Onda birincisi belə düşünə bilər: əgər ikincisi məni girov qoysa, onu da girov qoysam, mənim üçün daha yaxşı olar: bu yolla hərəmizə 2 il, əks halda 10 il alacağam. Ancaq ikincisi məni girov qoymasa, onu girov qoymağım daha yaxşıdır - o zaman məni dərhal buraxacaqlar. Ona görə də qarşı tərəf nə edirsə etsin, onu girov qoymaq mənim üçün daha sərfəlidir. İkincisi də başa düşür ki, hər halda birincini yerə qoysa yaxşıdır. Nəticədə hər ikisinə iki il verilir. Baxmayaraq ki, bir-birinin əleyhinə ifadə verməsəydilər, cəmi 6 ay alacaqdılar.
Məhbus dilemmasında, xəyanət ciddi şəkildə üstünlük təşkil edirəməkdaşlıq üzərində, buna görə də yeganə mümkün tarazlıq hər iki iştirakçının xəyanətidir. Sadəcə olaraq, digər oyunçunun nə etməsindən asılı olmayaraq, hər kəs xəyanət etsə, daha çox qazanacaq. İstənilən vəziyyətdə xəyanət etmək əməkdaşlıq etməkdən daha sərfəli olduğundan, bütün rasional oyunçular xəyanəti seçəcəklər.
Fərdi olaraq rasional davranarkən iştirakçılar birlikdə irrasional bir qərara gəlirlər. Dilemma da buradadır.
Bu dilemmaya bənzər münaqişələr həyatda tez-tez baş verir, məsələn, iqtisadiyyatda (reklam büdcəsinin müəyyən edilməsi), siyasətdə (silah yarışı), idmanda (steroidlərin istifadəsi). Buna görə də, məhbus dilemması və oyun nəzəriyyəsinin kədərli proqnozu geniş şəkildə məlum oldu və oyun nəzəriyyəsi sahəsində işləmək bir riyaziyyatçı üçün Nobel mükafatı almaq üçün yeganə fürsətdir.
2.2 Oyunların təsnifatı
Müxtəlif oyunların təsnifatı müəyyən bir prinsip əsasında həyata keçirilir: oyunçuların sayına görə, strategiyaların sayına görə, qalib funksiyaların xüsusiyyətlərinə görə, ilkin danışıqların mümkünlüyü və oyun zamanı oyunçular arasında qarşılıqlı əlaqə.
Oyunçuların sayından asılı olaraq iki, üç və ya daha çox iştirakçı ilə oyunlar var. Prinsipcə, sonsuz sayda oyunçu ilə oyunlar da mümkündür.
Başqa bir təsnifat prinsipinə görə, oyunlar strategiyaların sayına görə fərqlənir - sonlu və sonsuz. Sonlu oyunlarda iştirakçılar məhdud sayda mümkün strategiyaya malikdirlər (məsələn, atışma oyununda oyunçuların iki mümkün hərəkəti var - onlar "baş" və ya "quyruq" seçə bilərlər). Sonlu oyunlardakı strategiyaların özləri çox vaxt təmiz strategiyalar adlanır. Müvafiq olaraq, sonsuz oyunlarda oyunçuların sonsuz sayda mümkün strategiyaları var - məsələn, Satıcı-Alıcı vəziyyətində hər bir oyunçu satılan (alınan) məhsulun ona uyğun olan istənilən qiymətini və miqdarını adlandıra bilər.
Üçüncü üsul, oyunları təsnif etməkdir - uduş funksiyalarının xüsusiyyətlərinə görə (ödəniş funksiyaları). Oyun nəzəriyyəsində vacib bir hal, oyunçulardan birinin qazancının digərinin itkisinə bərabər olduğu vəziyyətdir, yəni. oyunçular arasında birbaşa münaqişə var. Belə oyunlara sıfır cəmi oyunlar və ya sıfır cəmi oyunlar deyilir. Toss və ya point oyunları antaqonist oyunların tipik nümunələridir. Bu tip oyunların bilavasitə əksi sabit fərqi olan və oyunçuların eyni vaxtda həm qalib, həm də uduzduğu oyunlardır ki, onların birlikdə hərəkət etməsi sərfəlidir. Bu ekstremal hallar arasında, oyunçular arasında həm münaqişələrin, həm də razılaşdırılmış hərəkətlərin olduğu bir çox sıfır məbləğli oyunlar var.
Oyunçular arasında ilkin danışıqların mümkünlüyündən asılı olaraq kooperativ və qeyri-kooperativ oyunlar fərqləndirilir. Kooperativ, oyun başlamazdan əvvəl oyunçuların koalisiyalar qurduğu və strategiyaları üzrə qarşılıqlı məcburi razılaşmalar bağladığı bir oyundur. Qeyri-kooperativ, oyunçuların strategiyalarını bu şəkildə əlaqələndirə bilmədiyi bir oyundur. Aydındır ki, bütün antaqonist oyunlar buna misal ola bilər kooperativ oyunlar. Kooperativ oyununa misal olaraq, səsvermə iştirakçılarının maraqlarına bu və ya digər şəkildə toxunan səsvermə yolu ilə qərar qəbul etmək üçün parlamentdə koalisiyaların yaradılması vəziyyətini göstərmək olar.
2.3 Oyun növləri
Simmetrik və asimmetrik
| A | B | |
| A | 1, 2 | 0, 0 |
| B | 0, 0 | 1, 2 |
| Asimmetrik oyun | ||
Oyunçuların müvafiq strategiyaları eyni gəlirə malik olduqda, yəni bərabər olduqda oyun simmetrik olacaq. Bunlar. oyunçuların yerlərini dəyişməsinə baxmayaraq, eyni hərəkətlər üçün uduşlar dəyişməzsə. Tədqiq olunan bir çox iki oyunçu oyunu simmetrikdir. Xüsusilə bunlar: “Məhkum dilemması”, “Maral ovu”, “Şahinlər və göyərçinlər”. Asimmetrik oyunlara "Ultimatum" və ya "Diktator" daxildir.
Sağdakı misalda, oxşar strategiyalara görə oyun ilk baxışda simmetrik görünə bilər, lakin bu belə deyil - axırda ikinci oyunçunun hər hansı strategiya (1, 1) və (2, 2) üçün qazancı olacaq. birincisindən daha böyük olsun.
Sıfır cəmi və sıfır olmayan cəmi
Sıfır məbləğli oyunlar sabit məbləğli oyunların xüsusi növüdür, yəni oyunçuların mövcud resursları və ya oyun fondunu artıra və ya azalda bilmədiyi oyunlardır. Bu halda, bütün uduşların cəmi istənilən gediş üçün bütün itkilərin cəminə bərabərdir. Sağa baxın - nömrələr oyunçulara ödənişləri təmsil edir - və hər bir xanada onların cəmi sıfırdır. Bu cür oyunlara misal olaraq digərlərinin mərclərini qazanan pokeri göstərmək olar; düşmən hissələrinin tutulduğu reversi; və ya sadə oğurluq.
Riyaziyyatçıların tədqiq etdiyi bir çox oyunlar, o cümlədən yuxarıda qeyd olunan Məhbus dilemması fərqli bir növdür: cəmi sıfır olmayan oyunlarda bir oyunçunun qələbəsi başqa bir oyunçunun məğlub olması demək deyil və əksinə. Belə bir oyunun nəticəsi sıfırdan az və ya çox ola bilər. Belə oyunlar sıfır məbləğə çevrilə bilər - bu, artıqlığı "mənimsəmiş" və ya kəsiri tamamlayan uydurma oyunçunu təqdim etməklə həyata keçirilir.
Həmçinin qeyri-sıfır məbləğli oyun ticarətdir, burada hər bir iştirakçı faydalanır. Bu növə dama və şahmat kimi oyunlar daxildir; son ikisində oyunçu üstünlük qazanaraq adi parçasını daha güclü birinə çevirə bilər. Bütün bu hallarda oyunun məbləği artır.
Kooperativ və qeyri-kooperativ
Oyunçular qruplar yarada, digər oyunçular qarşısında müəyyən öhdəliklər götürə və hərəkətlərini əlaqələndirə bilsələr, oyun kooperativ və ya koalisiya adlanır. Bu, hər kəsin özü üçün oynamalı olduğu qeyri-kooperativ oyunlardan fərqlənir. Əyləncəli oyunlar nadir hallarda əməkdaşlıq edirlər, lakin belə mexanizmlər gündəlik həyatda qeyri-adi deyil.
Çox vaxt güman edilir ki, kooperativ oyunları fərqli edən oyunçuların bir-biri ilə ünsiyyət qurma qabiliyyətidir. Ancaq bu həmişə doğru deyil, çünki ünsiyyətə icazə verilən oyunlar var, lakin iştirakçılar şəxsi məqsədlərini güdürlər və əksinə.
İki növ oyundan qeyri-kooperativlər situasiyaları ətraflı təsvir edir və daha dəqiq nəticələr verir. Kooperativlər oyun prosesini bütöv hesab edirlər.
Hibrid oyunlara kooperativ və qeyri-kooperativ oyun elementləri daxildir.
Məsələn, oyunçular qruplar yarada bilər, lakin oyun qeyri-kooperativ üslubda oynanılacaq. Bu o deməkdir ki, hər bir oyunçu öz qrupunun maraqlarını güdəcək, eyni zamanda şəxsi mənfəət əldə etməyə çalışacaq.
Paralel və serial
Paralel oyunlarda oyunçular eyni vaxtda hərəkət edirlər və ya hər kəs öz hərəkətini edənə qədər başqalarının seçimləri barədə məlumat verilmir. Ardıcıl və ya dinamik oyunlarda iştirakçılar əvvəlcədən müəyyən edilmiş və ya təsadüfi qaydada hərəkət edə bilər, lakin onlar başqalarının əvvəlki hərəkətləri haqqında da müəyyən məlumatlar alırlar. Bu məlumat hətta tam tam olmaya bilər; məsələn, bir oyunçu digərləri haqqında heç nə öyrənmədən rəqibinin on strategiyasından beşincisini tam olaraq seçmədiyini öyrənə bilər.
Tam və ya natamam məlumatlarla
Ardıcıl oyunların mühüm alt çoxluğu tam məlumatı olan oyunlardır. Belə bir oyunda iştirakçılar indiki ana qədər edilən bütün hərəkətləri, eləcə də rəqiblərinin mümkün strategiyalarını bilirlər ki, bu da onlara müəyyən dərəcədə oyunun sonrakı inkişafını proqnozlaşdırmağa imkan verir. Rəqiblərin cari hərəkətləri bilinmədiyi üçün paralel oyunlarda tam məlumat yoxdur. Riyaziyyatda öyrənilən oyunların əksəriyyəti natamam məlumat ehtiva edir. Məsələn, “Məhkum dilemması”nın bütün məqamı onun natamamlığındadır.
Eyni zamanda, tam məlumatlı oyunların maraqlı nümunələri var: şahmat, dama və s.
Tam məlumat anlayışı çox vaxt oxşar anlayışla - mükəmməl informasiya ilə qarışdırılır. Sonuncular üçün rəqiblər üçün mövcud olan bütün strategiyaları bilmək kifayətdir, onların bütün hərəkətlərini bilmək lazım deyil.
Sonsuz sayda addımlarla oyunlar
Oyunlar real dünya və ya iqtisadiyyatda öyrənilən oyunlar, bir qayda olaraq, məhdud sayda hərəkətə davam edir. Riyaziyyat o qədər də məhdud deyil və çoxluq nəzəriyyəsi xüsusilə qeyri-müəyyən müddətə davam edə bilən oyunlarla məşğul olur. Üstəlik, bütün gedişlərin sonuna qədər qalib və onun uduşu müəyyən edilmir...
Burada sual adətən optimal həll yolu deyil, heç olmasa qalib strategiya tapmaqdır. (Seçim aksiomundan istifadə edərək sübut etmək olar ki, bəzən hətta mükəmməl məlumatlı və iki nəticəli oyunlarda - “qazanmaq” və ya “udmaq” - oyunçuların heç birinin belə strategiyası yoxdur.)
Diskret və davamlı oyunlar
Tədqiq olunan oyunların əksəriyyətində oyunçuların, hərəkətlərin, nəticələr və hadisələrin sayı məhduddur, yəni. onlar diskretdir. Bununla belə, bu komponentlər bir çox real (material) ədədlərə qədər genişləndirilə bilər. Belə elementləri özündə birləşdirən oyunlar çox vaxt diferensial oyunlar adlanır. Onlar həmişə bir növ maddi miqyasla (adətən zaman miqyası ilə) əlaqələndirilir, baxmayaraq ki, onlarda baş verən hadisələr diskret xarakter daşıya bilər. Diferensial oyunlar öz tətbiqini mühəndislik və texnologiyada, fizikada tapır.
3. Oyun nəzəriyyəsinin tətbiqi
Oyun nəzəriyyəsi tətbiqi riyaziyyatın bir qoludur. Çox vaxt oyun nəzəriyyəsi üsulları iqtisadiyyatda, bir az daha az digər sosial elmlərdə - sosiologiya, politologiya, psixologiya, etika və başqalarında istifadə olunur. 1970-ci illərdən bəri heyvanların davranışını və təkamül nəzəriyyəsini öyrənmək üçün bioloqlar tərəfindən qəbul edilmişdir. Çox vacibdir riyaziyyatın bu sahəsinin süni intellekt və kibernetika üçün təsiri var, xüsusən də ağıllı agentlərə maraq.
Neumann və Morgenstern, əsasən iqtisadi nümunələri ehtiva edən orijinal kitabı yazdılar, çünki iqtisadi münaqişəni ədədi formada ifadə etmək ən asandır. İkinci Dünya Müharibəsi zamanı və ondan dərhal sonra hərbçilər oyun nəzəriyyəsi ilə ciddi maraqlanmağa başladılar, onlar bu nəzəriyyədə strateji qərarları öyrənmək üçün bir aparat gördülər. Sonra əsas diqqət yenidən yönəldilməyə başladı iqtisadi problemlər. Hal-hazırda oyun nəzəriyyəsinin tətbiq dairəsinin genişləndirilməsinə yönəlmiş çoxlu işlər görülür.
İki əsas tətbiq sahəsi hərbi və iqtisadiyyatdır. Oyun-nəzəri inkişaflardan raket/raket əleyhinə silahların avtomatik idarəetmə sistemlərinin layihələndirilməsində, radiotezliklərin satışı üzrə auksion formalarının seçilməsində, mərkəzi bankların maraqlarına uyğun olaraq pul dövriyyəsi modellərinin tətbiqi modelləşdirilməsində və s. Beynəlxalq əlaqələr və strateji təhlükəsizlik ilk növbədə oyun nəzəriyyəsinə (və qərarlar nəzəriyyəsinə) qarşılıqlı təminatlı məhv konsepsiyasına borcludur. Bu, ruhu Robert MakNamaranın simasında ən yüksək rəhbər vəzifələrə daşıyan parlaq ağıllar qalaktikası (o cümlədən Santa Monika, Kaliforniyadakı RAND Korporasiyası ilə əlaqəli olanlar) ilə bağlıdır. Bununla belə, etiraf etmək lazımdır ki, MakNamaranın özü oyun nəzəriyyəsindən sui-istifadə etməyib.
3.1 Hərbi işlərdə
İnformasiya bu gün ən vacib resurslardan biridir. Və indi hər şey
“İnformasiya kimin sahibidir, dünyanın da sahibidir” deyimi də doğrudur. Üstəlik, mövcud məlumatlardan səmərəli istifadə ehtiyacı da ön plana çıxır. Optimal idarəetmə nəzəriyyəsi ilə birləşən oyun nəzəriyyəsi bizə qəbul etməyə imkan verir düzgün qərarlar müxtəlif münaqişəli və qeyri-münaqişə vəziyyətlərində.
Oyun nəzəriyyəsi münaqişə problemləri ilə məşğul olan riyazi bir intizamdır. Hərbi
dava, münaqişənin aydın ifadə edilmiş mahiyyəti kimi, oyun nəzəriyyəsinin inkişafının praktiki tətbiqi üçün ilk sınaq meydançalarından biri oldu.
Oyun nəzəriyyəsi (diferensial olanlar da daxil olmaqla) istifadə edərək hərbi döyüş problemlərinin öyrənilməsi böyük və çətin bir mövzudur. Oyun nəzəriyyəsinin hərbi problemlərə tətbiqi o deməkdir ki, bütün iştirakçılar üçün effektiv həll yolları - tapşırılan vəzifələrin maksimum həllinə imkan verən optimal hərəkətlər tapıla bilər.
Döyüş oyunlarını stolüstü modellərdə sökmək cəhdləri dəfələrlə edilib. Lakin hərbi işlərdə eksperiment (hər hansı digər elmdə olduğu kimi) həm nəzəriyyəni təsdiqləmək, həm də təhlil üçün yeni yollar tapmaq üçün bir vasitədir.
Hərbi analiz qanunlar, proqnozlar və məntiq baxımından fiziki elmlərdən qat-qat qeyri-müəyyən bir şeydir. Bu səbəbdən, təfərrüatlı və diqqətlə seçilmiş real detallarla simulyasiya, partiya çox sayda dəfə təkrarlanmasa, ümumi etibarlı nəticə verə bilməz. Diferensial oyunlar baxımından ümid edə biləcəyiniz yeganə şey nəzəriyyənin nəticələrinin təsdiqidir. Bu cür nəticələrin sadələşdirilmiş modeldən əldə edildiyi hal xüsusilə vacibdir (bu, həmişə zərurətlə baş verir).
Bəzi hallarda diferensial oyunlar xüsusi şərh tələb etməyən hərbi problemlərdə tamamilə aşkar rol oynayır. Bu, məsələn, üçün doğrudur
təqib, geri çəkilmə və digər oxşar manevrləri əhatə edən əksər modellər. Beləliklə, avtomatlaşdırılmış rabitə şəbəkələrinin mürəkkəb elektron mühitdə idarə edilməsi vəziyyətində yalnız stoxastik çoxaddımlı antaqonist oyunlardan istifadə etməyə cəhdlər edildi. Diferensial oyunlardan istifadə etmək məqsədəuyğun görünür, çünki onların istifadəsi bir çox hallarda lazımi prosesləri yüksək dərəcədə etibarlılıqla təsvir etməyə və problemin optimal həllini tapmağa imkan verir.
Çox vaxt münaqişə vəziyyətlərində qarşı tərəflər daha yaxşı nəticələr əldə etmək üçün ittifaqlarda birləşirlər. Ona görə də koalisiya diferensial oyunlarının öyrənilməsinə ehtiyac var. Bundan əlavə, dünyada heç bir müdaxilə olmayan ideal vəziyyətlər yoxdur. Bu o deməkdir ki, qeyri-müəyyənlik şəraitində koalisiya diferensial oyunlarını öyrənmək məqsədəuyğundur. Diferensial oyunların həlli üçün müxtəlif yanaşmalar mövcuddur.
İkinci Dünya Müharibəsi illərində fon Neumanın elmi inkişafı əvəzolunmaz oldu Amerika ordusu- hərbi komandirlər dedilər ki, Pentaqon üçün alim bütöv bir ordu diviziyası ilə eyni əhəmiyyətə malikdir. Hərbi işlərdə Oyun Nəzəriyyəsinin istifadəsinə bir nümunə. Amerika ticarət gəmilərində zenit silahları quraşdırılmışdı. Ancaq bütün müharibə boyu bu qurğular tərəfindən bir dənə də olsun düşmən təyyarəsi vurulmadı. Ədalətli sual yaranır: döyüş əməliyyatları üçün nəzərdə tutulmayan gəmiləri ümumiyyətlə belə silahlarla təchiz etməyə dəyərmi? Fon Neumann başçılıq etdiyi bir qrup alim məsələni araşdıraraq belə nəticəyə gəldi ki, düşmənin ticarət gəmilərində bu cür silahların olması barədə məlumatı onların atəşə tutulması və bombalanması ehtimalını və dəqiqliyini kəskin şəkildə azaldır və buna görə də “ bu gəmilərdə zenit silahları” öz effektivliyini tam sübut etdi.
CIA, ABŞ Müdafiə Nazirliyi və böyük Fortune 500 korporasiyaları futuroloqlarla fəal əməkdaşlıq edir. Əlbəttə, söhbət ciddi elmi futurologiyadan, yəni gələcək hadisələrin obyektiv ehtimalının riyazi hesablamalarından gedir. Bu, insan həyatının demək olar ki, bütün sahələrinə aid olan riyaziyyat elminin yeni sahələrindən biri olan oyun nəzəriyyəsinin işidir. Ola bilsin ki, bir vaxtlar "elitar" müştərilər üçün ciddi məxfilik şəraitində aparılan hesablamanın gələcəyi tezliklə ictimai ticarət bazarına daxil olacaq. Ən azı bunu eyni zamanda iki böyük Amerika jurnalının bu mövzuda materiallar dərc etməsi və hər ikisinin Nyu-York Universitetinin professoru Bruce Bueno de Mesquita ilə müsahibə dərc etməsi sübut edir. Professor oyun nəzəriyyəsinə əsaslanan kompüter hesablamaları ilə məşğul olan konsaltinq firmasının sahibidir. İyirmi il ərzində MKİ ilə əməkdaşlıq edən alim bir sıra mühüm və gözlənilməz hadisələri (məsələn, Andropovun SSRİ-də hakimiyyətə gəlməsi və Honq-Konqun çinlilər tərəfindən ələ keçirilməsi) dəqiq hesablayıb. Ümumilikdə o, mindən çox hadisəni 90%-dən çox dəqiqliklə hesablayıb.Brüs indi Amerika kəşfiyyat agentliklərinə İrandakı siyasətlə bağlı məsləhətlər verir. Məsələn, onun hesablamaları göstərir ki, ABŞ-ın İranın mülki məqsədlər üçün nüvə reaktorunu işə salmasının qarşısını almaq şansı yoxdur.
3.2 İdarəetmədə
İdarəetmədə oyun nəzəriyyəsinin tətbiqinə misal olaraq fundamental qiymət siyasətinin həyata keçirilməsi, yeni bazarlara çıxış, əməkdaşlıq və birgə müəssisələrin yaradılması, innovasiya sahəsində liderlərin və ifaçıların müəyyən edilməsi və s. Bu nəzəriyyənin müddəaları, prinsipcə, bütün növ qərarlar üçün istifadə oluna bilər, əgər onların qəbul edilməsinə digər aktorlar təsir edirsə. Bu şəxslər və ya oyunçular mütləq bazarda rəqib olmaq məcburiyyətində deyillər; onların rolu tədarükçülər, aparıcı müştərilər, təşkilatların işçiləri, habelə iş yoldaşları ola bilər.
Şirkətlər oyun nəzəriyyəsinə əsaslanan təhlildən necə faydalana bilər? Məsələn, IBM və Telex arasında maraqların toqquşması ilə bağlı məşhur bir hadisə var. Telex, satış bazarına daxil olduğunu elan etdi, bununla əlaqədar olaraq, IBM rəhbərliyinin "böhran" iclası keçirildi, bu iclasda yeni rəqibi yeni bazara daxil olmaq niyyətindən əl çəkməyə məcbur etmək üçün hərəkətlər təhlil edildi. Görünür, Telex bu hərəkətlərdən xəbərdar olub. Lakin oyun nəzəriyyəsinə əsaslanan təhlil göstərdi ki, yüksək xərclərə görə IBM-ə qarşı təhlükələr əsassızdır. Bu, şirkətlərin oyun tərəfdaşlarının mümkün reaksiyalarını nəzərə almağın faydalı olduğunu sübut edir. Təcrid olunmuş iqtisadi hesablamalar, hətta qərar qəbuletmə nəzəriyyəsinə əsaslananlar da, təsvir edilən vəziyyətdə olduğu kimi, çox vaxt məhdud xarakter daşıyır. Beləliklə, ilkin təhlil onu bazara nüfuz etmənin inhisarçı şirkətin aqressiv reaksiyasına səbəb olacağına inandırarsa, kənar şirkət “girişsiz” hərəkəti seçə bilər. Bu vəziyyətdə, gözlənilən xərc meyarına uyğun olaraq 0,5 aqressiv reaksiya ehtimalı ilə "müdaxilə etməmək" hərəkətini seçmək məqsədəuyğundur.
Oyun nəzəriyyəsinin istifadəsinə mühüm töhfələr gəlir eksperimental iş. Bir çox nəzəri hesablamalar laboratoriya şəraitində sınaqdan keçirilir və alınan nəticələr praktikantlar üçün mühüm element rolunu oynayır. Nəzəri olaraq, eqoist düşüncəli iki tərəfdaşın əməkdaşlıq etməsinin və özləri üçün daha yaxşı nəticələr əldə etmələrinin hansı şərtlərdə faydalı olduğu məlum oldu.
Bu bilik iki firmaya qalib/qazan vəziyyətinə nail olmaq üçün müəssisə təcrübəsində istifadə edilə bilər. Bu gün oyun sahəsində təlim keçmiş məsləhətçilər müştərilər, sub-təchizatçılar, inkişaf tərəfdaşları və s. ilə sabit, uzunmüddətli müqavilələr bağlamaq üçün bizneslərin istifadə edə biləcəyi imkanları tez və aydın şəkildə müəyyənləşdirirlər. .
3.3 Digər sahələrdə tətbiqlər
Biologiyada
Çox vacib bir istiqamət oyun nəzəriyyəsini biologiyaya tətbiq etmək və təkamülün özünün optimal strategiyaları necə qurduğunu anlamaq cəhdləridir. Burada əslində izah etməyə kömək edən eyni üsuldur insan davranışı. Axı oyun nəzəriyyəsi demir ki, insanlar həmişə şüurlu, strateji, rasional hərəkət edirlər. Daha doğrusu, bəzi qaydaların təkamülündən gedir ki, onlara əməl olunarsa daha faydalı nəticələr verir. Yəni insanlar çox vaxt öz strategiyasını hesablamır, təcrübə qazandıqca tədricən özünü formalaşdırır. Bu fikir indi biologiyada qəbul edilmişdir.
Kompüter texnologiyasında
Kompüter texnologiyaları sahəsində tədqiqatlar daha çox tələb olunur, məsələn, kompüterlər tərəfindən avtomatik həyata keçirilən hərracların təhlili. Bundan əlavə, bu gün oyun nəzəriyyəsi kompüterlərin necə işlədiyini, onlar arasında əməkdaşlığın necə qurulduğunu bir daha düşünməyə imkan verir. Məsələn, şəbəkədəki serverlər öz hərəkətlərini koordinasiya etməyə çalışan oyunçular kimi qəbul edilə bilər.
Oyunlarda (şahmat)
Şahmat oyun nəzəriyyəsinin son nümunəsidir, çünki etdiyiniz hər şey yalnız sizin qələbəniz üçün nəzərdə tutulub və tərəfdaşınızın buna necə reaksiya verəcəyindən narahat olmaq lazım deyil. Onun effektiv cavab verə bilməyəcəyinə əmin olmaq kifayətdir. Yəni bu, sıfır məbləğli oyundur. Və təbii ki, digər oyunlarda mədəniyyətin müəyyən əhəmiyyəti ola bilər.
Başqa bir sahədən nümunələr
Oyun nəzəriyyəsi böyrək donoru və alıcısı üçün uyğun uyğunluğu tapmaq üçün istifadə olunur. Bir insan digərinə böyrəyini vermək istəyir, amma məlum olur ki, onların qan qrupları uyğun gəlmir. Və bu halda nə etmək lazımdır? İlk növbədə, donorların və resipiyentlərin siyahısını genişləndirin, sonra oyun nəzəriyyəsinin verdiyi seçim üsullarını tətbiq edin. Bu, nizamlı evliliyə çox bənzəyir. Daha doğrusu, heç də evliliyə oxşamır, amma bu vəziyyətlərin riyazi modeli eynidir, eyni üsul və hesablamalardan istifadə olunur. İndi David Gale, Lloyd Shapley və başqaları kimi nəzəriyyəçilərin ideyalarına əsaslanaraq, real sənaye böyüdü - kooperativ oyunlarda nəzəriyyənin praktiki tətbiqləri.
3.4 Oyun nəzəriyyəsindən niyə daha geniş istifadə olunmur
Siyasətdə, iqtisadiyyatda və hərbi məsələlərdə praktikantlar müasir oyun nəzəriyyəsinin əsasının - Neş rasionallığının əsas məhdudiyyətləri ilə qarşılaşdılar.
Birincisi, insan hər zaman strateji düşünəcək qədər mükəmməl deyil. Bu məhdudiyyəti aradan qaldırmaq üçün nəzəriyyəçilər daha zəif rasionallıq fərziyyələrinə malik olan təkamül tarazlığı formulalarını araşdırmağa başladılar.
İkincisi, oyunçuların oyunun quruluşu və real həyatda ödənişlər haqqında məlumatlı olması ilə bağlı oyun nəzəriyyəsinin ilkin müddəaları istədiyimiz qədər müşahidə edilmir. Oyun nəzəriyyəsi proqnozlaşdırılan tarazlıqda kəskin dəyişikliklərlə oyun qaydalarında ən kiçik dəyişikliklərə (orta insan nöqteyi-nəzərindən) çox ağrılı reaksiya verir.
Bu problemlərin nəticəsi olaraq müasir oyun nəzəriyyəsi “məhsuldar çıxılmaz” vəziyyətindədir. Təklif olunan həllərin qu quşu, xərçəngkimi və pike oyun nəzəriyyəsini müxtəlif istiqamətlərə çəkir. Hər istiqamətə onlarla yazı yazılır... bununla belə, “işlər hələ də var”.
Nümunə problemləri
Problemləri həll etmək üçün lazım olan təriflər
1. Maraqları tamamilə və ya qismən zidd olan tərəfləri əhatə edən vəziyyət münaqişə adlanır.
2. Oyun hər birinin öz məqsədlərinə çatmağa can atdığı ən azı iki iştirakçının (oyunçuların) olduğu faktiki və ya formal münaqişədir.
3. Hər bir oyunçunun müəyyən məqsədə çatmağa yönəlmiş icazə verilən hərəkətləri oyunun qaydaları adlanır.
4. Kəmiyyətləşdirmə Oyunun nəticələri ödəniş adlanır.
5. Oyunda yalnız iki tərəf (iki nəfər) iştirak edərsə, oyun ikili oyun adlanır.
6. Ödənişlərin cəmi sıfır olarsa, qoşalaşmış oyun sıfır məbləğli oyun adlanır, yəni. bir oyunçunun itkisi digərinin qazancına bərabər olarsa.
7. Oyunçunun şəxsi hərəkət etməli olduğu mümkün vəziyyətlərin hər birində onun seçiminin birmənalı təsviri oyunçunun strategiyası adlanır.
8. Oyunun dəfələrlə təkrarlanması zamanı oyunçuya mümkün olan maksimum qalibiyyəti (və ya eyni şeydir, minimum mümkün orta itkini) təmin edərsə, oyunçunun strategiyası optimal adlanır.
İki oyunçu olsun, onlardan biri m mümkün strategiyadan (i=1,m) i-ci strategiyanı seçə bilər, ikincisi isə birincinin seçimini bilmədən, n mümkün strategiyadan j-ci strategiyanı seçir. (j=1,n) Nəticədə birinci oyunçu aij dəyərini qazanır, ikinci oyunçu isə bu dəyəri itirir.
aij ədədlərindən bir matris yaradırıq
A matrisinin sətirləri birinci oyunçunun strategiyalarına, sütunlar isə ikincinin strategiyalarına uyğundur. Bu strategiyalar təmiz adlanır.
9. A matrisi qazanc matrisi (və ya oyun matrisi) adlanır.
10. m sətir və n sütundan ibarət olan A matrisi ilə müəyyən edilmiş oyun m x n ölçülü sonlu oyun adlanır.
11. Nömrə 
oyunun aşağı qiyməti və ya maximin, uyğun strategiya (sətir) isə maksimal adlanır.
12. Nömrə 
oyunun yuxarı qiyməti və ya minimaks, uyğun strategiya (sütun) isə minimaks adlanır.
13. Əgər α=β=v olarsa, onda v ədədi oyunun qiyməti adlanır.
14. α=β olan oyun yəhər nöqtəli oyun adlanır.
Yəhər nöqtəsi olan bir oyun üçün həll yolu tapmaq optimal olan maksimum və minimaks strategiyasını seçməkdən ibarətdir.
Əgər matrislə müəyyən edilmiş oyunun yəhər nöqtəsi yoxdursa, onun həllini tapmaq üçün qarışıq strategiyalardan istifadə edilir.
Tapşırıqlar
1. Orlyanka. Bu, sıfır məbləğli oyundur. Prinsip ondan ibarətdir ki, oyunçular eyni strategiyaları seçdikdə, birincisi bir rubl qazanır, fərqli olanları seçdikdə isə birincisi bir rubl itirir.
Strategiyaları maxmin və minmax prinsipləri ilə hesablasanız, görə bilərsiniz ki, optimal strategiyanı hesablamaq mümkün deyil, bu oyunda uduzmaq və udmaq ehtimalları bərabərdir.
2. Rəqəmlər. Oyunun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, hər bir oyunçu 1-dən 4-ə qədər tam ədədləri təxmin edir və birinci oyunçunun uduşu onun təxmin etdiyi nömrə ilə digər oyunçunun təxmin etdiyi rəqəm arasındakı fərqə bərabərdir.
| adlar | Oyunçu B | ||||
| Oyunçu A | strategiyalar | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 0 | -1 | -2 | -3 | |
| 2 | 1 | 0 | -1 | -2 | |
| 3 | 2 | 1 | 0 | -1 | |
| 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | |
Məsələni maxmin və minmax nəzəriyyəsinə əsasən həll edirik, əvvəlki məsələyə bənzər, belə çıxır ki, maxmin = 0, minmax = 0, yəhər nöqtəsi yaranıb, çünki yuxarı və aşağı qiymətlər bərabərdir. Hər iki oyunçunun strategiyası 4-ə bərabərdir.
3. Yanğın zamanı insanların evakuasiya problemini nəzərdən keçirin.
Yanğın vəziyyəti 1: Yanğının baş vermə vaxtı - saat 10, yay.
İnsan axınının sıxlığı D = 0,2 h / m 2, axın sürəti v = 60
m/dəq. Tələb olunan evakuasiya vaxtı TeV = 0,5 dəq.
Yanğın vəziyyəti 2: Yanğının baş vermə vaxtı 20 saat, yay. İnsan axınının sıxlığı D = 0,83 h/dəq. axın sürəti
v = 17 m/dəq. Tələb olunan evakuasiya vaxtı TeV = 1,6 dəq.
Müxtəlif evakuasiya variantları Li mümkündür və müəyyən edilir
binanın struktur və planlaşdırma xüsusiyyətləri, mövcudluğu
tüstüsüz pilləkənlər, binadakı mərtəbələrin sayı və digər amillər.
Nümunədə evakuasiya variantını binanı evakuasiya edərkən insanların getməli olduğu marşrut kimi nəzərdən keçiririk. Yanğın vəziyyəti 1, təxliyənin iki pilləkəndən ibarət dəhliz boyunca baş verdiyi L1 evakuasiya variantına uyğun olacaq. Ancaq ən pis evakuasiya variantı da mümkündür - evakuasiya olan L2
birində baş verir pilləkən və qaçış yolu maksimumdur.
Vəziyyət 2 üçün evakuasiya variantları L1 və L2 açıq-aydın uyğun gəlir
L1-ə üstünlük verilir. Mühafizə sahəsində mümkün yanğın vəziyyətlərinin və evakuasiya variantlarının təsviri ödəniş matrisi şəklində tərtib edilir, halbuki:
N - mümkün yanğın halları:
L - evakuasiya variantları;
a 11 – nm evakuasiya nəticəsi: “a” 0 (mütləq itki) ilə 1 (maksimum qazanc) arasında dəyişir.
Məsələn, yanğın zamanı:
N1 - ümumi dəhlizdə tüstü görünür və alova bürünür
5 dəqiqə ərzində yanğın baş verdikdən sonra;
N2 - koridoru əhatə edən tüstü və alov 7 dəqiqədən sonra baş verir;
N3 - koridoru bürüyən tüstü və yanğın 10 dəqiqədən sonra baş verir.
Aşağıdakı evakuasiya variantları mümkündür:
L1 - 6 dəqiqə ərzində evakuasiyanı təmin etmək;
L2 - 8 dəqiqə ərzində evakuasiyanı təmin etmək;
L3 - 12 dəqiqə ərzində evakuasiyanı təmin edir.
a 11 = N1 / L1 = 5/ 6 = 0,83
a 12 = N1 / L2 = 5/ 8 = 0,62
a 13 = N1 / L3 = 5/ 12 = 0,42
a 21 = N2 / L1 = 7/ 6 = 1
a 22 = N2 / L2 = 7/ 8 = 0,87
a 23 = N2 / L3 = 7/ 12 = 0,58
a 31 = N3 / L1 = 10/ 6 = 1
a 32 = N3 / L2 = 10/ 8 = 1
a 33 = N3 / L3 = 10/ 12 = 0,83
Cədvəl. Evakuasiya nəticələri üçün ödəniş matrisi
| L1 | L2 | L3 | |
| N1 | 0,83 | 0,6 | 0,42 |
| N2 | 1 | 0,87 | 0,58 |
| N3 | 1 | 1 | 0,83 |
İdarəetmə prosesi zamanı tələb olunan evakuasiya vaxtını hesablayın
evakuasiyaya ehtiyac yoxdur, bitmiş formada proqrama daxil edilə bilər.
Bu matris kompüterə və kəmiyyətin ədədi dəyərinə uyğun olaraq daxil edilir və ij alt sistem avtomatik olaraq seçir ən yaxşı variant evakuasiya.
Nəticə
Sonda, xüsusilə vurğulamaq lazımdır ki, oyun nəzəriyyəsi çox mürəkkəb bilik sahəsidir. Onu idarə edərkən diqqətli olmalı və istifadə məhdudiyyətlərini aydın şəkildə bilməlisiniz. İstər firmanın özü, istərsə də məsləhətçilərin köməyi ilə qəbul edilmiş çox sadə şərhlər gizli təhlükələrlə doludur. Mürəkkəbliyinə görə, oyun nəzəriyyəsinin təhlili və məsləhətləşmələr yalnız xüsusilə vacib problem sahələri üçün tövsiyə olunur. Firmaların təcrübəsi göstərir ki, birdəfəlik, prinsipial əhəmiyyətli planlaşdırılmış strateji qərarlar qəbul edilərkən, o cümlədən iri əməkdaşlıq müqavilələri hazırlanarkən müvafiq alətlərdən istifadəyə üstünlük verilir. Bununla belə, oyun nəzəriyyəsindən istifadə baş verənlərin mahiyyətini dərk etməyi asanlaşdırır və bu elm sahəsinin çox yönlü olması bizə bu nəzəriyyənin üsul və xassələrindən fəaliyyətimizin müxtəlif sahələrində uğurla istifadə etməyə imkan verir.
Oyun nəzəriyyəsi insana əqli nizam-intizam aşılayır. Qərar qəbul edən şəxsdən davranışın mümkün alternativlərinin sistematik formalaşdırılmasını, onların nəticələrinin qiymətləndirilməsini, ən əsası isə digər obyektlərin davranışını nəzərə almaqla tələb edir. Oyun nəzəriyyəsi ilə tanış olan adam başqalarını özündən daha axmaq hesab etmək ehtimalı azdır və buna görə də bir çox bağışlanmaz səhvlərdən qaçır. Bununla belə, oyun nəzəriyyəsi qeyri-müəyyənliyə və riskə baxmayaraq, məqsədə çatmaqda qətiyyət və əzmkarlıq verə bilməz və nəzərdə tutulmamışdır. Oyun nəzəriyyəsinin əsaslarını bilmək bizə aydın qələbə qazandırmır, lakin bizi axmaq və lazımsız səhvlərdən qoruyur.
Oyun nəzəriyyəsi həmişə xüsusi bir düşüncə növü, strateji ilə məşğul olur.
Biblioqrafiya
1. J. von Neumann, O. Morgenstern. "Oyun nəzəriyyəsi və iqtisadi davranış", Elm, 1970.
2. Zamkov O.O., Tolstopyatenko A.V., Çeremnıx Yu.N. “İqtisadiyyatda riyazi üsullar”, Moskva 1997, red. "DIS".
3. Owen G. “Oyun nəzəriyyəsi”. – M.: Mir, 1970.
4. Raskin M. A. “Oyun nəzəriyyəsinə giriş” // “Müasir riyaziyyat” Yay Məktəbi. – Dubna: 2008.
5. http://ru.wikipedia.org/wiki
6. http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/104891
7. http://ru.wikipedia.org/wiki
8. http://www.rae.ru/zk/arj/2007/12/Stepanenko.pdf
9. http://banzay-kz.livejournal.com/13890.html
10. http://propolis.com.ua/node/21
11. http://www.cfin.ru/management/game_theory.shtml
12. http://konflickt.ru/16/
13. http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/IGR_TEORIYA.html
14. http://matmodel.ru/article.php/20081126162627533
15. http://www.nsu.ru/ef/tsy/ec_cs/kokgames/prog3k.htm
Bu məqalədə oyun nəzəriyyəsinin iqtisadiyyatda tətbiqi müzakirə olunur. Oyun nəzəriyyəsi riyazi iqtisadiyyatın bir qoludur. O, proses iştirakçılarının maraqları üst-üstə düşmədikdə onların rasional hərəkəti üçün tövsiyələr hazırlayır. Oyun nəzəriyyəsi bizneslərə münaqişə vəziyyətlərində optimal qərarlar qəbul etməyə kömək edir.
- Kommersiya banklarının aktiv əməliyyatları və onların uçotu
- Çoxmənzilli binalarda əsaslı təmir fondunun formalaşdırılmasının təkmilləşdirilməsi
- Rusiyada göstərilən dövlət (bələdiyyə) xidmətlərinin keyfiyyətinin qiymətləndirilməsi məsələlərinin normativ və hüquqi tənzimlənməsi
Oyun nəzəriyyəsi və iqtisadiyyatı ayrılmaz şəkildə bağlıdır, çünki oyun nəzəriyyəsi problemlərinin həlli üsulları müxtəlif iqtisadi vəziyyətlər üçün ən yaxşı strategiyanı müəyyənləşdirməyə kömək edir. Beləliklə, "oyun nəzəriyyəsi" anlayışı necə xarakterizə olunur?
Oyun nəzəriyyəsi münaqişə şəraitində qərar qəbul etməyin riyazi nəzəriyyəsidir. Oyun nəzəriyyəsi var mühüm hissəsidir Münaqişə vəziyyətlərində qərar qəbul etməyi öyrənən əməliyyatların tədqiqatı nəzəriyyəsi.
Oyun nəzəriyyəsi riyazi iqtisadiyyatın bir qoludur. Oyun nəzəriyyəsinin məqsədi proses iştirakçılarının maraqları üst-üstə düşmədikdə, yəni münaqişə vəziyyətində rasional hərəkətləri üçün tövsiyələr hazırlamaqdır. Oyun münaqişə vəziyyətinin bir modelidir. İqtisadiyyatın oyunçuları münaqişədə iştirak edən tərəfdaşlardır. Münaqişənin nəticəsi qələbə və ya itkidir.
Ümumiyyətlə, münaqişə insan maraqlarının müxtəlif sahələrində baş verir: iqtisadiyyat, sosiologiya, politologiya, biologiya, kibernetika, hərbi məsələlər. İqtisadiyyatda ən çox oyun nəzəriyyəsi və münaqişə vəziyyətlərindən istifadə olunur. Hər bir oyunçu üçün oyunçunun tətbiq edə biləcəyi müəyyən bir strategiya dəsti var. Bir neçə oyunçunun strategiyaları kəsişməklə, hər bir oyunçunun müəyyən nəticə (qazanma və ya məğlubiyyət) alacağı müəyyən bir vəziyyət yaradır. Strategiya seçərkən təkcə özünüz üçün maksimum qazanc əldə etməyi deyil, həm də nəzərə almaq vacibdir mümkün addımlar düşmən və onların bütövlükdə vəziyyətə təsiri.
Bazar münasibətləri və qeyri-müəyyənlik şəraitində qəbul edilən iqtisadi qərarların keyfiyyətini və səmərəliliyini artırmaq üçün oyun nəzəriyyəsi üsullarından əsaslı şəkildə istifadə edilə bilər.
İqtisadi vəziyyətlərdə oyunlarda tam və ya natamam məlumatlar ola bilər. Çox vaxt iqtisadçılar qərar qəbul etmək üçün natamam məlumatlarla üzləşirlər. Ona görə də qeyri-müəyyənlik şəraitində, eləcə də müəyyən risk şəraitində qərarlar qəbul etmək lazımdır. İqtisadi problemlərin (situasiyaların) həlli zamanı adətən bir hərəkətli və çox hərəkətli oyunlarla qarşılaşır. Strategiyaların sayı sonlu və ya sonsuz ola bilər.
İqtisadiyyatda oyun nəzəriyyəsi əsasən matris və ya düzbucaqlı oyunlardan istifadə edir, bunun üçün gəlir matrisi tərtib edilir (Cədvəl 1).
Cədvəl 1. Oyunun ödəniş matrisi
Müəyyən edilməlidir bu konsepsiya. Oyunun ödəniş matrisi bir oyunçudan digərinə ödənişi göstərən bir matrisdir, bir şərtlə ki, birinci oyunçu Ai strategiyasını, ikincisi Bi seçsin.
Oyun nəzəriyyəsindən istifadə etməklə iqtisadi problemlərin həllində məqsəd nədir? İqtisadi problemin həlli birinci və ikinci oyunçuların optimal strategiyasını tapmaq və oyunun qiymətini tapmaq deməkdir.
Bəstələdiyim iqtisadi problemi həll edək.
G şəhərində şokolad istehsal edən iki rəqib şirkət ("Sweet World" və "Sladkoezhka") var. Hər iki şirkət südlü şokolad və tünd şokolad istehsal edə bilər. Biz “Sweet World” şirkətinin strategiyasını Ai, “Sladkoezhka” şirkətinin strategiyasını Bi kimi göstərəcəyik. Gəlin hər kəs üçün səmərəliliyi hesablayaq mümkün variantlar"Sweet World" və "Sladkoezhka" şirkətlərinin strategiyalarının birləşməsini və ödəniş matrisini qurun (Cədvəl 2).
Cədvəl 2. Oyun ödəniş matrisi
Bu qazanc matrisinin yəhər nöqtəsi yoxdur, ona görə də qarışıq strategiyalardan istifadə etməklə həll edilir.
U1 = (a22-a21) / (a11+a22-a21-a12) = (6-3) / (5+6-3-4) =0,75.
U2 = (a11-a12) / (a11+a22-a21-a12) = (5-4) / (5+6-3-4) = 0,25.
Z1 = (a22-a12) / (a11+a22-a21-a12) = (6-4) / (5+6-3-4) = 0,4.
Z2 = (a11-a21) / (a11+a22-a21-a12) = (5-3) / (5+6-3-4) = 0,6.
Oyunun qiyməti = (a11*a22-a12*a21) / (a11+a22-a21-a12) = (5*6-4*3) / (5+6-3-4) = 4.5.
Deyə bilərik ki, Sweet World şirkəti şokolad istehsalını belə bölüşdürməlidir: ümumi istehsalın 75%-i südlü şokolad istehsalına, 25%-i isə qara şokolad istehsalına verilməlidir. Sladkoezhka şirkəti 40% südlü şokolad və 60% acı şokolad istehsal etməlidir.
Oyun nəzəriyyəsi hər biri öz qərarlarını digərlərinin hesabına optimallaşdırmağa çalışan iki və ya daha çox ağıllı rəqiblər arasında münaqişə vəziyyətlərində qərarların qəbulu ilə məşğul olur.
Beləliklə, bu məqalədə oyun nəzəriyyəsinin iqtisadiyyatda tətbiqi araşdırıldı. İqtisadiyyatda tez-tez optimal qərar qəbul etmək lazım olan məqamlar yaranır və bir neçə qərar qəbulu variantı mövcuddur. Oyun nəzəriyyəsi münaqişə vəziyyətlərində qərar qəbul etməyə kömək edir. İqtisadiyyatda oyun nəzəriyyəsi müəssisə üçün optimal məhsulu müəyyən etməyə kömək edə bilər, sığorta haqlarının optimal ödənilməsi və s.
Biblioqrafiya
- Belolipetsky, A. A. İqtisadi və riyazi metodlar [Mətn]: tələbələr üçün dərslik. Daha yüksək Dərs kitabı Müəssisələr / A. A. Belolipetsky, V. A. Gorelik. – M.: “Akademiya” Nəşriyyat Mərkəzi, 2010. – 368 s.
- Luginin, O. E. İqtisadi və riyazi metodlar və modellər: problemlərin həlli ilə nəzəriyyə və təcrübə [Mətn]: dərslik / O. E. Luginin, V. N. Fomişina. – Rostov n/d: Feniks, 2009. – 440 s.
- Nevezhin, V. P. Oyun nəzəriyyəsi. Nümunələr və tapşırıqlar [Mətn]: dərslik / V. P. Nevezhin. – M.: FORUM, 2012. – 128 s.
- Sliva, I. I. İqtisadi problemlərin həlli üçün oyun nəzəriyyəsi metodunun tətbiqi [Mətn] / I. I. Sliva // MAMİ Moskva Dövlət Texniki Universitetinin xəbərləri. – 2013. - №1. – səh.154-162.
Fizika-texnika fakültəsini bitirsəm də, universitetdə mənə oyun nəzəriyyəsi öyrədilməyib. Amma tələbəlik illərində çoxlu ilk üstünlük, sonra körpü oynadığım üçün oyun nəzəriyyəsi məni maraqlandırdı və kiçik bir dərsliyi mənimsədim. Və bu yaxınlarda sayt oxucusu Mixail oyun nəzəriyyəsi problemini həll etdi. Tapşırığın mənim üçün asan olmadığını başa düşərək, oyun nəzəriyyəsi üzrə biliklərimi təzələmək qərarına gəldim. Mən sizə kiçik bir kitab təklif edirəm - oyun nəzəriyyəsi elementlərinin məşhur təqdimatı və matris oyunlarının həlli üçün bəzi üsullar. O, demək olar ki, heç bir sübut ehtiva etmir və nəzəriyyənin əsas müddəalarını nümunələrlə göstərir. Kitab riyaziyyatçı və elmin populyarlaşdırıcısı Elena Sergeevna Ventzel tərəfindən yazılmışdır. Sovet mühəndislərinin bir neçə nəsli onun “Ehtimal nəzəriyyəsi” dərsliyindən öyrənmişdir. Yelena Sergeevna İ.Qrekova təxəllüsü ilə də bir neçə ədəbi əsər yazmışdır.
Elena Ventzel. Oyun nəzəriyyəsinin elementləri. – M.: Fizmətqız, 1961. – 68 s.
və ya formatında qısa xülasəni yükləyin
§ 1. Oyun nəzəriyyəsinin mövzusu. Əsas anlayışlar
Bir sıra praktiki problemləri həll edərkən (iqtisadiyyat, hərbi məsələlər və s.) bir-birinə zidd məqsədlər güdən iki (və ya daha çox) döyüşən tərəfin olduğu vəziyyətləri və onlardan birinin hər bir hərəkətinin nəticəsini təhlil etmək lazımdır. tərəflər düşmənin hansı hərəkət yolunu seçəcəyindən asılıdır. Biz belə halları “münaqişə vəziyyətləri” adlandıracağıq.
Təcrübənin müxtəlif sahələrindən münaqişəli vəziyyətlərə dair çoxsaylı nümunələr verilə bilər. Hərbi əməliyyatlar zamanı yaranan istənilən vəziyyət münaqişəli vəziyyətlərə aiddir: döyüşən tərəflərin hər biri düşmənin uğur qazanmasının qarşısını almaq üçün əlində olan bütün tədbirləri görür. Münaqişə vəziyyətlərinə silah sistemi, onun döyüş istifadə üsulları və ümumiyyətlə hərbi əməliyyatların planlaşdırılması zamanı yaranan vəziyyətlər də daxildir: bu sahədəki qərarların hər biri düşmənin daha az faydalı olan hərəkətləri nəzərə alınmaqla qəbul edilməlidir. bizə. İqtisadiyyat sahəsində bir sıra situasiyalar (xüsusilə azad rəqabət şəraitində) konfliktli situasiyalara aiddir; mübahisə edən tərəf kimi ticarət firmaları, sənaye müəssisələri və s.
Belə vəziyyətlərin təhlili zərurəti xüsusi riyazi aparatın yaranmasına səbəb oldu. Oyun nəzəriyyəsi əslində münaqişə vəziyyətlərinin riyazi nəzəriyyəsindən başqa bir şey deyil. Nəzəriyyənin məqsədi münaqişə vəziyyətində rəqiblərin hər biri üçün rasional hərəkət kursu ilə bağlı tövsiyələr hazırlamaqdır. Təcrübədən birbaşa götürülmüş hər bir münaqişə vəziyyəti çox mürəkkəbdir və onun təhlili çoxsaylı yardımçı amillərin mövcudluğu ilə mürəkkəbdir. Vəziyyətin riyazi təhlilini mümkün etmək üçün ikinci dərəcəli, təsadüfi amillərdən mücərrədləşmək və vəziyyətin sadələşdirilmiş, rəsmiləşdirilmiş modelini qurmaq lazımdır. Biz bu modeli “oyun” adlandıracağıq.
Oyun real konflikt vəziyyətindən çox konkret qaydalara uyğun oynanması ilə fərqlənir. Bəşəriyyət uzun müddətdir ki, sözün hərfi mənasında oyun olan münaqişə vəziyyətlərinin belə rəsmiləşdirilmiş modellərindən istifadə edir. Məsələn, şahmat, dama, kart oyunları və s. Bütün bu oyunlar məlum qaydalara uyğun olaraq davam edən və bu və ya digər oyunçunun “qələbəsi” (qalibiyyəti) ilə bitən rəqabət xarakteri daşıyır.
Belə formal tənzimlənmiş, süni şəkildə təşkil edilmiş oyunlar ən çox təmsil olunur uyğun material oyun nəzəriyyəsinin əsas anlayışlarını təsvir etmək və mənimsəmək. Bu cür oyunların təcrübəsindən götürülmüş terminologiya digər münaqişə vəziyyətlərinin təhlilində də istifadə olunur: onlara cəlb olunan tərəflər şərti olaraq "oyunçular" adlanır və toqquşmanın nəticəsi tərəflərdən birinin "qalibiyyəti" olur.
Oyunda iki və ya daha çox rəqibin maraqları toqquşa bilər; birinci halda oyun "qoşalaşmış", ikincisində "çox" adlanır. Çoxlu oyunun iştirakçıları onun gedişində koalisiya yarada bilərlər - daimi və ya müvəqqəti. İki daimi koalisiyanın iştirakı ilə çoxlu oyun bir cüt oyuna çevrilir. Ən böyük praktik əhəmiyyəti ikiqat oyunlar var; Burada yalnız belə oyunları nəzərdən keçirməklə məhdudlaşacağıq.
Elementar oyun nəzəriyyəsinin təqdimatına bəzi əsas anlayışları formalaşdırmaqla başlayaq. Qarşılıqlı maraqları olan iki A və B oyunçusunun iştirak etdiyi bir cüt oyunu nəzərdən keçirəcəyik. “Oyun” dedikdə biz A və B tərəflərinin bir sıra hərəkətlərindən ibarət hadisəni nəzərdə tuturuq. Oyunun riyazi təhlilə məruz qalması üçün oyunun qaydaları dəqiq şəkildə tərtib edilməlidir. “Oyun qaydaları” hər iki tərəfin hərəkətləri üçün mümkün variantları, hər bir tərəfin digərinin davranışı haqqında malik olduğu məlumatların miqdarını, alternativ “hərəkətlərin” ardıcıllığını (məşğulluq zamanı qəbul edilən fərdi qərarlar) tənzimləyən şərtlər sistemi deməkdir. oyun), habelə bunun gətirib çıxardığı oyunun nəticəsi və ya nəticəsi.hərəkətlər toplusu. Bu nəticə (qalibiyyət və ya itki) həmişə kəmiyyət ifadəsinə malik olmur, lakin adətən hansısa ölçmə şkalası qurmaqla onu müəyyən bir rəqəmlə ifadə etmək mümkündür. Məsələn, şahmat oyununda qələbəyə şərti olaraq +1, məğlubiyyət –1, heç-heçə 0 qiymət verilə bilər.
Bir oyunçu digərinin itirdiyini qazanırsa, oyun sıfır məbləğli oyun adlanır, yəni. hər iki tərəfin uduşlarının cəmi sıfırdır. Sıfır məbləğli oyunda oyunçuların maraqları birbaşa qarşıya qoyulur. Burada yalnız belə oyunları nəzərdən keçirəcəyik.
Sıfır məbləğli oyunda oyunçulardan birinin qazancı əks işarə ilə digərinin qazancına bərabər olduğundan, açıq şəkildə belə bir oyunu təhlil edərkən oyunçulardan yalnız birinin qazancını nəzərdən keçirə bilərik. Məsələn, A oyunçusu olsun. Gələcəkdə rahatlıq üçün şərti olaraq A tərəfini “biz”, B tərəfini isə “düşmən” adlandıracağıq.
Bu halda, A tərəfi ("biz") həmişə "qalib", B tərəfi ("düşmən") "uduzan" kimi qəbul ediləcək. Bu formal şərt ilk oyunçu üçün heç bir real üstünlük demək deyil; uduş işarəsi tərsinə çevrildikdə onun əksi ilə əvəz olunduğunu görmək asandır.
Zamanla oyunun inkişafını bir sıra ardıcıl mərhələlərdən və ya “hərəkətlərdən” ibarət kimi təsəvvür edəcəyik. Oyun nəzəriyyəsində hərəkət oyun qaydaları ilə nəzərdə tutulmuş variantlardan birinin seçimidir. Hərəkətlər şəxsi və təsadüfi bölünür. Şəxsi hərəkət, müəyyən bir vəziyyətdə mümkün hərəkətlərdən birinin oyunçulardan birinin şüurlu seçimi və onun həyata keçirilməsidir. Şəxsi hərəkətə misal olaraq şahmat oyunundakı hər hansı bir hərəkəti göstərmək olar. Növbəti hərəkəti yerinə yetirərkən, oyunçu lövhədə parçaların müəyyən bir düzülüşü ilə mümkün olan variantlardan birini şüurlu şəkildə seçir. Hər bir şəxsi gediş üçün mümkün variantlar toplusu oyun qaydaları ilə tənzimlənir və hər iki tərəfin əvvəlki hərəkətlərinin cəmindən asılıdır.
Təsadüfi hərəkət oyunçunun qərarı ilə deyil, bəzi təsadüfi seçim mexanizmi (sikkə atmaq, zər atmaq, kartları qarışdırmaq və satmaq və s.) ilə həyata keçirilən bir sıra imkanlar arasından seçimdir. Məsələn, ilk kartı üstünlük verən oyunçulardan birinə vermək 32 bərabər mümkün variantla təsadüfi bir hərəkətdir. Oyunun riyazi olaraq müəyyən edilməsi üçün oyun qaydaları hər bir təsadüfi gediş üçün mümkün nəticələrin ehtimal paylanmasını müəyyən etməlidir.
Bəzi oyunlar yalnız təsadüfi hərəkətlərdən (saf qumar deyilən) və ya yalnız şəxsi hərəkətlərdən (şahmat, dama) ibarət ola bilər. Kart oyunlarının əksəriyyəti qarışıq tipli oyunlara aiddir, yəni. həm təsadüfi, həm də şəxsi hərəkətləri ehtiva edir.
Oyunlar yalnız hərəkətlərin təbiətinə görə (şəxsi, təsadüfi) deyil, həm də digərinin hərəkətləri ilə bağlı hər bir oyunçu üçün mövcud olan məlumatların xarakterinə və miqdarına görə təsnif edilir. Oyunların xüsusi sinfi "tam məlumatı olan oyunlar" adlanan oyunlardır. Tam məlumatı olan oyun, hər bir oyunçunun hər bir şəxsi hərəkəti ilə həm şəxsi, həm də təsadüfi bütün əvvəlki hərəkətlərin nəticələrini bildiyi bir oyundur. Tam məlumatı olan oyunlara misal olaraq şahmat, dama və məşhur “tic-tac-toe” oyununu göstərmək olar.
Düşmənin hərəkətləri ilə bağlı qeyri-müəyyənlik adətən münaqişə vəziyyətlərinin vacib elementi olduğundan praktiki əhəmiyyət kəsb edən oyunların əksəriyyəti tam məlumatlı oyunlar sinfinə aid deyil.
Oyun nəzəriyyəsinin əsas anlayışlarından biri “strategiya” anlayışıdır. Oyunçunun strategiyası, oyun zamanı yaranan vəziyyətdən asılı olaraq, müəyyən bir oyunçunun hər bir şəxsi hərəkəti üçün seçimi unikal şəkildə müəyyən edən qaydalar toplusudur. Tipik olaraq, hər bir şəxsi hərəkət üçün qərar (seçim) mövcud vəziyyətdən asılı olaraq oyunun özü tərəfindən oyunçu tərəfindən verilir. konkret vəziyyət. Ancaq nəzəri olaraq bütün bu qərarların futbolçu tərəfindən əvvəlcədən verildiyini təsəvvür etsək, məsələ dəyişməyəcək. Bunun üçün oyunçu oyun zamanı bütün mümkün vəziyyətlərin siyahısını əvvəlcədən tərtib etməli və onların hər biri üçün öz həllini təqdim etməli idi. Prinsipcə (praktik olaraq deyilsə) bu, istənilən oyun üçün mümkündür. Əgər belə bir qərar sistemi qəbul olunarsa, bu, oyunçunun müəyyən strategiya seçməsi demək olacaq.
Strategiyanı seçmiş oyunçu indi oyunda şəxsən iştirak edə bilməz, lakin iştirakını hansısa maraqsız şəxsin (hakim) onun üçün müraciət edəcəyi qaydalar siyahısı ilə əvəz edə bilər. Strategiya avtomatik maşına xüsusi proqram şəklində də təyin edilə bilər. Hazırda kompüter şahmatını belə oynayırlar. “Strategiya” anlayışının məna kəsb etməsi üçün oyunda şəxsi hərəkətlər olmalıdır; Yalnız təsadüfi hərəkətlərdən ibarət oyunlarda heç bir strategiya yoxdur.
Mümkün strategiyaların sayından asılı olaraq oyunlar “sonlu” və “sonsuz”a bölünür. Hər bir oyunçunun yalnız məhdud sayda strategiyaya malik olduğu oyuna sonlu oyun deyilir. A oyunçusunun olduğu sonlu oyun m strategiyalar və oyunçu B - n strategiyalar mxn oyunu adlanır.
A və B iki oyunçunun (“biz” və “rəqib”) mxn oyununu nəzərdən keçirək. Biz A 1 , A 2 , …, A m strategiyalarımızı və rəqibin B 1 , B 2 , …, B n strategiyalarını qeyd edəcəyik. Qoy hər tərəf konkret strategiya seçsin; bizim üçün A i, düşmən üçün B j olacaq. Əgər oyun yalnız şəxsi hərəkətlərdən ibarətdirsə, onda A i, B j strategiyalarının seçimi oyunun nəticəsini - uduşlarımızı unikal şəkildə müəyyənləşdirir. Onu ij ilə işarə edək. Əgər oyun şəxsi olanlara əlavə olaraq təsadüfi hərəkətləri ehtiva edirsə, o zaman A i, B j strategiyaları üçün qazanc bütün təsadüfi hərəkətlərin nəticələrindən asılı olaraq təsadüfi dəyərdir. Bu halda gözlənilən qazancın təbii qiymətləndirilməsi onun orta qiymətidir (riyazi gözlənti). Biz həm qalibiyyətin özünü (təsadüfi hərəkətlər olmayan oyunda), həm də onun orta dəyərini (təsadüfi hərəkətlərlə oyunda) ifadə etmək üçün eyni işarədən istifadə edəcəyik.
Hər bir strategiya cütü üçün qazancın (və ya orta gəlirin) a ij dəyərlərini bizə bildirin. Dəyərlər düzbucaqlı cədvəl (matris) şəklində yazıla bilər, onun sətirləri bizim strategiyalarımıza (A i), sütunlar isə rəqibin strategiyalarına (B j) uyğun gəlir. Bu cədvəl ödəniş matrisi və ya sadəcə oyun matrisi adlanır. mxn oyununun matrisi Şəkildə göstərilmişdir. 1.
düyü. 1. Matris mxn
Bir sözlə, oyunun matrisini ‖a ij‖ işarələyəcəyik. Bir neçə əsas oyun nümunəsinə baxaq.
Misal 1.İki oyunçu A və B, bir-birinə baxmadan, öz mülahizələrinə görə, başlarını və ya quyruğunu yuxarı qaldıraraq masaya bir sikkə qoyurlar. Əgər oyunçular eyni tərəfləri seçmişlərsə (hər ikisinin gerbi və ya hər ikisinin başı var), onda A oyunçusu hər iki sikkəni götürür; əks halda onları B oyunçusu götürür. Oyunu təhlil etmək və onun matrisini yaratmaq tələb olunur. Həll. Oyun yalnız iki hərəkətdən ibarətdir: bizim hərəkətimiz və rəqibin hər ikisi şəxsi. Oyun tam məlumatı olan oyunlara aid deyil, çünki hərəkət zamanı onu edən oyunçu digərinin nə etdiyini bilmir. Hər bir oyunçunun yalnız bir şəxsi hərəkəti olduğundan, oyunçunun strategiyası bu tək şəxsi hərəkətlə seçimdir.
Bizim iki strategiyamız var: A 1 - gerb seçin və A 2 - quyruqları seçin; Düşmənin eyni iki strategiyası var: B 1 - gerb və B 2 - quyruq. Beləliklə, bu oyun 2x2 oyunudur. Bir sikkə qazanmağı +1 hesab edəcəyik. Oyun Matrisi:
Bu oyunun nümunəsindən istifadə edərək, nə qədər elementar olsa da, oyun nəzəriyyəsinin bəzi vacib fikirlərini başa düşmək olar. Əvvəlcə bu oyunun yalnız bir dəfə oynanıldığını düşünək. Onda, açıq-aydın, başqalarından daha ağıllı olan oyunçuların hər hansı "strategiyaları" haqqında danışmağın mənası yoxdur. Eyni səbəbdən oyunçuların hər biri istənilən qərarı verə bilər. Ancaq oyun təkrarlananda vəziyyət dəyişir.
Həqiqətən, tutaq ki, biz (A oyunçusu) özümüz üçün hansısa strategiya seçmişik (məsələn, A 1) və ona sadiq qalırıq. Sonra ilk bir neçə gedişin nəticələrinə əsasən, düşmən bizim strategiyamız haqqında təxmin edəcək və ona bizim üçün ən az sərfəli şəkildə cavab verəcək, yəni. quyruqları seçin. Hər zaman bir strategiyadan istifadə etmək bizim üçün açıq-aydın faydalı deyil; Uduzan olmamaq üçün bəzən gerb, bəzən də quyruq seçməliyik. Bununla belə, əgər biz gerbləri və quyruqları müəyyən ardıcıllıqla (məsələn, biri vasitəsilə) növbə etsək, düşmən də bu barədə təxmin edə və bu strategiyaya bizim üçün ən pis şəkildə cavab verə bilər. Aydındır ki, düşmənin strategiyamızı bilməyəcəyinə zəmanət vermənin etibarlı yolu, özümüz əvvəlcədən bilmədiyimiz zaman hər bir hərəkətdə seçimi təşkil etməkdir (bu, məsələn, sikkə atmaqla təmin edilə bilər). Beləliklə, intuitiv əsaslandırma vasitəsilə biz oyun nəzəriyyəsinin əsas anlayışlarından birinə - “qarışıq strategiya” anlayışına, yəni. belə ki, “saf” strategiyalar - bu halda A 1 və A 2 - müəyyən tezliklərlə təsadüfi olaraq dəyişdikdə. IN bu misalda simmetriya səbəblərinə görə əvvəlcədən aydın olur ki, A 1 və A 2 strategiyaları eyni tezliklə növbələşməlidir; daha mürəkkəb oyunlarda həll mənasızlıqdan uzaq ola bilər.
Misal 2. A və B oyunçuları eyni vaxtda və bir-birindən asılı olmayaraq üç rəqəmdən birini yazır: 1, 2 və ya 3. Yazılan rəqəmlərin cəmi cütdürsə, B A-ya bu məbləği rublla ödəyir; əgər təkdirsə, onda əksinə, A B-yə bu məbləği ödəyir. Oyunu təhlil etmək və onun matrisini yaratmaq tələb olunur.
Həll. Oyun iki növbədən ibarətdir; hər ikisi şəxsidir. Bizim (A) üç strategiyamız var: A 1 - 1 yaz; A 2 - 2 yazmaq; A 3 - yaz 3. Düşmən (B) eyni üç strategiyaya malikdir. Oyun 3x3 oyunudur:
Aydındır ki, əvvəlki vəziyyətdə olduğu kimi, düşmən bizim seçdiyimiz istənilən strategiyaya bizim üçün ən pis şəkildə cavab verə bilər. Doğrudan da, məsələn, A 1 strategiyasını seçsək, düşmən həmişə ona B 2 strategiyası ilə cavab verəcək; A 2 strategiyasına - B 3 strategiyasına; A 3 strategiyasına - B 2 strategiyasına; beləliklə, müəyyən strategiyanın istənilən seçimi bizi istər-istəməz itkiyə aparacaq (lakin unutmaq olmaz ki, düşmən də eyni sıxıntıdadır). Bu oyunun həlli (yəni, hər iki oyunçunun ən sərfəli strategiyaları toplusu) § 5-də veriləcəkdir.
Misal 3. Bizim ixtiyarımızda üç növ silah var: A 1, A 2, A 3; Düşmənin üç növ təyyarəsi var: B 1, B 2, B 3. Bizim vəzifəmiz təyyarəni vurmaqdır; Düşmənin vəzifəsi onu məğlubiyyətsiz saxlamaqdır. A 1 silahlarından istifadə edərkən, B 1, B 2, B 3 təyyarələri müvafiq olaraq 0,9, 0,4 və 0,2 ehtimallarla vurulur; silahlanma A 2 ilə - 0,3, 0,6 və 0,8 ehtimallarla; silahlanma ilə A 3 - ehtimallar 0,5, 0,7 və 0,2 ilə. Vəziyyəti oyun nəzəriyyəsi baxımından formalaşdırmaq tələb olunur.
Həll. Vəziyyəti iki şəxsi və bir təsadüfi hərəkətlə 3x3 oyunu kimi qəbul etmək olar. Bizim şəxsi hərəkətimiz silah növünün seçimidir; Düşmənin şəxsi hərəkəti döyüşdə iştirak etmək üçün təyyarə seçimidir. Təsadüfi hərəkət - silahdan istifadə; bu hərəkət təyyarənin məğlub olması ilə nəticələnə bilər və ya olmaya da bilər. Bizim uduşlarımız birinə bərabərdir, əgər təyyarə vurulubsa, əks halda sıfırdır. Strategiyalarımız üç silah variantıdır; düşmən strategiyaları - üç təyyarə variantı. Verilən hər bir strategiya cütü üçün orta qazanc, müəyyən bir silahla müəyyən bir təyyarəni vurma ehtimalından başqa bir şey deyil. Oyun Matrisi:
Oyun nəzəriyyəsinin məqsədi münaqişə vəziyyətlərində oyunçuların ağlabatan davranışları üçün tövsiyələr hazırlamaqdır, yəni. onların hər biri üçün “optimal strategiya”nın müəyyən edilməsi. Oyun nəzəriyyəsində oyunçunun optimal strategiyası oyun dəfələrlə təkrar edildikdə verilmiş oyunçuya maksimum mümkün orta qələbəni (və ya minimum mümkün orta itkini) təmin edən strategiyadır. Bu strategiyanı seçərkən mülahizələrin əsasını düşmənin ən azı bizim qədər ağıllı olması və məqsədimizə çatmağımıza mane olmaq üçün hər şeyi etdiyi fərziyyəsi təşkil edir.
Oyun nəzəriyyəsində bütün tövsiyələr bu prinsiplər əsasında hazırlanır; buna görə də hər bir real strategiyada qaçılmaz olaraq mövcud olan risk elementlərini, həmçinin hər bir oyunçunun mümkün səhv hesablamalarını və səhvlərini nəzərə almır. Oyun nəzəriyyəsi, mürəkkəb bir hadisənin hər hansı bir riyazi modeli kimi, məhdudiyyətlərə malikdir. Onlardan ən əsası, uduşların süni şəkildə bir ədədə endirilməsidir. Əksər praktik münaqişə vəziyyətlərində ağlabatan strategiya hazırlayarkən bir deyil, bir neçə ədədi parametrləri - tədbirin uğurunun meyarlarını nəzərə almaq lazımdır. Bir meyara görə optimal olan strategiya digərlərinə görə mütləq optimal olmayacaq. Bununla belə, bu məhdudiyyətlərdən xəbərdar olmaqla və buna görə də oyun üsulları ilə əldə edilən tövsiyələrə kor-koranə riayət etməməklə, tam olaraq "optimal" olmasa da, ən azı "məqbul" strategiya hazırlamaq üçün oyun nəzəriyyəsinin riyazi aparatından ağıllı şəkildə istifadə edə bilərsiniz. .
§ 2. Oyunun aşağı və yuxarı qiyməti. Minimax prinsipi
Şəkildəki kimi matrisli mxn oyununu nəzərdən keçirək. 1. Strategiyamızın nömrəsini i hərfi ilə qeyd edəcəyik; j hərfi düşmənin strategiyasının nömrəsidir. Özümüzə bir vəzifə qoyaq: optimal strategiyamızı müəyyən edək. Gəlin A 1-dən başlayaraq hər bir strategiyamızı ardıcıl olaraq təhlil edək.
A i strategiyasını seçərkən həmişə düşmənin ona B j strategiyalarından biri ilə cavab verəcəyinə inanmalıyıq ki, bunun üçün a ij qazancımız minimaldır. Gəlin bu qazanan dəyəri müəyyən edək, yəni. a ij ədədlərinin minimumu i ci xətt. Onu α i ilə işarə edək:
Burada min (j-də minimum) işarəsi bütün mümkün j üçün bu parametrin dəyərlərinin minimumunu bildirir. α i ədədlərini yazaq; əlavə sütun kimi sağdakı matrisin yanında:
Hər hansı bir A i strategiyasını seçərkən, düşmənin ağlabatan hərəkətləri nəticəsində α i-dən çox qalib gəlməyəcəyimizə inanmalıyıq. Təbii ki, ən ehtiyatlı davranaraq və ən ağlabatan rəqibə arxalanaraq (yəni hər hansı riskdən qaçaraq) α i sayının maksimum olduğu strategiyanı seçməliyik. Bu maksimum dəyəri α ilə işarə edək:
və ya (2.1) düsturu nəzərə alınmaqla,
α dəyəri oyunun aşağı qiyməti adlanır, əks halda maksimum qazanc və ya sadəcə maksimum. α ədədi matrisin müəyyən cərgəsində yerləşir; Bu xəttə uyğun gələn A oyunçusunun strategiyasına maksimal strategiya deyilir. Aydındır ki, maksimum strategiyaya əməl etsək, düşmənin davranışından asılı olmayaraq, ən azı α-dan az olmayan bir qələbəyə zəmanət verilir. Buna görə də, α dəyəri “oyunun aşağı qiyməti” adlanır. Bu, ən ehtiyatlı (“təkrarsığorta”) strategiyasına riayət etməklə özümüzü təmin edə biləcəyimiz zəmanətli minimumdur.
Aydındır ki, oxşar mülahizə rəqib B üçün də aparıla bilər. Rəqib bizim qazancımızı minimuma endirməkdə maraqlı olduğundan, o, bu strategiya üçün maksimum qazanc baxımından öz strategiyalarının hər birini nəzərdən keçirməlidir. Beləliklə, matrisin aşağı hissəsində hər bir sütun üçün maksimum dəyərləri yazacağıq:
və β j minimumunu tapın:
β dəyəri oyunun yuxarı qiyməti adlanır, əks halda “minimax” kimi tanınır. Minimax faydasına uyğun gələn rəqibin strategiyası onun “minimax strategiyası” adlanır. Düşmən özünün ən ehtiyatlı minimaks strategiyasına riayət etməklə özünə aşağıdakılara zəmanət verir: ona qarşı nə etsək də, o, istənilən halda β-dan çox olmayan məbləği itirəcək. Oyunçuların müvafiq strategiyaları (maksimin və minimaks) seçməsini diktə edən ehtiyatlılıq prinsipi oyun nəzəriyyəsində və onun tətbiqlərində çox vaxt “minimax prinsipi” adlanır. Oyunçuların ən ehtiyatlı maksimum və minimum strategiyalarına bəzən “minimax strategiyaları” deyilir.
Nümunələr olaraq, § 1-in 1, 2 və 3-cü misalları üçün oyunun aşağı və yuxarı qiymətini və minimaks strategiyalarını müəyyən edirik.
Misal 1. Nümunə 1 § 1-də oyun aşağıdakı matrislə verilir:
α i və β j dəyərləri sabit və müvafiq olaraq –1 və +1-ə bərabər olduğundan, oyunun aşağı və yuxarı qiymətləri də –1 və +1-ə bərabərdir: α = –1, β = +1 . A oyunçusunun istənilən strategiyası onun maksimal strategiyasıdır, B oyunçusunun istənilən strategiyası isə onun minimum strategiyasıdır. Nəticə mənasızdır: hər hansı strategiyasına sadiq qalaraq, oyunçu A 1-dən çox itirməyəcəyinə zəmanət verə bilər; B oyunçusu da buna zəmanət verə bilər.
Misal 2. Nümunə 2 § 1-də matrisli bir oyun verilmişdir:
Aşağı oyun qiyməti α = –3; oyunun yuxarı qiyməti β = 4-dür. Maksimum strategiyamız A 1-dir; Bunu sistemli şəkildə tətbiq etməklə, ən azı -3 (3-dən çox itirməmək) qazanacağımızı qətiyyətlə gözləyə bilərik. Düşmənin minimaks strategiyası B 1 və B 2 strategiyalarından hər hansı biri; onları sistemli şəkildə tətbiq etməklə, o, hər halda, 4-dən çox itirməyəcəyinə zəmanət verə bilər. Maksimin strategiyamızdan yayınsaq (məsələn, A 2 strategiyasını seçin), düşmən bizi buna görə “cəzalandıra” bilər. strategiya B 3 və uduşlarımızı azaltmaq -5; Eynilə, rəqibin minimaks strategiyasından geri çəkilməsi onun itkisini 6-ya çatdıra bilər.
Misal 3.§ 1-in 3-cü nümunəsində matrisli bir oyun verilmişdir:
Aşağı oyun qiyməti α = 0,3; oyunun yuxarı qiyməti β = 0,7-dir. Bizim ən ehtiyatlı (maksimin) strategiyamız A 2-dir; A2 silahlarından istifadə etməklə, biz bütün hallarda ən azı 0,3-də təyyarəni orta hesabla vuracağımıza zəmanət veririk. Düşmənin ən ehtiyatlı (minimax) strategiyası B 2-dir; Bu təyyarədən istifadə etməklə düşmən bütün hallarda onun 0,7-dən çox olmamaqla vurulacağına əmin ola bilər.
Sonuncu misaldan istifadə edərək, minimaks strategiyalarının vacib bir xüsusiyyətini - onların qeyri-sabitliyini nümayiş etdirmək rahatdır. Ən ehtiyatlı (maksiminal) strategiyamızdan istifadə edək A 2 , düşmən isə özünün ən ehtiyatlı (minimax) strategiyası B 2 . Hər iki rəqib bu strategiyalara əməl etdikcə, orta qazanc 0,6; aşağı qiymətdən çoxdur, lakin oyunun yuxarı qiymətindən azdır. İndi tutaq ki, düşmən A 2 strategiyasından istifadə etdiyimizi bilir; o, dərhal B 1 strategiyası ilə cavab verəcək və uduşları 0,3-ə endirəcək. Öz növbəsində, B 1 strategiyasına yaxşı cavabımız var: strategiya A 1, bizə 0,9 qazanc verir və s.
Beləliklə, hər iki oyunçunun minimaks strategiyalarından istifadə etdiyi vəziyyət qeyri-sabitdir və qarşı tərəfin strategiyası haqqında alınan məlumatla pozula bilər. Bununla belə, minimax strategiyalarının sabit olduğu bəzi oyunlar var. Aşağı qiymətin yuxarıya bərabər olduğu oyunlar bunlardır: α = β. Əgər oyunun aşağı qiyməti yuxarı qiymətə bərabərdirsə, onda onların ümumi dəyəri oyunun xalis qiyməti adlanır (bəzən sadəcə oyunun qiyməti), biz onu ν hərfi ilə işarə edəcəyik.
Bir nümunəyə baxaq. 4x4 oyunu matrislə verilsin:
Oyunun aşağı qiymətini tapaq: α = 0,6. Oyunun yuxarı qiymətini tapaq: β = 0,6. Onların eyni olduğu ortaya çıxdı, buna görə oyunun α = β = ν = 0,6-a bərabər xalis qiyməti var. Ödəniş matrisində vurğulanan 0.6 elementi həm öz cərgəsində minimum, həm də sütununda maksimumdur. Həndəsədə oxşar xüsusiyyətə malik olan səthdəki nöqtə (bir koordinatda eyni vaxtda minimum və digərində maksimum) yəhər nöqtəsi adlanır; analogiyaya görə, bu termin oyun nəzəriyyəsində istifadə olunur. Bu xüsusiyyətə malik olan matrisin elementi matrisin yəhər nöqtəsi adlanır və oyunun yəhər nöqtəsi olduğu deyilir.
Yəhər nöqtəsi bir cüt minimaks strategiyasına uyğundur (bu misalda A 3 və B 2). Bu strategiyalar optimal adlanır və onların birləşməsi oyunun həlli adlanır. Oyunun həlli aşağıdakı əlamətdar xüsusiyyətlərə malikdir. Əgər oyunçulardan biri (məsələn, A) öz optimal strategiyasına əməl edirsə, digər oyunçu isə (B) hər hansı şəkildə öz optimal strategiyasından kənara çıxırsa, bu, kənara çıxan oyunçu üçün heç vaxt sərfəli ola bilməz; belə B oyunçusunun sapması, ən yaxşı halda, uduşları dəyişməz, ən pis halda isə artıra bilər. Əksinə, əgər B öz optimal strategiyasına əməl edərsə, A isə ondan kənara çıxarsa, bu heç bir halda A üçün faydalı ola bilməz.
Bu ifadəni yəhər nöqtəsi ilə nəzərdən keçirilən oyunun nümunəsindən istifadə etməklə asanlıqla təsdiqləmək olar. Biz görürük ki, yəhər nöqtəsi olan oyunda minimaks strategiyaları bir növ “sabitliyə” malikdir: əgər bir tərəf öz minimaks strategiyasına əməl edirsə, o zaman digər tərəfin özündən kənara çıxması yalnız zərərli ola bilər. Qeyd edək ki, bu zaman hər hansı oyunçunun rəqibin öz optimal strategiyasını seçdiyini bilməsi oyunçunun öz davranışını dəyişə bilməz: əgər o, öz maraqlarına zidd hərəkət etmək istəmirsə, öz optimal strategiyasına əməl etməlidir. Yəhər nöqtəsi olan oyunda bir cüt optimal strategiya “tarazlıq mövqeyinə” bənzəyir: optimal strategiyadan hər hansı bir sapma, sapan oyunçunu bir şeyə gətirib çıxarır. mənfi nəticələr, onu ilkin mövqeyinə qayıtmağa məcbur edir.
Beləliklə, yəhər nöqtəsi olan hər oyun üçün aşağıdakı xüsusiyyətlərdə fərqlənən hər iki tərəf üçün optimal strategiyalar cütünü təyin edən bir həll var.
1) Əgər hər iki tərəf öz optimal strategiyalarına əməl edərsə, orta qazanc oyunun xalis qiymətinə ν bərabərdir ki, bu da onun aşağı və yuxarı qiymətidir.
2) Əgər tərəflərdən biri öz optimal strategiyasına əməl edərsə, digəri isə özündən kənara çıxarsa, bu zaman azmış tərəf ancaq uduzmuş olar və heç bir halda uduşunu artıra bilməz.
Yəhər nöqtəsi olan oyunlar sinfi həm nəzəri, həm də praktiki baxımdan böyük maraq doğurur. Oyun nəzəriyyəsində sübut edilmişdir ki, xüsusən də tam məlumatı olan hər bir oyunun yəhər nöqtəsi var və buna görə də hər bir belə oyunun həlli var, yəni. hər iki tərəf üçün oyunun dəyərinə bərabər orta qazanc verən bir cüt optimal strategiya var. Əgər tam məlumatı olan oyun yalnız şəxsi hərəkətlərdən ibarətdirsə, onda hər bir tərəf öz optimal strategiyasını tətbiq etdikdə, o, həmişə dəqiq müəyyən edilmiş nəticə ilə, yəni oyunun dəyərinə tam bərabər olan qələbə ilə başa çatmalıdır.
Tam məlumatı olan bir oyun nümunəsi olaraq, dəyirmi masada sikkələrin yerləşdirilməsinin məşhur oyununu veririk. İki oyunçu növbə ilə eyni sikkələri dəyirmi masaya qoyur, hər dəfə sikkənin mərkəzi üçün ixtiyari mövqe seçir; sikkələrin qarşılıqlı örtülməsinə icazə verilmir. Son sikkəni qoyan oyunçu qalib gəlir (başqaları üçün yer qalmadıqda). Aydındır ki, bu oyunun nəticəsi həmişə əvvəlcədən müəyyən edilir və sikkəni ilk qoyan oyunçu üçün müəyyən qələbəni təmin edən dəqiq müəyyən edilmiş strategiya var. Məhz, o, sikkəni ilk dəfə masanın ortasına qoymalı və sonra hər bir rəqibin hərəkətinə simmetrik bir hərəkətlə cavab verməlidir. Bu zaman ikinci oyunçu oyunun əvvəlcədən müəyyən edilmiş nəticəsini dəyişmədən özünü istədiyi kimi apara bilər. Buna görə də, bu oyun yalnız optimal strategiyanı bilməyən oyunçular üçün məna kəsb edir. Şahmat və tam məlumatı olan digər oyunlarda da vəziyyət oxşardır; bu oyunlardan hər hansı birinin yəhər nöqtəsi və hər bir oyunçuya onun optimal strategiyasını göstərən həlli var; şahmat oyununun həlli yalnız ona görə tapılmadı ki, şahmatda mümkün hərəkətlərin kombinasiyalarının sayı çox böyükdür ki, onun gəlir matrisini qurmaq və orada yəhər nöqtəsini tapmaq mümkün olsun.
§ 3. Saf və qarışıq strategiyalar. Qarışıq strategiya oyununun həlli
Praktik əhəmiyyəti olan sonlu oyunlar arasında yəhər nöqtəsi olan oyunlar nisbətən nadirdir; daha tipik bir hal, oyunun aşağı və yuxarı qiymətinin fərqli olmasıdır. Belə oyunların matrislərini təhlil edərək belə nəticəyə gəldik ki, əgər hər bir oyunçuya vahid strategiya seçimi verilirsə, o zaman ağlabatan hərəkət edən rəqibə arxalanaraq, bu seçim minimax prinsipi ilə müəyyən edilməlidir. Maksimin strategiyamıza sadiq qalaraq, düşmənin davranışından asılı olmayaraq, özümüzə oyunun α-nın aşağı qiymətinə bərabər bir qələbəyə zəmanət veririk. Təbii sual yaranır: yalnız bir “təmiz” strategiyadan istifadə etsəniz, bir neçə strategiyanı təsadüfi olaraq əvəz etsəniz, α-dan çox olan orta gəliri təmin etmək mümkündürmü? Müəyyən tezlik nisbəti ilə təsadüfi qanuna uyğun olaraq bir-birini əvəz edən bir neçə xalis strategiyanın istifadəsindən ibarət belə birləşmiş strategiyalar oyun nəzəriyyəsində qarışıq strategiyalar adlanır.
Aydındır ki, hər bir təmiz strategiya qarışıq strategiyanın xüsusi halıdır, burada birindən başqa bütün strategiyalar sıfır tezliklərlə, bu isə 1 tezliyi ilə tətbiq olunur. Məlum olur ki, təkcə təmiz deyil, həm də qarışıq strategiyalardan istifadə etməklə, hər sonlu oyun qərarı üçün əldə etmək mümkündür, yəni. bir cüt (ümumiyyətlə qarışıq) strategiyalar ki, hər iki oyunçu onlardan istifadə etdikdə, qazanc oyunun dəyərinə bərabər olacaq və optimal strategiyadan hər hansı birtərəfli kənarlaşma ilə, qazanc yalnız əlverişsiz istiqamətdə dəyişə bilər. deviant.
Bu ifadə oyun nəzəriyyəsinin əsas teoreminin məzmununu təşkil edir. Bu teorem ilk dəfə 1928-ci ildə fon Neyman tərəfindən sübut edilmişdir. Teoremin məlum sübutları nisbətən mürəkkəbdir; Buna görə də biz yalnız onun formulunu verəcəyik.
Hər sonlu oyunun ən azı bir həlli var (bəlkə də qarışıq strategiyalar sahəsində).
Qərardan əldə edilən gəlir oyunun dəyəri adlanır. Əsas teoremdən belə çıxır ki, hər sonlu oyunun bir qiyməti var. Aydındır ki, ν oyununun qiyməti həmişə oyunun aşağı qiyməti α ilə oyunun yuxarı qiyməti β arasında olur:
(3.1) α ≤ ν ≤ β
Həqiqətən, α yalnız təmiz strategiyalarımızdan istifadə etməklə özümüz üçün təmin edə biləcəyimiz maksimum zəmanətli qazancdır. Qarışıq strategiyalar, xüsusi hal kimi, bütün təmiz strategiyaları ehtiva etdiyinə görə, təmiz olanlara əlavə olaraq, qarışıq strategiyalara da icazə verməklə, biz, hər halda, imkanlarımızı pisləşdirmirik; deməli, ν ≥ α. Eynilə, düşmənin imkanlarını nəzərə alaraq, ν ≤ β olduğunu göstərəcəyik ki, bu da (3.1) bərabərsizliyini sübut edir.
Qarışıq strategiyalar üçün xüsusi qeyd təqdim edək. Məsələn, qarışıq strategiyamız p 1, p 2, p 3 və p 1 + p 2 + p 3 = 1 tezlikləri ilə A 1, A 2, A 3 strategiyalarından istifadə etməkdən ibarətdirsə, biz bu strategiyanı işarə edəcəyik.
Eynilə, düşmənin qarışıq strategiyasını ifadə edəcəyik:
burada q 1, q 2, q 3 B 1, B 2, B 3 strategiyalarının qarışdırıldığı tezliklərdir; q 1 + q 2 + q 3 = 1.
Fərz edək ki, S A *, S B * optimal iki qarışıq strategiyadan ibarət oyunun həllini tapdıq. Ümumiyyətlə, müəyyən bir oyunçu üçün mövcud olan bütün təmiz strategiyalar onun optimal qarışıq strategiyasına daxil edilir, ancaq bəziləri. Biz oyunçunun optimal qarışıq strategiyasına daxil olan strategiyaları onun “faydalı” strategiyaları adlandıracağıq. Məlum oldu ki, oyunun həlli daha bir əlamətdar xüsusiyyətə malikdir: əgər oyunçulardan biri S A * (S B *) optimal qarışıq strategiyasına sadiq qalarsa, qazanc dəyişməz olaraq qalır və nə olmasından asılı olmayaraq oyunun ν dəyərinə bərabərdir. digər oyunçu, əgər o, “faydalı” strategiyalarından kənara çıxmasa. Məsələn, o, hər hansı bir “faydalı” strategiyasını saf formada istifadə edə bilər, həmçinin onları istənilən nisbətdə qarışdıra bilər.
§ 4. Oyunların həlli üçün elementar üsullar. Oyunlar 2x2 və 2xn
Əgər mxn oyununda yəhər nöqtəsi yoxdursa, onda bir həll tapmaq ümumiyyətlə, xüsusilə böyük m və n üçün olduqca çətin bir işdir. Bəzən bəzi lazımsızları silməklə strategiyaların sayını azaltsanız, bu tapşırıq sadələşdirilə bilər. Həddindən artıq strategiyalar a) təkrarlayıcı və b) açıq-aşkar faydasızdır. Məsələn, matris oyununu nəzərdən keçirək:
A 3 strategiyasının A 1 strategiyasını tam olaraq təkrarladığını (“dublikatları”) yoxlamaq asandır, ona görə də bu iki strategiyadan hər hansı birini aradan qaldırmaq olar. Sonra A 1 və A 2 sətirlərini müqayisə edərək, A 2 sətirinin hər bir elementinin A 1 sətirinin müvafiq elementindən az (və ya bərabər) olduğunu görürük. Aydındır ki, biz heç vaxt A2 strategiyasından istifadə etməməliyik, bu, açıq-aydın gəlirsizdir. A 3 və A 2-nin üstündən xətt çəkməklə matrisi daha sadə formaya gətiririk. Sonra qeyd edirik ki, B 3 strategiyası açıq şəkildə düşmən üçün sərfəli deyil; Onun üstündən xətt çəkməklə matrisi son formasına gətiririk:
Beləliklə, 4x4 oyunu dublikat və açıq-aşkar zərərli strategiyaları aradan qaldıraraq 2x3 oyununa endirilir.
Dublikat və açıq-aydın zərərli strategiyaların aradan qaldırılması proseduru həmişə oyunun həllindən əvvəl olmalıdır. Həmişə elementar üsullarla həll edilə bilən sonlu oyunların ən sadə halları 2x2 və 2xn oyunlarıdır.
Matrisli 2x2 oyunu nəzərdən keçirək:
Burada iki hal baş verə bilər: 1) oyunun yəhər nöqtəsi var; 2) oyunun yəhər nöqtəsi yoxdur. Birinci halda, həll yolu aydındır: bu, yəhər nöqtəsində kəsişən bir cüt strategiyadır. Yeri gəlmişkən qeyd edək ki, 2x2 oyununda yəhər nöqtəsinin olması həmişə ilkin təhlil zamanı aradan qaldırılmalı olan açıq-aşkar zərərli strategiyaların mövcudluğuna uyğun gəlir.
Qoy heç bir yəhər nöqtəsi olmasın və buna görə də oyunun aşağı qiyməti yuxarıya bərabər deyil: α ≠ β. A oyunçusu üçün optimal qarışıq strategiyanı tapmalıyıq:
Rəqibin hərəkətlərindən asılı olmayaraq ("faydalı" strategiyalarının hüdudlarından kənara çıxmadığı təqdirdə) qazanc oyunun ν dəyərinə bərabər olacaq xüsusiyyəti ilə fərqlənir. 2x2 oyununda rəqibin hər iki strategiyası “faydalıdır” – əks halda oyunun xalis strategiya həlli (yəhər nöqtəsi) olardı. Bu o deməkdir ki, əgər optimal strategiyamıza (4.1) əməl etsək, o zaman rəqib orta qazancı ν dəyişmədən özünün hər hansı B 1, B 2 xalis strategiyalarından istifadə edə bilər. Buradan iki tənlik əldə edirik:
ondan p 1 + p 2 = 1 olduğunu nəzərə alaraq əldə edirik:
Oyunun qiymətini ν p 1, p 2 dəyərlərini tənliklərdən hər hansı birində (4.2) əvəz etməklə tapırıq.
Oyunun qiyməti məlumdursa, rəqibin optimal strategiyasını təyin etmək
Bir tənlik kifayətdir, məsələn:
buradan, q 1 + q 2 = 1 olduğunu nəzərə alsaq, əldə edirik:
Misal 1.§ 1-in 1-ci nümunəsində nəzərdən keçirilən 2×2 oyununun həllini matrislə tapaq:
Oyunda yəhər nöqtəsi yoxdur (α = –1; β = +1) və buna görə də həll qarışıq strategiyalar sahəsində olmalıdır:
Biz p 1, p 2, q 1 və q 2-ni tapmalıyıq. p 1 üçün tənliyimiz var
1*p 1 + (–1)(1 – p 1) = (–1)p 1 + 1(1 – p 1)
buradan p 1 = 1/2, p 2 = 1/2.
Eyni şəkildə tapırıq: q 1 = 1/2, q 2 = 1/2, ν = 0.
Buna görə də, hər bir oyunçu üçün optimal strategiya hər birindən eyni dərəcədə tez-tez istifadə edərək, onun iki təmiz strategiyası arasında təsadüfi olaraq alternativ olmaqdır; bu halda orta qazanc sıfır olacaq.
Nəticə əvvəlcədən kifayət qədər aydın idi. Növbəti nümunədə daha çox baxacağıq çətin oyun, bunun həlli o qədər də aydın deyil. Nümunə "aldatma" və ya "aldatma" oyunları kimi tanınan oyunların ibtidai nümunəsidir. Praktikada, münaqişə vəziyyətlərində tez-tez istifadə edirlər fərqli yollar düşməni çaşdırmaq (dezinformasiya, yalançı hədəflərin yerləşdirilməsi və s.). Nümunə, sadəliyinə baxmayaraq, olduqca ibrətamizdir.
Misal 2. Oyun aşağıdakı kimidir. İki kart var: bir ace və iki. Oyunçu A təsadüfi birini çəkir; B hansı kartı çıxardığını görmür. Əgər A eys çıxarıbsa, o, “mənim asım var” deyir və rəqibindən 1 rubl tələb edir. Əgər A ikili çıxardısa, o zaman ya A 1) “Mənim acem var” deyib rəqibdən 1 rubl tələb edə bilər, ya da A 2) ikilisi olduğunu etiraf edib rəqibə 1 rubl ödəyə bilər.
Düşmən, əgər ona könüllü olaraq 1 rubl ödənilirsə, yalnız onu qəbul edə bilər. Ondan 1 rubl istənilirsə, o zaman ya B 1) A oyunçusunun ace olduğuna inanıb ona 1 rubl verə bilər, ya da B 2) A-nın ifadəsinin doğru olub-olmadığını yoxlamaq üçün çek tələb edə bilər. is Yoxlandıqdan sonra məlum olur ki, A-nın həqiqətən ace var, B A 2 rubl ödəməlidir. A-nın aldatdığı və ikilisi olduğu ortaya çıxarsa, A oyunçusu B oyunçusuna 2 rubl ödəyir. Oyunu təhlil etmək və hər bir oyunçu üçün optimal strategiya tapmaq tələb olunur.
Həll. Oyun nisbətən mürəkkəb quruluşa malikdir; o, bir məcburi təsadüfi gedişdən - oyunçu A-nın iki kartdan birini seçməsindən və iki şəxsi hərəkətdən ibarətdir, lakin bu, mütləq həyata keçirilmir. Həqiqətən, əgər A ace çıxarsa, o, heç bir şəxsi hərəkət etmir: ona yalnız bir fürsət verilir - 1 rubl tələb etmək, bunu edir. Bu halda, şəxsi hərəkət - inan və ya inanma (yəni, 1 rubl ödə və ya vermə) - oyunçu B-yə verilir. Əgər A ilk təsadüfi gediş nəticəsində iki aldısa, o zaman ona şəxsi gediş verilir. : 1 rubl ödəyin və ya düşməni aldatmağa çalışın və 1 rubl tələb edin (qısaca: "aldatmamaq" və ya "aldatmaq"). A birincini seçərsə, B yalnız 1 rubl qəbul edə bilər; Əgər A ikincini seçibsə, onda B oyunçusuna şəxsi seçim verilir: A-ya inanmaq və ya inanmamaq (yəni A 1 rubl ödəmək və ya yoxlama tələb etmək).
Hər bir oyunçunun strategiyaları oyunçuya şəxsi növbə verildikdə nə etməli olduğunu göstərən qaydalardır. Aydındır ki, A-nın yalnız iki strategiyası var: A 1 - aldatmaq, A 2 - aldatmamaq. B-nin də iki strategiyası var: B 1 - inanmaq, B 2 - inanma. Gəlin bir oyun matrisi quraq. Bunun üçün biz strategiyaların hər bir kombinasiyası üçün orta uduşları hesablayırıq.
1. A 1 B 1 (A aldadır, B inanır). Əgər A ace aldısa (bunun ehtimalı ½-dir), onda ona şəxsi gediş verilmir, 1 rubl tələb edir və oyunçu B ona inanır; A-nın rublla qazancı 1-dir. bu da ½), strategiyasına uyğun olaraq aldadır və 1 rubl tələb edir; B inanır və ödəyir; A uduşu da 1-ə bərabərdir. Orta uduş: a 11 = ½*1 + ½*1 = 1.
2. A 1 B 2 (A aldadır, B inanmır). A ace alırsa, onun şəxsi hərəkəti yoxdur; 1 rubl tələb edir; B, strategiyasına görə, buna inanmır və çek nəticəsində 2 rubl ödəyir (A-nın qazancı +2). A pis qiymət aldısa, strategiyasına uyğun olaraq 1 rubl tələb edir; Özünə görə inanmır; nəticədə A 2 rubl ödəyir (A-nın qazancı -2). Orta uduş: a 12 = ½*(+2) + ½*(–2) = 0.
3. A 2 B 1 (A aldatmaz, B inanır). A ace çıxarsa, 1 rubl tələb edir; B öz strategiyasına uyğun olaraq ödəyir; A-nın qazancı +1-dir. A deuce çıxarsa, strategiyasına uyğun olaraq 1 rubl ödəyir; B yalnız qəbul edə bilər (A-nın qazancı –1-dir). Orta uduş: a 21 = ½*(+1) + ½*(–1) = 0.
4. A 2 B 2 (A aldatmaz, B inanmaz). A ace çıxarsa, 1 rubl tələb edir; B çekləri və çek nəticəsində 2 rubl ödəyir (uduşlar +2). A deuce çıxarsa, 1 rubl ödəyir; Qalan yalnız qəbul etməkdir (gəliş 1-dir). Orta uduş: a 22 = ½*(+2) + ½*(–1) = ½.
Oyun matrisini qururuq:
Matrisdə yəhər nöqtəsi yoxdur. Oyunun aşağı qiyməti α = 0, oyunun yuxarı qiyməti β = ½-dir. Qarışıq strategiyalar sahəsində oyunun həllini tapaq. (4.3) düsturu tətbiq edərək, əldə edirik:
olanlar. Oyunçu A bütün halların üçdə birində ilk strategiyasından (fırıldaqçı) və bütün halların üçdə ikisində ikinci strategiyasından (fırıldaqdan) istifadə etməlidir. Bu halda o, orta hesabla oyunun qiyməti ν = 1/3 qazanacaq.
ν = 1/3 dəyəri bu şərtlərdə oyunun A üçün sərfəli, B üçün isə mənfi olduğunu göstərir. Öz optimal strategiyasından istifadə edərək, A həmişə müsbət orta gəliri təmin edə bilər. Nəzərə alın ki, əgər A ən ehtiyatlı (maksiminal) strategiyasından istifadə etsəydi (bu halda hər iki strategiya A 1 və A 2 maksimumdur), onun orta gəliri sıfır olacaq. Beləliklə, qarışıq strategiyadan istifadə A-ya verilmiş oyun qaydaları çərçivəsində yaranan B-dən üstünlüyünü reallaşdırmaq imkanı verir.
Optimal strategiyanı müəyyən edək B. Bizdə: q 1 *1 + q 2 *0 = 1/3, q 1 = 1/3, q 2 = 2/3. Harada
yəni. oyunçu B bütün halların üçdə birində A-ya inanmalı və ona yoxlamadan 1 rubl, halların üçdə ikisində isə çek ödəməlidir. Sonra hər oyunun orta hesabla 1/3-də uduzacaq. Minimax xalis strategiyası B 2 istifadə etsəydi (inanmıram), hər oyun üçün orta hesabla 1/2 itirərdi.
2x2 oyununun həllinə sadə həndəsi şərh verilə bilər. Matrislə 2x2 oyun olsun
Absis oxunun uzunluğu 1 olan kəsiyini götürək (şək. 4.1). Bölmənin sol ucu (abscissa x = 0 olan nöqtə) A 1 strategiyasını təsvir edəcəkdir; bölmənin sağ ucu (x = 1) - strategiya A 2. A 1 və A 2 nöqtələri vasitəsilə absis oxuna iki perpendikulyar çəkək: ox I– İ və ox II–II. Oxda I– İ A 1 strategiyası üçün uduşları təxirə salacağıq; oxda II–II- A 2 strategiyası üçün gəlirlər. Düşmən B 1 strategiyasını nəzərdən keçirin; oxlarda iki xal verir I– İ Və II–II müvafiq olaraq a 11 və 21 ordinatları ilə. Bu nöqtələrdən B 1 B 1 düz xətti çəkək. Aydındır ki, düşmən strategiyası B 1 ilə qarışıq strategiyadan istifadə etsək
onda bu halda 11 p 1 + a 21 p 2-yə bərabər olan orta qazancımız B 1 B 1 düz xəttində M nöqtəsi ilə təmsil olunacaq; Bu nöqtənin absisi p 2-ə bərabərdir. B 1 strategiyasının nəticəsini əks etdirən B 1 B 1 düz xətti şərti olaraq “strategiya B 1” adlanacaqdır.
Aydındır ki, B 2 strategiyası da eyni şəkildə qurula bilər (şək. 4.2).
Biz optimal S A * strategiyasını, yəni minimum qazancın (hər hansı B davranışı üçün) maksimuma çevriləcəyi strategiyanı tapmalıyıq. Bunu etmək üçün B 1, B 2 strategiyaları üçün uduşlar üçün aşağı hədd quracağıq, yəni. qırıq xətt B 1 NB 2 şəkildə qeyd edilmişdir. 4.2 qalın xətt ilə. Bu aşağı hədd A oyunçusunun hər hansı qarışıq strategiyası üçün minimum qazancını ifadə edəcək; bu minimum qazancın maksimuma çatdığı N nöqtəsi oyunun qərarını və qiymətini müəyyən edir. N nöqtəsinin ordinatının oyunun ν dəyəri olduğunu və onun absissasının p 2 - optimal qarışıq strategiya S A *-da A 2 strategiyasının tətbiqi tezliyinə bərabər olduğunu yoxlamaq asandır.
Bizim vəziyyətimizdə oyunun həlli strategiyaların kəsişmə nöqtəsi ilə müəyyən edilirdi. Lakin bu, həmişə belə olmayacaq; Şəkildə. 4.3, strategiyaların kəsişməsinin olmasına baxmayaraq, həllin hər iki oyunçu üçün (A 2 və B 2) təmiz strategiyalar verdiyi və oyunun dəyərinin ν = a 22 olduğu halı göstərir. Bu halda, matrisin yəhər nöqtəsi var və A 1 strategiyası açıq-aydın gəlirsizdir, çünki Rəqibin hər hansı təmiz strategiyası üçün A 2-dən daha kiçik gəlir verir.
Düşmənin açıq-aydın faydasız bir strategiyası olduğu halda, həndəsi şərh Şəkil 1-də göstərilən formaya malikdir. 4.4.
Bu halda uduşun aşağı həddi B 1 strategiyası ilə üst-üstə düşür, B 2 strategiyası açıq şəkildə rəqib üçün sərfəli deyil.
Həndəsi şərh həmçinin oyunun aşağı və yuxarı qiymətlərini vizuallaşdırmağa imkan verir (şək. 4.5).
Nümunə etmək üçün 1 və 2-ci misallarda müzakirə olunan 2×2 oyunlarının həndəsi şərhlərini quraq (şək. 4.6 və 4.7).
İstənilən 2x2 oyununun əsas texnikalarla həll oluna biləcəyinə əmin olduq. İstənilən 2xn oyunu eyni şəkildə həll edilə bilər. burada bizim cəmi iki strategiyamız var və düşmənin özbaşına sayı var.
Gəlin bizim iki strategiyamız olsun: A 1, A 2 və düşmənin n strategiyası var: B 1, B 2, ..., B n. ‖a ij ‖ matrisi verilmişdir; iki sətir və n sütundan ibarətdir. İki strategiya vəziyyətində olduğu kimi, problemə həndəsi şərh verək; n düşmən strategiyası n düz xətt kimi təsvir olunacaq (Şəkil 4.8). Uduşların aşağı sərhədini (sınıq xətti B 1 MNB 2) qururuq və onun üzərində maksimum ordinata malik N nöqtəsini tapırıq. Bu nöqtə oyunun həllini verir (strategiya 
) N nöqtəsinin ordinatı oyunun ν dəyərinə, absis isə A 2 strategiyasının p 2 tezliyinə bərabərdir.
Bu halda düşmənin optimal strategiyası iki “faydalı” strategiyanın qarışığından istifadə etməklə əldə edilir: N nöqtəsində kəsişən B 2 və B 4. Strategiya B 3 açıq-aydın gəlirsizdir, B 1 strategiyası isə optimal strategiya S A ilə gəlirsizdir. *. Əgər A optimal strategiyasına sadiq qalırsa, B-nin “faydalı” strategiyalarından hansını istifadə etməsindən asılı olmayaraq, qazanc dəyişməyəcək, lakin B B 1 və ya B 3 strategiyalarına keçərsə, dəyişəcək. Oyun nəzəriyyəsində sübut edilmişdir ki, istənilən sonlu oyun mxn-nin hər iki tərəfdəki “faydalı” strategiyaların sayı iki ədəd m və n-dən kiçik olandan çox olmayan bir həll var. Xüsusilə, bundan belə çıxır ki, 2xm oyununda həmişə hər iki tərəfdə ikidən çox "faydalı" strategiyanın iştirak etdiyi bir həll var.
Həndəsi şərhdən istifadə edərək, istənilən 2xm oyununu həll etmək üçün sadə bir yol verə bilərik. Birbaşa rəsmdən N nöqtəsində kəsişən bir cüt "faydalı" düşmən strategiyası B j və B k tapırıq (əgər ikidən çox strategiya N nöqtəsində kəsişirsə, onlardan hər hansı ikisini götürün). Biz bilirik ki, əgər A oyunçusu optimal strategiyasına əməl edərsə, onda qazanc B-nin “faydalı” strategiyalarından istifadə etdiyi nisbətdən asılı deyildir.
Bu tənliklərdən və p 2 = 1 – p 1 şərtindən p1, p2 və oyunun qiymətini ν tapırıq. Oyunun qiymətini bilməklə, dərhal optimal strategiyanı təyin edə bilərsiniz 
oyunçu B. Bunu etmək üçün, məsələn, tənliyi həll edin: q j a 1 j + q k a 1 k = ν, burada q j + q k = 1. Bizim m strategiyamız olduğu və düşmənin yalnız ikisi olduğu halda, açıq-aydın, problem tamamilə oxşar şəkildə həll edilir; Qeyd etmək kifayətdir ki, uduş işarəsini tərsinə çevirməklə siz A oyunçusunu “qalib”dən “uduzan”a çevirə bilərsiniz. Siz qalib işarəsini dəyişmədən oyunu həll edə bilərsiniz; onda məsələ birbaşa B üçün həll edilir, lakin aşağı deyil, qazancın yuxarı sərhədi qurulur (şək. 4.9). Sərhəddə minimum ordinata malik N nöqtəsi axtarılır ki, bu da oyunun qiyməti ν olur.
Praktiki əhəmiyyət kəsb edən oyunların sadələşdirilmiş nümunələri olan 2x2 və 2xm oyunlarının bir neçə nümunəsini nəzərdən keçirək və həll edək.
Misal 3. A tərəfi düşmən B-nin yerinə iki bombardmançı göndərir I Və II; I qarşısında uçur II- arxada. Bombardmançılardan biri - hansının olduğu əvvəlcədən məlum deyil - bomba daşımalı, digəri müşayiətçi kimi xidmət edir. Düşmən bölgəsində bombardmançılar B tərəfdən qırıcının hücumuna məruz qalır. Bombardmançılar müxtəlif atəş dərəcələrində toplarla silahlanırlar. Bir qırıcı arxadan bombardmançıya hücum edərsə II, sonra yalnız bu bombardmançının silahları ona atəş açır; ön bombardmançıya hücum edərsə, hər iki bombardmançının silahı ona atəş açır. Birinci halda döyüşçünün vurulma ehtimalı 0,3, ikinci halda isə 0,7-dir.
Əgər qırıcı bombardmançıların müdafiə atəşi ilə vurulmayıbsa, o, seçdiyi hədəfi 0,6 ehtimalla vurur. Bombardmançıların vəzifəsi bombanı hədəfə çatdırmaqdır; Döyüşçünün vəzifəsi bunun qarşısını almaqdır, yəni. bombardmançı təyyarəni vur. Tərəflərin optimal strategiyalarını seçmək lazımdır:
a) A tərəfi üçün: hansı bombardmançı daşıyıcı kimi istifadə edilməlidir?
b) B tərəfi üçün: hansı bombardmançı hücuma keçməlidir?
Həll. Bizdə 2x2 oyununun sadə bir işi var; qalibiyyət daşıyıcının məğlub olmama ehtimalıdır. Strategiyalarımız: A 1 - daşıyıcı - bombardmançı I; 2 - daşıyıcı - bombardmançı II. Düşmən strategiyaları: B 1 - bombardmançıya hücum edin I; B 2 - bombardmançı hücumlar II. Bir oyun matrisi yaradaq, yəni. Strategiyaların hər bir kombinasiyası üçün orta gəliri tapaq.
1. A 1 B 1 (daşıyıcı I, hücum etdi I). Bombardmançılar qırıcını vursalar da, vurmasalar da, daşıyıcı vurulmayacaq, lakin hədəfinə çatmayacaq: a 11 = 0,7 + 0,3 * 0,4 = 0,82.
2. A 2 B 1 (daşıyıcı II, hücum etdi I). a 21 = 1
3. A 1 B 2 (daşıyıcı I, hücum etdi II). A 12 = 1
4. A 2 B 2 (daşıyıcı II, hücum etdi II). A 22 = 0,3 + 0,7*0,4 = 0,58
Oyun matrisi belə görünür:
Aşağı oyun qiyməti 0,82; yuxarı qiymət 1. Matrisin yəhər nöqtəsi yoxdur; Qarışıq strategiyalar sahəsində həll axtarırıq. Bizdə:
p 1 *0,82 + p 2 *1 = ν
p 1 *1 + p 2 *0,58 = ν
p 1 = 0,7; p 2 = 0,3
Bizim optimal strategiyamız 
bəli, yəni daşıyıcı kimi daha tez-tez seçim etməlisiniz I, Necə II. Oyunun qiyməti ν = 0,874-dür. ν-i bilərək, q 1 və q 2 - rəqibin optimal S B * strategiyasında B 1 və B 2 strategiyalarının tezliklərini təyin edirik. Bizdə: q 1 *0,82 + q 2 *1 = 0,874 və q 2 = 1 – q 1, buradan q 1 = 0,7; q 2 = 0,3, yəni düşmənin optimal strategiyası 
.
Misal 4. A tərəfi obyektə hücum edir, B tərəfi onu müdafiə edir. A tərəfində iki təyyarə var; B tərəfində üç zenit silahı var. Hər bir təyyarə güclü öldürücü silahın daşıyıcısıdır; Bir obyektin vurulması üçün ona ən azı bir təyyarənin keçməsi kifayətdir. Yan tərəf Təyyarə obyektə üç istiqamətdən hər hansı biri ilə yaxınlaşmağı seçə bilər: I, II, III(Şəkil 4.10). Düşmən (B tərəfi) hər hansı silahını istənilən istiqamətə yerləşdirə bilər; bu halda, hər bir silah yalnız müəyyən bir istiqamətə aid kosmos sahəsindən atəş açır və qonşu istiqamətlərdən atəş açmır. Hər bir silah yalnız bir təyyarəni atəşə tuta bilər; atəşə tutulan təyyarənin vurulması ehtimalı 1. A tərəfi silahların harada olduğunu bilmir; B tərəfi təyyarələrin haradan gələcəyini bilmir. A tərəfinin işi hədəfi vurmaqdır; B tərəfinin vəzifəsi onun məğlubiyyətinin qarşısını almaqdır. Oyunun həllini tapın.
Həll. Oyun 2x3 oyundur. Qazanmaq obyektə dəymə ehtimalıdır. Mümkün strategiyalarımız: A 1 - bir təyyarəni iki fərqli istiqamətə göndərin. A 2 - hər iki təyyarəni eyni istiqamətə göndərin. Düşmən strategiyaları: B 1 - hər istiqamətə bir silah qoyun; B 2 - iki silahı bir istiqamətə, birini isə digərinə qoyun; 3-də - hər üç silahı eyni istiqamətə qoyun. Gəlin oyun matrisi yaradaq.
1. A 1 B 1 (təyyarələr boyunca uçur müxtəlif istiqamətlər; silahlar bir-bir yerləşdirilir). Aydındır ki, bu halda obyektə heç bir təyyarə keçməyəcək: a 11 = 0.
2. A 2 B 1 (təyyarələr bir istiqamətdə birlikdə uçur; silahlar bir-bir yerləşdirilir). Aydındır ki, bu halda bir təyyarə atəşə məruz qalmadan obyektə keçəcək: a 21 = 1.
3. A 1 B 2 (təyyarələr bir-bir uçur; düşmən iki istiqaməti qoruyur, üçüncüsü isə müdafiəsiz qoyur). Ən azı bir təyyarənin obyektə keçməsi ehtimalı onlardan birinin qorunmayan istiqaməti seçmə ehtimalına bərabərdir: a 12 = 2/3.
4. A 2 B 2 (təyyarələr bir istiqamətdə birlikdə uçur; düşmən bir istiqaməti iki silahla, birini isə birlə qoruyur, yəni əslində bir istiqaməti qoruyur və ikisini müdafiəsiz qoyur). Ən azı bir təyyarənin obyektə keçməsi ehtimalı, bir cüt təyyarənin həqiqətən qorunmayan istiqamət seçməsi ehtimalına bərabərdir: a 22 = 2/3.
5. A 1 B 3 (təyyarələr bir-bir uçur; düşmən üç silahla yalnız bir istiqaməti müdafiə edir): a 13 = 1.
6. A 2 B 3 (hər iki təyyarə birlikdə uçur; düşmən üç silahla yalnız bir istiqaməti müdafiə edir). Bir obyektin vurulması üçün təyyarə qorunmayan istiqamət seçməlidir: a 23 = 2/3.
Oyun Matrisi:
Matrisdən aydın olur ki, B 3 strategiyası B 2 ilə müqayisədə açıq-aydın gəlirsizdir (bu barədə əvvəlcədən qərar verilə bilərdi). B 3 strategiyasını ləğv etməklə oyun 2x2 oyununa endirilir:
Matrisdə yəhər nöqtəsi var: oyunun aşağı qiyməti 2/3 yuxarı ilə üst-üstə düşür. Eyni zamanda qeyd edirik ki, bizim üçün (A) A 1 strategiyası açıq-aydın gəlirsizdir. Nəticə: hər iki tərəf A və B həmişə öz saf strategiyalarından istifadə etməlidirlər A 2 və B 2, yəni. cütün göndərildiyi istiqaməti təsadüfi seçərək təyyarələri 2 saniyəyə göndərməliyik; düşmən silahları belə yerləşdirməlidir: iki - bir istiqamətdə, biri digərində və bu istiqamətlərin seçimi də təsadüfi aparılmalıdır (burada, gördüyümüz kimi, "saf strategiyalar" artıq təsadüfilik elementini ehtiva edir). Bu optimal strategiyaları tətbiq etməklə biz həmişə 2/3 sabit orta gəlir əldə edəcəyik (yəni obyekt 2/3 ehtimalı ilə vurulacaq). Qeyd edək ki, oyunun tapılan həlli unikal deyil; xalis strategiyalarda həllə əlavə olaraq, p 1 = 0-dan p 1 = 1/3-ə qədər optimal olan A oyunçusunun qarışıq strategiyalarının bütöv bir bölməsi var (şək. 4.11).
Məsələn, A 1 və A 2 strategiyalarımızı 1/3 və 2/3 nisbətində tətbiq etsək, eyni orta qazancın 2/3 nisbətində əldə ediləcəyini birbaşa yoxlamaq asandır.
Misal 5.Əvvəlki nümunədəki kimi eyni şərtlər, lakin bizim üçün dörd hücum istiqaməti mümkündür və düşmənin dörd silahı var.
Həll. Hələ iki mümkün strategiyamız var: A 1 - təyyarələri bir-bir göndərin, A 2 - iki təyyarəni birlikdə göndərin. Düşmənin beş mümkün strategiyası var: B 1 - hər istiqamətə bir silah qoyun; 2-də - iki silahı iki fərqli istiqamətə qoyun; 3-də - iki silahı bir istiqamətə və hər birini digər ikisinə qoyun; B 4 - üç silahı bir istiqamətə, birini isə digərinə qoyun; 5-də - bütün dörd silahı bir istiqamətə qoyun. Biz B 4 və B 5 strategiyalarını açıq-aşkar faydasız kimi əvvəlcədən ləğv edəcəyik. Əvvəlki nümunəyə bənzər şəkildə düşünərək, oyun matrisini qururuq:
Oyunun aşağı qiyməti 1/2, yuxarısı 3/4-dür. Matrisdə yəhər nöqtəsi yoxdur; həll qarışıq strategiyalar sahəsindədir. Həndəsi şərhdən istifadə edərək (Şəkil 4.12) düşmənin "faydalı" strategiyalarını vurğulayırıq: B 1 və B 2.
Tənliklərdən p 1 və p 2 tezliklərini təyin edirik: p 1 *0 + (1 – p 1)*1 = ν və p 1 *5/6 + (1 – p 1)*1/2 = ν; buradan p 1 = 3/8; p 2 = 5/8; ν = 5/8, yəni. optimal strategiyamızdır 
. Ondan istifadə etməklə biz özümüzə orta hesabla 5/8 qalibiyyətə zəmanət veririk. Oyunun qiymətini ν = 5/8 bilərək, rəqibin “faydalı” strategiyalarının q 1 və q 2 tezliklərini tapırıq: q 1 *0 + (1 – q 1)*5/6 = 5/8, q 1 = ¼, q 2 = ¾. Düşmənin optimal strategiyası belə olacaq: 
.
Misal 6. A tərəfinin iki A 1 və A 2 strategiyası, B tərəfinin dörd B 1, B 2, B 3 və B 4 strategiyası var. Oyun matrisi belə görünür:
Oyunun həllini tapın.
Həll. Ən aşağı qiymət oyunu 3; yuxarı 4. Həndəsi şərh (Şəkil 4.13) B oyunçusu üçün faydalı strategiyaların B 1 və B 2 və ya B 2 və B 4 olduğunu göstərir:
Oyunçu A sonsuz sayda optimal qarışıq strategiyaya malikdir: optimal strategiyada p 1 1/5 ilə 4/5 arasında dəyişə bilər. Oyunun qiyməti ν = 4-dür. Oyunçu B xalis optimal B 2 strategiyasına malikdir.
§ 5. Sonlu oyunların həlli üçün ümumi üsullar
İndiyə qədər biz olduqca sadə şəkildə həll edilə bilən və rahat və vizual həndəsi şərhə imkan verən 2xn tipli ən elementar oyunları nəzərdən keçirdik. Ümumi halda mxn oyununun həlli kifayət qədər çətin məsələdir və məsələnin mürəkkəbliyi və onun həlli üçün tələb olunan hesablamaların miqdarı m və n-in artması ilə kəskin şəkildə artır. Bununla belə, bu çətinliklər fundamental xarakter daşımır və yalnız bəzi hallarda praktiki olaraq qeyri-mümkün ola bilən çox böyük həcmli hesablamalarla əlaqələndirilir. Həll tapmaq metodunun əsas cəhəti istənilən m üçün eyni qalır.
Bunu 3xn oyununun nümunəsindən istifadə edərək təsvir edək. Gəlin buna həndəsi bir şərh verək - artıq məkandır. Üç strategiyamız A 1 , A 2 və A 3 təyyarədə üç nöqtə ilə təmsil olunacaq xOy; birincisi koordinatların mənşəyində yerləşir (Şəkil 5.1), ikinci və üçüncü - oxlarda Oh Və OUəvvəldən 1 məsafədə.
Baltalar A 1, A 2 və A 3 nöqtələri vasitəsilə çəkilir I – I, II – II Və III – III, müstəviyə perpendikulyar xOy. Oxda I – I A 1 strategiyası üçün uduşlar baltalar üzrə təxirə salınır II – II Və III – III- A 2, A 3 strategiyaları üçün uduşlar. Hər bir düşmən strategiyası B j baltaları kəsən bir təyyarə ilə təmsil olunacaq I – I, II – II Və III – III müvafiq A 1, A 2 və A 3 strategiyaları və B j strategiyası üçün uduşlara bərabər seqmentlər. Düşmənin bütün strategiyalarını bu şəkildə quraraq, A 1, A 2 və A 3 üçbucağının üzərindən bir təyyarə ailəsi alırıq (Şəkil 5.2). Bu ailə üçün, 2xn vəziyyətində etdiyimiz kimi, qazanc üçün aşağı həddi də qura bilərsiniz və bu sərhəddə təyyarənin üzərində maksimum hündürlüyə malik N nöqtəsini tapa bilərsiniz. xOy. Bu hündürlük oyunun qiyməti olacaq ν.
S A * optimal strategiyasında A 1 , A 2 və A 3 strategiyalarının p 1 , p 2 , p 3 tezlikləri N nöqtəsinin koordinatları (x, y) ilə müəyyən ediləcək, yəni: p 2 = x, p 3 = y, p 1 = 1 – p 2 – p 3 . Bununla belə, belə bir həndəsi konstruksiya, hətta 3xn işi üçün belə, həyata keçirmək asan deyil və çox vaxt və təxəyyül səyləri tələb edir. Oyunun ümumi vəziyyətində o, m ölçülü fəzaya köçürülür və bütün aydınlığını itirir, baxmayaraq ki, bir sıra hallarda həndəsi terminologiyadan istifadə faydalı ola bilər. Mxn oyunlarını praktikada həll edərkən həndəsi analogiyalardan deyil, hesablanmış analitik üsullardan istifadə etmək daha rahatdır, xüsusən də bu üsullar kompüterlərdə problemin həlli üçün uyğun olan yeganə üsuldur.
Bütün bu üsullar mahiyyət etibarilə ardıcıl sınaqlar vasitəsilə problemin həllinə gəlir, lakin sınaqların ardıcıllığını sifariş etmək sizə ən qənaətcil şəkildə həllə aparan alqoritm qurmağa imkan verir. Burada mxn oyunlarını həll etmək üçün bir hesablama metodu - sözdə "xətti proqramlaşdırma" metodu üzərində qısaca dayanacağıq. Bunun üçün əvvəlcə mxn oyununun həllini tapmaq probleminin ümumi tərtibatını veririk. A 1 , A 2 , …, A m oyunçu A m strategiyası və B oyunçusunun n strategiyası B 1 , B 2 , …, B n strategiyası ilə oyun mxn verilsin və ‖a i j ‖ ödəniş matrisi verilir. Oyunun həllini tapmaq tələb olunur, yəni. A və B oyunçularının iki optimal qarışıq strategiyası
burada p 1 + p 2 + … + p m = 1; q 1 + q 2 + … + q n = 1 (p i və q j ədədlərinin bəziləri sıfır ola bilər).
Optimal strategiyamız S A * bizə düşmənin hər hansı davranışı üçün ν-dən az olmayan qazanc, optimal davranışı üçün isə ν-ə bərabər qazanc təmin etməlidir (strategiya S B *). Eynilə, S B * strategiyası düşmənə bizim hər hansı davranışımız üçün ν-dən çox olmayan və optimal davranışımız üçün ν-ə bərabər itki verməlidir (strategiya S A *).
Bu halda ν oyununun dəyəri bizə məlum deyil; bəzilərinə bərabər olduğunu fərz edəcəyik müsbət rəqəm. Bu şəkildə inanaraq, biz əsaslandırmanın ümumiliyini pozmuruq; ν > 0 olması üçün ‖a i j‖ matrisinin bütün elementlərinin qeyri-mənfi olması açıq-aydın kifayətdir. Buna həmişə ‖a i j ‖ elementlərinə kifayət qədər böyük müsbət qiymət əlavə etməklə nail olmaq olar. L; oyunun qiyməti artacaq L, lakin qərar dəyişməyəcək.
Optimal strategiyamızı S A * seçək. O zaman rəqibin B j strategiyası üçün orta qazancımız bərabər olacaq: a j = p 1 a 1j + p 2 a 2j + … + p m a mj . Bizim optimal strategiyamız S A * hər hansı düşmən davranışı üçün ν-dən az olmayan bir qazanc təmin edən xüsusiyyətə malikdir; buna görə də a j ədədlərindən hər hansı biri ν-dən kiçik ola bilməz. Bir sıra şərtlər alırıq:
(5.1) bərabərsizlikləri ν müsbət qiymətinə bölək və işarə edək
Sonra formada (5.1) şərtlər yazılacaq
burada ξ 1, ξ 2, …, ξ m mənfi olmayan ədədlərdir. р 1 + p 2 + … + p m = 1 olduğundan, ξ 1, ξ 2, …, ξ m kəmiyyətləri şərti ödəyir.
(5.3) ξ 1 + ξ 2 + … + ξ m = 1/ν.
Biz zəmanətli uduşlarımızı mümkün qədər yüksək etmək istəyirik; Aydındır ki, bu halda bərabərliyin sağ tərəfi (5.3) alır minimum dəyər. Beləliklə, oyunun həllinin tapılması məsələsi aşağıdakı riyazi məsələyə endirilir: (5.2) şərtlərini ödəyən ξ 1, ξ 2, ..., ξ m qeyri-mənfi kəmiyyətləri müəyyən edin ki, onların cəmi Φ = ξ olsun. 1 + ξ 2 + ... + ξ m minimal idi.
Adətən, ekstremal dəyərlərin (maksima və minimum) tapılması ilə bağlı məsələlərin həlli zamanı funksiya diferensiallaşdırılır və törəmələr sıfıra bərabər tutulur. Lakin belə bir texnika bu halda faydasızdır, çünki minimuma endirilməli olan Φ funksiyası xəttidir və onun bütün arqumentlərə münasibətdə törəmələri birinə bərabərdir, yəni. heç yerdə yoxa çıxmasın. Nəticə etibarilə, funksiyanın maksimumuna arqumentlərin və şərtlərin qeyri-mənfilik tələbi ilə müəyyən edilən arqumentlərdəki dəyişikliklər diapazonunun hüdudunda haradasa əldə edilir (5.2). Fərqləndirmədən istifadə edərək ekstremal dəyərlərin tapılması texnikası, məsələn, 2xn oyunlarını həll edərkən etdiyimiz kimi, uduşların aşağı (və ya minimum yuxarı) limitinin maksimumunun oyunu həll etmək üçün müəyyən edildiyi hallarda uyğun deyil. . Həqiqətən də, aşağı sərhəd düz xətlərin kəsiklərindən ibarətdir və maksimuma törəmənin sıfıra bərabər olduğu nöqtədə deyil (belə bir nöqtə ümumiyyətlə yoxdur), intervalın sərhədində və ya nöqtədə əldə edilir. düz hissələrin kəsişmə nöqtəsi.
Təcrübədə kifayət qədər tez-tez rast gəlinən belə problemləri həll etmək üçün riyaziyyatda xüsusi xətti proqramlaşdırma aparatı hazırlanmışdır. Xətti proqramlaşdırma problemi aşağıdakı kimi tərtib edilmişdir. Xətti tənliklər sistemi verilmişdir:
ξ 1, ξ 2, …, ξ m kəmiyyətlərin qeyri-mənfi qiymətlərini tapmaq, şərtləri (5.4) təmin etmək və eyni zamanda ξ 1, ξ 2 kəmiyyətlərin verilmiş homojen xətti funksiyasını minimuma endirmək tələb olunur, …, ξ m (xətti forma): Φ = c 1 ξ 1 + c 2 ξ 2 + … + c m ξ m
Yuxarıda verilən oyun nəzəriyyəsi probleminin c 1 = c 2 = ... = c m = 1 olan xətti proqramlaşdırma probleminin xüsusi halı olduğunu görmək asandır. İlk baxışdan belə görünə bilər ki, şərtlər (5.2) ekvivalent deyil. (5.4) şərtlərinə uyğundur, çünki bərabər işarələrin əvəzinə onlar bərabərsizlik işarələrini ehtiva edir. Bununla belə, yeni uydurma qeyri-mənfi dəyişənlər z 1, z 2, ..., z n və (5.2) formada yazmaqla bərabərsizlik işarələrindən xilas olmaq asandır:
Minimumlaşdırılmalı olan Φ forması Φ = ξ 1 + ξ 2 + … + ξ m-dir. Xətti proqramlaşdırma aparatı nisbətən az sayda ardıcıl nümunələr vasitəsilə müəyyən edilmiş tələblərə cavab verən ξ 1, ξ 2, ..., ξ m dəyərlərini seçməyə imkan verir. Daha aydınlıq üçün biz burada bu cihazın istifadəsini birbaşa konkret oyunların həlli materialında nümayiş etdirəcəyik.
Misal 1.§ 1-in 2-ci misalında verilmiş 3×3 oyununun həllini matrislə tapmaq tələb olunur:
Bütün ij-i mənfi olmayan etmək üçün matrisin bütün elementlərinə L = 5 əlavə edirik.Matrisi alırıq:
Bu halda oyunun qiyməti 5 artacaq, lakin həll yolu dəyişməyəcək.
Optimal strategiya S A * müəyyən edək. Şərtlər (5.2) formaya malikdir:
burada ξ 1 = p 1 /ν, ξ 2 = p 2 /ν, ξ 3 = p 3 /ν. Bərabərsizlik əlamətlərindən qurtulmaq üçün biz dummy dəyişənləri təqdim edirik z 1, z 2, z 3; şərtlər (5.6) aşağıdakı kimi yazılır:
Φ-nin xətti forması: Φ = ξ 1 + ξ 2 + ξ 3 və mümkün qədər kiçik olmalıdır. Əgər hər üç B strategiyası “faydalıdır”sa, onda hər üç saxta dəyişən z 1 , z 2 , z 3 yox olacaq (yəni, hər bir B j strategiyası üçün oyunun dəyərinə bərabər olan ν qazanc əldə ediləcək). Ancaq hər üç strategiyanın “faydalı” olduğunu söyləmək üçün hələ heç bir səbəbimiz yoxdur. Bunu yoxlamaq üçün Φ formasını z 1, z 2, z 3 dummy dəyişənləri ilə ifadə etməyə çalışaq və onları sıfıra bərabər qoyaraq formanın minimumuna nail olub-olmadığımıza baxaq. Bunu etmək üçün ξ 1, ξ 2, ξ 3 dəyişənlərinə münasibətdə (5.7) tənliklərini həll edək (yəni, ξ 1, ξ 2, ξ 3-ü z 1, z 2, z 3 uydurma dəyişənlər vasitəsilə ifadə edək):
ξ 1, ξ 2, ξ 3 əlavə edərək, alırıq: Φ = 1/5 + z 1/20 + z 2/10 + z 3/20. Burada bütün z üçün əmsallar müsbətdir; Bu o deməkdir ki, z 1, z 2, z 3-ün sıfırdan yuxarı istənilən artımı yalnız Φ formasının artmasına səbəb ola bilər və biz onun minimal olmasını istəyirik. Beləliklə, Φ formasını minimuma çevirən z 1, z 2, z 3 dəyərləri z 1 = z 2 = z 3 = 0 olur. Buna görə də, Φ formasının minimum dəyəri: 1/ν = 1/5, oyunun qiyməti buradan ν = 5. Sıfır dəyərləri z 1, z 2, z 3 düsturlarına əvəz etməklə (5.8) tapırıq: ξ 1 = 1/20, ξ 2 = 1/10, ξ 3 = 1/20 və ya onları ν-ə vuraraq, p 1 = 1/4, p 2 = 1/2, p 3 = 1/4. Beləliklə, optimal A strategiyası tapılır: 
, yəni. bütün halların dörddə birində 1 rəqəmini, halların yarısında 2, qalan dörddə birində isə 3 rəqəmini yazmalıyıq.
Oyunun qiymətini bilməklə ν = 5, rəqibin optimal strategiyasını tapmaq üçün artıq məlum olan üsullardan istifadə edə bilərik. 
. Bunu etmək üçün hər hansı iki “faydalı” strategiyamızdan (məsələn, A 2 və A 3) istifadə edəcəyik və tənlikləri yazacağıq:
9q 1 + 11 (1-q 2 -q 1) = 5,
buradan q 1 = q3 = 1/4; q 2 = 1/2. Düşmənin optimal strategiyası bizimlə eyni olacaq: 
. İndi orijinal (çevrilməmiş) oyuna qayıdaq. Bunun üçün oyunun qiymətindən ν = 5-dən matrisin elementlərinə əlavə olunan L = 5 dəyərini çıxarmaq kifayətdir. Orijinal oyunun qiymətini əldə edək v 0 = 0. Nəticə etibarilə hər iki tərəfin optimal strategiyaları sıfıra bərabər olan orta gəliri təmin edir; oyun hər iki tərəf üçün eyni dərəcədə faydalı və ya zərərlidir.
Misal 2. A idman klubunun komanda tərkibi üçün üç variantı var: A 1, A 2 və A 3. B klubu - həmçinin üç variantı ilə B 1, B 2 və B 3. Yarışda iştirak üçün müraciət edərkən heç bir klub rəqibin hansı heyəti seçəcəyini bilmir. A klubunu qazanma ehtimalları müxtəlif variantlar Keçmiş görüşlərin təcrübəsindən təxminən məlum olan komanda kompozisiyaları matrislə verilir:
Ən böyük orta qələbə sayına nail olmaq üçün klubların bir-birinə qarşı matçlarda komandalarının hər birinin meydana çıxması tezliyini tapın.
Həll. Aşağı oyun qiyməti 0,4; yuxarı 0,6; Qarışıq strategiyalar sahəsində həll axtarırıq. Kəsrlərlə məşğul olmamaq üçün matrisin bütün elementlərini 10-a vuraq; bu halda oyunun qiyməti 10 dəfə artacaq, lakin qərar dəyişməyəcək. Matris alırıq:
Şərtlər (5.5) formaya malikdir:
minimum şərt isə Φ = ξ 1 + ξ 2 + ξ 3 = min.
Hər üç düşmən strategiyasının “faydalı” olub olmadığını yoxlayırıq. Bir fərziyyə olaraq, əvvəlcə z 1, z 2, z 3 dummy dəyişənlərinin sıfıra bərabər olduğunu fərz edirik və yoxlamaq üçün ξ 1, ξ 2, ξ 3 üçün (5.10) tənliklərini həll edirik:
(5.12) 136Φ = 30 +13z 1 +18z 2 – 51z 3
Formula (5.12) göstərir ki, z 1 və z 2 dəyişənlərinin qəbul edilən sıfır qiymətindən artırılması yalnız Φ-ni artıra bilər, z 3-ün artırılması isə Φ-ni azalda bilər. Bununla belə, z 3-də artım diqqətlə aparılmalıdır ki, z 3-dən asılı olaraq ξ 1, ξ 2, ξ 3 dəyərləri mənfi olmasın. Buna görə də, gəlin bərabərliklərin sağ tərəflərində (5.11) z 1 və z 2 dəyərlərini sıfıra bərabər təyin edək və z 3 dəyərini məqbul həddə qədər artıraq (ξ 1 , ξ dəyərlərindən hər hansı birinə qədər 2 , ξ 3 sıfıra gedir). İkinci bərabərlikdən (5.11) aydın olur ki, z 3-də artım ξ 2 dəyəri üçün "təhlükəsiz"dir - yalnız bundan artır. ξ 1 və ξ 3 dəyərlərinə gəldikdə, burada z 3-də artım yalnız müəyyən bir həddə mümkündür. ξ 1 dəyəri z 3 = 10/23-də sıfıra çevrilir; ξ 3 dəyəri daha əvvəl yox olur, artıq z 3 = 1/4-də. Nəticə etibarilə, z 3-ə maksimum icazə verilən dəyərini z 3 = 1/4 verərək, ξ 3 dəyərini sıfıra çevirəcəyik.
Φ formasının z 1 = 0, z 2 = 0, ξ 3 = 0-da minimuma çevrilib-dönmədiyini yoxlamaq üçün qalan (sıfırdan fərqli) dəyişənləri guya sıfır z 1, z 2, ξ 3 ilə ifadə edirik. ξ 1, ξ 2 və z 3 üçün (5.10) tənliklərini həll edərək əldə edirik:
(5.13) 32Φ = 7 + Зz 1 + 4z 2 + ξ 3
(5.13) düsturundan aydın olur ki, z 1, z 2, ξ 3-də güman edilən sıfır dəyərlərindən artıq hər hansı artım yalnız Φ formasını artıra bilər. Beləliklə, oyunun həlli tapıldı; z 1 = z 2 = ξ 3 = 0 qiymətləri ilə müəyyən edilir, buradan ξ 1 = 1/32, ξ 2 = 3/16, z 3 = 1/4. (5.13) düsturu ilə əvəz edərək, oyunun qiymətini tapırıq ν: 32Φ = 7 = 32/ν; ν = 32/7. Bizim optimal strategiyamız: 
. "Faydalı" strategiyalar (A 1 və A 2 kompozisiyaları) 1/7 və 6/7 tezliklərində tətbiq edilməlidir; tərkibi A 3 - heç vaxt istifadə etməyin.
Düşmənin optimal strategiyasını tapmaq üçün, ümumi halda, bunu edə bilərsiniz: qazancın işarəsini əksinə dəyişdirin, matris elementlərinə mənfi olmayan hala gətirmək üçün sabit L dəyərini əlavə edin və düşmən üçün problemi həll edin. özümüz üçün həll etdiyimiz kimi. Bununla belə, ν oyunun qiymətini artıq bilməyimiz problemi bir qədər asanlaşdırır. Bundan əlavə, bu xüsusi vəziyyətdə problem həlldə yalnız iki "faydalı" düşmən strategiyasının B 1 və B 2-nin iştirak etməsi ilə daha da sadələşdirilir, çünki z 3 dəyəri sıfıra bərabər deyil və buna görə də , B 3 strategiyası ilə oyunun dəyəri əldə edilmir. A oyunçusunun istənilən “faydalı” strategiyasını, məsələn, A 1 seçməklə, siz q 1 və q 2 tezliklərini tapa bilərsiniz. Bunun üçün 8q 1 + 2(1 – q 1) = 32/7 tənliyini yazırıq, buradan q 1 = 3/7, q 2 = 4/7; Düşmənin optimal strategiyası belə olacaq: 
, yəni. düşmən B 3 kompozisiyasından istifadə etməməli, B 1 və B 2 kompozisiyaları isə 3/7 və 4/7 tezlikləri ilə istifadə edilməlidir.
Orijinal matrisə qayıdaraq, oyunun həqiqi dəyərini müəyyən edirik ν 0 = 32/7:10 = 0,457. Bu o deməkdir ki, görüşlərin çox olması ilə A klubunun qələbələrinin sayı bütün görüşlərin 0,457-si olacaq.
§ 6. Oyunların həlli üçün təxmini üsullar
Çox vaxt praktiki məsələlərdə oyunun dəqiq həllini tapmağa ehtiyac yoxdur; Oyunun dəyərinə yaxın orta qazanc verən təxmini bir həll tapmaq kifayətdir. ν oyununun qiyməti haqqında təxmini məlumatı matrisin sadə təhlili və oyunun aşağı (α) və yuxarı (β) qiymətlərinin müəyyən edilməsi ilə əldə etmək olar. Əgər α və β yaxındırsa, praktiki olaraq dəqiq həll axtarmağa ehtiyac yoxdur və bunun üçün təmiz minimaks strategiyalarını seçmək kifayətdir. α və β-nın yaxın olmadığı hallarda, oyunların həlli üçün ədədi üsullardan istifadə edərək praktik həll əldə etmək mümkündür, onlardan iterasiya üsulunu qısaca vurğulayacağıq.
İterasiya metodunun ideyası aşağıdakılara gəlir. A və B rəqiblərinin bir-birinə qarşı strategiyalarından istifadə etdikləri “fikir təcrübəsi” oynanılır. Təcrübə hər birində verilmiş oyunun matrisinə malik olan elementar oyunlar ardıcıllığından ibarətdir. Bu onunla başlayır ki, biz (oyunçu A) təsadüfi olaraq strategiyalarımızdan birini seçirik, məsələn, A i. Düşmən buna öz strategiyası ilə cavab verir B j , bu bizim üçün ən az faydalıdır, yəni. A i strategiyasının qazancını minimuma çevirir. Bu hərəkətə rəqib B j strategiyasından istifadə etdikdə maksimum orta qazancı verən A k strategiyamızla cavab veririk. Sonra yenə düşmənin növbəsidir. O, A i və A k cütlüyümüzə B j strategiyası ilə cavab verir ki, bu da bizə bu iki strategiya (A i, A k) üçün ən kiçik orta gəliri verir və s. İterativ prosesin hər bir addımında hər bir oyunçu başqa bir oyunçunun hər hansı bir hərəkətinə öz strategiyası ilə cavab verir ki, bu da onun bütün əvvəlki hərəkətlərinə nisbətən optimaldır, bəzi qarışıq strategiya kimi qəbul edilir, burada xalis strategiyaların tezliyinə uyğun nisbətlərdə təqdim olunur. onların istifadəsi.
Bu üsul, oyunçuların hər biri düşmənin davranışını hiss etdikdə və ona özləri üçün faydalı olan şəkildə cavab verməyə çalışdıqda, həqiqi praktik "məşq" modeli kimidir. Əgər öyrənmə prosesinin belə təqlidi kifayət qədər uzun müddət davam edərsə, onda bir cüt hərəkətə (ibtidai oyun) orta qazanc oyunun qiymətinə meylli olacaq və tezliklər p 1 ... p m ; Bu oyunda oyunçuların strategiyalarının qarşılaşdığı q 1 ... q n optimal strategiyaları təyin edən tezliklərə yaxınlaşacaq. Hesablamalar göstərir ki, metodun yaxınlaşması çox yavaşdır, lakin bu, yüksək sürətli hesablama maşınları üçün maneə deyil.
Əvvəlki paraqrafın 2-ci misalında həll edilmiş 3x3 oyun nümunəsindən istifadə edərək, iterativ metodun tətbiqini təsvir edək. Oyun matrislə verilir:
Cədvəl 6.1 təkrarlama prosesinin ilk 18 addımını göstərir. Birinci sütun elementar oyunun nömrəsini verir (hərəkət cütü) n; ikincidə - nömrə i oyunçu A-nın seçilmiş strategiyası; növbəti üçlükdə - birinci üçün "yığılmış uduşlar" n rəqibin B 1, B 2, B 3 strategiyaları ilə oyunlar. Bu dəyərlərin minimumu vurğulanır. Sonrakı nömrə gəlir j rəqibin seçdiyi strategiya və müvafiq olaraq üçün yığılmış uduşlar n A 1 , A 2 , A 3 strategiyaları üçün bu dəyərlərin maksimumu yuxarıda vurğulanır. Vurğulanmış dəyərlər digər oyunçunun cavab strategiyası seçimini müəyyənləşdirir. Aşağıdakı sütunlar ardıcıl olaraq göstərilir: minimum orta uduşlar ν, minimum yığılmış uduşların oyunların sayına bölünməsinə bərabərdir n; maksimum toplanmış uduşlara bölünən maksimum orta uduşlar n, və onların arifmetik ortası ν* = (ν + )/2. Artan zaman n hər üç dəyər ν və ν* oyunun qiymətinə ν yaxınlaşacaq, lakin ν* dəyəri təbii olaraq ona nisbətən daha sürətli yaxınlaşacaq.
Cədvəl 6.1.
Nümunədən göründüyü kimi, iterasiyaların yaxınlaşması çox yavaşdır, lakin hələ də belə kiçik bir hesablama oyunun qiymətinin təxmini dəyərini tapmağa və "faydalı" strategiyaların üstünlüyünü müəyyən etməyə imkan verir. Hesablama maşınlarından istifadə edərkən metodun dəyəri əhəmiyyətli dərəcədə artır. Oyunların həllinin iterativ üsulunun üstünlüyü ondan ibarətdir ki, strategiyaların sayı artdıqca hesablamaların həcmi və mürəkkəbliyi nisbətən az artır. m Və n.
§ 7. Bəzi sonsuz oyunların həlli üsulları
Sonsuz oyun, tərəflərdən ən azı birinin sonsuz sayda strategiyaya malik olduğu bir oyundur. Bu cür oyunları həll etmək üçün ümumi üsullar hələ də zəif inkişaf etmişdir. Bununla belə, nisbətən sadə həllə imkan verən bəzi xüsusi hallar təcrübə üçün maraqlı ola bilər. Hər birinin sonsuz (hesabsız) strategiyaları olan iki rəqib A və B oyununu nəzərdən keçirək; oyunçu A üçün bu strategiyalar uyğun gəlir müxtəlif mənalar davamlı dəyişən parametr X, və B üçün - parametr saat. Bu halda, ‖a ij‖ matrisinin əvəzinə oyun iki davamlı dəyişən arqumentin müəyyən funksiyası ilə müəyyən edilir. a(x, y), biz bunu ödəmə funksiyası adlandıracağıq (qeyd edək ki, funksiyanın özü a(x, y) davamlı olması lazım deyil). Win funksiyası a(x, y) həndəsi şəkildə hansısa səthlə təmsil oluna bilər a(x, y) arqument dəyişdirmə sahəsinin üstündə (x, y)(Şəkil 7.1)
Ödəniş funksiyasının təhlili a(x, y)ödəniş matrisinin təhlilinə bənzər şəkildə aparılır. Birincisi, oyunun aşağı qiyməti α tapılır; bu məqsədlə hər biri üçün müəyyən edilir X minimum funksiya a(x, y) hamısında saat: , onda bu dəyərlərin maksimumu hamısı üzərində axtarılır X(maksimum):
Oyunun yuxarı qiyməti (minimax) eyni şəkildə müəyyən edilir:
α = β olduğu halı nəzərdən keçirək. Oyunun qiyməti ν həmişə α ilə β arasında olduğundan, onların ümumi dəyəri ν-dir. α = β bərabərliyi səthi ifadə edir a(x, y) yəhər nöqtəsi var, yəni koordinatları x 0, y 0 olan bir nöqtə var, burada a(x, y) eyni zamanda minimaldır saat və maksimum X(Şəkil 7.2).
Məna a(x, y) bu nöqtədə oyunun qiyməti ν: ν = a(x 0, y 0). Yəhər nöqtəsinin olması o deməkdir ki, verilmiş sonsuz oyunun təmiz strategiya həlli var; x 0, y 0 optimal xalis A və B strategiyalarını təmsil edir. Ümumi halda, α ≠ β olduqda, oyun yalnız qarışıq strategiyalar sahəsində həllə malik ola bilər (bəlkə də yeganə deyil). Sonsuz oyunlar üçün qarışıq strategiya, strategiyalar üçün bəzi ehtimal paylanması var X Və saat, təsadüfi dəyişənlər kimi qəbul edilir. Bu paylanma davamlı ola bilər və sıxlıqlarla müəyyən edilə bilər f 1 (X) Və f 2 (y); diskret ola bilər və sonra optimal strategiyalar bəzi sıfırdan fərqli ehtimallarla seçilmiş fərdi təmiz strategiyalar toplusundan ibarətdir.
Sonsuz oyunun yəhər nöqtəsi olmadığı halda, oyunun aşağı və yuxarı qiymətlərinin aydın həndəsi şərhini verə bilərik. Ödəniş funksiyası olan sonsuz bir oyunu nəzərdən keçirək a(x, y) və strategiyalar x, y, baltaların seqmentlərini davamlı olaraq doldurmaq (x 1, x 2) Və (y 1, y 2). Oyunun daha aşağı qiymətini müəyyən etmək üçün α, səthə "baxmaq" lazımdır a(x, y) ox tərəfdən saat, yəni. onu bir təyyarəyə proyeksiya edin xOa(Şəkil 7.3). Biz tərəflərdən x = x 1 və x = x 2 düz xətləri ilə, yuxarıdan və aşağıdan isə K B və K H əyriləri ilə məhdudlaşan müəyyən bir rəqəm əldə edirik. Oyunun aşağı qiyməti α, açıq-aydın, başqa bir şey deyil. əyrisinin maksimum ordinatından K H.
Eynilə, oyunun yuxarı qiymətini tapmaq üçün β, səthə "baxmaq" lazımdır a(x, y) ox tərəfdən X(səthi bir müstəviyə çıxarın uOa) və K B proyeksiyasının yuxarı sərhədinin minimum ordinatını tapın (şək. 7.4).
Sonsuz oyunların iki elementar nümunəsinə baxaq.
Misal 1. A və B oyunçularının hər birinin saysız-hesabsız mümkün strategiyaları var X Və saat, və 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1. a üçün ödəmə funksiyası a (x, y) – (x – y) 2 ifadəsi ilə verilir. Oyunun həllini tapın.
Həlli: a(x, y) səthi parabolik silindrdir (şəkil 7.5) və yəhər nöqtəsi yoxdur. Oyunun aşağı qiymətini müəyyən edək; hər kəs üçün açıqdır X; deməli = 0. Oyunun yuxarı qiymətini müəyyən edək. Bunu etmək üçün biz sabit tapırıq saat
Bu halda, maksimum həmişə intervalın sərhəddində (x = 0 və ya x = 1-də) əldə edilir, yəni. y 2 kəmiyyətlərinə bərabərdir; (1 – y) 2, daha böyükdür. Bu funksiyaların qrafiklərini təsvir edək (şək. 7.6), yəni. səthin proyeksiyası a(x, y) təyyarəyə uOa. Şəkildəki qalın xətt. 7.6 funksiyanı göstərir. Aydındır ki, onun minimum dəyəri y = 1/2-də əldə edilir və 1/4-ə bərabərdir. Buna görə oyunun yuxarı qiyməti β = 1/4-dir. Bu halda oyunun yuxarı qiyməti ν oyunun qiyməti ilə üst-üstə düşür. Həqiqətən, A oyunçusu qarışıq strategiya S A = tətbiq edə bilər 
, burada x = 0 və x = 1 ekstremal dəyərləri eyni tezliklərdə baş verir; onda B oyunçusunun istənilən strategiyası üçün A oyunçusunun orta qazancı bərabər olacaq: ½у 2 + ½(1 – y) 2. Bu kəmiyyətin hər hansı bir dəyər üçün olduğunu yoxlamaq asandır saat 0 ilə 1 arasında ən azı ¼ dəyəri var: ½у 2 + ½(1 – y) 2 ≥ ¼.
Beləliklə, A oyunçusu bu qarışıq strategiyadan istifadə edərək, oyunun yuxarı qiymətinə bərabər olan qələbəyə özünə zəmanət verə bilər; oyunun qiyməti yuxarı qiymətdən yüksək ola bilmədiyi üçün bu strategiya S A optimaldır: S A = S A *.
B oyunçusunun optimal strategiyasını tapmaq qalır. Aydındır ki, əgər ν oyununun qiyməti β oyununun yuxarı qiymətinə bərabərdirsə, B oyunçusunun optimal strategiyası həmişə onun xalis minimaks strategiyası olacaqdır ki, bu da ona möcüzəni təmin edir. oyunun yuxarı qiyməti. Bu halda belə bir strategiya 0 = ½-dir. Həqiqətən də, bu strategiya ilə A oyunçusu nə edirsə etsin, onun qazancı ¼-dən çox olmayacaq. Bu, aşkar bərabərsizlikdən (x – ½) 2 = x(x –1) + ¼ ≤ ¼ gəlir.
Misal 2. A tərəfi ("biz") düşmənin B təyyarəsinə atəş açır. Atəşdən yayınmaq üçün düşmən bir qədər yüklənmə ilə manevr edə bilər saat, o, öz mülahizəsinə görə dəyərlər təyin edə bilər saat= 0 (xətti hərəkət) üçün saat = saatmaks(maksimum əyrilik dairəsi boyunca uçuş). güman edirik saatmaksölçü vahidi, yəni. qoyaq saatmaks= 1. Düşmənlə mübarizədə mərminin uçuşu zamanı hədəfin hərəkəti haqqında bu və ya digər fərziyyələrə əsaslanan nişangahlardan istifadə edə bilərik. Həddindən artıq yükləmə X bu hipotetik manevrdə 0-dan 1-ə qədər istənilən qiymətə bərabər olduğunu qəbul etmək olar. Bizim vəzifəmiz düşməni vurmaqdır; Düşmənin vəzifəsi məğlubiyyətsiz qalmaqdır. Məlumat üçün məğlub olma ehtimalı X Və saat təqribən düsturla ifadə olunur: a(x, y) = , Harada saat- düşmən tərəfindən həddindən artıq yüklənmə; x - baxışda nəzərə alınan həddindən artıq yüklənmə. Hər iki tərəfin optimal strategiyalarını müəyyən etmək lazımdır.
Həll. Aydındır ki, p = 1 təyin etsək oyunun həlli dəyişməyəcək. Ödəniş funksiyası a(x, y)Şəkildə göstərilən səthlə təmsil olunur. 7.7.
Bu silindrik bir səthdir, generatorları koordinat bucağının bisektoruna paraleldir. xOy, və generatrisə perpendikulyar bir müstəvi ilə kəsişmə normal paylanma əyrisi kimi əyridir. Yuxarıda təklif olunan oyunun aşağı və yuxarı qiymətlərinin həndəsi şərhindən istifadə edərək, β = 1 (Şəkil 7.8) və (Şəkil 7.9) tapırıq. Oyunun yəhər nöqtəsi yoxdur; həlli qarışıq strategiyalar sahəsində axtarılmalıdır. Tapşırıq əvvəlki nümunədəki problemə bir qədər bənzəyir. Həqiqətən, kiçik dəyərlərlə k funksiya özünü təxminən funksiya kimi aparır –(x – y) 2, və oyunun həlli, əvvəlki nümunənin həllində A və B oyunçularının rollarını dəyişdirsək əldə ediləcək; olanlar. optimal strategiyamız xalis strategiya x = 1/2, düşmənin optimal strategiyası S B = bərabər tezliklərdə y = 0 və y = 1 ekstremal strategiyalarından istifadə etmək olacaq.Bu o deməkdir ki, biz bütün hallarda hədəfdən istifadə etməliyik. x = 1/2 həddən artıq yüklənmə üçün nəzərdə tutulmuşdur və düşmən bütün hallarda yarısında heç bir manevrdən istifadə etməməlidir, yarısında isə mümkün olan maksimum manevr.
düyü. 7.8 Şek. 7.9.
Bu həllin k ≤ 2 dəyərləri üçün etibarlı olacağını sübut etmək asandır. Həqiqətən də, rəqibin strategiyası üçün orta gəlir S B = və bizim strategiyamız üçün X funksiyası ilə ifadə edilir , k ≤ 2 dəyərləri üçün x = 1/2-də bir maksimuma malikdir, oyunun aşağı qiymətinə α bərabərdir. Nəticə etibarilə, S B strategiyasının istifadəsi rəqibə α-dan çox olmayan itkiyə zəmanət verir, buradan aydın olur ki, α - oyunun aşağı qiyməti - oyunun qiymətidir ν.
k > 2 üçün a(x) funksiyası x 0 və 1 – x 0 nöqtələrində x = 1/2-yə nisbətən simmetrik olaraq yerləşən iki maksimuma malikdir (şək. 7.10) və x 0-ın qiyməti k-dən asılıdır.
Aydındır ki, nə vaxt k= 2 x 0 = 1 – x 0 = ½; artması ilə k x 0 və 1 – x 0 nöqtələri bir-birindən uzaqlaşır, ekstremal nöqtələrə (0 və 1) yaxınlaşır. Buna görə də oyunun həlli k-dan asılı olacaq. Gəlin k-nin xüsusi qiymətini təyin edək, məsələn, k = 3 və oyunun həllini tapaq; Bunun üçün a(x) əyrisinin maksimumunun x 0 absisini təyin edirik. a(x) funksiyasının törəməsini sıfıra bərabər tutaraq, x 0-ı təyin etmək üçün tənlik yazırıq:
Bu tənliyin üç kökü var: x = 1/2 (minimuma çatdığı yer) və maksimumların əldə edildiyi x 0, 1 – x 0. Tənliyi ədədi olaraq həll edərək, təxminən x 0 ≈ 0,07 tapırıq; 1 – x 0 ≈ 0,93.
Gəlin sübut edək ki, bu vəziyyətdə oyunun həlli aşağıdakı strategiya cütü olacaq:
Bizim strategiyamız və düşmənin strategiyası ilə saat orta uduşdur
0-da minimum a 1 (y) tapaq< у < 1. Функция a 1 (y) симметрична относительно y = 1/2 и может иметь только один или два максимума; ее минимум, во всяком случае, достигается либо в середине отрезка (0, 1), либо на его концах. Полагая у = 0 (или у = 1), найдем
y = 1/2 təyin etdikdə alırıq
1 (0)-dan böyük olan; buna görə də oyunun qiyməti 1 (0)-dan az deyil:
İndi deyək ki, düşmən S B * strategiyasından, biz isə x strategiyasından istifadə edirik. Sonra orta qazanc olacaq
Lakin biz x 0-ı dəqiq seçdik ki, x = x 0-da ifadənin maksimumu (7.2) əldə edilsin; deməli,
olanlar. S B * strategiyasından istifadə edən rəqib 0,530-dan çox itkinin qarşısını ala bilər; buna görə də ν = 0,530 oyunun qiymətidir və S A * və S B * strategiyaları həlli təmin edir. Bu o deməkdir ki, biz eyni tezlikdə x = 0,07 və x = 0,93 olan nişangahlardan istifadə etməliyik və düşmən eyni tezlikdə və maksimum yüklənmə ilə manevr etməməlidir.
Qeyd edək ki, qazanc ν = 0.530 oyunun aşağı qiymətindən nəzərəçarpacaq dərəcədə böyükdür 
, maksimum strategiyamızı x 0 = 1/2 tətbiq etməklə özümüz təmin edə bilərik.
Sonsuz oyunları həll etməyin praktiki yollarından biri onları təqribən sonlulara endirməkdir. Bu halda, hər bir oyunçu üçün bütün mümkün strategiyalar şərti olaraq bir strategiyada birləşdirilir. Bu şəkildə, əlbəttə ki, oyun üçün yalnız təxmini bir həll əldə edə bilərsiniz, lakin əksər hallarda dəqiq bir həll tələb olunmur.
Bununla belə, nəzərə almaq lazımdır ki, bu texnikanı tətbiq edərkən qarışıq strategiyalar sahəsində həllər hətta orijinal sonsuz oyunun həllinin təmiz strategiyalarda mümkün olduğu hallarda da görünə bilər, yəni. sonsuz oyunun yəhər nöqtəsi olduqda. Sonsuz oyunu sonluya endirməklə, yalnız iki bitişik "faydalı" strategiyanı ehtiva edən qarışıq bir həll əldə edilirsə, onda aralarındakı aralıq olan orijinal sonsuz oyunun təmiz strategiyasını tətbiq etməyə çalışmağın mənası var.
Sonda qeyd edirik ki, sonlu oyunlardan fərqli olaraq sonsuz oyunların həlli olmaya bilər. Heç bir həlli olmayan sonsuz bir oyuna misal verək. İki oyunçunun hər biri istənilən tam ədədi adlandırır. Daha böyük nömrənin adını çəkən digərindən 1 rubl alır. Hər ikisi eyni nömrəyə zəng edərsə, oyun heç-heçə bitər. Oyunun açıq şəkildə həlli ola bilməz. Bununla belə, həlli mütləq mövcud olan sonsuz oyun sinifləri var.
Oyun nəzəriyyəsi - münaqişə vəziyyətlərinin (maraqların toqquşması) həlli üçün riyazi üsullar toplusu. Oyun nəzəriyyəsində oyun adlanır münaqişə vəziyyətinin riyazi modeli. Oyun nəzəriyyəsində xüsusi maraq doğuran mövzu qeyri-müəyyənlik şəraitində oyun iştirakçılarının qərar qəbuletmə strategiyalarının öyrənilməsidir. Qeyri-müəyyənlik ondan irəli gəlir ki, iki və ya daha çox tərəf bir-birinə zidd məqsədlər güdürlər və hər bir tərəfin hər hansı bir hərəkətinin nəticəsi tərəfdaşın hərəkətindən asılıdır. Eyni zamanda hər bir tərəf qəbul etməyə çalışır optimal həllər məqsədlərini ən böyük ölçüdə həyata keçirənlər.
Oyun nəzəriyyəsi, məsələn, tədarükçü və istehlakçı, alıcı və satıcı, bank və müştəri münasibətlərində münaqişəli vəziyyətlərin yarandığı iqtisadiyyatda ən ardıcıl şəkildə tətbiq olunur. Oyun nəzəriyyəsinin tətbiqinə siyasətdə, sosiologiyada, biologiyada və hərbi sənətdə də rast gəlmək olar.
Oyun nəzəriyyəsi tarixindən
Oyun nəzəriyyəsinin tarixi müstəqil bir elm kimi 1944-cü ildə Con fon Neyman və Oskar Morqenşternin “Oyunlar və İqtisadi Davranışlar Nəzəriyyəsi” kitabını nəşr etdikdən sonra başladı. Oyun nəzəriyyəsi nümunələrinə əvvəllər rast gəlinsə də: ölmüş ərin əmlakının arvadları arasında bölüşdürülməsi haqqında Babil Talmud risaləsi, 18-ci əsrdə kart oyunları, 20-ci əsrin əvvəllərində şahmat nəzəriyyəsinin inkişafı. əsrdə, 1928-ci ildə eyni John von Neumanın minimax teoreminin sübutu, onsuz oyun nəzəriyyəsi olmazdı.
20-ci əsrin 50-ci illərində Melvin Drescher və Meryl Flood-dan Rand Korporasiyası Məhkum dilemmasını eksperimental olaraq ilk tətbiq edən Con Neş iki nəfərlik oyunlarda tarazlıq vəziyyəti ilə bağlı əsərlərində Neş tarazlığı konsepsiyasını inkişaf etdirdi.
Reinhard Salten 1965-ci ildə "Tələb Üzrə Oyun Nəzəriyyəsində Oliqopoliyanın Müalicəsi" ("Spieltheoretische Behandlung eines Oligomodells mit Nachfrageträgheit") kitabını nəşr etdi və bununla da iqtisadiyyatda oyun nəzəriyyəsinin tətbiqi yeni hərəkətverici qüvvə aldı. Oyun nəzəriyyəsinin təkamülündə irəliyə doğru bir addım Con Meynard Smitin "Təkamül Sabit Strategiyası" (1974) işi ilə əlaqələndirilir. Məhkumun dilemması Robert Axelrodun 1984-cü ildə yazdığı "Əməkdaşlığın Təkamülü" kitabında populyarlaşdı. 1994-cü ildə John Nash, John Harsanyi və Reinhard Selten oyun nəzəriyyəsinə töhfələrinə görə Nobel mükafatına layiq görüldülər.
Həyatda və biznesdə oyun nəzəriyyəsi
Həyatda və biznesdə müxtəlif vəziyyətlərin daha da modelləşdirilməsi üçün oyun nəzəriyyəsində başa düşüldüyü kimi konfliktli vəziyyətin (maraqların toqquşması) mahiyyəti üzərində daha ətraflı dayanaq. Bir fərd bir neçə mümkün nəticələrdən birinə səbəb olan bir mövqedə olsun və fərdin bu nəticələrlə bağlı bəzi şəxsi üstünlükləri var. Lakin o, nəticəni müəyyən edən dəyişənlərə müəyyən dərəcədə nəzarət edə bilsə də, onların üzərində tam hakimiyyətə malik deyil. Bəzən nəzarət onun kimi mümkün nəticələrlə bağlı bəzi üstünlükləri olan bir neçə şəxsin əlində olur, lakin ümumilikdə bu şəxslərin maraqları uyğun gəlmir. Digər hallarda, son nəticə həm təsadüfdən (hüquq elmində bəzən təbii fəlakətlər adlanır), həm də digər şəxslərdən asılı ola bilər. Oyun nəzəriyyəsi belə vəziyyətlərin müşahidələrini və belə vəziyyətlərdə ağıllı hərəkətləri istiqamətləndirmək üçün ümumi prinsiplərin formalaşdırılmasını sistemləşdirir.
Bəzi aspektlərdə "oyun nəzəriyyəsi" adı təəssüf doğurur, çünki bu, oyun nəzəriyyəsinin yalnız salon oyunlarında baş verən sosial əhəmiyyətsiz qarşılaşmalarla məşğul olduğunu göstərir, lakin buna baxmayaraq, nəzəriyyə daha geniş məna daşıyır.
Aşağıdakı iqtisadi vəziyyət oyun nəzəriyyəsinin tətbiqi haqqında fikir verə bilər. Tutaq ki, bir neçə sahibkar var ki, onların hər biri maksimum mənfəət əldə etməyə çalışır, eyni zamanda bu mənfəəti müəyyən edən dəyişənlər üzərində yalnız məhdud gücə malikdir. Sahibkarın başqa bir sahibkarın nəzarət etdiyi, lakin birincinin gəlirinə böyük təsir göstərə bilən dəyişənlər üzərində heç bir səlahiyyəti yoxdur. Bu vəziyyətə oyun kimi yanaşmaq aşağıdakı etirazı doğura bilər. Oyun modelində güman edilir ki, hər bir sahibkar mümkün seçimlər arasından bir seçim edir və bu tək seçimlər mənfəəti müəyyən edir. Aydındır ki, bu, reallıqda demək olar ki, baş verə bilməz, çünki bu halda sənayedə mürəkkəb idarəetmə aparatlarına ehtiyac olmayacaq. Sadəcə olaraq, iqtisadi sistemin digər iştirakçılarının (oyunçuların) etdiyi seçimlərdən asılı olan bir sıra qərarlar və bu qərarların modifikasiyası var. Amma prinsipcə bəzi idarəçinin hər bir problemi yarandığı kimi həll etməkdənsə, bütün mümkün gözlənilməz halları qabaqladığını və hər bir halda görüləcək tədbirləri təfərrüatlandırdığını təsəvvür etmək olar.
Hərbi münaqişə, tərifinə görə, hər iki tərəfin bir sıra döyüşlər tərəfindən həll edilən nəticəni təyin edən dəyişənlərə tam nəzarət etmədiyi maraqların toqquşmasıdır. Siz sadəcə olaraq nəticəni qələbə və ya itki hesab edə və onlara 1 və 0 ədədi dəyərlər təyin edə bilərsiniz.
Oyun nəzəriyyəsində yazıla və həll edilə bilən ən sadə münaqişə vəziyyətlərindən biri dueldir, bu, müvafiq olaraq 1 və 2-ci oyunçular arasındakı münaqişədir. səh Və q atışlar. Hər bir oyunçu üçün oyunçunun vuruşunun ehtimalını göstərən bir funksiya var i zamanın bir nöqtəsində tölümcül bir zərbə verəcək.
Nəticədə, oyun nəzəriyyəsi maraqların toqquşmalarının müəyyən bir sinfinin aşağıdakı formalaşdırılmasına gəlir: var n oyunçular və hər biri yüz xüsusi dəstdən bir seçim seçməlidir və seçim edərkən oyunçunun digər oyunçuların seçimləri haqqında məlumatı yoxdur. Oyunçunun mümkün seçim zonası, məsələn, “maşın atası oynamaq”, “avtomobil əvəzinə tanklar istehsal etmək” kimi elementləri və ya daha ümumən bütün mümkün şəraitlərdə görüləcək bütün hərəkətləri müəyyən edən strategiyanı ehtiva edə bilər. Hər bir oyunçu bir vəzifə ilə üzləşir: nəticəyə şəxsi təsiri ona mümkün olan ən böyük qələbəni gətirməsi üçün hansı seçimi etməlidir?
Oyun nəzəriyyəsində riyazi model və məsələlərin formallaşdırılması
Artıq qeyd etdiyimiz kimi, oyun münaqişə vəziyyətinin riyazi modelidir və aşağıdakı komponentləri tələb edir:
- maraqlı tərəflər;
- hər tərəfdən mümkün hərəkətlər;
- tərəflərin maraqları.
Oyunla maraqlanan tərəflərə oyunçular deyilir , onların hər biri ən azı iki hərəkət edə bilər (əgər oyunçunun ixtiyarında yalnız bir hərəkət varsa, o, əslində oyunda iştirak etmir, çünki onun nə edəcəyi əvvəlcədən məlumdur). Oyunun nəticəsi qalibiyyət adlanır .
Həqiqi münaqişə vəziyyəti həmişə deyil, oyun (oyun nəzəriyyəsi konsepsiyasında) həmişə uyğun olaraq davam edir müəyyən qaydalar , dəqiq müəyyən edir:
- oyunçuların hərəkətləri üçün seçimlər;
- hər bir oyunçunun tərəfdaşının davranışı haqqında məlumat miqdarı;
- hər bir hərəkət toplusunun gətirdiyi nəticə.
Rəsmi oyunlara misal olaraq futbol, kart oyunları və şahmat daxildir.
Lakin iqtisadiyyatda oyunçu davranışı modeli yaranır, məsələn, bir neçə firma bazarda daha sərfəli yer tutmağa çalışdıqda, bir neçə fərd öz aralarında bəzi yaxşılıqları (resurslar, maliyyə) bölməyə çalışır ki, hamı mümkün qədər çox şey əldə etsin. . İqtisadiyyatda bir oyun kimi modelləşdirilə bilən konflikt vəziyyətlərinin oyunçuları firmalar, banklar, fiziki şəxslər və digər iqtisadi agentlərdir. Öz növbəsində, müharibə şəraitində oyun modeli, məsələn, düşməni məğlub etmək və ya hücumdan qorumaq üçün ən yaxşı silahın (mövcud və ya potensialdan) seçilməsində istifadə olunur.
Oyun nəticənin qeyri-müəyyənliyi ilə xarakterizə olunur . Qeyri-müəyyənliyin səbəblərini aşağıdakı qruplara bölmək olar:
- kombinator (şahmatda olduğu kimi);
- təsadüfi amillərin təsiri ("başlar və ya quyruqlar" oyununda olduğu kimi, zarlar, kart oyunları);
- strateji (oyunçu düşmənin hansı hərəkəti edəcəyini bilmir).
Oyunçu strategiyası mövcud vəziyyətdən asılı olaraq hər bir hərəkətdə onun hərəkətlərini müəyyən edən qaydalar toplusudur.
Oyun nəzəriyyəsinin məqsədi hər bir oyunçu üçün optimal strategiyanı müəyyən etməkdir. Belə bir strategiyanın müəyyən edilməsi oyunu həll etmək deməkdir. Strategiyanın optimallığı oyunçulardan biri maksimum qalibiyyət əldə etməli, ikincisi isə öz strategiyasına sadiq qaldıqda əldə edilir. Birincisi öz strategiyasına sadiq qalarsa, ikinci oyunçu minimal itkiyə sahib olmalıdır.
Oyunların təsnifatı
- Oyunçuların sayına görə təsnifat (iki və ya daha çox şəxsin oyunu). İki nəfərlik oyunlar bütün oyun nəzəriyyəsində mərkəzi yer tutur. İki nəfərlik oyunlar üçün oyun nəzəriyyəsinin əsas konsepsiyası iki nəfərlik oyunlarda təbii olaraq ortaya çıxan çox əhəmiyyətli tarazlıq ideyasının ümumiləşdirilməsidir. Oyunlara gəlincə n fərdlər, sonra oyun nəzəriyyəsinin bir hissəsi oyunçular arasında əməkdaşlığın qadağan olduğu oyunlara həsr edilmişdir. Oyun nəzəriyyəsinin başqa bir hissəsində n fərdlər güman edirlər ki, oyunçular qarşılıqlı fayda üçün əməkdaşlıq edə bilərlər (kooperativ olmayan və kooperativ oyunlar haqqında bu paraqrafa daha sonra bax).
- Oyunçuların sayına və strategiyalarına görə təsnifat (strategiyaların sayı ən azı ikidir, sonsuz ola bilər).
- Məlumatın həcminə görə təsnifat keçmiş hərəkətlərə nisbətən: tam məlumat və natamam məlumat olan oyunlar. Oyunçu 1 - alıcı və oyunçu 2 - satıcı olsun. Əgər 1-ci oyunçu 2-ci oyunçunun hərəkətləri haqqında tam məlumata malik deyilsə, onda 1-ci oyunçu seçim etməli olduğu iki alternativ arasında fərq qoymaya bilər. Məsələn, hansısa məhsulun iki növü arasında seçim edib, bəzi xüsusiyyətlərinə görə məhsulun olduğunu bilməmək A daha pis məhsul B, oyunçu 1 alternativlər arasındakı fərqi görməyə bilər.
- Uduşların bölünməsi prinsiplərinə görə təsnifat : kooperativ, bir tərəfdən koalisiya və digər tərəfdən kooperativ olmayan, koalisiya olmayan. IN qeyri-kooperativ oyun və ya başqa cür - qeyri-kooperativ oyun , oyunçular ikinci oyunçunun hansı strategiyanı seçəcəyini bilmədən eyni vaxtda strategiyaları seçirlər. Oyunçular arasında ünsiyyət mümkün deyil. IN kooperativ oyun və ya başqa cür - koalisiya oyunu , oyunçular koalisiyalar yarada və uduşlarını artırmaq üçün kollektiv hərəkətlər edə bilərlər.
- Sonlu iki nəfərlik sıfır cəmi oyunu ya da antaqonist bir oyundur strategiya oyunuəks maraqları olan tərəfləri əhatə edən tam məlumatla. Antaqonist oyunlardır matris oyunları .
Oyun nəzəriyyəsindən klassik nümunə məhbus dilemmasıdır.
İki şübhəli nəzarətə alınaraq bir-birindən ayrılıb. Rayon prokuroru onların ağır cinayət törətdiklərinə əmindir, lakin məhkəmədə onlara ittiham irəli sürmək üçün kifayət qədər sübuta malik deyil. O, hər məhbusa deyir ki, onun iki alternativi var: ya polisin törətdiyinə inandığı cinayəti etiraf et, ya da etiraf etmə. Hər ikisi etiraf etməsə, DA onları kiçik oğurluq və ya qanunsuz silah saxlamaq kimi kiçik cinayətdə ittiham edəcək və hər ikisi kiçik bir cəza alacaqlar. Hər ikisi etiraf edərsə, cinayət məsuliyyətinə cəlb olunacaqlar, lakin o, ən ağır cəzanı tələb etməyəcək. Biri etiraf edirsə, digəri etmirsə, o zaman etiraf edənin cinayət ortağını ekstradisiya etdiyi üçün cəzası yüngülləşdiriləcək, israr edən isə “tam olaraq” alacaq.
Əgər bu strateji vəzifə nəticə baxımından formalaşdırılıbsa, o, aşağıdakılara qədər qayıdır:
Belə ki, hər iki məhbus etiraf etməsə, hər birinə 1 il vaxt verilir. Hər ikisi etiraf edərsə, hər biri 8 il alacaq. Biri etiraf edirsə, o biri etiraf etmirsə, o zaman etiraf edən üç ay həbslə buraxılacaq, etiraf etməyən isə 10 il cəza alacaq. Yuxarıdakı matris məhbus dilemmasını düzgün əks etdirir: hamı etiraf edib-etməmək sualı ilə qarşılaşır. Rayon prokurorunun məhbuslara təklif etdiyi oyun budur qeyri-kooperativ oyun və ya başqa cür - qeyri-kooperativ oyun . Hər iki məhbusun əməkdaşlıq etmək imkanı olsaydı (yəni. oyun kooperativ olacaq ya da başqa koalisiya oyunu ), onda hər ikisi etiraf etmədi və hər biri bir il həbs cəzası alacaqdı.
Oyun nəzəriyyəsinin riyazi vasitələrindən istifadə nümunələri
İndi biz oyun nəzəriyyəsində tədqiqat və həll üsullarının mövcud olduğu ümumi oyun siniflərinin nümunələrini nəzərdən keçirməyə davam edirik.
İki nəfərin kooperativ olmayan (kooperativ olmayan) oyununun rəsmiləşdirilməsinə misal
Əvvəlki paraqrafda biz artıq qeyri-kooperativ (kooperativ olmayan) oyun (məhbus dilemması) nümunəsinə baxmışdıq. Bacarıqlarımızı gücləndirək. Artur Konan Doylun “Şerlok Holmsun sərgüzəştləri” əsərindən ilhamlanan klassik süjet də buna uyğundur. Əlbəttə ki, etiraz etmək olar: nümunə həyatdan deyil, ədəbiyyatdandır, lakin Konan Doyl elmi fantastika yazıçısı kimi özünü təsdiqləməyib! Klassik həm də ona görə ki, tapşırığı artıq qurduğumuz kimi, oyun nəzəriyyəsinin qurucularından biri olan Oskar Morgenstern tamamladı.
Misal 1.“Şerlok Holmsun sərgüzəştləri” əsərindən birinin fraqmentinin qısaldılmış xülasəsi veriləcək. Oyun nəzəriyyəsinin məşhur konsepsiyalarına əsasən, münaqişə vəziyyətinin modelini yaradın və oyunu rəsmi şəkildə yazın.
Sherlock Holmes, onu təqib edən professor Moriarty-dən qaçmaq üçün qitəyə (Avropaya) çatmaq məqsədi ilə Londondan Doverə səyahət etmək niyyətindədir. Qatara mindikdən sonra stansiyanın platformasında professor Moriartini gördü. Şerlok Holms etiraf edir ki, Moriarti xüsusi qatar seçib onu keçə bilər. Şerlok Holmsun iki alternativi var: Doverə səyahətə davam edin və ya onun marşrutunda yeganə aralıq stansiya olan Canterbury stansiyasında enin. Biz qəbul edirik ki, onun rəqibi Holmsun imkanlarını müəyyən edəcək qədər ağıllıdır, ona görə də onun eyni iki alternativi var. Hər iki rəqib, hər birinin hansı qərarı verəcəyini bilmədən qatardan düşmək üçün stansiya seçməlidir. Əgər qərarın qəbulu nəticəsində hər ikisi eyni stansiyada sona çatarsa, o zaman Şerlok Holmsun professor Moriarti tərəfindən öldürüləcəyini qəti şəkildə güman edə bilərik. Şerlok Holms sağ-salamat Doverə çatsa, o, xilas olacaq.
Həll. Konan Doylun qəhrəmanlarını oyunun iştirakçıları, yəni oyunçular hesab edə bilərik. Hər bir oyunçu üçün əlçatandır i (i=1,2) iki təmiz strategiya:
- Doverdə enin (strategiya si1 ( i=1,2) );
- aralıq stansiyada enmək (strategiya si2 ( i=1,2) )
Hər iki oyunçunun iki strategiyadan hansını seçdiyindən asılı olaraq, cütlük kimi strategiyaların xüsusi birləşməsi yaradılacaq. s = (s1 , s 2 ) .
Hər bir birləşmə bir hadisə ilə əlaqələndirilə bilər - professor Moriarty tərəfindən Şerlok Holmsun öldürülməsinə cəhdin nəticəsi. Mümkün hadisələrlə bu oyunun matrisini yaradırıq.
Hadisələrin hər birinin altında professor Moriartinin alınmasını göstərən və Holmsun xilasından asılı olaraq hesablanan bir indeks var. Hər iki qəhrəman düşmənin nə seçəcəyini bilmədən eyni anda strategiya seçir. Beləliklə, oyun qeyri-kooperativdir, çünki birincisi, oyunçular müxtəlif qatarlardadırlar, ikincisi, qarşıdurma maraqları var.
Kooperativ (koalisiya) oyununun rəsmiləşdirilməsi və həlli nümunəsi nşəxslər
Bu nöqtədə praktiki hissə, yəni nümunə məsələnin həlli prosesindən əvvəl nəzəri hissə keçəcək və bu hissədə kooperativ (kooperativ olmayan) oyunların həlli üçün oyun nəzəriyyəsi anlayışları ilə tanış olacağıq. Bu tapşırıq üçün oyun nəzəriyyəsi təklif edir:
- xarakterik funksiya (sadə dillə desək, bu, oyunçuların koalisiyaya birləşməsinin faydasının böyüklüyünü əks etdirir);
- əlavəlik anlayışı (bütün obyektə uyğun gələn kəmiyyətin dəyərinin obyektin müəyyən sinif bölmələrində onun hissələrinə uyğun gələn kəmiyyətlərin qiymətlərinin cəminə bərabər olmasından ibarət olan kəmiyyətlərin xassəsi) hissələrə bölünür) və xarakterik funksiyanın superadditivliyi (bütün obyektə uyğun gələn kəmiyyətin dəyəri onun hissələrinə uyğun gələn kəmiyyətlərin qiymətlərinin cəmindən böyükdür).
Xarakterik funksiyanın superadditivliyi onu göstərir ki, koalisiyaya qoşulmaq oyunçular üçün faydalıdır, çünki bu halda koalisiyanın qazancının dəyəri oyunçuların sayı ilə artır.
Oyunu rəsmiləşdirmək üçün yuxarıdakı anlayışlar üçün rəsmi qeydlər təqdim etməliyik.
Oyun üçün n kimi onun bütün oyunçularının çoxluğunu işarə edək N= (1,2,...,n) Çoxluğun boş olmayan istənilən alt çoxluğu N kimi işarə edək T(özü də daxil olmaqla N və bir elementdən ibarət bütün alt çoxluqlar). Saytda dərs var " Çoxluqlar və çoxluqlar üzərində əməliyyatlar", linki kliklədiyiniz zaman yeni pəncərədə açılır.
Xarakterik funksiya kimi qeyd olunur v və onun tərif sahəsi çoxluğun mümkün alt çoxluqlarından ibarətdir N. v(T) - müəyyən bir alt çoxluq üçün xarakterik funksiyanın dəyəri, məsələn, bir oyunçudan ibarət olan koalisiyanın əldə etdiyi gəlir. Bu vacibdir, çünki oyun nəzəriyyəsi bütün ayrılmış koalisiyaların xarakterik funksiyasının dəyərləri üçün superadditivliyin mövcudluğunu yoxlamağı tələb edir.
İki boş olmayan alt çoxluq koalisiyaları üçün T1 Və T2 Kooperativ (koalisiya) oyununun xarakterik funksiyasının əlavəliyi aşağıdakı kimi yazılır:
Və superadditivlik belədir:
Misal 2.Üç tələbə musiqi məktəbi Onlar müxtəlif klublarda part-time işləyirlər, gəlirlərini kluba gələn qonaqlardan alırlar. Kooperativ oyunları həll etmək üçün oyun nəzəriyyəsi anlayışlarından istifadə edərək, qüvvələri birləşdirməyin (əgər belədirsə, hansı şərtlərdə) sərfəli olub olmadığını müəyyənləşdirin. nşəxslər, aşağıdakı ilkin məlumatlarla.
Orta hesabla, onların bir axşam üçün gəlirləri:
- skripkaçının 600 vahidi var;
- gitaraçının 700 ədədi var;
- müğənninin 900 ədədi var.
Gəlirləri artırmaq üçün tələbələr bir neçə ay ərzində müxtəlif qruplar yaratdılar. Nəticələr göstərdi ki, birləşərək axşam gəlirlərini artıra bilərlər:
- skripkaçı + gitaraçı 1500 vahid qazandı;
- skripkaçı + müğənni 1800 kontur qazandı;
- gitaraçı + müğənni 1900 kontur qazandı;
- skripkaçı + gitaraçı + müğənni 3000 kontur qazandı.
Həll. Bu nümunədə oyundakı oyunçuların sayı n= 3, buna görə də, oyunun xarakterik funksiyasının təyini sahəsi bütün oyunçuların çoxluğunun 2³ = 8 mümkün alt çoxluğundan ibarətdir. Bütün mümkün koalisiyaları sadalayaq T:
- hər biri bir oyunçudan - musiqiçidən ibarət bir elementin koalisiyaları: T{1} , T{2} , T{3} ;
- iki elementin koalisiyası: T{1,2} , T{1,3} , T{2,3} ;
- üç elementdən ibarət koalisiya: T{1,2,3} .
Hər bir oyunçuya seriya nömrəsi təyin edəcəyik:
- skripkaçı - 1-ci oyunçu;
- gitaraçı - 2-ci oyunçu;
- müğənni - 3-cü oyunçu.
Problem məlumatlarına əsasən, oyunun xarakterik funksiyasını təyin edirik v:
v(T(1)) = 600 ; v(T(2)) = 700 ; v(T(3)) = 900 ; xarakterik funksiyanın bu dəyərləri koalisiyada birləşmədikdə, müvafiq olaraq birinci, ikinci və üçüncü oyunçuların qazancları əsasında müəyyən edilir;
v(T(1,2)) = 1500 ; v(T(1,3)) = 1800 ; v(T(2,3)) = 1900 ; xarakterik funksiyanın bu dəyərləri koalisiyada birləşən hər bir cüt oyunçunun gəliri ilə müəyyən edilir;
v(T(1,2,3)) = 3000 ; xarakterik funksiyanın bu dəyəri oyunçuların üçlükdə birləşdiyi halda orta gəlirlə müəyyən edilir.
Beləliklə, biz oyunçuların bütün mümkün koalisiyalarını sadaladıq; bunlardan səkkiz var, çünki oyunun xarakterik funksiyasının təyin edilməsi sahəsi bütün oyunçular dəstinin tam səkkiz mümkün alt hissəsindən ibarətdir. Oyun nəzəriyyəsi bunu tələb edir, çünki bütün ayrı-ayrı koalisiyaların xarakterik funksiyasının dəyərləri üçün superadditivliyin mövcudluğunu yoxlamaq lazımdır.
Bu nümunədə superadditivlik şərtləri necə təmin edilir? Oyunçuların ayrı-ayrı koalisiyaları necə təşkil etdiyini müəyyən edək T1 Və T2 . Bəzi oyunçular koalisiyanın bir hissəsidirsə T1 , onda bütün digər oyunçular koalisiyanın bir hissəsidir T2 və tərifinə görə, bu koalisiya bütün oyunçular dəsti ilə setin fərqi kimi formalaşır T1 . Sonra əgər T1 - bir oyunçunun koalisiyası, sonra koalisiyada T2 koalisiyada ikinci və üçüncü oyunçular olacaq T1 birinci və üçüncü oyunçular, sonra koalisiya olacaq T2 yalnız ikinci oyunçudan ibarət olacaq və s.