مساحة السطح الجانبي والكامل للمكعب. كيفية إيجاد مساحة المكعب

هذه هي المساحة الإجمالية لجميع أسطح الشكل. مساحة سطح المكعب تساوي مجموع مساحات كل أوجهه الستة. مساحة السطح هي خاصية عددية للسطح. لحساب مساحة سطح المكعب ، عليك معرفة صيغة معينة وطول أحد جوانب المكعب. لكي تتمكن من حساب مساحة سطح المكعب بسرعة ، عليك أن تتذكر الصيغة والإجراء نفسه. أدناه سوف نحلل بالتفصيل ترتيب الحساب المساحة الإجمالية للمكعبوإعطاء أمثلة محددة.

يتم تنفيذه وفقًا للصيغة SA \ u003d 6a 2. المكعب (سداسي الوجوه المنتظم) هو أحد الأنواع الخمسة من متعدد السطوح المنتظم ، وهو متوازي سطوح مستطيل منتظم ، للمكعب 6 أوجه ، كل وجه من هذه الوجوه هو مربع.

بالنسبة حساب مساحة سطح المكعبتحتاج إلى كتابة الصيغة SA = 6a 2. الآن دعونا نرى لماذا هذه الصيغة لها مثل هذا الشكل. كما قلنا سابقًا ، للمكعب ستة أوجه مربعة متساوية. بناءً على حقيقة أن جوانب المربع متساوية ، فإن مساحة المربع هي - a 2 ، حيث a هو جانب المكعب. نظرًا لأن المكعب يحتوي على 6 أوجه مربعة متساوية ، لتحديد مساحة سطحه ، تحتاج إلى ضرب مساحة وجه واحد (مربع) في ستة. نتيجة لذلك ، نحصل على صيغة لحساب مساحة سطح المكعب (SA): SA \ u003d 6a 2 ، حيث تمثل a حافة المكعب (جانب المربع).

ما هي مساحة سطح المكعب.

يتم قياسها بوحدات مربعة ، على سبيل المثال ، مم 2 ، سم 2 ، م 2 وما إلى ذلك. لمزيد من العمليات الحسابية ، ستحتاج إلى قياس حافة المكعب. كما نعلم ، فإن حواف المكعب متساوية ، لذا سيكون كافياً لك أن تقيس حافة واحدة (أي) من حواف المكعب. يمكنك إجراء مثل هذا القياس باستخدام مسطرة (أو شريط قياس). انتبه لوحدات القياس الموجودة على المسطرة أو شريط القياس واكتب القيمة مع الإشارة إليها على أنها a.

مثال: أ = 2 سم.

ربّع القيمة الناتجة. إذن أنت تربيع طول حافة المكعب. لتربيع رقم ، اضربه في نفسه. ستبدو صيغتنا كما يلي: SA \ u003d 6 * a 2

لقد قمت بحساب مساحة أحد وجوه المكعب.

مثال: أ = 2 سم

أ 2 \ u003d 2 × 2 \ u003d 4 سم 2

اضرب القيمة الناتجة في ستة. تذكر أن للمكعب 6 أضلاع متساوية. بعد تحديد مساحة أحد الوجوه ، اضرب القيمة الناتجة في 6 بحيث يتم تضمين جميع أوجه المكعب في الحساب.

هنا نأتي إلى الإجراء النهائي بشأن حساب مساحة سطح المكعب.

مثال: أ 2 \ u003d 4 سم 2

SA \ u003d 6 × a 2 \ u003d 6 × 4 \ u003d 24 سم 2

تتضمن دورة الفيديو "الحصول على A" جميع الموضوعات اللازمة لاجتياز امتحان الرياضيات بنجاح بنسبة 60-65 نقطة. تمامًا جميع المهام 1-13 من ملف التعريف المستخدم في الرياضيات. مناسب أيضًا لاجتياز الاستخدام الأساسي في الرياضيات. إذا كنت تريد اجتياز الاختبار بمجموع 90-100 نقطة ، فأنت بحاجة إلى حل الجزء الأول في 30 دقيقة وبدون أخطاء!

دورة تحضيرية لامتحان الصفوف 10-11 وكذلك للمعلمين. كل ما تحتاجه لحل الجزء الأول من اختبار الرياضيات (أول 12 مشكلة) والمسألة 13 (حساب المثلثات). وهذا أكثر من 70 نقطة في امتحان الدولة الموحد ، ولا يمكن لطالب مائة نقطة ولا إنساني الاستغناء عنها.

كل النظرية اللازمة. الحلول السريعة والفخاخ وأسرار الامتحان. تم تحليل جميع المهام ذات الصلة بالجزء 1 من مهام بنك FIPI. تتوافق الدورة تمامًا مع متطلبات USE-2018.

تحتوي الدورة على 5 مواضيع كبيرة ، 2.5 ساعة لكل منها. يتم إعطاء كل موضوع من الصفر ، ببساطة وبشكل واضح.

المئات من مهام الامتحان. مشاكل النص ونظرية الاحتمالات. خوارزميات حل المشكلات بسيطة وسهلة التذكر. الهندسة. النظرية ، المادة المرجعية ، تحليل جميع أنواع مهام الاستخدام. القياس المجسم. حيل ماكرة لحل أوراق الغش المفيدة ، وتنمية الخيال المكاني. علم المثلثات من البداية إلى المهمة 13. الفهم بدلاً من الحشو. شرح مرئي للمفاهيم المعقدة. الجبر. الجذور والقوى واللوغاريتمات والوظيفة والمشتقات. قاعدة لحل المشكلات المعقدة للجزء الثاني من الامتحان.

المكعب شخصية مذهلة. إنه نفس الشيء من جميع الجهات. يمكن لأي من وجوهه أن يصبح على الفور القاعدة أو الجانب. ولن يتغير شيء من هذا. ومن السهل دائمًا تذكر الصيغ الخاصة به. ولا يهم ما تحتاج إلى العثور عليه - الحجم أو مساحة السطحكوبا. في الحالة الأخيرة ، لا تحتاج حتى إلى تعلم شيء جديد. يكفي أن نتذكر فقط صيغة مساحة المربع.

ما هي المنطقة؟

عادة ما يتم الإشارة إلى هذه القيمة بالحرف اللاتيني S. علاوة على ذلك ، هذا صحيح بالنسبة للمواد المدرسية مثل الفيزياء والرياضيات. يقاس بوحدات الطول المربعة. كل هذا يتوقف على الكميات المعطاة في المشكلة. يمكن أن تكون مم أو سم أو م أو كيلومتر مربع. علاوة على ذلك ، هناك حالات لا يتم فيها الإشارة إلى الوحدات. نحن نتحدث ببساطة عن التعبير العددي للمنطقة بدون اسم.

إذن ما هي المنطقة؟ هذه قيمة هي خاصية عددية للشكل أو الجسم الحجمي المعني. يوضح حجم سطحه الذي يقتصر على جوانب الشكل.

ما هو شكل يسمى مكعب؟

هذا الرقم هو متعدد السطوح. وليس سهلا. إنه صحيح ، أي أنه يحتوي على جميع العناصر متساوية مع بعضها البعض. سواء كانت جوانب أو حواف. كل سطح للمكعب هو مربع.

اسم آخر للمكعب هو سداسي الوجوه العادي ، إذا كان باللغة الروسية ، ثم سداسي السطوح. يمكن تشكيله من منشور رباعي الزوايا أو متوازي السطوح. بشرط أن تكون كل الأضلاع متساوية وأن تكون الزوايا 90 درجة.

هذا الرقم متناغم لدرجة أنه يستخدم غالبًا في الحياة اليومية. على سبيل المثال ، اللعب الأولى للطفل هي المكعبات. والمرح لمن هم أكبر سنا هو مكعب روبيك.

كيف يرتبط المكعب بالأشكال والأجسام الأخرى؟

إذا قمت برسم جزء من مكعب يمر عبر ثلاثة من أوجهه ، فسيبدو مثل المثلث. كلما ابتعدت عن الجزء العلوي ، سيصبح القسم أكبر. ستأتي لحظة تتقاطع فيها 4 وجوه بالفعل ، وسيصبح الشكل في القسم رباعي الأضلاع. إذا رسمنا مقطعًا عبر مركز المكعب بحيث يكون متعامدًا على أقطاره الأساسية ، نحصل على مسدس منتظم.

داخل المكعب ، يمكنك رسم رباعي السطوح (هرم مثلثي). يؤخذ أحد أركانه كرأس رباعي الوجوه. سوف تتطابق الثلاثة المتبقية مع الرؤوس التي تقع على طرفي نقيض من حواف الركن المختار من المكعب.

يمكن نقش المجسم الثماني (وهو متعدد السطوح المنتظم المحدب الذي يشبه هرمين متصلين) فيه. للقيام بذلك ، تحتاج إلى إيجاد مراكز كل وجوه المكعب. سيكونون رؤوس المجسم الثماني.

العملية العكسية ممكنة أيضًا ، أي أنه من الممكن حقًا وضع مكعب داخل المجسم الثماني. الآن فقط ستصبح مراكز وجوه الأول رؤوسًا للثاني.

الطريقة الأولى: حساب مساحة المكعب من حافته

لحساب مساحة السطح الإجمالية للمكعب ، عليك معرفة أحد عناصره. أسهل طريقة لحلها هي معرفة الحافة أو ، بعبارة أخرى ، جانب المربع الذي يتكون منه. عادةً ما يُشار إلى هذه القيمة بالحرف اللاتيني "a".

الآن عليك أن تتذكر الصيغة التي يتم بها حساب مساحة المربع. حتى لا يتم الخلط بينكما ، تم تقديم تعيينه بالحرف S 1.

للراحة ، من الأفضل إعطاء أرقام لجميع الصيغ. هذا سيكون الأول.

لكن هذه مساحة مربع واحد فقط. هناك ستة منهم: 4 على الجانبين و 2 في الأسفل والأعلى. ثم يتم حساب مساحة سطح المكعب بالصيغة التالية: S = 6 * a 2. رقمها 2.

الطريقة الثانية: كيفية حساب المساحة إذا كان حجم الجسم معروفًا

من التعبير الرياضي لحجم السداسي الوجوه ، واحد مشتق من خلاله يمكن للمرء حساب طول الحافة. ها هي:

يستمر الترقيم ، وهنا الرقم 3.

الآن يمكن حسابها واستبدالها في الصيغة الثانية. إذا تصرفنا وفقًا لمعايير الرياضيات ، فنحن بحاجة إلى اشتقاق التعبير التالي:

هذه هي الصيغة الخاصة بمساحة سطح المكعب بالكامل ، والتي يمكن استخدامها إذا كان الحجم معروفًا. هذا الرقم القياسي هو 4.

الطريقة الثالثة: حساب المساحة من قطر المكعب

هذه هي الصيغة رقم 5.

من السهل اشتقاق تعبير لحافة المكعب منه:

هذه هي الصيغة السادسة. بعد حسابها ، يمكنك مرة أخرى استخدام الصيغة تحت الرقم الثاني. لكن من الأفضل أن تكتب شيئًا كهذا:

اتضح أنه رقم 7. إذا نظرت عن كثب ، ستلاحظ أن الصيغة الأخيرة أكثر ملاءمة من الحساب خطوة بخطوة.

الطريقة الرابعة: كيفية استخدام نصف قطر دائرة منقوشة أو مقيدة لحساب مساحة المكعب

إذا أشرنا إلى نصف قطر الدائرة المحددة حول السداسي الوجوه بالحرف R ، فسيكون من السهل حساب مساحة سطح المكعب باستخدام الصيغة التالية:

رقمها التسلسلي هو 8. يمكن الحصول عليه بسهولة نظرًا لحقيقة أن قطر الدائرة يتطابق تمامًا مع القطر الرئيسي.

بالإشارة إلى نصف قطر الدائرة المنقوشة بالحرف اللاتيني r ، يمكننا الحصول على الصيغة التالية لمساحة السطح السداسي الوجوه بالكامل:

هذه هي الصيغة رقم 9.

بضع كلمات عن السطح الجانبي للسداسي الوجوه

إذا كان مطلوبًا في المشكلة العثور على مساحة السطح الجانبي للمكعب ، فأنت بحاجة إلى استخدام التقنية الموضحة أعلاه. عندما يتم إعطاء حافة الجسم بالفعل ، فإن مساحة المربع فقط يجب أن تُضرب في 4. ظهر هذا الشكل بسبب حقيقة أن المكعب له 4 أوجه جانبية فقط. التدوين الرياضي لهذا التعبير كما يلي:

رقمه هو 10. إذا تم تقديم بعض القيم الأخرى ، فتابع بطريقة مماثلة للطرق الموضحة أعلاه.

أمثلة المهام

الشرط الأول. مساحة سطح المكعب معروفة. إنها تساوي 200 سم². احسب القطر الرئيسي للمكعب.

1 الطريق. تحتاج إلى استخدام الصيغة المشار إليها بالرقم 2. ولن يكون من الصعب اشتقاق "a" منها. سيبدو هذا الترميز الرياضي الجذر التربيعيمن حاصل قسمة يساوي S في 6. بعد استبدال الأرقام ، اتضح:

أ = √ (200/6) = √ (100/3) = 10 3 (سم).

تسمح لك الصيغة الخامسة بحساب القطر الرئيسي للمكعب على الفور. للقيام بذلك ، تحتاج إلى ضرب قيمة الحافة في √3. انه سهل. الإجابة هي أن القطر يساوي 10 سم.

2 طريقة. في حال نسيت صيغة القطر ، لكن تذكر نظرية فيثاغورس.

على غرار الطريقة الأولى ، أوجد الحافة. ثم تحتاج إلى تدوين نظرية الوتر مرتين: الأولى للمثلث الموجود على الوجه ، والثانية للمثلث الذي يحتوي على القطر المطلوب.

x² = a² + a² ، حيث x هو قطر المربع.

د² \ u003d س² + أ² \ u003d أ² + أ² + أ² \ u003d 3 أ². من هذا الإدخال ، من السهل معرفة كيفية الحصول على صيغة القطر. وبعد ذلك ستكون جميع الحسابات ، كما في الطريقة الأولى. إنها فترة أطول قليلاً ، لكنها لا تسمح لك بتذكر الصيغة ، بل الحصول عليها بنفسك.

إجابه: قطري مكعبيساوي 10 سم.

الشرط الثاني. من مساحة السطح المعروفة ، وهي 54 cm 2 ، احسب حجم المكعب.

باستخدام الصيغة تحت الرقم الثاني ، تحتاج إلى معرفة قيمة حافة المكعب. يتم وصف كيفية القيام بذلك بالتفصيل في الطريقة الأولى لحل المشكلة السابقة. بعد إجراء جميع الحسابات ، نحصل على \ u003d 3 سم.

أنت الآن بحاجة إلى استخدام صيغة حجم المكعب ، حيث يتم رفع طول الحافة إلى الأس الثالث. هذا يعني أنه سيتم اعتبار الحجم على النحو التالي: V \ u003d 3 3 \ u003d 27 سم 3.

الجواب: حجم المكعب 27 سم 3.

الشرط الثالث. مطلوب العثور على حافة المكعب التي يتم استيفاء الشرط التالي لها. تؤدي زيادة الحافة بمقدار 9 وحدات إلى زيادة المساحة الإجمالية للسطح بمقدار 594.

نظرًا لعدم وجود أرقام صريحة في المشكلة ، فقط الفرق بين ما كان وما أصبح ، إذن يجب تقديم تدوين إضافي. هذا ليس بالأمر الصعب. دع القيمة المطلوبة تساوي "أ". ثم ستساوي الحافة المتزايدة للمكعب (أ + 9).

بمعرفة ذلك ، عليك كتابة الصيغة الخاصة بمساحة سطح المكعب مرتين. الأول - للقيمة الأولية للحافة - سيتطابق مع الرقم 2. والثاني سيكون مختلفًا قليلاً. في ذلك ، بدلاً من "أ" ، تحتاج إلى كتابة المجموع (أ + 9). نظرًا لأن المشكلة تتعامل مع الاختلاف في المناطق ، فمن الضروري طرح الأصغر من المساحة الأكبر:

6 * (أ + 9) 2-6 * أ 2 = 594.

تحتاج إلى إجراء تحولات. أولًا ، ضع الأقواس 6 في الجانب الأيسر من المعادلة ، ثم بسّط ما تبقى بين قوسين. وهي (أ + 9) 2 - أ 2. هنا يتم كتابة فرق المربعات والتي يمكن تحويلها على النحو التالي: (أ + 9 - أ) (أ + 9 + أ). بعد تبسيط التعبير ، نحصل على 9 (2a + 9).

الآن يجب ضربه في 6 ، أي الرقم الذي كان قبل القوس ، ويعادل 594: 54 (2a + 9) \ u003d 594. هذا هو معادلة خط مستقيممع واحد غير معروف. من السهل حلها. تحتاج أولاً إلى فتح الأقواس ، ثم نقل المصطلح بقيمة غير معروفة إلى الجانب الأيسر من المساواة والأرقام إلى اليمين. سيتم الحصول على معادلة: 2a \ u003d 2. يمكن أن نرى منها أن القيمة المرغوبة هي 1.

المكعب هو أحد أبسط الأشكال ثلاثية الأبعاد. الجميع على دراية بمكعبات الثلج أو الصناديق المربعة أو بلورات الملح - كلها مثل هذه الأشكال. مساحة سطح المكعب هي المساحة الإجمالية لجميع الجوانب على سطحه. جميع وجوهها الستة متناسبة ، لذلك ، بمعرفة طول أحدها ، من الممكن حساب المساحة الجانبية ومساحة السطح لأي شكل.

كيف تجد مساحة المكعب - ما هو الشكل؟

المكعب شكل ثلاثي الأبعاد له نفس الأبعاد. الطول والعرض والارتفاع متطابقان ، وتلتقي كل حافة بالحواف الأخرى بنفس الزاوية. يعد العثور على مساحة سطح المكعب سريعًا وسهلاً لأنه يتكون من مربعات متطابقة أو متكافئة. لذا ، بمجرد أن تجد حجم أحد المربعات ، ستعرف مساحة الشكل بالكامل.

كيفية إيجاد مساحة المكعب - وجوه الشكل

يمكن أن نرى من الرسم التوضيحي أن المكعب له وجه أمامي وخلفي ، ووجهان جانبيان ووجه علوي من الجانب السفلي. ستكون مساحة أي مكعب ستة مربعات متطابقة. في الواقع ، إذا قمت بتوسيعه ، يمكنك أن ترى بوضوح المربعات الستة التي تشكل السطح الكلي للشكل.

كيفية إيجاد مساحة المكعب

تتكون مساحة المكعب من مساحة ستة أوجه. نظرًا لأنهم جميعًا متساوون ، يكفي معرفة مساحة أحدهم وضرب القيمة في 6. تم العثور أيضًا على مساحة الشكل باستخدام صيغة بسيطة: S \ u003d 6 x a² ، حيث يمثل الحرف "a" أحد جوانب المكعب.

كيفية إيجاد مساحة المكعب - عيِّن مساحة أحد الجوانب

• لنفترض أن ارتفاع المكعب 2 سم ، وبما أن سطحه مكون من مربعات ، فإن كل حوافه سيكون لها نفس الطول. لذلك ، بناءً على أبعاد الارتفاع ، سيكون طوله وعرضه 2 سم.
• لإيجاد مساحة أحد المربعات ، تذكر المعرفة الأساسية للهندسة ، حيث S = a² ، حيث أ هو طول أحد الأضلاع. في حالتنا ، أ = 2 سم ، لذا S = (2 سم) ² = 2 سم × 2 سم = 4 سم².
• مساحة أحد مربعات السطح 4 سم². تأكد من تضمين القيمة الخاصة بك في الوحدات المربعة.

كيف تجد مساحة المكعب - مثال

نظرًا لأن كامل سطح الشكل يتكون من ستة مربعات متناسبة ، فأنت بحاجة إلى ضرب مساحة أحد الأضلاع في 6 ، باتباع الصيغة S \ u003d 6 x a². في حالتنا ، S = 6 × 4 سم² = 24 سم². مساحة الشكل ثلاثي الأبعاد 24 سم².

أوجد مساحة المكعب إذا كان ضلعه مقسومًا على كسور

إذا وجدت صعوبة في التعامل مع كسر ، فحوله إلى رقم عشري.
على سبيل المثال ، ارتفاع المكعب 2 ½ cm.

• S = 6 × (2½ سم) ²
• S = 6 × (2.5 سم) ²
• S = 6 × 6.25 سم²
• S = 37.5 سم²
• مساحة سطح المكعب 37.5 سم².

معرفة مساحة المكعب ، أوجد جانبه

إذا كانت مساحة سطح المكعب معروفة ، فيمكن تحديد طول جوانبها.

• مساحة المكعب 86.64 سم². تحتاج إلى تحديد طول الحافة.
• المحلول. نظرًا لأن مساحة السطح معروفة ، فعليك العد التنازلي بقسمة القيمة على 6 ثم أخذ الجذر التربيعي.
• بعد إجراء الحسابات اللازمة ، نحصل على طول 3.8 سم.

كيفية إيجاد مساحة المكعب - قياس المساحة عبر الإنترنت

باستخدام الآلة الحاسبة على موقع OnlineMSchool ، يمكنك حساب مساحة المكعب بسرعة. يكفي إدخال القيمة المرغوبة للجانب وستصدر الخدمة حلاً مفصلاً خطوة بخطوة للمهمة.

لذا ، لمعرفة مساحة المكعب ، احسب مساحة أحد الأضلاع ، ثم اضرب الناتج في 6 ، لأن الشكل به 6 أضلاع متساوية. يمكنك استخدام الصيغة S \ u003d 6a² عند الحساب. إذا تم إعطاء مساحة السطح ، فمن الممكن تحديد طول الجزء الجانبي عن طريق القيام بالخطوات العكسية.