طرق غير قياسية لحل المعادلات. طرق غير قياسية لحل المتباينات والمعادلات غير المنطقية

عنوان: "طرق غير قياسية لحل المعادلات"

استهداف:ضع في اعتبارك بعض طرق حل المعادلات التي تتيح للطلاب الاستعداد لحل مشكلات الاختبار النهائي.

خلال الفصول.

1. دراسة المادة النظرية.

طريقة اختيار الجذر .

معادلات مثل https://pandia.ru/text/78/386/images/image002_13.png "width =" 47 "height =" 29 src = ">. png" width = "143" height = "29 src =" > معادلة عقلانية من الدرجة التاسعة.

1) إذا كان العدد الصحيح N هو root.png "width =" 22 "height =" 29 src = ">. png" width = "22" height = "29 src =">. png "width =" 10 "height = "40 src =">. png "width =" 52 "height =" 29 src = ">. png" width = "23" height = "29 src =">. png "width =" 260 "height =" 30 src = "> .

المحلول. في القضية قيد النظر https://pandia.ru/text/78/386/images/image015_5.png "width =" 252 "height =" 29 src = ">

لذلك الجزء غير القابل للاختزال https://pandia.ru/text/78/386/images/image017_5.png "width =" 69 "height =" 40 src = "> ; https://pandia.ru/text/78/386/images/image019_4.png "height =" 40 src = "> هو حل منطقي للمعادلة الأصلية.

مثال 2. أوجد الجذور الصحيحة لكثيرات الحدودF(x)= https://pandia.ru/text/78/386/images/image021_1.png "width =" 143 "height =" 29 src = "> بالتعويض عن الأرقام التي تم الحصول عليها في كثير الحدود الأصلي ، يمكننا التأكد من أن الأرقام 1 ، 2 ، -2 هي جذور كثير الحدود.

5) كثيرة الحدود هي دالة مستمرة ، لذلك إذا كان هناك جذر واحد على الأقل لهذا في النهايات https://pandia.ru/text/78/386/images/image023_1.png "متعدد الحدود.

مثال 3. أوجد جذرًا صحيحًا واحدًا على الأقل لكثير الحدودF(x)= https://pandia.ru/text/78/386/images/image025_2.png "width =" 336 "height =" 29 src = "> لذلك ، يوجد جذر واحد على الأقل في الفترة https://pandia.ru/text/78/386/images/image027_0.png "width =" 358 "height =" 241 src = ">

وبالتالي ، يمكن كتابة كثير الحدود الأصلي على النحو التالي: 2https: //pandia.ru/text/78/386/images/image029_1.png "width =" 214 "height =" 29 src = ">

المحلول. المعامل الرئيسي هو 1 ، والمصطلح المجاني له قواسم 1،2،8،16 ، لذلك ، هذه المعادلة لها جذر منطقي ، ثم هذا الجذر هو بالتأكيد عدد صحيح ومن بين الأرقام إذا https://pandia.ru/text / 78/386 / images / image031_0.png "width =" 16 "height =" 29 src = "> 16..png" width = "324" height = "243 src =">

لذلك ، https://pandia.ru/text/78/386/images/image035_1.png "width =" 569 "height =" 64 src = ">

مهام الحل المستقل.

1..png "width =" 265 "height =" 29 src = ">

3..png "width =" 89 "height =" 29 src = "> + 10x + 24 = 0 ؛

5..png "width =" 109 "height =" 29 src = ">. png" width = "83" height = "29 src =">. png "width =" 72 "height =" 29 src = "> .png "width =" 22 "height =" 29 src = ">. png" width = "212" height = "29 src =">. png "width =" 154 "height =" 29 src = ">. png "العرض =" 288 "الارتفاع =" 29 src = "> + -https: //pandia.ru/text/78/386/images/image055_1.png" width = "624" height = "58">

يجب أن يكون كثير الحدود هذا مساويًا لكثير الحدود الأصلي ، وهو أمر ممكن إذا تساوت معاملات القوى المقابلة.

2https: //pandia.ru/text/78/386/images/image057_1.png "width =" 302 "height =" 29 src = ">. png" width = "570" height = "130 src ="> =1.

وبالتالي ، يمكن كتابة كثير الحدود الأصلي على النحو التالي:

2https: //pandia.ru/text/78/386/images/image061_1.png "width =" 159 "height =" 29 src = ">

مثال 1...png "width =" 286 "height =" 25 src = ">. png" width = "146" height = "25 src =">. png "width =" 149 "height =" 103 src = "> .png "width =" 82 "height =" 29 src = ">. png" width = "165" height = "50 src =">. png "width =" 61 "height =" 29 src = ">.

يقدم عالم اللغة الروسي دميتري نيكولايفيتش أوشاكوف في قاموسه التوضيحي مثل هذا التعريف لمفهوم "الطريقة" - طريقة أو طريقة أو طريقة للبحث النظري أو التطبيق العملي لشيء ما (D.N. Ushakov ، 2000).

ما هي طرق التدريس وحل المشكلات في الرياضيات والتي نعتبرها حاليًا غير معيارية؟ لسوء الحظ ، لم يتوصل أحد إلى وصفة عالمية ، نظرًا لتفرد هذه المهام. يتدرب بعض المعلمين في تمارين النموذج. يحدث هذا على النحو التالي: يوضح المعلم طريقة الحل ، ثم يكرر الطالب ذلك عند حل المشكلات عدة مرات. في الوقت نفسه ، يتلاشى اهتمام الطلاب بالرياضيات ، وهو أمر محزن على الأقل.

في الرياضيات ، لا توجد قواعد عامة تسمح بحل أي مشكلة غير قياسية ، نظرًا لأن مثل هذه المشكلات فريدة إلى حد ما. يُنظر إلى المهمة غير القياسية في معظم الحالات على أنها "تحدٍ للعقل ، وتؤدي إلى الحاجة إلى إدراك الذات في التغلب على العقبات ، وفي تطوير القدرات الإبداعية".

ضع في اعتبارك عدة طرق لحل المشكلات غير القياسية:

• · جبري؛
• · علم الحساب؛
• طريقة العد
• طريقة التفكير
• عملي؛
• طريقة التخمين.

الطريقة الجبريةيطور حل المشكلات القدرات الإبداعية ، والقدرة على التعميم ، وتشكيل التفكير المجرد ، وله مزايا مثل قصر الكتابة والاستدلال عند وضع المعادلات ، ويوفر الوقت.

من أجل حل المشكلة بالطريقة الجبرية ، من الضروري:

• · تحليل المسألة من أجل تحديد المجهول الرئيسي وتحديد العلاقة بين الكميات ، وكذلك التعبير عن هذه التبعيات في اللغة الرياضية في شكل تعبيرين جبريين.
• إيجاد الأساس لربط هذه التعبيرات بعلامة "=" وعمل معادلة ؛
• أوجد حلولًا للمعادلة الناتجة ، ونظم فحصًا لحل المعادلة.

كل هذه المراحل لحل المشكلة مترابطة منطقيًا. على سبيل المثال ، نذكر البحث عن أساس لربط تعبيرين جبريين بعلامة التساوي كمرحلة خاصة ، لكن من الواضح أنه في المرحلة السابقة لم يتم تشكيل هذه التعبيرات بشكل تعسفي ، ولكن مع مراعاة إمكانية الربط بينهما بعلامة "=".

يتطلب تحديد التبعيات بين الكميات وترجمة هذه التبعيات إلى لغة رياضية نشاطًا عقليًا تحليليًا وتركيبيًا مكثفًا. يعتمد النجاح في هذا النشاط ، بشكل خاص ، على ما إذا كان الطلاب يعرفون العلاقات التي يمكن أن تكون لهذه الكميات بشكل عام ، وما إذا كانوا يفهمون المعنى الحقيقي لهذه العلاقات (على سبيل المثال ، العلاقات التي يتم التعبير عنها بعبارات "لاحقًا بـ ..." ، " أقدم بحلول ... مرات "وما إلى ذلك). علاوة على ذلك ، يلزم فهم نوع الإجراء الرياضي أو خاصية الإجراء ، أو ما هي العلاقة (التبعية) بين المكونات ونتيجة الإجراء ، يمكن وصف هذه العلاقة أو تلك الخاصة.

دعونا نعطي مثالاً على حل مشكلة غير قياسية بالطريقة الجبرية.

مهمة. اصطاد الصياد سمكة. وعندما سئل: "ما هي كتلته؟" أجاب: "كتلة الذيل 1 كغ ، وكتلة الرأس هي نفس كتلة الذيل ونصف الجسم. وكتلة الجسم هي نفس كتلة الرأس والذيل معًا. ما هي كتلة السمكة؟

لنفترض أن x كجم هي كتلة الجسم ؛ ثم (1 + 1 / 2x) كجم هي كتلة الرأس. نظرًا لأن كتلة الجسم ، حسب الحالة ، تساوي مجموع كتلتي الرأس والذيل ، فإننا نؤلف ونحل المعادلة:

س = 1 + 1/2 س + 1 ،

4 كجم هي كتلة الجسم ، إذن 1 + 1/2 4 = 3 (كجم) هي كتلة الرأس و 3 + 4 + 1 = 8 (كجم) هي كتلة السمكة بأكملها ؛

الجواب: 8 كيلو.

الطريقة الحسابيةتتطلب الحلول أيضًا الكثير من الإجهاد الذهني ، والذي له تأثير إيجابي على تنمية القدرات العقلية ، والحدس الرياضي ، على تكوين القدرة على توقع حالة الحياة الحقيقية.

ضع في اعتبارك مثالًا لحل مشكلة غير قياسية بطريقة حسابية:

مهمة. وسئل اثنان من الصيادين: كم سمكة في سلالك؟

أجاب الأول "في سلتي نصف ما لديه في السلة ، وعشرة أخرى". حسبت الثانية "ولدي في سلة التسوق أكبر عدد لديه ، وحتى 20". حسبنا ، والآن أنت تحسب.

لنقم ببناء رسم تخطيطي للمشكلة. دع الجزء الأول من الرسم البياني يشير إلى عدد الأسماك التي يمتلكها الصياد الأول. الجزء الثاني يشير إلى عدد الأسماك من الصياد الثاني.

نظرًا لحقيقة أن الشخص الحديث يحتاج إلى فكرة عن الأساليب الرئيسية لتحليل البيانات والأنماط الاحتمالية التي تلعب دورًا مهمًا في العلوم والتكنولوجيا والاقتصاد ، يتم تقديم عناصر التوافقية ونظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي في دورة الرياضيات المدرسية ، والتي يسهل فهمها باستخدام طريقة العد.

إن إدراج مسائل اندماجية في مقرر الرياضيات له تأثير إيجابي على نمو أطفال المدارس. يساهم التعلم الموجه لحل المشكلات الاندماجية في تطوير نوعية من التفكير الرياضي مثل التباين. في ظل تنوع التفكير نعني اتجاه النشاط الذهني للطالب للبحث عن حلول مختلفة للمشكلة في حالة عدم وجود تعليمات خاصة لذلك.

يمكن حل المشاكل الاندماجية بطرق مختلفة. تقليديا ، يمكن تقسيم هذه الأساليب إلى "رسمية" و "غير رسمية". باستخدام طريقة الحل "الرسمي" ، تحتاج إلى تحديد طبيعة الاختيار ، وتحديد الصيغة المناسبة أو القاعدة التجميعية (هناك قواعد الجمع والمنتج) ، والأرقام البديلة وحساب النتيجة. والنتيجة هي عدد الخيارات الممكنة ، لكن الخيارات نفسها لم تتشكل في هذه الحالة.

مع طريقة الحل "غير الرسمية" ، تأتي عملية تجميع الخيارات المختلفة في المقدمة. والشيء الرئيسي ليس كم ، ولكن ما هي الخيارات التي يمكن الحصول عليها. وتشمل هذه الأساليب طريقة العد.هذه الطريقة متاحة حتى للطلاب الأصغر سنًا ، وتتيح لك اكتساب الخبرة في الحل العملي للمشكلات التجميعية ، والتي تعمل كأساس لإدخال مبادئ وصيغ اندماجية في المستقبل. بالإضافة إلى ذلك ، لا يتعين على الشخص في الحياة تحديد عدد الخيارات الممكنة فحسب ، بل يتعين عليه أيضًا تكوين كل هذه الخيارات بشكل مباشر ، وبعد إتقان طرق التعداد المنهجي ، يمكن القيام بذلك بشكل أكثر عقلانية.

تنقسم المهام إلى ثلاث مجموعات حسب تعقيد العد:

• واحد . المهام التي تحتاج فيها إلى إجراء تعداد كامل لجميع الخيارات الممكنة.
• 2. المهام التي يكون من غير العملي فيها استخدام تقنية التعداد الكامل وتحتاج إلى استبعاد بعض الخيارات على الفور دون التفكير فيها (أي لإجراء تعداد مختصر).
• 3. المهام التي تتم فيها عملية العد عدة مرات وتتعلق بأنواع مختلفة من الكائنات.

فيما يلي أمثلة المهام ذات الصلة:

مهمة. وضع علامتي "+" و "-" بين الأعداد المعطاة 9 ... 2 ... 4 ، كوّن كل التعبيرات الممكنة.

هناك قائمة كاملة من الخيارات:

• أ) يمكن أن يكون الحرفان في التعبير متماثلين ، ثم نحصل على:
  • 9 + 2 + 4 أو 9 - 2 - 4 ؛
• ب) يمكن أن تكون علامتان مختلفتين ، ثم نحصل على:
  • 9 + 2 - 4 أو 9 - 2 + 4.

مهمة. يقول المعلم إنه رسم 4 أشكال متتالية: مربعات كبيرة وصغيرة ، دوائر كبيرة وصغيرة بحيث تكون الدائرة في المقام الأول والأشكال من نفس الشكل لا تقف جنبًا إلى جنب ، ويدعو الطلاب للتخمين التسلسل الذي يتم فيه ترتيب هذه الأرقام.

هناك 24 ترتيبًا مختلفًا لهذه الأرقام في المجموع. ولا ينصح بتكوينها جميعًا ، ثم اختيار تلك التي تتوافق مع هذا الشرط ، لذلك يتم إجراء تعداد مختصر.

يمكن أن تكون الدائرة الكبيرة في المقام الأول ، ثم يمكن أن تكون الدائرة الصغيرة في المركز الثالث فقط ، بينما يمكن وضع المربعات الكبيرة والصغيرة بطريقتين - في المرتبة الثانية والرابعة.

يتم إجراء تفكير مماثل إذا كان المركز الأول عبارة عن دائرة صغيرة ، ويتم أيضًا تجميع خيارين.

مهمة. ثلاثة شركاء من نفس الشركة يحتفظون بالأوراق المالية في خزنة بثلاثة أقفال. يريد الصحابة توزيع مفاتيح الأقفال فيما بينهم بحيث لا يمكن فتح الخزنة إلا في وجود رفيقين على الأقل ، ولكن ليس واحدًا. كيف أقوم بذلك؟

أولاً ، يتم تعداد جميع الحالات الممكنة لتوزيع المفاتيح. يمكن إعطاء كل رفيق مفتاح واحد ، أو مفتاحين مختلفين ، أو ثلاثة.

لنفترض أن لكل رفيق ثلاثة مفاتيح مختلفة. ثم يمكن فتح الخزنة من قبل رفيق واحد ، وهذا لا يفي بالشرط.

لنفترض أن لكل رفيق مفتاح واحد. ثم إذا جاء اثنان منهم ، فلن يتمكنوا من فتح الخزنة.

دعونا نعطي كل رفيق مفتاحين مختلفين. الأول - 1 و 2 ، والثاني - 1 و 3 ، والثالث - 2 و 3. دعنا نتحقق عندما يأتي أي رفيقين لمعرفة ما إذا كان بإمكانهما فتح الخزنة.

يمكن أن يأتي الصحابة الأول والثاني ، وسيكون لديهم جميع المفاتيح (1 و 2 و 1 و 3). يمكن أن يأتي الرفاق الأول والثالث ، وسيكون لديهم أيضًا جميع المفاتيح (1 و 2 و 2 و 3). أخيرًا ، يمكن أن يأتي الرفقاء الثاني والثالث ، وسيكون لديهم أيضًا جميع المفاتيح (1 و 3 و 2 و 3).

وبالتالي ، للعثور على الإجابة في هذه المشكلة ، تحتاج إلى إجراء عملية التكرار عدة مرات.

عند اختيار المشاكل الاندماجية ، يجب على المرء الانتباه إلى موضوع وشكل عرض هذه المشاكل. من المرغوب فيه ألا تبدو المهام مصطنعة ، ولكنها مفهومة ومثيرة للاهتمام للأطفال ، تثير المشاعر الإيجابية فيها. يمكنك استخدام مواد عملية من الحياة لرسم المهام.

هناك مشاكل أخرى يمكن حلها عن طريق العد.

على سبيل المثال ، دعونا نحل المشكلة: "كان ماركيز كاراباس يبلغ من العمر 31 عامًا ، وكان شابه الصغير المليء بالحيوية في أحذية بوت يبلغ من العمر 3 سنوات ، عندما وقعت الأحداث المعروفة من الحكاية الخيالية. كم سنة مرت منذ ذلك الحين ، إذا كانت القطة الآن أصغر بثلاث مرات من مالكها؟ يتم تمثيل تعداد الخيارات بواسطة جدول.

عصر ماركيز كاراباس وبوس إن بوتس

14-3 = 11 (سنة)

الجواب: 11 سنة مرت.

في الوقت نفسه ، يقوم الطالب ، كما كان ، بإجراء التجارب ، والملاحظة ، والمقارنة بين الحقائق ، وعلى أساس استنتاجات معينة ، يتوصل إلى بعض الاستنتاجات العامة. في عملية هذه الملاحظات ، يتم إثراء خبرته العملية الحقيقية. هذه بالضبط هي القيمة العملية لمشاكل العد. في هذه الحالة ، يتم استخدام كلمة "التعداد" بمعنى تحليل جميع الحالات الممكنة التي تفي بشروط المشكلة ، مما يدل على أنه لا يمكن أن يكون هناك حلول أخرى.

يمكن أيضًا حل هذه المشكلة بالطريقة الجبرية.

دع القط يبلغ x سنة ، ثم الماركيز هو 3x ، بناءً على حالة المشكلة ، سنقوم بتكوين المعادلة:

• 3 س - س \ u003d 28 ،
• 2 س = 28 ،

يبلغ عمر القطة الآن 14 عامًا ، ثم 14 - 3 = 11 (سنة).

الجواب: 11 سنة مرت.

طريقة التفكيريمكن استخدامها لحل المغالطات الرياضية.

تنزل الأخطاء التي ترتكب في المغالطة عادة إلى ما يلي: القيام بأعمال "ممنوعة" ، استخدام رسومات خاطئة ، استخدام كلمات غير صحيح ، صيغ غير دقيقة ، تعميمات "غير قانونية" ، تطبيقات غير صحيحة للنظريات.

إن الكشف عن المغالطة يعني الإشارة إلى خطأ في التفكير ، بناءً على المظهر الخارجي للإثبات.

تحليل المغالطات ، أولاً وقبل كل شيء ، يطور التفكير المنطقي ، ويغرس مهارات التفكير الصحيح. إن اكتشاف خطأ في المغالطة يعني التعرف عليه ، وإدراك الخطأ يمنعه من التكرار في التفكير الرياضي الآخر. بالإضافة إلى أهمية التفكير الرياضي ، يكشف هذا النوع من المهام غير القياسية عن مرونة التفكير. هل سيكون الطالب قادرًا على "الخروج من براثن" هذا المسار ، الذي يبدو للوهلة الأولى منطقيًا تمامًا ، لكسر سلسلة الاستدلالات في نفس الرابط الخاطئ ويجعل كل الاستدلال خاطئًا؟

يساعد تحليل المغامرات أيضًا على الاستيعاب الواعي للمادة قيد الدراسة ، ويطور الملاحظة والموقف النقدي تجاه ما تتم دراسته.

أ) هنا ، على سبيل المثال ، مغالطة مع تطبيق غير صحيح للنظرية.

دعنا نثبت أن 2 2 = 5.

لنأخذ المساواة الواضحة التالية على أنها النسبة الأولية: 4: 4 = 5: 5 (1)

نخرج من الأقواس العامل المشترك في الجزأين الأيمن والأيسر ، ونحصل على:

4 (1: 1) = 5 (1: 1) (2)

الأرقام الموجودة بين قوسين متساوية ، لذا فإن 4 = 5 أو 2 2 = 5.

في التفكير ، عند الانتقال من المساواة (1) إلى المساواة (2) ، يتم إنشاء وهم الاحتمالية على أساس تشابه خاطئ مع خاصية توزيع الضرب فيما يتعلق بالإضافة.

ب) السفسطائية باستخدام التعميمات "غير المشروعة".

هناك عائلتان - إيفانوف وبتروفس. يتكون كل منها من 3 أشخاص - الأب والأم والابن. والد إيفانوف لا يعرف والد بتروف. والدة إيفانوف لا تعرف والدة بتروفا. الابن الوحيد لإيفانوف لا يعرف الابن الوحيد لآل بيتروف. الخلاصة: لا يعرف أي فرد من عائلة إيفانوف فردًا واحدًا من عائلة بتروف. هل هذا صحيح؟

إذا كان أحد أفراد عائلة إيفانوف لا يعرف فردًا من عائلة بتروف متساوٍ في الحالة الاجتماعية ، فهذا لا يعني أنه لا يعرف الأسرة بأكملها. على سبيل المثال ، قد يعرف والد إيفانوف والدة بيتروف وابنه.

يمكن أيضًا استخدام طريقة التفكير لحل المشكلات المنطقية. تُفهم المهام المنطقية عادةً على أنها المهام التي يتم حلها باستخدام العمليات المنطقية فقط. يتطلب حلهم أحيانًا تفكيرًا مطولًا ، ولا يمكن توقع الاتجاه الضروري مسبقًا.

مهمة. يقولون أن تورتيلا أعطت المفتاح الذهبي لبينوكيو ليس فقط كما قال أ.ن.تولستوي ، ولكن بطريقة مختلفة تمامًا. أحضرت ثلاثة صناديق: أحمر وأزرق وأخضر. على الصندوق الأحمر كان مكتوبًا: "هنا يوجد مفتاح ذهبي" ، وعلى المربع الأزرق - "الصندوق الأخضر فارغ" ، وعلى المربع الأخضر - "هنا تجلس ثعبان". قرأ تورتيلا النقوش وقال: "نعم ، يوجد في أحد الصناديق مفتاح ذهبي ، وأفعى في الأخرى ، والثالث فارغ ، ولكن كل النقوش خاطئة. إذا كنت تخمن المربع الذي يحتوي على المفتاح الذهبي ، فهو لك ". أين هو المفتاح الذهبي؟

نظرًا لأن جميع النقوش على الصناديق غير صحيحة ، فالصندوق الأحمر لا يحتوي على مفتاح ذهبي ، والصندوق الأخضر ليس فارغًا ولا يوجد فيه ثعبان ، مما يعني أن المفتاح في المربع الأخضر ، والثعبان في الأحمر والأزرق فارغ.

عند حل المشكلات المنطقية ، يتم تنشيط التفكير المنطقي ، وهذه هي القدرة على استنتاج النتائج من المباني ، وهو أمر ضروري لإتقان الرياضيات بنجاح.

إن rebus هو لغز ، لكن اللغز ليس بالأمر العادي. يتم تصوير الكلمات والأرقام في الألغاز الرياضية باستخدام الرسومات والعلامات النجمية والأرقام والعلامات المختلفة. لقراءة ما تم تشفيره في rebus ، يجب عليك تسمية جميع الكائنات المصورة بشكل صحيح وفهم العلامة التي تصور ماذا. استخدم الناس الألغاز حتى عندما لا يستطيعون الكتابة. قاموا بتأليف رسائلهم من الأشياء. على سبيل المثال ، أرسل زعماء إحدى القبائل ذات مرة طائرًا وفأرًا وضفدعًا وخمسة سهام بدلاً من رسالة إلى جيرانهم. وهذا يعني: "هل يمكنك الطيران مثل الطيور والاختباء في الأرض مثل الفئران ، والقفز في المستنقعات مثل الضفادع؟ إذا كنت لا تعرف كيف ، فلا تحاول محاربتنا. سنقصفك بالسهام بمجرد دخولك بلادنا ".

اذا حكمنا من خلال الحرف الأول من المجموع 1) ، D = 1 أو 2.

افترض أن D = 1. ثم Y؟ 5. يتم استبعاد ص \ u003d 5 ، لأن لا يمكن أن يكون P يساوي 0. ص؟ 6 ، لأن 6 + 6 = 12 ، أي P = 2. ولكن هذه القيمة من P ليست مناسبة لمزيد من التحقق. وبالمثل ، U؟ 7.

افترض أن Y = 8. ثم P = 6 و A = 2 و K = 5 و D = 1.

المربع السحري (السحري) هو مربع يتساوى فيه مجموع الأرقام رأسيًا وأفقيًا وقطريًا.

مهمة. رتب الأعداد من 1 إلى 9 بحيث تحصل على نفس مجموع الأعداد ، رأسيًا وأفقيًا وقطريًا ، يساوي 15.

على الرغم من عدم وجود قواعد عامة لحل المشكلات غير القياسية (وهذا هو سبب تسمية هذه المشكلات بأنها غير قياسية) ، فقد حاولنا تقديم عدد من الإرشادات العامة - التوصيات التي يجب اتباعها عند حل المشكلات غير القياسية من أنواع مختلفة .

كل مهمة غير قياسية أصلية وفريدة من نوعها في حلها. في هذا الصدد ، فإن المنهجية المطورة لتدريس نشاط البحث عند حل المهام غير القياسية لا تشكل مهارات لحل المهام غير القياسية ، يمكننا فقط التحدث عن تطوير مهارات معينة:

• القدرة على فهم المهمة ، وتسليط الضوء على الكلمات الرئيسية (الداعمة) ؛
• القدرة على تحديد الحالة والسؤال المعروفين وغير المعروفين في المشكلة ؛
• القدرة على إيجاد اتصال بين البيانات والمطلوب ، أي تحليل نص المشكلة ، والنتيجة هي اختيار عملية حسابية أو عملية منطقية لحل مشكلة غير قياسية ؛
• القدرة على تسجيل تقدم الحل والإجابة على المشكلة ؛
• · القدرة على القيام بعمل إضافي على المهمة.
• القدرة على اختيار المعلومات المفيدة الموجودة في المشكلة نفسها ، في عملية حلها ، لتنظيم هذه المعلومات ، وربطها بالمعرفة الموجودة.

تعمل المهام غير القياسية على تطوير التفكير المكاني ، والذي يتم التعبير عنه في القدرة على إعادة إنشاء الصور المكانية للأشياء في العقل وإجراء العمليات عليها. يتجلى التفكير المكاني عند حل مشكلات مثل: "على حافة كعكة مستديرة ، تم وضع 5 نقاط من الكريم على نفس المسافة من بعضها البعض. تم إجراء التخفيضات من خلال جميع أزواج النقاط. كم قطعة من الكعكة حصلت عليها في المجموع؟

طريقة عمليةيمكن اعتباره لمشاكل التقسيم غير القياسية.

مهمة. يجب تقطيع العصا إلى 6 قطع. كم عدد التخفيضات المطلوبة؟

الحل: التخفيضات ستحتاج 5.

عند دراسة مسائل القسمة غير القياسية ، عليك أن تفهم: لتقطيع مقطع إلى أجزاء P ، يجب إجراء قطع (P - 1). يجب إثبات هذه الحقيقة مع الأطفال بشكل استقرائي ، ثم استخدامها في حل المشكلات.

مهمة. في شريط طوله ثلاثة أمتار - 300 سم ، ويجب تقطيعه إلى قضبان طول كل منها 50 سم. كم عدد القطع التي تحتاج إلى القيام بها؟

الحل: نحصل على 6 أشرطة 300: 50 = 6 (بارات)

نجادل على النحو التالي: لتقسيم الشريط إلى نصفين ، أي إلى جزأين ، تحتاج إلى عمل قطع واحد ، إلى 3 أجزاء - قطعتان ، وهكذا ، إلى 6 أجزاء - 5 قطع.

لذلك ، تحتاج إلى إجراء 6-1 = 5 (تخفيضات).

الجواب: 5 تخفيضات.

لذا ، فإن أحد الدوافع الرئيسية التي تشجع الطلاب على الدراسة هو الاهتمام بالموضوع. الاهتمام هو توجه معرفي نشط لشخص ما تجاه شيء وظاهرة ونشاط معين ، يتم إنشاؤه بموقف عاطفي إيجابي تجاههم. إحدى وسائل تنمية الاهتمام بالرياضيات هي المهام غير القياسية. تُفهم المهمة غير القياسية على أنها مهام لا توجد لها قواعد وأنظمة عامة في سياق الرياضيات تحدد البرنامج الدقيق لحلها. يتيح حل مثل هذه المشكلات للطلاب المشاركة بنشاط في أنشطة التعلم. هناك تصنيفات مختلفة للمشاكل وطرق لحلها. الأكثر شيوعًا هي الطرق الجبرية والحسابية والعملية والتعداد والاستدلال والتخمين.

مسابقة البلدية للبحث والأعمال الإبداعية لأطفال المدارس

"خطوة إلى العلم"

قسم الرياضيات

عنوان: طرق غير قياسية لحل اللاعقلاني

المعادلات.

نزدينا ماريا ، مدرسة MAOU الثانوية №2

الصف العاشر ، قرية كاريمسكوي

المستشار العلمي: فاسيليفا إلينا فاليريفنا ،

مدرس رياضيات

مدرسة MAOU الثانوية رقم 2 قرية Karymskoye

مستوطنة كاريمسكوي ، 2013

ملخص ……………………………………………………………………………… .3

الخطة الدراسية ……………………………………………………………………………………………………………………… ..4-5

وصف العمل:

§واحد. التقنيات الأساسية لحل المعادلات غير المنطقية ................... 6-9

§2. حل المعادلات غير المنطقية بطريقة استبدال المجهول ... 10-14

§3. المعادلات اللاعقلانية مختزلة إلى المقياس ...............15-17

§4. التخصيم ……………………………………………………… ..18-19

§خمسة. معادلات النموذج ……………………………………………… 20-22

§6. نظرية المتوسط ​​الهندسي في المعادلات غير المنطقية

; ……………………………23-24

4) المراجع ………………………………………………………… ..... 25

حاشية. ملاحظة.

موضوع عملنا البحثي: "الأساليب غير القياسية لحل المعادلات غير المنطقية".

عند أداء العمل ، كان من الضروري: مقارنة طرق الحل المختلفة ؛ الانتقال من الأساليب العامة إلى الأساليب الخاصة والعكس صحيح ؛ يجادل ويثبت البيانات التي تم الإدلاء بها ؛ دراسة وتلخيص المعلومات التي تم جمعها من مصادر مختلفة. في هذا الصدد ، يمكن التمييز بين الأساليب التالية لنشاط البحث: تجريبي ؛ المنطقي والنظري (بحثي) ؛ خطوة بخطوة؛ الإنجابية و الكشف عن مجريات الأمور.

نتيجة للعمل المنجز ، ما يلي النتائج والاستنتاجات:

هناك العديد من الحيل لحل المعادلات غير المنطقية.

لم يتم حل جميع المعادلات غير المنطقية باستخدام الحيل القياسية ؛

لقد درسنا البدائل المتكررة التي يتم من خلالها اختزال المعادلات غير المنطقية المعقدة إلى أبسطها ؛

اعتبرنا طرقًا غير قياسية لحل المعادلات غير المنطقية

الموضوع: "الطرق غير القياسية لحل المعادلات غير المنطقية"

Nuzhdina M.P. ، إقليم ترانس بايكال ، مستوطنة كاريمسكوي ، مدرسة MAOU الثانوية رقم 2 ، الصف 10.

خطة البحث.

منطقة الكائنالذي كنا نبحث فيه هو الجبر. شيء ابحاث- حل المعادلات. من بين العديد من المعادلات ، اعتبرنا المعادلات غير المنطقية - موضوعاتابحاثنا.

في دورة الجبر المدرسية ، يتم النظر فقط في الأساليب والتقنيات القياسية للحل (التي تمت ترقيتها إلى مستوى القوة وتقنيات الاستبدال البسيطة). ولكن في عملية البحث ، اتضح أن هناك معادلات غير منطقية لا تكفي التقنيات والأساليب القياسية لحلها. يتم حل هذه المعادلات باستخدام طرق أخرى أكثر عقلانية.

لذلك ، نعتقد أن دراسة طرق الحل هذه عمل ضروري وممتع.

في عملية البحث ، اتضح أن هناك عددًا كبيرًا من المعادلات غير المنطقية ومن الصعب تجميعها وفقًا للأنواع والأساليب.

هدف، تصويبالبحث هو دراسة وتنظيم طرق حل المعادلات غير المنطقية.

فرضية: إذا كنت تعرف طرقًا غير قياسية لحل المعادلات غير المنطقية ، فسيؤدي ذلك إلى تحسين جودة أداء بعض مهام الأولمبياد واختبار اختبار الدولة الموحد.

لتحقيق الأهداف المحددة واختبار الفرضية ، من الضروري حل ما يلي مهام:

وصف أنواع المعادلات غير المنطقية.

إنشاء روابط بين أنواع وطرق الحل.

قم بتقييم قيمة التحقق والعثور على ODZ.

ضع في اعتبارك الحالات غير القياسية عند حل المعادلات غير المنطقية (نظرية المتوسط ​​الهندسي ، خصائص الرتابة للوظائف).

في سياق الدراسة ، العديد من الكتب المدرسية لمؤلفين مثل M.I.Skanavi و IF Sharygin و O.Yu.Cherkasov و A.

الموضوع: "الطرق غير القياسية لحل المعادلات غير المنطقية"

Nuzhdina M.P. ، إقليم ترانس بايكال ، مستوطنة كاريمسكوي ، مدرسة MAOU الثانوية رقم 2 ، الصف 10.

وصف العمل.

§1 التقنيات الأساسية لحل المعادلات غير المنطقية

المعادلة y (x) = 0 غير منطقية إذا كانت الدالة y (x) تحتوي على جذور من قيمة غير معروفة x أو تعبيرات تعتمد على x.

يمكن حل العديد من المعادلات غير المنطقية بناءً على مفاهيم الجذر ونطاق القيم المسموح بها للمعادلة (ODV) ، ولكن هناك طرق أخرى ، سيتم مناقشة بعضها في العمل.

تعتبر التقنية الرئيسية لحل المعادلات غير المنطقية هي العزلة في جزء واحد من المعادلة الجذرية ، يليها رفع كلا الجزأين من المعادلة إلى الدرجة المناسبة. إذا كان هناك العديد من هؤلاء المتطرفين ، فيجب رفع المعادلة إلى القوة الأصلية بشكل متكرر ، بالمناسبة ، بينما لا توجد حاجة إلى الحرص على أن يكون التعبير الموجود تحت علامة الجذر الانفرادي غير سالب.

ومع ذلك ، عند رفعها إلى قوة متساوية ، قد تظهر جذور دخيلة ، أي جذور ليست حلاً للمعادلة الأصلية.

لذلك ، عند استخدام مثل هذا الحل ، يجب فحص الجذور والتخلص من الجذور الدخيلة ، وفي هذه الحالة يكون الفحص عنصرًا من عناصر الحل وهو ضروري حتى في الحالات التي لا تظهر فيها جذور إضافية ، ولكن مسار الحل كان بحيث يمكن أن تظهر. من ناحية أخرى ، في بعض الأحيان يكون إجراء الشيك أسهل من إثبات أنه ضروري.

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة:

الجواب: لا جذور

- جذر دخيل

في هذه الأمثلة ، نظرنا إلى الطرق القياسية لحل المعادلات غير المنطقية (رفع كلا الجانبين إلى قوة والتحقق من الجذور).

ومع ذلك ، يمكن حل العديد من المعادلات غير المنطقية

يعتمد فقط على مفاهيم الجذر و ODZ للمعادلة.

نظرًا لأن المعادلة تتضمن فقط جذور متساوية ، فهي كافية لحل نظام عدم المساواة.

3x -2x 2 +5 0 (شروط معادلة ODZ)

4 × 2 - 26 × + 40 0

لحل نظام عدم المساواة هذا ، نحصل على:

x € حيث x = 2.5.

× € (-؛ 2.5])