วิธีการกำหนดเครื่องหมายในวิธีช่วงเวลา วิธีช่วงเวลา: การแก้ความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวดที่ง่ายที่สุด

วิธีการเว้นวรรคเป็นวิธีง่ายๆ ในการแก้เศษส่วน ความไม่เท่าเทียมกันของเหตุผล. นี่คือชื่อของอสมการที่มีนิพจน์ที่เป็นตรรกยะ (หรือเศษส่วน-ตรรกยะ) ที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร

1. พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ ความไม่เท่าเทียมกัน

วิธีการแบบเว้นช่วงเวลาช่วยให้คุณแก้ปัญหาได้ภายในไม่กี่นาที

ทางด้านซ้ายของอสมการนี้คือฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน Rational เพราะมันไม่มีทั้งรูต หรือไซน์ หรือลอการิทึม - มีเพียงนิพจน์ตรรกยะเท่านั้น ทางด้านขวาเป็นศูนย์

วิธีช่วงเวลาขึ้นอยู่กับคุณสมบัติต่อไปนี้ของฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน

ฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายเฉพาะที่จุดที่มีค่าเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่จริง

จำวิธีการแยกตัวประกอบ ไตรนามสี่เหลี่ยมนั่นคือการแสดงออกของแบบฟอร์ม

ที่และราก สมการกำลังสอง.

เราวาดแกนและจัดเรียงจุดที่ตัวเศษและตัวส่วนหายไป

ค่าศูนย์ของตัวส่วนและเป็นจุดเจาะ เนื่องจาก ณ จุดเหล่านี้ ฟังก์ชันทางด้านซ้ายของอสมการจะไม่ถูกกำหนด (คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้) เลขศูนย์ของตัวเศษและ - ถูกแรเงาเพราะความไม่เท่าเทียมกันนั้นไม่เข้มงวด สำหรับ และความไม่เท่าเทียมกันของเราเป็นที่พอใจ เนื่องจากทั้งสองส่วนมีค่าเท่ากับศูนย์

จุดเหล่านี้แบ่งแกนออกเป็นช่วงๆ

ให้เราหาเครื่องหมายของฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะทางด้านซ้ายของอสมการของเราในแต่ละช่วง เราจำได้ว่าฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายเฉพาะที่จุดซึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่จริง ซึ่งหมายความว่าในแต่ละช่วงระหว่างจุดที่ตัวเศษหรือตัวส่วนหายไป เครื่องหมายของนิพจน์ทางด้านซ้ายของอสมการจะเป็นค่าคงที่ ไม่ว่าจะเป็น "บวก" หรือ "ลบ"

ดังนั้น เพื่อกำหนดเครื่องหมายของฟังก์ชันในแต่ละช่วงเวลานั้น เราจะหาจุดใดๆ ที่เป็นของช่วงเวลานี้ อันที่เหมาะกับเรา
. ยกตัวอย่างเช่น และตรวจสอบเครื่องหมายของนิพจน์ทางด้านซ้ายของอสมการ แต่ละ "วงเล็บ" เป็นค่าลบ ด้านซ้ายมือมีป้าย

ช่วงเวลาถัดไป: . มาเช็คป้ายกัน เราได้รับว่าด้านซ้ายมีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายเป็น

เอาล่ะ เมื่อนิพจน์เป็นค่าบวก - ดังนั้นจึงเป็นค่าบวกในช่วงเวลาทั้งหมด ตั้งแต่ ถึง

สำหรับ ทางซ้ายของอสมการจะเป็นลบ

และสุดท้าย class="tex" alt="(!LANG:x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

เราพบว่านิพจน์นั้นเป็นค่าบวกในช่วงใด มันยังคงเขียนคำตอบ:

ตอบ: .

โปรดทราบ: ป้ายบนช่วงเวลาสลับกัน สิ่งนี้เกิดขึ้นเพราะ เมื่อผ่านแต่ละจุดปัจจัยเชิงเส้นอย่างใดอย่างหนึ่งเปลี่ยนเครื่องหมายและส่วนที่เหลือไม่เปลี่ยนแปลง.

เราเห็นว่าวิธีช่วงเวลานั้นง่ายมาก ในการแก้อสมการเศษส่วน-ตรรกยะโดยวิธีช่วงเวลา เรานำมาในรูปแบบ:

หรือ class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, หรือ .

(ทางด้านซ้าย - ฟังก์ชันเศษส่วน - ตรรกยะ ทางด้านขวา - ศูนย์)

จากนั้น - เราทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวนจุดที่ตัวเศษหรือตัวส่วนหายไป
จุดเหล่านี้จะแบ่งเส้นจำนวนทั้งหมดออกเป็นช่วงๆ โดยที่ฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะจะคงเครื่องหมายไว้
มันยังคงอยู่เพียงเพื่อค้นหาสัญญาณในแต่ละช่วงเวลา
เราทำสิ่งนี้โดยการตรวจสอบเครื่องหมายของนิพจน์ ณ จุดใดก็ได้ภายในช่วงเวลาที่กำหนด หลังจากนั้นเราเขียนคำตอบ นั่นคือทั้งหมดที่

แต่คำถามก็เกิดขึ้น: สัญญาณมักจะสลับกันหรือไม่? ไม่เสมอไป! เราต้องระวังอย่าวางป้ายด้วยกลไกและอย่างไม่ใส่ใจ

2. ลองดูความไม่เท่าเทียมกันอื่น

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \left(x-3\right))>0"> !}

เราวางจุดบนแกนอีกครั้ง จุดและถูกเจาะเพราะเป็นศูนย์ของตัวส่วน จุดยังถูกเจาะเนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด

เมื่อตัวเศษเป็นบวก ตัวหารทั้งสองในตัวส่วนจะเป็นลบ ตรวจสอบได้ง่ายโดยนำตัวเลขจากช่วงที่กำหนด เช่น ด้านซ้ายมีป้ายว่า

เมื่อตัวเศษเป็นบวก ปัจจัยแรกในตัวส่วนเป็นบวก ปัจจัยที่สองเป็นลบ ด้านซ้ายมีป้ายว่า

เมื่อสถานการณ์ยังเหมือนเดิม! ตัวเศษเป็นบวก ตัวหารแรกในตัวส่วนเป็นบวก ตัวที่สองเป็นลบ ด้านซ้ายมีป้ายว่า

สุดท้าย ด้วย class="tex" alt="(!LANG:x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

ตอบ: .

เหตุใดการสลับตัวอักษรจึงขาดหายไป? เพราะเมื่อผ่านจุดนั้นตัวคูณ "รับผิดชอบ" ไป ไม่ได้เปลี่ยนเครื่องหมาย. ดังนั้น ทางซ้ายมือทั้งหมดของอสมการของเราจึงไม่เปลี่ยนเครื่องหมายเช่นกัน

เอาท์พุท: ถ้าตัวประกอบเชิงเส้นอยู่ในกำลังคู่ (เช่น ในสี่เหลี่ยมจัตุรัส) เมื่อผ่านจุดหนึ่ง เครื่องหมายของนิพจน์ทางด้านซ้ายจะไม่เปลี่ยนแปลง. ในกรณีของดีกรีแปลก ๆ เครื่องหมายของหลักสูตรจะเปลี่ยนไป

3. พิจารณาเพิ่มเติม กรณียาก. มันแตกต่างจากก่อนหน้านี้ตรงที่ความไม่เท่าเทียมกันไม่เข้มงวด:

ด้านซ้ายจะเหมือนกับในปัญหาที่แล้ว ภาพสัญลักษณ์จะเหมือนกัน:

บางทีคำตอบอาจจะเหมือนเดิม? ไม่! คำตอบถูกเพิ่มเข้าไป เนื่องจากที่ส่วนซ้ายและขวาของอสมการมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น จุดนี้จึงเป็นคำตอบ

ตอบ: .

ในโจทย์ข้อสอบคณิตมักเจอสถานการณ์นี้ ที่นี่ผู้สมัครตกหลุมพรางและเสียคะแนน ระวัง!

4. จะเกิดอะไรขึ้นถ้าตัวเศษหรือตัวส่วนไม่สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเชิงเส้นได้? พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันนี้:

ไตรโนเมียลกำลังสองไม่สามารถแยกตัวประกอบได้: การเลือกปฏิบัติเป็นค่าลบ ไม่มีราก แต่นี่เป็นสิ่งที่ดี! ซึ่งหมายความว่าสัญลักษณ์ของนิพจน์จะเหมือนกันสำหรับทุกคน และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันเป็นแง่บวก คุณสามารถอ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับสิ่งนี้ได้ในบทความเกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังสอง

และตอนนี้ เราสามารถหารอสมการทั้งสองข้างด้วยค่าที่เป็นบวกสำหรับทุกคน เรามาถึงความไม่เท่าเทียมกันที่เท่าเทียมกัน:

ซึ่งแก้ได้ง่ายๆ ด้วยวิธีการแบบ Interval

ให้ความสนใจ - เราแบ่งอสมการทั้งสองด้านด้วยค่า ซึ่งเราทราบแน่ชัดว่าเป็นค่าบวก แน่นอน ในกรณีทั่วไป คุณไม่ควรคูณหรือหารอสมการด้วยตัวแปรที่ไม่ทราบเครื่องหมาย

5 . พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันอีกประการหนึ่ง ซึ่งดูค่อนข้างง่าย:

ผมเลยอยากคูณมันด้วย แต่เราฉลาดอยู่แล้ว และเราจะไม่ทำเช่นนี้ ท้ายที่สุดมันสามารถเป็นได้ทั้งบวกและลบ และเรารู้ว่าถ้าทั้งสองส่วนของอสมการคูณด้วยค่าลบ เครื่องหมายของอสมการจะเปลี่ยนไป

เราจะดำเนินการแตกต่างออกไป - เราจะรวบรวมทุกอย่างในส่วนเดียวและนำไปที่ตัวส่วนร่วม ศูนย์จะยังคงอยู่ทางด้านขวา:

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

และหลังจากนั้น - ใช้บังคับ วิธีช่วงเวลา.

ในบทนี้ เราจะยังคงแก้ความไม่เท่าเทียมกันของตรรกยะโดยใช้วิธีช่วงเวลาเพื่อเพิ่มเติม ความไม่เท่าเทียมกันที่ซับซ้อน. พิจารณาวิธีแก้ปัญหาอสมการเชิงเส้น-เศษส่วนและเศษส่วนกำลังสองและปัญหาที่เกี่ยวข้อง

กลับไปสู่ความไม่เท่าเทียมกัน

ลองพิจารณางานที่เกี่ยวข้องกัน

การค้นหา ทางออกที่เล็กที่สุดความไม่เท่าเทียมกัน

หาจำนวนคำตอบธรรมชาติของความไม่เท่าเทียมกัน

หาความยาวของช่วงเวลาที่ประกอบเป็นเซตของคำตอบของอสมการ

2. พอร์ทัล วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ ().

3. คอมเพล็กซ์การศึกษาและระเบียบวิธีอิเล็กทรอนิกส์สำหรับเตรียมเกรด 10-11 สำหรับการสอบเข้าสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์, คณิตศาสตร์, ภาษารัสเซีย ()

5. ศูนย์การศึกษา "เทคโนโลยีการศึกษา" ().

6. ส่วน College.ru เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ ().

1. มอร์ดโควิช เอ.จี. et al. พีชคณิตเกรด 9: หนังสืองานสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษา / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4th ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ป่วย ลำดับที่ 28 (b, c); 29(b,c); 35(a,b); 37(b,c); 38(ก).

ขั้นแรก เนื้อเพลงบางท่อนเพื่อให้เข้าใจถึงปัญหาที่วิธี Interval แก้ได้ สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้ความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

(x − 5)(x + 3) > 0

มีตัวเลือกอะไรบ้าง? สิ่งแรกที่นึกถึงสำหรับนักเรียนส่วนใหญ่คือกฎ "บวกครั้งบวกทำให้บวก" และ "ลบคูณลบทำให้บวก" ดังนั้น ก็เพียงพอแล้วที่จะพิจารณากรณีที่วงเล็บทั้งสองเป็นค่าบวก: x − 5 > 0 และ x + 3 > 0 จากนั้นเราจะพิจารณากรณีที่วงเล็บทั้งสองมีค่าติดลบ: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

นักเรียนขั้นสูงจะจำได้ (อาจ) ว่าทางซ้ายเป็นฟังก์ชันกำลังสองซึ่งกราฟเป็นพาราโบลา นอกจากนี้ พาราโบลานี้ตัดแกน OX ที่จุด x = 5 และ x = −3 สำหรับ ทำงานต่อไปคุณต้องเปิดวงเล็บ เรามี:

x 2 − 2x − 15 > 0

ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนว่ากิ่งก้านของพาราโบลานั้นพุ่งขึ้นไปข้างบนเพราะ สัมประสิทธิ์ a = 1 > 0 ลองวาดไดอะแกรมของพาราโบลานี้:

ฟังก์ชันมีค่ามากกว่าศูนย์เมื่อผ่านเหนือแกน OX ในกรณีของเรา นี่คือช่วงเวลา (−∞ −3) และ (5; +∞) - นี่คือคำตอบ

โปรดทราบว่ารูปภาพแสดงให้เห็นอย่างชัดเจน แผนภาพฟังก์ชันไม่ใช่กำหนดการของเธอ เพราะสำหรับกราฟจริง คุณต้องคำนวณพิกัด คำนวณออฟเซ็ต และอึอื่นๆ ซึ่งเราไม่ต้องการเลยในตอนนี้

เหตุใดวิธีการเหล่านี้จึงไม่ได้ผล

ดังนั้นเราจึงพิจารณาวิธีแก้ปัญหาสองข้อของความไม่เท่าเทียมกันที่เหมือนกัน ทั้งสองกลายเป็นเรื่องยุ่งยากมาก การตัดสินใจครั้งแรกเกิดขึ้น - แค่คิดเกี่ยวกับมัน! คือชุดของระบบความไม่เท่าเทียมกัน วิธีที่สองก็ไม่ง่ายเช่นกัน คุณต้องจำกราฟพาราโบลาและข้อเท็จจริงเล็กน้อยอื่นๆ

มันเป็นความไม่เท่าเทียมกันที่ง่ายมาก มีตัวคูณเพียง 2 ตัวเท่านั้น ทีนี้ลองนึกดูว่าจะไม่มีตัวคูณ 2 ตัว แต่มีอย่างน้อย 4 ตัวอย่างเช่น

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

จะแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวได้อย่างไร? พิจารณาข้อดีและข้อเสียรวมกันทั้งหมดที่เป็นไปได้หรือไม่ ใช่ เราจะผล็อยหลับไปเร็วกว่าที่เราหาทางแก้ไข การวาดกราฟก็ไม่ใช่ตัวเลือกเช่นกัน เนื่องจากยังไม่ชัดเจนว่าฟังก์ชันดังกล่าวทำงานอย่างไรบนระนาบพิกัด

สำหรับความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าว จำเป็นต้องใช้อัลกอริธึมโซลูชันพิเศษ ซึ่งเราจะพิจารณาในวันนี้

วิธีช่วงเวลาคืออะไร

วิธีช่วงเวลาเป็นอัลกอริธึมพิเศษที่ออกแบบมาเพื่อแก้ความไม่เท่าเทียมกันที่ซับซ้อนของรูปแบบ f (x) > 0 และ f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. แก้สมการ f (x) \u003d 0 ดังนั้น แทนที่จะเป็นอสมการ เราได้สมการที่แก้ได้ง่ายกว่ามาก
2. ทำเครื่องหมายรากที่ได้รับทั้งหมดบนเส้นพิกัด ดังนั้นเส้นตรงจะถูกแบ่งออกเป็นหลายช่วง
3. หาเครื่องหมาย (บวกหรือลบ) ของฟังก์ชัน f (x) บนช่วงขวาสุด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะแทนที่ด้วย f (x) ตัวเลขใด ๆ ที่จะอยู่ทางขวาของรากที่ทำเครื่องหมายไว้ทั้งหมด
4. ทำเครื่องหมายบนช่วงอื่น ๆ ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอที่จะจำไว้ว่าเมื่อผ่านแต่ละรูตสัญญาณจะเปลี่ยนไป

นั่นคือทั้งหมด! หลังจากนั้นก็เหลือเพียงการเขียนช่วงเวลาที่เราสนใจเท่านั้น เครื่องหมายเหล่านี้จะถูกทำเครื่องหมายด้วยเครื่องหมาย "+" หากความไม่เท่าเทียมกันอยู่ในรูปแบบ f (x) > 0 หรือเครื่องหมาย "-" หากความไม่เท่าเทียมกันอยู่ในรูปแบบ f (x)< 0.

เมื่อมองแวบแรก อาจดูเหมือนว่าวิธีช่วงเวลาเป็นดีบุกบางชนิด แต่ในทางปฏิบัติทุกอย่างจะง่ายมาก ใช้เวลาฝึกฝนเล็กน้อย - และทุกอย่างจะชัดเจน ดูตัวอย่างและดูด้วยตัวคุณเอง:

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

(x − 2)(x + 7)< 0

เราทำงานกับวิธีการของช่วงเวลา ขั้นตอนที่ 1: แทนที่อสมการด้วยสมการแล้วแก้สมการ:

(x − 2)(x + 7) = 0

ผลคูณเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัว ศูนย์:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7

ได้สองราก ไปที่ขั้นตอนที่ 2: ทำเครื่องหมายรากเหล่านี้บนเส้นพิกัด เรามี:

ตอนนี้ ขั้นตอนที่ 3: เราพบเครื่องหมายของฟังก์ชันบนช่วงขวาสุด (ทางด้านขวาของจุดที่ทำเครื่องหมาย x = 2) โดยให้นำตัวเลขที่ จำนวนมากขึ้น x = 2 ตัวอย่างเช่น ลอง x = 3 (แต่ไม่มีใครห้ามไม่ให้ x = 4, x = 10 และแม้แต่ x = 10,000) เราได้รับ:

ฉ(x) = (x − 2)(x + 7);
x=3;
ฉ (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

เราได้ f (3) = 10 > 0 ดังนั้นเราจึงใส่เครื่องหมายบวกในช่วงขวาสุด

เราผ่านไปยังจุดสุดท้าย - จำเป็นต้องสังเกตสัญญาณในช่วงเวลาที่เหลือ จำไว้ว่าเมื่อผ่านแต่ละรูต เครื่องหมายต้องเปลี่ยน ตัวอย่างเช่น ทางด้านขวาของรูท x = 2 จะมีเครื่องหมายบวก (เราตรวจสอบในขั้นตอนที่แล้ว) ดังนั้นจึงต้องมีเครื่องหมายลบทางด้านซ้าย

ลบนี้ขยายไปถึงช่วงทั้งหมด (−7; 2) ดังนั้นจึงมีเครื่องหมายลบทางด้านขวาของรูท x = −7 ดังนั้นจึงมีเครื่องหมายบวกทางด้านซ้ายของรูท x = −7 มันยังคงทำเครื่องหมายสัญญาณเหล่านี้บนแกนพิกัด เรามี:

กลับไปที่ความไม่เท่าเทียมกันเดิมซึ่งมีลักษณะดังนี้:

(x − 2)(x + 7)< 0

ดังนั้นฟังก์ชันควรเป็น น้อยกว่าศูนย์. ซึ่งหมายความว่าเราสนใจเครื่องหมายลบ ซึ่งเกิดขึ้นในช่วงเวลาเดียวเท่านั้น: (−7; 2) นี่จะเป็นคำตอบ

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

(x + 9)(x − 3)(1 - x )< 0

ขั้นตอนที่ 1: เท่ากับด้านซ้ายเป็นศูนย์:

(x + 9)(x − 3)(1 - x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1

ข้อควรจำ: ผลคูณเป็นศูนย์เมื่อตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ นั่นคือเหตุผลที่เรามีสิทธิที่จะเท่ากับศูนย์แต่ละวงเล็บแต่ละอัน

ขั้นตอนที่ 2: ทำเครื่องหมายรากทั้งหมดบนเส้นพิกัด:

ขั้นตอนที่ 3: ค้นหาสัญญาณของช่องว่างขวาสุด เราใช้ตัวเลขใดๆ ที่มากกว่า x = 1 ตัวอย่างเช่น เราสามารถหา x = 10 ได้ เรามี:

f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x=10;
ฉ (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 7 (−9) = − 1197;
ฉ(10) = -1197< 0.

ขั้นตอนที่ 4: วางป้ายที่เหลือ จำไว้ว่าเมื่อผ่านแต่ละรูต เครื่องหมายจะเปลี่ยนไป เป็นผลให้รูปภาพของเราจะมีลักษณะดังนี้:

นั่นคือทั้งหมดที่ มันยังคงเป็นเพียงการเขียนคำตอบ ดูความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมอีกครั้ง:

(x + 9)(x − 3)(1 - x )< 0

นี่คือความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ f (x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (-9; 1) ∪ (3; +∞)

นี่คือคำตอบ

หมายเหตุเกี่ยวกับสัญญาณการทำงาน

การปฏิบัติแสดงให้เห็นว่าความยากลำบากที่สุดในวิธีช่วงเวลาเกิดขึ้นในสองขั้นตอนสุดท้ายนั่นคือ เมื่อวางป้าย นักเรียนหลายคนเริ่มสับสน: ต้องใช้ตัวเลขอะไรและใส่ป้ายที่ไหน

เพื่อให้เข้าใจถึงวิธีการแบบช่วงเวลาในที่สุด ให้พิจารณาข้อสังเกตสองประการที่มันสร้างขึ้น:

1. ฟังก์ชันต่อเนื่องเปลี่ยนเครื่องหมายเฉพาะที่จุด โดยที่มันเท่ากับศูนย์. จุดดังกล่าวแบ่งแกนพิกัดออกเป็นชิ้น ๆ โดยที่เครื่องหมายของฟังก์ชันไม่เคยเปลี่ยนแปลง นั่นเป็นเหตุผลที่เราแก้สมการ f (x) \u003d 0 และทำเครื่องหมายรากที่พบบนเส้นตรง ตัวเลขที่พบคือจุด "ขอบเขต" ที่แยกข้อดีออกจากเครื่องหมายลบ
2. ในการหาเครื่องหมายของฟังก์ชันในช่วงเวลาใดๆ ก็เพียงพอแล้วที่จะแทนที่ตัวเลขใดๆ จากช่วงเวลานี้ลงในฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น สำหรับช่วงเวลา (-5; 6) เราสามารถใช้ x = -4, x = 0, x = 4 และแม้แต่ x = 1.29374 หากเราต้องการ ทำไมมันถึงสำคัญ? ใช่ เพราะนักเรียนหลายคนเริ่มแทะความสงสัย เช่น เกิดอะไรขึ้นถ้าสำหรับ x = −4 เราได้บวก และสำหรับ x = 0 เราได้ลบ? ไม่มีอะไรแบบนั้นจะเกิดขึ้น ทุกจุดในช่วงเวลาเดียวกันให้เครื่องหมายเหมือนกัน จำสิ่งนี้ไว้

นั่นคือทั้งหมดที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับวิธีการแบบช่วงเวลา แน่นอนเราแยกมันออกจากกันมากที่สุด รุ่นธรรมดา. มีความเหลื่อมล้ำที่ซับซ้อนมากขึ้น - ไม่เข้มงวด, เศษส่วนและมีการรูตซ้ำ สำหรับพวกเขา คุณสามารถใช้วิธีช่วงเวลาได้ แต่นี่เป็นหัวข้อสำหรับบทเรียนขนาดใหญ่แยกต่างหาก

ตอนนี้ ฉันต้องการวิเคราะห์เคล็ดลับขั้นสูงที่ทำให้วิธีช่วงเวลาง่ายขึ้นอย่างมาก แม่นยำยิ่งขึ้น การทำให้เข้าใจง่ายมีผลกับขั้นตอนที่สามเท่านั้น - การคำนวณเครื่องหมายที่ส่วนขวาสุดของบรรทัด ด้วยเหตุผลบางอย่าง เทคนิคนี้ไม่ได้จัดขึ้นในโรงเรียน (อย่างน้อยก็ไม่มีใครอธิบายเรื่องนี้ให้ฉันฟัง) แต่ไร้ประโยชน์ - อันที่จริง อัลกอริธึมนี้ง่ายมาก

ดังนั้นเครื่องหมายฟังก์ชันบนชิ้นขวา แกนตัวเลข. ชิ้นนี้มีรูปแบบ (a; +∞) โดยที่ a คือรากที่ใหญ่ที่สุดของสมการ f (x) = 0 เพื่อไม่ให้สมองของเราพัง ลองพิจารณาตัวอย่างเฉพาะ:

(x − 1)(2 + x )(7 - x )< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x − 1)(2 + x )(7 - x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

เราได้ 3 ราก เราเรียงลำดับจากน้อยไปหามาก: x = −2, x = 1 และ x = 7 เห็นได้ชัดว่ารูทที่ใหญ่ที่สุดคือ x = 7

สำหรับผู้ที่ให้เหตุผลแบบกราฟิกง่ายกว่า ฉันจะทำเครื่องหมายรากเหล่านี้บนเส้นพิกัด มาดูกันว่าเกิดอะไรขึ้น:

จำเป็นต้องค้นหาเครื่องหมายของฟังก์ชัน f (x) ในช่วงเวลาขวาสุด กล่าวคือ บน (7; +∞) แต่ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว ในการกำหนดเครื่องหมาย คุณสามารถใช้ตัวเลขใดก็ได้จากช่วงเวลานี้ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้ x = 8, x = 150 เป็นต้น และตอนนี้ - เทคนิคเดียวกับที่ไม่ได้สอนในโรงเรียน: ลองหาอนันต์เป็นตัวเลข อย่างแม่นยำมากขึ้น, บวกอินฟินิตี้, เช่น. +∞.

“คุณเมาหรือเปล่า? คุณจะแทนที่อินฟินิตี้เป็นฟังก์ชันได้อย่างไร? บางทีคุณถาม แต่ลองคิดดู: เราไม่ต้องการค่าของฟังก์ชันเอง เราต้องการแค่เครื่องหมายเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ค่า f (x) = -1 และ f (x) = −938 740 576 215 มีความหมายเหมือนกัน: a function on ช่วงเวลาที่กำหนดเชิงลบ. ดังนั้น ทั้งหมดที่คุณต้องการคือการค้นหาเครื่องหมายที่เกิดขึ้นที่ระยะอนันต์ ไม่ใช่ค่าของฟังก์ชัน

อันที่จริง การแทนที่อินฟินิตี้นั้นง่ายมาก กลับไปที่ฟังก์ชั่นของเรา:

ฉ(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

ลองนึกภาพว่า x มีค่ามาก จำนวนมาก. พันล้านหรือแม้แต่ล้านล้าน ทีนี้มาดูกันว่าเกิดอะไรขึ้นในแต่ละวงเล็บ

วงเล็บแรก: (x -1) จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณลบหนึ่งจากพันล้าน ผลลัพธ์จะเป็นตัวเลขที่ไม่ต่างจากหลักพันล้านมากนัก และตัวเลขนี้จะเป็นบวก เช่นเดียวกับวงเล็บที่สอง: (2 + x) ถ้าเราบวกหนึ่งพันล้านให้กับผี เราจะได้หนึ่งพันล้านด้วย kopecks - นี่คือ จำนวนบวก. สุดท้าย วงเล็บที่สาม: (7 − x ) ที่นี่จะมีลบหนึ่งพันล้านซึ่งชิ้นส่วนที่น่าสังเวชในรูปของเจ็ดถูก "แทะ" เหล่านั้น. จำนวนผลลัพธ์จะไม่แตกต่างกันมากจากลบหนึ่งพันล้าน - จะเป็นค่าลบ

มันยังคงค้นหาสัญญาณของงานทั้งหมด เนื่องจากเรามีเครื่องหมายบวกในวงเล็บปีกกาแรก และเครื่องหมายลบในวงเล็บสุดท้าย เราจึงมีโครงสร้างดังนี้:

(+) · (+) · (−) = (−)

เครื่องหมายสุดท้ายคือลบ! ไม่สำคัญหรอกว่าค่าของฟังก์ชันนั้นคืออะไร สิ่งสำคัญคือค่านี้เป็นค่าลบ กล่าวคือ บนช่วงขวาสุดมีเครื่องหมายลบ ยังคงต้องทำขั้นตอนที่สี่ของวิธีการเว้นระยะให้เสร็จสิ้น: จัดเรียงสัญญาณทั้งหมด เรามี:

ความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมดูเหมือน:

(x − 1)(2 + x )(7 - x )< 0

ดังนั้นเราจึงสนใจช่วงเวลาที่ทำเครื่องหมายด้วยเครื่องหมายลบ เราเขียนคำตอบ:

x ∈ (-2; 1) ∪ (7; +∞)

นั่นคือเคล็ดลับทั้งหมดที่ฉันอยากจะบอก โดยสรุป มีความไม่เท่าเทียมกันอีกหนึ่งอย่าง ซึ่งแก้ไขโดยวิธีช่วงเวลาโดยใช้อนันต์ เพื่อให้วิธีแก้ปัญหาสั้นลงด้วยสายตา ฉันจะไม่เขียนหมายเลขขั้นตอนและความคิดเห็นโดยละเอียด ฉันจะเขียนเฉพาะสิ่งที่จำเป็นต้องเขียนจริง ๆ เมื่อแก้ปัญหาจริง:

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

เราแทนที่อสมการด้วยสมการแล้วแก้สมการ:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3

เราทำเครื่องหมายทั้งสามรูตบนเส้นพิกัด (พร้อมสัญลักษณ์):

มีเครื่องหมายบวกทางด้านขวาของแกนพิกัดเพราะ ฟังก์ชั่นดูเหมือนว่า:

ฉ(x) = x(2x + 8)(x − 3)

และถ้าเราแทนค่าอนันต์ (เช่น พันล้าน) เราจะได้วงเล็บบวกสามอัน เนื่องจากนิพจน์ดั้งเดิมต้องมากกว่าศูนย์ เราจึงสนใจเฉพาะค่าบวกเท่านั้น มันยังคงเขียนคำตอบ:

x ∈ (-4; 0) ∪ (3; +∞)

วิธีการเว้นวรรค เป็นอัลกอริธึมพิเศษที่ออกแบบมาเพื่อแก้ความไม่เท่าเทียมกันที่ซับซ้อนของรูปแบบ f(x) > 0 อัลกอริธึมประกอบด้วย 5 ขั้นตอน:

1. แก้สมการ f(x) = 0 ดังนั้น แทนที่จะเป็นอสมการ เราได้สมการที่แก้ได้ง่ายกว่ามาก
2. ทำเครื่องหมายรากที่ได้รับทั้งหมดบนเส้นพิกัด ดังนั้นเส้นตรงจะถูกแบ่งออกเป็นหลายช่วง
3. หาผลคูณของราก. ถ้ารากนั้นมีหลายหลาก เราก็วาดวงวนทับรูทนั้น (รากจะถือเป็นทวีคูณหากมีคำตอบที่เหมือนกันเป็นจำนวนคู่)
4. หาเครื่องหมาย (บวกหรือลบ) ของฟังก์ชัน f(x) บนช่วงขวาสุด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะแทนที่ด้วย f (x) ตัวเลขใด ๆ ที่จะอยู่ทางขวาของรากที่ทำเครื่องหมายไว้ทั้งหมด
5. ทำเครื่องหมายสัญญาณในช่วงเวลาที่เหลือสลับกัน

หลังจากนั้นก็เหลือเพียงการเขียนช่วงเวลาที่เราสนใจเท่านั้น เครื่องหมายเหล่านี้จะถูกทำเครื่องหมายด้วยเครื่องหมาย "+" หากความไม่เท่าเทียมกันอยู่ในรูปแบบ f(x) > 0 หรือเครื่องหมาย "-" หากความไม่เท่าเทียมกันอยู่ในรูปแบบ f(x)< 0.

ในกรณีของความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่เข้มงวด (≤ , ≥) จำเป็นต้องรวมจุดที่เป็นคำตอบของสมการ f(x) = 0 ไว้เป็นระยะ

ตัวอย่างที่ 1:

แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

(x - 2)(x + 7)< 0

เราทำงานกับวิธีการของช่วงเวลา

ขั้นตอนที่ 1: แทนที่อสมการด้วยสมการแล้วแก้สมการ:

(x - 2)(x + 7) = 0

ผลคูณเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์:

x - 2 = 0 => x = 2

x + 7 = 0 => x = -7

ได้สองราก

ขั้นตอนที่ 2: ทำเครื่องหมายรากเหล่านี้บนเส้นพิกัด เรามี:

ขั้นตอนที่ 3: เราพบเครื่องหมายของฟังก์ชันที่ช่วงขวาสุด (ทางด้านขวาของจุดที่ทำเครื่องหมาย x = 2) ในการทำเช่นนี้ คุณต้องใช้ตัวเลขใดๆ ที่มากกว่าจำนวน x = 2 ตัวอย่างเช่น ลองหา x = 3 (แต่ไม่มีใครห้ามไม่ให้รับ x = 4, x = 10 และแม้แต่ x = 10,000)

ฉ(x) = (x - 2)(x + 7)

f(3)=(3 - 2)(3 + 7) = 1*10 = 10

เราได้ f(3) = 10 > 0 (10 เป็นจำนวนบวก) ดังนั้นเราจึงใส่เครื่องหมายบวกในช่วงขวาสุด

ขั้นตอนที่ 4: คุณต้องทำเครื่องหมายสัญญาณในช่วงเวลาที่เหลือ จำไว้ว่าเมื่อผ่านแต่ละรูต เครื่องหมายต้องเปลี่ยน ตัวอย่างเช่น ทางด้านขวาของรูท x = 2 จะมีเครื่องหมายบวก (เราตรวจสอบในขั้นตอนที่แล้ว) ดังนั้นจึงต้องมีเครื่องหมายลบทางด้านซ้าย ลบนี้ขยายไปถึงช่วงทั้งหมด (−7; 2) ดังนั้นจึงมีเครื่องหมายลบทางด้านขวาของรูท x = −7 ดังนั้นจึงมีเครื่องหมายบวกทางด้านซ้ายของรูท x = −7 มันยังคงทำเครื่องหมายสัญญาณเหล่านี้บนแกนพิกัด

กลับไปที่ความไม่เท่าเทียมกันเดิมซึ่งมีลักษณะดังนี้:

(x - 2)(x + 7)< 0

ดังนั้นฟังก์ชันจะต้องน้อยกว่าศูนย์ ซึ่งหมายความว่าเราสนใจเครื่องหมายลบ ซึ่งเกิดขึ้นในช่วงเวลาเดียวเท่านั้น: (−7; 2) นี่จะเป็นคำตอบ

ตัวอย่างที่ 2:

แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) ≥ 0

สารละลาย:

ก่อนอื่นคุณต้องหารากของสมการก่อน

(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) = 0

มายุบวงเล็บปีกกาแรกกันเถอะ:

(3x - 1) 2 (x - 2) = 0

x - 2 = 0; (3x - 1) 2 = 0

โดยการแก้สมการเหล่านี้เราได้รับ:

ลองพลอตจุดบนเส้นจำนวน:

เพราะ x 2 และ x 3 มีหลายราก จากนั้นจะมีจุดหนึ่งอยู่บนเส้นตรงและอยู่เหนือมัน “ ห่วง”.

นำจำนวนที่น้อยกว่าจุดซ้ายสุดมาแทนที่เป็นอสมการดั้งเดิม มาเอาเลข -1 กัน

อย่าลืมใส่คำตอบของสมการด้วย (หาโดย X) เพราะ ความไม่เท่าเทียมกันของเราไม่เข้มงวด

ตอบ: ()ยู)