ตัวเลขจริง รูปภาพบนเส้นจำนวน จำนวนจริง การแสดงบนแกนจำนวน คุณสมบัติของค่าสัมบูรณ์
เรารู้แล้วว่าเซตของจำนวนจริง $R$ นั้นประกอบขึ้นจากจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ
จำนวนตรรกยะสามารถแสดงเป็นทศนิยมได้เสมอ (ระยะจำกัดหรืออนันต์)
จำนวนอตรรกยะจะเขียนเป็นทศนิยมอนันต์แต่ไม่เกิดซ้ำ
เซตของจำนวนจริง $R$ ยังรวมองค์ประกอบ $-\infty $ และ $+\infty $ ซึ่งอสมการ $-\infty
พิจารณาวิธีแสดงจำนวนจริง
เศษส่วนร่วม
เศษส่วนสามัญเขียนโดยใช้ตัวเลขธรรมชาติสองตัวและแถบเศษส่วนแนวนอน แถบเศษส่วนจะแทนที่เครื่องหมายหารจริง ๆ ตัวเลขใต้เส้นเป็นตัวส่วน (ตัวหาร) ตัวเลขเหนือเส้นคือตัวเศษ (ตัวหาร)
คำนิยาม
เศษส่วนเรียกว่าเหมาะสมถ้าตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน ในทางกลับกัน เศษส่วนจะเรียกว่าไม่เหมาะสมหากตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วน
สำหรับเศษส่วนธรรมดา มีกฎการเปรียบเทียบที่เรียบง่ายและชัดเจน ($m$,$n$,$p$ เป็นจำนวนธรรมชาติ):
- ของเศษส่วนสองส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน ตัวที่มีตัวเศษมากกว่าจะมีค่ามากกว่า นั่นคือ $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ สำหรับ $m>n$;
- ของเศษส่วนสองตัวที่มีตัวเศษเท่ากัน ตัวที่มีตัวส่วนน้อยกว่าจะมากกว่า นั่นคือ $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ สำหรับ $ m
- เศษส่วนที่เหมาะสมจะน้อยกว่าหนึ่งเสมอ เศษส่วนเกินมักจะมากกว่า 1 เสมอ เศษส่วนที่ตัวเศษเท่ากับตัวส่วนเท่ากับหนึ่ง
- เศษเกินใดๆ มีค่ามากกว่าเศษส่วนที่เหมาะสมใดๆ
เลขทศนิยม
สัญกรณ์ของเลขฐานสิบ (เศษส่วนทศนิยม) มีรูปแบบ: ส่วนจำนวนเต็ม จุดทศนิยม ส่วนเศษส่วน สัญกรณ์ทศนิยมของเศษส่วนธรรมดาหาได้จากการหาร "มุม" ของตัวเศษด้วยตัวส่วน ซึ่งอาจส่งผลให้เกิดเศษส่วนทศนิยมจำกัดหรือเศษส่วนทศนิยมแบบไม่จำกัดระยะเวลา
คำนิยาม
ตัวเลขเศษส่วนเรียกว่าตำแหน่งทศนิยม ในกรณีนี้ หลักแรกหลังจุดทศนิยมเรียกว่า หลักสิบ หลักที่สอง - หลักร้อย หลักสาม - หลักพัน ฯลฯ
ตัวอย่าง 1
เรากำหนดค่าของเลขทศนิยม 3.74 เราได้รับ: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $
สามารถปัดเศษทศนิยมได้ ในกรณีนี้ คุณต้องระบุตัวเลขที่จะทำการปัดเศษ
กฎการปัดเศษมีดังนี้:
- ตัวเลขทั้งหมดทางด้านขวาของตัวเลขนี้จะถูกแทนที่ด้วยศูนย์ (หากตัวเลขเหล่านี้อยู่ก่อนจุดทศนิยม) หรือทิ้ง (หากตัวเลขเหล่านี้อยู่หลังจุดทศนิยม)
- หากหลักแรกตามหลังตัวเลขที่กำหนดน้อยกว่า 5 ตัวเลขของหลักนี้จะไม่เปลี่ยนแปลง
- หากหลักแรกตามหลังหลักที่กำหนดคือ 5 ตัวขึ้นไป ตัวเลขของหลักนี้จะเพิ่มขึ้นหนึ่งหลัก
ตัวอย่าง 2
- ลองปัดเศษจำนวน 17302 เป็นพันที่ใกล้ที่สุด: 17000
- ลองปัดเศษตัวเลข 17378 เป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด: 17400
- ลองปัดเศษตัวเลข 17378.45 เป็นสิบ: 17380
- ลองปัดเศษตัวเลข 378.91434 เป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด: 378.91
- ลองปัดเศษตัวเลข 378.91534 เป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด: 378.92
การแปลงเลขทศนิยมให้เป็นเศษส่วนร่วม
กรณีที่ 1
เลขทศนิยมคือจุดสิ้นสุดของทศนิยม
วิธีการแปลงแสดงในตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง 2
เรามี: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $
ลดให้เป็นตัวส่วนร่วมและรับ:
เศษส่วนสามารถลดได้: $3.74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $
กรณีที่ 2
เลขทศนิยมเป็นทศนิยมที่เกิดซ้ำแบบไม่จำกัด
วิธีการแปลงขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าส่วนที่เป็นคาบของเศษส่วนทศนิยมแบบคาบถือได้ว่าเป็นผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงแบบอนันต์
ตัวอย่างที่ 4
$0,\left(74\right)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $ สมาชิกคนแรกของความก้าวหน้าคือ $a=0.74$ ตัวหารของความก้าวหน้าคือ $q=0.01$
ตัวอย่างที่ 5
$0.5\left(8\right)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ สมาชิกคนแรกของความก้าวหน้าคือ $a=0.08$ ตัวหารของความก้าวหน้าคือ $q=0.1$
ผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงแบบอนันต์คำนวณโดยสูตร $s=\frac(a)(1-q) $ โดยที่ $a$ เป็นเทอมแรกและ $q$ เป็นตัวหารของความก้าวหน้า $ \left (0
ตัวอย่างที่ 6
ลองแปลงเศษส่วนทศนิยมเป็นงวด $0,\left(72\right)$ ให้เป็นเศษส่วนธรรมดากัน
สมาชิกคนแรกของความก้าวหน้าคือ $a=0.72$ ตัวหารของความก้าวหน้าคือ $q=0.01$ เราได้รับ: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.72)(1-0.01) =\frac(0.72)(0.99) =\frac(72)( 99) =\frac(8 )(11) $. ดังนั้น $0,\left(72\right)=\frac(8)(11) $.
ตัวอย่าง 7
มาแปลงเศษส่วนทศนิยมที่มีระยะเวลาไม่สิ้นสุด $0.5\left(3\right)$ เป็นเศษส่วนธรรมดากัน
สมาชิกคนแรกของความก้าวหน้าคือ $a=0.03$ ตัวหารของความก้าวหน้าคือ $q=0.1$ เราได้รับ: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.03)(1-0.1) =\frac(0.03)(0.9) =\frac(3)( 90) =\frac(1 )(30)$.
ดังนั้น $0.5\left(3\right)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1)(30) ) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.
จำนวนจริงสามารถแสดงด้วยจุดบนเส้นจำนวน
ในกรณีนี้ เราเรียกแกนตัวเลขว่าเส้นตรงอนันต์ โดยเลือกจุดเริ่มต้น (จุด $O$) ทิศทางบวก (ระบุด้วยลูกศร) และมาตราส่วน (เพื่อแสดงค่า)
ระหว่างจำนวนจริงทั้งหมดและจุดทั้งหมดของแกนตัวเลขจะมีการโต้ตอบแบบหนึ่งต่อหนึ่ง: แต่ละจุดสอดคล้องกับตัวเลขเดียว และในทางกลับกัน ตัวเลขแต่ละจำนวนสอดคล้องกับจุดเดียว ดังนั้นเซตของจำนวนจริงจึงมีความต่อเนื่องและไม่มีที่สิ้นสุดในลักษณะเดียวกับที่แกนตัวเลขมีความต่อเนื่องและไม่มีที่สิ้นสุด
เซตย่อยของเซตจำนวนจริงบางเซตเรียกว่าช่วงตัวเลข องค์ประกอบของช่วงตัวเลขคือตัวเลข $x\in R$ ที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันบางอย่าง ให้ $a\in R$, $b\in R$ และ $a\le b$ ในกรณีนี้ ประเภทของช่องว่างอาจเป็นดังนี้:
- ช่วงเวลา $\left(a,\; b\right)$. ในเวลาเดียวกัน $ a
- เซ็กเมนต์ $\left$ นอกจากนี้ $a\le x\le b$
- ครึ่งส่วนหรือครึ่งช่วง $\left$ ในเวลาเดียวกัน $ a \le x
- ช่วงอนันต์ เช่น $a
สิ่งที่สำคัญอย่างยิ่งก็คือช่วงเวลาชนิดหนึ่งที่เรียกว่าย่านใกล้เคียงของจุด บริเวณใกล้เคียงของจุดที่กำหนด $x_(0) \in R$ เป็นช่วงที่กำหนด $\left(a,\; b\right)$ ที่มีจุดนี้อยู่ภายในตัวมันเอง นั่นคือ $a 0$ - รัศมีที่ 10
ค่าสัมบูรณ์ของตัวเลข
ค่าสัมบูรณ์ (หรือโมดูลัส) ของจำนวนจริง $x$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ติดลบ $\left|x\right|$ กำหนดโดยสูตร: $\left|x\right|=\left\(\ Begin(array)(c) (\; \; x\; \; (\rm on)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm on)\; \; x
ในเชิงเรขาคณิต $\left|x\right|$ หมายถึงระยะห่างระหว่างจุด $x$ และ 0 บนแกนจริง
คุณสมบัติของค่าสัมบูรณ์:
- มันตามมาจากคำจำกัดความที่ว่า $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
- สำหรับโมดูลัสของผลรวมและสำหรับโมดูลัสของผลต่างของตัวเลขสองตัว อสมการ $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\ ซ้าย|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$ และ $\left|x+y\right|\ge \left|x\right|-\left|y \right|$,$\ left|x-y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$;
- โมดูลัสของผลิตภัณฑ์และโมดูลัสของผลหารของตัวเลขสองตัวตรงตามความเท่าเทียมกัน $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$ and $\left |\frac(x)( y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.
ตามคำจำกัดความของค่าสัมบูรณ์สำหรับจำนวน $a>0$ โดยพลการ เราสามารถสร้างความสมมูลของอสมการคู่ต่อไปนี้ได้:
- ถ้า $ \left|x\right|
- ถ้า $\left|x\right|\le a$ แล้ว $-a\le x\le a$;
- ถ้า $\left|x\right|>a$ แล้ว $xa$;
- ถ้า $\left|x\right|\ge a$ แล้ว $x\le -a$ หรือ $x\ge a$
ตัวอย่างที่ 8
แก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน $\left|2\cdot x+1\right|
ความไม่เท่าเทียมกันนี้เทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน $-7
จากที่นี่เราได้รับ: $-8
คำจำกัดความ 1. แกนตัวเลข เส้นตรงเรียกว่าจุดกำเนิด มาตราส่วน และทิศทางที่เลือกไว้
ทฤษฎีบทที่ 1 มีการโต้ตอบแบบหนึ่งต่อหนึ่ง (bijection) ระหว่างจุดของแกนตัวเลขกับจำนวนจริง
ความต้องการ.ให้เราแสดงว่าแต่ละจุดของแกนตัวเลขสอดคล้องกับจำนวนจริง เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้แยกส่วนมาตราส่วนของความยาวหน่วย 
ครั้งเพื่อจุดนั้น 
จะนอนตะแคงซ้ายของจุด 
และประเด็น 
ไปทางขวาแล้ว ส่วนถัดไป 
หารด้วย 
ส่วนและกันส่วนและ 
ครั้งเพื่อจุดนั้น 
จะนอนตะแคงซ้ายของจุด 
และประเด็น 
ไปทางขวาแล้ว ดังนั้นในแต่ละขั้นตอน ตัวเลข 
,
… หากขั้นตอนนี้สิ้นสุดในบางช่วง เราจะได้หมายเลข 
(พิกัดจุด 
บนเส้นจำนวน) ถ้าไม่เช่นนั้นเราจะเรียกขอบเขตด้านซ้ายของช่วงเวลาใด ๆ "number 
ด้วยข้อเสีย" และอันที่ถูกต้อง - "ตัวเลข 
เกิน" หรือ "ค่าประมาณของตัวเลข 
ที่ขาดหรือเกิน "และจำนวนนั้นเอง 
จะเป็นเศษส่วนทศนิยมที่ไม่เป็นงวด (ทำไม?) สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าการดำเนินการทั้งหมดที่มีการประมาณตรรกยะของจำนวนอตรรกยะ 
มีการกำหนดไว้อย่างชัดเจน
ความเพียงพอให้เราแสดงว่าจำนวนจริงใดๆ ตรงกับจุดเดียวบนแกนตัวเลข
คำจำกัดความ 2
ถ้า 
, จากนั้นเป็นช่วงตัวเลข 
เรียกว่าเซ็กเมนต์
, ถ้า 
, จากนั้นเป็นช่วงตัวเลข 
เรียกว่าช่วงเวลา
, ถ้า 
, จากนั้นเป็นช่วงตัวเลข 
เรียกว่าครึ่งช่วง
.
อู๋ 
คำจำกัดความ 3
ถ้าส่วน 
ส่วนที่ซ้อนกันเพื่อให้ 
, แ 
จากนั้นระบบดังกล่าวจะเรียกว่า SHS (ระบบส่วนที่ซ้อนกัน
).
คำจำกัดความ 4
พวกเขาบอกว่า 
(ความยาวส่วน 
มีแนวโน้มเป็นศูนย์
โดยมีเงื่อนไขว่า 
), ถ้า.
คำจำกัดความ 5.
SVS ซึ่ง 
เรียกว่า SSS (ระบบของส่วนสัญญา)
สัจพจน์ของ Cantor-Dedekind: ใน SHS ใด ๆ มีอย่างน้อยหนึ่งจุดที่เป็นของทั้งหมดพร้อมกัน
เนื่องจากการประมาณเหตุผลของจำนวน 
สามารถแสดงโดยระบบของส่วนสัญญาแล้วจำนวนตรรกยะ 
จะสอดคล้องกับจุดเดียวของแกนตัวเลขหากมีจุดเดียวในระบบของส่วนที่หดตัวที่เป็นของทั้งหมดพร้อมกัน ( ทฤษฎีบทของต้นเสียง). ขอแสดงนี้ในทางกลับกัน
. ปล่อยให้เป็น 
และ 
สองจุดดังกล่าวและ 
,
. ตู่ 
ak ยังไง 
, แล้ว 
. แต่อีกด้านหนึ่ง 
และสิ่งเหล่านั้น เริ่มจากเลขบางตัว 
,
จะน้อยกว่าค่าคงที่ใดๆ ความขัดแย้งนี้พิสูจน์สิ่งที่จำเป็น ■
ดังนั้น เราได้แสดงให้เห็นว่าแกนตัวเลขมีความต่อเนื่อง (ไม่มี "รู") และไม่สามารถวางตัวเลขบนแกนนั้นได้อีก อย่างไรก็ตาม เรายังไม่ทราบวิธีการแยกรากจากจำนวนจริงใดๆ (โดยเฉพาะจากจำนวนลบ) และไม่ทราบวิธีแก้สมการเช่น 
. ในส่วนที่ 5 เราจะจัดการกับวิธีแก้ปัญหานี้
3. 4. ทฤษฎีใบหน้า
คำจำกัดความ 1
พวงของ 
จำกัดจากเบื้องบน
(จากด้านล่าง
) หากมีตัวเลข 
, ดังนั้น 
. ตัวเลข 
เรียกว่าสูงสุด
(ล่าง
)
ขอบ
.
คำจำกัดความ 2 พวงของถูก จำกัด หากมีขอบเขตทั้งด้านบนและด้านล่าง
คำจำกัดความ 3
ขอบบนที่แม่นยำ
เซตขอบบนของจำนวนจริง 
เรียกว่า 
:
(เหล่านั้น. 
- หนึ่งในใบหน้าส่วนบน);
(เหล่านั้น. 
- เคลื่อนย้ายไม่ได้)
ความคิดเห็น
ขอบเขตบนที่ยอดเยี่ยม (TSB) ของชุดตัวเลข 
หมายถึง 
(จาก ลท. สูงสุด- ที่เล็กที่สุดของที่ใหญ่ที่สุด)
ความคิดเห็น
คำจำกัดความที่สอดคล้องกันสำหรับ TNG ( ขอบล่างชัดๆ) ให้ตัวเอง ชุดหมายเลข TNG 
หมายถึง 
(จาก ลท. infinum- ใหญ่สุด เล็กสุด)
ความคิดเห็น
อาจเป็น 
, หรืออาจจะไม่. ตัวเลข 
คือ TNG ของเซตของจำนวนจริงลบ และ TNG ของเซตของจำนวนจริงบวก แต่ไม่ได้เป็นของอย่างใดอย่างหนึ่ง ตัวเลข 
คือ TNG ของเซตของจำนวนธรรมชาติและอ้างอิงถึงพวกมัน
คำถามเกิดขึ้น: ชุดที่มีขอบเขตใด ๆ มีขอบเขตที่แน่นอนหรือไม่และมีกี่ชุด?
ทฤษฎีบทที่ 1 ชุดจำนวนจริงที่ไม่เว้นว่างใด ๆ ที่ล้อมรอบจากด้านบนจะมี TVG ที่ไม่ซ้ำกัน (ในทำนองเดียวกัน กำหนดและพิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับ TNG ด้วยตัวคุณเอง)
ออกแบบ.พวงของ 
ชุดจำนวนจริงที่ไม่ว่างเปล่าที่ล้อมรอบจากด้านบน แล้ว 
และ 
. แบ่งส่วน 
พี 
เสาและเรียกมันว่าเซ็กเมนต์ 
ซึ่งมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
ส่วนของเส้น 
มีอย่างน้อยหนึ่งจุด 
. (เช่น dot 
);
ทั้งชุด 
อยู่ทางด้านซ้ายของจุด 
, เช่น. 
.
ดำเนินการตามขั้นตอนนี้ต่อไป เราได้รับ CCC 
. ดังนั้นตามทฤษฎีบทของคันทอร์จึงมีจุดที่ไม่เหมือนใคร 
เป็นของทุกกลุ่มในคราวเดียว แสดงว่า 
.
แสดงว่า 
(เหล่านั้น. 
ขอบด้านใดด้านหนึ่ง) สมมติว่าตรงกันข้าม 
. เนื่องจาก 
, แล้ว 
ครั้งหนึ่ง 
,
, เช่น. 
, เช่น. 
. ตามกฎการเลือกจุด 
, ดอท 
ไปทางซ้ายเสมอ 
, เช่น. 
, ดังนั้น, และ 
. แต่ 
ถูกเลือกเพื่อให้ทุกคน 
, แ 
, เช่น. และ 
. ความขัดแย้งนี้พิสูจน์ส่วนนี้ของทฤษฎีบท
มาโชว์ความไม่เคลื่อนไหวกัน 
, เช่น. 
. มาแก้บน 
และหาตัวเลข ตาม 
ด้วยกฎข้อที่ 1 สำหรับการเลือกกลุ่ม เราเพิ่งแสดงให้เห็นว่า 
, เช่น. 
, หรือ 
. ดังนั้น 
, หรือ 
.
■
2 สมการและอสมการของระดับที่หนึ่ง
เริ่มศึกษาหัวข้อโดยแก้ปัญหาการซ้ำซ้อนจากบทที่ 1
§ 4. ความไม่เท่าเทียมกัน
ความไม่เท่าเทียมกันของตัวเลขและคุณสมบัติของมัน
175.
ใส่เครื่องหมายอสมการระหว่างตัวเลข เอและ ขถ้ารู้ว่า:
1) (เอ - บี) เป็นจำนวนบวก
2) (เอ - บี) - จำนวนลบ;
3) (เอ - บี) เป็นจำนวนที่ไม่ติดลบ
176.
X, ถ้า:
1) X> 0; 2) X < 0; 3) 1 < X; 4) X > -3,2?
177.
เขียนโดยใช้เครื่องหมายอสมการว่า:
1) X- จำนวนบวก;
2) ที่-จำนวนลบ;
3) | เอ| - จำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบ
4) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจำนวนบวกสองตัว เอและ ขไม่น้อยกว่าค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต
5) ค่าสัมบูรณ์ของผลรวมของจำนวนตรรกยะสองจำนวน เอและ ขไม่เกินผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของเงื่อนไข
178. สิ่งที่สามารถพูดได้เกี่ยวกับสัญญาณของตัวเลข เอและ ข, ถ้า:
1) ข> 0; 2) เอ / ข > 0; 3) ข< 0; 4) เอ / ข < 0?
179. 1) จัดเรียงตัวเลขต่อไปนี้ในลำดับจากน้อยไปมากโดยเชื่อมต่อกับเครื่องหมายอสมการ: 0; -5; 2. จะอ่านรายการนี้ได้อย่างไร?
2) จัดเรียงตัวเลขต่อไปนี้ในลำดับจากมากไปน้อยโดยเชื่อมต่อกับเครื่องหมายอสมการ: -10; 0.1;-2/3. จะอ่านรายการนี้ได้อย่างไร?
180. เขียนตัวเลขสามหลักจากน้อยไปมากโดยเรียงจากน้อยไปหามาก โดยแต่ละจำนวนมีตัวเลข 2; 0; 5 และเชื่อมโยงพวกเขาด้วยเครื่องหมายอสมการ
181. 1) เมื่อวัดความยาวที่กำหนดหนึ่งครั้ง lพบว่ามีขนาดเกิน 217 ซม. แต่น้อยกว่า 218 ซม. บันทึกผลการวัดโดยเอาตัวเลขเหล่านี้เป็นขอบเขตของค่าความยาว l.
2) เมื่อชั่งน้ำหนักวัตถุปรากฏว่าหนักกว่า 19.5 G แต่เบากว่า 20.0 G ให้เขียนผลการชั่งน้ำหนักที่ระบุขอบเขต
182.
เมื่อชั่งน้ำหนักวัตถุที่มีความแม่นยำ 0.05 กก. เราได้รับน้ำหนัก
Р ≈ 26.4 กก. ระบุขีดจำกัดน้ำหนักของรายการนี้
183.
ตำแหน่งใดบนเส้นจำนวนที่มีจุดแทนตัวเลข X, ถ้า:
1) 3 < X < 10; 2) - 2 < X < 7; 3) - 1 > X >
- 6?
184. ค้นหาและระบุค่าจำนวนเต็มบนแกนตัวเลข X, สนองความไม่เท่าเทียมกัน.
1) 0,2 < X <4;
2)-3 < X <2;
3) 1 / 2 < X< 5;
4) -1< X<;3.
185. อะไรคือผลคูณของ 9 ระหว่าง 141 ถึง 152? ให้ภาพประกอบบนเส้นจำนวน
186. พิจารณาว่าจำนวนใดในสองจำนวนที่มากกว่า หากทราบว่าแต่ละจำนวนมากกว่า 103 และน้อยกว่า 115 และจำนวนแรกคือผลคูณของ 13 และตัวที่สองเป็นผลคูณของ 3 ให้ภาพประกอบเรขาคณิต
187. จำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุดระหว่างเศษส่วนที่เหมาะสมคืออะไร? เป็นไปได้ไหมที่จะระบุจำนวนเต็มสองจำนวนซึ่งอยู่ระหว่างเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมทั้งหมด?
188. ซื้อหนังสือเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และประวัติศาสตร์ 6 เล่ม มีการซื้อหนังสือกี่เล่มในแต่ละวิชาหากมีการซื้อหนังสือในทางคณิตศาสตร์มากกว่าในประวัติศาสตร์ และในวิชาฟิสิกส์น้อยกว่าในประวัติศาสตร์
189. ในบทเรียนพีชคณิต ความรู้ของนักเรียนสามคนได้รับการทดสอบ นักเรียนแต่ละคนได้เกรดอะไรถ้ารู้ว่าคนแรกได้มากกว่าที่สองและคนที่สองมากกว่าสามและจำนวนคะแนนที่ได้รับจากนักเรียนแต่ละคนมากกว่าสอง?
190. ในการแข่งขันหมากรุก ผู้เล่นหมากรุก A, B, C และ D ได้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด เป็นไปได้ไหมที่จะค้นหาว่าผู้เข้าร่วมการแข่งขันแต่ละคนอยู่ในตำแหน่งใดหากทราบว่า A ได้คะแนนมากกว่า D และ B น้อยกว่า กว่าซี?
191. ให้ความไม่เท่าเทียมกัน a > b. เสมอหรือเปล่า a c > b c? ยกตัวอย่าง.
192. ให้ความไม่เท่าเทียมกัน เอ< ข. ความไม่เท่าเทียมกันถูกต้องหรือไม่? เอ > - ข?
193. เป็นไปได้ไหมโดยไม่ต้องเปลี่ยนเครื่องหมายของความไม่เท่าเทียมกันเพื่อคูณทั้งสองส่วนด้วยนิพจน์ X 2+1 โดยที่ X- จำนวนตรรกยะใดๆ?
194. คูณอสมการทั้งสองข้างด้วยตัวประกอบในวงเล็บ
1)-3 < 1 (5); 2) 2 < 5 (-1); 3) X > 2 (X);
4) เอ < - 1 (เอ); 5) ข < - 3 (-ข); 6)X -2 > 1 (X).
195. นำไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันทั้งรูปแบบ:
196. รับหน้าที่ y = kx, ที่ไหน k ที่ด้วยการโต้เถียงที่เพิ่มขึ้น Xถ้า: 1) k> 0; 2) k < 0? Обосновать ответы.
197. รับหน้าที่ y = kx + b, ที่ไหน k =/= 0, ข=/= 0. ค่าของฟังก์ชันเปลี่ยนไปอย่างไร ที่ด้วยค่าอาร์กิวเมนต์ที่ลดลง Xถ้า: 1) k > 0; 2) k < 0? Обосновать ответы.
198. พิสูจน์ว่าถ้า a > bและ กับ> 0 แล้วก็ เอ / ค > ข / ค; ถ้า a > bและ กับ< 0, то เอ / ค < ข / ค .
199. หารอสมการทั้งสองข้างด้วยตัวเลขในวงเล็บ:
1) - 6 < 3 (1 / 3); 2) 4 > -1,5 (-1); 3) เอ < - 2เอ 2 (เอ);
4) เอ > เอ 2 (เอ); 5) เอ 3 > เอ 2 (-เอ).
200. เพิ่มเทอมตามความไม่เท่าเทียมกันของเทอม:
1) 12 > 11 และ 1 > -3;
2) -5 < 2 и 4 < 8,2;
3) เอ - 2 < 8 + ขและ 5 - 2 เอ < 2 - ข;
4) X 2 + 1 > 2Xและ X - 3 < 9 - X 2 .
201. พิสูจน์ว่าแต่ละเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมนูนแต่ละเส้นมีค่าน้อยกว่ากึ่งปริมณฑล
202. พิสูจน์ว่าผลบวกของด้านตรงข้ามสองด้านของสี่เหลี่ยมนูนมีค่าน้อยกว่าผลรวมของเส้นทแยงมุม
203. ลบเทอมตามเทอมอสมการที่สองจากอันแรก:
1)5 > 2; -3 < 1;
2) 0,2 < 3; 0,3 > -2;
3) 7 < 11; -4 < -3;
4) 2เอ- 1 > 3ข; 2ข > 3.
204. พิสูจน์ว่าถ้า | x |< а , แล้ว - เอ< х < а .
205.
เขียนอสมการต่อไปนี้เป็นอสมการคู่:
1) | t |< 1; 2) | X - 2 | < 2.
206. ระบุชุดของค่าทั้งหมดบนแกนตัวเลข Xตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน: 1) | X |< 2; 2) | X | < 1; 3) | X | > 3; 4) | X - 1 | < 1.
207. พิสูจน์ว่าถ้า- เอ< х < а แล้ว | x |< เอ.
208.
แทนที่ความไม่เท่าเทียมกันสองเท่าด้วยสัญกรณ์ย่อ:
1) -2 < เอ < 2; 2) -1 < 2พี < 1; 3) 1 < x < 3.
209. ความยาวโดยประมาณ l= 24.08(±0.01) มม. กำหนดขีดจำกัดความยาว l.
210. การวัดระยะทางเท่ากันห้าครั้งโดยใช้ไม้บรรทัดเมตรให้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: 21.56; 21.60; 21.59; 21.55; 21.61 (ม.) ค้นหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลการวัด โดยระบุขอบเขตของข้อผิดพลาดแบบสัมบูรณ์และแบบสัมพัทธ์
211. เมื่อชั่งน้ำหนักสินค้า จะได้ P = 16.7 (± 0.4%) กิโลกรัม หาขีดจำกัดของน้ำหนัก R
212.
เอ≈ 16.4 ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ ε = 0.5% ค้นหาข้อผิดพลาดแอบโซลูท
Δ
เอและกำหนดขอบเขตระหว่างจำนวนที่ใกล้เคียงกัน
213. กำหนดขีดจำกัดของข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของค่าโดยประมาณของแต่ละตัวเลขต่อไปนี้ หากใช้ค่าโดยประมาณกับจำนวนหลักที่ถูกต้องที่ระบุ: 1) 11 / 6 พร้อมตัวเลขที่ถูกต้องสามหลัก 2) √5 ที่มีสี่หลักที่ถูกต้อง
214. เมื่อวัดระยะทางระหว่างสองเมืองบนแผนที่ พวกเขาพบว่ามันมากกว่า 24.4 ซม. แต่น้อยกว่า 24.8 ซม. ค้นหาระยะทางจริงระหว่างเมืองและข้อผิดพลาดในการคำนวณแบบสัมบูรณ์หากมาตราส่วนแผนที่คือ 1: 2,500,000
215. ทำการคำนวณและกำหนดข้อผิดพลาดแบบสัมบูรณ์และแบบสัมพัทธ์ของผลลัพธ์: x = a + b - c, ถ้า เอ= 7.22 (±0.01); 3.14< ข < 3,17; กับ= 5.4(±0.05)
216. คูณระยะอสมการด้วยเทอม:
1) 7 > 5 และ 3 > 2; 2) 3< 5 и 2 / 3 <2;
3) - 6 < - 2 и - 3 < - 1; 4)เอ> 2 และ ข < -2.
217. ให้ความไม่เท่าเทียมกัน เอ > ข. เสมอหรือเปล่า เอ 2 > ข 2? ยกตัวอย่าง.
218. ถ้า a > b > 0 และ พีเป็นจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น ขึ้น > ข. พิสูจน์.
219. อันไหนมากกว่า: (0.3) 20 หรือ (0.1) 10 ?
220. ถ้า a > b > 0 หรือ ข< а < 0 แล้ว 1 / เอ < 1 / ข. พิสูจน์.
221. คำนวณพื้นที่ของแปลงที่ดินสี่เหลี่ยมที่มีความยาว 437 ม. และความกว้าง 162 ม. หากข้อผิดพลาด± 2 ม. เป็นไปได้เมื่อวัดความยาวของแปลงและข้อผิดพลาด ± 1 ม. เมื่อวัด ความกว้าง.
แกนคือเส้นตรงซึ่งหนึ่งในสองทิศทางที่เป็นไปได้ถูกทำเครื่องหมายเป็นบวก (ทิศทางตรงกันข้ามถือเป็นค่าลบ) ทิศทางบวกมักจะระบุด้วยลูกศร แกนตัวเลข (หรือพิกัด) คือแกนที่เลือกจุดเริ่มต้น (หรือจุดเริ่มต้น) O และหน่วยมาตราส่วนหรือส่วนมาตราส่วน OE (รูปที่ 1)
ดังนั้น แกนตัวเลขจึงถูกกำหนดโดยการระบุทิศทางตรง จุดกำเนิด และมาตราส่วน
จุดบนเส้นจำนวนแสดงถึงจำนวนจริง จำนวนเต็มจะแสดงด้วยจุด ซึ่งได้มาจากการแบ่งส่วนของมาตราส่วนตามจำนวนครั้งที่ต้องการทางด้านขวาของจุดเริ่มต้น O ในกรณีของจำนวนเต็มบวกและทางซ้ายในกรณีที่เป็นจำนวนลบ ศูนย์จะแสดงโดยจุดเริ่มต้น O (ตัวอักษร O เองนั้นชวนให้นึกถึงศูนย์ มันเป็นตัวอักษรตัวแรกของคำว่า origo ซึ่งหมายถึง "จุดเริ่มต้น") ตัวเลขเศษส่วน (ตรรกยะ) จะแสดงด้วยจุดแกน ตัวอย่างเช่น ในการสร้างจุดที่สอดคล้องกับตัวเลข ควรวางส่วนของมาตราส่วนสามส่วนและหนึ่งในสามของส่วนของมาตราส่วนไว้ทางด้านซ้ายของ O (จุด A ในรูปที่ 1) นอกจากจุด A ในรูปที่ 1 แสดงจุดเพิ่มเติม B, C, D แทนตัวเลข -2 ตามลำดับ; 3/2; 4.
มีจำนวนเต็มจำนวนไม่สิ้นสุด แต่บนแกนตัวเลข จำนวนเต็มจะถูกแสดงโดยจุดที่ตั้งอยู่ "ไม่ค่อย" จุดจำนวนเต็มของแกนจะถูกแยกออกจากจุดที่อยู่ใกล้เคียงด้วยหน่วยมาตราส่วน จุดตรรกยะตั้งอยู่บนแกน "หนาแน่น" มาก - ง่ายที่จะแสดงว่าในส่วนเล็ก ๆ ของแกนตามอำเภอใจนั้นมีหลายจุดที่แสดงถึงจำนวนตรรกยะ อย่างไรก็ตาม มีจุดบนเส้นจำนวนที่ไม่ใช่ภาพของจำนวนตรรกยะ ดังนั้น หากคุณสร้างเซ็กเมนต์ OA บนแกนจริง เท่ากับ OS ด้านตรงข้ามมุมฉากของ OEC สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขา จากนั้นความยาวของส่วนนี้ (ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส หน้า 216) จะเท่ากันและจุด A จะ ไม่ใช่ภาพของจำนวนตรรกยะ
ในอดีต มันคือความจริงของการมีอยู่ของเซ็กเมนต์ที่ไม่สามารถแสดงความยาวด้วยตัวเลขได้ (จำนวนตรรกยะ!) ที่นำไปสู่การแนะนำของจำนวนอตรรกยะ
การนำจำนวนอตรรกยะซึ่งประกอบกับจำนวนตรรกยะประกอบเป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมด นำไปสู่ความจริงที่ว่าจุดแต่ละจุดของแกนจำนวนนั้นสอดคล้องกับจำนวนจริงเพียงจำนวนเดียว ซึ่งเป็นภาพที่แสดง ในทางตรงกันข้าม จำนวนจริงแต่ละจำนวนจะแสดงด้วยจุดที่กำหนดไว้อย่างดีบนแกนตัวเลข มีการโต้ตอบแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจำนวนจริงและจุดของแกนตัวเลข
เนื่องจากเราคิดว่าแกนตัวเลขเป็นเส้นต่อเนื่อง และจุดของแกนนั้นสัมพันธ์กันแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับจำนวนจริง เรากำลังพูดถึงคุณสมบัติความต่อเนื่องของเซตของจำนวนจริง (ข้อ 6)
นอกจากนี้เรายังทราบด้วยว่าในแง่หนึ่ง (เราไม่ได้ระบุ) มีจำนวนอตรรกยะมากกว่าจำนวนตรรกยะอย่างหาที่เปรียบมิได้
ตัวเลขที่แสดงโดยจุด A ที่กำหนดของแกนตัวเลขเรียกว่าพิกัดของจุดนี้ ความจริงที่ว่า a เป็นพิกัดของจุด A เขียนได้ดังนี้: A (a) พิกัดของจุด A ใดๆ จะแสดงเป็นอัตราส่วนของ OA / OE ของส่วน OA ต่อส่วนของมาตราส่วน OE ซึ่งสำหรับจุดที่อยู่ห่างจากจุดเริ่มต้นของ O ในทิศทางลบ จะมีการกำหนดให้ใช้เครื่องหมายลบ
ตอนนี้เราแนะนำพิกัดคาร์ทีเซียนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าบนเครื่องบิน ให้เราใช้แกนตัวเลขสองแกนตั้งฉากร่วมกัน Ox และ Oy โดยมีจุดกำเนิดร่วมกัน O และส่วนของมาตราส่วนเท่ากัน (ในทางปฏิบัติ แกนพิกัดที่มีหน่วยมาตราส่วนต่างกันมักใช้) สมมติว่าแกนเหล่านี้ (รูปที่ 3) สร้างระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมบนระนาบ จุด O เรียกว่าจุดกำเนิดของพิกัด แกน Ox และ Oy เป็นแกนพิกัด (แกน Ox เรียกว่าแกน abscissa แกน Oy คือแกนพิกัด) ในรูป 3 ตามปกติ abscissa เป็นแนวนอนแกน y เป็นแนวตั้ง ระนาบที่ให้ระบบพิกัดเรียกว่าระนาบพิกัด
แต่ละจุดของเครื่องบินถูกกำหนดเป็นคู่ของตัวเลข - พิกัดของจุดนี้สัมพันธ์กับระบบพิกัดที่กำหนด กล่าวคือเราใช้การฉายภาพสี่เหลี่ยมของจุด M บนแกน Ox และ Oy จุดที่สอดคล้องกันบนแกน Ox, Oy ถูกระบุในรูปที่ 3 ผ่าน
จุดมีจุดพิกัด (abscissa) x เป็นจุดของแกนตัวเลข จุดเป็นจุดของแกนตัวเลข พิกัด (พิกัด) y ตัวเลขสองตัวนี้ y (เขียนตามลำดับที่ระบุ) เรียกว่าพิกัดของจุด M
ในเวลาเดียวกัน พวกเขาเขียนว่า: (x, y)
ดังนั้นแต่ละจุดของระนาบจึงถูกกำหนดคู่ของจำนวนจริงที่เรียงลำดับ (x, y) - พิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนของจุดนี้ คำว่า "คู่คำสั่ง" บ่งชี้ว่าควรแยกความแตกต่างระหว่างหมายเลขแรกของคู่ - abscissa และตัวที่สอง - ลำดับ ในทางตรงกันข้าม ตัวเลขแต่ละคู่ (x, y) กำหนดจุดเดียว M โดยที่ x คือ abscissa และ y คือพิกัด การตั้งค่าระบบพิกัดคาร์ทีเซียนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าในระนาบจะสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจุดต่างๆ ของระนาบกับคู่ของจำนวนจริงที่เรียงลำดับ
แกนพิกัดแบ่งระนาบพิกัดออกเป็นสี่ส่วน สี่จตุภาค จตุภาคมีเลขดังแสดงในรูป 3 เป็นเลขโรมัน
เครื่องหมายของพิกัดของจุดขึ้นอยู่กับว่าอยู่ในจตุภาคใด ดังแสดงในตารางต่อไปนี้:
จุดที่วางอยู่บนแกนมีพิกัด y เท่ากับศูนย์ จุดบนแกน Oy มี abscissa เท่ากับศูนย์ พิกัดทั้งสองของแหล่งกำเนิด O มีค่าเท่ากับศูนย์:
ตัวอย่างที่ 1 สร้างจุดบนระนาบ
การแก้ปัญหาจะได้รับในรูปที่ 4.
หากทราบพิกัดของจุดใดจุดหนึ่ง จะเป็นเรื่องง่ายที่จะระบุพิกัดของจุดที่สมมาตรกับมันเกี่ยวกับแกน Ox, Oy และจุดกำเนิด: จุดสมมาตรกับ M เกี่ยวกับแกน Ox จะมีพิกัดของ จุดสมมาตรกับ M เกี่ยวกับพิกัด ในที่สุด ณ จุดสมมาตรกับ M ที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิด พิกัดจะเป็น (-x, -y)
คุณยังสามารถระบุความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดของจุดคู่หนึ่งที่มีความสมมาตรเทียบกับเส้นแบ่งครึ่งของมุมพิกัด (รูปที่ 5) ถ้าจุดใดจุดหนึ่งเหล่านี้ M มีพิกัด x และ y ดังนั้น y ของจุดที่สองจะเท่ากับพิกัดของจุดแรก และพิกัดคือ abscissa ของจุดแรก
กล่าวอีกนัยหนึ่ง พิกัดของจุด N ซึ่งสมมาตรกับ M เทียบกับเส้นแบ่งครึ่งของมุมพิกัด จะเป็น เพื่อพิสูจน์ตำแหน่งนี้ ให้พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก O AM และ OBN พวกมันตั้งอยู่อย่างสมมาตรเมื่อเทียบกับครึ่งเสี้ยวของมุมพิกัดและดังนั้นจึงเท่ากัน เราจะตรวจสอบความถูกต้องของคำสั่งของเราเมื่อเปรียบเทียบขาตามลำดับ
ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนสามารถเปลี่ยนได้โดยการย้ายจุดกำเนิด O ไปยังจุดใหม่ O โดยไม่ต้องเปลี่ยนทิศทางของแกนและขนาดของส่วนของมาตราส่วน ในรูป รูปที่ 6 แสดงระบบพิกัดสองระบบพร้อมกัน: ระบบ "เก่า" ที่มีจุดกำเนิด O และระบบ "ใหม่" ที่มีจุดกำเนิด O จุดใดจุดหนึ่ง M ตอนนี้มีพิกัดสองคู่ หนึ่งสัมพันธ์กับระบบพิกัดเก่า ญาติอีกคนหนึ่งกับคนใหม่ หากพิกัดของการเริ่มต้นใหม่ในระบบเก่าแสดงด้วย ดังนั้นความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดเก่าของจุด M และพิกัดใหม่ (x, y) จะแสดงโดยสูตร
สูตรเหล่านี้เรียกว่าสูตรการถ่ายโอนระบบพิกัด เมื่อแสดงในรูปที่ 6 เลือกตำแหน่งที่สะดวกที่สุดของจุด M ซึ่งอยู่ในจตุภาคแรกของทั้งระบบเก่าและใหม่
จะเห็นได้ว่าสูตร (8.1) ยังคงใช้ได้สำหรับตำแหน่งใดๆ ของจุด M
ตำแหน่งของจุด M บนระนาบสามารถระบุได้ไม่เพียงแค่พิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม y เท่านั้น แต่ยังระบุด้วยวิธีอื่นๆ ด้วย ให้เราเชื่อมต่อตัวอย่างเช่นจุด M กับจุดกำเนิด O (รูปที่ 7) และพิจารณาตัวเลขสองตัวต่อไปนี้: ความยาวของส่วนและมุมเอียงของส่วนนี้กับทิศทางบวกของแกน , ถ้า การหมุนทวนเข็มนาฬิกาและมีค่าลบเป็นลบ ตามธรรมเนียมตรีโกณมิติ ส่วนนี้เรียกว่ารัศมีขั้วของจุด M มุมคือมุมขั้ว ตัวเลขคู่หนึ่งคือพิกัดเชิงขั้วของจุด M อย่างที่คุณเห็น ในการหาพิกัดเชิงขั้วของจุดนั้น คุณต้องระบุแกนพิกัด Ox เพียงแกนเดียว (ในกรณีนี้เรียกว่าแกนเชิงขั้ว) อย่างไรก็ตาม การพิจารณาพิกัดของทั้งพิกัดเชิงขั้วและสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนพร้อมๆ กันจะสะดวกเพียงใด ดังที่แสดงในรูปที่ 7.
มุมเชิงขั้วของจุดถูกกำหนดอย่างคลุมเครือโดยการระบุจุด: หากเป็นมุมเชิงขั้วของจุดหนึ่ง มุมใดก็ตาม
จะเป็นมุมขั้วของมัน การระบุรัศมีและมุมของขั้วจะเป็นตัวกำหนดตำแหน่งของจุดด้วยวิธีที่ไม่เหมือนใคร จุดกำเนิด O (เรียกว่าขั้วของระบบพิกัดเชิงขั้ว) มีรัศมีเท่ากับศูนย์ ไม่มีการกำหนดมุมขั้วที่แน่นอนให้กับจุด O
มีความสัมพันธ์ต่อไปนี้ระหว่างพิกัดคาร์ทีเซียนและเชิงขั้วของจุด:
ต่อจากนิยามของฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยตรง (Sec. 97) ความสัมพันธ์เหล่านี้ทำให้สามารถค้นหาพิกัดคาร์ทีเซียนจากพิกัดเชิงขั้วที่กำหนดได้ สูตรต่อไปนี้:
อนุญาตให้แก้ปัญหาผกผัน: ใช้พิกัดคาร์ทีเซียนที่กำหนดของจุด หาพิกัดเชิงขั้วของมัน
ในกรณีนี้ ด้วยค่า (หรือ ) คุณสามารถหาค่ามุมที่เป็นไปได้สองค่าภายในวงกลมแรก หนึ่งในนั้นถูกเลือกโดยเครื่องหมาย coef คุณยังสามารถกำหนดมุมด้วยแทนเจนต์ของมัน: แต่ในกรณีนี้ ไตรมาสที่อยู่จะถูกระบุโดย coef เครื่องหมาย หรือ .
จุดที่กำหนดโดยพิกัดเชิงขั้วจะถูกสร้างขึ้น (โดยไม่มีการคำนวณพิกัดคาร์ทีเซียน) โดยมุมเชิงขั้วและรัศมี
ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาพิกัดคาร์ทีเซียนของจุด