Logaritmer: eksempler og løsninger. Egenskaper til logaritmer og eksempler på deres løsninger

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en forespørsel på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse e-post osv.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Samlet av oss personlig informasjon lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• Om nødvendig, i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser, og/eller basert på offentlige henvendelser eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
• I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg med unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• Om nødvendig - i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser og/eller på grunnlag av offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige myndigheter på territoriet til den russiske føderasjonen - for å avsløre din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
• I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Med denne videoen starter jeg en lang rekke leksjoner om logaritmiske ligninger. Nå har du tre eksempler foran deg, som vi vil lære å løse mest på grunnlag av enkle oppgaver, som kalles så - protozoer.

log 0,5 (3x − 1) = −3

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

La meg minne deg på at den enkleste logaritmiske ligningen er følgende:

log a f (x) = b

I dette tilfellet er det viktig at variabelen x er tilstede kun inne i argumentet, det vil si bare i funksjonen f (x). Og tallene a og b er bare tall, og i ingen tilfeller er funksjoner som inneholder variabelen x.

Grunnleggende løsningsmetoder

Det er mange måter å løse slike strukturer på. For eksempel tilbyr de fleste lærere på skolen denne metoden: Uttrykk umiddelbart funksjonen f (x) ved hjelp av formelen f ( x) = a b. Det vil si at når du kommer over den enkleste konstruksjonen, kan du umiddelbart gå videre til løsningen uten ytterligere handlinger og konstruksjoner.

Ja, selvfølgelig vil avgjørelsen være riktig. Men problemet med denne formelen er at de fleste studenter forstår ikke, hvor det kommer fra og hvorfor vi hever bokstaven a til bokstaven b.

Det gjør at jeg ofte ser veldig irriterende feil når for eksempel disse bokstavene byttes. Denne formelen du må enten forstå eller stappe, og den andre metoden fører til feil på de mest uhensiktsmessige og mest avgjørende øyeblikkene: under eksamener, tester osv.

Derfor foreslår jeg alle elevene mine å forlate standardskoleformelen og bruke den andre tilnærmingen til å løse logaritmiske ligninger, som, som du sikkert har gjettet ut fra navnet, kalles kanonisk form.

Ideen om den kanoniske formen er enkel. La oss se på problemet vårt igjen: til venstre har vi log a, og med bokstaven a mener vi et tall, og ikke i noe tilfelle en funksjon som inneholder variabelen x. Følgelig er dette brevet underlagt alle begrensningene som gjelder for basen av logaritmen. nemlig:

1 ≠ a > 0

På den annen side, fra samme ligning ser vi at logaritmen må være lik tallet b, og det er ingen begrensninger på denne bokstaven, fordi den kan ha hvilken som helst verdi - både positiv og negativ. Alt avhenger av hvilke verdier funksjonen f(x) tar.

Og her husker vi vår fantastiske regel om at ethvert tall b kan representeres som en logaritme til grunntallet a til a i potensen av b:

b = log a a b

Hvordan huske denne formelen? Ja, veldig enkelt. La oss skrive følgende konstruksjon:

b = b 1 = b log a a

Selvfølgelig oppstår i dette tilfellet alle begrensningene som vi skrev ned i begynnelsen. La oss nå bruke den grunnleggende egenskapen til logaritmen og introdusere multiplikatoren b som potensen til a. Vi får:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Som et resultat vil den opprinnelige ligningen skrives om som følger:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Det er alt. Den nye funksjonen inneholder ikke lenger en logaritme og kan løses ved hjelp av standard algebraiske teknikker.

Selvfølgelig vil noen nå innvende: hvorfor var det nødvendig å komme opp med en slags kanonisk formel i det hele tatt, hvorfor utføre to ekstra unødvendige trinn hvis det var mulig å umiddelbart gå fra den opprinnelige designen til den endelige formelen? Ja, om så bare fordi de fleste studenter ikke forstår hvor denne formelen kommer fra, og som et resultat av det regelmessig gjør feil når de bruker den.

Men denne sekvensen av handlinger, som består av tre trinn, lar deg løse den opprinnelige logaritmiske ligningen, selv om du ikke forstår hvor den endelige formelen kommer fra. Forresten, denne oppføringen kalles den kanoniske formelen:

log a f (x) = log a a b

Bekvemmeligheten med den kanoniske formen ligger også i det faktum at den kan brukes til å løse en veldig bred klasse av logaritmiske ligninger, og ikke bare de enkleste som vi vurderer i dag.

Eksempler på løsninger

La oss nå ta en titt virkelige eksempler. Så la oss bestemme:

log 0,5 (3x − 1) = −3

La oss omskrive det slik:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Mange studenter har det travelt og prøver å umiddelbart heve tallet 0,5 til kraften som kom til oss fra det opprinnelige problemet. Faktisk, når du allerede er godt trent i å løse slike problemer, kan du umiddelbart utføre dette trinnet.

Men hvis du nå bare begynner å studere dette emnet, er det bedre å ikke skynde seg noe sted for å unngå å gjøre støtende feil. Så vi har den kanoniske formen. Vi har:

3x − 1 = 0,5 −3

Dette er ikke lenger en logaritmisk ligning, men lineær i forhold til variabelen x. For å løse det, la oss først se på tallet 0,5 i potensen −3. Merk at 0,5 er 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Alle desimaler konvertere til vanlige når du løser en logaritmisk ligning.

Vi skriver om og får:

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

Det er det, vi har svaret. Det første problemet er løst.

Andre oppgave

La oss gå videre til den andre oppgaven:

Som vi ser, er denne ligningen ikke lenger den enkleste. Om så bare fordi det er en forskjell til venstre, og ikke en eneste logaritme til en base.

Derfor må vi på en eller annen måte bli kvitt denne forskjellen. I dette tilfellet er alt veldig enkelt. La oss se nærmere på basene: til venstre er tallet under roten:

Generell anbefaling: i alle logaritmiske ligninger, prøv å bli kvitt radikaler, det vil si fra oppføringer med røtter og gå videre til potensfunksjoner, ganske enkelt fordi eksponentene til disse potensene lett tas ut av logaritmens tegn og til slutt slike en oppføring forenkler og fremskynder beregningene betydelig. La oss skrive det ned slik:

La oss nå huske den bemerkelsesverdige egenskapen til logaritmen: potenser kan utledes fra argumentet, så vel som fra basen. Når det gjelder grunner, skjer følgende:

log a k b = 1/k loga b

Med andre ord, tallet som var i grunnpotensen føres frem og inverteres samtidig, det vil si at det blir et resiprokt tall. I vårt tilfelle var grunngraden 1/2. Derfor kan vi ta den ut som 2/1. Vi får:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Vennligst merk: under ingen omstendigheter bør du bli kvitt logaritmer på dette trinnet. Husk 4.-5. klasse matematikk og rekkefølgen av operasjoner: multiplikasjon utføres først, og først deretter addisjon og subtraksjon. I dette tilfellet trekker vi ett av de samme elementene fra 10 elementer:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Nå ser ligningen vår ut som den skal. Dette enkleste design, og vi løser det ved å bruke den kanoniske formen:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

Det er alt. Det andre problemet er løst.

Tredje eksempel

La oss gå videre til den tredje oppgaven:

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

La meg minne deg på følgende formel:

log b = log 10 b

Hvis du av en eller annen grunn blir forvirret av notasjonsloggen b, kan du ganske enkelt skrive log 10b når du utfører alle beregningene. Du kan jobbe med desimallogaritmer på samme måte som med andre: ta potenser, addere og representere alle tall i formen lg 10.

Det er disse egenskapene vi nå skal bruke for å løse problemet, siden det ikke er den enkleste vi skrev ned helt i begynnelsen av leksjonen.

Legg først merke til at faktoren 2 foran lg 5 kan legges til og blir en potens av grunntall 5. I tillegg kan frileddet 3 også representeres som en logaritme - dette er veldig enkelt å observere fra vår notasjon.

Døm selv: et hvilket som helst tall kan representeres som logg til base 10:

3 = logg 10 10 3 = logg 10 3

La oss omskrive det opprinnelige problemet under hensyntagen til de oppnådde endringene:

log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25 000

Vi har foran oss den kanoniske formen igjen, og vi fikk den uten å gå gjennom transformasjonsstadiet, dvs. den enkleste logaritmiske ligningen dukket ikke opp noe sted.

Det er akkurat dette jeg snakket om helt i begynnelsen av leksjonen. Den kanoniske formen lar deg løse en bredere klasse med problemer enn standard skoleformelen som de fleste skolelærere gir.

Vel, det er det, vi blir kvitt tegnet til desimallogaritmen, og vi får en enkel lineær konstruksjon:

x + 3 = 25 000
x = 24.997

Alle! Problemet er løst.

En merknad om omfang

Her vil jeg komme med en viktig bemerkning angående definisjonsområdet. Nå vil det sikkert være elever og lærere som vil si: "Når vi løser uttrykk med logaritmer, må vi huske at argumentet f (x) må være større enn null!" I denne forbindelse oppstår et logisk spørsmål: hvorfor krevde vi ikke at denne ulikheten skulle tilfredsstilles i noen av problemene som ble vurdert?

Ikke bekymre deg. I disse tilfellene vil ingen ekstra røtter vises. Og dette er et annet flott triks som lar deg fremskynde løsningen. Bare vit at hvis variabelen x forekommer i oppgaven bare på ett sted (eller rettere sagt, i ett enkelt argument i en enkelt logaritme), og ingen andre steder i vårt tilfelle forekommer variabelen x, så skriv ned definisjonsdomenet ikke nødvendig, fordi det vil bli utført automatisk.

Døm selv: i den første ligningen fikk vi at 3x − 1, dvs. argumentet skal være lik 8. Dette betyr automatisk at 3x − 1 vil være større enn null.

Med samme suksess kan vi skrive at i det andre tilfellet skal x være lik 5 2, det vil si at den absolutt er større enn null. Og i det tredje tilfellet, hvor x + 3 = 25 000, dvs. igjen, åpenbart større enn null. Med andre ord tilfredsstilles omfanget automatisk, men bare hvis x forekommer bare i argumentet til kun én logaritme.

Det er alt du trenger å vite for å løse de enkleste problemene. Denne regelen alene, sammen med transformasjonsreglene, vil tillate deg å løse en veldig bred klasse av problemer.

Men la oss være ærlige: For å endelig forstå denne teknikken, for å lære å bruke den kanoniske formen til den logaritmiske ligningen, er det ikke nok å bare se en videoleksjon. Så last ned alternativene akkurat nå for uavhengig avgjørelse, som er vedlagt denne videoleksjonen og begynner å løse minst ett av disse to uavhengige verkene.

Det vil ta deg bokstavelig talt noen minutter. Men effekten av slik trening vil være mye høyere enn hvis du bare så denne videoleksjonen.

Jeg håper denne leksjonen vil hjelpe deg å forstå logaritmiske ligninger. Bruk den kanoniske formen, forenkle uttrykk ved å bruke reglene for arbeid med logaritmer - og du vil ikke være redd for problemer. Det er alt jeg har for i dag.

Tar hensyn til definisjonsdomenet

La oss nå snakke om definisjonsdomenet til den logaritmiske funksjonen, og hvordan dette påvirker løsningen av logaritmiske ligninger. Vurder en konstruksjon av skjemaet

log a f (x) = b

Et slikt uttrykk kalles det enkleste - det inneholder bare én funksjon, og tallene a og b er bare tall, og ikke i noe tilfelle en funksjon som avhenger av variabelen x. Det kan løses veldig enkelt. Du trenger bare å bruke formelen:

b = log a a b

Denne formelen er en av nøkkelegenskapene til logaritmen, og når vi bytter inn i vårt opprinnelige uttrykk får vi følgende:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

Dette er en kjent formel fra skolebøkene. Mange elever vil sannsynligvis ha et spørsmål: siden funksjonen f (x) i det opprinnelige uttrykket er under loggtegnet, er følgende begrensninger pålagt den:

f(x) > 0

Denne begrensningen gjelder fordi logaritmen til negative tall finnes ikke. Så kanskje, som et resultat av denne begrensningen, bør en kontroll av svar innføres? Kanskje de må settes inn i kilden?

Nei, i de enkleste logaritmiske ligningene er ytterligere kontroll unødvendig. Og her er hvorfor. Ta en titt på vår endelige formel:

f (x) = a b

Faktum er at tallet a uansett er større enn 0 - dette kravet stilles også av logaritmen. Tallet a er grunntallet. I dette tilfellet er det ingen begrensninger på tallet b. Men dette spiller ingen rolle, for uansett hvilken kraft vi hever et positivt tall til, vil vi fortsatt få et positivt tall ved utgangen. Dermed oppfylles kravet f (x) > 0 automatisk.

Det som virkelig er verdt å sjekke er domenet til funksjonen under loggskiltet. Det kan være ganske komplekse strukturer, og du må definitivt holde et øye med dem under løsningsprosessen. La oss se.

Første oppgave:

Første trinn: konverter brøken til høyre. Vi får:

Vi kvitter oss med logaritmetegnet og får den vanlige irrasjonelle ligningen:

Av de oppnådde røttene er det bare den første som passer oss, siden den andre roten mindre enn null. Det eneste svaret vil være tallet 9. Det er det, problemet er løst. Ingen ekstra kontroller er nødvendig for å sikre at uttrykket under logaritmetegnet er større enn 0, fordi det ikke bare er større enn 0, men i henhold til tilstanden til ligningen er det lik 2. Derfor er kravet "større enn null" ” tilfredsstilles automatisk.

La oss gå videre til den andre oppgaven:

Alt er likt her. Vi omskriver konstruksjonen og erstatter trippelen:

Vi kvitter oss med logaritmetegnet og får en irrasjonell ligning:

Vi kvadrerer begge sider med hensyn til begrensningene og får:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Vi løser den resulterende ligningen gjennom diskriminanten:

D = 49 − 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Men x = −6 passer ikke oss, for hvis vi erstatter dette tallet i vår ulikhet, får vi:

−6 + 4 = −2 < 0

I vårt tilfelle kreves det at den er større enn 0 eller, i ekstreme tilfeller, lik. Men x = −1 passer oss:

−1 + 4 = 3 > 0

Det eneste svaret i vårt tilfelle vil være x = −1. Det er løsningen. La oss gå tilbake til begynnelsen av våre beregninger.

Det viktigste med denne leksjonen er at du ikke trenger å sjekke begrensninger på en funksjon i enkle logaritmiske ligninger. For under løsningsprosessen blir alle begrensninger oppfylt automatisk.

Dette betyr imidlertid på ingen måte at du kan glemme å sjekke helt. I prosessen med å jobbe med en logaritmisk ligning kan den godt bli til en irrasjonell, som vil ha sine egne begrensninger og krav til høyresiden, som vi i dag har sett i to forskjellige eksempler.

Løs gjerne slike problemer og vær spesielt forsiktig hvis det er en rot i argumentasjonen.

Logaritmiske ligninger med forskjellige baser

Vi fortsetter å studere logaritmiske ligninger og ser på to flere ganske interessante teknikker som det er moderne å løse flere med komplekse design. Men først, la oss huske hvordan de enkleste problemene løses:

log a f (x) = b

I denne notasjonen er a og b tall, og i funksjonen f (x) må variabelen x være tilstede, og bare der, det vil si at x bare må være i argumentet. Vi vil transformere slike logaritmiske ligninger ved å bruke den kanoniske formen. For å gjøre dette, merk det

b = log a a b

Dessuten er a b nettopp et argument. La oss omskrive dette uttrykket som følger:

log a f (x) = log a a b

Det er nettopp dette vi prøver å oppnå, slik at det er en logaritme for å basere a på både venstre og høyre. I dette tilfellet kan vi billedlig talt krysse ut loggtegnene, og fra et matematisk synspunkt kan vi si at vi ganske enkelt setter likhetstegn mellom argumentene:

f (x) = a b

Som et resultat vil vi få et nytt uttrykk som vil være mye lettere å løse. La oss bruke denne regelen på problemene våre i dag.

Så det første designet:

Først og fremst legger jeg merke til at det til høyre er en brøk hvis nevner er log. Når du ser et uttrykk som dette, er det en god idé å huske en fantastisk egenskap ved logaritmer:

Oversatt til russisk betyr dette at enhver logaritme kan representeres som kvotienten av to logaritmer med en hvilken som helst base c. Selvfølgelig 0< с ≠ 1.

Så: denne formelen har en fantastisk spesielt tilfelle, når variabelen c er lik variabelen b. I dette tilfellet får vi en konstruksjon som:

Det er akkurat denne konstruksjonen vi ser fra skiltet til høyre i ligningen vår. La oss erstatte denne konstruksjonen med log a b , vi får:

Med andre ord, i sammenligning med den opprinnelige oppgaven, byttet vi argumentet og basen til logaritmen. I stedet måtte vi snu brøken.

La oss huske at enhver grad kan utledes fra basen i henhold til følgende regel:

Med andre ord, koeffisienten k, som er kraften til basen, uttrykkes som en invertert brøk. La oss gjengi det som en invertert brøk:

Brøkfaktoren kan ikke stå foran, for i dette tilfellet vil vi ikke kunne representere denne oppføringen som en kanonisk form (tross alt, i den kanoniske formen er det ingen tilleggsfaktor før den andre logaritmen). La oss derfor legge til brøkdelen 1/4 til argumentet som en potens:

Nå setter vi likhetstegn mellom argumenter hvis baser er de samme (og våre baser er egentlig de samme), og skriver:

x + 5 = 1

x = −4

Det er alt. Vi fikk svaret på den første logaritmiske ligningen. Vennligst merk: i den opprinnelige oppgaven vises variabelen x i bare én logg, og den vises i argumentet. Derfor er det ikke nødvendig å sjekke domenet, og vårt tall x = −4 er faktisk svaret.

La oss nå gå videre til det andre uttrykket:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)

Her vil vi i tillegg til de vanlige logaritmene måtte jobbe med log f (x). Hvordan løser man en slik ligning? For en uforberedt elev kan det virke som om dette er en slags tøff oppgave, men faktisk kan alt løses på en elementær måte.

Ta en nærmere titt på begrepet lg 2 log 2 7. Hva kan vi si om det? Grunnlaget og argumentene til log og lg er de samme, og dette burde gi noen ideer. La oss huske nok en gang hvordan krefter blir tatt ut under logaritmens tegn:

log a b n = nlog a b

Med andre ord, det som var en potens av b i argumentet blir en faktor foran selve loggen. La oss bruke denne formelen på uttrykket lg 2 log 2 7. Ikke vær redd for lg 2 - dette er det vanligste uttrykket. Du kan skrive den om på følgende måte:

Alle reglene som gjelder for enhver annen logaritme er gyldig for den. Spesielt kan faktoren foran legges til graden av argumentasjonen. La oss skrive det ned:

Svært ofte ser ikke elevene denne handlingen direkte, fordi det ikke er bra å legge inn en logg under tegnet til en annen. Det er faktisk ikke noe kriminelt i dette. Dessuten får vi en formel som er enkel å beregne hvis du husker en viktig regel:

Denne formelen kan betraktes både som en definisjon og som en av dens egenskaper. I alle fall, hvis du konverterer en logaritmisk ligning, bør du kjenne denne formelen på samme måte som du kjenner logrepresentasjonen av et hvilket som helst tall.

La oss gå tilbake til oppgaven vår. Vi omskriver det under hensyntagen til det faktum at det første leddet til høyre for likhetstegnet ganske enkelt vil være lik lg 7. Vi har:

lg 56 = lg 7 − 3 lg (x + 4)

La oss flytte lg 7 til venstre, vi får:

lg 56 − log 7 = −3 lg (x + 4)

Vi trekker fra uttrykkene til venstre fordi de har samme grunntall:

lg (56/7) = −3 lg (x + 4)

La oss nå se nærmere på ligningen vi fikk. Det er praktisk talt den kanoniske formen, men det er en faktor −3 til høyre. La oss legge det til det høyre lg-argumentet:

log 8 = log (x + 4) −3

Foran oss er den kanoniske formen til den logaritmiske ligningen, så vi krysser ut tegnene til lg og setter likhetstegn mellom argumentene:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

Det er det! Vi løste den andre logaritmiske ligningen. I dette tilfellet er det ikke nødvendig med ytterligere kontroller, fordi i det opprinnelige problemet var x kun til stede i ett argument.

La meg liste opp hovedpunktene i denne leksjonen igjen.

Hovedformelen som er undervist i alle leksjonene på denne siden dedikert til å løse logaritmiske ligninger, er den kanoniske formen. Og ikke vær redd av det faktum at de fleste skolebøker lærer deg å løse slike problemer annerledes. Dette verktøyet fungerer veldig effektivt og lar deg løse en mye bredere klasse av problemer enn de enkleste som vi studerte helt i begynnelsen av leksjonen vår.

I tillegg, for å løse logaritmiske ligninger, vil det være nyttig å kjenne til de grunnleggende egenskapene. Nemlig:

1. Formelen for å flytte til én base og det spesielle tilfellet når vi reverserer logg (dette var veldig nyttig for oss i det første problemet);
2. Formel for å legge til og trekke potenser fra logaritmetegnet. Her setter mange studenter seg fast og ser ikke at graden tatt ut og innført i seg selv kan inneholde log f (x). Det er ikke noe galt med det. Vi kan introdusere en logg i henhold til tegnet til den andre og samtidig forenkle løsningen av problemet betydelig, som er det vi observerer i det andre tilfellet.

Avslutningsvis vil jeg legge til at det ikke er nødvendig å sjekke definisjonsdomenet i hvert av disse tilfellene, for overalt er variabelen x til stede i bare ett tegn på log, og er samtidig i argumentasjonen. Som en konsekvens oppfylles alle kravene i omfanget automatisk.

Problemer med variabel base

I dag skal vi se på logaritmiske ligninger, som for mange elever virker ikke-standardiserte, om ikke helt uløselige. Vi snakker om uttrykk basert ikke på tall, men på variabler og til og med funksjoner. Vi vil løse slike konstruksjoner ved hjelp av vår standardteknikk, nemlig gjennom den kanoniske formen.

La oss først huske hvordan de enkleste problemene løses, basert på vanlige tall. Så den enkleste konstruksjonen kalles

log a f (x) = b

For å løse slike problemer kan vi bruke følgende formel:

b = log a a b

Vi omskriver vårt originale uttrykk og får:

log a f (x) = log a a b

Så setter vi likhetstegn mellom argumentene, dvs. vi skriver:

f (x) = a b

Dermed blir vi kvitt loggskiltet og løser det vanlige problemet. I dette tilfellet vil røttene oppnådd fra løsningen være røttene til den opprinnelige logaritmiske ligningen. I tillegg kalles en post når både venstre og høyre er i samme logaritme med samme grunntall nettopp den kanoniske formen. Det er til en slik rekord vi vil prøve å redusere dagens design. Så la oss gå.

Første oppgave:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Erstatt 1 med stokk x − 2 (x − 2) 1 . Graden vi observerer i argumentasjonen er faktisk tallet b som sto til høyre for likhetstegnet. La oss derfor omskrive uttrykket vårt. Vi får:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

Hva ser vi? Foran oss er den kanoniske formen til den logaritmiske ligningen, slik at vi trygt kan likestille argumentene. Vi får:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

Men løsningen slutter ikke der, fordi denne ligningen ikke er ekvivalent med den opprinnelige. Tross alt består den resulterende konstruksjonen av funksjoner som er definert på hele talllinjen, og våre opprinnelige logaritmer er ikke definert overalt og ikke alltid.

Derfor må vi skrive ned definisjonsdomenet separat. La oss ikke dele hår og først skrive ned alle kravene:

For det første må argumentet til hver av logaritmene være større enn 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

For det andre må basen ikke bare være større enn 0, men også forskjellig fra 1:

x − 2 ≠ 1

Som et resultat får vi systemet:

Men ikke vær redd: Når du behandler logaritmiske ligninger, kan et slikt system forenkles betydelig.

Døm selv: på den ene siden kreves det at den andregradsfunksjonen er større enn null, og på den andre siden er denne andregradsfunksjonen likestilt med et bestemt lineært uttrykk, som også kreves at den er større enn null.

I dette tilfellet, hvis vi krever at x − 2 > 0, vil kravet 2x 2 − 13x + 18 > 0 automatisk bli tilfredsstilt. Derfor kan vi trygt krysse ut ulikheten som inneholder den kvadratiske funksjonen. Dermed vil antallet uttrykk i systemet vårt reduseres til tre.

Vi kunne selvfølgelig like godt krysse av lineær ulikhet, altså kryss ut x − 2 > 0 og krev at 2x 2 − 13x + 18 > 0. Men du må være enig i at å løse den enkleste lineære ulikheten er mye raskere og enklere enn kvadratisk, selv om det er et resultat av å løse hele dette systemet vil vi få de samme røttene.

Generelt, prøv å optimalisere beregninger når det er mulig. Og når det gjelder logaritmiske ligninger, kryss ut de vanskeligste ulikhetene.

La oss omskrive systemet vårt:

Her er et system med tre uttrykk, to av dem har vi faktisk allerede behandlet. La oss skrive det ned separat andregradsligning og la oss løse det:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

Gitt før oss kvadratisk trinomium og derfor kan vi bruke Vietas formler. Vi får:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

Nå går vi tilbake til systemet vårt og finner ut at x = 2 ikke passer oss, fordi vi er pålagt at x skal være strengt tatt større enn 2.

Men x = 5 passer oss perfekt: tallet 5 er større enn 2, og samtidig er ikke 5 lik 3. Derfor vil den eneste løsningen på dette systemet være x = 5.

Det er det, problemet er løst, inkludert å ta hensyn til ODZ. La oss gå videre til den andre ligningen. Flere interessante og informative beregninger venter på oss her:

Det første trinnet: som forrige gang bringer vi hele denne saken til kanonisk form. For å gjøre dette kan vi skrive tallet 9 som følger:

Du trenger ikke å berøre basen med roten, men det er bedre å transformere argumentet. La oss gå fra roten til potensen med en rasjonell eksponent. La oss skrive ned:

La meg ikke omskrive hele vår store logaritmiske ligning, men bare umiddelbart sette likhetstegn mellom argumentene:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Før oss er et nylig redusert kvadratisk trinomium, la oss bruke Vietas formler og skrive:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Så vi fikk røttene, men ingen garanterte oss at de ville passe til den opprinnelige logaritmiske ligningen. Tross alt pålegger loggskiltene ytterligere begrensninger (her burde vi ha skrevet ned systemet, men på grunn av den tungvinte naturen til hele strukturen, bestemte jeg meg for å beregne definisjonsdomenet separat).

Først av alt, husk at argumentene må være større enn 0, nemlig:

Dette er kravene som stilles av definisjonsområdet.

La oss umiddelbart merke oss at siden vi setter likhetstegn mellom de to første uttrykkene av systemet med hverandre, kan vi krysse ut hvilket som helst av dem. La oss stryke ut den første fordi den ser mer truende ut enn den andre.

Legg i tillegg merke til at løsningen på den andre og tredje ulikheten vil være de samme settene (kuben til et tall er større enn null, hvis dette tallet i seg selv er større enn null; på samme måte med en rot av tredje grad - disse ulikhetene er helt analoge, så vi kan krysse ut).

Men med den tredje ulikheten vil ikke dette fungere. La oss bli kvitt det radikale tegnet til venstre ved å heve begge deler til en kube. Vi får:

Så vi får følgende krav:

− 2 ≠ x > −3

Hvilken av røttene våre: x 1 = −3 eller x 2 = −1 oppfyller disse kravene? Det er åpenbart bare x = −1, fordi x = −3 ikke tilfredsstiller den første ulikheten (siden vår ulikhet er streng). Så, tilbake til problemet vårt, får vi én rot: x = −1. Det er det, problemet løst.

Nok en gang, nøkkelpunktene i denne oppgaven:

1. Bruk gjerne og løs logaritmiske ligninger ved hjelp av kanonisk form. Elever som lager en slik notasjon, i stedet for å gå direkte fra den opprinnelige oppgaven til en konstruksjon som log a f (x) = b, gjør mye færre feil enn de som skynder seg et sted, og hopper over mellomtrinn i beregninger;
2. Så snart en variabel base dukker opp i en logaritme, slutter problemet å være det enkleste. Derfor, når du løser det, er det nødvendig å ta hensyn til definisjonsdomenet: argumentene må være større enn null, og basene må ikke bare være større enn 0, men de må heller ikke være lik 1.

Sluttkravene kan brukes på de endelige besvarelsene på ulike måter. For eksempel kan du løse et helt system som inneholder alle kravene til definisjonsdomenet. På den annen side kan du først løse selve problemet, og deretter huske definisjonsdomenet, utarbeide det separat i form av et system og bruke det til de oppnådde røttene.

Hvilken metode du skal velge når du løser en bestemt logaritmisk ligning er opp til deg å bestemme. I alle fall vil svaret være det samme.

hovedegenskaper.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

identiske grunner

Log6 4 + log6 9.

La oss nå komplisere oppgaven litt.

Eksempler på løsning av logaritmer

Hva om basen eller argumentet til en logaritme er en potens? Deretter kan eksponenten for denne graden tas ut av logaritmens fortegn i henhold til følgende regler:

Selvfølgelig gir alle disse reglene mening hvis du følger ODZ-logaritme: a > 0, a ≠ 1, x >

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Overgang til ny stiftelse

La logaritmen logaks gis. Så for et hvilket som helst tall c slik at c > 0 og c ≠ 1, er likheten sann:

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Se også:

Grunnleggende egenskaper for logaritmen

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponenten er 2,718281828…. For å huske eksponenten kan du studere regelen: eksponenten er lik 2,7 og to ganger fødselsåret til Leo Nikolaevich Tolstoy.

Grunnleggende egenskaper ved logaritmer

Når du kjenner denne regelen, vil du vite og eksakt verdi utstillere, og fødselsdatoen til Leo Tolstoj.

Eksempler på logaritmer

Logaritmeuttrykk

Eksempel 1.
EN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Ved hjelp av egenskaper 3.5 beregner vi

2.

3.

4. Hvor .

Eksempel 2. Finn x if

Eksempel 3. La verdien av logaritmer gis

Beregn log(x) if

Grunnleggende egenskaper ved logaritmer

Logaritmer, som alle tall, kan legges til, trekkes fra og transformeres på alle måter. Men siden logaritmer ikke er helt vanlige tall, er det regler her, som kalles hovedegenskaper.

Du trenger definitivt å kjenne til disse reglene - uten dem kan ikke et eneste alvorlig logaritmisk problem løses. I tillegg er det svært få av dem – du kan lære alt på en dag. Så la oss komme i gang.

Legge til og subtrahere logaritmer

Tenk på to logaritmer med samme base: logax og logay. Deretter kan de legges til og trekkes fra, og:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Så summen av logaritmer er lik logaritmen til produktet, og forskjellen er lik logaritmen til kvotienten. Vennligst merk: nøkkelpunkt Her - identiske grunner. Hvis årsakene er forskjellige, fungerer ikke disse reglene!

Disse formlene vil hjelpe deg å beregne logaritmisk uttrykk selv når dens individuelle deler ikke telles (se leksjonen "Hva er en logaritme"). Ta en titt på eksemplene og se:

Siden logaritmer har samme base, bruker vi sumformelen:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log2 48 − log2 3.

Basene er de samme, vi bruker forskjellsformelen:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log3 135 − log3 5.

Igjen er basene de samme, så vi har:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Som du kan se, består de opprinnelige uttrykkene av "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men etter transformasjonene får man helt normale tall. Mange er bygget på dette faktum tester. Ja, testlignende uttrykk tilbys i fullt alvor (noen ganger med praktisk talt ingen endringer) på Unified State Examination.

Trekke ut eksponenten fra logaritmen

Det er lett å se at den siste regelen følger de to første. Men det er bedre å huske det uansett - i noen tilfeller vil det redusere mengden beregninger betydelig.

Selvfølgelig gir alle disse reglene mening hvis ODZ til logaritmen blir observert: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Og en ting til: lær å bruke alle formler ikke bare fra venstre til høyre, men også omvendt , dvs. Du kan legge inn tallene før logaritmetegnet i selve logaritmen. Dette er det som oftest kreves.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log7 496.

La oss bli kvitt graden i argumentet ved å bruke den første formelen:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Legg merke til at nevneren inneholder en logaritme, hvis basis og argument er eksakte potenser: 16 = 24; 49 = 72. Vi har:

jeg tenker å siste eksempel avklaring nødvendig. Hvor har logaritmene blitt av? Helt til siste øyeblikk jobber vi kun med nevneren.

Logaritmeformler. Logaritmer eksempler på løsninger.

Vi presenterte grunnlaget og argumentet for logaritmen som sto der i form av potenser og tok ut eksponentene - vi fikk en "tre-etasjers" brøk.

La oss nå se på hovedbrøken. Telleren og nevneren inneholder samme tall: log2 7. Siden log2 7 ≠ 0, kan vi redusere brøken - 2/4 vil forbli i nevneren. I henhold til reglene for regnestykket kan de fire overføres til telleren, som er det som ble gjort. Resultatet ble svaret: 2.

Overgang til ny stiftelse

Når jeg snakker om reglene for å addere og subtrahere logaritmer, la jeg spesielt vekt på at de bare fungerer med de samme basene. Hva om årsakene er forskjellige? Hva om de ikke er nøyaktige potenser av samme tall?

Formler for overgang til en ny stiftelse kommer til unnsetning. La oss formulere dem i form av et teorem:

La logaritmen logaks gis. Så for et hvilket som helst tall c slik at c > 0 og c ≠ 1, er likheten sann:

Spesielt hvis vi setter c = x, får vi:

Fra den andre formelen følger det at basen og argumentet til logaritmen kan byttes, men i dette tilfellet blir hele uttrykket "snudd", dvs. logaritmen vises i nevneren.

Disse formlene finnes sjelden i vanlige numeriske uttrykk. Det er mulig å vurdere hvor praktiske de er bare når man løser logaritmiske ligninger og ulikheter.

Det er imidlertid problemer som ikke kan løses i det hele tatt bortsett fra ved å flytte til en ny stiftelse. La oss se på et par av disse:

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log5 16 log2 25.

Merk at argumentene til begge logaritmene inneholder eksakte potenser. La oss ta ut indikatorene: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

La oss nå "reversere" den andre logaritmen:

Siden produktet ikke endrer seg ved omorganisering av faktorer, multipliserte vi rolig fire og to, og behandlet deretter logaritmer.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log9 100 lg 3.

Grunnlaget og argumentet til den første logaritmen er eksakte potenser. La oss skrive dette ned og bli kvitt indikatorene:

La oss nå bli kvitt desimallogaritmen ved å flytte til en ny base:

Grunnleggende logaritmisk identitet

Ofte i løsningsprosessen er det nødvendig å representere et tall som en logaritme til en gitt base. I dette tilfellet vil følgende formler hjelpe oss:

I det første tilfellet blir tallet n eksponenten i argumentet. Tallet n kan være absolutt hva som helst, fordi det bare er en logaritmeverdi.

Den andre formelen er faktisk en omskrevet definisjon. Det heter det: .

Faktisk, hva skjer hvis tallet b heves til en slik potens at tallet b i denne potensen gir tallet a? Det stemmer: resultatet er det samme tallet a. Les denne paragrafen nøye igjen - mange setter seg fast i den.

Som formler for å flytte til en ny base, er den grunnleggende logaritmiske identiteten noen ganger den eneste mulige løsningen.

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Legg merke til at log25 64 = log5 8 - ganske enkelt tok kvadratet fra basen og argumentet til logaritmen. Når vi tar i betraktning reglene for å multiplisere potenser med samme base, får vi:

Hvis noen ikke vet, var dette en skikkelig oppgave fra Unified State Exam :)

Logaritmisk enhet og logaritmisk null

Avslutningsvis vil jeg gi to identiteter som vanskelig kan kalles egenskaper – snarere er de konsekvenser av definisjonen av logaritmen. De dukker stadig opp i problemer og, overraskende nok, skaper de problemer selv for "avanserte" studenter.

1. logaa = 1 er. Husk en gang for alle: logaritmen til en hvilken som helst base a av selve basen er lik én.
2. loga 1 = 0 er. Grunnlaget a kan være hva som helst, men hvis argumentet inneholder en - logaritme lik null! Fordi a0 = 1 er en direkte konsekvens av definisjonen.

Det er alle egenskapene. Sørg for å trene på å sette dem ut i livet! Last ned juksearket i begynnelsen av leksjonen, skriv det ut og løs problemene.

Se også:

Logaritmen til b for å basere a angir uttrykket. Å beregne logaritmen betyr å finne en potens x () der likheten er tilfredsstilt

Grunnleggende egenskaper for logaritmen

Det er nødvendig å kjenne egenskapene ovenfor, siden nesten alle problemer og eksempler relatert til logaritmer løses på grunnlag av dem. Hvile eksotiske egenskaper kan utledes ved matematisk manipulering av disse formlene

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Når man regner ut formelen for sum og forskjell av logaritmer (3.4) kommer man over ganske ofte. Resten er noe sammensatt, men i en rekke oppgaver er de uunnværlige for å forenkle komplekse uttrykk og beregne deres verdier.

Vanlige tilfeller av logaritmer

Noen av de vanligste logaritmene er de der basen er lik ti, eksponentiell eller to.
Logaritmen til grunntallet ti kalles vanligvis desimallogaritmen og er ganske enkelt betegnet med lg(x).

Det fremgår tydelig av opptaket at det grunnleggende ikke er skrevet i opptaket. For eksempel

En naturlig logaritme er en logaritme hvis base er en eksponent (angitt med ln(x)).

Eksponenten er 2,718281828…. For å huske eksponenten kan du studere regelen: eksponenten er lik 2,7 og to ganger fødselsåret til Leo Nikolaevich Tolstoy. Når du kjenner denne regelen, vil du vite både eksponentverdien og fødselsdatoen til Leo Tolstoy.

Og en annen viktig logaritme til base to er betegnet med

Den deriverte av logaritmen til en funksjon er lik en dividert med variabelen

Integral- eller antiderivertelogaritmen bestemmes av forholdet

Det gitte materialet er nok for deg til å løse en bred klasse av problemer knyttet til logaritmer og logaritmer. For å hjelpe deg å forstå materialet, vil jeg gi bare noen få vanlige eksempler fra skolepensum og universiteter.

Eksempler på logaritmer

Logaritmeuttrykk

Eksempel 1.
EN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Ved hjelp av egenskaper 3.5 beregner vi

2.
Ved egenskapen forskjell av logaritmer har vi

3.
Ved å bruke egenskaper 3.5 finner vi

4. Hvor .

Et tilsynelatende komplekst uttrykk forenkles til å danne ved hjelp av en rekke regler

Finne logaritmeverdier

Eksempel 2. Finn x if

Løsning. For beregning gjelder vi siste termin 5 og 13 eiendommer

Vi setter det på rekord og sørger

Siden basene er like, setter vi likhetstegn mellom uttrykkene

Logaritmer. Inngangsnivå.

La verdien av logaritmer gis

Beregn log(x) if

Løsning: La oss ta en logaritme av variabelen for å skrive logaritmen gjennom summen av dens ledd

Dette er bare begynnelsen på vårt bekjentskap med logaritmer og deres egenskaper. Øv på beregninger, berik dine praktiske ferdigheter - du vil snart trenge kunnskapen du får for å løse logaritmiske ligninger. Etter å ha studert de grunnleggende metodene for å løse slike ligninger, vil vi utvide kunnskapen din til et annet like viktig emne - logaritmiske ulikheter ...

Grunnleggende egenskaper ved logaritmer

Logaritmer, som alle tall, kan legges til, trekkes fra og transformeres på alle måter. Men siden logaritmer ikke er helt vanlige tall, er det regler her, som kalles hovedegenskaper.

Du trenger definitivt å kjenne til disse reglene - uten dem kan ikke et eneste alvorlig logaritmisk problem løses. I tillegg er det svært få av dem – du kan lære alt på en dag. Så la oss komme i gang.

Legge til og subtrahere logaritmer

Tenk på to logaritmer med samme base: logax og logay. Deretter kan de legges til og trekkes fra, og:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Så summen av logaritmer er lik logaritmen til produktet, og forskjellen er lik logaritmen til kvotienten. Vennligst merk: nøkkelen her er identiske grunner. Hvis årsakene er forskjellige, fungerer ikke disse reglene!

Disse formlene vil hjelpe deg med å beregne et logaritmisk uttrykk selv når dets individuelle deler ikke vurderes (se leksjonen "Hva er en logaritme"). Ta en titt på eksemplene og se:

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log6 4 + log6 9.

Siden logaritmer har samme base, bruker vi sumformelen:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log2 48 − log2 3.

Basene er de samme, vi bruker forskjellsformelen:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log3 135 − log3 5.

Igjen er basene de samme, så vi har:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Som du kan se, består de opprinnelige uttrykkene av "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men etter transformasjonene får man helt normale tall. Mange tester er basert på dette faktum. Ja, testlignende uttrykk tilbys i fullt alvor (noen ganger med praktisk talt ingen endringer) på Unified State Examination.

Trekke ut eksponenten fra logaritmen

La oss nå komplisere oppgaven litt. Hva om basen eller argumentet til en logaritme er en potens? Deretter kan eksponenten for denne graden tas ut av logaritmens fortegn i henhold til følgende regler:

Det er lett å se at den siste regelen følger de to første. Men det er bedre å huske det uansett - i noen tilfeller vil det redusere mengden beregninger betydelig.

Selvfølgelig gir alle disse reglene mening hvis ODZ til logaritmen blir observert: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Og en ting til: lær å bruke alle formler ikke bare fra venstre til høyre, men også omvendt , dvs. Du kan legge inn tallene før logaritmetegnet i selve logaritmen.

Hvordan løse logaritmer

Dette er det som oftest kreves.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log7 496.

La oss bli kvitt graden i argumentet ved å bruke den første formelen:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Legg merke til at nevneren inneholder en logaritme, hvis basis og argument er eksakte potenser: 16 = 24; 49 = 72. Vi har:

Jeg tror det siste eksemplet krever litt avklaring. Hvor har logaritmene blitt av? Helt til siste øyeblikk jobber vi kun med nevneren. Vi presenterte grunnlaget og argumentet for logaritmen som sto der i form av potenser og tok ut eksponentene - vi fikk en "tre-etasjers" brøk.

La oss nå se på hovedbrøken. Telleren og nevneren inneholder samme tall: log2 7. Siden log2 7 ≠ 0, kan vi redusere brøken - 2/4 vil forbli i nevneren. I henhold til reglene for regnestykket kan de fire overføres til telleren, som er det som ble gjort. Resultatet ble svaret: 2.

Overgang til ny stiftelse

Når jeg snakker om reglene for å addere og subtrahere logaritmer, la jeg spesielt vekt på at de bare fungerer med de samme basene. Hva om årsakene er forskjellige? Hva om de ikke er nøyaktige potenser av samme tall?

Formler for overgang til en ny stiftelse kommer til unnsetning. La oss formulere dem i form av et teorem:

La logaritmen logaks gis. Så for et hvilket som helst tall c slik at c > 0 og c ≠ 1, er likheten sann:

Spesielt hvis vi setter c = x, får vi:

Fra den andre formelen følger det at basen og argumentet til logaritmen kan byttes, men i dette tilfellet blir hele uttrykket "snudd", dvs. logaritmen vises i nevneren.

Disse formlene finnes sjelden i vanlige numeriske uttrykk. Det er mulig å vurdere hvor praktiske de er bare når man løser logaritmiske ligninger og ulikheter.

Det er imidlertid problemer som ikke kan løses i det hele tatt bortsett fra ved å flytte til en ny stiftelse. La oss se på et par av disse:

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log5 16 log2 25.

Merk at argumentene til begge logaritmene inneholder eksakte potenser. La oss ta ut indikatorene: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

La oss nå "reversere" den andre logaritmen:

Siden produktet ikke endrer seg ved omorganisering av faktorer, multipliserte vi rolig fire og to, og behandlet deretter logaritmer.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log9 100 lg 3.

Grunnlaget og argumentet til den første logaritmen er eksakte potenser. La oss skrive dette ned og bli kvitt indikatorene:

La oss nå bli kvitt desimallogaritmen ved å flytte til en ny base:

Grunnleggende logaritmisk identitet

Ofte i løsningsprosessen er det nødvendig å representere et tall som en logaritme til en gitt base. I dette tilfellet vil følgende formler hjelpe oss:

I det første tilfellet blir tallet n eksponenten i argumentet. Tallet n kan være absolutt hva som helst, fordi det bare er en logaritmeverdi.

Den andre formelen er faktisk en omskrevet definisjon. Det heter det: .

Faktisk, hva skjer hvis tallet b heves til en slik potens at tallet b i denne potensen gir tallet a? Det stemmer: resultatet er det samme tallet a. Les denne paragrafen nøye igjen - mange setter seg fast i den.

Som formler for å flytte til en ny base, er den grunnleggende logaritmiske identiteten noen ganger den eneste mulige løsningen.

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Legg merke til at log25 64 = log5 8 - ganske enkelt tok kvadratet fra basen og argumentet til logaritmen. Når vi tar i betraktning reglene for å multiplisere potenser med samme base, får vi:

Hvis noen ikke vet, var dette en skikkelig oppgave fra Unified State Exam :)

Logaritmisk enhet og logaritmisk null

Avslutningsvis vil jeg gi to identiteter som vanskelig kan kalles egenskaper – snarere er de konsekvenser av definisjonen av logaritmen. De dukker stadig opp i problemer og, overraskende nok, skaper de problemer selv for "avanserte" studenter.

1. logaa = 1 er. Husk en gang for alle: logaritmen til en hvilken som helst base a av selve basen er lik én.
2. loga 1 = 0 er. Grunnlaget a kan være hva som helst, men hvis argumentet inneholder en, er logaritmen lik null! Fordi a0 = 1 er en direkte konsekvens av definisjonen.

Det er alle egenskapene. Sørg for å trene på å sette dem ut i livet! Last ned juksearket i begynnelsen av leksjonen, skriv det ut og løs problemene.

I denne leksjonen vil vi gjennomgå de grunnleggende teoretiske fakta om logaritmer og vurdere å løse de enkleste logaritmiske ligningene.

La oss huske den sentrale definisjonen - definisjonen av en logaritme. Det har sammenheng med vedtaket eksponentiell ligning. Denne ligningen har en enkelt rot, den kalles logaritmen til b for å basere a:

Definisjon:

Logaritmen av b til base a er eksponenten som base a må heves til for å få b.

La oss minne deg på det grunnleggende logaritmisk identitet.

Uttrykket (uttrykk 1) er roten til ligningen (uttrykk 2). Bytt ut verdien x fra uttrykk 1 i stedet for x med uttrykk 2 og få den logaritmiske hovedidentiteten:

Så vi ser at hver verdi er assosiert med en verdi. Vi betegner b med x(), c med y, og får dermed en logaritmisk funksjon:

For eksempel:

La oss huske de grunnleggende egenskapene til den logaritmiske funksjonen.

La oss være oppmerksomme nok en gang her, siden under logaritmen kan det være et strengt positivt uttrykk, som basis for logaritmen.

Ris. 1. Graf over en logaritmisk funksjon med forskjellige baser

Grafen til funksjonen ved vises i svart. Ris. 1. Hvis argumentet øker fra null til uendelig, øker funksjonen fra minus til pluss uendelig.

Grafen til funksjonen ved vises i rødt. Ris. 1.

Egenskaper for denne funksjonen:

Omfang: ;

Verdiområde: ;

Funksjonen er monoton gjennom hele sitt definisjonsdomene. Når monotont (strengt) øker, høyere verdi argumentet tilsvarer den større verdien av funksjonen. Når monotont (strengt) avtar, tilsvarer en større verdi av argumentet en mindre verdi av funksjonen.

Egenskapene til den logaritmiske funksjonen er nøkkelen til å løse en rekke logaritmiske ligninger.

La oss vurdere den enkleste logaritmiske ligningen, som regel er alle andre logaritmiske ligninger redusert til denne formen.

Siden basene til logaritmene og selve logaritmene er like, er funksjonene under logaritmen også like, men vi må ikke gå glipp av definisjonsdomenet. Bare et positivt tall kan vises under logaritmen, vi har:

Vi fant ut at funksjonene f og g er like, så det er nok å velge en hvilken som helst ulikhet for å overholde ODZ.

Dermed har vi et blandet system der det er en likning og en ulikhet:

Som regel er det ikke nødvendig å løse en ulikhet, det er nok å løse ligningen og erstatte de funnet røttene i ulikheten, og dermed utføre en sjekk.

La oss formulere en metode for å løse de enkleste logaritmiske ligningene:

Utligne basisene til logaritmene;

Sett likhetstegn mellom sublogaritmiske funksjoner;

Utfør sjekk.

La oss se på spesifikke eksempler.

Eksempel 1 - løs ligningen:

Basene til logaritmene er i utgangspunktet like, vi har rett til å likestille sublogaritmiske uttrykk, ikke glem ODZ, vi velger den første logaritmen for å komponere ulikheten:

Eksempel 2 - løs ligningen:

Denne ligningen skiller seg fra den forrige ved at basene til logaritmene er mindre enn én, men dette påvirker ikke løsningen på noen måte:

La oss finne roten og erstatte den med ulikheten:

Vi mottok en feil ulikhet, som betyr at den funnet roten ikke tilfredsstiller ODZ.

Eksempel 3 - løs ligningen:

Basene til logaritmene er i utgangspunktet like, vi har rett til å likestille sublogaritmiske uttrykk, ikke glem ODZ, vi velger den andre logaritmen for å komponere ulikheten:

La oss finne roten og erstatte den med ulikheten:

Det er klart at bare den første roten tilfredsstiller ODZ.