Persamaan dengan parameter. Masalah dengan parameter (kaedah penyelesaian grafik) Pengenalan

Otdelkina Olga, pelajar darjah 9

Topik ini merupakan bahagian penting dalam kajian kursus algebra sekolah. Tujuan kerja ini adalah untuk mengkaji topik ini dengan lebih mendalam, untuk mengenal pasti penyelesaian paling rasional yang cepat membawa kepada jawapan. Esei ini akan membantu pelajar lain memahami penggunaan kaedah grafik untuk menyelesaikan persamaan dengan parameter, belajar tentang asal usul, pembangunan kaedah ini.

Muat turun:

Pratonton:

Pengenalan2

Bab 1

Sejarah kemunculan persamaan dengan parameter 3

Teorem Vieta4

Konsep asas5

Bab 2. Jenis-jenis persamaan dengan parameter.

Persamaan Linear6

Persamaan Kuadratik……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………7

Bab 3

Kaedah analisis……………………………………………………………………8

Kaedah grafik. Sejarah kejadian……………………………………9

Algoritma penyelesaian grafik ..…………………………………………….10

Menyelesaikan persamaan dengan modulus……………………………………………………………….11

Bahagian amali…………………………………………………………………………12

Kesimpulan………………………………………………………………………….19

Rujukan………………………………………………………………20

pengenalan.

Saya memilih topik ini kerana ia merupakan sebahagian daripada kajian kursus algebra sekolah. Menyediakan kerja ini, saya menetapkan matlamat kajian yang lebih mendalam tentang topik ini, mengenal pasti penyelesaian paling rasional yang cepat membawa kepada jawapan. Esei saya akan membantu pelajar lain memahami penggunaan kaedah grafik untuk menyelesaikan persamaan dengan parameter, belajar tentang asal usul, pembangunan kaedah ini.

Dalam kehidupan moden, kajian banyak proses fizikal dan corak geometri sering membawa kepada penyelesaian masalah dengan parameter.

Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, kaedah grafik adalah sangat berkesan apabila perlu untuk menentukan bilangan punca persamaan itu bergantung pada parameter α.

Tugasan dengan parameter adalah minat matematik semata-mata, menyumbang kepada perkembangan intelek pelajar, dan berfungsi sebagai bahan yang baik untuk mempraktikkan kemahiran. Mereka mempunyai nilai diagnostik, kerana ia boleh digunakan untuk menguji pengetahuan tentang bahagian utama matematik, tahap pemikiran matematik dan logik, kemahiran penyelidikan awal dan peluang yang menjanjikan untuk berjaya menguasai kursus matematik di institusi pendidikan tinggi.

Dalam abstrak saya, jenis persamaan yang biasa ditemui dipertimbangkan, dan saya berharap pengetahuan yang saya peroleh dalam proses kerja akan membantu saya apabila lulus peperiksaan sekolah, keranapersamaan dengan parameterdianggap sebagai salah satu tugas yang paling sukar dalam kursus matematik sekolah. Tugasan inilah yang termasuk dalam senarai tugas pada USE peperiksaan negeri bersatu.

Sejarah kemunculan persamaan dengan parameter

Masalah untuk persamaan dengan parameter telah pun ditemui dalam risalah astronomi "Aryabhattam", yang disusun pada 499 oleh ahli matematik dan astronomi India Aryabhatta. Seorang lagi saintis India, Brahmagupta (abad ke-7), menggariskan peraturan am untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang dikurangkan kepada bentuk kanonik tunggal:

αх 2 + bx = c, α>0

Dalam persamaan, pekali, kecuali untuk parameter, juga boleh negatif.

Persamaan kuadratik dalam al-Khawarizmi.

Risalah algebra Al-Khwarizmi memberikan klasifikasi persamaan linear dan kuadratik dengan parameter. Penulis menyenaraikan 6 jenis persamaan, menyatakannya seperti berikut:

1) "Petak sama dengan punca", iaitu αx 2 = bx.

2) "Petak sama dengan nombor", iaitu αx 2 = c.

3) "Akar-akar adalah sama dengan nombor", iaitu αx = c.

4) “Petak kuasa dan nombor adalah sama dengan punca”, iaitu αx 2 + c = bx.

5) "Petak kuasa dan punca adalah sama dengan nombor", iaitu αx 2 + bx = c.

6) "Akar dan nombor adalah sama dengan kuasa dua", iaitu bx + c = αx 2 .

Formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik menurut al-Khorezmi di Eropah pertama kali dinyatakan dalam "Book of the Abacus", yang ditulis pada tahun 1202 oleh ahli matematik Itali Leonardo Fibonacci.

Vieta mempunyai terbitan umum formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dengan parameter, tetapi Vieta hanya mengiktiraf punca positif. Ahli matematik Itali Tartaglia, Cardano, Bombelli adalah antara yang pertama pada abad kedua belas. mengambil kira, sebagai tambahan kepada akar positif, dan negatif. Hanya pada abad XVII. terima kasih kepada karya Girard, Descartes, Newton dan saintis lain, kaedah penyelesaian persamaan kuadratik telah mengambil rupa moden.

Teorem Vieta

Teorem yang menyatakan hubungan antara parameter, pekali persamaan kuadratik dan puncanya, dengan nama Vieta, telah dirumuskan oleh beliau buat kali pertama pada tahun 1591. Seperti berikut: “Jika b + d didarab dengan α tolak α 2 sama dengan bc, maka α sama dengan b dan sama dengan d.

Untuk memahami Vieta, seseorang harus ingat bahawa α, seperti mana-mana vokal, bermaksud yang tidak diketahui (x kami), manakala vokal b, d adalah pekali untuk yang tidak diketahui. Dalam bahasa algebra moden, rumusan Vieta di atas bermaksud:

Jika ada

(α + b)x - x 2 \u003d αb,

Iaitu, x 2 - (α -b)x + αb \u003d 0,

maka x 1 = α, x 2 = b.

Menyatakan hubungan antara punca dan pekali persamaan dengan formula am yang ditulis menggunakan simbol, Vieta mewujudkan keseragaman dalam kaedah penyelesaian persamaan. Walau bagaimanapun, simbolisme Vieta masih jauh dari bentuk modennya. Dia tidak mengenali nombor negatif dan oleh itu, apabila menyelesaikan persamaan, dia hanya mempertimbangkan kes di mana semua punca adalah positif.

Konsep asas

Parameter - pembolehubah bebas, yang nilainya dianggap sebagai nombor tetap atau arbitrari, atau nombor kepunyaan selang yang ditentukan oleh keadaan masalah.

Persamaan dengan parameter- matematikpersamaan, yang penampilan dan penyelesaiannya bergantung pada nilai satu atau lebih parameter.

Selesaikan persamaan dengan parameter bermakna bagi setiap nilaicari nilai x yang memenuhi persamaan ini, dan juga:

1. 1. Siasat apakah nilai parameter persamaan mempunyai punca dan berapa banyak daripadanya untuk nilai parameter yang berbeza.
2. 2. Cari semua ungkapan untuk punca dan nyatakan bagi setiap daripada mereka nilai parameter yang mana ungkapan ini benar-benar menentukan punca persamaan.

Pertimbangkan persamaan α(х+k)= α +c, dengan α, c, k, x ialah pembolehubah.

Sistem nilai boleh diterima pembolehubah α, c, k, xsebarang sistem nilai pembolehubah dipanggil, di mana kedua-dua bahagian kiri dan kanan persamaan ini mengambil nilai sebenar.

Biarkan A menjadi set semua nilai α yang boleh diterima, K - set semua nilai k yang boleh diterima, X - set semua nilai x yang boleh diterima, C - set semua nilai yang boleh diterima. daripada c. Jika bagi setiap set A, K, C, X kita memilih dan menetapkan, masing-masing, satu nilai α, k, c, dan menggantikannya ke dalam persamaan, maka kita memperoleh persamaan untuk x, i.e. persamaan dengan satu yang tidak diketahui.

Pembolehubah α, k, c, yang dianggap malar apabila menyelesaikan persamaan, dipanggil parameter, dan persamaan itu sendiri dipanggil persamaan yang mengandungi parameter.

Parameter dilambangkan dengan huruf pertama abjad Latin: α, b, c, d, …, k , l, m, n, dan tidak diketahui - dengan huruf x, y, z.

Dua persamaan yang mengandungi parameter yang sama dipanggil setara jika:

a) mereka masuk akal untuk nilai parameter yang sama;

b) setiap penyelesaian persamaan pertama ialah penyelesaian kedua dan sebaliknya.

Jenis persamaan dengan parameter

Persamaan dengan parameter ialah: linear dan segi empat sama.

1) Persamaan linear. Borang am:

α x = b, di mana x tidak diketahui;α , b - parameter.

Untuk persamaan ini, nilai khas atau kawalan parameter ialah nilai di mana pekali hilang dalam keadaan tidak diketahui.

Apabila menyelesaikan persamaan linear dengan parameter, kes dipertimbangkan apabila parameter itu sama dengan nilai khasnya dan berbeza daripadanya.

Nilai istimewa parameter α ialah nilaiα = 0.

1. Jika, a ≠0 , kemudian untuk sebarang pasangan parameterα dan b ia mempunyai penyelesaian yang unik x = .

2. Jika, a =0, maka persamaan itu mengambil bentuk: 0 x = b . Dalam kes ini, nilai b = 0 ialah nilai parameter khas b.

2.1. Untuk b ≠ 0 persamaan tidak mempunyai penyelesaian.

2.2. Untuk b =0 persamaan akan berbentuk: 0 x=0.

Penyelesaian kepada persamaan ini ialah sebarang nombor nyata.

Persamaan kuadratik dengan parameter.

Borang am:

α x 2 + bx + c = 0

di mana parameter α ≠0, b dan c - nombor sewenang-wenangnya

Jika α =1, maka persamaan itu dipanggil persamaan kuadratik terkurang.

Punca-punca persamaan kuadratik ditemui oleh rumus

Ungkapan D = b 2 - 4 α c dipanggil diskriminasi.

1. Jika D> 0 - persamaan mempunyai dua punca yang berbeza.

2. Jika D< 0 — уравнение не имеет корней.

3. Jika D = 0 - persamaan mempunyai dua punca yang sama.

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan dengan parameter:

1. Analitikal - kaedah penyelesaian langsung yang mengulangi prosedur piawai untuk mencari jawapan dalam persamaan tanpa parameter.
2. Grafik - bergantung kepada keadaan masalah, kedudukan graf fungsi kuadratik yang sepadan dalam sistem koordinat dipertimbangkan.

Kaedah Analisis

Algoritma penyelesaian:

1. Sebelum meneruskan untuk menyelesaikan masalah dengan parameter dengan kaedah analisis, adalah perlu untuk memahami situasi untuk nilai berangka tertentu parameter. Sebagai contoh, ambil nilai parameter α =1 dan jawab soalan: adakah nilai parameter α =1 nilai yang diperlukan untuk masalah ini.

Contoh 1: Tentukan Mengenai X persamaan linear dengan parameter m:

Mengikut maksud masalah (m-1)(x+3) = 0, iaitu m= 1, x = -3.

Mendarab kedua-dua belah persamaan dengan (m-1)(x+3), kita mendapat persamaan

Kita mendapatkan

Oleh itu, pada m = 2.25.

Sekarang adalah perlu untuk menyemak sama ada tidak ada nilai m seperti itu

nilai x yang ditemui ialah -3.

menyelesaikan persamaan ini, kita mendapat bahawa x ialah -3 apabila m = -0.4.

Jawapan: pada m=1, m=2.25.

Kaedah grafik. Sejarah kejadian

Kajian kebergantungan am bermula pada abad ke-14. Sains zaman pertengahan adalah skolastik. Dengan watak sedemikian, tidak ada ruang untuk kajian kebergantungan kuantitatif, ia hanya mengenai kualiti objek dan hubungannya antara satu sama lain. Tetapi di kalangan skolastik, timbul sebuah sekolah yang menegaskan bahawa kualiti boleh menjadi lebih atau kurang sengit (pakaian orang yang jatuh ke dalam sungai lebih basah daripada seseorang yang baru sahaja terperangkap dalam hujan)

Saintis Perancis Nicholas Oresme mula menggambarkan keamatan panjang segmen. Apabila dia menyusun segmen ini berserenjang dengan beberapa garis lurus, hujungnya membentuk garis, yang dipanggilnya "garis keamatan" atau "garis tepi atas" (graf pergantungan fungsi yang sepadan). Oresmus mengkaji walaupun "satah" dan kualiti "jasmani", iaitu fungsi bergantung kepada dua atau tiga pembolehubah.

Pencapaian penting Oresmes ialah percubaan untuk mengklasifikasikan graf yang terhasil. Beliau memilih tiga jenis kualiti: Seragam (dengan intensiti malar), tidak sekata (dengan kadar perubahan intensiti yang tetap) dan tidak sekata (semua yang lain), serta sifat ciri graf kualiti tersebut.

Untuk mencipta radas matematik untuk mengkaji graf fungsi, ia mengambil konsep pembolehubah. Konsep ini diperkenalkan ke dalam sains oleh ahli falsafah dan ahli matematik Perancis René Descartes (1596-1650). Descarteslah yang menghasilkan idea tentang kesatuan algebra dan geometri dan tentang peranan pembolehubah; Descartes memperkenalkan segmen unit tetap dan mula mempertimbangkan hubungan segmen lain dengannya.

Oleh itu, graf fungsi sepanjang tempoh kewujudannya telah melalui satu siri transformasi asas yang telah membawanya ke bentuk yang kita biasa. Setiap peringkat atau langkah dalam pembangunan graf fungsi adalah bahagian penting dalam sejarah algebra dan geometri moden.

Kaedah grafik untuk menentukan bilangan punca persamaan bergantung pada parameter yang disertakan di dalamnya adalah lebih mudah daripada kaedah analisis.

Algoritma penyelesaian grafik

Graf Fungsi ialah set titik di manaabscissaadalah nilai hujah yang sah, tetapi ordinat- nilai yang sepadanfungsi.

Algoritma untuk penyelesaian grafik persamaan dengan parameter:

1. Cari domain bagi persamaan itu.
2. Kami menyatakan α sebagai fungsi x.
3. Dalam sistem koordinat kita membina graf fungsiα (x) bagi nilai-nilai x yang berada dalam domain persamaan yang diberikan.
4. Mencari titik persilangan garisα =c, dengan graf fungsi

a(x). Jika garis α =c melintasi grafα (x), maka kita tentukan absis bagi titik persilangan. Untuk melakukan ini, sudah cukup untuk menyelesaikan persamaan c = α (x) berbanding dengan x.

1. Tulis jawapan

Menyelesaikan Persamaan dengan Modulus

Apabila menyelesaikan persamaan dengan modulus yang mengandungi parameter secara grafik, adalah perlu untuk memplot graf fungsi dan mempertimbangkan semua kes yang mungkin untuk nilai parameter yang berbeza.

Contohnya, │х│= a,

Jawapan: jika a < 0, то нет корней, a > 0, kemudian x \u003d a, x \u003d - a, jika a \u003d 0, maka x \u003d 0.

Penyelesaian masalah.

Masalah 1. Berapakah bilangan punca persamaan itu| | x | - 2 | = a bergantung pada parameter a?

Penyelesaian. Dalam sistem koordinat (x; y), kita plotkan graf bagi fungsi y = | | x | - 2 | dan y= a . Graf fungsi y = | | x | - 2 | ditunjukkan dalam rajah.

Graf bagi fungsi y =α a = 0).

Dari graf dapat dilihat bahawa:

Jika a = 0, maka garis y = a bertepatan dengan paksi Lembu dan mempunyai dengan graf fungsi y = | | x | - 2 | dua perkara biasa; oleh itu, persamaan asal mempunyai dua punca (dalam kes ini, punca boleh didapati: x 1,2 = + 2).
Jika 0< a < 2, то прямая y = α mempunyai dengan graf fungsi y = | | x | - 2 | empat titik sepunya dan, oleh itu, persamaan asal mempunyai empat punca.
Jika a = 2, maka garis y = 2 mempunyai tiga titik persamaan dengan graf fungsi. Maka persamaan asal mempunyai tiga punca.
Jika a > 2, maka garis y = a akan mempunyai dua titik dengan graf fungsi asal, iaitu persamaan ini akan mempunyai dua punca.

Jawapan: jika a < 0, то корней нет;
jika a = 0, a > 2, maka dua punca;
jika a = 2, maka tiga punca;
jika 0< a < 2, то четыре корня.

Masalah 2. Berapakah bilangan punca persamaan itu| x 2 - 2| x | - 3 | = a bergantung pada parameter a?

Penyelesaian. Dalam sistem koordinat (x; y), kita plotkan graf bagi fungsi y = | x 2 - 2| x | - 3 | dan y = a .

Graf fungsi y = | x 2 - 2| x | - 3 | ditunjukkan dalam rajah. Graf bagi fungsi y =α ialah garis selari dengan Lembu atau bertepatan dengannya (apabila a = 0).

Daripada graf anda boleh lihat:

Jika a = 0, maka garis y = a bertepatan dengan paksi Lembu dan mempunyai dengan graf fungsi y = | x2 - 2| x | - 3 | dua titik sepunya, serta garis y = a akan mempunyai dengan graf fungsi y = | x 2 - 2| x | - 3 | dua titik sepunya a > 4. Oleh itu, untuk a = 0 dan a > 4 persamaan asal mempunyai dua punca.
Jika 0< a< 3, то прямая y = a mempunyai dengan graf fungsi y = | x 2 - 2| x | - 3 | empat titik sepunya, serta garis y= a akan mempunyai empat titik sepunya dengan graf fungsi yang dibina di a = 4. Oleh itu, pada 0< a < 3, a = 4 persamaan asal mempunyai empat punca.
Jika a = 3, maka garis y = a memotong graf fungsi pada lima titik; oleh itu, persamaan itu mempunyai lima punca.
Jika 3< a< 4, прямая y = α memotong graf fungsi yang dibina pada enam titik; oleh itu, untuk nilai parameter ini, persamaan asal mempunyai enam punca.
Jika a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α tidak bersilang dengan graf fungsi y = | x 2 - 2| x | - 3 |.

Jawapan: jika a < 0, то корней нет;
jika a = 0, a > 4, maka dua punca;
jika 0< a < 3, a = 4, kemudian empat punca;

sekiranya = 3, kemudian lima punca;
jika 3< a < 4, то шесть корней.

Masalah 3. Berapakah bilangan punca persamaan itu

bergantung pada parameter a?

Penyelesaian. Kami membina dalam sistem koordinat (x; y) graf fungsi

tetapi pertama-tama mari letakkannya dalam bentuk:

Garisan x = 1, y = 1 ialah asimtot bagi graf fungsi. Graf fungsi y = | x | + a diperoleh daripada graf fungsi y = | x | diimbangi oleh unit sepanjang paksi Oy.

Graf Fungsi bersilang pada satu titik di a > - 1; oleh itu, persamaan (1) untuk nilai parameter ini mempunyai satu penyelesaian.

Untuk a = - 1, a = - 2 graf bersilang pada dua titik; oleh itu, untuk nilai parameter ini, persamaan (1) mempunyai dua punca.
Pada - 2< a< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

Jawapan: jika a > - 1, kemudian satu penyelesaian;
jika a = - 1, a = - 2, kemudian dua penyelesaian;
jika - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

Komen. Apabila menyelesaikan persamaan masalah, perhatian khusus harus diberikan kepada kes apabila a = - 2, kerana titik (- 1; - 1) tidak tergolong dalam graf fungsitetapi tergolong dalam graf fungsi y = | x | + a.

Masalah 4. Berapakah bilangan punca persamaan itu

x + 2 = a | x - 1 |

bergantung pada parameter a?

Penyelesaian. Ambil perhatian bahawa x = 1 bukan punca persamaan ini, kerana kesamaan 3 = a 0 tidak boleh benar untuk sebarang nilai parameter a . Kami membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan | x - 1 |(| x - 1 |0), maka persamaan akan mengambil bentukDalam sistem koordinat xOy, kita merancang fungsi

Graf fungsi ini ditunjukkan dalam rajah. Graf fungsi y = a ialah garis lurus selari dengan paksi Lembu atau bertepatan dengannya (untuk a = 0).

KEPADA tugas dengan parameter termasuk, sebagai contoh, pencarian penyelesaian kepada persamaan linear dan kuadratik dalam bentuk umum, kajian persamaan untuk bilangan punca yang tersedia, bergantung pada nilai parameter.

Tanpa memberikan definisi terperinci, pertimbangkan persamaan berikut sebagai contoh:

y = kx, dengan x, y ialah pembolehubah, k ialah parameter;

y = kx + b, dengan x, y ialah pembolehubah, k dan b ialah parameter;

ax 2 + bx + c = 0, dengan x ialah pembolehubah, a, b dan c ialah parameter.

Untuk menyelesaikan persamaan (ketaksamaan, sistem) dengan parameter bermakna, sebagai peraturan, untuk menyelesaikan set persamaan tak terhingga (ketaksamaan, sistem).

Tugasan dengan parameter boleh dibahagikan secara bersyarat kepada dua jenis:

tetapi) syaratnya berkata: selesaikan persamaan (ketaksamaan, sistem) - ini bermakna, untuk semua nilai parameter, cari semua penyelesaian. Jika sekurang-kurangnya satu kes masih belum diterokai, penyelesaian sedemikian tidak boleh dianggap memuaskan.

b) ia diperlukan untuk menunjukkan nilai kemungkinan parameter yang persamaan (ketaksamaan, sistem) mempunyai sifat tertentu. Sebagai contoh, ia mempunyai satu penyelesaian, tidak mempunyai penyelesaian, mempunyai penyelesaian yang tergolong dalam selang, dsb. Dalam tugasan sedemikian, adalah perlu untuk menunjukkan dengan jelas pada nilai parameter apa syarat yang diperlukan dipenuhi.

Parameter, sebagai nombor tetap yang tidak diketahui, mempunyai, seolah-olah, dualiti istimewa. Pertama sekali, ia mesti diambil kira bahawa kemasyhuran yang dikatakan menunjukkan bahawa parameter mesti dianggap sebagai nombor. Kedua, kebebasan untuk mengendalikan parameter dihadkan oleh parameter yang tidak diketahui. Jadi, sebagai contoh, operasi bahagi dengan ungkapan yang terdapat parameter atau mengekstrak punca darjah genap daripada ungkapan serupa memerlukan penyelidikan awal. Oleh itu, penjagaan mesti diambil dalam mengendalikan parameter.

Sebagai contoh, untuk membandingkan dua nombor -6a dan 3a, tiga kes perlu dipertimbangkan:

1) -6a akan lebih besar daripada 3a jika a ialah nombor negatif;

2) -6a = 3a dalam kes apabila a = 0;

3) -6a akan kurang daripada 3a jika a ialah nombor positif 0.

Keputusan akan menjadi jawapannya.

Biarkan persamaan kx = b diberikan. Persamaan ini adalah singkatan untuk set persamaan tak terhingga dalam satu pembolehubah.

Apabila menyelesaikan persamaan tersebut, mungkin terdapat kes:

1. Biarkan k ialah sebarang nombor nyata bukan sifar dan b sebarang nombor daripada R, maka x = b/k.

2. Biarkan k = 0 dan b ≠ 0, persamaan asal akan mengambil bentuk 0 · x = b. Jelas sekali, persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian.

3. Biarkan k dan b ialah nombor sama dengan sifar, maka kita mempunyai kesamaan 0 · x = 0. Penyelesaiannya ialah sebarang nombor nyata.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan jenis ini:

1. Tentukan nilai "kawalan" parameter.

2. Selesaikan persamaan asal untuk x dengan nilai parameter yang ditentukan dalam perenggan pertama.

3. Selesaikan persamaan asal untuk x dengan nilai parameter yang berbeza daripada yang dipilih dalam perenggan pertama.

4. Anda boleh menulis jawapan dalam borang berikut:

1) apabila ... (nilai parameter), persamaan mempunyai punca ...;

2) apabila ... (nilai parameter), tiada punca dalam persamaan.

Contoh 1

Selesaikan persamaan dengan parameter |6 – x| = a.

Penyelesaian.

Adalah mudah untuk melihat bahawa di sini ≥ 0.

Dengan peraturan modulo 6 – x = ±a, kami menyatakan x:

Jawapan: x = 6 ± a, dengan a ≥ 0.

Contoh 2

Selesaikan persamaan a(x - 1) + 2(x - 1) = 0 berkenaan dengan pembolehubah x.

Penyelesaian.

Mari buka kurungan: ax - a + 2x - 2 \u003d 0

Mari kita tulis persamaan dalam bentuk piawai: x(a + 2) = a + 2.

Jika ungkapan a + 2 bukan sifar, iaitu jika a ≠ -2, kita mempunyai penyelesaian x = (a + 2) / (a ​​​​+ 2), i.e. x = 1.

Jika a + 2 bersamaan dengan sifar, i.e. a \u003d -2, maka kita mempunyai kesamaan yang betul 0 x \u003d 0, oleh itu x ialah sebarang nombor nyata.

Jawapan: x \u003d 1 untuk ≠ -2 dan x € R untuk \u003d -2.

Contoh 3

Selesaikan persamaan x/a + 1 = a + x berkenaan dengan pembolehubah x.

Penyelesaian.

Jika a \u003d 0, maka kita menukar persamaan itu kepada bentuk a + x \u003d a 2 + ax atau (a - 1) x \u003d -a (a - 1). Persamaan terakhir untuk a = 1 mempunyai bentuk 0 · x = 0, oleh itu, x ialah sebarang nombor.

Jika a ≠ 1, maka persamaan terakhir akan mengambil bentuk x = -a.

Penyelesaian ini boleh digambarkan pada garis koordinat (Rajah 1)

Jawapan: tiada penyelesaian untuk a = 0; x - sebarang nombor pada a = 1; x \u003d -a dengan ≠ 0 dan a ≠ 1.

Kaedah grafik

Pertimbangkan cara lain untuk menyelesaikan persamaan dengan parameter - grafik. Kaedah ini digunakan agak kerap.

Contoh 4

Berapakah bilangan punca, bergantung pada parameter a, persamaan ||x| – 2| = a?

Penyelesaian.

Untuk menyelesaikan dengan kaedah grafik, kami membina graf bagi fungsi y = ||x| – 2| dan y = a (Gamb. 2).

Lukisan dengan jelas menunjukkan kemungkinan kes lokasi garis y = a dan bilangan punca dalam setiap satu daripadanya.

Jawapan: persamaan tidak akan mempunyai punca jika a< 0; два корня будет в случае, если a >2 dan a = 0; persamaan akan mempunyai tiga punca dalam kes a = 2; empat punca - pada 0< a < 2.

Contoh 5

Yang mana persamaan 2|x| + |x – 1| = a mempunyai punca tunggal?

Penyelesaian.

Mari kita lukis graf bagi fungsi y = 2|x| + |x – 1| dan y = a. Untuk y = 2|x| + |x - 1|, mengembangkan modul dengan kaedah jurang, kita dapat:

(-3x + 1, pada x< 0,

y = (x + 1, untuk 0 ≤ x ≤ 1,

(3x – 1, untuk x > 1.

Pada rajah 3 jelas kelihatan bahawa persamaan akan mempunyai punca yang unik hanya apabila a = 1.

Jawapan: a = 1.

Contoh 6

Tentukan bilangan penyelesaian bagi persamaan |x + 1| + |x + 2| = a bergantung pada parameter a?

Penyelesaian.

Graf fungsi y = |x + 1| + |x + 2| akan menjadi garis putus-putus. Bucunya akan terletak di titik (-2; 1) dan (-1; 1) (gambar 4).

Jawapan: jika parameter a kurang daripada satu, maka persamaan tidak akan mempunyai punca; jika a = 1, maka penyelesaian persamaan ialah set nombor tak terhingga daripada segmen [-2; -satu]; jika nilai parameter a lebih besar daripada satu, maka persamaan akan mempunyai dua punca.

Adakah anda mempunyai sebarang soalan? Tidak tahu bagaimana untuk menyelesaikan persamaan dengan parameter?
Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.
Pelajaran pertama adalah percuma!

tapak, dengan penyalinan penuh atau separa bahan, pautan ke sumber diperlukan.

Persamaan dengan parameter dianggap sebagai salah satu tugas yang paling sukar dalam kursus matematik sekolah. Tugas-tugas inilah yang jatuh dari tahun ke tahun dalam senarai tugas jenis B dan C pada peperiksaan negeri bersatu Peperiksaan Negeri Bersepadu. Walau bagaimanapun, di antara bilangan besar persamaan dengan parameter, terdapat persamaan yang boleh diselesaikan dengan mudah secara grafik. Mari kita pertimbangkan kaedah ini pada contoh menyelesaikan beberapa masalah.

Cari jumlah nilai integer a yang mana persamaan |x 2 – 2x – 3| = a mempunyai empat punca.

Penyelesaian.

Untuk menjawab persoalan masalah, kami membina graf fungsi pada satu satah koordinat

y = |x 2 – 2x – 3| dan y = a.

Graf bagi fungsi pertama y = |x 2 – 2x – 3| akan diperolehi daripada graf parabola y = x 2 - 2x - 3 dengan memaparkan secara simetri tentang paksi absis bahagian graf yang berada di bawah paksi Ox. Bahagian graf di atas paksi-x akan kekal tidak berubah.

Jom buat langkah demi langkah. Graf fungsi y \u003d x 2 - 2x - 3 ialah parabola, yang cawangannya diarahkan ke atas. Untuk membina grafnya, kita mencari koordinat puncak. Ini boleh dilakukan menggunakan formula x 0 = -b / 2a. Oleh itu, x 0 \u003d 2/2 \u003d 1. Untuk mencari koordinat bahagian atas parabola di sepanjang paksi-y, kami menggantikan nilai yang diperoleh untuk x 0 ke dalam persamaan fungsi yang sedang dipertimbangkan. Kami mendapat bahawa y 0 \u003d 1 - 2 - 3 \u003d -4. Oleh itu, bucu parabola mempunyai koordinat (1; -4).

Seterusnya, anda perlu mencari titik persilangan cabang parabola dengan paksi koordinat. Pada titik persilangan cabang parabola dengan paksi absis, nilai fungsi adalah sifar. Oleh itu, kami menyelesaikan persamaan kuadratik x 2 - 2x - 3 \u003d 0. Akarnya akan menjadi titik yang dikehendaki. Dengan teorem Vieta, kita mempunyai x 1 = -1, x 2 = 3.

Pada titik persilangan cabang parabola dengan paksi-y, nilai hujah adalah sifar. Oleh itu, titik y = -3 ialah titik persilangan cabang parabola dengan paksi-y. Graf yang terhasil ditunjukkan dalam Rajah 1.

Untuk mendapatkan graf bagi fungsi y = |x 2 - 2x - 3|, kami akan memaparkan bahagian graf, yang berada di bawah paksi-x, secara simetri mengenai paksi-x. Graf yang terhasil ditunjukkan dalam Rajah 2.

Graf fungsi y = a ialah garis lurus selari dengan paksi-x. Ia ditunjukkan dalam Rajah 3. Menggunakan rajah dan kita dapati bahawa graf mempunyai empat titik sepunya (dan persamaan mempunyai empat punca) jika a tergolong dalam selang (0; 4).

Nilai integer nombor a daripada selang yang diterima: 1; 2; 3. Untuk menjawab soalan masalah, mari cari jumlah nombor ini: 1 + 2 + 3 = 6.

Jawapan: 6.

Cari min aritmetik bagi nilai integer nombor a, yang mana persamaan |x 2 – 4|x| – 1| = a mempunyai enam punca.

Mari kita mulakan dengan memplot fungsi y = |x 2 – 4|x| – 1|. Untuk melakukan ini, kami menggunakan kesamaan a 2 = |a| 2 dan pilih petak penuh dalam ungkapan submodul yang ditulis di sebelah kanan fungsi:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 - 4|x| + 4) - 1 - 4 = (|x | - 2) 2 - 5.

Kemudian fungsi asal akan kelihatan seperti y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

Untuk membina graf fungsi ini, kami membina graf fungsi berturut-turut:

1) y \u003d (x - 2) 2 - 5 - parabola dengan bucu pada titik dengan koordinat (2; -5); (Rajah 1).

2) y = (|x| - 2) 2 - 5 - bahagian parabola yang dibina dalam perenggan 1, yang terletak di sebelah kanan paksi ordinat, dipaparkan secara simetri di sebelah kiri paksi Oy; (Gamb. 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| - bahagian graf yang dibina dalam perenggan 2, yang berada di bawah paksi-x, dipaparkan secara simetri berkenaan dengan paksi absis ke atas. (Gamb. 3).

Pertimbangkan lukisan yang terhasil:

Graf fungsi y = a ialah garis lurus selari dengan paksi-x.

Dengan menggunakan rajah, kami membuat kesimpulan bahawa graf fungsi mempunyai enam titik sepunya (persamaan mempunyai enam punca) jika a tergolong dalam selang (1; 5).

Ini dapat dilihat dalam rajah berikut:

Cari min aritmetik bagi nilai integer bagi parameter a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Jawapan: 3.

blog.site, dengan penyalinan penuh atau separa bahan, pautan ke sumber diperlukan.

Bagi setiap nilai parameter a a selesaikan ketaksamaan | 2 x + a | ≤ x + 2 |2x+a| \leq x+2 .

Mari kita selesaikan masalah tambahan dahulu. Anggap ketaksamaan ini sebagai ketaksamaan dengan dua pembolehubah x x dan a a dan lukis pada satah koordinat x O a xOa semua titik yang koordinatnya memuaskan ketaksamaan.

Jika 2 x + a ≥ 0 2x+a \geq 0 (iaitu, pada garis a = - 2 xa=-2x dan lebih tinggi), maka kita mendapat 2 x + a ≤ x + 2 ⇔ a ≤ 2 - x 2x+ a \leq x+2 \Leftrightarrow a \leq 2-x .

Set ditunjukkan dalam Rajah. sebelas.

Sekarang mari kita selesaikan masalah asal menggunakan lukisan ini. Jika kita membetulkan a a , maka kita mendapat garis mendatar a = const a = \textrm(const) . Untuk menentukan nilai x x , anda perlu mencari absis titik persilangan garis ini dengan set penyelesaian ketaksamaan. Sebagai contoh, jika a = 8 a=8 , maka ketaksamaan tidak mempunyai penyelesaian (garis tidak bersilang dengan set); jika a = 1 a=1 , maka semua x x daripada selang [ - 1 ; 1 ] [-1;1], dsb. Jadi, terdapat tiga pilihan.

1) Jika $$a>4$$, maka tiada penyelesaian.

2) Jika a = 4 a=4 , maka x = - 2 x=-2 .

JAWAPAN

untuk $$a

dengan a = 4 a=4 - x = - 2 x=-2 ;

untuk $$a>4$$ - tiada penyelesaian.

Cari semua nilai parameter a a supaya ketaksamaan $$3-|x-a| > x^2$$ a) mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian; b) mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian positif.

Mari kita tulis semula ketaksamaan sebagai $$3-x^2 > |x-a)$$. Mari kita lukiskan graf bahagian kiri dan kanan pada satah x O y xOy . Graf di sebelah kiri ialah parabola bercabang ke bawah dengan puncak pada (0 ; 3) (0;3) . Graf melintasi paksi-x pada titik (± 3 ; 0) (\pm \sqrt(3);0) . Graf sebelah kanan ialah sudut dengan bucu pada paksi absis, yang sisinya diarahkan ke atas pada sudut 45 ° 45^(\circ) kepada paksi koordinat. Absis bagi puncak ialah titik x = a x=a .

a) Agar ketaksamaan mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian, adalah perlu dan mencukupi sekurang-kurangnya pada satu titik parabola lebih tinggi daripada graf y = | x - a | y=|x-a| . Ini dilakukan jika bucu sudut terletak di antara titik A A dan B B paksi-x (lihat Rajah 12 - titik A A dan B B tidak disertakan). Oleh itu, adalah perlu untuk menentukan pada kedudukan puncak salah satu cabang sudut menyentuh parabola.

Pertimbangkan kes apabila bucu sudut berada pada titik A A . Kemudian cawangan sudut kanan menyentuh parabola. Kecerunannya adalah sama dengan satu. Oleh itu, terbitan bagi fungsi y = 3 - x 2 y = 3-x^2 pada titik sentuhan adalah sama dengan 1 1 , iaitu - 2 x = 1 -2x=1 , dari mana x = - 1 2 x = -\frac( 1)(2) . Maka ordinat bagi titik sentuh ialah y = 3 - (1 2) 2 = 11 4 y = 3 - (\frac(1)(2))^2 = \frac(11)(4) . Persamaan garis lurus dengan kecerunan k = 1 k=1 dan melalui titik dengan koordinat (- 1 2 ; 11 4) (-\frac(1)(2); \frac(11)(4)) , berikut ialah * ( \^* : y - 11 4 = 1 · (x + 1 2) y - \frac{11}{4} = 1 \cdot (x+ \frac{1}{2}) , откуда y = x + 13 4 y = x + \frac{13}{4} .!}

Ini ialah persamaan cabang kanan sudut. Absis bagi titik persilangan dengan paksi xx ialah - 13 4 -\frac(13)(4) , iaitu titik AA mempunyai koordinat A (- 13 4 ; 0) A(-\frac(13)(4); 0) . Atas sebab simetri, titik B B mempunyai koordinat: B (13 4 ; 0) B(\frac(13)(4); 0) .

Oleh itu kita mendapat bahawa a ∈ (- 13 4 ; 13 4) a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)) .

b) Ketaksamaan mempunyai penyelesaian positif jika bucu sudut berada di antara titik F F dan B B (lihat Rajah 13). Mencari kedudukan titik FF tidak sukar: jika bucu sudut berada pada titik FF, maka cabang kanannya (garis lurus yang diberikan oleh persamaan y \u003d x - ay \u003d xa melalui titik (0 ; 3) (0; 3) . Dari sini kita dapati bahawa a \u003d - 3 a=-3 dan titik FF mempunyai koordinat (- 3 ; 0) (-3; 0) Oleh itu, a ∈ (- 3 ; 13 4) a \in (-3; \frac(13)(4) ) .

JAWAPAN

a) a ∈ (- 13 4 ; 13 4) ,       a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)),\:\:\: b) a ∈ (- 3 ; 13 4) a \in (-3; \frac(13)(4)) .

* {\^* Полезные формулы: !}

- \-- garis lurus yang melalui titik (x 0; y 0) (x_0; y_0) dan mempunyai cerun kk diberikan oleh persamaan y - y 0 = k (x - x 0) y-y_0=k (x-x_0);

- \-- kecerunan garis lurus yang melalui titik (x 0 ; y 0) (x_0; y_0) dan (x 1 ; y 1) (x_1; y_1) , di mana x 0 ≠ x 1 x_0 \neq x_1 , dikira daripada formula k = y 1 - y 0 x 1 - x 0 k = \dfrac(y_1-y_0)(x_1-x_0) .

Komen. Jika anda perlu mencari nilai parameter di mana garis lurus y = kx + ly=kx+l dan parabola y = ax 2 + bx + cy = ax^2+bx+c sentuh, maka anda boleh menulis syarat bahawa persamaan kx + l = ax 2 + bx + c kx+l = ax^2+bx+c mempunyai betul-betul satu penyelesaian. Kemudian cara lain untuk mencari nilai parameter aa, di mana bucu sudut adalah pada titik AA, adalah yang berikut: persamaan x - a = 3 - x 2 xa = 3-x^2 mempunyai tepat satu penyelesaian ⇔ D = 1 + 4 (a + 3) = 0 ⇔ a = - 13 4 \Leftrightarrow D = 1 + 4(a+3) = 0 \Anak panah kiri a = -\ dfrac(13)(4) .

Sila ambil perhatian bahawa dengan cara ini adalah mustahil untuk menuliskan syarat menyentuh garis lurus dengan graf sewenang-wenangnya. Sebagai contoh, garis y = 3 x - 2 y = 3x - 2 menyentuh parabola kubik y = x 3 y=x^3 pada titik (1 ; 1) (1; 1) dan bersilang pada titik (- 2 ; - 8) (-2;-8) , iaitu persamaan x 3 = 3 x + 2 x^3 = 3x+2 mempunyai dua penyelesaian.

Cari semua nilai parameter aa yang mana persamaan (a + 1 - | x + 2 |) (x 2 + 4 x + 1 - a) = 0 (a+1-|x+2|)(x ^2 +4x+1-a) = 0 mempunyai a) betul-betul dua punca yang berbeza; b) tepat tiga punca yang berbeza.

Mari kita lakukan perkara yang sama seperti dalam Contoh 25. Lukiskan set penyelesaian persamaan ini pada satah x O a xOa . Ia bersamaan dengan gabungan dua persamaan:

1) a = | x + 2 | - 1 a = |x+2| -1 ialah sudut dengan cawangan ke atas dan puncak pada (- 2 ; - 1) (-2;-1) .

2) a \u003d x 2 + 4 x + 1 a \u003d x ^ 2 + 4x + 1 ialah parabola dengan cabang ke atas dan bucu pada titik (- 2; - 3) (-2; -3) . Lihat rajah. empat belas.

Cari titik persilangan dua graf. Cabang kanan sudut diberikan oleh persamaan y = x + 1 y=x+1 . Menyelesaikan Persamaan

x + 1 = x 2 + 4 x + 1 x+1 = x^2+4x+1

kita dapati bahawa x = 0 x=0 atau x = - 3 x=-3 . Hanya nilai x = 0 x=0 sahaja yang sesuai (kerana untuk cawangan kanan x + 2 ≥ 0 x+2 \geq 0). Kemudian a = 1 a=1 . Begitu juga, kita dapati koordinat titik persilangan kedua - (- 4 ; 1) (-4; 1) .

Kita kembali kepada masalah asal. Persamaan mempunyai tepat dua penyelesaian untuk a a , yang mana garis mendatar a = const a=\textrm(const) memotong set penyelesaian persamaan pada dua titik. Daripada graf, kita melihat bahawa ini adalah benar untuk a ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 ) a\in (-3;-1)\bigcup\(1\) . Tepat tiga penyelesaian akan berlaku dalam kes tiga titik persilangan, yang mungkin hanya untuk a = - 1 a=-1 .

JAWAPAN

a) a ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 ) ; a\in (-3;-1)\bigcup\(1\);\:\:\: b) a = - 1 a=-1 .

$$\mulakan(kes) x^2-x-a \leq 0,\\ x^2+2x-6a \leq 0 \end(kes) $$

mempunyai tepat satu penyelesaian.

Mari kita wakili penyelesaian sistem ketaksamaan pada satah x O a xOa . Tulis semula sistem sebagai $$ \begin(cases) a \leq -x^2+x,\\ a \geq \dfrac(x^2+6x)(6) .\end(cases) $$

Ketaksamaan pertama dipenuhi dengan titik yang terletak pada parabola a = - x 2 + xa = -x^2+x dan di bawahnya, dan yang kedua - dengan titik yang terletak pada parabola a = x 2 + 6 x 6 a = \dfrac(x^2 +6x)(6) atau lebih tinggi. Kami mencari koordinat bucu parabola dan titik persilangannya, dan kemudian membina graf. Puncak parabola pertama ialah (1 2 ; 1 4) (\dfrac(1)(2);\dfrac(1)(4)) , parabola kedua ialah (- 1 ; - 1 6) (-1; -\dfrac( 1)(6)) , titik persilangan ialah (0 ; 0) (0;0) dan (4 7 ; 12 49) (\dfrac(4)(7); \dfrac(12)(49 )). Set titik yang memenuhi sistem ditunjukkan dalam rajah. 15. Ia boleh dilihat bahawa garis mendatar a = const a=\textrm(const) mempunyai tepat satu titik sepunya dengan set ini (yang bermaksud sistem mempunyai tepat satu penyelesaian) dalam kes a = 0 a=0 dan a = 1 4 a= \dfrac(1)(4) .

JAWAPAN

A = 0 ,   a = 1 4 a=0,\: a=\dfrac(1)(4)

Cari nilai terkecil bagi parameter a a , bagi setiap satu daripadanya sistem

$$\mulakan(kes) x^2+y^2 + 3a^2 = 2y + 2\sqrt(3)ax,\\ \sqrt(3)|x|-y=4 \end(cases) $$

mempunyai penyelesaian yang unik.

Mari kita ubah persamaan pertama, menonjolkan petak penuh:

(x 2 - 2 3 a x + 3 a 2) + (y 2 - 2 y + 1) = 1 ⇔ (x - a 3) 2 + (y - 1) 2 = 1 . 18 (x^2- 2\sqrt(3)ax+3a^2)+(y^2-2y+1)=1 \Anak panah kiri (xa\sqrt(3))^2+(y-1)^2 =1. \:\:\:\kiri(18\kanan)

Tidak seperti tugas sebelumnya, adalah lebih baik untuk menggambarkan lukisan pada satah x O y xOy (lukisan dalam satah "pembolehubah - parameter" biasanya digunakan untuk masalah dengan satu pembolehubah dan satu parameter - sebagai hasilnya, satu set diperolehi di atas kapal terbang. Dalam masalah ini, kita berurusan dengan dua (x; y; a) (x; y; a) dalam ruang tiga dimensi adalah tugas yang sukar; selain itu, lukisan sedemikian tidak mungkin visual). Persamaan (18) mentakrifkan bulatan dengan pusat (a 3 ; 1) (a\sqrt(3);1) jejari 1. Bergantung pada nilai aa , pusat bulatan ini boleh berada di mana-mana titik garis y = 1 y=1 .

Persamaan kedua sistem y = 3 | x | - 4 y = \sqrt(3)|x|-4 mentakrifkan sudut dengan sisi ke atas pada sudut 60 ° 60^(\circ) kepada paksi-x (cerun garis lurus ialah tangen bagi cerun sudut tg 60 ° = 3 \textrm(tg )(60^(\circ)) = \sqrt(3)), berakhir pada (0 ; - 4) (0;-4) .

Sistem persamaan ini mempunyai tepat satu penyelesaian jika bulatan menyentuh salah satu cabang sudut. Ini boleh dilakukan dalam empat kes (Rajah 16): pusat bulatan boleh berada di salah satu titik A A , B B , C C , D D . Oleh kerana kita perlu mencari nilai terkecil bagi parameter a a , kita berminat dengan absis titik D D . Pertimbangkan segi tiga tepat D H M DHM . Jarak dari titik D D ke garis H M HM adalah sama dengan jejari bulatan, oleh itu D H = 1 DH=1 . Jadi D M = D H sin 60 ° = 2 3 DM=\dfrac(DH)(\textrm(sin)(60^(\circ))) = \dfrac(2)(\sqrt(3)) . Koordinat titik MM didapati sebagai koordinat titik persilangan dua garis y = 1 y=1 dan y = - 3 x - 4 y=-\sqrt(3)x-4 (sebelah kiri sudut ).

Kami mendapat M (- 5 3) M(-\dfrac(5)(\sqrt(3))) . Maka absis bagi titik DD ialah - 5 3 - 2 3 = - 7 3 -\dfrac(5)(\sqrt(3))-\dfrac(2)(\sqrt(3))=-\dfrac(7 )(\ sqrt(3)) .

Oleh kerana absis pusat bulatan ialah a 3 a\sqrt(3) , maka a = - 7 3 a=-\dfrac(7)(3) .

JAWAPAN

A = - 7 3 a=-\dfrac(7)(3)

Cari semua nilai parameter a a , bagi setiap satu daripadanya sistem

$$\mulakan(kes) |4x+3y| \leq 12a,\\ x^2+y^2 \leq 14ax +6ay -57a^2+16a+64 \tamat(kes) $$

mempunyai tepat satu penyelesaian.

Mari kita gambarkan set penyelesaian bagi setiap ketaksamaan pada satah x O y xOy .

Dalam ketaksamaan kedua, kami memilih petak sempurna:

x 2 - 14 ax + 49 + y 2 - 6 ay + 9 a 2 ≤ a 2 + 16 a + 64 ⇔ (x - 7 a) 2 + (y - 3 a) 2 ≤ (a + 8) 2         (19) ) x^2-14ax+49 + y^2-6ay + 9a^2 \leq a^2 + 16a + 64 \Anak panah kiri (x-7a)^2+(y-3a)^2 \leq (a+8 )^2 \:\:\:\: (19)

Untuk a + 8 = 0 a+8=0 (a = - 8 a=-8) ketaksamaan (19) mentakrifkan titik dengan koordinat (7 a ; 3 a) (7a;3a) , iaitu (- 56 ; - 24 ) (-56; -24) . Untuk semua nilai lain a a (19) mentakrifkan bulatan berpusat pada titik (7 a ; 3 a) (7a;3a) jejari | a + 8 | |a+8| .

Pertimbangkan ketidaksamaan pertama.
1) Untuk negatif a a ia tidak mempunyai penyelesaian. Oleh itu, sistem juga tidak mempunyai penyelesaian.

2) Jika a = 0 a=0 , maka kita mendapat garis lurus 4 x + 3 y = 0 4x+3y=0 . Daripada ketaksamaan kedua, kita mendapat bulatan dengan pusat (0 ; 0) (0; 0) jejari 8. Jelas sekali, lebih daripada satu penyelesaian keluar.

3) Jika $$a>0$$, maka ketaksamaan ini adalah bersamaan dengan ketaksamaan berganda - 12 a ≤ 4 x + 3 y ≤ 12 a -12a \leq 4x+3y \leq 12a . Ia mentakrifkan jalur antara dua garis y = ± 4 a - 4 x 3 y=\pm 4a -\dfrac(4x)(3) , setiap satunya selari dengan garis 4 x + 3 y = 0 4x+3y= 0 (Gamb. 17).

Oleh kerana kita sedang mempertimbangkan $$a>0$$, pusat bulatan terletak di sukuan pertama pada garis y = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) . Sesungguhnya, koordinat pusat ialah x = 7 a x=7a , y = 3 a y=3a ; menyatakan a a dan menyamakan, kita dapat x 7 = y 3 \dfrac(x)(7)=\dfrac(y)(3) , dari mana y = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) . Untuk sistem mempunyai tepat satu penyelesaian, adalah perlu dan memadai bahawa bulatan menyentuh garis a 2 a_2 . Ini berlaku apabila jejari bulatan adalah sama dengan jarak dari pusat bulatan ke garis a 2 a_2 . Mengikut formula untuk jarak dari titik ke garis * (\^{*} получаем, что расстояние от точки (7 a ; 3 a) (7a;3a) до прямой 4 x + 3 y - 12 a = 0 4x+3y-12a=0 равно | 4 · 7 a + 3 · 3 a - 12 a | 4 2 + 3 2 = 5 a \dfrac{|4\cdot 7a + 3\cdot 3a -12a|}{\sqrt{4^2+3^2}} = 5\left|a\right| . Приравнивая к радиусу круга, получаем 5 a = | a + 8 | 5{a} = |a+8| . Так как $$a>0$$, опускаем модули и находим, что a = 2 a=2 .!}

JAWAPAN

A=2 a=2

* {\^{*} Пусть даны точка M (x 0 ; y 0) M (x_0;y_0) и прямая l l , заданная уравнением a x + b y + c = 0 ax+by+c=0 . Тогда расстояние от точки M M до прямой l l определяется формулой ρ = | a x 0 + b x 0 + c | a 2 + b 2 \rho = \dfrac{|ax_0+bx_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} . !}

Untuk apakah nilai parameter a a sistem

$$\mulakan(kes) |x|+|y|=1,\\ |x+a|+|y+a|=1 \tamat(kes)$$ tiada penyelesaian?

Persamaan pertama sistem mentakrifkan segi empat sama ABCD ABCD pada satah x O y xOy (untuk membinanya, pertimbangkan x ≥ 0 x\geq 0 dan y ≥ 0 y\geq 0 . Kemudian persamaan itu mengambil bentuk x + y = 1 x+y=1 . Kami mendapat segmen - sebahagian daripada garisan x + y = 1 x + y \u003d 1, terletak pada suku pertama.Seterusnya, kami mencerminkan segmen ini mengenai paksi O x Ox, dan kemudian kami mencerminkan set yang terhasil tentang paksi O y Oy) (lihat Rajah 18). Persamaan kedua memberikan kuasa dua P Q R S PQRS sama dengan segi empat sama A B C D ABCD , tetapi berpusat pada titik (- a ; - a) (-a;-a) . Pada rajah. 18 contohnya segi empat sama ini ditunjukkan untuk a = - 2 a=-2 . Sistem ini tidak mempunyai penyelesaian jika dua petak ini tidak bersilang.

Adalah mudah untuk melihat bahawa jika segmen P Q PQ dan B C BC bertepatan, maka pusat petak kedua adalah pada titik (1 ; 1) (1; 1) . Kami akan menggunakan nilai a a , di mana pusat terletak "di atas" dan "ke kanan", iaitu $$a1$$.

JAWAPAN

A ∈ (- ∞ ; - 1) ∪ (1 ; + ∞) a\in (-\infty;-1)\bigcup(1;+\infty) .

Cari semua nilai parameter b b yang mana sistem

$$\mulakan(kes) y=|b-x^2|,\\ y=a(x-b) \tamat(kes) $$

mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian untuk sebarang nilai a a .

Mari kita pertimbangkan beberapa kes.

1) Jika $$b2) Jika b = 0 b=0 , maka sistem menjadi $$\begin(cases) y=x^2,\\ y=ax .\end(cases) $$

Untuk mana-mana a a, pasangan nombor (0 ; 0) (0;0) ialah penyelesaian kepada sistem ini, maka b = 0 b=0 padan.

3) Betulkan beberapa $$b>0$$. Persamaan pertama dipenuhi dengan set titik yang diperoleh daripada parabola y \u003d x 2 - b y \u003d x ^ 2-b dengan mencerminkan sebahagian parabola ini mengenai paksi O x Ox (lihat Rajah 19a, b). Persamaan kedua mentakrifkan keluarga garis (menggantikan nilai yang berbeza aa , anda boleh mendapatkan semua jenis garis yang melalui titik (b ; 0) (b; 0) , kecuali yang menegak), melalui titik ( b ; 0) (b; 0) . Jika titik (b ; 0) (b; 0) terletak pada ruas [ - b ; b ] [-\sqrt(b);\sqrt(b)] . paksi-x, kemudian garis lurus bersilang dengan graf fungsi pertama pada sebarang cerun (Rajah 19a). Jika tidak (Rajah 19b), dalam apa jua keadaan, terdapat garis lurus yang tidak bersilang dengan graf ini. Menyelesaikan ketaksamaan - b ≤ b ≤ b -\sqrt(b)\leq b \leq \sqrt(b) dan mengambil kira bahawa $$b>0$$, kita mendapat bahawa b ∈ (0 ; 1 ] b \ dalam ( 0;1] .

Gabungkan keputusan: $$b \dalam $$.

JAWAPAN

$$b \dalam $$

Cari semua nilai a a , bagi setiap satunya fungsi f (x) = x 2 - | x - a 2 | - 3 x f(x) = x^2-|x-a^2|-3x mempunyai sekurang-kurangnya satu titik maksimum.

Memperluas modul, kami mendapatnya

$$f(x) = \begin(cases) x^2-4x+a^2, \:\:\: x\geq a^2 ,\\ x^2-2x-a^2, \:\ :\: x\leq a^2 . \tamat(kes) $$

Pada setiap dua selang, graf bagi fungsi y = f (x) y=f(x) ialah parabola dengan cawangan ke atas.

Oleh kerana parabola bercabang ke atas tidak boleh mempunyai titik maksimum, satu-satunya kemungkinan ialah titik maksimum ialah titik sempadan bagi jurang ini - titik x = a 2 x=a^2 . Akan ada maksimum pada titik ini jika bucu parabola y = x 2 - 4 x + a 2 y=x^2-4x+a^2 jatuh pada selang $$x>a^2$$, dan puncak parabola y = x 2 - 2 x - a 2 y=x^2-2x-a^2 - pada selang $$x\lt a^2$$ (lihat Rajah 20). Keadaan ini diberikan oleh ketaksamaan dan $$2 \gt a^2$$ dan $$1 \lt a^2$$, penyelesaian yang kita dapati bahawa a ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\ sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2)) .

JAWAPAN

A ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2))

Cari semua nilai a a , bagi setiap satunya penyelesaian umum ketaksamaan

y + 2 x ≥ a y+2x \geq a dan y - x ≥ 2 a                 (20) y-x \geq 2a \:\:\:\:\:\:\:\: (20)

adalah penyelesaian kepada ketidaksamaan

$$2y-x>a+3 \:\:\:\:\:\:\:\:\: (21)$$

Untuk mengorientasikan diri anda dalam situasi, kadangkala berguna untuk mempertimbangkan satu nilai parameter. Mari kita buat lukisan, sebagai contoh, untuk a = 0 a=0 . Ketaksamaan (20) (sebenarnya, kita berurusan dengan sistem ketaksamaan (20)) berpuas hati dengan titik sudut BAC BAC (lihat Rajah 21) - titik, setiap satunya terletak di atas kedua-dua garis y = - 2 xy = -2x dan y = xy =x (atau pada baris ini). Ketaksamaan (21) dipenuhi dengan titik yang terletak di atas garis y = 1 2 x + 3 2 y = \dfrac(1)(2)x + \dfrac(3)(2) . Dapat dilihat bahawa untuk a = 0 a=0 keadaan masalah tidak dipenuhi.

Apakah yang akan berubah jika kita mengambil nilai parameter a a yang berbeza? Setiap garis akan bergerak dan masuk ke garisan selari dengan dirinya sendiri, kerana cerun garisan tidak bergantung pada a . Untuk memenuhi syarat masalah, adalah perlu bahawa keseluruhan sudut B A C BAC terletak di atas garis l l . Oleh kerana modulus cerun garisan A B AB dan A C AC lebih besar daripada kecerunan garis l l , adalah perlu dan mencukupi bahawa bucu sudut terletak di atas garis l l .

Menyelesaikan sistem persamaan

$$\mulakan(kes) y+2x=a,\\ y-x=2a, \end(kes)$$

cari koordinat titik A (- a 3 ; 5 a 3) A(-\dfrac(a)(3);\dfrac(5a)(3)) . Mereka mesti memenuhi ketaksamaan (21), jadi $$\dfrac(10a)(3)+\dfrac(a)(3) > a+3$$, dari mana $$a>\dfrac(9)(8)$$ .

JAWAPAN

$$a>\dfrac(9)(8)$$