Hjem

Faktorering av kvadratiske trinomialer: eksempler og formler. Firkantet trinomium

Å faktorisere kvadratiske trinomialer er en av skoleoppgavene som alle møter før eller siden. Hvordan gjøre det? Hva er formelen for å faktorisere et kvadratisk trinomium? La oss finne ut av det trinn for trinn ved hjelp av eksempler.

Generell formel

Kvadratiske trinomialer faktoriseres ved å løse en andregradsligning. Dette er et enkelt problem som kan løses ved flere metoder – ved å finne diskriminanten ved hjelp av Vietas teorem finnes det også en grafisk løsning. De to første metodene studeres på videregående.

Den generelle formelen ser slik ut:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algoritme for å fullføre oppgaven

For å faktorisere kvadratiske trinomialer må du kjenne til Vitas teorem, ha et løsningsprogram for hånden, kunne finne en løsning grafisk, eller lete etter røttene til en andregradsligning ved hjelp av diskriminantformelen. Hvis et kvadratisk trinomium er gitt og det må faktoriseres, er algoritmen som følger:

1) Lik det opprinnelige uttrykket til null for å få en ligning.

2) Gi lignende vilkår (om nødvendig).

3) Finn røttene ved å bruke en kjent metode. Grafisk metode Det er bedre å bruke det hvis det er kjent på forhånd at røttene er heltall og små tall. Det må huskes at antall røtter er lik den maksimale graden av ligningen, det vil si at den kvadratiske ligningen har to røtter.

4) Erstatt verdien X til uttrykk (1).

5) Skriv ned faktoriseringen av kvadratiske trinomialer.

Eksempler

Øvelse lar deg endelig forstå hvordan denne oppgaven utføres. Følgende eksempler illustrerer faktoriseringen av et kvadratisk trinomium:

det er nødvendig å utvide uttrykket:

La oss ty til vår algoritme:

1) x 2 -17x+32=0

2) lignende vilkår reduseres

3) ved å bruke Vietas formel er det vanskelig å finne røtter til dette eksemplet, så det er bedre å bruke uttrykket for diskriminanten:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) La oss erstatte røttene vi fant inn i den grunnleggende formelen for dekomponering:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Da vil svaret være slik:

x 2 -17x+32=(x-2,155)(x-14,845)

La oss sjekke om løsningene funnet av diskriminanten samsvarer med Vieta-formlene:

14,845 . 2,155=32

For disse røttene brukes Vietas teorem, de ble funnet riktig, noe som betyr at faktoriseringen vi oppnådde også er korrekt.

La oss utvide 12x 2 + 7x-6 på samme måte.

x 1 = -7+(337) 1/2

x 2 = -7-(337)1/2

I det forrige tilfellet var ikke løsningene heltall, men reelle tall, som er enkle å finne hvis du har en kalkulator foran deg. La oss nå se på mer komplekst eksempel, der røttene vil være komplekse: faktor x 2 + 4x + 9. Ved å bruke Vietas formel kan ikke røttene bli funnet, og diskriminanten er negativ. Røttene vil være på det komplekse planet.

D=-20

Basert på dette får vi røttene som interesserer oss -4+2i*5 1/2 og -4-2i * 5 1/2 siden (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Vi oppnår ønsket dekomponering ved å erstatte røttene i den generelle formelen.

Et annet eksempel: du må faktorisere uttrykket 23x 2 -14x+7.

Vi har ligningen 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Dette betyr at røttene er 14+21.166i og 14-21.166i. Svaret vil være:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21,166i ).

La oss gi et eksempel som kan løses uten hjelp fra en diskriminant.

La oss si at vi må utvide andregradsligningen x 2 -32x+255. Det kan selvsagt også løses ved hjelp av en diskriminant, men i dette tilfellet er det raskere å finne røttene.

x 1 = 15

x 2 = 17

Betyr x 2 -32x+255 =(x-15)(x-17).

I denne leksjonen vil vi lære hvordan du kan faktorisere kvadratiske trinomialer til lineære faktorer. For å gjøre dette, må vi huske Vietas teorem og dets omvendte. Denne ferdigheten vil hjelpe oss raskt og enkelt å utvide kvadratiske trinomialer til lineære faktorer, og vil også forenkle reduksjonen av brøker som består av uttrykk.

Så la oss gå tilbake til den andregradsligningen, hvor .

Det vi har på venstre side kalles et kvadratisk trinomium.

Teoremet er sant: Hvis er røttene til et kvadratisk trinomium, så gjelder identiteten

Hvor er den ledende koeffisienten, er røttene til ligningen.

Så, vi har en kvadratisk ligning - et kvadratisk trinomial, der røttene til kvadratisk ligning også kalles røttene til kvadratisk trinomium. Derfor, hvis vi har røttene til et kvadratisk trinomium, kan dette trinomialet dekomponeres i lineære faktorer.

Bevis:

Beviset for dette faktum utføres ved å bruke Vietas teorem, som vi diskuterte i tidligere leksjoner.

La oss huske hva Vietas teorem forteller oss:

Hvis er røttene til et kvadratisk trinomium som , da .

Følgende utsagn følger av denne teoremet:

Vi ser at i henhold til Vietas teorem, dvs. ved å erstatte disse verdiene i formelen ovenfor, får vi følgende uttrykk

Q.E.D.

Husk at vi beviste teoremet om at hvis er røttene til et kvadratisk trinomium, så er utvidelsen gyldig.

La oss nå huske et eksempel på en kvadratisk ligning, som vi valgte røtter til ved å bruke Vietas teorem. Fra dette faktum kan vi oppnå følgende likhet takket være det beviste teoremet:

La oss nå sjekke riktigheten av dette faktum ved å åpne parentesene:

Vi ser at vi faktoriserte riktig, og ethvert trinomium, hvis det har røtter, kan faktoriseres i henhold til denne teoremet til lineære faktorer i henhold til formelen

La oss imidlertid sjekke om slik faktorisering er mulig for en ligning:

Ta for eksempel ligningen. La oss først sjekke diskriminanttegnet

Og vi husker at for å oppfylle teoremet vi lærte, må D være større enn 0, så i dette tilfellet er faktorisering i henhold til teoremet vi lærte umulig.

Derfor formulerer vi et nytt teorem: hvis et kvadratisk trinomium ikke har røtter, kan det ikke dekomponeres i lineære faktorer.

Så vi har sett på Vietas teorem, muligheten for å dekomponere et kvadratisk trinomium i lineære faktorer, og nå skal vi løse flere problemer.

Oppgave nr. 1

I denne gruppen vil vi faktisk løse problemet omvendt til det som stilles. Vi hadde en ligning, og vi fant røttene ved å faktorisere den. Her vil vi gjøre det motsatte. La oss si at vi har røttene til en andregradsligning

Det omvendte problemet er dette: skriv en andregradsligning ved å bruke røttene.

Det er 2 måter å løse dette problemet på.

Siden er røttene til ligningen, da er en andregradsligning hvis røtter er gitt tall. La oss nå åpne parentesene og sjekke:

Dette var den første måten vi laget en andregradsligning på med gitte røtter, som ikke har noen andre røtter, siden enhver annengradsligning har høyst to røtter.

Denne metoden innebærer bruk av det inverse Vieta-teoremet.

Hvis er røttene til ligningen, tilfredsstiller de betingelsen om at .

For den reduserte andregradsligningen , , dvs. i dette tilfellet, og .

Dermed har vi laget en andregradsligning som har de gitte røttene.

Oppgave nr. 2

Det er nødvendig å redusere fraksjonen.

Vi har et trinomium i telleren og et trinomium i nevneren, og trinomialene kan være faktorisert eller ikke. Hvis både telleren og nevneren er faktorisert, kan det blant dem være like faktorer som kan reduseres.

Først av alt må du faktorisere telleren.

Først må du sjekke om denne ligningen kan faktoriseres, la oss finne diskriminanten. Siden avhenger tegnet av produktet (må være mindre enn 0), i i dette eksemplet, dvs. den gitte ligningen har røtter.

For å løse bruker vi Vietas teorem:

I dette tilfellet, siden vi har å gjøre med røtter, vil det være ganske vanskelig å bare velge røttene. Men vi ser at koeffisientene er balansert, det vil si at hvis vi antar at , og erstatter denne verdien i ligningen, får vi neste system: , dvs. 5-5=0. Dermed har vi valgt en av røttene til denne kvadratiske ligningen.

Vi vil se etter den andre roten ved å erstatte det som allerede er kjent inn i likningssystemet, for eksempel , dvs. .

Dermed har vi funnet begge røttene til den kvadratiske ligningen og kan erstatte verdiene deres i den opprinnelige ligningen for å faktorisere den:

La oss huske det opprinnelige problemet, vi trengte å redusere brøken .

La oss prøve å løse problemet ved å erstatte .

Det er nødvendig å ikke glemme at i dette tilfellet kan nevneren ikke være lik 0, dvs.

Hvis disse betingelsene er oppfylt, har vi redusert den opprinnelige brøken til formen .

Oppgave nr. 3 (oppgave med en parameter)

Ved hvilke verdier av parameteren er summen av røttene til kvadratisk ligning

Hvis røttene til denne ligningen eksisterer, da , spørsmål: når.

Det er gitt 8 eksempler på faktoreringspolynomer. De inkluderer eksempler på løsning av kvadratiske og biquadratiske ligninger, eksempler på gjensidige polynomer og eksempler på å finne heltallsrøtter av tredje- og fjerdegradspolynomer.

1. Eksempler på løsning av en andregradsligning

Eksempel 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Løsning

Vi tar ut x 2 utenfor parentes:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Røttene til ligningen:
, .

Svare

Eksempel 1.2

Faktor tredjegradspolynomet:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Løsning

La oss ta x ut av parentes:
.
Løse den andregradsligningen x 2 + 6 x + 9 = 0:
Dens diskriminerende:.
Siden diskriminanten lik null, da er røttene til ligningen multipler: ;
.

Fra dette får vi faktoriseringen av polynomet:
.

Svare

Eksempel 1.3

Faktor femtegradspolynomet:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Løsning

Vi tar ut x 3 utenfor parentes:
.
Løse den andregradsligningen x 2 - 2 x + 10 = 0.
Dens diskriminerende:.
Siden diskriminanten mindre enn null, så er røttene til ligningen komplekse: ;
, .

Faktoriseringen av polynomet har formen:
.

Hvis vi er interessert i faktorisering med reelle koeffisienter, så:
.

Svare

Eksempler på faktorisering av polynomer ved hjelp av formler

Eksempler med biquadratiske polynomer

Eksempel 2.1

Faktor det biquadratiske polynomet:
x 4 + x 2 - 20.

Løsning

La oss bruke formlene:
en 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
en 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

;
.

Svare

Eksempel 2.2

Faktor polynomet som reduserer til et biquadratisk:
x 8 + x 4 + 1.

Løsning

La oss bruke formlene:
en 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
en 2 - b 2 = (a - b)(a + b):

;

;
.

Svare

Eksempel 2.3 med tilbakevendende polynom

Faktor det resiproke polynomet:
.

Løsning

Et gjensidig polynom har oddetall. Derfor har den roten x = - 1 . Del polynomet med x -(-1) = x + 1
.
.
, ;
;

;
.

Svare

Som et resultat får vi:

La oss gjøre en erstatning:

Eksempler på faktorisering av polynomer med heltallsrøtter
.

Løsning

Eksempel 3.1

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
Faktor polynomet:;
La oss anta at ligningen;
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0.

3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0
x 1 = 1 6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60 2 = 2 6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60 3 = 3 .
Så vi fant tre røtter:
.

Svare

, x

Eksempler på faktorisering av polynomer med heltallsrøtter
.

Løsning

Eksempel 3.1

Siden det opprinnelige polynomet er av tredje grad, har det ikke mer enn tre røtter. Siden vi fant tre røtter, er de enkle. Da 2 Eksempel 3.2
-2, -1, 1, 2 .
har minst én hel rot. Da er det en divisor av tallet
(medlem uten x). Det vil si at hele roten kan være ett av tallene: 6 ;
Vi erstatter disse verdiene én etter én: 0 ;
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 =;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = .
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12 2 Eksempel 3.2
1, 2, -1, -2 .
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 -1 :
.

Hvis vi antar at denne ligningen har en heltallsrot, så er den en divisor av tallet 2 = -1 La oss erstatte x =
.

Så vi har funnet en annen rot x 2 + 2 = 0 . Det ville være mulig, som i forrige tilfelle, å dele polynomet med , men vi vil gruppere begrepene: Siden ligningen x

ikke har
ekte røtter , så har faktoriseringen av polynomet formen. Et kvadrattrinomium er et polynom av formen ax^2+bx+c, der x er en variabel, a, b og c er noen tall, og a er ikke lik null.

Faktisk er det første vi trenger å vite for å faktorisere det skjebnesvangre trinomialet teoremet. Hun ser

La oss ta trinomialet 3x^2-24x+21 som et eksempel. Det første vi må gjøre er å likestille trinomialet til null: 3x^2-24x+21=0. Røttene til den resulterende kvadratiske ligningen vil være røttene til henholdsvis trinomialet.

Trinn 3

La oss løse ligningen 3x^2-24x+21=0. a=3, b=-24, c=21. Så la oss bestemme. Som ikke vet hvordan han skal bestemme andregradsligninger, se på instruksjonene mine med 2 måter å løse dem ved å bruke den samme ligningen som et eksempel. De resulterende røttene er x1=7, x2=1.

Trinn 4

Nå som vi har røttene til trinomialet, kan vi trygt erstatte dem med formelen =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
vi får: 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-1)
Du kan bli kvitt a-leddet ved å sette det i parentes: 3x^2-24x+21=(x-7)(x*3-1*3)
som et resultat får vi: 3x^2-24x+21=(x-7)(3x-3). Merk: hver av de resulterende faktorene ((x-7), (3x-3) er polynomer av første grad. Det er all utvidelsen =) Hvis du tviler på svaret mottatt, kan du alltid sjekke det ved å multiplisere parentesene.

Trinn 5

Sjekker løsningen. 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. Nå vet vi med sikkerhet at avgjørelsen vår er riktig! Jeg håper instruksjonene mine vil hjelpe noen =) Lykke til med studiene!

I vårt tilfelle, i ligningen D > 0 og vi fikk 2 røtter. Hvis det var en D<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
Hvis et kvadratisk trinomium ikke har røtter, kan det ikke faktoriseres, som er polynomer av første grad.