Online kalkulator. Løse en andregradsligning

:
— x^2 = 2x

Løsning.
Den grafiske løsningen av ligninger kommer ned til at du må konstruere funksjonene som står på begge sider av likhetstegnet i ligningen og finne skjæringspunktene deres. Abscissen til disse punktene vil være røttene til den gitte ligningen.
Så vi har ligningen:

Denne ligningen består av to funksjoner som er like med hverandre:

La oss bygge første funksjon. For å gjøre dette, la oss gjøre en liten analyse av det.
Funksjonen er kvadratisk, derfor vil grafen være . Det er et minustegn foran kvadratet x, som betyr at funksjonen er rettet med grener ned. Funksjonen er jevn fordi den er kvadratisk. Funksjonen har ingen koeffisienter eller frie termer, noe som betyr at toppunktet vil være i origo.
La oss finne flere punkter som funksjonen går gjennom. For å gjøre dette, i stedet for variabelen x, erstatter vi verdiene 1, -1, 2 og -2.
, - punkt (-1; -1)
, - punkt (1; -1)
, - punkt (-2; -4)
, - punkt (2; -4)
La oss plotte alle punktene på flyet og tegne en jevn kurve gjennom dem.
La oss bygge andre funksjon. Funksjonen er derfor to punkter er nok til å konstruere den. La oss finne disse punktene som skjæringspunktene for funksjonen med koordinataksene.
Med Ox-aksen: y = 0. Bytt ut verdien på inn i ligningen:

Med Oy-akse: x = 0.

Vi fikk bare ett poeng (0; 0). For å finne den andre erstatter du variabelen x med en vilkårlig verdi, for eksempel 1.

Andre punkt - (1; 2)
La oss plotte disse to punktene på samme koordinatplan og tegne en rett linje gjennom dem.
Nå må vi senke perpendikulære fra skjæringspunktene til funksjonsgrafene til Ox-aksen og få punktene 0 og -2.
Disse verdiene er resultatet grafisk løsning opprinnelige ligningen.

Med dette matematikkprogrammet kan du løse andregradsligningen.

Programmet gir ikke bare svaret på problemet, men viser også løsningsprosessen på to måter:
- ved å bruke en diskriminant
- ved å bruke Vietas teorem (hvis mulig).

Dessuten vises svaret som nøyaktig, ikke omtrentlig.
For eksempel, for ligningen \(81x^2-16x-1=0\) vises svaret i følgende form:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ og ikke slik: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Dette programmet kan være nyttig for elever på videregående skole ungdomsskoler som forberedelse til tester og eksamener, når du tester kunnskap før Unified State Exam, for foreldre å kontrollere løsningen av mange problemer i matematikk og algebra. Eller kanskje det er for dyrt for deg å ansette en veileder eller kjøpe nye lærebøker? Eller vil du bare få det gjort så raskt som mulig? lekser

i matematikk eller algebra? I dette tilfellet kan du også bruke våre programmer med detaljerte løsninger. På denne måten kan du gjennomføre din egen trening og/eller trening. yngre brødre

eller søstre, mens utdanningsnivået i feltet problemer som løses øker.

Hvis du ikke er kjent med reglene for å legge inn et kvadratisk polynom, anbefaler vi at du gjør deg kjent med dem.

Regler for å legge inn et kvadratisk polynom
Enhver latinsk bokstav kan fungere som en variabel.

For eksempel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.
Tall kan legges inn som hele eller brøktall. Dessuten, brøktall

kan angis ikke bare som en desimal, men også som en vanlig brøk.
Regler for inntasting av desimalbrøker.
I desimalbrøker kan brøkdelen skilles fra hele delen med enten punktum eller komma. For eksempel kan du gå inn desimaler

slik: 2,5x - 3,5x^2
Regler for inntasting av vanlige brøker.

Bare et helt tall kan fungere som teller, nevner og heltallsdel av en brøk.

Nevneren kan ikke være negativ. /
Når du legger inn en numerisk brøk, skilles telleren fra nevneren med et divisjonstegn: &
Hele delen er atskilt fra brøken med og-tegnet:
Inngang: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2

Resultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\) Når du legger inn et uttrykk du kan bruke parenteser . I dette tilfellet, når du løser andregradsligning
Det introduserte uttrykket forenkles først.

=0

Eksempel: x^2+2x-1

Avgjøre
Det ble oppdaget at noen skript som er nødvendige for å løse dette problemet, ikke ble lastet, og at programmet kanskje ikke fungerer.
Du kan ha AdBlock aktivert.

I dette tilfellet, deaktiver den og oppdater siden.
JavaScript er deaktivert i nettleseren din.
For at løsningen skal vises, må du aktivere JavaScript.

Her er instruksjoner for hvordan du aktiverer JavaScript i nettleseren din.
Fordi Det er mange mennesker som er villige til å løse problemet, forespørselen din har blitt satt i kø.
Om noen sekunder vil løsningen vises nedenfor. Vennligst vent

sek... Hvis du oppdaget en feil i løsningen
, så kan du skrive om dette i tilbakemeldingsskjemaet. Ikke glem angi hvilken oppgave du bestemmer hva.

skriv inn i feltene

Våre spill, puslespill, emulatorer:

Litt teori.

Kvadratisk ligning og dens røtter. Ufullstendige andregradsligninger
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ser ut som
\(ax^2+bx+c=0, \)
hvor x er en variabel, a, b og c er tall.
I den første ligningen a = -1, b = 6 og c = 1,4, i den andre a = 8, b = -7 og c = 0, i den tredje a = 1, b = 0 og c = 4/9. Slike ligninger kalles andregradsligninger.

Definisjon.
Kvadratisk ligning kalles en ligning av formen ax 2 +bx+c=0, der x er en variabel, a, b og c er noen tall, og \(a \neq 0 \).

Tallene a, b og c er koeffisientene til andregradsligningen. Tallet a kalles den første koeffisienten, tallet b er den andre koeffisienten, og tallet c er frileddet.

I hver av likningene på formen ax 2 +bx+c=0, hvor \(a \neq 0 \), er den største potensen til variabelen x en kvadrat. Derav navnet: andregradsligning.

Merk at en kvadratisk ligning også kalles en ligning av andre grad, siden venstre side er et polynom av andre grad.

En annengradsligning der koeffisienten til x 2 er lik 1 kalles gitt andregradsligning. For eksempel er de gitte kvadratiske ligningene ligningene
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Hvis i en andregradsligning ax 2 +bx+c=0 minst én av koeffisientene b eller c lik null, så kalles en slik ligning ufullstendig andregradsligning. Dermed er ligningene -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ufullstendige andregradsligninger. I den første av dem er b=0, i den andre c=0, i den tredje b=0 og c=0.

Det er tre typer ufullstendige kvadratiske ligninger:
1) ax 2 +c=0, hvor \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, hvor \(b \neq 0 \);
3) øks 2 =0.

La oss vurdere å løse ligninger for hver av disse typene.

For å løse en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 +c=0 for \(c \neq 0 \), flytter du dens friledd til høyre side og deler begge sider av ligningen med a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Høyrepil x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Siden \(c \neq 0 \), deretter \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Hvis \(-\frac(c)(a)>0\), så har ligningen to røtter.

Hvis \(-\frac(c)(a) Å løse en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 +bx=0 med \(b \neq 0 \) faktor dens venstre side og få ligningen
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (matrise)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.

Dette betyr at en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 +bx=0 for \(b \neq 0 \) alltid har to røtter.

En ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 =0 tilsvarer ligningen x 2 =0 og har derfor en enkelt rot 0.

Formel for røttene til en kvadratisk ligning

La oss nå vurdere hvordan vi løser kvadratiske ligninger der både koeffisientene til de ukjente og frileddet ikke er null.

La oss løse den andregradsligningen i generelt syn og som et resultat får vi formelen for røttene. Denne formelen kan deretter brukes til å løse enhver annengradsligning.

La oss løse den andregradsligningen ax 2 +bx+c=0

Ved å dele begge sider med a, får vi den ekvivalente reduserte andregradsligningen
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

La oss transformere denne ligningen ved å velge kvadratet til binomialet:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^2- \venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Høyrepil \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^2 = \venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^ 2 - \frac(c)(a) \Høyrepil \) \(\venstre(x+\frac(b)(2a)\høyre)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Høyrepil \venstre(x+\frac(b)(2a)\høyre)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Høyrepil \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Høyrepil x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Høyrepil \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Det radikale uttrykket kalles diskriminant av en andregradsligning ax 2 +bx+c=0 ("diskriminerende" på latin - diskriminator). Det er betegnet med bokstaven D, dvs.
\(D = b^2-4ac\)

Nå, ved å bruke diskriminantnotasjonen, omskriver vi formelen for røttene til den kvadratiske ligningen:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), hvor \(D= b^2-4ac \)

Det er åpenbart at:
1) Hvis D>0, så har andregradsligningen to røtter.
2) Hvis D=0, så har andregradsligningen én rot \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Hvis D Altså, avhengig av verdien av diskriminanten, kan en andregradsligning ha to røtter (for D > 0), en rot (for D = 0) eller ha ingen røtter (for D Når du løser en andregradsligning ved å bruke denne formel, er det tilrådelig å gjøre følgende:
1) beregne diskriminanten og sammenligne den med null;
2) hvis diskriminanten er positiv eller lik null, bruk rotformelen hvis diskriminanten er negativ, skriv ned at det ikke er noen røtter.

Vietas teorem

Den gitte andregradsligningen ax 2 -7x+10=0 har røttene 2 og 5. Summen av røttene er 7, og produktet er 10. Vi ser at summen av røttene er lik den andre koeffisienten tatt med det motsatte tegn, og produktet av røttene er lik frileddet. Enhver redusert kvadratisk ligning som har røtter har denne egenskapen.

Summen av røttene til den ovennevnte kvadratiske ligningen er lik den andre koeffisienten tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene er lik frileddet.

De. Vietas teorem sier at røttene x 1 og x 2 av den reduserte kvadratiske ligningen x 2 +px+q=0 har egenskapen:
\(\venstre\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Eksempler:

\(3x^2-26x+5=0\)
\((4-x)(4x-3)=3\)
\(\frac(x^2)(2)\) \(+\) \(\frac(2x)(3)\) \(=\)\(\frac(x-2)(6)\)

I det første eksemplet \(a=3\), \(b=-26\), \(c=5\). I de to andre er \(a\),\(b\) og \(c\) ikke uttrykt eksplisitt. Men hvis disse ligningene transformeres til formen \(ax^2+bx+c=0\), vil de definitivt vises.

Koeffisienten \(a\) kalles den første eller ledende koeffisienten, \(b\) er den andre koeffisienten, \(c\) er det frie leddet i ligningen.

Venstre side av ligningen, det vil si \(ax^2+bx+c\), er .

Typer andregradsligninger

Så, standard algoritme for å løse en komplett kvadratisk ligning:

Transformer ligningen til formen \(ax^2+bx+c=0\).

Skriv ned verdiene til koeffisientene \(a\), \(b\) og \(c\).
Ikke hopp over dette stadiet før du har mestret å løse andregradsligninger til et punkt av automatikk! Vær spesielt oppmerksom på at tegnet foran begrepet er tatt inn i koeffisienten. Det vil si at for ligningen \(2x^2-3x+5=0\), er koeffisienten \(b=-3\), og ikke \(3\).

1. Svare : \(x_1=3\), \(x_2=-2,5\).

   
   

   Løs den andregradsligningen \(x^2+9=6x\)
   Løsning :

   
   

   Svare : \(x=3\).

   
   

   Løs den andregradsligningen \(3x^2+x+2=0\)
   Løsning :

   Svare : ingen røtter.

   
   

   Dessuten kan mange andregradsligninger løses ved hjelp av. Det er raskere, men krever litt ferdigheter.

   
   

   Eksempel . Løs ligningen \(x^2-7x+6=0\).
   Løsning : I følge Vietas inverse teorem vil røttene til ligningen være de tallene som i produktet vil gi \(6\), og i summen \(7\). Enkelt utvalg vi finner at disse tallene er \(1\) og \(6\). Dette er røttene våre (du kan sjekke løsningen ved å bruke diskriminanten).
   Svare : \(x_1=1\), \(x_2=6\).

   
   

   Denne teoremet er praktisk å bruke med kvadratiske ligninger som har heltallskoeffisienter \(b\) og \(c\).

På 7. trinns matematikkkurs møter vi for første gang ligninger med to variabler, men de studeres bare i sammenheng med ligningssystemer med to ukjente. Det er grunnen til at en hel rekke problemer der visse forhold er introdusert på koeffisientene til ligningen som begrenser dem faller ut av syne. I tillegg ignoreres metoder for å løse problemer som "Løs en ligning i naturlige eller heltall", selv om Unified State Exam materialer Og i opptaksprøver støter man på problemer av denne typen stadig oftere.

Hvilken ligning vil bli kalt en ligning med to variabler?

Så, for eksempel, ligningene 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, eller xy = 12 er ligninger i to variabler.

Tenk på ligningen 2x – y = 1. Den blir sann når x = 2 og y = 3, så dette paret med variabelverdier er en løsning på den aktuelle ligningen.

Dermed er løsningen på enhver ligning med to variabler et sett med ordnede par (x; y), verdier av variablene som gjør denne ligningen til en sann numerisk likhet.

En ligning med to ukjente kan:

EN) har én løsning. For eksempel har ligningen x 2 + 5y 2 = 0 en unik løsning (0; 0);

b) har flere løsninger. For eksempel har (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 4 løsninger: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) har ingen løsninger. For eksempel har likningen x 2 + y 2 + 1 = 0 ingen løsninger;

G) har uendelig mange løsninger. For eksempel, x + y = 3. Løsningene til denne ligningen vil være tall hvis sum er lik 3. Settet med løsninger til denne ligningen kan skrives på formen (k; 3 – k), der k er en hvilken som helst reelt tall.

Hovedmetodene for å løse likninger med to variabler er metoder basert på faktorisering av uttrykk, isolering av et komplett kvadrat, bruk av egenskapene til en kvadratisk ligning, begrensede uttrykk og estimeringsmetoder. Ligningen blir vanligvis transformert til en form som et system for å finne de ukjente kan hentes fra.

Faktorisering

Eksempel 1.

Løs ligningen: xy – 2 = 2x – y.

Løsning.

Vi grupperer begrepene for faktoriseringsformål:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Fra hver parentes tar vi ut en felles faktor:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Vi har:

y = 2, x – et hvilket som helst reelt tall eller x = -1, y – et hvilket som helst reelt tall.

Slik, svaret er alle par av formen (x; 2), x € R og (-1; y), y € R.

Lik null er det ikke negative tall

Eksempel 2.

Løs ligningen: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Løsning.

Gruppering:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Nå kan hver brakett brettes ved å bruke kvadratisk forskjellsformel.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Summen av to ikke-negative uttrykk er null bare hvis 3x – 2 = 0 og 2y – 3 = 0.

Dette betyr x = 2/3 og y = 3/2.

Svar: (2/3; 3/2).

Estimeringsmetode

Eksempel 3.

Løs ligningen: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Løsning.

I hver parentes velger vi en komplett firkant:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. La oss anslå betydningen av uttrykkene i parentes.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 og (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, så er venstre side av ligningen alltid minst 2. Likhet er mulig hvis:

(x + 1) 2 + 1 = 1 og (y – 2) 2 + 2 = 2, som betyr x = -1, y = 2.

Svar: (-1; 2).

La oss bli kjent med en annen metode for å løse likninger med to variabler av andre grad. Denne metoden består i å behandle ligningen som kvadrat med hensyn til en variabel.

Eksempel 4.

Løs ligningen: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Løsning.

La oss løse ligningen som en andregradsligning for x. La oss finne diskriminanten:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Ligningen vil bare ha en løsning når D = 0, det vil si hvis y = 4. Vi erstatter verdien av y i den opprinnelige ligningen og finner at x = 3.

Svar: (3; 4).

Ofte i ligninger med to ukjente indikerer de restriksjoner på variabler.

Eksempel 5.

Løs ligningen i hele tall: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Løsning.

La oss omskrive likningen på formen x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Høyresiden av den resulterende likningen ved delt på 5 gir en rest av 2. Derfor er ikke x 2 delelig med 5. Men kvadratet av en tall som ikke er delelig med 5 gir en rest av 1 eller 4. Dermed er likhet umulig og det finnes ingen løsninger.

Svar: ingen røtter.

Eksempel 6.

Løs ligningen: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Løsning.

La oss fremheve de komplette rutene i hver parentes:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Venstre side av ligningen er alltid større enn eller lik 3. Likhet er mulig forutsatt |x| – 2 = 0 og y + 3 = 0. Dermed er x = ± 2, y = -3.

Svar: (2; -3) og (-2; -3).

Eksempel 7.

For hvert par negative heltall (x;y) som tilfredsstiller ligningen
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, beregn summen (x + y). Vennligst oppgi det minste beløpet i svaret.

Løsning.

La oss velge komplette firkanter:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Siden x og y er heltall, er kvadratene deres også heltall. Vi får summen av kvadratene av to heltall lik 37 hvis vi legger til 1 + 36. Derfor:

(x – y) 2 = 36 og (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 og (y + 2) 2 = 36.

Ved å løse disse systemene og ta i betraktning at x og y er negative, finner vi løsninger: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Svar: -17.

Fortvil ikke hvis du har problemer med å løse likninger med to ukjente. Med litt øvelse kan du håndtere enhver ligning.

Har du fortsatt spørsmål? Vet du ikke hvordan du løser ligninger i to variabler?
Registrer deg for å få hjelp fra en veileder.
Den første leksjonen er gratis!

nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves en lenke til kilden.

Andregradsligninger studeres i 8. klasse, så det er ikke noe komplisert her. Evnen til å løse dem er helt nødvendig.

En andregradsligning er en ligning av formen ax 2 + bx + c = 0, hvor koeffisientene a, b og c er vilkårlige tall, og a ≠ 0.

Før du studerer spesifikke løsningsmetoder, merk at alle kvadratiske ligninger kan deles inn i tre klasser:

1. Har ingen røtter;
2. Ha nøyaktig én rot;
3. De har to forskjellige røtter.

Dette er en viktig forskjell mellom kvadratiske ligninger og lineære, der roten alltid eksisterer og er unik. Hvordan bestemme hvor mange røtter en ligning har? Det er en fantastisk ting for dette - diskriminerende.

Diskriminerende

La andregradsligningen ax 2 + bx + c = 0 gis Da er diskriminanten ganske enkelt tallet D = b 2 − 4ac.

Du må kunne denne formelen utenat. Hvor det kommer fra er ikke viktig nå. En annen ting er viktig: ved fortegnet til diskriminanten kan du bestemme hvor mange røtter en kvadratisk ligning har. Nemlig:

1. Hvis D< 0, корней нет;
2. Hvis D = 0, er det nøyaktig én rot;
3. Hvis D > 0, vil det være to røtter.

Vær oppmerksom på: diskriminanten indikerer antall røtter, og ikke i det hele tatt deres tegn, som mange av en eller annen grunn tror. Ta en titt på eksemplene og du vil forstå alt selv:

Oppgave. Hvor mange røtter har kvadratiske ligninger:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

La oss skrive ut koeffisientene for den første ligningen og finne diskriminanten:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Så diskriminanten er positiv, så ligningen har to forskjellige røtter. Vi analyserer den andre ligningen på lignende måte:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminanten er negativ, det er ingen røtter. Den siste ligningen som er igjen er:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminanten er null - roten vil være én.

Vær oppmerksom på at koeffisientene er skrevet ned for hver ligning. Ja, det er langt, ja, det er kjedelig, men du vil ikke blande oddsen og gjøre dumme feil. Velg selv: hastighet eller kvalitet.

Forresten, hvis du får taket på det, trenger du etter en stund ikke å skrive ned alle koeffisientene. Du vil utføre slike operasjoner i hodet ditt. De fleste begynner å gjøre dette et sted etter 50-70 løste ligninger - generelt sett ikke så mye.

Røttene til en andregradsligning

La oss nå gå videre til selve løsningen. Hvis diskriminanten D > 0, kan røttene bli funnet ved å bruke formlene:

Grunnformel for røttene til en andregradsligning

Når D = 0, kan du bruke hvilken som helst av disse formlene - du vil få samme tall, som vil være svaret. Til slutt, hvis D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Første ligning:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ligningen har to røtter. La oss finne dem:

Andre ligning:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ ligningen har igjen to røtter. La oss finne dem

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Til slutt den tredje ligningen:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ligningen har én rot. Enhver formel kan brukes. For eksempel den første:

Som du kan se fra eksemplene, er alt veldig enkelt. Hvis du kan formlene og kan telle, vil det ikke være noen problemer. Oftest oppstår feil når du erstatter negative koeffisienter i formelen. Her igjen vil teknikken beskrevet ovenfor hjelpe: se på formelen bokstavelig talt, skriv ned hvert trinn - og veldig snart vil du bli kvitt feil.

Ufullstendige andregradsligninger

Det hender at en andregradsligning er litt forskjellig fra det som er gitt i definisjonen. For eksempel:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Det er lett å legge merke til at disse ligningene mangler ett av begrepene. Slike kvadratiske ligninger er enda enklere å løse enn standardligninger: de krever ikke engang beregning av diskriminanten. Så la oss introdusere et nytt konsept:

Ligningen ax 2 + bx + c = 0 kalles en ufullstendig andregradsligning hvis b = 0 eller c = 0, dvs. koeffisienten til variabelen x eller det frie elementet er lik null.

Selvfølgelig er et veldig vanskelig tilfelle mulig når begge disse koeffisientene er lik null: b = c = 0. I dette tilfellet har ligningen formen ax 2 = 0. En slik ligning har åpenbart en enkelt rot: x = 0.

La oss vurdere de resterende tilfellene. La b = 0, så får vi en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 + c = 0. La oss transformere den litt:

Siden den aritmetiske kvadratroten kun eksisterer av et ikke-negativt tall, gir den siste likheten bare mening for (−c /a) ≥ 0. Konklusjon:

1. Hvis ulikheten (−c /a) ≥ 0 er tilfredsstilt i en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 + c = 0, vil det være to røtter. Formelen er gitt ovenfor;
2. Hvis (−c /a)< 0, корней нет.

Som du kan se, var det ikke nødvendig med en diskriminant - det er ingen komplekse beregninger i det hele tatt i ufullstendige kvadratiske ligninger. Faktisk er det ikke engang nødvendig å huske ulikheten (−c /a) ≥ 0. Det er nok å uttrykke verdien x 2 og se hva som er på den andre siden av likhetstegnet. Hvis det er et positivt tall, vil det være to røtter. Hvis det er negativt, blir det ingen røtter i det hele tatt.

La oss nå se på ligninger av formen ax 2 + bx = 0, der det frie elementet er lik null. Alt er enkelt her: det vil alltid være to røtter. Det er nok å faktorisere polynomet:

Å ta den felles faktoren ut av parentes

Produktet er null når minst én av faktorene er null. Det er her røttene kommer fra. Avslutningsvis, la oss se på noen av disse ligningene:

Oppgave. Løs kvadratiske ligninger:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Det er ingen røtter, fordi et kvadrat kan ikke være lik et negativt tall.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.