Həqiqi ədədlər, rəqəm xəttindəki şəkil. Həqiqi ədədlər, say oxunda təsvir Mütləq qiymətlərin xassələri

Biz artıq bilirik ki, $R$ həqiqi ədədlər çoxluğu rasional və irrasional ədədlərdən əmələ gəlir.

Rasional ədədlər həmişə onluq (sonlu və ya sonsuz dövri) kimi göstərilə bilər.

İrrasional ədədlər sonsuz, lakin təkrar olunmayan ondalıq hissələr kimi yazılır.

$R$ həqiqi ədədlər çoxluğuna $-\infty $ və $+\infty $ elementləri də daxildir, onlar üçün $-\infty bərabərsizlikləri

Həqiqi ədədləri təmsil etməyin yollarını nəzərdən keçirin.

Ümumi fraksiyalar

Adi kəsrlər iki natural ədəd və üfüqi kəsr zolağından istifadə etməklə yazılır. Kəsr zolağı əslində bölmə işarəsini əvəz edir. Xəttin altındakı ədəd məxrəcdir (bölən), xəttin üstündəki ədəd isə paylayıcıdır (bölünən).

Tərif

Kəsirin payı məxrəcindən kiçikdirsə, kəsrə xas deyilir. Əksinə, əgər onun payı məxrəcindən böyük və ya ona bərabərdirsə, kəsr qeyri-düzgün adlanır.

Adi kəsrlər üçün sadə, praktiki olaraq aydın müqayisə qaydaları var ($m$,$n$,$p$ natural ədədlərdir):

1. eyni məxrəcli iki fraksiyadan, payı böyük olanı daha böyükdür, yəni $m>n$ üçün $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $;
2. eyni sayları olan iki kəsrin məxrəci kiçik olanı daha böyükdür, yəni $ m üçün $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $
3. düzgün kəsr həmişə birdən azdır; düzgün olmayan kəsr həmişə birdən böyükdür; payı məxrəcə bərabər olan kəsr birə bərabərdir;
4. Hər hansı düzgün kəsr hər hansı düzgün kəsrdən böyükdür.

Ondalık ədədlər

Onluq ədədin qeydi (onluq kəsr) formaya malikdir: tam hissə, onluq nöqtə, kəsr hissəsi. Adi kəsrin onluq işarəsi, payın "bucağını" məxrəcə bölməklə əldə edilə bilər. Bu, ya sonlu onluq kəsrlə, ya da sonsuz dövri onluq kəsrlə nəticələnə bilər.

Tərif

Kəsr rəqəmlərə onluq yerlər deyilir. Bu halda, onluq nöqtədən sonrakı birinci rəqəm onuncu rəqəmi, ikincisi - yüzlük rəqəmi, üçüncüsü - minlik rəqəmi və s.

Misal 1

3.74 onluq ədədinin qiymətini təyin edirik. Alırıq: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Onluq rəqəm yuvarlaqlaşdırıla bilər. Bu halda, yuvarlaqlaşdırmanın aparıldığı rəqəmi göstərməlisiniz.

Yuvarlaqlaşdırma qaydası belədir:

1. bu rəqəmin sağındakı bütün rəqəmlər sıfırlarla əvəz olunur (əgər bu rəqəmlər onluq nöqtədən əvvəldirsə) və ya atılır (əgər bu rəqəmlər onluq nöqtədən sonradırsa);
2. verilmiş rəqəmdən sonrakı birinci rəqəm 5-dən azdırsa, bu rəqəmin rəqəmi dəyişdirilmir;
3. verilmiş rəqəmdən sonrakı birinci rəqəm 5 və ya daha çox olarsa, bu rəqəmin rəqəmi bir artır.

Misal 2

1. 17302 rəqəmini minliyə yuvarlaqlaşdıraq: 17000.
2. 17378 rəqəmini yüzliyə yuvarlaqlaşdıraq: 17400.
3. 17378,45 rəqəmini onluğa yuvarlaqlaşdıraq: 17380.
4. 378.91434 rəqəmini yüzdə bir yerə yuvarlaqlaşdıraq: 378.91.
5. 378,91534 rəqəmini yüzdə bir yerə yuvarlaqlaşdıraq: 378,92.

Onluq ədədin ümumi kəsrə çevrilməsi.

İş 1

Onluq ədəd sonluq ondalıqdır.

Dönüşüm üsulu aşağıdakı nümunədə göstərilmişdir.

Misal 2

Bizdə: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Ümumi məxrəcə endirin və əldə edin:

Fraksiya azaldıla bilər: $3,74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

İş 2

Onluq ədəd sonsuz təkrarlanan onluq ədəddir.

Çevrilmə metodu ona əsaslanır ki, dövri onluq kəsrin dövri hissəsi sonsuz azalan həndəsi proqresiyanın üzvlərinin cəmi kimi qəbul edilə bilər.

Misal 4

$0,\left(74\right)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. Proqressiyanın birinci üzvü $a=0,74$, proqressiyanın məxrəci $q=0,01$-dır.

Misal 5

$0.5\left(8\right)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . Proqresiyanın birinci üzvü $a=0,08$, proqressiyanın məxrəci $q=0,1$-dır.

Sonsuz azalan həndəsi proqresiyanın şərtlərinin cəmi $s=\frac(a)(1-q) $ düsturu ilə hesablanır, burada $a$ birinci həddir və $q$ $ irəliləməsinin məxrəcidir. \sol (0

Misal 6

$0,\left(72\right)$ sonsuz dövri onluq kəsri adi kəsrə çevirək.

Proqresiyanın birinci üzvü $a=0,72$, proqressiyanın məxrəci $q=0,01$-dır. Alırıq: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.72)(1-0.01) =\frac(0.72)(0.99) =\frac(72)( 99) =\frac(8) )(11)$. Beləliklə, $0,\left(72\right)=\frac(8)(11) $.

Misal 7

$0.5\left(3\right)$ sonsuz dövri onluq kəsri adi birinə çevirək.

Proqresiyanın birinci üzvü $a=0,03$, proqressiyanın məxrəci $q=0,1$-dır. Alırıq: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.03)(1-0.1) =\frac(0.03)(0.9) =\frac(3)( 90) =\frac(1) )(30)$.

Beləliklə, $0,5\left(3\right)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1)(30) ) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.

Həqiqi ədədlər say xəttindəki nöqtələrlə təmsil oluna bilər.

Bu halda biz ədədi oxu mənşəyin ($O$ nöqtəsi), müsbət istiqamətin (oxla göstərilən) və miqyasının (qiymətləri göstərmək üçün) seçildiyi sonsuz xətt adlandırırıq.

Bütün həqiqi ədədlər və ədədi oxun bütün nöqtələri arasında bir-bir uyğunluq var: hər bir nöqtə bir ədədə uyğundur və əksinə, hər bir nömrə bir nöqtəyə uyğundur. Buna görə də, ədəd oxu davamlı və sonsuz olduğu kimi həqiqi ədədlər çoxluğu da davamlı və sonsuzdur.

Həqiqi ədədlər çoxluğunun bəzi alt çoxluqlarına ədədi intervallar deyilir. Ədədi intervalın elementləri müəyyən bərabərsizliyi təmin edən $x\in R$ ədədləridir. Qoy $a\in R$, $b\in R$ və $a\le b$. Bu vəziyyətdə boşluq növləri aşağıdakı kimi ola bilər:

1. $\sol(a,\; b\sağ)$ intervalı. Eyni zamanda $ a
2. $\left$ seqmenti. Üstəlik, $a\le x\le b$.
3. Yarım seqmentlər və ya yarım intervallar $\left$. Eyni zamanda $ a \le x
4. Sonsuz aralıqlar, məsələn, $a

Bir nöqtənin qonşuluğu adlanan bir növ intervalın da böyük əhəmiyyəti var. Verilmiş $x_(0) \in R$ nöqtəsinin qonşuluğu öz daxilində bu nöqtəni ehtiva edən ixtiyari $\left(a,\; b\right)$ intervalıdır, yəni $a 0$ - 10-cu radius.

Ədədin mütləq dəyəri

$x$ həqiqi ədədinin mütləq dəyəri (və ya modulu) $\left|x\right|$ mənfi olmayan həqiqi ədəddir və aşağıdakı düsturla müəyyən edilir: $\left|x\right|=\left\(\ start(massiv)(c) (\; \; x\; \; (\rm on)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm on)\; \; x

Həndəsi olaraq $\left|x\right|$ real oxda $x$ və 0 nöqtələri arasındakı məsafə deməkdir.

Mütləq dəyərlərin xüsusiyyətləri:

1. tərifdən belə çıxır ki, $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
2. cəminin modulu və iki ədədin fərqinin modulu üçün $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\ bərabərsizlikləri. left|xy\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$ və həmçinin $\left|x+y\right|\ge \left|x\right|-\left|y \right|$,$\ left|xy\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$;
3. hasilin modulu və iki ədədin bölünməsinin modulu $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$ və $\left bərabərliklərini təmin edir. |\frac(x)( y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\sağ|) $.

$a>0$ ixtiyari ədədinin mütləq dəyərinin tərifinə əsasən, aşağıdakı bərabərsizlik cütlərinin ekvivalentliyini də müəyyən etmək olar:

1. əgər $ \left|x\right|
2. əgər $\left|x\right|\le a$ onda $-a\le x\le a$;
3. əgər $\left|x\right|>a$ onda ya $xa$;
4. əgər $\left|x\right|\ge a$, onda ya $x\le -a$, ya da $x\ge a$.

Misal 8

$\left|2\cdot x+1\right| bərabərsizliyini həll edin

Bu bərabərsizlik $-7 bərabərsizliklərinə bərabərdir

Buradan alırıq: $ -8

Tərif 1. Rəqəmsal ox Mənşəyi, miqyası və istiqaməti seçilmiş düz xətt adlanır.

Teorem 1. Ədədi oxun nöqtələri ilə həqiqi ədədlər arasında bir-bir uyğunluq (bijection) var.

Ehtiyac. Göstərək ki, ədədi oxun hər bir nöqtəsi həqiqi ədədə uyğundur. Bunu etmək üçün vahid uzunluğundakı miqyaslı bir seqmenti kənara qoyun

dəfə belə nöqtə nöqtənin solunda yatacaq , və nöqtə
artıq sağa. Növbəti seqment
bölün
hissələri və seqmenti kənara qoyun və dəfə belə nöqtə nöqtənin solunda yatacaq , və nöqtə
artıq sağa. Beləliklə, hər mərhələdə nömrə
,
… Bu prosedur müəyyən mərhələdə başa çatarsa, nömrəni alacağıq
(nöqtə koordinatı rəqəm xəttində). Əgər belə deyilsə, onda biz istənilən intervalın sol sərhəddini "nömrə" adlandırırıq dezavantajı ilə" və doğrusu - "nömrə artıq" və ya "rəqəmin yaxınlaşması çatışmazlıq və ya artıqlıq ilə "və nömrənin özü sonsuz qeyri-dövri (niyə?) onluq kəsr olacaq. Göstərilə bilər ki, irrasional ədədin rasional yaxınlaşması ilə bütün əməliyyatlar birmənalı olaraq müəyyən edilir.

Adekvatlıq.İstənilən real ədədin ədəd oxundakı tək nöqtəyə uyğun olduğunu göstərək. 

Tərif 2. Əgər
, sonra ədəd intervalı
çağırdıseqment , əgər
, sonra ədəd intervalı çağırdıinterval , əgər
, sonra ədəd intervalı
çağırdıyarım interval .

HAQQINDA
tərif 3. Əgər seqment
iç içə seqmentlər belə
, Amma
, onda belə bir sistem SHS adlanır (yuvalanmış seqment sistemi ).

Tərif 4. Bunu deyirlər

(seqment uzunluğu
sıfıra meyllidir , bu şərtlə
), əgər.

Tərif 5. SVS, hansı
SSS (müqavilə seqmentləri sistemi) adlanır.

Cantor-Dedekind aksiomu: İstənilən SHS-də bir anda hamısına aid olan ən azı bir nöqtə var.

Sayın rasional yaxınlaşmalarından bəri müqavilə seqmentlər sistemi, sonra rasional ədəd ilə təmsil oluna bilər daralma seqmentləri sistemində bir anda hamısına aid olan bir nöqtə varsa, ədədi oxun vahid nöqtəsinə uyğun olacaq ( Kantor teoremi). Bunu tərsinə göstərək.

. Qoy olsun Və iki belə nöqtə və
,
. T
axi nece
, sonra
. Amma başqa şəkildə
, və bunlar. bəzi nömrələrdən başlayaraq
,
istənilən sabitdən az olacaq. Bu ziddiyyət nəyin tələb olunduğunu sübut edir. ■

Beləliklə, biz göstərdik ki, ədədi oxu davamlıdır ("deşikləri" yoxdur) və onun üzərinə artıq rəqəmlər yerləşdirmək olmaz. Bununla belə, biz hələ də hər hansı bir həqiqi ədəddən (xüsusən də mənfi olanlardan) kök çıxarmağı və tənlikləri necə həll edəcəyimizi bilmirik.
. 5-ci bölmədə biz bu problemi həll edəcəyik.

3. 4. Üzlər nəzəriyyəsi

Tərif 1. Çoxlu
yuxarıdan məhduddur (aşağıdan ) nömrə varsa , belə
. Nömrə çağırdıüst (alt ) kənar .

Tərif 2. Çoxluməhduddur həm yuxarıdan, həm də aşağıdan məhduddursa.

Tərif 3. Dəqiq üst kənar real ədədlərin yuxarı sərhədli çoxluğu
çağırdı :

(onlar. - yuxarı üzlərdən biri);

(onlar. - daşınmaz).

Şərh. Nömrə dəstinin böyük yuxarı həddi (TSB).
işarələnmişdir
(latdan. ali- ən böyüyünün ən kiçiyi).

Şərh. TNG üçün müvafiq tərif ( dəqiq alt kənar) özünüzə verin. TNG nömrəsi təyin edildi
işarələnmişdir
(latdan. infinum- ən kiçiyin ən böyüyü).

Şərh. aid ola bilər
, Və ya bəlkə də yox. Nömrə mənfi həqiqi ədədlər çoxluğunun TNG-si və müsbət həqiqi ədədlər çoxluğunun TNG-sidir, lakin nə birinə, nə də digərinə aid deyil. Nömrə natural ədədlər çoxluğunun TNG-sidir və onlara istinad edir.

Sual yaranır: hər hansı məhdud çoxluğun dəqiq sərhədləri varmı və onların sayı neçədir?

Teorem 1. Yuxarıdan məhdud olan istənilən boş olmayan həqiqi ədədlər dəsti unikal TVG-yə malikdir. (eyni şəkildə TNG üçün teoremi özünüz tərtib edin və sübut edin).

Dizayn.Çoxlu
yuxarıdan məhdudlaşan həqiqi ədədlərin boş olmayan çoxluğu. Sonra
Və
. Seqmenti bölün

P
qütbləri və onu seqment adlandırın
aşağıdakı xüsusiyyətlərə malik olan biri:

bölmə
ən azı bir nöqtəni ehtiva edir
. (məsələn, nöqtə );

bütün dəst
nöqtənin solunda yerləşir , yəni.
.

Bu proseduru davam etdirərək CCC alırıq
. Beləliklə, Kantor teoremi ilə unikal bir nöqtə var , bir anda bütün seqmentlərə aid edilir. Gəlin bunu göstərək
.

Gəlin bunu göstərək
(onlar. kənarlarından biri). Bunun əksini fərz edin
. Çünki
, sonra
tezliklə
,
, yəni.
, yəni.
. Nöqtə seçimi qaydasına görə
, nöqtə həmişə sola , yəni.
, buna görə də, və
. Amma seçilmişdir ki, hamısı
, Amma
, yəni. Və
. Bu ziddiyyət teoremin bu hissəsini sübut edir.

Gəlin hərəkətsizliyi göstərək , yəni.
. Gəlin düzəldək
və bir nömrə tapın. Görə
seqmentləri seçmək üçün 1-ci qayda ilə. Biz bunu indicə göstərmişik
, yəni.
, və ya
. Bu cür
, və ya
. ■

2 BİRİNCİ DƏRƏCƏLİ TƏNLƏR VƏ BƏRABƏRBƏRBƏRBƏRBƏRLƏR
1-ci fəsildən təkrarlama məsələlərini həll etməklə mövzunu öyrənməyə başlayın

§ 4. BƏRABƏRBƏRBARAZLIQLAR

Ədədi bərabərsizliklər və onların xassələri

175. Rəqəmlərin arasına bərabərsizlik işarəsi qoyun Amma Və b məlumdursa:
1) (a - b) müsbət ədəddir;
2) (a - b) - mənfi ədəd;
3) (a - b) mənfi olmayan ədəddir.

176. X, əgər:
1) X> 0; 2) X < 0; 3) 1 < X; 4) X > -3,2?

177. Bərabərsizlik işarələrindən istifadə edərək yazın:
1) X- müsbət rəqəm;
2) saat- mənfi rəqəm;
3) | Amma| - mənfi olmayan rəqəm;
4) iki müsbət ədədin arifmetik ortası Amma Və b onların həndəsi ortasından az olmamalıdır;
5) iki rasional ədədin cəminin mütləq qiyməti Amma Və bşərtlərin mütləq qiymətlərinin cəmindən çox olmamalıdır.

178. Rəqəmlərin əlamətləri haqqında nə demək olar Amma Və b, əgər:

1) a b> 0; 2) a / b > 0; 3) a b< 0; 4) a / b < 0?

179. 1) Aşağıdakı ədədləri bərabərsizlik işarəsi ilə birləşdirərək artan ardıcıllıqla düzün: 0; - beş; 2. Bu girişi necə oxumaq olar?

2) Aşağıdakı ədədləri bərabərsizlik işarəsi ilə birləşdirərək azalan ardıcıllıqla düzün: -10; 0,1;-2/3. Bu girişi necə oxumaq olar?

180. Hər birində 2 ədədi olan bütün üçrəqəmli ədədləri artan qaydada yazın; 0; 5 və onları bərabərsizlik işarəsi ilə birləşdirin.

181. 1) Müəyyən uzunluğu bir dəfə ölçərkən l 217 sm-dən çox, lakin 218 sm-dən az olduğunu müəyyən etdi.Bu ədədləri uzunluq dəyərinin sərhədləri kimi götürərək ölçmənin nəticəsini qeyd edin. l.

2) Bir cismi çəkərkən, onun 19,5 G-dən ağır, lakin 20,0 G-dən yüngül olduğu məlum oldu. Sərhədləri göstərən çəkinin nəticəsini yazın.

182. 0,05 kq dəqiqliklə bir obyekti çəkərkən çəki aldıq
Р ≈ 26,4 kq. Bu maddənin çəkisinin hədlərini təyin edin.

183. Nömrə xəttinin harada rəqəmi təmsil edən nöqtə yerləşir X, əgər:
1) 3 < X < 10; 2) - 2 < X < 7; 3) - 1 > X > - 6?

184. Nömrə oxundakı tam dəyərləri tapın və göstərin X, bərabərsizliklərin ödənilməsi.

1) 0,2 < X <4;
2)-3 < X <2;
3) 1 / 2 < X< 5;
4) -1< X<;3.

185. 141 ilə 152 arasında 9-un qatı neçədir? Rəqəm xəttində bir illüstrasiya göstərin.

186. Hər iki rəqəmin 103-dən böyük və 115-dən kiçik olduğu və birinci rəqəmin 13-ə, ikincinin isə 3-ə qat olduğu məlumdursa, iki ədəddən hansının böyük olduğunu müəyyənləşdirin. Həndəsi təsviri verin.

187. Düzgün kəsrlər arasında ən yaxın tam ədədlər hansılardır? Bütün düzgün olmayan kəsrlərin arasına daxil olduğu iki tam ədədi müəyyən etmək mümkündürmü?

188. Riyaziyyat, fizika və tarixdən 6 kitab aldım. Riyaziyyatdan tarixdən çox, fizikadan isə tarixdən az kitab alınsa, hər fənn üzrə neçə kitab alınmışdı?

189. Cəbr dərsində üç şagirdin biliyi yoxlanılıb. Birincinin ikincidən, ikincinin üçüncüdən çox bal topladığı və hər bir şagirdin aldığı balların sayının ikidən çox olduğu məlumdursa, hər bir şagird hansı qiyməti almışdır?

190. Şahmat turnirində A, B, C və D şahmatçıları ən yaxşı nəticə əldə etdilər.A-nın D-dən çox, B-nin isə az topladığı məlum olarsa, turnirdə iştirak edənlərin hər birinin hansı yeri tutduğunu öyrənmək olarmı? C daha?

191. bərabərsizliyi nəzərə alaraq a > b. Həmişə a c > b c? Nümunələr verin.

192. bərabərsizliyi nəzərə alaraq Amma< b. Bərabərsizlik düzgündürmü? Amma > - b?

193. Bərabərsizliyin işarəsini dəyişmədən onun hər iki hissəsini ifadə ilə çoxaltmaq olarmı? X 2 + 1, harada X- hər hansı rasional rəqəm?

194. Bərabərsizliyin hər iki tərəfini mötərizədə verilmiş əmsala vurun.

1)-3 < 1 (5); 2) 2 < 5 (-1); 3) X > 2 (X);
4) Amma < - 1 (Amma); 5) b < - 3 (-b); 6)X -2 > 1 (X).

195. Bərabərsizliyin bütün formasına gətirin:

196. Funksiya verilmişdir y = kx, harada k saat artan arqumentlə Xəgər: 1) k> 0; 2) k < 0? Обосновать ответы.

197. Funksiya verilmişdir y = kx + b, harada k =/= 0, b=/= 0. Funksiya dəyərləri necə dəyişir saat azalan arqument dəyərləri ilə Xəgər: 1) k > 0; 2) k < 0? Обосновать ответы.

198. Bunu sübut et a > b Və -dan> 0, onda a / c > b / c; əgər a > b Və -dan< 0, то a / c < b / c .

199. Bərabərsizliyin hər iki tərəfini mötərizədə olan ədədlərə bölün:

1) - 6 < 3 (1 / 3); 2) 4 > -1,5 (-1); 3) Amma < - 2Amma 2 (Amma);
4) Amma > Amma 2 (Amma); 5) Amma 3 > Amma 2 (-Amma).

200. Termin bərabərsizliklərinə görə termin əlavə edin:

1) 12 > 11 və 1 > -3;
2) -5 < 2 и 4 < 8,2;
3) Amma - 2 < 8 + b və 5 - 2 Amma < 2 - b;
4) X 2 + 1 > 2X Və X - 3 < 9 - X 2 .

201. Qabarıq dördbucağın hər bir diaqonalının onun yarımperimetrindən kiçik olduğunu sübut edin.

202. Qabarıq dördbucaqlının iki əks tərəfinin cəminin onun diaqonallarının cəmindən kiçik olduğunu sübut edin.

203. Birincidən ikinci bərabərsizliyi termini çıxarın:

1)5 > 2; -3 < 1;
2) 0,2 < 3; 0,3 > -2;
3) 7 < 11; -4 < -3;
4) 2Amma- 1 > 3b; 2b > 3.

204. Bunu sübut et | x |< а , sonra - Amma< х < а .

205. Aşağıdakı bərabərsizlikləri ikiqat bərabərsizliklər kimi yazın:
1) | T |< 1; 2) | X - 2 | < 2.

206. Nömrə oxunda bütün dəyərlər dəstini təyin edin X bərabərsizliklərin ödənilməsi: 1) | X |< 2; 2) | X | < 1; 3) | X | > 3; 4) | X - 1 | < 1.

207. Sübut et ki, əgər - Amma< х < а , sonra | x |< Amma.

208. İkiqat bərabərsizlikləri qısaldılmış işarə ilə əvəz edin:
1) -2 < Amma < 2; 2) -1 < 2P < 1; 3) 1 < x < 3.

209. Təxmini Uzunluq l= 24,08(±0,01) mm. Uzunluq məhdudiyyətlərini təyin edin l.

210. Metrölçən ilə eyni məsafənin beş dəfə ölçülməsi aşağıdakı nəticələr verdi: 21.56; 21.60; 21.59; 21.55; 21,61 (m). Mütləq və nisbi xətaların sərhədlərini göstərən ölçmə nəticələrinin arifmetik ortasını tapın.

211. Yükü çəkərkən P = 16,7 (± 0,4%) kq alındı. R çəkisinin hədlərini tapın.

212. Amma≈ 16,4, nisbi səhv ε = 0,5%. Mütləq Səhv Tapın
Δ a və təxmini ədədin yerləşdiyi sərhədləri təyin edin.

213. Aşağıdakı rəqəmlərin hər birinin təxmini dəyərinin nisbi xətasının həddini müəyyən edin, əgər təxmini qiymət müəyyən edilmiş düzgün rəqəmlərlə götürülürsə: 1) üç düzgün rəqəmlə 11/6; 2) √5 dörd düzgün rəqəmlə.

214. Xəritədə iki şəhər arasındakı məsafəni ölçən zaman onun 24,4 sm-dən çox, lakin 24,8 sm-dən az olduğunu müəyyən etdilər.Şəhərlər arasında faktiki məsafəni və xəritənin miqyası 1: 2500000 olarsa mütləq hesablama xətasını tapın.

215. Hesablamalar aparın və nəticənin mütləq və nisbi səhvlərini təyin edin: x = a + b - c, əgər Amma= 7,22 (±0,01); 3.14< b < 3,17; -dan= 5,4(±0,05).

216. Bərabərsizlikləri terminlə çarpın:

1) 7 > 5 və 3 > 2; 2) 3< 5 и 2 / 3 <2;

3) - 6 < - 2 и - 3 < - 1; 4)Amma> 2 və b < -2.

217. bərabərsizliyi nəzərə alaraq Amma > b. Həmişə Amma 2 > b 2? Nümunələr verin.

218. Əgər a > b > 0 və P natural ədəddir, onda yuxarı > b. Sübut et.

219. Hansı daha böyükdür: (0,3) 20 və ya (0,1) 10?

220. Əgər a > b > 0 və ya b< а < 0 sonra 1 / a < 1 / b. Sübut et.

221. Uzunluğu 437 m və eni 162 m olan düzbucaqlı torpaq sahəsinin sahəsini hesablayın, əgər sahənin uzunluğunu ölçərkən ± 2 m səhv və ölçərkən ± 1 m səhv olarsa. eni.

Ox iki mümkün istiqamətdən birinin müsbət olaraq işarələndiyi düz xəttdir (əks istiqamət mənfi hesab olunur). Müsbət istiqamət adətən ox ilə göstərilir. Rəqəmsal (və ya koordinat) ox başlanğıc nöqtəsinin (və ya başlanğıcının) O və miqyas vahidinin və ya miqyas seqmentinin OE seçildiyi oxdur (şək. 1).

Beləliklə, ədədi ox birbaşa istiqaməti, mənşəyi və miqyasını göstərməklə verilir.

Say xəttindəki nöqtələr həqiqi ədədləri təmsil edir. Tam ədədlər miqyaslı seqmenti müsbət tam olduqda O hərfinin əvvəlindən sağa, mənfi olduqda isə sola lazımi sayda kəsməklə əldə edilən nöqtələrlə təmsil olunur. Sıfır O başlanğıc nöqtəsi ilə təmsil olunur (O hərfinin özü sıfırı xatırladır; o, "başlanğıc" mənasını verən oriqo sözünün ilk hərfidir). Kəsr (rasional) ədədlər də sadəcə olaraq ox nöqtələri ilə təmsil olunur; məsələn, rəqəmə uyğun bir nöqtə qurmaq üçün üç miqyaslı seqment və miqyas seqmentinin üçdə biri O-nun solunda kənara qoyulmalıdır (şəkil 1-də A nöqtəsi). Şəkildəki A nöqtəsinə əlavə olaraq. 1, müvafiq olaraq -2 rəqəmlərini təmsil edən daha çox B, C, D nöqtələrini göstərir; 3/2; 4.

Sonsuz sayda tam ədədlər var, lakin ədədi oxda tam ədədlər "nadir hallarda" yerləşən nöqtələrlə təmsil olunur, oxun tam nöqtələri qonşulardan miqyas vahidi ilə ayrılır. Rasional nöqtələr oxda çox "sıx" yerləşir - oxun istənilən ixtiyari kiçik hissəsində rasional ədədləri təmsil edən sonsuz sayda nöqtələrin olduğunu göstərmək asandır. Bununla belə, say xəttində rasional ədədlərin təsviri olmayan nöqtələr var. Beləliklə, əgər siz real ox üzərində ayaqları olan düzbucaqlı OEC üçbucağının OS hipotenuzasına bərabər OA seqmentini qursanız, onda bu seqmentin uzunluğu (Pifaqor teoreminə, səh. 216) bərabər olacaq və A nöqtəsi olacaqdır. rasional ədədin şəkli olmasın.

Tarixən uzunluqları ədədlə (rasional ədəd!) ifadə edilə bilməyən seqmentlərin mövcudluğu faktı irrasional ədədlərin tətbiqinə səbəb olmuşdur.

Rasional ədədlərlə birlikdə bütün həqiqi ədədlərin çoxluğunu təşkil edən irrasional ədədlərin tətbiqi ona gətirib çıxarır ki, ədəd oxunun hər bir nöqtəsi təsvirinə xidmət etdiyi vahid həqiqi ədədə uyğundur. Əksinə, hər bir real ədəd ədədi oxda dəqiq müəyyən edilmiş nöqtə ilə təmsil olunur. Həqiqi ədədlər və ədədi oxun nöqtələri arasında bir-bir yazışma qurulur.

Biz ədəd oxunu kəsilməz xətt kimi düşündüyümüzdən və onun nöqtələri həqiqi ədədlərlə təkbətək uyğunluqda olduğundan söhbət həqiqi ədədlər çoxluğunun davamlılıq xassəsindən gedir (maddə 6).

Onu da qeyd edirik ki, müəyyən mənada (bunu qeyd etmirik) rasionallardan müqayisə olunmayacaq dərəcədə çox irrasional ədədlər var.

Ədədi oxun verilmiş A nöqtəsi ilə təmsil olunan ədədə bu nöqtənin koordinatı deyilir; a-nın A nöqtəsinin koordinatı olması aşağıdakı kimi yazılır: A (a). Hər hansı bir A nöqtəsinin koordinatı OA seqmentinin OA / OE-nin OE miqyası seqmentinə nisbəti kimi ifadə edilir, O-nun əvvəlindən mənfi istiqamətdə uzanan nöqtələr üçün mənfi işarə verilir.

İndi müstəvidə düzbucaqlı Dekart koordinatlarını təqdim edirik. Ortaq mənşəli O və bərabər miqyaslı seqmentlərə malik olan iki qarşılıqlı perpendikulyar ədədi Ox və Oy oxuları götürək (praktikada müxtəlif miqyaslı vahidləri olan koordinat oxlarından tez-tez istifadə olunur). Tutaq ki, bu oxlar (şəkil 3) müstəvidə dekart düzbucaqlı koordinat sistemini əmələ gətirir. O nöqtəsi koordinatların başlanğıcı adlanır, Ox və Oy oxları koordinat oxlarıdır (Ox oxuna absis oxu deyilir, Oy oxu ordinat oxudur). Əncirdə. 3, həmişəki kimi, absis üfüqi, y oxu şaquli. Koordinat sisteminin verildiyi müstəviyə koordinat müstəvisi deyilir.

Təyyarənin hər bir nöqtəsinə bir cüt ədəd verilir - bu nöqtənin koordinatları verilmiş koordinat sisteminə nisbətən. Məhz, M nöqtəsinin Ox və Oy oxları üzərində düzbucaqlı proyeksiyalarını alırıq, Ox, Oy oxlarında müvafiq nöqtələr Şəkil 1-də göstərilmişdir. 3 vasitəsilə

Nöqtə ədədi oxun nöqtəsi kimi koordinata (absissa) x, nöqtəsi ədədi oxun nöqtəsi kimi koordinata (ordinata) y malikdir. Bu iki ədəd y (göstərilən ardıcıllıqla yazılır) M nöqtəsinin koordinatları adlanır.

Eyni zamanda yazırlar: (x, y).

Beləliklə, təyyarənin hər bir nöqtəsinə sifarişli cüt həqiqi ədədlər (x, y) - bu nöqtənin Kartezian düzbucaqlı koordinatları təyin olunur. "Sifarişli cüt" termini göstərir ki, cütün birinci nömrəsini - absis və ikinci - ordinatı ayırmaq lazımdır. Əksinə, hər bir ədəd cütü (x, y) tək M ​​nöqtəsini təyin edir, bunun üçün x absis, y isə ordinatdır. Təyyarədə düzbucaqlı Dekart koordinat sisteminin qurulması müstəvi nöqtələri ilə sıralı həqiqi ədəd cütləri arasında təkbətək uyğunluq yaradır.

Koordinat oxları koordinat müstəvisini dörd hissəyə, dörd kvadrata bölür. Kvadrantlar Şəkildə göstərildiyi kimi nömrələnir. 3, Roma rəqəmləri ilə.

Nöqtənin koordinatlarının işarələri onun hansı kvadrantda yerləşməsindən asılıdır, aşağıdakı cədvəldə göstərildiyi kimi:

Ox üzərində yerləşən nöqtələrin y ordinatı sıfıra, Oy oxundakı nöqtələrin isə sıfıra bərabər absisə malikdir. O başlanğıcının hər iki koordinatı sıfıra bərabərdir: .

Nümunə 1. Müstəvidə nöqtələr qurun

Həll Şəkildə verilmişdir. 4.

Müəyyən bir nöqtənin koordinatları məlumdursa, Ox, Oy oxlarına və mənşəyə görə onunla simmetrik olan nöqtələrin koordinatlarını göstərmək asandır: Ox oxu ətrafında M ilə simmetrik olan bir nöqtənin koordinatları bir nöqtənin koordinatlarına sahib olacaqdır. koordinat haqqında M ilə simmetrik nöqtə, nəhayət, mənşəyə nisbətən M ilə simmetrik bir nöqtədə koordinatlar (-x, -y) olacaqdır.

Siz həmçinin koordinat bucaqlarının bissektrisasına nisbətən simmetrik olan bir cüt nöqtənin koordinatları arasında əlaqəni təyin edə bilərsiniz (şək. 5); əgər bu M nöqtələrindən birinin x və y koordinatları varsa, onda ikinci absissin y-si birinci nöqtənin ordinatına bərabərdir və ordinat birinci nöqtənin absisidir.

Başqa sözlə, koordinat bucaqlarının bissektrisasına görə M ilə simmetrik olan N nöqtəsinin koordinatları olacaq Bu mövqeyi sübut etmək üçün O AM və OBN düzbucaqlı üçbucaqlarını nəzərdən keçirək. Onlar koordinat bucağının bissektrisasına nisbətən simmetrik olaraq yerləşirlər və buna görə də bərabərdirlər. Onların müvafiq ayaqlarını müqayisə edərək, ifadəmizin düzgünlüyünü yoxlayacağıq.

Dekart düzbucaqlı koordinatları sistemi, oxların istiqamətini və miqyas seqmentinin ölçüsünü dəyişdirmədən mənşəyi O-nu yeni O nöqtəsinə köçürməklə çevrilə bilər. Əncirdə. Şəkil 6 eyni zamanda iki koordinat sistemini göstərir: mənşəyi O olan “köhnə” və mənşəyi O olan “yeni”. İxtiyari M nöqtəsinin indi iki cüt koordinatı var, biri köhnə koordinat sisteminə nisbətən, digəri yenisinə nisbətən. Köhnə sistemdə yeni başlanğıcın koordinatları ilə işarələnirsə, M nöqtəsinin köhnə koordinatları ilə onun yeni koordinatları (x, y) arasındakı əlaqə düsturlarla ifadə edilir.

Bu düsturlar koordinat sisteminin ötürülməsi düsturları adlanır; Şəkildə göstərildikdə. 6-da həm köhnə, həm də yeni sistemlərin birinci kvadrantında yerləşən M nöqtəsinin ən əlverişli mövqeyi seçilir.

Görünür ki, (8.1) düsturları M nöqtəsinin istənilən yeri üçün qüvvədə qalır.

M nöqtəsinin müstəvidəki mövqeyi təkcə onun Dekart düzbucaqlı koordinatları y ilə deyil, həm də başqa üsullarla təyin oluna bilər. Məsələn, M nöqtəsini O başlanğıcı ilə birləşdirək (şək. 7) və aşağıdakı iki rəqəmi nəzərdən keçirək: seqmentin uzunluğu və bu seqmentin oxun müsbət istiqamətinə meyl bucağı; , əgər fırlanma triqonometriyada adət olduğu kimi saat əqrəbinin əksinə, əks halda isə mənfi olur.Seqment M nöqtəsinin qütb radiusu adlanır, bucaq qütb bucağı, ədəd cütü M nöqtəsinin qütb koordinatlarıdır.Gördüyünüz kimi , nöqtənin qütb koordinatlarını təyin etmək üçün yalnız bir Ox koordinat oxunu təyin etməlisiniz (bu halda qütb oxu deyilir). Bununla belə, şəkildə göstərildiyi kimi həm qütb, həm də Kartezian düzbucaqlı koordinatlarını eyni vaxtda nəzərdən keçirmək rahatdır. 7.

Nöqtənin qütb bucağı bir nöqtəni təyin etməklə birmənalı şəkildə müəyyən edilir: əgər nöqtənin qütb bucaqlarından biridirsə, istənilən bucaq

onun qütb bucağı olacaq. Qütb radiusunun və bucağın təyin edilməsi nöqtənin mövqeyini unikal şəkildə müəyyən edir. O mənşəyi (qütb koordinat sisteminin qütbü adlanır) sıfıra bərabər radiusa malikdir, O nöqtəsinə müəyyən qütb bucağı təyin edilmir.

Nöqtənin kartezyen və qütb koordinatları arasında aşağıdakı əlaqələr mövcuddur:

triqonometrik funksiyaların tərifindən birbaşa aşağıdakılar (Sec. 97). Bu əlaqələr verilmiş qütb koordinatlarından Dekart koordinatlarını tapmağı mümkün edir. Aşağıdakı düsturlar:

tərs məsələnin həllinə icazə verin: nöqtənin verilmiş dekart koordinatlarından istifadə edərək onun qütb koordinatlarını tapın.

Bu halda, dəyər (və ya ) ilə siz birinci dairə daxilində bucağın iki mümkün qiymətini tapa bilərsiniz; onlardan biri işarə əmsalı ilə seçilir. Bucağı onun tangensi ilə də müəyyən edə bilərsiniz: , lakin bu halda yerləşdiyi rüb əmsalı və ya işarəsi ilə müəyyən edilir.

Qütb koordinatları ilə verilən nöqtə qütb bucağı və radiusu ilə (Dekart koordinatları hesablanmadan) qurulur.

Nümunə 2. Nöqtələrin Dekart koordinatlarını tapın.