พีระมิดที่ถูกต้องของคุณสมบัติและสูตร สูตรและคุณสมบัติของปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมปกติ

คำนิยาม

พีระมิดเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยม \(A_1A_2...A_n\) และ \(n\) สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกัน \(P\) (ไม่อยู่ในระนาบของรูปหลายเหลี่ยม) และด้านตรงข้ามประชิดกับด้านข้างของ รูปหลายเหลี่ยม
การกำหนด: \(PA_1A_2...A_n\)
ตัวอย่าง: พีระมิดห้าเหลี่ยม \(PA_1A_2A_3A_4A_5\)

สามเหลี่ยม \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) เป็นต้น เรียกว่า ใบหน้าด้านข้างปิรามิด ส่วน \(PA_1, PA_2\) เป็นต้น - ซี่โครงข้าง, รูปหลายเหลี่ยม \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – พื้นฐาน, จุด \(P\) – ประชุมสุดยอด.

ส่วนสูงพีระมิดเป็นฉากตั้งฉากที่หล่นจากด้านบนของปิรามิดไปยังระนาบของฐาน

ปิรามิดที่มีรูปสามเหลี่ยมที่ฐานเรียกว่า จัตุรมุข.

ปิรามิดเรียกว่า ถูกต้องหากฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

\((a)\) ขอบด้านข้างของปิรามิดเท่ากัน

\((b)\) ความสูงของปิรามิดผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบฐานใกล้กับฐาน

\((c)\) ซี่โครงด้านข้างเอียงไปที่ระนาบฐานในมุมเดียวกัน

\((d)\) ใบหน้าด้านข้างเอียงไปที่ระนาบฐานในมุมเดียวกัน

จัตุรมุขปกติเป็นปิรามิดรูปสามเหลี่ยม ทุกหน้ามีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเท่ากัน

ทฤษฎีบท

เงื่อนไข \((a), (b), (c), (d)\) มีค่าเท่ากัน

การพิสูจน์

วาดความสูงของปิรามิด \(PH\) . ให้ \(\alpha\) เป็นระนาบของฐานปิรามิด

1) ให้เราพิสูจน์ว่า \(((a)\) หมายถึง \((b)\) ให้ \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\)

เพราะ \(PH\perp \alpha\) จากนั้น \(PH\) จะตั้งฉากกับเส้นใดๆ ที่อยู่ในระนาบนี้ ดังนั้นสามเหลี่ยมจึงมีมุมฉาก ดังนั้นสามเหลี่ยมเหล่านี้จึงเท่ากันในขาธรรมดา \(PH\) และด้านตรงข้ามมุมฉาก \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) ดังนั้น \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) ซึ่งหมายความว่าจุด \(A_1, A_2, ..., A_n\) อยู่ในระยะเดียวกันจากจุด \(H\) ดังนั้น พวกเขาอยู่ในวงกลมเดียวกันกับรัศมี \(A_1H\) ตามคำจำกัดความ วงกลมนี้ล้อมรอบด้วยรูปหลายเหลี่ยม \(A_1A_2...A_n\)

2) ให้เราพิสูจน์ว่า \(((b)\) หมายถึง \((c)\)

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)สี่เหลี่ยมและเท่ากันในสองขา ดังนั้นมุมของพวกมันจึงเท่ากัน ดังนั้น \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).

3) ให้เราพิสูจน์ว่า \((c)\) หมายถึง \((a)\)

คล้ายกับจุดแรก สามเหลี่ยม \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)สี่เหลี่ยมและตามขาและมุมแหลม ซึ่งหมายความว่าด้านตรงข้ามมุมฉากของพวกมันเท่ากัน นั่นคือ \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\)

4) ให้เราพิสูจน์ว่า \(((b)\) หมายถึง \((d)\)

เพราะ ในรูปหลายเหลี่ยมปกติ จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบและที่จารึกไว้จะตรงกัน (โดยทั่วไป จุดนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมปกติ) จากนั้น \(H\) จะเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ ลองวาดเส้นตั้งฉากจากจุด \(H\) ไปยังด้านข้างของฐาน: \(HK_1, HK_2\) เป็นต้น นี่คือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ (ตามคำจำกัดความ) จากนั้น ตาม TTP (\(PH\) จะตั้งฉากกับระนาบ \(HK_1, HK_2\) ฯลฯ เป็นเส้นโครงตั้งฉากกับด้านข้าง) เฉียง \(PK_1, PK_2\) เป็นต้น ตั้งฉากกับด้านข้าง \(A_1A_2, A_2A_3\) เป็นต้น ตามลำดับ ดังนั้น ตามคำนิยาม \(\มุม PK_1H, \มุม PK_2H\)เท่ากับมุมระหว่างด้านกับฐาน เพราะ สามเหลี่ยม \(PK_1H, PK_2H, ...\) เท่ากัน (เป็นมุมฉากบนสองขา) จากนั้นเป็นมุม \(\มุม PK_1H, \มุม PK_2H, ...\)มีค่าเท่ากัน

5) ให้เราพิสูจน์ว่า \((d)\) หมายถึง \((b)\)

ในทำนองเดียวกันกับจุดที่สี่ สามเหลี่ยม \(PK_1H, PK_2H, ...\) เท่ากัน (เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าตามขาและมุมแหลม) ซึ่งหมายความว่าส่วน \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) มีค่าเท่ากัน ดังนั้น ตามคำจำกัดความ \(H\) เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในฐาน แต่ตั้งแต่ สำหรับรูปหลายเหลี่ยมปกติ จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกและล้อมรอบจะตรงกัน จากนั้น \(H\) จะเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ Chtd.

ผลที่ตามมา

ใบหน้าด้านข้างของพีระมิดปกติเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน

คำนิยาม

ความสูงของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติที่ดึงมาจากด้านบนเรียกว่า เภสัช.
เส้นตั้งฉากของใบหน้าด้านข้างทั้งหมดของปิรามิดปกติมีค่าเท่ากันและเป็นค่ามัธยฐานและส่วนแบ่งครึ่งด้วย

หมายเหตุสำคัญ

1. ความสูงของพีระมิดสามเหลี่ยมปกติตกลงมาที่จุดตัดของความสูง (หรือครึ่งวงกลม หรือค่ามัธยฐาน) ของฐาน (ฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ)

2. ความสูงของปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมปกติตกลงมาถึงจุดตัดของเส้นทแยงมุมของฐาน (ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส)

3. ความสูงของพีระมิดหกเหลี่ยมปกติตกลงมาจนถึงจุดตัดของเส้นทแยงมุมของฐาน (ฐานเป็นรูปหกเหลี่ยมปกติ)

4. ความสูงของปิรามิดตั้งฉากกับเส้นตรงที่วางอยู่บนฐาน

คำนิยาม

ปิรามิดเรียกว่า สี่เหลี่ยมถ้าขอบด้านข้างด้านใดด้านหนึ่งตั้งฉากกับระนาบของฐาน

หมายเหตุสำคัญ

1. สำหรับพีระมิดสี่เหลี่ยม ขอบตั้งฉากกับฐานคือความสูงของปิรามิด นั่นคือ \(SR\) คือความสูง

2. เพราะ \(SR\) ตั้งฉากกับเส้นใด ๆ จากฐาน แล้ว \(\สามเหลี่ยม SRM, \สามเหลี่ยม SRP\)เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

3. สามเหลี่ยม \(\สามเหลี่ยม SRN, \สามเหลี่ยม SRK\)เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้วย
นั่นคือ สามเหลี่ยมใดๆ ที่เกิดขึ้นจากขอบนี้และเส้นทแยงมุมที่ออกมาจากจุดยอดของขอบนี้ ซึ่งอยู่ที่ฐาน จะเป็นมุมฉาก

\[(\Large(\text(ปริมาตรและพื้นที่ผิวของปิรามิด))))\]

ทฤษฎีบท

ปริมาตรของปิรามิดเท่ากับหนึ่งในสามของผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูงของปิรามิด: \

ผลที่ตามมา

ให้ \(a\) เป็นด้านข้างของฐาน \(h\) เป็นความสูงของปิรามิด

1. ปริมาตรของพีระมิดสามเหลี่ยมปกติคือ \(V_(\text(สามเหลี่ยมมุมฉาก pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. ปริมาตรของพีระมิดสี่เหลี่ยมปกติคือ \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. ปริมาตรของพีระมิดหกเหลี่ยมปกติคือ \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. ปริมาตรของจัตุรมุขปกติคือ \(V_(\text(ขวา tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

ทฤษฎีบท

พื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิดปกติเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและเส้นตั้งฉาก

\[(\Large(\text(พีระมิดที่ถูกตัดทอน)))\]

คำนิยาม

พิจารณาพีระมิดตามอำเภอใจ \(PA_1A_2A_3...A_n\) ให้เราวาดระนาบขนานกับฐานของปิรามิดผ่านจุดหนึ่งซึ่งอยู่บนขอบด้านข้างของปิรามิด ระนาบนี้จะแบ่งพีระมิดออกเป็นสองรูปทรงหลายเหลี่ยม อันหนึ่งเป็นพีระมิด (\(PB_1B_2...B_n\) ) และอีกอันเรียกว่า ปิรามิดที่ถูกตัดทอน(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) )

พีระมิดที่ถูกตัดทอนมีสองฐาน - รูปหลายเหลี่ยม \(A_1A_2...A_n\) และ \(B_1B_2...B_n\) ซึ่งคล้ายกัน

ความสูงของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นเส้นตั้งฉากจากจุดหนึ่งของฐานบนถึงระนาบของฐานล่าง

หมายเหตุสำคัญ

1. ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

2. ส่วนที่เชื่อมต่อศูนย์กลางของฐานของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ (นั่นคือ ปิรามิดที่ได้จากส่วนของปิรามิดปกติ) คือความสูง

นี่คือข้อมูลที่รวบรวมพื้นฐานเกี่ยวกับปิรามิดและสูตรและแนวคิดที่เกี่ยวข้อง ทุกคนเรียนพร้อมติวเตอร์วิชาคณิตศาสตร์เพื่อเตรียมสอบ

พิจารณาระนาบ รูปหลายเหลี่ยม นอนอยู่ในนั้นและจุด S ไม่นอนอยู่ในนั้น เชื่อมต่อ S กับจุดยอดทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยม รูปทรงหลายเหลี่ยมที่เกิดขึ้นเรียกว่าปิรามิด ส่วนที่เรียกว่าขอบด้านข้าง รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าฐาน และจุด S เรียกว่ายอดปิรามิด ขึ้นอยู่กับจำนวน n ปิรามิดเรียกว่ารูปสามเหลี่ยม (n=3), สี่เหลี่ยม (n=4), ห้าเหลี่ยม (n=5) เป็นต้น ชื่ออื่นสำหรับปิรามิดสามเหลี่ยม - จัตุรมุข. ความสูงของปิรามิดคือการตั้งฉากจากยอดถึงระนาบฐาน

ปิรามิดเรียกว่าถูกต้องถ้า รูปหลายเหลี่ยมปกติ และฐานความสูงของปิรามิด (ฐานตั้งฉาก) เป็นจุดศูนย์กลาง

ความคิดเห็นของติวเตอร์:
อย่าสับสนแนวคิดของ "ปิรามิดปกติ" และ "จัตุรมุขปกติ" ในปิรามิดปกติ ขอบด้านข้างไม่จำเป็นต้องเท่ากับขอบของฐาน แต่ในจัตุรมุขปกติ ขอบทั้ง 6 ของขอบจะเท่ากัน นี่คือคำจำกัดความของเขา มันง่ายที่จะพิสูจน์ว่าความเท่าเทียมกันบอกเป็นนัยว่าจุดศูนย์กลาง P ของรูปหลายเหลี่ยม ด้วยฐานสูง จัตุรมุขปกติจึงเป็นปิรามิดปกติ

ระยะตั้งฉากคืออะไร?
มุมตั้งฉากของพีระมิดคือความสูงของใบหน้าด้านข้าง ถ้าพีระมิดเป็นพีระมิดปกติ ระยะตั้งฉากของพีระมิดทั้งหมดจะเท่ากัน กลับไม่เป็นความจริง

ครูสอนคณิตศาสตร์เกี่ยวกับคำศัพท์ของเขา: ทำงานกับปิรามิด 80% สร้างขึ้นจากรูปสามเหลี่ยมสองประเภท:
1) มีเส้นตั้งฉาก SK และความสูง SP
2) ประกอบด้วย SA ขอบด้านข้างและการฉายภาพ PA

เพื่อให้การอ้างอิงสามเหลี่ยมเหล่านี้ง่ายขึ้น จะสะดวกกว่าสำหรับผู้สอนคณิตศาสตร์ในการตั้งชื่อรูปแรก เภสัชและวินาที costal. ขออภัย คุณจะไม่พบคำศัพท์นี้ในหนังสือเรียนใดๆ และครูต้องแนะนำเพียงฝ่ายเดียว

สูตรปริมาตรพีระมิด:
1) พื้นที่ฐานพีระมิดอยู่ที่ไหน และความสูงของปิรามิดอยู่ที่ไหน
2) รัศมีของทรงกลมที่จารึกอยู่ที่ไหนและเป็นพื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิด
3) โดยที่ MN คือระยะห่างของขอบตัดสองอันใด ๆ และเป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากจุดกึ่งกลางของขอบทั้งสี่ที่เหลือ

คุณสมบัติฐานความสูงของพีระมิด:

จุด P (ดูรูป) เกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ที่ฐานของปิรามิด หากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:
1) เส้นตั้งฉากเท่ากันทั้งหมด
2) ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเอียงเข้าหาฐานเท่ากัน
3) เส้นตั้งฉากทั้งหมดเอียงเท่ากับความสูงของปิรามิดเท่ากัน
4) ความสูงของปิรามิดเอียงเท่ากันทุกด้าน

ความเห็นติวเตอร์คณิต: โปรดทราบว่าคะแนนทั้งหมดรวมกันเป็นหนึ่งคุณสมบัติ: ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ใบหน้าด้านข้างมีส่วนร่วมทุกที่ (apothems เป็นองค์ประกอบ) ดังนั้นผู้สอนสามารถนำเสนอสูตรที่แม่นยำน้อยกว่า แต่สะดวกกว่าสำหรับการท่องจำ: จุด P เกิดขึ้นพร้อมกับศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ ซึ่งเป็นฐานของปิรามิด หากมีข้อมูลที่เท่ากันเกี่ยวกับใบหน้าด้านข้าง เพื่อพิสูจน์ แค่แสดงว่าสามเหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดเท่ากันก็เพียงพอแล้ว

จุด P เกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบบริเวณฐานของพีระมิด หากเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งเป็นจริง:
1) ขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน
2) ซี่โครงด้านข้างทั้งหมดเอียงเข้าหาฐานเท่ากัน
3) ซี่โครงด้านข้างทั้งหมดมีความลาดเอียงเท่ากัน

หมายเหตุสำคัญ!
1. ถ้าคุณเห็นอักษรย่อแทนสูตร ให้ล้างแคช วิธีทำในเบราว์เซอร์ของคุณเขียนไว้ที่นี่:
2. ก่อนที่คุณจะเริ่มอ่านบทความ ให้ใส่ใจกับตัวนำทางของเราสำหรับแหล่งข้อมูลที่มีประโยชน์ที่สุดสำหรับ

ปิรามิดคืออะไร?

เธอดูเป็นอย่างไร?

คุณเห็น: ที่ปิรามิดด้านล่าง (พวกเขาพูดว่า " ที่ฐาน"") รูปหลายเหลี่ยมบางส่วน และจุดยอดทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมนี้เชื่อมต่อกับบางจุดในอวกาศ (จุดนี้เรียกว่า " จุดยอด»).

โครงสร้างทั้งหมดนี้มี ใบหน้าด้านข้าง, ซี่โครงข้างและ ซี่โครงฐาน. อีกครั้ง ลองวาดปิรามิดพร้อมกับชื่อเหล่านี้ทั้งหมด:

ปิรามิดบางตัวอาจดูแปลกมาก แต่ก็ยังเป็นปิรามิด

ตัวอย่างเช่น ค่อนข้าง "เฉียง" ปิรามิด.

และอีกเล็กน้อยเกี่ยวกับชื่อ: หากมีรูปสามเหลี่ยมที่ฐานของปิรามิดแล้วปิรามิดจะเรียกว่าสามเหลี่ยม

ในขณะเดียวกันจุดที่มันตกลงมา ความสูง, ถูกเรียก ฐานความสูง. โปรดทราบว่าในปิรามิดที่ "คดเคี้ยว" ความสูงอาจจะอยู่นอกพีระมิดก็ได้ แบบนี้:

และไม่มีอะไรน่ากลัวในเรื่องนี้ ดูเหมือนสามเหลี่ยมป้าน

ปิรามิดที่ถูกต้อง

คำยากมากมาย? มาถอดรหัสกัน: " ที่ฐาน - ถูกต้อง"- นี่เป็นที่เข้าใจได้ และตอนนี้ จำไว้ว่ารูปหลายเหลี่ยมปกติมีจุดศูนย์กลาง - จุดที่เป็นจุดศูนย์กลางของ และ และ และ

และคำว่า "ส่วนบนถูกฉายไปที่กึ่งกลางของฐาน" หมายความว่าฐานของความสูงตกลงตรงกลางฐานพอดี ดูเรียบเนียนน่ารัก ปิรามิดที่ถูกต้อง.

หกเหลี่ยม: ที่ฐาน - รูปหกเหลี่ยมปกติ จุดยอดจะถูกฉายเข้าตรงกลางฐาน

รูปสี่เหลี่ยม: ที่ฐาน - สี่เหลี่ยมจัตุรัส ด้านบนถูกฉายไปยังจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้

สามเหลี่ยม: ที่ฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ จุดยอดจะถูกฉายไปยังจุดตัดของความสูง (เป็นค่ามัธยฐานและเส้นแบ่งครึ่งด้วย) ของสามเหลี่ยมนี้

มาก คุณสมบัติที่สำคัญของปิรามิดปกติ:

ในปิรามิดที่ถูกต้อง

• ขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน
• ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วและสามเหลี่ยมทั้งหมดนี้เท่ากัน

ปริมาณพีระมิด

สูตรหลักสำหรับปริมาตรของปิรามิด:

มันมาจากไหนกันแน่? สิ่งนี้ไม่ง่ายนัก และในตอนแรก คุณเพียงแค่ต้องจำไว้ว่าปิรามิดและกรวยมีปริมาตรอยู่ในสูตร แต่ทรงกระบอกไม่มี

ทีนี้มาคำนวณปริมาตรของปิรามิดยอดนิยมกัน

ให้ด้านฐานเท่ากัน และขอบด้านข้างเท่ากัน ต้องหาและ.

นี่คือพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก

เรามาจำวิธีการค้นหาพื้นที่นี้กัน เราใช้สูตรพื้นที่:

เรามี "" - นี่ และ "" - นี่ด้วย เอ๊ะ

ตอนนี้เรามาหากัน

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับ

มันสำคัญอะไร? นี่คือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบเพราะ ปิรามิดถูกต้องและด้วยเหตุนี้ศูนย์

เนื่องจาก - จุดตัดกับค่ามัธยฐานด้วย

(ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับ)

แทนที่ในสูตรสำหรับ

ลองเสียบทุกอย่างลงในสูตรปริมาตร:

ความสนใจ:หากคุณมีจัตุรมุขปกติ (เช่น) สูตรคือ:

ให้ด้านฐานเท่ากัน และขอบด้านข้างเท่ากัน

ไม่จำเป็นต้องค้นหาที่นี่ เพราะที่ฐานเป็นสี่เหลี่ยมจตุรัสและด้วยเหตุนี้

มาหากัน ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับ

เรารู้หรือไม่? เกือบ. ดู:

(เราเห็นสิ่งนี้โดยการตรวจสอบ)

แทนที่ในสูตรสำหรับ:

และตอนนี้เราแทนและลงในสูตรปริมาตร

ให้ด้านฐานเท่ากันและขอบด้านข้าง

จะหาได้อย่างไร? ดูสิ รูปหกเหลี่ยมประกอบด้วยสามเหลี่ยมธรรมดาที่เหมือนกันทุกประการหกรูป เราได้ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติแล้วเมื่อคำนวณปริมาตรของพีระมิดสามเหลี่ยมปกติ ที่นี่เราใช้สูตรที่พบ

ทีนี้มาหา (นี่) กัน

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับ

แต่มันสำคัญอะไร? ง่ายเพราะ (และทุกคนก็เช่นกัน) ถูกต้อง

เราแทนที่:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

พีระมิด. สั้น ๆ เกี่ยวกับ MAIN

พีระมิดเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมแบนใดๆ () จุดที่ไม่อยู่ในระนาบของฐาน (ด้านบนของปิรามิด) และทุกส่วนที่เชื่อมต่อส่วนบนของพีระมิดกับจุดฐาน (ขอบด้านข้าง) ).

ฉากตั้งฉากตกลงมาจากด้านบนของปิรามิดไปยังระนาบของฐาน

ปิรามิดที่ถูกต้อง- ปิรามิดซึ่งมีรูปหลายเหลี่ยมปกติอยู่ที่ฐาน และส่วนบนของปิรามิดถูกฉายเข้าตรงกลางฐาน

คุณสมบัติของปิรามิดปกติ:

• ในปิรามิดทั่วไป ขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน
• ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วและสามเหลี่ยมทั้งหมดนี้เท่ากัน

ปริมาตรของปิรามิด:

เอาล่ะ หัวข้อจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถควบคุมบางสิ่งได้ด้วยตนเอง และถ้าคุณอ่านจนจบ คุณอยู่ใน 5%!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณได้คิดออกทฤษฎีในหัวข้อนี้ และขอย้ำอีกครั้งว่า ... มันสุดยอดมาก! คุณดีกว่าเพื่อนส่วนใหญ่ของคุณอยู่แล้ว

ปัญหาคือแค่นี้ยังไม่เพียงพอ ...

เพื่ออะไร?

สำหรับการผ่านการสอบที่ประสบความสำเร็จสำหรับการเข้าศึกษาในสถาบันด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใดฉันจะพูดสิ่งหนึ่ง ...

ผู้ที่ได้รับการศึกษาที่ดีจะได้รับมากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับการศึกษา นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาดังกล่าว) อาจเป็นเพราะมีโอกาสมากขึ้นต่อหน้าพวกเขาและชีวิตก็สดใสขึ้น? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเอง...

ต้องทำอย่างไรจึงจะเก่งกว่าคนอื่นในการสอบและในที่สุด ... มีความสุขมากขึ้น?

กรอกมือเพื่อแก้ปัญหาในหัวข้อนี้

ในการสอบคุณจะไม่ถูกถามทฤษฎี

คุณจะต้องการ แก้ปัญหาตรงเวลา.

และถ้าคุณยังไม่ได้แก้ปัญหา (จำนวนมาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ ที่ไหนสักแห่งหรือไม่สามารถทำมันได้ทันเวลา

เหมือนอยู่ในกีฬา - คุณต้องทำซ้ำหลายครั้งเพื่อชนะอย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันได้ทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นด้วยการแก้ปัญหาการวิเคราะห์รายละเอียดและตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และเราแนะนำพวกเขาอย่างแน่นอน

เพื่อที่จะได้รับความช่วยเหลือจากงานของเรา คุณต้องช่วยยืดอายุตำราเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

1. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ -
2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมด 99 บทความของบทช่วยสอน - ซื้อตำราเรียน - 499 รูเบิล

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนและเข้าถึงงานทั้งหมดและเปิดอ่านข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดอายุของไซต์

สรุปแล้ว...

ถ้าคุณไม่ชอบงานของเรา หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจ” กับ “ฉันรู้วิธีแก้ปัญหา” เป็นทักษะที่ต่างกันโดยสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

พบปัญหาและแก้ไข!

วิดีโอกวดวิชานี้จะช่วยให้ผู้ใช้ได้รับแนวคิดเกี่ยวกับธีมพีระมิด ปิรามิดที่ถูกต้อง ในบทเรียนนี้ เราจะทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของปิรามิด ให้คำจำกัดความ พิจารณาว่าปิรามิดปกติคืออะไรและมีคุณสมบัติอย่างไร จากนั้นเราก็พิสูจน์ทฤษฎีบทบนพื้นผิวด้านข้างของพีระมิดธรรมดา

ในบทเรียนนี้ เราจะทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของปิรามิด ให้คำจำกัดความ

พิจารณารูปหลายเหลี่ยม A 1 A 2...หนึ่งซึ่งอยู่ในระนาบ α และจุด พีซึ่งไม่อยู่ในระนาบ α (รูปที่ 1) มาเชื่อมจุดกัน พีมียอด A 1, A 2, A 3, … หนึ่ง. รับ นสามเหลี่ยม: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rและอื่นๆ

คำนิยาม. รูปทรงหลายเหลี่ยม ร. 1 เอ 2 ... นซึ่งประกอบด้วย น-gon A 1 A 2...หนึ่งและ นสามเหลี่ยม ร.ร. 1 เอ 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 เรียกว่า น- ปิรามิดถ่านหิน ข้าว. หนึ่ง.

ข้าว. หนึ่ง

พิจารณาพีระมิดสี่เหลี่ยม PABCD(รูปที่ 2).

R- ด้านบนของปิรามิด

เอบีซีดี- ฐานของปิรามิด

RA- ซี่โครงด้านข้าง

AB- ขอบฐาน.

จากจุดหนึ่ง Rวางตั้งฉาก RNบนระนาบพื้นดิน เอบีซีดี. เส้นตั้งฉากคือความสูงของปิรามิด

ข้าว. 2

พื้นผิวทั้งหมดของปิรามิดประกอบด้วยพื้นผิวด้านข้าง นั่นคือ พื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมด และพื้นที่ฐาน:

S เต็ม \u003d S ด้าน + S หลัก

ปิรามิดเรียกว่าถูกต้องหาก:

• ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ
• ส่วนที่เชื่อมต่อส่วนบนของปิรามิดกับศูนย์กลางของฐานคือความสูง

คำอธิบายตัวอย่างปิรามิดสี่เหลี่ยมปกติ

พิจารณาพีระมิดสี่เหลี่ยมปกติ PABCD(รูปที่ 3).

R- ด้านบนของปิรามิด ฐานปิรามิด เอบีซีดี- รูปสี่เหลี่ยมปกติ นั่นคือ สี่เหลี่ยมจตุรัส Dot อู๋จุดตัดของเส้นทแยงมุม เป็นจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัส วิธี, ROคือความสูงของปิรามิด

ข้าว. 3

คำอธิบาย: ทางขวา น-gon ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้และศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบอยู่พอดีกัน จุดศูนย์กลางนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยม บางครั้งพวกเขาบอกว่าด้านบนถูกฉายเข้าตรงกลาง

ความสูงของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติที่ดึงมาจากด้านบนเรียกว่า เภสัชและเขียนว่า ห่า.

1. ขอบด้านข้างของปิรามิดปกติเท่ากันทุกด้าน

2. ใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน

ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติเหล่านี้โดยใช้ตัวอย่างของปิรามิดสี่เหลี่ยมธรรมดา

ที่ให้ไว้: RABSD- ปิรามิดสี่เหลี่ยมปกติ

เอบีซีดี- สี่เหลี่ยม,

ROคือความสูงของปิรามิด

พิสูจน์:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP ดูรูปที่ สี่.

ข้าว. สี่

การพิสูจน์.

ROคือความสูงของปิรามิด นั่นคือตรง ROตั้งฉากกับระนาบ ABCและด้วยเหตุนี้โดยตรง AO, VO, SOและ ทำนอนอยู่ในนั้น ดังนั้น สามเหลี่ยม ROA, ROV, ROS, ROD- สี่เหลี่ยม

พิจารณาสี่เหลี่ยม เอบีซีดี. สืบเนื่องมาจากคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสว่า AO = BO = CO = ทำ.

แล้วสามเหลี่ยมมุมฉาก ROA, ROV, ROS, RODขา RO- ทั่วไปและขา AO, VO, SOและ ทำเท่ากัน ดังนั้นสามเหลี่ยมเหล่านี้จึงเท่ากันในสองขา จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมตามความเท่าเทียมกันของส่วน RA = PB = PC = PDจุดที่ 1 ได้รับการพิสูจน์แล้ว

กลุ่ม ABและ ดวงอาทิตย์เท่ากันเพราะเป็นด้านของจตุรัสเดียวกัน RA = RV = PC. ดังนั้น สามเหลี่ยม AVRและ วีซีอาร์ -หน้าจั่วและเท่ากันทั้งสามด้าน

ในทำนองเดียวกัน เราได้สามเหลี่ยม ABP, BCP, CDP, DAPเป็นหน้าจั่วและเท่ากันซึ่งต้องพิสูจน์ในข้อ 2

พื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิดปกติเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและเส้นตั้งฉาก:

เพื่อเป็นหลักฐาน เราเลือกพีระมิดสามเหลี่ยมธรรมดา

ที่ให้ไว้: RAVSเป็นปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ

AB = BC = เอซี

RO- ความสูง.

พิสูจน์: . ดูรูปที่ 5.

ข้าว. 5

การพิสูจน์.

RAVSเป็นปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ นั่นคือ AB= AC = BC. อนุญาต อู๋- จุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยม ABC, แล้ว ROคือความสูงของปิรามิด ฐานของปิรามิดเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC. สังเกตว่า.

สามเหลี่ยม RAV, RVS, RSA- สามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน (ตามคุณสมบัติ) พีระมิดสามเหลี่ยมมีใบหน้าสามด้าน: RAV, RVS, RSA. ดังนั้น พื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิดคือ:

ด้าน S = 3S RAB

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

รัศมีของวงกลมที่ฐานของพีระมิดทรงสี่เหลี่ยมปกติคือ 3 ม. ความสูงของพีระมิดคือ 4 ม. จงหาพื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิด

ที่ให้ไว้: พีระมิดสี่เหลี่ยมธรรมดา เอบีซีดี,

เอบีซีดี- สี่เหลี่ยม,

r= 3 ม.

RO- ความสูงของปิรามิด

RO= 4 ม.

หา: ด้านเอส ดูรูปที่ 6.

ข้าว. 6

วิธีการแก้.

ตามทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว, .

หาด้านฐานก่อน AB. เรารู้ว่ารัศมีของวงกลมที่จารึกอยู่ในฐานของพีระมิดสี่เหลี่ยมปกติคือ 3 เมตร

จากนั้นม.

หาปริมณฑลของสี่เหลี่ยม เอบีซีดีด้านข้าง 6 ม.:

พิจารณารูปสามเหลี่ยม BCD. อนุญาต เอ็ม- ด้านกลาง กระแสตรง. เพราะ อู๋- กลาง BD, ปริมาณ).

สามเหลี่ยม DPC- หน้าจั่ว เอ็ม- กลาง กระแสตรง. นั่นคือ, RM- ค่ามัธยฐานและด้วยเหตุนี้ความสูงในรูปสามเหลี่ยม DPC. แล้ว RM- จุดตั้งฉากของพีระมิด

ROคือความสูงของปิรามิด แล้วตรง ROตั้งฉากกับระนาบ ABCและด้วยเหตุนี้โดยตรง โอมนอนอยู่ในนั้น หาจุดตั้งฉากกัน RMจากสามเหลี่ยมมุมฉาก รอม.

ตอนนี้เราสามารถหาพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดได้:

ตอบ: 60 ตร.ม.

รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบด้วยฐานของพีระมิดสามเหลี่ยมปกติคือ ม. พื้นที่ผิวด้านข้างคือ 18 ม. 2 หาความยาวของเส้นตั้งฉาก.

ที่ให้ไว้: ABCP- ปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ

AB = BC = SA,

R= ม.

ด้าน S = 18 ม. 2

หา: . ดูรูปที่ 7.

ข้าว. 7

วิธีการแก้.

ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ABCโดยกำหนดรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ มาหาข้างกัน ABสามเหลี่ยมนี้โดยใช้ทฤษฎีบทไซน์

เมื่อรู้ด้านของสามเหลี่ยมปกติ (m) เราจะหาปริมณฑล

ตามทฤษฎีบทบนพื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิดปกติโดยที่ ห่า- จุดตั้งฉากของพีระมิด แล้ว:

ตอบ: 4 ม.

ดังนั้นเราจึงตรวจสอบว่าปิรามิดคืออะไร ปิรามิดปกติคืออะไร เราพิสูจน์ทฤษฎีบทบนพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดปกติ ในบทต่อไป เราจะทำความคุ้นเคยกับปิรามิดที่ถูกตัดทอน

บรรณานุกรม

1. เรขาคณิต. เกรด 10-11: ตำราเรียนสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษา (ระดับพื้นฐานและโปรไฟล์) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov - ครั้งที่ 5 รายได้ และเพิ่มเติม - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
2. เรขาคณิต. เกรด 10-11: ตำราเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
3. เรขาคณิต. เกรด 10: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไปที่มีการศึกษาเชิงลึกและรายละเอียดของคณิตศาสตร์ / E. V. Potoskuev, L. I. ซวาลิช - ฉบับที่ 6 แบบแผน - ม.: ไอ้เหี้ย, 008. - 233 น.: ป่วย.

1. พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต "Yaklass" ()
2. พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต "เทศกาลแนวคิดการสอน" ต้นเดือนกันยายน " ()
3. พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต "Slideshare.net" ()

การบ้าน

1. รูปหลายเหลี่ยมปกติสามารถเป็นฐานของปิรามิดที่ไม่สม่ำเสมอได้หรือไม่?
2. พิสูจน์ว่าขอบที่ไม่ตัดกันของปิรามิดปกติตั้งฉาก
3. จงหาค่าของมุมไดฮีดรัลที่ด้านข้างของฐานของพีระมิดทรงสี่เหลี่ยมปกติ ถ้ามุมตั้งฉากของพีระมิดเท่ากับด้านข้างของฐาน
4. RAVSเป็นปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ สร้างมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลที่ฐานของพีระมิด

• เส้นตั้งฉาก- ความสูงของใบหน้าด้านข้างของพีระมิดปกติซึ่งดึงจากด้านบน (นอกจากนี้ apothem คือความยาวของแนวตั้งฉากซึ่งลดลงจากกึ่งกลางของรูปหลายเหลี่ยมปกติเหลือ 1 ด้าน)
• ใบหน้าด้านข้าง (ASB, BSC, CSD, DSA) - สามเหลี่ยมที่มาบรรจบกันที่ด้านบน
• ซี่โครงข้าง ( เช่น , BS , CS , ดี.เอส. ) - ด้านทั่วไปของใบหน้าด้านข้าง
• ด้านบนของปิรามิด (v. ส) - จุดที่เชื่อมขอบด้านข้างและไม่อยู่ในระนาบของฐาน
• ความสูง ( ดังนั้น ) - ส่วนของเส้นตั้งฉากซึ่งลากผ่านด้านบนของปิรามิดไปยังระนาบของฐาน (ปลายของส่วนดังกล่าวจะเป็นส่วนบนของปิรามิดและฐานของแนวตั้งฉาก)
• ส่วนทแยงมุมของปิรามิด- ส่วนของปิรามิดซึ่งผ่านด้านบนและแนวทแยงของฐาน
• ฐาน (เอบีซีดี) เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ส่วนบนของปิรามิดไม่ได้อยู่

คุณสมบัติของปิรามิด

1. เมื่อขอบด้านข้างทั้งหมดมีขนาดเท่ากัน ให้ทำดังนี้

• ง่ายต่อการอธิบายวงกลมใกล้กับฐานของปิรามิด ในขณะที่ยอดของปิรามิดจะถูกฉายเข้าสู่ศูนย์กลางของวงกลมนี้
• ซี่โครงด้านข้างทำมุมเท่ากันกับระนาบฐาน
• นอกจากนี้ การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน นั่นคือ เมื่อขอบด้านข้างสร้างมุมเท่ากันกับระนาบฐาน หรือเมื่อวงกลมสามารถอธิบายได้ใกล้ฐานของปิรามิดและยอดของปิรามิดจะถูกฉายเข้าสู่ศูนย์กลางของวงกลมนี้ แล้วขอบด้านข้างของปิรามิดทั้งหมดจะมี ขนาดเดียวกัน

2. เมื่อผิวหน้าด้านข้างมีมุมเอียงกับระนาบของฐานที่มีค่าเท่ากัน ให้ทำดังนี้

• ใกล้ฐานของปิรามิด มันง่ายที่จะอธิบายวงกลมในขณะที่ยอดของปิรามิดจะถูกฉายเข้าไปในศูนย์กลางของวงกลมนี้
• ความสูงของใบหน้าด้านข้างมีความยาวเท่ากัน
• พื้นที่ผิวด้านข้างเท่ากับ ½ ผลคูณของเส้นรอบวงฐานและความสูงของหน้าด้านข้าง

3. ทรงกลมสามารถอธิบายได้ใกล้กับปิรามิด ถ้าฐานของปิรามิดเป็นรูปหลายเหลี่ยมรอบๆ ซึ่งสามารถอธิบายวงกลมได้ (เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ) จุดศูนย์กลางของทรงกลมจะเป็นจุดตัดของระนาบที่ผ่านจุดกึ่งกลางของขอบพีระมิดที่ตั้งฉากกับพวกมัน จากทฤษฎีบทนี้ เราสรุปได้ว่าทรงกลมสามารถอธิบายได้ทั้งรอบรูปสามเหลี่ยมและรอบพีระมิดทั่วไป

4. ทรงกลมสามารถจารึกไว้ในพีระมิดได้หากระนาบแบ่งครึ่งของมุมไดฮีดรัลภายในของพีระมิดตัดกันที่จุดที่ 1 (เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ) จุดนี้จะกลายเป็นศูนย์กลางของทรงกลม

ปิรามิดที่ง่ายที่สุด

ตามจำนวนมุมของฐานปิรามิด พวกเขาจะแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และอื่นๆ

ปิรามิดจะ สามเหลี่ยม, รูปสี่เหลี่ยมเป็นต้น เมื่อฐานของพีระมิดเป็นรูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม เป็นต้น ปิรามิดรูปสามเหลี่ยมคือจัตุรมุข - จัตุรมุข สี่เหลี่ยม - ห้าเหลี่ยมและอื่น ๆ