Vilkårlig sirkel. Hva er en sirkel og en sirkel, hva er deres forskjeller og eksempler på disse figurene fra livet

Til generell disposisjon For å forestille deg hva en sirkel er, se på en ring eller bøyle. Du kan også ta et rundt glass og en kopp, legge det opp ned på et stykke papir og tegne det med en blyant. Med gjentatt forstørrelse vil den resulterende linjen bli tykk og ikke helt jevn, og kantene vil bli uskarpe. En sirkel som en geometrisk figur har ikke en slik egenskap som tykkelse.

Sirkel: definisjon og grunnleggende beskrivelsesmåter

En sirkel er en lukket kurve som består av mange punkter plassert i samme plan og like langt fra sentrum av sirkelen. I dette tilfellet er senteret i samme plan. Som regel er det merket med bokstaven O.

Avstanden fra et hvilket som helst punkt på sirkelen til sentrum kalles radius og er betegnet med bokstaven R.

Hvis du kobler sammen to punkter på en sirkel, vil det resulterende segmentet bli kalt en akkord. Korden som går gjennom sentrum av sirkelen er diameteren, betegnet med bokstaven D. Diameteren deler sirkelen i to like buer og er dobbelt så lang som radiusen. Dermed er D = 2R, eller R = D/2.

Egenskaper til akkorder

1. Hvis en akkord trekkes gjennom to punkter i sirkelen, og deretter en radius eller diameter trekkes vinkelrett på sistnevnte, vil dette segmentet dele både akkorden og buen avskåret av den i to like deler. Det omvendte utsagnet er også sant: hvis radiusen (diameteren) deler akkorden i to, så er den vinkelrett på den.
2. Hvis to parallelle akkorder tegnes innenfor samme sirkel, vil buene avskåret av dem, så vel som de som er innelukket mellom dem, være like.
3. La oss tegne to akkorder PR og QS som skjærer i sirkelen ved punkt T. Produktet av segmenter av en akkord vil alltid være lik produktet av segmenter av en annen akkord, det vil si PT x TR = QT x TS.

Omkrets: generelt konsept og grunnleggende formler

En av grunnleggende egenskaper av en gitt geometrisk figur er omkretsen. Formelen er utledet ved bruk av størrelser som radius, diameter og konstanten "π", som gjenspeiler konstanten til forholdet mellom omkretsen og diameteren.

Dermed er L = πD, eller L = 2πR, der L er omkretsen, D er diameteren, R er radien.

Formelen for omkrets kan betraktes som den første når man finner radius eller diameter for en gitt omkrets: D = L/π, R = L/2π.

Hva er en sirkel: grunnleggende postulater

• har ingen felles poeng;
• har ett felles punkt, og den rette linjen kalles en tangent: hvis du tegner en radius gjennom midten og tangenspunktet, vil den være vinkelrett på tangenten;
• har to felles punkter, og linjen kalles en sekant.

2. Gjennom tre vilkårlige punkter som ligger i samme plan, kan ikke mer enn én sirkel tegnes.

3. To sirkler kan bare berøre ett punkt, som er plassert på segmentet som forbinder sentrene til disse sirklene.

4. For eventuelle rotasjoner i forhold til sentrum, blir sirkelen til seg selv.

5. Hva er en sirkel når det gjelder symmetri?

• samme krumning av linjen på et hvilket som helst punkt;
• i forhold til punkt O;
• speilsymmetri i forhold til diameter.

6. Hvis du konstruerer to vilkårlige innskrevne vinkler basert på samme sirkelbue, vil de være like. En vinkel basert på en bue lik halvparten, det vil si avskåret av en kordediameter, er alltid lik 90°.

7. Hvis du sammenligner lukkede buede linjer av samme lengde, viser det seg at sirkelen avgrenser snittet av planet med størst areal.

Sirkel innskrevet i og omskrevet av en trekant

Ideen om hva en sirkel er vil være ufullstendig uten en beskrivelse av funksjonene i forholdet til trekanter.

1. Når du konstruerer en sirkel innskrevet i en trekant, vil dens sentrum alltid falle sammen med skjæringspunktet til trekanten.
2. Sentrum av en sirkel omskrevet rundt en trekant er plassert i skjæringspunktet mellom medianperpendikulærene til hver av sidene i trekanten.
3. Hvis vi beskriver en sirkel, vil sentrum være i midten av hypotenusen, det vil si at sistnevnte vil være diameteren.
4. Sentrum av de innskrevne og omskrevne sirklene vil være på samme punkt dersom grunnlaget for konstruksjonen er

Grunnleggende utsagn om sirkler og firkanter

1. En sirkel kan beskrives rundt en konveks firkant bare hvis summen av det motsatte indre hjørner tilsvarer 180°.
2. Det er mulig å konstruere en sirkel innskrevet i en konveks firkant hvis summen av lengdene av dens motsatte sider er den samme.
3. Du kan beskrive en sirkel rundt et parallellogram hvis vinklene er rette.
4. En sirkel kan skrives inn i et parallellogram hvis alle sidene er like, det vil si at den er en rombe.
5. Du kan konstruere en sirkel gjennom hjørnene på en trapes bare hvis den er likebenet. I dette tilfellet vil sentrum av den omskrevne sirkelen være plassert i skjæringspunktet mellom firkanten og medianen vinkelrett trukket til siden.

For de fleste voksne er skoletid forbundet med en bekymringsløs barndom. Mange kvier seg selvsagt for å gå på skolen, men bare der kan de få grunnleggende kunnskaper som senere vil være nyttige for dem i livet. En av disse er spørsmålet om hvorvidt og sirkelen. Det er ganske lett å forveksle disse begrepene, fordi ordene har samme rot. Men forskjellen mellom dem er ikke så stor som den kan virke for et uerfarent barn. Barn elsker dette emnet på grunn av dets enkelhet.

Hva er en sirkel?

En sirkel er en lukket linje, hvor hvert punkt er like langt fra det sentrale. De fleste et lysende eksempel Sirkelen er en bøyle, som er en lukket kropp. Egentlig er det ikke nødvendig å snakke mye om sirkelen. I spørsmålet om hva en sirkel og en sirkel er, er den andre delen mye mer interessant.

Hva er en sirkel?

Tenk deg at du bestemte deg for å fargelegge sirkelen tegnet over. For å gjøre dette kan du velge hvilken som helst farger: blå, gul eller grønn - hva som passer din smak. Og så begynte du å fylle tomrommet med noe. Når dette var fullført, endte vi opp med en form kalt en sirkel. I hovedsak er en sirkel en del av en overflate skissert av en sirkel.

Sirkelen har flere viktige parametere, hvorav noen også er karakteristiske for en sirkel. Den første er radiusen. Det er avstanden mellom sentralpunktet i en sirkel (eller sirkel) og selve sirkelen, som skaper sirkelens grenser. Sekund viktig egenskap, som gjentatte ganger brukes i skoleoppgaver, er diameteren (det vil si avstanden mellom motsatte punkter i sirkelen).

Og til slutt, den tredje egenskapen som er iboende i en sirkel er arealet. Denne egenskapen er kun spesifikk for den; en sirkel har ikke noe område på grunn av det faktum at den ikke har noe inne, og sentrum, i motsetning til en sirkel, er mer imaginært enn ekte. I selve sirkelen kan du etablere et tydelig senter der du kan tegne en rekke linjer som deler den inn i sektorer.

Eksempler på en sirkel i det virkelige liv

Faktisk er det nok mulige objekter som kan kalles en type sirkel. For eksempel, hvis du ser direkte på et bilhjul, så er her et eksempel på en ferdig sirkel. Ja, det trenger ikke å være fylt i en enkelt farge. Det andre eksemplet på en sirkel er solen. Selvfølgelig vil det være vanskelig å se på det, men det ser ut som en liten sirkel på himmelen.

Ja, selve solstjernen er ikke en sirkel, den har også volum. Men selve solen, som vi ser over hodet om sommeren, er en typisk sirkel. Riktignok vil han fortsatt ikke være i stand til å beregne arealet. Tross alt er sammenligningen med en sirkel gitt bare for klarhet, for å gjøre det lettere å forstå hva en sirkel og en sirkel er.

Forskjeller mellom en sirkel og en sirkel

Så hvilken konklusjon kan vi trekke? Forskjellen mellom en sirkel og en sirkel er at sistnevnte har et areal, og i de fleste tilfeller er sirkelen grensen til sirkelen. Selv om det er unntak ved første øyekast. Det kan noen ganger virke som det ikke er noen sirkel i en sirkel, men det er ikke slik. I alle fall er det noe. Det er bare det at sirkelen kan være veldig liten, og da er den ikke synlig for det blotte øye.

Sirkelen kan også være det som gjør at sirkelen skiller seg ut fra bakgrunnen. For eksempel, i bildet ovenfor, er den blå sirkelen på en hvit bakgrunn. Men linjen som vi forstår at figuren begynner med, kalles i dette tilfellet en sirkel. Dermed er omkretsen en sirkel. Dette er forskjellen mellom en sirkel og en sirkel.

Hva er en sektor?

En sektor er en del av en sirkel som er dannet av to radier trukket langs den. For å forstå denne definisjonen trenger du bare å tenke på pizza. Når den er kuttet i like biter, er alle sektorer av sirkelen, som er representert i form av denne deilig rett. I dette tilfellet trenger ikke sektorene nødvendigvis å være like. Det kan de være forskjellige størrelser. Hvis du for eksempel kutter halvparten av en pizza, vil den også være en del av denne sirkelen.

Objektet representert av dette konseptet kan bare ha en sirkel. Dette kan også gjøres, selvfølgelig, men etter det vil det bli en sirkel) har ikke noe område, så det vil ikke være mulig å velge en sektor.

Konklusjoner

Ja, temaet sirkel og omkrets (hva er det) er veldig lett å forstå. Men generelt er alt relatert til disse det vanskeligste å studere. En student må være forberedt på at en sirkel er en lunefull figur. Men, som de sier, det er vanskelig å lære, men det er lett å kjempe. Ja, geometri er en kompleks vitenskap. Men dens vellykkede mestring lar deg ta et lite skritt mot suksess. Fordi innsats i læring lar deg ikke bare fylle på din egen kunnskap, men også tilegne deg ferdighetene som er nødvendige i livet. Egentlig er det dette skolen sikter mot. Og svaret på spørsmålet om hva en sirkel og en sirkel er er sekundært, selv om det er viktig.

Demomateriale: kompass, materiale for eksperiment: objekter rund form og strenger (for hver elev) og linjaler; sirkelmodell, fargestifter.

Mål: Studerer konseptet "sirkel" og dets elementer, etablerer forbindelser mellom dem; introduksjon av nye vilkår; utvikle evnen til å gjøre observasjoner og trekke konklusjoner ved hjelp av eksperimentelle data; pleie kognitiv interesse for matematikk.

Leksjonsfremgang

I. Organisatorisk øyeblikk

Hilsen. Sette et mål.

II. Muntlig telling

III. Nytt materiale

Blant alle slags flate figurer skiller to hoved seg ut: trekanten og sirkelen. Disse tallene har vært kjent for deg siden tidlig barndom. Hvordan definere en trekant? Gjennom segmenter! Hvordan kan vi finne ut hva en sirkel er? Tross alt, denne linjen bøyer seg på hvert punkt! Den berømte matematikeren Grathendieck, minner om sin skoleår, la merke til at han ble interessert i matematikk etter å ha lært definisjonen av en sirkel.

La oss tegne en sirkel ved hjelp av en geometrisk enhet - kompass. Konstruere en sirkel med et demonstrasjonskompass på tavlen:

1. marker et punkt på flyet;
2. Vi justerer benet på kompasset med spissen med det merkede punktet, og roterer benet med pennen rundt dette punktet.

Resultatet er en geometrisk figur - sirkel.

(lysbilde nr. 1)

Så hva er en sirkel?

Definisjon. Omkrets - er en lukket buet linje, som alle punkter er i lik avstand fra et gitt punkt på planet, kalt senter sirkler.

(lysbilde nr. 2)

Hvor mange deler deler et fly en sirkel i?

Punkt O- senter sirkler.

ELLER - radius sirkel (dette er et segment som forbinder sentrum av sirkelen med et hvilket som helst punkt på den). På latin radius- hjuleiker.

AB – akkord sirkel (dette er et segment som forbinder to punkter på en sirkel).

DC – diameter sirkel (dette er en akkord som går gjennom midten av sirkelen). Diameter kommer fra det greske "diameter".

DR– bue sirkel (dette er en del av en sirkel avgrenset av to punkter).

Hvor mange radier og diametre kan tegnes i en sirkel?

Den delen av planet innenfor sirkelen og selve sirkelen danner en sirkel.

Definisjon. Sirkel - Dette er den delen av planet som er avgrenset av en sirkel. Avstanden fra et hvilket som helst punkt på sirkelen til sentrum av sirkelen overskrider ikke avstanden fra sentrum av sirkelen til noe punkt på sirkelen.

Hvordan skiller en sirkel og en sirkel seg fra hverandre, og hva har de til felles?

Hvordan er lengdene på radiusen (r) og diameteren (d) til en sirkel relatert til hverandre?

d = 2 * r (d- diameter lengde; r – radius lengde)

Hvordan er lengdene til en diameter og en eventuell korde relatert?

Diameteren er den største av akkordene i en sirkel!

Sirkelen er en utrolig harmonisk figur de gamle grekerne anså den som den mest perfekte, siden sirkelen er den eneste kurven som kan "gli av seg selv" og rotere rundt midten. Hovedegenskapen til en sirkel svarer på spørsmålene hvorfor kompass brukes til å tegne den og hvorfor hjul er laget runde, og ikke firkantede eller trekantede. Forresten, om hjulet. Dette er en av menneskehetens største oppfinnelser. Det viser seg at å komme opp med hjulet ikke var så lett som det kan virke. Tross alt, selv aztekerne, som bodde i Mexico, kjente ikke hjulet før nesten på 1500-tallet.

Sirkelen kan tegnes på rutete papir uten kompass, det vil si for hånd. Riktignok viser sirkelen seg å være en viss størrelse. (Lærer viser på det rutete brettet)

Regelen for å skildre en slik sirkel er skrevet som 3-1, 1-1, 1-3.

Tegn en fjerdedel av en slik sirkel for hånd.

Hvor mange celler er radiusen til denne sirkelen? De sier at den store tyske kunstneren Albrecht Dürer kunne tegne en sirkel så nøyaktig med én bevegelse av hånden (uten regler) at en etterfølgende kontroll med et kompass (senteret ble angitt av kunstneren) ikke viste noen avvik.

Laboratoriearbeid

Du vet allerede hvordan du måler lengden på et segment, finn omkretsen til polygoner (trekant, firkant, rektangel). Hvordan måle lengden på en sirkel hvis selve sirkelen er en buet linje, og måleenheten for lengde er et segment?

Det er flere måter å måle omkrets på.

Sporet fra sirkelen (én omdreining) på en rett linje.

Læreren tegner en rett linje på tavlen, markerer et punkt på den og på grensen til sirkelmodellen. Kombinerer dem, og ruller deretter sirkelen jevnt i en rett linje til det merkede punktet EN på en sirkel vil ikke være på en rett linje i et punkt I. Segment AB vil da være lik omkretsen.

Leonardo da Vinci: "Bevegelsen av vogner har alltid vist oss hvordan vi kan rette ut omkretsen av en sirkel."

Oppgave til studenter:

a) tegne en sirkel ved å sirkle bunnen av en rund gjenstand;

b) pakk bunnen av gjenstanden med tråd (en gang) slik at enden av tråden faller sammen med begynnelsen på samme punkt på sirkelen;

c) rett ut denne tråden til et segment og mål lengden med en linjal, dette vil være omkretsen.

Læreren er interessert i måleresultatene til flere elever.

Imidlertid er disse metodene for direkte måling av omkretsen upraktiske og gir omtrentlige resultater. Derfor begynte de siden antikken å se etter mer avanserte måter å måle omkrets på. Under måleprosessen la vi merke til at det er et visst forhold mellom lengden på en sirkel og lengden på dens diameter.

d) Mål diameteren på bunnen av objektet (den største av akkordene i sirkelen);

e) finn forholdet C:d (nøyaktig til tideler).

Spør flere elever om resultatene av beregninger.

Mange forskere og matematikere prøvde å bevise at dette forholdet er et konstant tall, uavhengig av størrelsen på sirkelen. Den gamle greske matematikeren Archimedes var den første som gjorde dette. Han fant en ganske nøyaktig betydning for dette forholdet.

Dette forholdet begynte å bli betegnet med en gresk bokstav (les "pi") - den første bokstaven gresk ord"periferi" - sirkel.

C - omkrets;

d – diameter lengde.

Historisk informasjon om tallet π:

Arkimedes, som bodde i Syracuse (Sicilia) fra 287 til 212 f.Kr., fant meningen uten målinger, bare ved å resonnere

Faktisk kan tallet π ikke uttrykkes som en eksakt brøk. Matematikeren Ludolf fra 1500-tallet hadde tålmodighet til å beregne det med 35 desimaler og testamenterte denne verdien av π til å bli skåret ut på gravmonumentet hans. I 1946 – 1947 to forskere beregnet uavhengig de 808 desimalene til pi. Nå er mer enn en milliard siffer av tallet π funnet på datamaskiner.

Den omtrentlige verdien av π, nøyaktig til fem desimaler, kan huskes ved å bruke følgende linje (basert på antall bokstaver i ordet):

π ≈ 3,14159 – "Jeg vet og husker dette perfekt."

Introduksjon til omkretsformelen

Når du vet at C:d = π, hva blir lengden på sirkel C?

(lysbilde nr. 3) C = πd C = 2πr

Hvordan ble den andre formelen til?

Leser: omkrets er lik produktet av tallet π og dets diameter (eller to ganger produktet av tallet π og dets radius).

Arealet av en sirkel er lik produktet av tallet π og kvadratet av radien.

S= πr 2

IV. Problemløsning

№1. Finn omkretsen til en sirkel med radius på 24 cm. Avrund tallet π til nærmeste hundredel.

Løsning:π ≈ 3,14.

Hvis r = 24 cm, så er C = 2 π r ≈ 2 3,14 24 = 150,72 (cm).

Svare: omkrets 150,72 cm.

nr. 2 (muntlig): Hvordan finne lengden på en bue lik en halvsirkel?

Oppgave: Hvis du strammer den kloden langs ekvator med en ledning og deretter legge til 1 meter til lengden, vil en mus kunne skli mellom ledningen og bakken?

Løsning: C = 2 πR, C+1 = 2π(R+x)

Ikke bare en mus, men også en stor katt vil gli inn i et slikt gap. Og det ser ut til, hva betyr 1 m sammenlignet med 40 millioner meter av jordens ekvator?

V. Konklusjon

1. Hvilke hovedpunkter bør du være oppmerksom på når du bygger en sirkel?
2. Hvilke deler av leksjonen var mest interessante for deg?
3. Hva nytt lærte du i denne leksjonen?

Løsning på kryssord med bilder(lysbilde nr. 3)

Den er ledsaget av en repetisjon av definisjonene av sirkel, akkord, bue, radius, diameter, formler for omkrets. Og som et resultat - nøkkelordet: "CIRCLE" (horisontalt).

Leksjonssammendrag: karaktersetting, kommentarer til gjennomføring lekser.Lekser: s. 24, nr. 853, 854. Utfør et eksperiment for å finne tallet π 2 ganger til.

OG sirkel - geometriske former, sammenkoblet. det er en brutt grenselinje (kurve) sirkel,

Definisjon. En sirkel er en lukket kurve, hvor hvert punkt er like langt fra et punkt som kalles sentrum av sirkelen.

For å konstruere en sirkel, velges et vilkårlig punkt O, tatt som sentrum av sirkelen, og en lukket linje tegnes ved hjelp av et kompass.

Hvis punkt O i sentrum av sirkelen er koblet til vilkårlige punkter på sirkelen, vil alle de resulterende segmentene være like med hverandre, og slike segmenter kalles radier, forkortet med den latinske lille eller store bokstaven "er" ( r eller R). Du kan tegne like mange radier i en sirkel som det er punkter i omkretsen.

Et segment som forbinder to punkter på en sirkel og går gjennom sentrum kalles en diameter. Diameter består av to radier, liggende på samme rette linje. Diameter er indikert med den latinske lille eller store bokstaven "de" ( d eller D).

Regel. Diameter en sirkel er lik to av sine radier.

d = 2r
D=2R

Omkretsen til en sirkel beregnes av formelen og avhenger av radiusen (diameteren) til sirkelen. Formelen inneholder tallet ¶, som viser hvor mange ganger omkretsen er større enn diameteren. Tallet ¶ har et uendelig antall desimaler. For beregninger ble ¶ = 3,14 tatt.

Omkretsen av en sirkel er angitt med den latinske store bokstaven "tse" ( C). Omkretsen til en sirkel er proporsjonal med diameteren. Formler for å beregne omkretsen av en sirkel basert på dens radius og diameter:

C = ¶d
C = 2¶r

• Eksempler
• Oppgitt: d = 100 cm.
• Omkrets: C=3,14*100cm=314cm
• Gitt: d = 25 mm.
• Omkrets: C = 2 * 3,14 * 25 = 157mm

Sirkulær sekant og sirkelbue

Hver sekant (rett linje) skjærer en sirkel i to punkter og deler den i to buer. Størrelsen på sirkelbuen avhenger av avstanden mellom sentrum og sekanten og måles langs en lukket kurve fra det første skjæringspunktet mellom sekanten og sirkelen til det andre.

Buer sirkler er delt sekant i en dur og en moll hvis sekanten ikke sammenfaller med diameteren, og i to like buer hvis sekanten passerer langs sirkelens diameter.

Hvis en sekant passerer gjennom midten av en sirkel, er segmentet mellom skjæringspunktene med sirkelen sirkelens diameter, eller sirkelens største korde.

Jo lenger sekanten er plassert fra sentrum av sirkelen, desto mindre gradmål for den mindre sirkelbuen og jo større er den større sirkelbuen, og segmentet av sekanten, kalt akkord, avtar når sekanten beveger seg bort fra midten av sirkelen.

Definisjon. En sirkel er en del av et fly som ligger inne i en sirkel.

Sentrum, radius og diameter til en sirkel er samtidig sentrum, radius og diameter til den tilsvarende sirkelen.

Siden en sirkel er en del av et plan, er en av parametrene areal.

Regel. Arealet av en sirkel ( S) er lik produktet av kvadratet av radiusen ( r 2) til tallet ¶.

• Eksempler
• Oppgitt: r = 100 cm
• Sirkelområde:
• S = 3,14 * 100 cm * 100 cm = 31 400 cm 2 ≈ 3 m 2
• Gitt: d = 50 mm
• Sirkelområde:
• S = ¼ * 3,14 * 50 mm * 50 mm = 1 963 mm 2 ≈ 20 cm 2

Hvis du tegner to radier i en sirkel forskjellige punkter sirkel, så dannes to deler av sirkelen, som kalles sektorer. Hvis du tegner en akkord i en sirkel, kalles delen av planet mellom buen og akkorden sirkelsegment.