Logaritmiske ligninger og ulikheter ved eksamen. Komplekse logaritmiske ulikheter

Tror du at det fortsatt er tid før Unified State-eksamenen og at du vil ha tid til å forberede deg? Kanskje er det slik. Men i alle fall, jo tidligere studenten begynner forberedelsene, desto mer vellykket består han eksamenene. I dag bestemte vi oss for å vie en artikkel til logaritmiske ulikheter. Dette er en av oppgavene, som betyr en mulighet til å få ekstra kreditt.

Vet du allerede hva en logaritme er? Vi håper virkelig det. Men selv om du ikke har svar på dette spørsmålet, er det ikke et problem. Det er veldig enkelt å forstå hva en logaritme er.

Hvorfor 4? Du må heve tallet 3 til denne potensen for å få 81. Når du forstår prinsippet, kan du gå videre til mer komplekse beregninger.

Du gikk gjennom ulikheter for noen år siden. Og siden har du stadig møtt dem i matematikk. Hvis du har problemer med å løse ulikheter, sjekk ut den aktuelle delen.
Nå som vi har blitt kjent med konseptene individuelt, la oss gå videre til å vurdere dem generelt.

Den enkleste logaritmiske ulikheten.

De enkleste logaritmiske ulikhetene er ikke begrenset til dette eksemplet, det er tre til, bare med forskjellige fortegn. Hvorfor er dette nødvendig? For bedre å forstå hvordan man løser ulikheter med logaritmer. La oss nå gi et mer anvendelig eksempel, fortsatt ganske enkelt, vi lar komplekse logaritmiske ulikheter ligge til senere.

Hvordan løser man dette? Det hele starter med ODZ. Det er verdt å vite mer om det hvis du alltid vil løse eventuelle ulikheter på en enkel måte.

Hva er ODZ? ODZ for logaritmiske ulikheter

Forkortelsen står for område akseptable verdier. Denne formuleringen kommer ofte opp i oppgaver for Unified State Exam. ODZ vil være nyttig for deg ikke bare i tilfelle av logaritmiske ulikheter.

Se igjen på eksemplet ovenfor. Vi vil vurdere ODZ basert på den, slik at du forstår prinsippet, og å løse logaritmiske ulikheter reiser ikke spørsmål. Fra definisjonen av en logaritme følger det at 2x+4 må være større enn null. I vårt tilfelle betyr dette følgende.

Dette tallet må per definisjon være positivt. Løs ulikheten presentert ovenfor. Dette kan til og med gjøres muntlig; her er det klart at X ikke kan være mindre enn 2. Løsningen på ulikheten vil være definisjonen av rekkevidden av akseptable verdier.
La oss nå gå videre til å løse den enkleste logaritmiske ulikheten.

Vi forkaster selve logaritmene fra begge sider av ulikheten. Hva sitter vi igjen med som resultat? Enkel ulikhet.

Det er ikke vanskelig å løse. X må være større enn -0,5. Nå kombinerer vi de to oppnådde verdiene til et system. Slik,

Dette vil være området av akseptable verdier for den logaritmiske ulikheten som vurderes.

Hvorfor trenger vi ODZ i det hele tatt? Dette er en mulighet til å luke ut feil og umulige svar. Hvis svaret ikke er innenfor rekkevidden av akseptable verdier, gir svaret rett og slett ikke mening. Dette er verdt å huske i lang tid, siden det i Unified State Examination ofte er behov for å søke etter ODZ, og det gjelder ikke bare logaritmiske ulikheter.

Algoritme for å løse logaritmisk ulikhet

Løsningen består av flere trinn. Først må du finne utvalget av akseptable verdier. Det vil være to betydninger i ODZ, vi diskuterte dette ovenfor. Deretter må du løse selve ulikheten. Løsningsmetodene er som følger:

• multiplikatorerstatningsmetode;
• dekomponering;
• rasjonaliseringsmetode.

Avhengig av situasjonen er det verdt å bruke en av metodene ovenfor. La oss gå direkte til løsningen. La oss avsløre den mest populære metoden, som er egnet for å løse Unified State Examination-oppgaver i nesten alle tilfeller. Deretter skal vi se på nedbrytningsmetoden. Det kan hjelpe hvis du kommer over en spesielt vanskelig ulikhet. Altså en algoritme for å løse logaritmisk ulikhet.

Eksempler på løsninger :

Det er ikke for ingenting at vi tok akkurat denne ulikheten! Vær oppmerksom på basen. Husk: hvis det er større enn én, forblir tegnet det samme når du finner rekkevidden av akseptable verdier; ellers må du endre ulikhetstegnet.

Som et resultat får vi ulikheten:

Nå bringer vi venstre side til form av en ligning, lik null. I stedet for «mindre enn»-tegnet setter vi «lik» og løser ligningen. Dermed vil vi finne ODZ. Vi håper at du ikke får problemer med å løse en så enkel ligning. Svarene er -4 og -2. Det er ikke alt. Du må vise disse punktene på grafen, og plassere "+" og "-". Hva må gjøres for dette? Bytt inn tallene fra intervallene i uttrykket. Der verdiene er positive, setter vi "+" der.

Svare: x kan ikke være større enn -4 og mindre enn -2.

Vi har funnet utvalget av akseptable verdier kun for venstre side; Dette er mye enklere. Svar: -2. Vi krysser begge resulterende områdene.

Og først nå begynner vi å ta tak i selve ulikheten.

La oss forenkle det så mye som mulig for å gjøre det enklere å løse.

Vi bruker igjen intervallmetoden i løsningen. La oss hoppe over beregningene; alt er allerede klart med det fra forrige eksempel. Svare.

Men denne metoden er egnet hvis den logaritmiske ulikheten har de samme basene.

Løsning logaritmiske ligninger og ulikheter med av ulike grunner forutsetter en innledende reduksjon til én base. Deretter bruker du metoden beskrevet ovenfor. Men det er mer vanskelig sak. La oss vurdere en av de mest komplekse arter logaritmiske ulikheter.

Logaritmiske ulikheter med variabel base

Hvordan løse ulikheter med slike egenskaper? Ja, og slike mennesker kan bli funnet i Unified State Examination. Å løse ulikheter på følgende måte vil også ha en gunstig effekt på utdanningsprosessen din. La oss forstå problemet i detalj. La oss forkaste teori og gå rett til praksis. For å løse logaritmiske ulikheter er det nok å gjøre deg kjent med eksemplet en gang.

For å løse en logaritmisk ulikhet i formen som presenteres, er det nødvendig å redusere høyre side til en logaritme med samme grunntall. Prinsippet ligner tilsvarende overganger. Som et resultat vil ulikheten se slik ut.

Egentlig gjenstår det bare å lage et system av ulikheter uten logaritmer. Ved å bruke rasjonaliseringsmetoden går vi videre til et ekvivalent system av ulikheter. Du vil forstå selve regelen når du erstatter de riktige verdiene og sporer endringene deres. Systemet vil ha følgende ulikheter.

Når du bruker rasjonaliseringsmetoden når du løser ulikheter, må du huske følgende: en må trekkes fra basen, x, per definisjon av logaritmen, trekkes fra begge sider av ulikheten (høyre fra venstre), to uttrykk multipliseres og satt under det opprinnelige tegnet i forhold til null.

Ytterligere løsning utføres ved hjelp av intervallmetoden, alt er enkelt her. Det er viktig for deg å forstå forskjellene i løsningsmetoder, da vil alt begynne å ordne seg lett.

Det er mange nyanser i logaritmiske ulikheter. De enkleste av dem er ganske enkle å løse. Hvordan kan du løse hver av dem uten problemer? Du har allerede fått alle svarene i denne artikkelen. Nå har du en lang øvelse foran deg. Øv deg på å løse det meste hele tiden ulike oppgaver som en del av eksamen og du vil kunne motta høyeste poengsum. Lykke til i din vanskelige oppgave!

Blant hele variasjonen av logaritmiske ulikheter studeres ulikheter med en variabel base separat. De løses ved hjelp av en spesiell formel, som av en eller annen grunn sjelden blir undervist på skolen:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

I stedet for avmerkingsboksen "∨", kan du sette et hvilket som helst ulikhetstegn: mer eller mindre. Hovedsaken er at i begge ulikhetene er tegnene de samme.

På denne måten blir vi kvitt logaritmer og reduserer problemet til en rasjonell ulikhet. Sistnevnte er mye lettere å løse, men når man forkaster logaritmer, kan det dukke opp ekstra røtter. For å kutte dem er det nok å finne utvalget av akseptable verdier. Hvis du har glemt ODZ for en logaritme, anbefaler jeg på det sterkeste å gjenta den - se "Hva er en logaritme".

Alt relatert til rekkevidden av akseptable verdier må skrives ned og løses separat:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Disse fire ulikhetene utgjør et system og må tilfredsstilles samtidig. Når området med akseptable verdier er funnet, gjenstår det bare å krysse det med løsningen rasjonell ulikhet- og svaret er klart.

Oppgave. Løs ulikheten:

Først, la oss skrive ut logaritmens ODZ:

De to første ulikhetene tilfredsstilles automatisk, men den siste må skrives ut. Siden kvadratet av et tall er null hvis og bare hvis selve tallet er null, har vi:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Det viser seg at ODZ til logaritmen er alle tall unntatt null: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Nå løser vi hovedulikheten:

Vi gjør overgangen fra logaritmisk ulikhet til rasjonell. Den opprinnelige ulikheten har et "mindre enn"-tegn, noe som betyr at den resulterende ulikheten også må ha et "mindre enn"-tegn. Vi har:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x ) (3 + x ) x 2< 0.

Nullpunktene til dette uttrykket er: x = 3; x = −3; x = 0. Dessuten er x = 0 en rot av den andre multiplisiteten, noe som betyr at når du passerer gjennom den, endres ikke funksjonens fortegn. Vi har:

Vi får x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Dette settet er fullstendig inneholdt i ODZ for logaritmen, noe som betyr at dette er svaret.

Konvertering av logaritmiske ulikheter

Ofte er den opprinnelige ulikheten forskjellig fra den ovenfor. Dette kan enkelt korrigeres ved å bruke standardreglene for arbeid med logaritmer - se "Grunnleggende egenskaper for logaritmer". Nemlig:

1. Ethvert tall kan representeres som en logaritme med en gitt base;
2. Summen og differansen av logaritmer med samme base kan erstattes med én logaritme.

Separat vil jeg minne deg om utvalget av akseptable verdier. Siden det kan være flere logaritmer i den opprinnelige ulikheten, er det nødvendig å finne VA til hver av dem. Slik, generell ordning løsninger på logaritmiske ulikheter er som følger:

1. Finn VA for hver logaritme inkludert i ulikheten;
2. Reduser ulikheten til en standard ved å bruke formlene for å legge til og subtrahere logaritmer;
3. Løs den resulterende ulikheten ved å bruke skjemaet gitt ovenfor.

Oppgave. Løs ulikheten:

La oss finne definisjonsdomenet (DO) til den første logaritmen:

Vi løser ved hjelp av intervallmetoden. Finne nullene til telleren:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Deretter - nullene til nevneren:

x − 1 = 0;
x = 1.

Vi markerer nuller og tegn på koordinatpilen:

Vi får x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Den andre logaritme av ODZ vil være det samme. Hvis du ikke tror det, kan du sjekke det. Nå transformerer vi den andre logaritmen slik at basen er to:

Som du kan se, er treerne ved basen og foran logaritmen redusert. Vi fikk to logaritmer med samme grunntall. La oss legge dem sammen:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Vi oppnådde standard logaritmisk ulikhet. Vi kvitter oss med logaritmer ved hjelp av formelen. Siden den opprinnelige ulikheten inneholder et "mindre enn"-tegn, må det resulterende rasjonelle uttrykket også være det mindre enn null. Vi har:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Vi har to sett:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Kandidatens svar: x ∈ (−1; 3).

Det gjenstår å krysse disse settene - vi får det virkelige svaret:

Vi er interessert i skjæringspunktet mellom sett, så vi velger intervaller som er skyggelagt på begge pilene. Vi får x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - alle punktene er punktert.

Ofte, når man løser logaritmiske ulikheter, er det problemer med en variabel logaritmebase. Dermed en ulikhet i formen

er en standard skoleulikhet. Som regel, for å løse det, brukes en overgang til et ekvivalent sett med systemer:

Ulempe denne metoden er behovet for å løse syv ulikheter, uten å telle to systemer og en befolkning. Allerede med disse kvadratiske funksjonene kan det ta mye tid å løse populasjonen.

Det er mulig å foreslå en alternativ, mindre tidkrevende måte å løse denne standardulikheten på. For å gjøre dette tar vi hensyn til følgende teorem.

Teorem 1. La det være en kontinuerlig økende funksjon på en mengde X. Da vil fortegnet for inkrementet til funksjonen på dette settet falle sammen med fortegnet for inkrementet til argumentet, d.v.s. , Hvor .

Merk: hvis en kontinuerlig synkende funksjon på et sett X, så .

La oss gå tilbake til ulikhet. La oss gå videre til desimallogaritmen (du kan gå videre til hvilken som helst med en konstant base større enn én).

Nå kan du bruke teoremet, og legge merke til økningen av funksjoner i telleren og i nevneren. Så det er sant

Som et resultat reduseres antallet beregninger som fører til svaret med omtrent halvparten, noe som sparer ikke bare tid, men lar deg også potensielt gjøre færre aritmetiske og uforsiktige feil.

Eksempel 1.

Sammenligning med (1) finner vi , , .

Går vi videre til (2) vil vi ha:

Eksempel 2.

Sammenligner vi med (1) finner vi , , .

Går vi videre til (2) vil vi ha:

Eksempel 3.

Siden venstre side av ulikheten er en økende funksjon som og , da vil svaret være mange.

De mange eksemplene der tema 1 kan brukes, kan enkelt utvides ved å ta hensyn til tema 2.

La på settet X funksjonene , , , er definert, og på dette settet er fortegnene og sammenfallende, dvs. , da blir det rettferdig.

Eksempel 4.

Eksempel 5.

Med standardtilnærmingen løses eksemplet i henhold til følgende skjema: produktet er mindre enn null når faktorene har forskjellige fortegn. De. et sett med to systemer av ulikheter vurderes, der, som angitt i begynnelsen, hver ulikhet brytes ned i syv flere.

Hvis vi tar hensyn til teorem 2, kan hver av faktorene, tatt i betraktning (2), erstattes av en annen funksjon som har samme fortegn i dette eksemplet O.D.Z.

Metoden for å erstatte økningen av en funksjon med en økning av argumentet, tatt i betraktning Teorem 2, viser seg å være veldig praktisk når man løser typiske C3 Unified State Examination-problemer.

Eksempel 6.

Eksempel 7.

. La oss betegne . Vi får

. Merk at erstatningen innebærer: . Tilbake til ligningen, får vi .

Eksempel 8.

I teoremene vi bruker er det ingen begrensninger på klasser av funksjoner. I denne artikkelen, som et eksempel, ble teoremene brukt for å løse logaritmiske ulikheter. Følgende flere eksempler vil demonstrere løftet om metoden for å løse andre typer ulikheter.