Koordinat dan vektor. Panduan Komprehensif (2020)

Sebelum anda mempelajari segala-galanya tentang vektor dan operasi padanya, bersedialah untuk menyelesaikan masalah mudah. Terdapat vektor keusahawanan anda dan vektor kebolehan inovatif anda. Vektor keusahawanan membawa anda ke Matlamat 1, dan vektor kebolehan inovatif membawa anda ke Matlamat 2. Peraturan permainan adalah sedemikian rupa sehingga anda tidak boleh bergerak mengikut arah kedua-dua vektor ini sekaligus dan mencapai dua matlamat sekaligus. Vektor berinteraksi, atau, bercakap dalam bahasa matematik, beberapa operasi dilakukan pada vektor. Hasil daripada operasi ini ialah vektor "Hasil", yang membawa anda ke Matlamat 3.

Sekarang beritahu saya: hasil operasi pada vektor "Keusahawanan" dan "Kebolehan Inovatif" adalah vektor "Hasil"? Jika anda tidak dapat memberitahu dengan segera, jangan berkecil hati. Semasa anda meneruskan pelajaran ini, anda akan dapat menjawab soalan ini.

Seperti yang telah kita lihat di atas, vektor semestinya datang dari titik tertentu A dalam garis lurus ke satu titik B. Akibatnya, setiap vektor bukan sahaja mempunyai nilai berangka - panjang, tetapi juga nilai fizikal dan geometri - arah. Daripada ini datang definisi vektor yang pertama dan paling mudah. Jadi, vektor ialah segmen terarah yang datang dari satu titik A to the point B. Ia ditetapkan seperti berikut: .

Dan untuk memulakan pelbagai operasi dengan vektor , kita perlu membiasakan diri dengan satu lagi definisi vektor.

Vektor ialah sejenis perwakilan titik yang perlu dicapai dari beberapa titik permulaan. Sebagai contoh, vektor tiga dimensi biasanya ditulis sebagai (x, y, z) . Dalam istilah yang sangat mudah, nombor ini bermaksud sejauh mana anda perlu berjalan dalam tiga arah berbeza untuk sampai ke satu titik.

Biarkan vektor diberikan. Di mana x = 3 (tangan kanan menunjuk ke kanan), y = 1 (tangan kiri menunjuk ke hadapan) z = 5 (di bawah titik terdapat tangga menuju ke atas). Menggunakan data ini, anda akan mencari titik dengan berjalan 3 meter ke arah yang ditunjukkan oleh tangan kanan anda, kemudian 1 meter ke arah yang ditunjukkan oleh tangan kiri anda, dan kemudian sebuah tangga menanti anda dan, meningkat 5 meter, anda akhirnya akan menemui diri anda di titik akhir.

Semua istilah lain adalah penjelasan penjelasan yang dibentangkan di atas, yang diperlukan untuk pelbagai operasi pada vektor, iaitu, menyelesaikan masalah praktikal. Mari kita lihat definisi yang lebih ketat ini, memfokuskan pada masalah vektor biasa.

Contoh fizikal kuantiti vektor boleh menjadi anjakan titik bahan yang bergerak di angkasa, kelajuan dan pecutan titik ini, serta daya yang bertindak ke atasnya.

vektor geometri dipersembahkan dalam ruang dua dimensi dan tiga dimensi dalam bentuk segmen arah. Ini adalah segmen yang mempunyai permulaan dan penghujung.

Jika A- permulaan vektor, dan B- penghujungnya, maka vektor dilambangkan dengan simbol atau satu huruf kecil . Dalam rajah, hujung vektor ditunjukkan dengan anak panah (Rajah 1)

Panjang(atau modul) bagi vektor geometri ialah panjang segmen yang menjananya

Kedua-dua vektor itu dipanggil sama rata , jika ia boleh digabungkan (jika arahnya bertepatan) dengan pemindahan selari, i.e. jika ia selari, diarahkan ke arah yang sama dan mempunyai panjang yang sama.

Dalam fizik ia sering dipertimbangkan vektor yang disematkan, ditentukan oleh titik aplikasi, panjang dan arah. Jika titik penggunaan vektor tidak penting, maka ia boleh dipindahkan, mengekalkan panjang dan arahnya, ke mana-mana titik dalam ruang. Dalam kes ini, vektor dipanggil percuma. Kami akan bersetuju untuk mempertimbangkan sahaja vektor percuma.

Operasi linear pada vektor geometri

Mendarab vektor dengan nombor

Hasil daripada vektor setiap nombor ialah vektor yang diperoleh daripada vektor dengan meregangkan (at ) atau memampatkan (at ) dengan faktor, dan arah vektor tetap sama jika , dan berubah kepada sebaliknya jika . (Gamb. 2)

Daripada takrifan ia mengikuti bahawa vektor dan = sentiasa terletak pada satu atau garis selari. Vektor sedemikian dipanggil kolinear. (Kita juga boleh mengatakan bahawa vektor ini adalah selari, tetapi dalam algebra vektor adalah kebiasaan untuk mengatakan "kolinear.") Sebaliknya juga benar: jika vektor adalah kolinear, maka ia dikaitkan dengan hubungan

Akibatnya, kesamaan (1) menyatakan keadaan kolineariti dua vektor.

Penambahan dan penolakan vektor

Apabila menambah vektor anda perlu tahu itu jumlah vektor dan dipanggil vektor, permulaannya bertepatan dengan permulaan vektor, dan penghujungnya - dengan penghujung vektor, dengan syarat permulaan vektor dilampirkan pada akhir vektor. (Gamb. 3)

Takrifan ini boleh diedarkan ke atas sebarang bilangan vektor yang terhingga. Biarkan mereka diberikan di angkasa n vektor percuma. Apabila menambah beberapa vektor, jumlahnya diambil sebagai vektor penutup, yang permulaannya bertepatan dengan permulaan vektor pertama, dan penghujungnya dengan penghujung vektor terakhir. Iaitu, jika anda melampirkan permulaan vektor ke penghujung vektor, dan permulaan vektor ke penghujung vektor, dsb. dan, akhirnya, ke penghujung vektor - permulaan vektor, maka jumlah vektor ini ialah vektor penutup , permulaannya bertepatan dengan permulaan vektor pertama, dan penghujungnya - dengan penghujung vektor terakhir. (Gamb. 4)

Istilah dipanggil komponen vektor, dan peraturan yang dirumuskan ialah peraturan poligon. Poligon ini mungkin tidak rata.

Apabila vektor didarab dengan nombor -1, vektor bertentangan diperoleh. Vektor dan mempunyai panjang yang sama dan arah yang bertentangan. Jumlah mereka memberi vektor sifar, yang panjangnya sifar. Arah vektor sifar tidak ditentukan.

Dalam algebra vektor, tidak perlu mempertimbangkan operasi penolakan secara berasingan: menolak vektor daripada vektor bermakna menambah vektor bertentangan dengan vektor, i.e.

Contoh 1. Permudahkan ungkapan:

.

,

iaitu, vektor boleh ditambah dan didarab dengan nombor dengan cara yang sama seperti polinomial (khususnya, juga masalah untuk memudahkan ungkapan). Lazimnya, keperluan untuk memudahkan ungkapan yang serupa secara linear dengan vektor timbul sebelum mengira hasil darab vektor.

Contoh 2. Vektor dan berfungsi sebagai pepenjuru bagi segi empat selari ABCD (Rajah 4a). Ungkapkan melalui dan vektor , , dan , yang merupakan sisi selari ini.

Penyelesaian. Titik persilangan pepenjuru bagi segi empat selari membelah setiap pepenjuru. Kami mencari panjang vektor yang diperlukan dalam pernyataan masalah sama ada sebagai separuh daripada jumlah vektor yang membentuk segitiga dengan yang diperlukan, atau sebagai separuh perbezaan (bergantung pada arah vektor yang berfungsi sebagai pepenjuru), atau, seperti dalam kes kedua, separuh jumlah yang diambil dengan tanda tolak. Hasilnya ialah vektor yang diperlukan dalam pernyataan masalah:

Terdapat banyak sebab untuk mempercayai bahawa anda kini telah menjawab soalan dengan betul tentang vektor "Keusahawanan" dan "Kebolehan Inovatif" pada permulaan pelajaran ini. Jawapan yang betul: operasi penambahan dilakukan pada vektor ini.

Selesaikan sendiri masalah vektor dan kemudian lihat penyelesaiannya

Bagaimana untuk mencari panjang jumlah vektor?

Masalah ini menduduki tempat yang istimewa dalam operasi dengan vektor, kerana ia melibatkan penggunaan sifat trigonometri. Katakan anda menjumpai tugasan seperti berikut:

Panjang vektor diberikan dan panjang jumlah vektor ini. Cari panjang beza antara vektor-vektor ini.

Penyelesaian untuk masalah ini dan lain-lain yang serupa dan penjelasan tentang cara menyelesaikannya ada dalam pelajaran " Penambahan vektor: panjang jumlah vektor dan teorem kosinus ".

Dan anda boleh menyemak penyelesaian kepada masalah tersebut di Kalkulator dalam talian "Sisi segitiga yang tidak diketahui (tambahan vektor dan teorem kosinus)" .

Di manakah produk vektor?

Produk vektor-vektor bukan operasi linear dan dianggap secara berasingan. Dan kami mempunyai pelajaran "Hasil skalar vektor" dan "Vektor dan hasil campuran vektor".

Unjuran vektor pada paksi

Unjuran vektor pada paksi adalah sama dengan hasil darab panjang vektor unjuran dan kosinus sudut antara vektor dan paksi:

Seperti yang diketahui, unjuran titik A pada garis lurus (satah) ialah tapak serenjang yang dijatuhkan dari titik ini ke garis lurus (satah).

Biarkan menjadi vektor arbitrari (Rajah 5), dan dan menjadi unjuran asalnya (titik A) dan akhir (mata B) setiap paksi l. (Untuk membina unjuran titik A) lukis garis lurus melalui titik itu A satah berserenjang dengan garis lurus. Persilangan garisan dan satah akan menentukan unjuran yang diperlukan.

Komponen vektor pada paksi l dipanggil vektor sedemikian yang terletak pada paksi ini, permulaannya bertepatan dengan unjuran permulaan, dan penghujungnya dengan unjuran akhir vektor.

Unjuran vektor pada paksi l nombor yang dipanggil

,

sama dengan panjang vektor komponen pada paksi ini, diambil dengan tanda tambah jika arah komponen bertepatan dengan arah paksi l, dan dengan tanda tolak jika arah ini bertentangan.

Sifat asas unjuran vektor pada paksi:

1. Unjuran vektor yang sama pada paksi yang sama adalah sama antara satu sama lain.

2. Apabila vektor didarab dengan nombor, unjurannya didarab dengan nombor yang sama.

3. Unjuran hasil tambah vektor pada mana-mana paksi adalah sama dengan hasil tambah unjuran hasil tambah vektor pada paksi yang sama.

4. Unjuran vektor pada paksi adalah sama dengan hasil darab panjang vektor unjuran dan kosinus sudut antara vektor dan paksi:

.

Penyelesaian. Mari unjurkan vektor pada paksi l seperti yang ditakrifkan dalam latar belakang teori di atas. Daripada Rajah 5a adalah jelas bahawa unjuran jumlah vektor adalah sama dengan jumlah unjuran vektor. Kami mengira unjuran ini:

Kami mencari unjuran akhir jumlah vektor:

Hubungan antara vektor dan sistem koordinat Cartesian segi empat tepat dalam ruang

Sedang mengenali sistem koordinat Cartesan segi empat tepat di angkasa berlaku dalam pelajaran yang sepadan, adalah dinasihatkan untuk membukanya dalam tetingkap baharu.

Dalam sistem tertib paksi koordinat 0xyz paksi lembu dipanggil paksi-x, paksi 0y – paksi-y, dan paksi 0z – paksi terpakai.

Dengan titik sewenang-wenangnya M vektor sambung angkasa

dipanggil vektor jejari mata M dan unjurkannya pada setiap paksi koordinat. Mari kita nyatakan magnitud unjuran yang sepadan:

Nombor x, y, z dipanggil koordinat titik M, masing-masing abscissa, selaras Dan memohon, dan ditulis sebagai titik nombor tersusun: M(x;y;z)(Gamb. 6).

Vektor unit panjang yang arahnya bertepatan dengan arah paksi dipanggil vektor unit(atau ortom) paksi. Mari kita nyatakan dengan

Sehubungan itu, vektor unit paksi koordinat lembu, Oy, Oz

Teorem. Mana-mana vektor boleh dikembangkan menjadi vektor unit paksi koordinat:

(2)

Kesamaan (2) dipanggil pengembangan vektor di sepanjang paksi koordinat. Pekali pengembangan ini ialah unjuran vektor pada paksi koordinat. Oleh itu, pekali pengembangan (2) bagi vektor di sepanjang paksi koordinat ialah koordinat bagi vektor.

Selepas memilih sistem koordinat tertentu dalam ruang, vektor dan triplet koordinatnya secara unik menentukan satu sama lain, jadi vektor boleh ditulis dalam bentuk

Perwakilan vektor dalam bentuk (2) dan (3) adalah sama.

Keadaan untuk keselarasan vektor dalam koordinat

Seperti yang telah kita perhatikan, vektor dipanggil kolinear jika ia dikaitkan dengan hubungan

Biarkan vektor diberikan . Vektor-vektor ini adalah kolinear jika koordinat vektor-vektor itu dikaitkan dengan hubungan

,

iaitu koordinat bagi vektor adalah berkadar.

Contoh 6. Vektor diberikan . Adakah vektor ini berkolinear?

Penyelesaian. Mari kita ketahui hubungan antara koordinat vektor ini:

.

Koordinat vektor adalah berkadar, oleh itu, vektor adalah kolinear, atau, apa yang sama, selari.

Panjang vektor dan kosinus arah

Oleh kerana keserenjang bersama paksi koordinat, panjang vektor

sama dengan panjang pepenjuru segi empat selari yang dibina di atas vektor

dan dinyatakan oleh persamaan

(4)

Vektor ditakrifkan sepenuhnya dengan menyatakan dua titik (mula dan tamat), jadi koordinat vektor boleh dinyatakan dari segi koordinat titik ini.

Biarkan, dalam sistem koordinat tertentu, asal vektor berada pada titik

dan penghujungnya adalah pada titik

Daripada kesamarataan

Ikut itu

atau dalam bentuk koordinat

Oleh itu, koordinat vektor adalah sama dengan perbezaan antara koordinat akhir dan permulaan vektor yang sama . Formula (4) dalam kes ini akan mengambil borang

Arah vektor ditentukan kosinus arah . Ini ialah kosinus sudut yang dibuat oleh vektor dengan paksi lembu, Oy Dan Oz. Mari kita nyatakan sudut-sudut ini dengan sewajarnya α , β Dan γ . Kemudian kosinus sudut ini boleh didapati menggunakan formula

Kosinus arah vektor juga merupakan koordinat bagi vektor vektor itu dan dengan itu vektor vektor

.

Memandangkan panjang vektor unit adalah sama dengan satu unit, iaitu

,

kita memperoleh kesamaan berikut untuk kosinus arah:

Contoh 7. Cari panjang vektor x = (3; 0; 4).

Penyelesaian. Panjang vektor ialah

Contoh 8. Mata diberi:

Ketahui sama ada segi tiga yang dibina pada titik ini ialah sama kaki.

Penyelesaian. Dengan menggunakan rumus panjang vektor (6), kita mencari panjang sisi dan menentukan sama ada terdapat dua yang sama di antara mereka:

Dua sisi yang sama telah ditemui, oleh itu tidak perlu mencari panjang sisi ketiga, dan segi tiga yang diberikan ialah sama kaki.

Contoh 9. Cari panjang vektor dan kosinus arahnya jika .

Penyelesaian. Koordinat vektor diberikan:

.

Panjang vektor adalah sama dengan punca kuasa dua hasil tambah kuasa dua koordinat vektor:

.

Mencari kosinus arah:

Selesaikan sendiri masalah vektor, dan kemudian lihat penyelesaiannya

Operasi ke atas vektor yang diberikan dalam bentuk koordinat

Biarkan dua vektor dan diberi, ditakrifkan oleh unjuran mereka:

Mari kita nyatakan tindakan pada vektor ini.

1.Tambahan:

atau apa yang sama

(apabila menambah dua vektor, koordinat dengan nama yang sama ditambah).

VEKTOR. TINDAKANATASVEKTOR. SKALAR,

VEKTOR, PRODUK CAMPURAN VEKTOR.

1. VEKTOR, TINDAKAN PADA VEKTOR.

Definisi asas.

Definisi 1. Kuantiti yang dicirikan sepenuhnya oleh nilai berangkanya dalam sistem unit yang dipilih dipanggil skalar atau skalar .

(Berat badan, isipadu, masa, dsb.)

Definisi 2. Kuantiti yang dicirikan oleh nilai berangka dan arah dipanggil vektor atau vektor .

(Pergerakan, kekuatan, kelajuan, dll.)

Jawatan: , atau , .

Vektor geometri ialah segmen terarah.

Untuk vektor – titik A– permulaan, titik DALAM– hujung vektor.

Definisi 3.Modul vektor ialah panjang segmen AB.

Definisi 4. Vektor yang modulusnya sifar dipanggil sifar , dilambangkan dengan .

Definisi 5. Vektor yang terletak pada garis selari atau pada garis lurus yang sama dipanggil kolinear . Jika dua vektor kolinear mempunyai arah yang sama, maka ia dipanggil diarahkan bersama .

Definisi 6. Dua vektor dipertimbangkan sama rata , jika mereka diarahkan bersama dan sama dalam modulus.

Tindakan pada vektor.

1) Penambahan vektor.

Def. 6.Jumlah dua vektor dan ialah pepenjuru bagi segi empat selari yang dibina pada vektor ini, bermula dari titik sepunya penggunaannya (peraturan segi empat selari).

Rajah 1.

Def. 7. Hasil tambah tiga vektor , , dipanggil pepenjuru bagi paip selari yang dibina pada vektor ini (peraturan selari).

Def. 8. Jika A, DALAM, DENGAN ialah titik arbitrari, maka + = (peraturan segi tiga).

Rajah.2

Sifat penambahan.

1 O . + = + (undang-undang pemindahan).

2 O . + ( + ) = ( + ) + = ( + ) + (undang-undang gabungan).

3 O . + (– ) + .

2) Penolakan vektor.

Def. 9. Di bawah beza vektor dan memahami vektor = – sehingga + = .

Dalam segi empat selari, ini adalah satu lagi pepenjuru SD (lihat Rajah 1).

3) Mendarab vektor dengan nombor.

Def. 10. Kerja vektor kepada skalar k dipanggil vektor

= k = k ,

mempunyai panjang ka , dan arahnya:

1. bertepatan dengan arah vektor jika k > 0;

2. bertentangan dengan arah vektor, jika k < 0;

3. sewenang-wenangnya, jika k = 0.

Sifat mendarab vektor dengan nombor.

1 O . (k + l ) = k + l .

k ( + ) = k + k .

2 o . k (l ) = (kl ) .

3 o . 1  = , (–1)  = – , 0  = .

Sifat vektor.

Def. sebelas. Kedua-dua vektor itu dipanggil kolinear , jika ia terletak di garis selari atau di satu garis lurus.

Vektor nol adalah kolinear kepada mana-mana vektor.

Teorem 1. Dua vektor bukan sifar dan kolinear,  apabila mereka berkadar i.e.

= k , k – skalar.

Def. 12. Tiga vektor , , dipanggil coplanar , jika ia selari dengan beberapa satah atau terletak di dalamnya.

Teorem 2. Tiga vektor bukan sifar , , coplanar,  apabila salah satu daripadanya adalah gabungan linear daripada dua yang lain, i.e.

= k + l , k , l – skalar.

Unjuran vektor pada paksi.

Teorem 3. Unjuran vektor pada paksi (garis lurus terarah) l adalah sama dengan hasil darab panjang vektor dan kosinus sudut antara arah vektor dan arah paksi, i.e. = a  c os  ,  = ( , l).

2. KOORDINAT VEKTOR

Def. 13. Unjuran vektor pada paksi koordinat Oh, OU, Oz dipanggil koordinat vektor. Jawatan:  a x , a y , a z .

Panjang vektor:

Contoh: Kira panjang vektor.

Penyelesaian:

Jarak antara titik Dan dikira dengan formula: .

Contoh: Cari jarak antara titik M (2,3,-1) dan K (4,5,2).

Tindakan ke atas vektor dalam bentuk koordinat.

Diberi vektor = a x , a y , a z dan = b x , b y , b z .

1. (  )= a x  b x , a y  b y , a z  b z .

2.  =   a x ,  a y ,  a z, di mana  – skalar.

Hasil darab titik bagi vektor.

Definisi: Di bawah hasil darab skalar dua vektor dan

difahami sebagai nombor yang sama dengan hasil darab panjang vektor ini dan kosinus sudut di antara mereka, i.e. = , - sudut antara vektor dan .

Sifat produk titik:

1.  =

2. ( + ) =

3.

4.

5. , di manakah skalar.

6. dua vektor adalah berserenjang (ortogon) jika .

7. jika dan hanya jika .

Hasil kali skalar dalam bentuk koordinat mempunyai bentuk: , di mana dan .

Contoh: Cari hasil darab skalar bagi vektor dan

Penyelesaian:

Vektor memegang vektor.

Definisi: Hasil darab vektor dua vektor ialah vektor yang:

Modul adalah sama dengan luas segi empat selari yang dibina pada vektor ini, i.e. , di manakah sudut antara vektor dan

Vektor ini berserenjang dengan vektor yang didarab, i.e.

Jika vektor bukan kolinear, maka ia membentuk triplet kanan vektor.

Sifat produk silang:

1. Apabila menukar susunan faktor, produk vektor menukar tandanya kepada sebaliknya, mengekalkan modulus, i.e.

2 .Petak vektor adalah sama dengan vektor nol, i.e.

3 .Faktor skalar boleh dikeluarkan daripada tanda hasil vektor, i.e.

4 .Bagi mana-mana tiga vektor kesamaan adalah benar

5 .Syarat yang diperlukan dan mencukupi untuk keselarasan dua vektor dan :

Hasil silang dalam bentuk koordinat.

Jika koordinat bagi vektor dan , maka produk vektor mereka didapati dengan formula:

.

Kemudian dari takrif produk vektor ia mengikuti bahawa luas segi empat selari yang dibina pada vektor dan dikira dengan formula:

Contoh: Kira luas segi tiga dengan bucu (1;-1;2), (5;-6;2), (1;3;-1).

Penyelesaian: .

Kemudian luas segi tiga ABC akan dikira seperti berikut:

,

Hasil campuran vektor.

Definisi: Darab campuran (vektor-skalar) bagi vektor ialah nombor yang ditentukan oleh formula: .

Sifat produk campuran:

1. Produk campuran tidak berubah apabila faktornya disusun semula secara kitaran, i.e. .

2. Apabila dua faktor bersebelahan disusun semula, produk campuran menukar tandanya kepada yang bertentangan, i.e. .

3 Syarat yang diperlukan dan mencukupi untuk keselarasan tiga vektor : =0.

4 .Darab campuran bagi tiga vektor adalah sama dengan isipadu selari yang dibina pada vektor ini, diambil dengan tanda tambah jika vektor ini membentuk tiga kali ganda kanan, dan dengan tanda tolak jika mereka membentuk tiga kali ganda kiri, i.e. .

Jika diketahui koordinat vektor , maka produk campuran didapati dengan formula:

Contoh: Kira hasil campuran vektor.

Penyelesaian:

3. Asas sistem vektor.

Definisi. Sistem vektor difahami sebagai beberapa vektor yang dimiliki oleh ruang yang sama R.

Komen. Jika sistem terdiri daripada bilangan vektor terhingga, maka ia dilambangkan dengan huruf yang sama dengan indeks yang berbeza.

Contoh.

Definisi. Mana-mana vektor bentuk = dipanggil gabungan linear vektor. Nombor ialah pekali bagi gabungan linear.

Contoh. .

Definisi. Jika vektor ialah gabungan linear bagi vektor , maka mereka mengatakan bahawa vektor dinyatakan secara linear dari segi vektor .

Definisi. Sistem vektor dipanggil bebas linear, jika tidak satu vektor sistem boleh menjadi gabungan linear bagi vektor yang tinggal. Jika tidak, sistem itu dipanggil bergantung secara linear.

Contoh. Sistem vektor adalah bergantung secara linear, kerana ia adalah vektor .

Definisi asas. Sistem vektor membentuk asas jika:

1) ia bebas secara linear,

2) sebarang vektor ruang dinyatakan secara linear melaluinya.

Contoh 1. Asas ruang: .

2. Dalam sistem vektor asasnya ialah vektor: , kerana dinyatakan secara linear dalam bentuk vektor.

Komen. Untuk mencari asas sistem vektor tertentu, anda perlu:

1) tulis koordinat vektor ke dalam matriks,

2) menggunakan penjelmaan asas, bawa matriks kepada bentuk segi tiga,

3) baris bukan sifar matriks akan menjadi asas sistem,

4) bilangan vektor dalam asas adalah sama dengan pangkat matriks.

Akhirnya, saya mendapat tangan saya pada topik yang luas dan lama ditunggu-tunggu ini. geometri analisis. Pertama, sedikit tentang bahagian matematik tinggi ini... Pasti anda kini masih ingat kursus geometri sekolah dengan pelbagai teorem, bukti, lukisan, dsb. Perkara yang perlu disembunyikan, subjek yang tidak digemari dan sering dikaburkan untuk sebahagian besar pelajar. Geometri analitik, anehnya, mungkin kelihatan lebih menarik dan boleh diakses. Apakah maksud kata sifat "analitik"? Dua frasa matematik klise segera terlintas di fikiran: "kaedah penyelesaian grafik" dan "kaedah penyelesaian analitik." Kaedah grafik, sudah tentu, dikaitkan dengan pembinaan graf dan lukisan. Analitikal sama kaedah melibatkan penyelesaian masalah terutamanya melalui operasi algebra. Dalam hal ini, algoritma untuk menyelesaikan hampir semua masalah geometri analitik adalah mudah dan telus selalunya cukup untuk menggunakan formula yang diperlukan dengan teliti - dan jawapannya sudah sedia! Tidak, sudah tentu, kita tidak akan dapat melakukan ini tanpa lukisan sama sekali, dan selain itu, untuk pemahaman yang lebih baik tentang bahan, saya akan cuba memetiknya di luar keperluan.

Kursus pelajaran geometri yang baru dibuka tidak berpura-pura lengkap secara teori; ia tertumpu kepada penyelesaian masalah praktikal. Saya akan masukkan dalam kuliah saya hanya apa, dari sudut pandangan saya, yang penting dari segi praktikal. Jika anda memerlukan bantuan yang lebih lengkap tentang mana-mana subseksyen, saya mengesyorkan literatur yang agak mudah diakses berikut:

1) Perkara yang, bukan jenaka, beberapa generasi biasa dengan: Buku teks sekolah tentang geometri, pengarang - L.S. Atanasyan dan Syarikat. Penyangkut bilik persalinan sekolah ini telah pun melalui 20 (!) cetakan semula, yang sememangnya bukan hadnya.

2) Geometri dalam 2 jilid. Pengarang L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Ini adalah sastera untuk sekolah menengah, anda perlukan jilid pertama. Tugas yang jarang ditemui mungkin hilang dari pandangan saya, dan tutorial akan membantu yang tidak ternilai.

Kedua-dua buku boleh dimuat turun secara percuma dalam talian. Di samping itu, anda boleh menggunakan arkib saya dengan penyelesaian siap sedia, yang boleh didapati di halaman Muat turun contoh dalam matematik yang lebih tinggi.

Di antara alat, saya sekali lagi mencadangkan pembangunan saya sendiri - pakej perisian dalam geometri analisis, yang akan memudahkan kehidupan dan menjimatkan banyak masa.

Diandaikan bahawa pembaca sudah biasa dengan konsep dan angka geometri asas: titik, garis, satah, segi tiga, segi empat selari, selari, kubus, dll. Adalah dinasihatkan untuk mengingati beberapa teorem, sekurang-kurangnya teorem Pythagoras, hello kepada pengulang)

Dan sekarang kita akan mempertimbangkan secara berurutan: konsep vektor, tindakan dengan vektor, koordinat vektor. Saya mengesyorkan membaca lebih lanjut artikel yang paling penting Hasil darab titik bagi vektor, dan juga Vektor dan hasil campuran vektor. Tugas tempatan - Pembahagian segmen dalam hal ini - juga tidak akan berlebihan. Berdasarkan maklumat di atas, anda boleh menguasai persamaan garis dalam satah Dengan contoh penyelesaian yang paling mudah, yang akan membolehkan belajar menyelesaikan masalah geometri. Artikel berikut juga berguna: Persamaan satah di angkasa, Persamaan garis dalam ruang, Masalah asas pada garis lurus dan satah, bahagian lain geometri analitik. Sememangnya, tugas standard akan dipertimbangkan sepanjang perjalanan.

Konsep vektor. vektor percuma

Mula-mula, mari kita ulang definisi sekolah bagi vektor. vektor dipanggil diarahkan segmen yang mana permulaan dan penghujungnya ditunjukkan:

Dalam kes ini, permulaan segmen adalah titik, penghujung segmen adalah titik. Vektor itu sendiri dilambangkan dengan . Arah adalah penting, jika anda mengalihkan anak panah ke hujung segmen yang lain, anda mendapat vektor, dan ini sudah pun vektor yang berbeza sama sekali. Adalah mudah untuk mengenal pasti konsep vektor dengan pergerakan badan fizikal: anda mesti bersetuju, memasuki pintu institut atau meninggalkan pintu institut adalah perkara yang sama sekali berbeza.

Adalah mudah untuk mempertimbangkan titik individu satah atau ruang sebagai apa yang dipanggil vektor sifar. Untuk vektor sedemikian, penghujung dan permulaan bertepatan.

!!! Catatan: Di sini dan seterusnya, anda boleh menganggap bahawa vektor terletak pada satah yang sama atau anda boleh menganggap bahawa ia terletak di angkasa - intipati bahan yang dibentangkan adalah sah untuk kedua-dua satah dan ruang.

Jawatan: Ramai yang segera melihat kayu tanpa anak panah dalam sebutan dan berkata, terdapat juga anak panah di bahagian atas! Benar, anda boleh menulisnya dengan anak panah: , tetapi ia juga mungkin entri yang akan saya gunakan pada masa hadapan. kenapa? Rupa-rupanya, tabiat ini berkembang atas sebab praktikal; Dalam kesusasteraan pendidikan, kadang-kadang mereka tidak peduli dengan tulisan cuneiform sama sekali, tetapi menyerlahkan huruf dalam huruf tebal: , dengan itu membayangkan bahawa ini adalah vektor.

Itu adalah stilistik, dan sekarang tentang cara untuk menulis vektor:

1) Vektor boleh ditulis dalam dua huruf Latin besar:
dan sebagainya. Dalam kes ini, huruf pertama Semestinya menandakan titik permulaan vektor, dan huruf kedua menandakan titik akhir vektor.

2) Vektor juga ditulis dalam huruf Latin kecil:
Khususnya, vektor kami boleh direka bentuk semula untuk ringkas dengan huruf Latin kecil.

Panjang atau modul vektor bukan sifar dipanggil panjang segmen. Panjang vektor sifar ialah sifar. Logik.

Panjang vektor ditunjukkan oleh tanda modulus: ,

Kami akan belajar cara mencari panjang vektor (atau kami akan mengulanginya, bergantung pada siapa) sedikit kemudian.

Ini adalah maklumat asas tentang vektor, biasa kepada semua pelajar sekolah. Dalam geometri analitik, apa yang dipanggil vektor percuma.

Secara ringkasnya - vektor boleh diplot dari mana-mana titik:

Kami sudah biasa memanggil vektor tersebut sama (takrif vektor sama akan diberikan di bawah), tetapi dari sudut pandangan matematik semata-mata, mereka adalah VEKTOR yang SAMA atau vektor percuma. Kenapa percuma? Kerana semasa menyelesaikan masalah, anda boleh "melampirkan" vektor ini atau itu pada MANA-MANA ​​titik pesawat atau ruang yang anda perlukan. Ini adalah ciri yang sangat keren! Bayangkan vektor dengan panjang dan arah yang sewenang-wenangnya - ia boleh "diklon" beberapa kali tidak terhingga dan pada mana-mana titik di angkasa, sebenarnya, ia wujud DI MANA-MANA. Ada seorang pelajar yang berkata: Setiap pensyarah memandang berat tentang vektor. Lagipun, ia bukan sahaja sajak lucu, semuanya betul secara matematik - vektor boleh dilampirkan di sana juga. Tetapi jangan tergesa-gesa untuk bergembira, pelajar sendiri yang sering menderita =)

Jadi, vektor percuma- Ini sekumpulan segmen terarah yang sama. Takrif sekolah bagi vektor, diberikan pada permulaan perenggan: "Segmen terarah dipanggil vektor..." membayangkan khusus segmen terarah yang diambil daripada set tertentu, yang diikat pada titik tertentu dalam satah atau ruang.

Perlu diingatkan bahawa dari sudut pandangan fizik, konsep vektor bebas secara amnya tidak betul, dan titik aplikasi vektor itu penting. Sesungguhnya, pukulan langsung dengan kekuatan yang sama pada hidung atau dahi, cukup untuk membangunkan contoh bodoh saya, memerlukan akibat yang berbeza. Walau bagaimanapun, tidak bebas vektor juga terdapat dalam perjalanan vyshmat (jangan pergi ke sana :)).

Tindakan dengan vektor. Kolineariti vektor

Kursus geometri sekolah merangkumi beberapa tindakan dan peraturan dengan vektor: penambahan mengikut peraturan segi tiga, penambahan mengikut peraturan selari, peraturan perbezaan vektor, pendaraban vektor dengan nombor, hasil darab skalar bagi vektor, dsb. Sebagai titik permulaan, mari kita ulangi dua peraturan yang amat relevan untuk menyelesaikan masalah geometri analitik.

Peraturan untuk menambah vektor menggunakan peraturan segitiga

Pertimbangkan dua vektor bukan sifar arbitrari dan :

Anda perlu mencari jumlah vektor ini. Disebabkan fakta bahawa semua vektor dianggap percuma, kami mengetepikan vektor daripada tamat vektor:

Jumlah vektor ialah vektor. Untuk pemahaman yang lebih baik tentang peraturan, adalah dinasihatkan untuk meletakkan makna fizikal ke dalamnya: biarkan beberapa badan bergerak sepanjang vektor , dan kemudian sepanjang vektor . Kemudian jumlah vektor ialah vektor laluan yang terhasil dengan permulaan di titik berlepas dan penghujung pada titik ketibaan. Peraturan serupa dirumuskan untuk jumlah sebarang bilangan vektor. Seperti yang mereka katakan, badan itu boleh berjalan sangat condong di sepanjang zigzag, atau mungkin secara autopilot - di sepanjang vektor jumlah yang terhasil.

Dengan cara ini, jika vektor ditangguhkan daripada bermula vektor, maka kita mendapat yang setara peraturan selari penambahan vektor.

Pertama, mengenai kolineariti vektor. Kedua-dua vektor itu dipanggil kolinear, jika mereka terletak pada garisan yang sama atau pada garisan selari. Secara kasarnya, kita bercakap tentang vektor selari. Tetapi kata sifat "kolinear" sentiasa digunakan apabila merujuk kepada mereka.

Bayangkan dua vektor kolinear. Jika anak panah vektor ini diarahkan ke arah yang sama, maka vektor tersebut dipanggil diarahkan bersama. Jika anak panah menghala ke arah yang berbeza, maka vektor akan menjadi arah bertentangan.

Jawatan: keselarasan vektor ditulis dengan simbol selari biasa: , manakala perincian mungkin: (vektor diarahkan bersama) atau (vektor diarahkan bertentangan).

Kerja vektor bukan sifar pada nombor ialah vektor yang panjangnya sama dengan , dan vektor dan diarahkan bersama dan berlawanan diarahkan pada .

Peraturan untuk mendarab vektor dengan nombor lebih mudah difahami dengan bantuan gambar:

Mari kita lihat dengan lebih terperinci:

1) Arah. Jika pengganda adalah negatif, maka vektor bertukar arah ke sebaliknya.

2) Panjang. Jika pengganda terkandung dalam atau , maka panjang vektor berkurangan. Jadi, panjang vektor ialah separuh panjang vektor. Jika modulus pengganda lebih besar daripada satu, maka panjang vektor bertambah dalam masa.

3) Sila ambil perhatian bahawa semua vektor adalah kolinear, manakala satu vektor dinyatakan melalui yang lain, sebagai contoh, . Begitu juga sebaliknya: jika satu vektor boleh dinyatakan melalui yang lain, maka vektor tersebut semestinya kolinear. Oleh itu: jika kita mendarab vektor dengan nombor, kita mendapat kolinear(berbanding dengan yang asal) vektor.

4) Vektor diarahkan bersama. Vektor dan juga diarahkan bersama. Mana-mana vektor kumpulan pertama diarahkan secara bertentangan dengan mana-mana vektor kumpulan kedua.

Vektor yang manakah sama?

Dua vektor adalah sama jika ia berada dalam arah yang sama dan mempunyai panjang yang sama. Ambil perhatian bahawa kodirectionality membayangkan keselarasan vektor. Takrifan akan menjadi tidak tepat (berlebihan) jika kita berkata: "Dua vektor adalah sama jika ia adalah kolinear, codirectional, dan mempunyai panjang yang sama."

Dari sudut pandangan konsep vektor bebas, vektor yang sama adalah vektor yang sama, seperti yang dibincangkan dalam perenggan sebelumnya.

Koordinat vektor pada satah dan di angkasa

Perkara pertama adalah untuk mempertimbangkan vektor pada pesawat. Mari kita gambarkan sistem koordinat segi empat tepat Cartesian dan plotkannya dari asal koordinat bujang vektor dan:

Vektor dan ortogon. Ortogonal = Serenjang. Saya mengesyorkan agar anda perlahan-lahan membiasakan diri dengan istilah: bukannya selari dan berserenjang, kami menggunakan perkataan masing-masing kolineariti Dan ortogonal.

Jawatan: Keortogonan vektor ditulis dengan simbol keserenjang biasa, contohnya: .

Vektor yang sedang dipertimbangkan dipanggil vektor koordinat atau orts. Vektor ini terbentuk asas di permukaan. Apa asasnya, saya fikir, secara intuitif jelas kepada ramai maklumat yang lebih terperinci boleh didapati dalam artikel Kebergantungan linear (bukan) vektor. Asas vektor Dengan kata mudah, asas dan asal koordinat menentukan keseluruhan sistem - ini adalah sejenis asas di mana kehidupan geometri yang penuh dan kaya mendidih.

Kadang-kadang asas yang dibina dipanggil ortonormal asas satah: "ortho" - kerana vektor koordinat adalah ortogon, kata sifat "dinormalkan" bermaksud unit, i.e. panjang vektor asas adalah sama dengan satu.

Jawatan: asasnya biasanya ditulis dalam kurungan, di dalamnya dalam urutan yang ketat vektor asas disenaraikan, contohnya: . Vektor koordinat ia adalah dilarang susun semula.

mana-mana vektor pesawat satu-satunya cara dinyatakan sebagai:
, Di mana - nombor yang dipanggil koordinat vektor dalam asas ini. Dan ungkapan itu sendiri dipanggil penguraian vektorsecara asas .

Makan malam dihidangkan:

Mari kita mulakan dengan huruf pertama abjad: . Lukisan jelas menunjukkan bahawa apabila mengurai vektor menjadi asas, yang baru dibincangkan digunakan:
1) peraturan untuk mendarab vektor dengan nombor: dan ;
2) penambahan vektor mengikut peraturan segitiga: .

Sekarang plot secara mental vektor dari mana-mana titik lain pada pesawat. Agak jelas bahawa kerosakannya akan "mengikutinya tanpa henti." Inilah, kebebasan vektor - vektor "membawa segala-galanya dengan dirinya sendiri." Sifat ini, sudah tentu, adalah benar untuk mana-mana vektor. Sungguh lucu bahawa vektor asas (percuma) itu sendiri tidak perlu diplot dari asal; satu boleh dilukis, sebagai contoh, di bahagian bawah kiri, dan yang lain di bahagian atas sebelah kanan, dan tiada apa yang akan berubah! Benar, anda tidak perlu melakukan ini, kerana guru juga akan menunjukkan keaslian dan menarik anda "kredit" di tempat yang tidak dijangka.

Vektor menggambarkan dengan tepat peraturan untuk mendarab vektor dengan nombor, vektor diarahkan bersama dengan vektor asas, vektor diarahkan bertentangan dengan vektor asas. Untuk vektor ini, salah satu koordinat adalah sama dengan sifar anda boleh menulisnya dengan teliti seperti ini:


Dan vektor asas, dengan cara ini, adalah seperti ini: (sebenarnya, mereka dinyatakan melalui diri mereka sendiri).

Dan akhirnya: , . Ngomong-ngomong, apakah penolakan vektor, dan mengapa saya tidak bercakap tentang peraturan penolakan? Di suatu tempat dalam algebra linear, saya tidak ingat di mana, saya perhatikan bahawa penolakan ialah kes penambahan khas. Oleh itu, pengembangan vektor "de" dan "e" dengan mudah ditulis sebagai jumlah: , . Susun semula istilah dan lihat dalam lukisan sejauh mana penambahan vektor lama yang baik mengikut peraturan segitiga berfungsi dalam situasi ini.

Penguraian bentuk yang dianggap kadangkala dipanggil penguraian vektor dalam sistem ort(iaitu dalam sistem vektor unit). Tetapi ini bukan satu-satunya cara untuk menulis vektor, pilihan berikut adalah perkara biasa:

Atau dengan tanda yang sama:

Vektor asas itu sendiri ditulis seperti berikut: dan

Iaitu, koordinat vektor ditunjukkan dalam kurungan. Dalam masalah praktikal, ketiga-tiga pilihan notasi digunakan.

Saya ragu-ragu sama ada untuk bercakap, tetapi saya akan tetap mengatakannya: koordinat vektor tidak boleh disusun semula. Tegas di tempat pertama kita tuliskan koordinat yang sepadan dengan vektor unit, ketat di tempat kedua kita tuliskan koordinat yang sepadan dengan vektor unit. Sesungguhnya, dan adalah dua vektor yang berbeza.

Kami mengetahui koordinat di dalam pesawat. Sekarang mari kita lihat vektor dalam ruang tiga dimensi, hampir semuanya sama di sini! Ia hanya akan menambah satu lagi koordinat. Sukar untuk membuat lukisan tiga dimensi, jadi saya akan menghadkan diri saya kepada satu vektor, yang untuk kesederhanaan saya akan ketepikan daripada asal:

mana-mana vektor ruang 3D satu-satunya cara berkembang mengikut asas ortonormal:
, di manakah koordinat vektor (nombor) dalam asas ini.

Contoh dari gambar: . Mari lihat cara peraturan vektor berfungsi di sini. Pertama, darabkan vektor dengan nombor: (anak panah merah), (anak panah hijau) dan (anak panah raspberi). Kedua, berikut ialah contoh menambah beberapa, dalam kes ini tiga, vektor: . Vektor jumlah bermula pada titik permulaan berlepas (permulaan vektor) dan berakhir pada titik ketibaan akhir (akhir vektor).

Semua vektor ruang tiga dimensi, secara semula jadi, juga bebas; cuba mengetepikan vektor secara mental dari mana-mana titik lain, dan anda akan memahami bahawa penguraiannya "akan kekal bersamanya."

Serupa dengan flat case, selain menulis versi dengan kurungan digunakan secara meluas: sama ada .

Jika satu (atau dua) vektor koordinat hilang dalam pengembangan, maka sifar diletakkan di tempatnya. Contoh:
vektor (dengan teliti ) - Mari menulis ;
vektor (dengan teliti ) - Mari menulis ;
vektor (dengan teliti ) - Mari menulis .

Vektor asas ditulis seperti berikut:

Ini, mungkin, adalah semua pengetahuan teoretikal minimum yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah geometri analitik. Mungkin terdapat banyak istilah dan takrifan, jadi saya mengesyorkan agar teko membaca semula dan memahami maklumat ini sekali lagi. Dan ia akan berguna bagi mana-mana pembaca untuk merujuk kepada pelajaran asas dari semasa ke semasa untuk mengasimilasikan bahan dengan lebih baik. Kolineariti, ortogonal, asas ortonormal, penguraian vektor - konsep ini dan lain-lain akan sering digunakan pada masa hadapan. Saya perhatikan bahawa bahan-bahan di laman web ini tidak mencukupi untuk lulus ujian teori atau kolokium mengenai geometri, kerana saya menyulitkan semua teorem dengan teliti (dan tanpa bukti) - yang menjejaskan gaya persembahan saintifik, tetapi menambah pemahaman anda tentang subjek. Untuk menerima maklumat teori yang terperinci, sila tunduk kepada Profesor Atanasyan.

Dan kita beralih ke bahagian praktikal:

Masalah paling mudah bagi geometri analitik.
Tindakan dengan vektor dalam koordinat

Adalah sangat dinasihatkan untuk mempelajari cara menyelesaikan tugas yang akan dipertimbangkan sepenuhnya secara automatik, dan formula hafal, anda tidak perlu mengingatinya dengan sengaja, mereka akan mengingatinya sendiri =) Ini sangat penting, kerana masalah geometri analitik yang lain adalah berdasarkan contoh asas yang paling mudah, dan ia akan menjengkelkan untuk menghabiskan masa tambahan makan bidak . Tidak perlu mengikat butang atas pada baju anda; banyak perkara yang anda biasa dari sekolah.

Penyampaian bahan akan mengikuti kursus selari - baik untuk pesawat dan ruang angkasa. Atas sebab semua formula... anda akan lihat sendiri.

Bagaimana untuk mencari vektor dari dua titik?

Jika dua titik satah dan diberi, maka vektor mempunyai koordinat berikut:

Jika dua titik dalam ruang dan diberi, maka vektor mempunyai koordinat berikut:

Itu dia, daripada koordinat hujung vektor anda perlu menolak koordinat yang sepadan permulaan vektor.

Senaman: Untuk titik yang sama, tuliskan formula untuk mencari koordinat vektor. Formula pada akhir pelajaran.

Contoh 1

Diberi dua titik satah dan . Cari koordinat vektor

Penyelesaian: mengikut formula yang sepadan:

Sebagai alternatif, entri berikut boleh digunakan:

Aesthetes akan memutuskan ini:

Secara peribadi, saya sudah biasa dengan versi pertama rakaman.

Jawapan:

Mengikut syarat itu, tidak perlu membina lukisan (yang tipikal untuk masalah geometri analitik), tetapi untuk menjelaskan beberapa perkara untuk boneka, saya tidak akan malas:

Anda pasti perlu faham perbezaan antara koordinat titik dan koordinat vektor:

Koordinat titik– ini adalah koordinat biasa dalam sistem koordinat segi empat tepat. Saya rasa semua orang tahu cara memplot mata pada satah koordinat dari gred 5-6. Setiap titik mempunyai tempat yang ketat di dalam pesawat, dan mereka tidak boleh dialihkan ke mana-mana.

Koordinat vektor– ini adalah pengembangannya mengikut asas, dalam kes ini. Mana-mana vektor adalah percuma, jadi jika perlu, kita boleh mengalihkannya dengan mudah dari titik lain dalam pesawat. Adalah menarik bahawa untuk vektor anda tidak perlu membina paksi atau sistem koordinat segi empat tepat sama sekali anda hanya memerlukan asas, dalam kes ini asas ortonormal pesawat.

Rekod koordinat titik dan koordinat vektor nampaknya serupa: , dan maksud koordinat secara mutlak berbeza, dan anda harus sedar tentang perbezaan ini. Perbezaan ini, tentu saja, juga terpakai kepada ruang.

Tuan-tuan dan puan-puan, mari penuhi tangan kita:

Contoh 2

a) Mata dan diberi. Cari vektor dan .
b) Mata diberi Dan . Cari vektor dan .
c) Mata dan diberi. Cari vektor dan .
d) Mata diberi. Cari vektor .

Mungkin itu sudah cukup. Ini adalah contoh untuk anda membuat keputusan sendiri, cuba untuk tidak mengabaikannya, ia akan membawa hasil ;-). Tidak perlu membuat lukisan. Penyelesaian dan jawapan pada akhir pelajaran.

Apakah yang penting semasa menyelesaikan masalah geometri analisis? Adalah penting untuk BERHATI-HATI untuk mengelak daripada membuat kesilapan "dua tambah dua sama dengan sifar" yang mahir. Saya minta maaf segera jika saya membuat kesilapan di mana-mana =)

Bagaimana untuk mencari panjang segmen?

Panjang, seperti yang telah dinyatakan, ditunjukkan oleh tanda modulus.

Jika dua titik satah diberi dan , maka panjang segmen boleh dikira menggunakan formula

Jika dua titik dalam ruang dan diberi, maka panjang segmen boleh dikira menggunakan formula

Catatan: Formula akan kekal betul jika koordinat yang sepadan ditukar: dan , tetapi pilihan pertama adalah lebih standard

Contoh 3

Penyelesaian: mengikut formula yang sepadan:

Jawapan:

Untuk kejelasan, saya akan membuat lukisan

Segmen baris - ini bukan vektor, dan, sudah tentu, anda tidak boleh mengalihkannya ke mana-mana. Di samping itu, jika anda melukis mengikut skala: 1 unit. = 1 cm (dua sel buku nota), maka jawapan yang terhasil boleh disemak dengan pembaris biasa dengan mengukur secara terus panjang segmen.

Ya, penyelesaiannya pendek, tetapi terdapat beberapa perkara yang lebih penting di dalamnya yang ingin saya jelaskan:

Pertama, dalam jawapan kami meletakkan dimensi: "unit". Keadaan itu tidak menyatakan APA itu, milimeter, sentimeter, meter atau kilometer. Oleh itu, penyelesaian yang betul secara matematik ialah rumusan umum: "unit" - disingkatkan sebagai "unit."

Kedua, mari kita ulangi bahan sekolah, yang berguna bukan sahaja untuk tugas yang dipertimbangkan:

Beri perhatian kepada teknik penting – mengeluarkan pengganda dari bawah akar. Hasil daripada pengiraan, kami mempunyai keputusan dan gaya matematik yang baik melibatkan penyingkiran faktor dari bawah punca (jika boleh). Secara lebih terperinci prosesnya kelihatan seperti ini: . Sudah tentu, membiarkan jawapan seperti sedia ada tidak akan menjadi satu kesilapan - tetapi ia pastinya akan menjadi kelemahan dan hujah yang berat untuk bertengkar di pihak guru.

Berikut adalah kes biasa yang lain:

Selalunya akar menghasilkan jumlah yang agak besar, contohnya . Apa yang perlu dilakukan dalam kes sedemikian? Menggunakan kalkulator, kami menyemak sama ada nombor itu boleh dibahagi dengan 4: . Ya, ia dibahagikan sepenuhnya, dengan itu: . Atau mungkin nombor itu boleh dibahagikan dengan 4 lagi? . Oleh itu: . Digit terakhir nombor adalah ganjil, jadi membahagikan dengan 4 untuk kali ketiga jelas tidak akan berfungsi. Jom cuba bahagi dengan sembilan: . Akibatnya:
sedia.

Kesimpulan: jika di bawah punca kita mendapat nombor yang tidak boleh diekstrak secara keseluruhan, maka kita cuba mengalih keluar faktor dari bawah punca - menggunakan kalkulator kita menyemak sama ada nombor itu boleh dibahagikan dengan: 4, 9, 16, 25, 36, 49, dsb.

Apabila menyelesaikan pelbagai masalah, akar sering dihadapi; sentiasa cuba mengekstrak faktor dari bawah akar untuk mengelakkan gred yang lebih rendah dan masalah yang tidak perlu dengan memuktamadkan penyelesaian anda berdasarkan komen guru.

Mari kita ulangi punca kuasa dua dan kuasa lain:

Peraturan untuk beroperasi dengan kuasa dalam bentuk umum boleh didapati dalam buku teks algebra sekolah, tetapi saya fikir dari contoh yang diberikan, semuanya atau hampir semuanya sudah jelas.

Tugas untuk penyelesaian bebas dengan segmen dalam ruang:

Contoh 4

Mata dan diberi. Cari panjang ruas itu.

Penyelesaian dan jawapan ada pada akhir pelajaran.

Bagaimana untuk mencari panjang vektor?

Jika vektor satah diberikan, maka panjangnya dikira dengan formula.

Jika vektor ruang diberikan, maka panjangnya dikira dengan formula .

DEFINISI

vektor(dari lat." vektor" - "membawa") - segmen terarah garis lurus di angkasa atau di atas satah.

Secara grafik, vektor digambarkan sebagai segmen garis lurus berarah dengan panjang tertentu. Vektor yang permulaannya pada titik dan penghujung pada titik dilambangkan sebagai (Rajah 1). Vektor juga boleh dilambangkan dengan satu huruf kecil, contohnya, .

Jika sistem koordinat dinyatakan dalam ruang, maka vektor boleh ditentukan secara unik oleh satu set koordinatnya. Maksudnya, vektor difahami sebagai objek yang mempunyai magnitud (panjang), arah dan titik aplikasi (permulaan vektor).

Prinsip kalkulus vektor muncul dalam karya ahli matematik, mekanik, fizik, astronomi dan juruukur Jerman Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) pada tahun 1831. Karya mengenai operasi dengan vektor telah diterbitkan oleh ahli matematik Ireland, mekanik dan ahli fizik teori, Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) sebagai sebahagian daripada kalkulus kuaternionnya. Saintis mencadangkan istilah "vektor" dan menerangkan beberapa operasi pada vektor. Kalkulus vektor telah dibangunkan lagi terima kasih kepada kerja mengenai elektromagnetisme oleh ahli fizik, ahli matematik dan mekanik British James Clerk Maxwell (1831-1879). Pada tahun 1880-an, buku "Elemen Analisis Vektor" oleh ahli fizik, ahli kimia fizikal, ahli matematik dan mekanik Amerika Josiah Willard Gibbs (1839-1903) telah diterbitkan. Analisis vektor moden diterangkan pada tahun 1903 dalam karya saintis, jurutera, ahli matematik dan fizik Inggeris yang diajar sendiri, Oliver Heaviside (1850-1925).

DEFINISI

Panjang atau modul vektor ialah panjang segmen terarah yang mentakrifkan vektor. Ditandakan sebagai .

Jenis utama vektor

vektor sifar dipanggil vektor yang titik permulaan dan titik penamatnya bertepatan. Panjang vektor sifar ialah sifar.

Vektor selari dengan satu garisan atau terletak pada satu baris dipanggil kolinear(Gamb. 2).

diarahkan bersama, jika arahan mereka bertepatan.

Dalam Rajah 2 ini adalah vektor dan . Arah bersama vektor ditunjukkan seperti berikut: .

Dua vektor kolinear dipanggil berlawanan arah, jika arah mereka bertentangan.

Dalam Rajah 3 ini adalah vektor dan . Jawatan: .

Vektor ialah segmen berarah garis lurus dalam ruang Euclidean, satu hujungnya (titik A) dipanggil permulaan vektor, dan hujung satu lagi (titik B) hujung vektor (Rajah 1). Vektor ditetapkan:

Jika permulaan dan akhir vektor bertepatan, maka vektor dipanggil vektor sifar dan ditetapkan 0 .

Contoh. Biarkan permulaan vektor dalam ruang dua dimensi mempunyai koordinat A(12.6), dan hujung vektor ialah koordinat B(12.6). Maka vektor ialah vektor sifar.

Panjang segmen AB dipanggil modul (panjang, kebiasaan) vektor dan dilambangkan dengan | a|. Vektor yang panjangnya sama dengan satu dipanggil vektor unit. Sebagai tambahan kepada modul, vektor dicirikan oleh arah: vektor mempunyai arah dari A Kepada B. Vektor dipanggil vektor, bertentangan vektor.

Kedua-dua vektor itu dipanggil kolinear, jika mereka terletak pada garisan yang sama atau pada garisan selari. Dalam gambar Rajah. 3 vektor merah adalah kolinear, kerana mereka terletak pada garis lurus yang sama, dan vektor biru adalah kolinear, kerana mereka terletak pada garisan selari. Dua vektor kolinear dipanggil sama diarahkan, jika hujungnya terletak pada sisi yang sama pada garis lurus yang menghubungkan permulaannya. Dua vektor kolinear dipanggil berlawanan arah, jika hujungnya terletak pada sisi bertentangan garis lurus yang menghubungkan permulaannya. Jika dua vektor kolinear terletak pada garis lurus yang sama, maka ia dipanggil berarah sama jika salah satu sinar yang dibentuk oleh satu vektor mengandungi sepenuhnya sinar yang dibentuk oleh vektor yang lain. Jika tidak, vektor dikatakan berlawanan arah. Dalam Rajah 3, vektor biru diarahkan sama, dan vektor merah diarahkan secara bertentangan.

Kedua-dua vektor itu dipanggil sama rata jika mereka mempunyai modul yang sama dan arah yang sama. Dalam Rajah 2, vektor adalah sama kerana modul mereka adalah sama dan mempunyai hala tuju yang sama.

Vektor dipanggil coplanar, jika mereka terletak pada satah yang sama atau dalam satah selari.

DALAM n Dalam ruang vektor dimensi, pertimbangkan set semua vektor yang titik permulaannya bertepatan dengan asal koordinat. Kemudian vektor boleh ditulis dalam bentuk berikut:

(1)

di mana x 1 , x 2 , ..., x n koordinat titik akhir vektor x.

Vektor yang ditulis dalam bentuk (1) dipanggil vektor baris, dan vektor yang ditulis dalam bentuk

(2)

dipanggil vektor lajur.

Nombor n dipanggil dimensi (mengikut tertib) vektor. Jika maka vektor itu dipanggil vektor sifar(sejak titik permulaan vektor ). Dua vektor x Dan y adalah sama jika dan hanya jika elemen yang sepadan adalah sama.