Müxtəlif əsaslı loqarifmik bərabərsizliklərin həlli. Kompleks loqarifmik bərabərsizliklər

Məxfiliyinizi qorumaq bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən biz sizin məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik təcrübələrimizi nəzərdən keçirin və hər hansı sualınız olarsa, bizə bildirin.

Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.

İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

• Saytda ərizə təqdim etdiyiniz zaman biz müxtəlif məlumatlar, o cümlədən adınız, telefon nömrəniz, ünvanınız toplaya bilərik E-poçt və s.

Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

• Bizim tərəfimizdən yığılmışdır Şəxsi məlumat Bizə sizinlə əlaqə saxlamağa və unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlər haqqında məlumat verməyə imkan verir.
• Zaman-zaman biz sizin şəxsi məlumatlarınızdan vacib bildirişlər və kommunikasiyalar göndərmək üçün istifadə edə bilərik.
• Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlər, məlumatların təhlili və müxtəlif araşdırmalar aparmaq kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
• Əgər siz uduş tirajında, müsabiqədə və ya oxşar təşviqatda iştirak edirsinizsə, biz bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

Üçüncü tərəflərə məlumatların açıqlanması

Sizdən alınan məlumatları üçüncü tərəflərə açıqlamırıq.

İstisnalar:

• Zəruri hallarda qanunvericiliyə uyğun olaraq məhkəmə proseduru, məhkəmə prosesində və/və ya ictimai sorğular və ya sorğular əsasında dövlət qurumları Rusiya Federasiyasının ərazisində - şəxsi məlumatlarınızı açıqlayın. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai əhəmiyyətli məqsədlər üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
• Yenidən təşkil, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq varisə üçüncü tərəfə ötürə bilərik.

Şəxsi məlumatların qorunması

Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilmədən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirləri görürük.

Şirkət səviyyəsində məxfiliyinizə hörmət etmək

Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz əməkdaşlarımıza məxfilik və təhlükəsizlik standartlarını çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.

Bütün müxtəlifliklər arasında loqarifmik bərabərsizliklər Dəyişən əsaslı bərabərsizliklər ayrıca öyrənilir. Onlar nədənsə məktəbdə nadir hallarda öyrədilmiş xüsusi bir düsturdan istifadə etməklə həll olunur:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

“∨” qeyd xanası əvəzinə hər hansı bərabərsizlik işarəsi qoya bilərsiniz: az və ya çox. Əsas odur ki, hər iki bərabərsizlikdə işarələr eynidir.

Bu yolla biz loqarifmlərdən xilas olur və problemi rasional bərabərsizliyə endirmiş oluruq. Sonuncunu həll etmək daha asandır, lakin loqarifmləri atarkən əlavə köklər görünə bilər. Onları kəsmək üçün ərazini tapmaq kifayətdir məqbul dəyərlər. Əgər loqarifmin ODZ-ni unutmusunuzsa, onu təkrarlamağı şiddətlə tövsiyə edirəm - "Loqarifm nədir" bölməsinə baxın.

Məqbul dəyərlər diapazonu ilə əlaqəli hər şey ayrıca yazılmalı və həll edilməlidir:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Bu dörd bərabərsizlik bir sistem təşkil edir və eyni zamanda təmin edilməlidir. Məqbul dəyərlər diapazonu tapıldıqda, qalan şey onu həll yolu ilə kəsməkdir rasional bərabərsizlik- və cavab hazırdır.

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

Əvvəlcə loqarifmin ODZ-ni yazaq:

İlk iki bərabərsizlik avtomatik olaraq ödənilir, lakin sonuncunu yazmaq lazımdır. Sayın kvadratından bəri sıfıra bərabərdirəgər və yalnız ədədin özü sıfırdırsa, bizdə:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Belə çıxır ki, loqarifmin ODZ-si sıfırdan başqa bütün ədədlərdir: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). İndi əsas bərabərsizliyi həll edirik:

Loqarifmik bərabərsizlikdən rasional bərabərsizliyə keçid edirik. Orijinal bərabərsizliyin “kiçik” işarəsi var, yəni nəticədə yaranan bərabərsizliyin də “kiçik” işarəsi olmalıdır. Bizdə:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Bu ifadənin sıfırları: x = 3; x = −3; x = 0. Üstəlik, x = 0 ikinci çoxluğun köküdür, yəni ondan keçərkən funksiyanın işarəsi dəyişmir. Bizdə:

Biz x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) alırıq. Bu dəst tamamilə loqarifmin ODZ-də yer alır, yəni cavab budur.

Loqarifmik bərabərsizliklərin çevrilməsi

Çox vaxt orijinal bərabərsizlik yuxarıdakıdan fərqlidir. Bu, loqarifmlərlə işləmək üçün standart qaydalardan istifadə etməklə asanlıqla düzəldilə bilər - "Loqarifmlərin əsas xüsusiyyətləri"nə baxın. Məhz:

1. İstənilən ədəd verilmiş baza ilə loqarifm kimi təqdim edilə bilər;
2. Eyni əsaslara malik loqarifmlərin cəmi və fərqi bir loqarifmlə əvəz edilə bilər.

Ayrı-ayrılıqda sizə məqbul dəyərlərin diapazonunu xatırlatmaq istərdim. İlkin bərabərsizlikdə bir neçə loqarifm ola biləcəyi üçün onların hər birinin VA-sını tapmaq tələb olunur. Beləliklə, ümumi sxem Loqarifmik bərabərsizliklərin həlli aşağıdakı kimidir:

1. Bərabərsizliyə daxil olan hər bir loqarifmin VA-nı tapın;
2. Loqarifmləri toplamaq və çıxmaq üçün düsturlardan istifadə edərək bərabərsizliyi standart birinə endirmək;
3. Yuxarıda verilmiş sxemdən istifadə edərək yaranan bərabərsizliyi həll edin.

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

Birinci loqarifmin tərif sahəsini (DO) tapaq:

Interval metodundan istifadə edərək həll edirik. Numeratorun sıfırlarının tapılması:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Sonra - məxrəcin sıfırları:

x − 1 = 0;
x = 1.

Koordinat oxunda sıfırları və işarələri qeyd edirik:

Biz x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) alırıq. İkinci ODZ-nin loqarifmi eyni olacaq. İnanmırsınızsa yoxlaya bilərsiniz. İndi ikinci loqarifmi çeviririk ki, əsas iki olsun:

Gördüyünüz kimi, loqarifmin bazasında və qarşısındakı üçlüklər azaldılıb. Eyni əsaslı iki loqarifm əldə etdik. Onları əlavə edək:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Standart loqarifmik bərabərsizliyi əldə etdik. Düsturdan istifadə edərək loqarifmlərdən xilas oluruq. İlkin bərabərsizlikdə “kiçik” işarəsi olduğu üçün nəticədə yaranan rasional ifadə də olmalıdır sıfırdan azdır. Bizdə:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

İki dəstimiz var:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Namizədin cavabı: x ∈ (−1; 3).

Bu dəstləri kəsmək qalır - əsl cavabı alırıq:

Biz dəstlərin kəsişməsi ilə maraqlanırıq, buna görə də hər iki oxda kölgələnmiş intervalları seçirik. Biz x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) alırıq - bütün nöqtələr deşilir.

Onlarla loqarifmlər içərisindədir.

Nümunələr:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

Loqarifmik bərabərsizlikləri necə həll etmək olar:

İstənilən loqarifmik bərabərsizliyi \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) formasına endirməyə çalışmalıyıq (\(˅\) simvolu -dən hər hansı birini bildirir). Bu tip loqarifmlər altında ifadələrin bərabərsizliyinə, yəni \(f(x) ˅ g(x)\) formasına keçid edərək, loqarifmlərdən və onların əsaslarından qurtulmağa imkan verir.

Ancaq bu keçidi edərkən çox bir şey var mühüm incəlik:
\(-\) ədəddirsə və 1-dən böyükdürsə, keçid zamanı bərabərsizlik işarəsi dəyişməz qalır,
\(-\) əgər əsas 0-dan böyük, lakin 1-dən kiçik bir ədəddirsə (sıfırla bir arasında yerləşir), onda bərabərsizlik işarəsi əksinə dəyişməlidir, yəni.

Çox vacib!İstənilən bərabərsizlikdə \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) formasından loqarifmlər altında ifadələrin müqayisəsinə keçid yalnız aşağıdakı hallarda həyata keçirilə bilər:

Misal . Bərabərsizliyi həll edin: \(\log\)\(≤-1\)

Həll:

Misal . Bərabərsizliyi həll edin: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Həll:

Loqarifmik bərabərsizliklər

Əvvəlki dərslərdə biz loqarifmik tənliklərlə tanış olduq və indi onların nə olduğunu və necə həll olunacağını bilirik. Bugünkü dərsimiz loqarifmik bərabərsizliklərin öyrənilməsinə həsr olunacaq. Bu bərabərsizliklər nədir və loqarifmik tənliklə bərabərsizliyin həlli arasında fərq nədir?

Loqarifmik bərabərsizliklər, loqarifm işarəsi altında və ya onun əsasında dəyişən görünən bərabərsizliklərdir.

Yaxud onu da deyə bilərik ki, loqarifmik bərabərsizlik loqarifmik tənlikdə olduğu kimi naməlum qiymətinin loqarifmin işarəsi altında görünəcəyi bərabərsizlikdir.

Ən sadə loqarifmik bərabərsizliklər aşağıdakı formaya malikdir:

burada f(x) və g(x) x-dən asılı olan bəzi ifadələrdir.

Bu misaldan istifadə edərək buna baxaq: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Loqarifmik bərabərsizliklərin həlli

Loqarifmik bərabərsizlikləri həll etməzdən əvvəl qeyd etmək lazımdır ki, onlar həll edildikdə eksponensial bərabərsizliklərə bənzəyirlər, yəni:

Birincisi, loqarifmlərdən loqarifm işarəsi altında ifadələrə keçərkən, biz də loqarifmin əsasını bir ilə müqayisə etməliyik;

İkincisi, dəyişənlərin dəyişməsindən istifadə edərək loqarifmik bərabərsizliyi həll edərkən, ən sadə bərabərsizliyi əldə edənə qədər dəyişikliyə görə bərabərsizlikləri həll etməliyik.

Amma siz və mən loqarifmik bərabərsizliklərin həllinin oxşar cəhətlərini nəzərdən keçirdik. İndi olduqca əhəmiyyətli bir fərqə diqqət yetirək. Siz və mən bilirik ki, loqarifmik funksiya məhdud bir tərif sahəsinə malikdir, buna görə də logarifmlərdən loqarifm işarəsi altında ifadələrə keçərkən icazə verilən dəyərlər diapazonunu (ADV) nəzərə almalıyıq.

Yəni nəzərə almaq lazımdır ki, loqarifmik tənliyi həll edərkən siz və mən əvvəlcə tənliyin köklərini tapa bilərik, sonra isə bu həlli yoxlaya bilərik. Lakin loqarifmik bərabərsizliyin həlli bu şəkildə işləməyəcək, çünki loqarifmlərdən loqarifm işarəsi altında ifadələrə keçərkən bərabərsizliyin ODZ-ni yazmaq lazım olacaq.

Bundan əlavə, bərabərsizliklər nəzəriyyəsinin müsbət və mənfi ədədlər olan həqiqi ədədlərdən, həmçinin 0 rəqəmindən ibarət olduğunu xatırlamağa dəyər.

Məsələn, “a” rəqəmi müsbət olduqda, aşağıdakı qeyddən istifadə etməlisiniz: a >0. Bu halda, bu ədədlərin həm cəmi, həm də hasili də müsbət olacaqdır.

Bərabərsizliyin həllinin əsas prinsipi onu daha sadə bərabərsizliklə əvəz etməkdir, lakin əsas odur ki, o, verilənə ekvivalent olsun. Bundan əlavə, biz də bərabərsizlik əldə etdik və yenidən onu daha sadə forması olan ilə əvəz etdik və s.

Dəyişənlə bərabərsizlikləri həll edərkən onun bütün həll yollarını tapmaq lazımdır. Əgər iki bərabərsizlik eyni x dəyişəninə malikdirsə, onların həlli üst-üstə düşmək şərti ilə belə bərabərsizliklər ekvivalentdir.

Loqarifmik bərabərsizliklərin həlli ilə bağlı tapşırıqları yerinə yetirərkən yadda saxlamaq lazımdır ki, a > 1 olduqda, loqarifmik funksiya artır, 0 olduqda isə.< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Loqarifmik bərabərsizliklərin həlli üsulları

İndi isə loqarifmik bərabərsizliklərin həlli zamanı baş verən bəzi üsullara nəzər salaq. Daha yaxşı başa düşmək və assimilyasiya etmək üçün konkret nümunələrdən istifadə edərək onları anlamağa çalışacağıq.

Hamımız bilirik ki, ən sadə loqarifmik bərabərsizliyin aşağıdakı forması var:

Bu bərabərsizlikdə V – aşağıdakı bərabərsizlik işarələrindən biridir:<,>, ≤ və ya ≥.

Verilmiş loqarifmin əsası birdən (a>1) böyük olduqda, loqarifmlərdən loqarifm işarəsi altında ifadələrə keçid edildikdə, bu versiyada bərabərsizlik işarəsi qorunur və bərabərsizlik aşağıdakı formaya sahib olacaqdır:

bu sistemə bərabərdir:

Loqarifmin əsası sıfırdan böyük və birdən kiçik olduqda (0

Bu sistemə bərabərdir:

Aşağıdakı şəkildə göstərilən ən sadə loqarifmik bərabərsizliklərin həlli üçün daha çox nümunələrə baxaq:

Nümunələrin həlli

Məşq edin. Bu bərabərsizliyi həll etməyə çalışaq:

Məqbul dəyərlər diapazonunun həlli.

İndi onun sağ tərəfini vurmağa çalışaq:

Gəlin görək nəyə nail ola bilərik:

İndi isə subloqarifmik ifadələrin çevrilməsinə keçək. Loqarifmin əsasının 0 olmasına görə< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

Və buradan belə çıxır ki, əldə etdiyimiz interval tamamilə ODZ-yə aiddir və belə bir bərabərsizliyin həllidir.

Aldığımız cavab budur:

Loqarifmik bərabərsizlikləri həll etmək üçün nə lazımdır?

İndi gəlin loqarifmik bərabərsizlikləri uğurla həll etmək üçün nəyə ehtiyacımız olduğunu təhlil etməyə çalışaq?

Birincisi, bütün diqqətinizi cəmləyin və bu bərabərsizlikdə verilən çevrilmələri yerinə yetirərkən səhv etməməyə çalışın. Həmçinin, yadda saxlamaq lazımdır ki, belə bərabərsizlikləri həll edərkən kənar həllərin itirilməsinə və ya alınmasına səbəb ola biləcək bərabərsizliklərin genişlənməsi və büzülməsinin qarşısını almaq lazımdır.

İkincisi, loqarifmik bərabərsizlikləri həll edərkən məntiqi düşünməyi və bərabərsizliklər sistemi və bərabərsizliklər toplusu kimi anlayışlar arasındakı fərqi başa düşməyi öyrənməlisiniz ki, onun DL-ni rəhbər tutmaqla bərabərsizliyin həllini asanlıqla seçə biləsiniz.

Üçüncüsü, belə bərabərsizlikləri uğurla həll etmək üçün hər biriniz elementar funksiyaların bütün xassələrini mükəmməl bilməli və onların mənasını aydın başa düşməlisiniz. Bu cür funksiyalara təkcə loqarifmik deyil, həm də rasional, güc, triqonometrik və s., bir sözlə, bütün müddət ərzində öyrəndiyiniz funksiyalar daxildir. məktəb cəbr.

Gördüyünüz kimi, loqarifmik bərabərsizliklər mövzusunu öyrənərək, məqsədlərinə çatmaqda diqqətli və israrlı olsanız, bu bərabərsizliklərin həllində çətin bir şey yoxdur. Bərabərsizliklərin həllində hər hansı problemin qarşısını almaq üçün mümkün qədər çox məşq etmək, müxtəlif tapşırıqları həll etmək və eyni zamanda belə bərabərsizliklərin və onların sistemlərinin həllinin əsas üsullarını xatırlamaq lazımdır. Əgər loqarifmik bərabərsizlikləri həll edə bilmirsinizsə, gələcəkdə onlara bir daha qayıtmamaq üçün səhvlərinizi diqqətlə təhlil etməlisiniz.

Ev tapşırığı

Mövzunu daha yaxşı başa düşmək və əhatə olunan materialı birləşdirmək üçün aşağıdakı bərabərsizlikləri həll edin:

İSTİFADƏDƏ LOQARİFMİK BƏRABƏRBƏRBƏRBƏRBƏRLƏR

Seçin Mixail Aleksandroviç

Qazaxıstan Respublikası Tələbələri üçün Kiçik Elmlər Akademiyası “İskatel”

MBOU "Sovetskaya 1 nömrəli orta məktəb", 11-ci sinif, şəhər. Sovetski Sovetski rayonu

Gunko Lyudmila Dmitrievna, "Sovetskaya 1 nömrəli tam orta məktəb" Bələdiyyə Büdcə Təhsil Müəssisəsinin müəllimi

Sovetski rayonu

İşin məqsədi: qeyri-standart üsullardan istifadə etməklə C3 loqarifmik bərabərsizliklərin həlli mexanizminin öyrənilməsi, müəyyən edilməsi maraqlı faktlar loqarifm

Tədqiqatın mövzusu:

3) Qeyri-standart üsullardan istifadə edərək xüsusi loqarifmik bərabərsizlikləri C3 həll etməyi öyrənin.

Nəticələr:

Məzmun

Giriş……………………………………………………………………………….4

Fəsil 1. Məsələnin tarixi…………………………………………………5

Fəsil 2. Loqarifmik bərabərsizliklərin toplanması ………………………… 7

2.1. Ekvivalent keçidlər və ümumiləşdirilmiş interval üsulu…………… 7

2.2. Rasionallaşdırma metodu…………………………………………………………… 15

2.3. Qeyri-standart əvəzetmə……………………………………… ............ 22

2.4. Tələlərlə tapşırıqlar…………………………………………………27

Nəticə……………………………………………………………………………… 30

Ədəbiyyat………………………………………………………………. 31

Giriş

Mən 11-ci sinifdəyəm və universitetə ​​daxil olmağı planlaşdırıram ixtisaslaşdırılmış mövzu riyaziyyatdır. Buna görə də mən C hissəsindəki məsələlərlə çox işləyirəm. C3 tapşırığında adətən loqarifmlərlə əlaqəli qeyri-standart bərabərsizliyi və ya bərabərsizliklər sistemini həll etməliyəm. İmtahana hazırlaşarkən C3-də təklif olunan imtahan loqarifmik bərabərsizliklərinin həlli üçün metod və üsulların çatışmazlığı problemi ilə üzləşdim. Tədqiq olunan metodlar məktəb kurikulumu bu mövzuda C3 tapşırıqlarını həll etmək üçün əsas vermir. Riyaziyyat müəllimi mənə onun rəhbərliyi altında müstəqil olaraq C3 tapşırıqları üzərində işləməyi təklif etdi. Bundan əlavə, məni sual maraqlandırdı: həyatımızda loqarifmlərlə qarşılaşırıqmı?

Bunu nəzərə alaraq mövzu seçildi:

"Vahid Dövlət İmtahanda Loqarifmik bərabərsizliklər"

İşin məqsədi: qeyri-standart üsullardan istifadə etməklə C3 məsələlərinin həlli mexanizminin öyrənilməsi, loqarifmə dair maraqlı faktların müəyyənləşdirilməsi.

Tədqiqatın mövzusu:

1) Tapın zəruri məlumatlar O qeyri-standart üsullar loqarifmik bərabərsizliklərin həlli.

2) Tapın əlavə informasiya loqarifmlər haqqında.

3) Qərar verməyi öyrənin konkret vəzifələr C3 qeyri-standart metodlardan istifadə etməklə.

Nəticələr:

Praktiki əhəmiyyəti C3 problemlərinin həlli üçün aparatın genişləndirilməsidir. Bu materialdan bəzi dərslərdə, dərnəklərdə və riyaziyyatdan seçmə dərslərdə istifadə etmək olar.

Layihə məhsulu “C3 Loqarifmik Bərabərsizliklər Həllləri” toplusu olacaq.

Fəsil 1. Ümumi məlumat

Bütün 16-cı əsrdə təxmini hesablamaların sayı, ilk növbədə, astronomiyada sürətlə artdı. Alətləri təkmilləşdirmək, planetlərin hərəkətlərini öyrənmək və digər işlər böyük, bəzən çoxillik hesablamalar tələb edirdi. Astronomiya reallaşdırılmamış hesablamalarda boğulmaq təhlükəsi ilə üz-üzə idi. Digər sahələrdə çətinliklər yarandı, məsələn, sığorta işində mürəkkəb faiz cədvəlləri lazım idi müxtəlif mənalar faiz. Əsas çətinlik çoxrəqəmli ədədlərin, xüsusən də triqonometrik kəmiyyətlərin vurulması və bölünməsi idi.

Loqarifmlərin kəşfi 16-cı əsrin sonlarında yaxşı məlum olan irəliləmələrin xüsusiyyətlərinə əsaslanırdı. Arximed Məzmurda q, q2, q3, ... həndəsi tərəqqisinin şərtləri ilə onların 1, 2, 3,... göstəricilərinin arifmetik irəliləməsi arasındakı əlaqədən danışmışdır. Digər ilkin şərt dərəcə anlayışının mənfi və kəsr göstəricilərinə qədər genişlənməsi idi. Bir çox müəlliflər qeyd etmişlər ki, həndəsi proqresiyada vurma, bölmə, eksponentasiya və kök çıxarma arifmetikada uyğun gəlir - eyni ardıcıllıqla - toplama, çıxma, vurma və bölmə.

Burada loqarifmin eksponent kimi ideyası var idi.

Loqarifmlər doktrinasının inkişaf tarixində bir neçə mərhələ keçmişdir.

Mərhələ 1

Loqarifmlər 1594-cü ildən gec olmayaraq müstəqil olaraq Şotlandiya baronu Napier (1550-1617) və on il sonra İsveçrə mexaniki Bürgi (1552-1632) tərəfindən icad edilmişdir. Hər ikisi bu problemə müxtəlif yollarla yanaşsalar da, arifmetik hesablamalar üçün yeni, rahat vasitə təqdim etmək istəyirdilər. Napier loqarifmik funksiyanı kinematik şəkildə ifadə etdi və bununla da funksiyalar nəzəriyyəsinin yeni sahəsinə daxil oldu. Bürgi diskret irəliləyişləri nəzərə almaq əsasında qaldı. Bununla belə, hər ikisi üçün loqarifmin tərifi müasir birinə bənzəmir. "Loqarifm" (loqarifm) termini Napierə aiddir. Birləşməsi nəticəsində yaranmışdır yunan sözləri: logos - “əlaqə” və ariqmo - “rəqəm”, bu da “münasibətlərin sayı” deməkdir. Əvvəlcə Napier fərqli bir termindən istifadə etdi: numeri artificiales - "süni ədədlər", numeri naturalts - "təbii ədədlər" dən fərqli olaraq.

1615-ci ildə Londondakı Qreş Kollecində riyaziyyat professoru Henri Briqqslə (1561-1631) söhbətində Napier sıfırı birin loqarifmi, 100-ü isə onluğun loqarifmi kimi qəbul etməyi təklif etdi. şey, sadəcə 1. Onluq loqarifmlər və ilk loqarifmik cədvəllər belə çap olundu. Daha sonra Briqqsin cədvəlləri hollandiyalı kitab satıcısı və riyaziyyat həvəskarı Adrian Flaccus (1600-1667) tərəfindən tamamlandı. Napier və Briggs, loqarifmə hamıdan tez gəlsələr də, öz cədvəllərini digərlərindən gec - 1620-ci ildə dərc etdilər. İşarələr jurnalı və Log 1624-cü ildə İ.Kepler tərəfindən təqdim edilmişdir. “Təbii loqarifm” termini 1659-cu ildə Menqoli, 1668-ci ildə isə N. Merkator tərəfindən təqdim edilmiş və London müəllimi Con Şpeidel “Yeni Loqarifmlər” adı altında 1-dən 1000-ə qədər olan ədədlərin natural loqarifmlərinin cədvəllərini nəşr etdirmişdir.

İlk loqarifmik cədvəllər 1703-cü ildə rus dilində nəşr edilmişdir. Lakin bütün loqarifmik cədvəllərdə hesablama xətaları var idi. İlk səhvsiz cədvəllər 1857-ci ildə Berlində Alman riyaziyyatçısı K.Bremiker (1804-1877) tərəfindən işlənmiş nəşr edilmişdir.

Mərhələ 2

Loqarifmlər nəzəriyyəsinin sonrakı inkişafı analitik həndəsə və sonsuz kiçik hesablamaların daha geniş tətbiqi ilə bağlıdır. O vaxta qədər bərabərtərəfli hiperbolanın kvadratı ilə natural loqarifm arasında əlaqə qurulmuşdu. Bu dövrün loqarifmlər nəzəriyyəsi bir sıra riyaziyyatçıların adı ilə bağlıdır.

Alman riyaziyyatçısı, astronomu və mühəndisi Nikolaus Mercator essedə

"Logarithmotechnics" (1668) ln(x+1)-in genişlənməsini verən bir sıra verir.

x-in səlahiyyətləri:

Bu ifadə onun düşüncə qatarına tam uyğun gəlir, baxmayaraq ki, o, əlbəttə ki, d, ... işarələrindən istifadə etmirdi, lakin daha çətin simvolizmdir. Loqarifmik sıraların kəşfi ilə loqarifmlərin hesablanması texnikası dəyişdi: onlar sonsuz sıralardan istifadə etməklə təyin olunmağa başladılar. F. Klein 1907-1908-ci illərdə verdiyi “Yüksək nöqteyi-nəzərdən elementar riyaziyyat” adlı mühazirələrində loqarifmlər nəzəriyyəsinin qurulması üçün başlanğıc nöqtəsi kimi düsturdan istifadə etməyi təklif etdi.

Mərhələ 3

Loqarifmik funksiyanın tərs funksiya kimi tərifi

eksponensial, verilmiş bazanın göstəricisi kimi loqarifm

dərhal tərtib edilməmişdir. Leonhard Euler tərəfindən esse (1707-1783)

"Sonsuz kiçiklərin təhlilinə giriş" (1748)

loqarifmik funksiyalar nəzəriyyəsinin inkişafı. Beləliklə,

Loqarifmlərin ilk tətbiqindən 134 il keçir

(1614-cü ildən hesablanır), riyaziyyatçılar tərifə gəlməzdən əvvəl

indi məktəb kursunun əsasını təşkil edən loqarifm anlayışı.

Fəsil 2. Loqarifmik bərabərsizliklərin toplanması

2.1. Ekvivalent keçidlər və intervalların ümumiləşdirilmiş üsulu.

Ekvivalent keçidlər

, a > 1 olarsa

, əgər 0 < а < 1

Ümumiləşdirilmiş interval metodu

Bu üsul demək olar ki, istənilən növ bərabərsizlikləri həll edərkən ən universaldır. Həll diaqramı belə görünür aşağıdakı şəkildə:

1. Bərabərsizliyi sol tərəfdəki funksiyanın olduğu formaya gətirin
, və sağda 0.

2. Funksiyanın oblastını tapın
.

3. Funksiyanın sıfırlarını tapın
, yəni tənliyi həll edin
(və tənliyi həll etmək adətən bərabərsizliyi həll etməkdən daha asandır).

4. Ədəd xəttində funksiyanın təyinetmə oblastını və sıfırlarını çəkin.

5. Funksiyanın əlamətlərini təyin edin
əldə edilmiş intervallar üzrə.

6. Funksiyanın tələb olunan dəyərləri qəbul etdiyi intervalları seçin və cavabı yazın.

Misal 1.

Həll:

Interval metodunu tətbiq edək

harada

Bu dəyərlər üçün loqarifmik işarələr altındakı bütün ifadələr müsbətdir.

Cavab:

Misal 2.

Həll:

1-ci yol . ADL bərabərsizliklə müəyyən edilir x> 3. Belələri üçün loqarifmlərin götürülməsi x 10-cu bazada alırıq

Son bərabərsizlik genişlənmə qaydalarını tətbiq etməklə həll edilə bilər, yəni. amilləri sıfırla müqayisə edir. Lakin bu halda funksiyanın sabit işarəsinin intervallarını təyin etmək asandır

buna görə də interval metodu tətbiq oluna bilər.

Funksiya f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ davamlıdır x> 3 və nöqtələrdə yox olur x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Beləliklə, funksiyanın sabit işarəsinin intervallarını təyin edirik f(x):

Cavab:

2-ci üsul . İlkin bərabərsizliyə interval metodunun ideyalarını birbaşa tətbiq edək.

Bunu etmək üçün ifadələri xatırlayın a b- a c və ( a - 1)(b- 1) bir işarəsi var. Sonra bərabərsizliyimiz x> 3 bərabərsizliyə bərabərdir

və ya

Son bərabərsizlik interval üsulu ilə həll edilir

Cavab:

Misal 3.

Həll:

Interval metodunu tətbiq edək

Cavab:

Misal 4.

Həll:

2 ildən x 2 - 3x Bütün real üçün + 3 > 0 x, Bu

İkinci bərabərsizliyi həll etmək üçün interval metodundan istifadə edirik

Birinci bərabərsizlikdə əvəz edirik

onda biz 2y 2 bərabərsizliyinə gəlirik - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, bərabərsizliyini təmin edən -0,5< y < 1.

Haradan, çünki

bərabərsizliyini alırıq

hansı zaman həyata keçirilir x, bunun üçün 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

İndi sistemin ikinci bərabərsizliyinin həllini nəzərə alaraq nəhayət əldə edirik

Cavab:

Misal 5.

Həll:

Bərabərsizlik sistemlər toplusuna bərabərdir

və ya

interval metodundan istifadə edək və ya

Cavab verin:

Misal 6.

Həll:

Bərabərsizlik sistemə bərabərdir

Qoy

Sonra y > 0,

və birinci bərabərsizlik

sistemi forma alır

və ya açılır

kvadrat üçbucaqlı amillərlə,

Son bərabərsizliyə interval metodunun tətbiqi,

onun həllərinin şərti qane etdiyini görürük y> 0 hamısı olacaq y > 4.

Beləliklə, ilkin bərabərsizlik sistemə ekvivalentdir:

Beləliklə, bərabərsizliyin həlli yolları hamısıdır

2.2. Rasionallaşdırma üsulu.

Əvvəllər bərabərsizlik səmərələşdirmə üsulu ilə həll edilmirdi, məlum deyildi. Bu "yeni müasir" təsirli üsul eksponensial və loqarifmik bərabərsizliklərin həlli” (S.I.Kolesnikovanın kitabından sitat)
Müəllim onu ​​tanısa da, qorxu var idi - Vahid Dövlət İmtahan eksperti onu tanıyırmı və niyə məktəbdə vermirlər? Müəllimin şagirdə: "Bunu hardan almısan? Otur - 2" deyən vəziyyətlər olub.
İndi bu üsul hər yerdə təbliğ olunur. Və mütəxəssislər üçün var təlimatlar, bu üsulla əlaqəli və "Ən tam nəşrlərdə tipik variantlar..." Həll C3 bu üsuldan istifadə edir.
MÖHTƏŞƏM ÜSUL!

"Sehrli masa"

Digər mənbələrdə

Əgər a >1 və b >1, sonra log a b >0 və (a -1)(b -1)>0;

Əgər a >1 və 0

əgər 0<a<1 и b >1, sonra a b daxil edin<0 и (a -1)(b -1)<0;