Решение дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных. Дифференциальные уравнения для "чайников"

Теоретический минимум

В математической физике при рассмотрении задач, связанных с решением уравнений в частных производных второго порядка, всегда концентрируются
на анализе некоторых основных уравнений: Пуассона, теплопроводности, волнового уравнения. Связано это с возможностью приведения уравнений второго
порядка к т.н. каноническому виду, а именно к тем самым перечисленным только что уравнениям.

Рассмотрим уравнение второго порядка общего вида:
,
где . При этом будем считать без ограничения общности, что матрица коэффициентов симметрическая, т.е.
(это фактически требование независимости смешанных производных от порядка дифференцирования). Далее будем называть эту матрицу матрицей старших
коэффициентов. Строго говоря, одно и то же уравнение в различных точках может относиться к разным типам классификации. Пример будет приведён позже.
В связи с этим замечанием будем говорить о матрице старших коэффициентов в определённой точке. Считаем, что матрица старших коэффициентов представляет
собой матрицу некоторой квадратичной формы. Эту форму можно привести к нормальному виду, т.е. диагональному виду с коэффициентами, равными по модулю
нулю или единице. Напомним, что число положительных коэффициентов называется положительным индексом инерции квадратичной формы, число отрицательных
коэффициентов – отрицательным индексом формы, а число нулевых коэффициентов – дефектом формы. Уравнения можно классифицировать при помощи этих
трёх чисел, которые и будем указывать в порядке их перечисления: . Сумма этих трёх чисел равна количеству независимых переменных.
При этом ясно, что умножение всего уравнения на минус единицу приведёт к тому, что все элементы матрицы старших коэффициентов поменяют знак. Следовательно,
положительный и отрицательный индексы соответствующей формы поменяются ролями. Таким образом, уравнения и принадлежат
к одному типу классификации.
Перечислим основные классы уравнений:
- гиперболическое
- параболическое
- эллиптическое
- ультрагиперболическое
- эллиптико-параболическое
Последние два типа уравнений в стандартных курсах не обсуждаются.

Словесно эту классификацию можно сформулировать следующим образом. Уравнение гиперболическое, если дефект соответствующей квадратичной формы
равен нулю, а один из индексов равен единице. Уравнение параболическое, если его форма имеет равный единице дефект и все коэффициенты одного знака.
Уравнение эллиптическое, если дефект его формы равен нулю и все коэффициенты имеют одинаковый знак.

Примеры уравнений различных типов

Пример 1. Уравнение теплопроводности .

Уравнение параболического типа.

Пример 2. Волновое уравнение .

Уравнение гиперболического типа.

Пример 3. Уравнение Пуассона .

В частности, если справа стоит нуль, то получается уравнение Лапласа.

Пример 4. Уравнение Гельмгольца .

Уравнение эллиптического типа.

Пример 5. Уравнение Трикоми .

Если , то уравнение эллиптическое; если , то уравнение параболическое; если , то уравнение гиперболическое.

Подробнее рассмотрим случай, когда неизвестная функция имеет всего два аргумента:
.
Коэффициенты являются функциями переменных и (в принципе, возможна зависимость и от неизвестной функции (в этом случае уравнение
будет квазилинейным; мы ограничиваемся линейными уравнениями). Уравнение общего вида может быть упрощено путём замены независимых переменных -
приведено к каноническому виду. Этот канонический вид, как и вид замены определяется характеристическим уравнением
.
Характеристическое уравнение, будучи квадратным уравнением относительно производной сразу распадается на два.

Знак подкоренного выражения и определяет тип уравнения.

Гиперболические уравнения
Это случай, когда . Общие интегралы характеристического уравнения .
Выполняется замена .

Параболические уравнения
.
Выполняется замена , где - произвольная дважды дифференцируемая функция, для которой выполняется
условие .

Эллиптические уравнения
Это случай, когда . Общий интеграл характеристического уравнения . Выполняется замена
.

Рассмотрим несколько примеров, в каждом из которых требуется привести уравнение к каноническому виду. Центральную роль в этих примерах играет техника
замены переменных, потому что саму замену указать обычно довольно просто. Совсем просто выполняется линейная замена переменных (случай уравнения с
постоянными коэффициентами).
Замечание . Разумеется при замене переменных есть некоторая свобода. Например, в любом случае замена определяется с точностью до знака, не играющего существенной роли в
преобразовании производных. Также неоднозначность вносит в случае параболического уравнения свобода выбора второй функции для замены переменных, ограниченная весьма
слабыми условиями.

Примеры приведения уравнений второго порядка к каноническому виду

Пример 1. Случай линейной замены переменных в уравнении гиперболического типа .

.
Исходное уравнение, таким образом, относится к гиперболическому типу. Находим общие интегралы найденных уравнений:
.
Вводим замену . Преобразуем производные. В данном случае можно считать, что функция зависит от переменных ,
которые в свою очередь зависят от старых переменных :




.

.

Пример 2. Случай линейной замены переменных в уравнении эллиптического типа .

Составляем характеристическое уравнение:
.
Исходное уравнение, таким образом, относится к эллиптическому типу. Находим общий интеграл любого из найденных уравнений:
.
Вводим замену . Преобразуем производные совершенно аналогично тому, как это делалось в примере 1.



После подстановки этих производных в исходное уравнение получим
.

Пример 3. Случай линейной замены переменных в уравнении параболического типа .

Составляем характеристическое уравнение:
.
Исходное уравнение, таким образом, относится к параболическому типу. Находим общий интеграл найденного уравнения:
.
Отсюда понятно, какой может быть выбрана одна переменная: . Вторую переменную следует выбрать самостоятельно.
Обычно её выбирают наиболее простой, чтобы не усложнять вычисления. Рассмотрим два варианта, чтобы посмотреть, как влияет выбор второй
переменной на окончательный вид уравнения. Сначала положим . Снова преобразуем производные аналогично примеру 1.



После подстановки этих производных в исходное уравнение получим

Рассмотрим сравнительно простое уравнение в частных производных:

Классификация

Размерность

Равна количеству независимых переменных. Должна быть не меньше 2 (при 1 получается обыкновенное дифференциальное уравнение).

Линейность

Есть линейные и нелинейные уравнения. Линейное уравнение представимо в виде линейной комбинации производных от неизвестных функций. Коэффициенты при этом могут быть либо постоянными , либо известными функциями.

Линейные уравнения хорошо исследованы, за решение отдельных видов нелинейных уравнений назначены миллионные премии (задачи тысячелетия).

Однородность

Уравнение является неоднородным, если есть слагаемое, не зависящее от неизвестных функций.

Порядок

Порядок уравнения определяется максимальным порядком производной. Имеют значение порядки по всем переменным.

Классификация уравнений второго порядка

Линейные уравнения второго порядка в частных производных подразделяют на параболические , эллиптические и гиперболические .

Линейное уравнение второго порядка, содержащее две независимые переменные, имеет вид:

где A , B , C - коэффициенты, зависящие от переменных x и y , а многоточие означает члены, зависящие от x , y , u и частных производных первого порядка: и . Это уравнение похоже на уравнение конического сечения :

Так же, как конические сечения разделяются на эллипсы , параболы и гиперболы , в зависимости от знака дискриминанта , классифицируются уравнения второго порядка в заданной точке:

В случае, когда все коэффициенты A , B , C - постоянные, уравнение имеет один и тот же тип во всех точках плоскости переменных x и y . В случае, если коэффициенты A , B , C непрерывно зависят от x и y , множество точек, в которых данное уравнение относится к гиперболическому (эллиптическому), типу образует на плоскости открытую область, называемую гиперболической (эллиптической), а множество точек, в которых уравнение относится к параболическому типу, замкнуто. Уравнение называется смешанным (смешанного типа ), если в некоторых точках плоскости оно гиперболическое, а в некоторых - эллиптическое. В этом случае параболические точки, как правило, образуют линию, называемую линией смены типа или линией вырождения .

В общем случае, когда уравнение второго порядка зависит от многих независимых переменных:

Невырожденным линейным преобразованием

квадратичная форма всегда может быть приведена к каноническому виду:

При этом согласно теореме инерции число положительных, отрицательных и равных нулю коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы является инвариантом и не зависит от линейного преобразования. На основе этого и производится классификация (в точке ) рассматриваемого уравнения:

В случае многих независимых переменных может быть проведена и более подробная классификация (необходимость которой в случае двух независимых переменных не возникает):

1. Гиперболический тип
   1. Нормальный гиперболический тип , если один коэффициент одного знака, а остальные другого.
   2. Ультрагиперболический тип , если коэффициентов как одного знака так и другого более чем один.
2. Параболический тип может быть дополнительно классифицирован на:
   1. Эллиптически-параболический тип , если только один коэффициент равен нулю, а остальные имеют один знак.
   2. Гиперболически-параболический тип , если только один коэффициент равен нулю, а остальные имеют различные знаки. Аналогично гиперболическому типу он может быть разделён на:
      1. Нормальный гиперболически-параболический тип
      2. Ультрагиперболически-параболический тип
   3. Ультрапараболический тип , если более чем один коэффициент равен нулю. Здесь также возможна дальнейшая классификация в зависимости от знаков не равных нулю коэффициентов.

Существование и единственность решения

Хотя ответ на вопрос о существовании и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения имеет вполне исчерпывающий ответ (теорема Пикара-Линделёфа), для уравнения в частных производных однозначного ответа на этот вопрос нет. Существует общая теорема (теорема Коши-Ковалевской), которая утверждает, что задача Коши для любого уравнения в частных производных, аналитического относительно неизвестных функций и их производных имеет единственное аналитическое решение . Тем не менее, существуют примеры линейных уравнений в частных производных, коэффициенты которых имеют производные всех порядков и не имеющих решения (Леви (1957)). Даже если решение существует и единственно, оно может иметь нежелательные свойства.

Рассмотрим последовательность задач Коши (зависящую от n ) для уравнения Лапласа :

где n - целое. Производная от функции u по переменной y равномерно стремится к 0 по x при возрастании n , однако решением уравнения является

Решение стремится к бесконечности, если nx не кратно для любого ненулевого значения y . Задача Коши для уравнения Лапласа называется плохо поставленной или некорректной, так как нет непрерывной зависимости решения от начальных данных.

Почти-решение дифференциального уравнения с частными производными - понятие, введенное В. М. Миклюковым в связи с исследованиями решений с неустранимыми особенностями.

Подборку статей, касающихся описания свойств почти-решений (принцип максимума, неравенство Гарнака и др.) см. на http://www.uchimsya.info .

Примеры

Одномерное уравнение теплопроводности

Уравнение, описывающее распространение тепла в однородном стержне имеет вид

где u (t ,x ) - температура, и α - положительная константа, описывающая скорость распространения тепла. Задача Коши ставится следующим образом:

где f (x ) - произвольная функция.

Уравнение колебания струны

Здесь u (t ,x ) - смещение струны из положения равновесия, или избыточное давление воздуха в трубе, или магнитуда электромагнитного поля в трубе, а c - скорость распространения волны. Для того, чтобы сформулировать задачу Коши в начальный момент времени, следует задать смещение и скорость струны в начальный момент времени:

Двумерное уравнение Лапласа

Связь с аналитическими функциями

Вещественная и мнимая части любой голоморфной функции комплексной переменной являются сопряжённо гармоническими функциями: они обе удовлетворяют уравнению Лапласа и их градиенты ортогональны. Если f =u +iv , то условия Коши-Римана утверждают следующее:

Складывая и вычитая уравнения друг из друга, получаем:

Также можно показать, что любая гармоническая функция является вещественной частью некоторой аналитической функции.

Граничные задачи

Граничные задачи ставятся следующим образом: найти функцию u , которая удовлетворяет уравнению Лапласа во всех внутренних точках области S , а на границе области - некоторому условию. В зависимости от вида условия различают следующие кравевые задачи:

Решение уравнений математической физики

Существует два вида методов решения данного типа уравнений:

• аналитический, при котором результат выводится различными математическими преобразованиями;
• численный, при котором полученный результат соответствует действительному с заданной точностью, но который требует много рутинных вычислений и поэтому выполним только при помощи вычислительной техники (ЭВМ).

Аналитическое решение

Уравнение колебаний

Рассмотрим задачу о колебаниях струны длины . Будем считать, что на концах струны функция обращается в ноль:

В начальный момент времени зададим начальные условия:

Представим решение в виде:

После подстановки в исходное уравнение колебаний, разделим на произведение получаем:

Правая часть этого уравнения зависит от , левая - от , следовательно это уравнение может выполняться лишь тогда, когда обе его части равны постоянной величине, которую обозначим через :

Отсюда находим уравнение для :

Нетривиальные решения этого уравнения при однородных краевых условиях возможны только при и имеют вид:

Рассмотрим уравнение для отыскания :

Его решение:

Следовательно, каждая функция вида

является решением волнового уравнения.

Чтобы удовлетворить решение начальным условиям, составим ряд:

Подстановка в начальные условия даёт:

Последние формулы представляют собой разложение функций и в ряд Фурье на отрезке . Коэффициенты разложений вычисляются по формулам:

Численное решение

Уравнение колебаний струны

Данный способ решения называется методом конечных дифференциалов. Он достаточно просто реализуем при помощи программирования.

Этот метод основан на определении производной функции :

Если имеется функция , то частичная производная будет следующая:

Так как мы используем достаточно маленький, знаки пределов можно отбросить. Тогда получим следующие выражения:

Для удобства в дальнейшем примем следующие обозначения:

Тогда предыдущие выражения можно записать так: ,

Эти выражения называют правыми дифференциалами. Их можно записать и по-другому: , - это левые дифференциалы.

Просуммировав оба выражения получим следующее:

из которых следует:

Оба выражения называют дифференциалом в центральной точке . Они приближают производную с большей точностью.

Аналогично можно получить и дифференциалы второго порядка:

Уравнение колебаний струны записывается в такой форме: .

Дополнительные условия задаются в виде: , , , ,

Где и - позиции концов (креплений) струны во времени, а и - начальное состояние и скорость струны из которой мы можем получить состояние струны в следующий момент времени используя формулу (см. Метод Эйлера):

Задачи механики сплошной среды описываются системами дифференциальных уравнении с частными производными, для которых ставятся граничные и начальные условия - формулируются краевые задачи. Даже для уравнений, весьма схожих по форме записи, свойства решения могут существенно различаться. Поэтому особое внимание в теории уравнений с частными производными уделяется классификации - объединению их в типы или классы, внутри которых свойства решения и особенности постановки краевых задач являются сходными.

Рассмотрим классификацию на примере уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными. Уравнения такого вида стали изучаться при математическом описании ряда физических задач, и этот раздел математики стал называться математической физикой, а линейные уравнения второго порядка с частными производными - уравнениями математической физики. Отметим, что лишь в частных случаях задачи движения газа или жидкости или задачи теплопроводности приводятся к уравнению подобного вида. Однако даже на этом простейшем примере проявляются практически все особенности, присущие и более сложным задачам.

Итак, рассмотрим дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка (порядок дифференциального уравнения определяется порядком входящей в него старшей производной) с двумя независимыми переменными:

Если А, В, С - функции только х и у, а / - линейная функция своих аргументов и, ди/дх , ди/ду , то уравнение (1.1) является линейным. Для линейных уравнений развиты математические теории, позволяющие как делать общие качественные заключения о решении, так и строить методы решения. Во многих практических случаях оправданная система предположений и допущений позволяет привести математическую модель процесса к линейной системе или линейном}" уравнению. В частности, линейным уравнением вида (1.1) описываются потенциальное течение жидкости, стационарное двумерное температурное поле, распространение волны в упругой среде и многие другие физические задачи, и оно изучено наиболее подробно. Но в большинстве случаев практические задачи описываются нелинейными уравнениями, общая теория которых еще не создана.

Если нелинейность уравнения состоит лишь в том, что коэффициенты А, В, С зависят от неизвестного решения и и (или) его младших производных (в данном случае - первых производных), то такая нелинейность локально не слишком сильно сказывается на решении по сравнению с линейным случаем. Уравнения с нелинейностями такого вида называются квазилинейными. Часто для анализа квазилинейных уравнений применяют метод «замораживания» коэффициентов, сводящий задачу к линейному случаю. Такой подход используется как для качественного анализа решения, так и для построения численных алгоритмов решения. Заметим, что задачи аэрогазодинамики описываются системой квазилинейных уравнений.

Уравнение (1.1) можно привести к эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого введем обозначения для первых производных от искомой функции по независимым переменным р = ди/дх и q = ди/ду и запишем рассматриваемое уравнение, используя эти обозначения. В результате придем к системе трех уравнений первого порядка для трех неизвестных функций ц, р и q :

Заметим, что обратное действие (приведение системы уравнений первого порядка к одному уравнению) выполнимо нс всегда.

Одним из важнейших понятий в теории дифференциальных уравнений с частными производными является понятие о характеристиках. Впервые оно появилось в работах Г. Монжа при изучении уравнений, описывающих форму поверхностей.

Рис. 1.1.

Для упрощения последующих выкладок введем следующие обозначения для вторых производных функции и :

Определим теперь задачу Коши для уравнения второго порядка. Пусть на линии у = у(х) заданы значения искомой функции и ее первых производных:

где а - естественная координата кривой. Поставим теперь следующую задачу: можно ли, зная значения функции и ее первых производных на кривой у(х), установить значения функции в точках, соседних с этой кривой? Поставленная задача называется задачей Коши для уравнения (1.1).

Для получения решения в точке Л/, соседней с кривой, можно воспользоваться разложением решения в ряд около некоторой точки О, лежащей на кривой задания начальных данных у(х). Такое разложение имеет вид

Заметим, что в этом разложении нельзя ограничиваться только линейными членами - обязательно присутствие вторых производных. Это связано с тем, что исходное дифференциальное уравнение накладывает связи именно на вторые производные. Если мы опустим их в разложении (1.2), то будет потеряно все физическое содержание рассматриваемого явления, в котором именно взаимосвязь вторых производных (своего рода «кривизн») определяет сущность описываемого процесса.

Использование данного выражения для получения решения в точке М связано с возможностью определения производных, в него входящих. Первые производные известны из начальных условий, заданных на кривой начальных данных. Вторые же необходимо каким- либо способом определить, после чего выражение (1.2) может быть использовано для получения решения в точке М. Можно показать, что после определения вторых производных высшие производные также могут быть вычислены, и таким образом будет решен вопрос о повышении точности выражения (1.2) за счет увеличения количества членов разложения.

Для определения вторых производных мы можем использовать данные, заданные на кривой. Приращения первых производных вдоль кривой запишутся следующим образом:

Заметим, что в этих выражениях dx и dy являются взаимосвязанными и их отношение определяется угловым коэффициентом кривой dy/dx = у"(х).

К этим двум выражениям, связывающим три неизвестные вторые производные, необходимо добавить исходное дифференциальное уравнение, что позволит получить линейную систему для значений вторых производных в точке М кривой у(х ):

Вопрос об определении вторых производных и, тем самым, о восстановлении решения в точках, прилежащих к кривой начальных данных, связан с возможностью решения линейной системы (1.3). Если определитель этой системы не равен нулю, то она имеет единственное решение, производные г, s, t и выражение (1.2) может использоваться для прогноза решения в точках области, лежащих вне линии начальных данных у = у(х).

В том же случае, когда определитель системы (1.3) обращается в ноль:

система линейных уравнений становится вырожденной, не допускающей определения вторых производных. Если решение найти не удастся, то принципиально нельзя будет сместиться от кривой начальных данных в соседние точки области.

Раскрывая определитель (1.4), получим условие обращения его в ноль:

которое можно записать в виде дифференциального уравнения в разрешенном относительно производной dy/dx виде:

Из этого соотношения видно, что исходная задача становится неразрешимой, если угловой коэффициент кривой принимает некоторое особое значение, выражаемое через коэффициенты исходного дифференциального уравнения. Это особое направление называется характеристическим , а кривая, касательная к которой в каждой точке принимает характеристическое направление, - характеристикой дифференциального уравнения с частными производными. Как видим, обыкновенное дифференциальное уравнение (1.5) определяет поле характеристических направлений, а его интеграл определяет характеристические линии.

Если эти кривые используются как линии задания начальных данных, то решение не может быть продолжено в соседние точки области, поэтому такие кривые имеют огромное значение при анализе свойств дифференциальных уравнений и при построении расчетных алгоритмов их решения.

В основу классификации уравнения (1.1) положено наличие у него характеристик. Как видно из (1.5), исходное уравнение в каждой точке области своего определения может иметь либо два характеристических направления, либо одно, либо вообще не иметь характеристик. Определяющим в этом вопросе является знак дискриминанта уравнения - подкоренного выражения В 2 - АС.

Если В 2 - АС эллиптическим, или принадлежит к эллиптическому типу.

Если В 2 - АС = О, то имеется одно семейство характеристик. В этом случае говорят, что уравнение (1.1) является параболическим. или принадлежит к параболическому типу.

Если В 2 - АС > 0, то имеются два различных семейства характеристик и уравнение (1.1) является гиперболическим или принадлежит к гиперболическому типу.

Так как тип уравнения связан со значениями коэффициентов дифференциального уравнения, то уравнение с переменными коэффициентами в разных частях области определения может принадлежать к различным типам. Такие уравнения называют уравнениями смешанного типа.

На первый взгляд представляется странным, почему для определения типа дифференциального уравнения используется терминология, относящаяся к коническим сечениям - алгебраическим кривым второго порядка: эллипсу, параболе и гиперболе. Связь состоит в том, что фундаментальную роль в теории уравнений вида (1.1) играет особым образом построенное алгебраическое выражение квадратичная форма, коэффициентами которой являются коэффициенты исходного уравнения. Для уравнения (1.1) она имеет вид Ах 2 +2Вху+Су 2 и может быть приведена к канонической форме, которая будет, в зависимости от значений коэффициентов, принимать вид эллипса, параболы или гиперболы, что и объясняет используемую терминологию.

Заметим, что для классификации мы использовали линейное уравнение второго порядка, однако характеристический анализ применяется и к другим уравнениям и системам.

Аналогичные соображения закладываются в основу классификации систем дифференциальных уравнений, которая строится на основе характеристических свойств - начПичия полного набора характеристик (гиперболические системы) или отсутствия действительных характеристик (эллиптические системы). Тип уравнения определяет общий характер его решения, зависимость решения от входных данных и, как следствие этого, методы получения численных решений краевых задач. В нашем курсе мы неоднократно будем возвращаться к анализу характеристических свойств изучаемых математических моделей механики сплошной среды.

Сделаем несколько замечаний, на которые мы не обращали внимание ранее.

Замечание 1. Инвариантность характеристических направлений. Можно доказать, что характеристики остаются инвариантными при преобразованиях независимых переменных. То есть характеристические направления не зависят от выбора системы координат, в которой мы записываем исходное уравнение, и от различных преобразований независимых переменных. Эти направления определяются только свойствами самого изучаемого явления, которое описывается своей математической моделью дифференциальным уравнением. В этом смысле характеристики определяют некоторые особые направления в пространстве - «собственные» направления данной задачи. Особо отметим, что определить характеристические направления удалось из анализа дифференциального уравнения. Поэтому получение характеристических направлений связано с записью математической модели в форме дифференциального уравнения (в дальнейшем мы увидим, что существуют и другие формы записи математических моделей, например в форме интегральных соотношений).

Замечание 2. Определение старших производных. В построенном нами примере для продолжения решения в точки, соседние с линией задания начальных данных, использовались производные до второго порядка включительно. Покажем, что если в качестве линии начальных данных используется нехарактеристическая кривая, го точность соотношения можно сколь угодно повышать, вычисляя старшие производные решения и таким образом продолжая ряд.

Для начала рассмотрим вопрос об определении третьих производных, которые обозначим соответственно Q = u xxx , R = u xxy , S = = и хуу, Т = и у уу . Так как, по условию, кривая не является характеристикой, то на основе предыдущего анализа на кривой начальных данных у(х) в дополнение к заданным из начальных условий значениям м, р, q вычислены и вторые производные г, .s, t. Поэтому для третьих производных можно выписать систему соотношений, определяющих их из дифференциалов вторых производных вдоль линии у(х) :

Добавив к этой системе исходное уравнение (1.1), продифференцированное по х , получим линейную систему

Легко убедиться, что она имеет то же условие невырожденности, что и система линейных уравнений при анализе характеристик.

Для этого при вычислении определителя матрицы проведем его разложение но элементам последнего столбца. Определитель третьего порядка, стоящий при единственном ненулевом элементе, будет совпадать с определителем матрицы в задаче анализа характеристик.

Таким образом, для любой нехарактеристической кривой третьи производные решения находятся из данных, заданных на этой кривой. Продолжая таким образом, можно находить следующие старшие члены разложения и тем самым повышать порядок точности представления решения.

Замечание 3. Условия совместности на характеристиках. В

том случае если для уравнения (1.1) определена характеристика, то на приращения производных от решения р, q вдоль кривой накладываются дополнительные условия. Действительно, равенство нулю определителя (1.4) означает линейную зависимость уравнений, входящих в (1.3). Из линейной алгебры известно, что для разрешимости вырожденной системы необходимо, чтобы ранг системы был равен рангу ее расширенной матрицы. Другими словами, требуется, чтобы все определители третьего порядка расширенной матрицы

были равны нулю. Нетрудно показать, что эго условие, совместно с полученным ранее соотношением для характеристик (1-5), приводит к следующим двум условиям, которые должны выполняться вдоль характеристик:

Эти условия называются условиями на характеристиках или условиями coeAiecmnocmu. Они играют большую роль как при изучении качественных свойств решения, так и при построении алгоритмов численного решения задач.

1 1асто гиперболическую задачу удобно формулировать через набор ее характеристик и дифференциальные соотношения совместности, справедливые на этих характеристиках. Заметим, что в случае двух независимых переменных задача трансформируется в систему обыкновенных уравнений, определяющих характеристические кривые, и обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующих условиям совместности.

Замечание 4. Физический смысл характеристик. В уравнениях, в которых в качестве независимых выступают пространственные переменные, характеристики определяют область влияния точек. Известные из газодинамики сверхзвуковых стационарных течений конус Маха и линия Маха относятся к такому кругу понятий.

Если в качестве одной из независимых переменных - переменной гиперболичности - выступает время, характеристики выражают конечность скорости распространения сигнала и управляют таким образом причинно-следственными отношениями в рассматриваемой системе. С характеристиками в этом случае тесно связана возможность распространения волн с конечной скоростью.

Приведем примеры дифференциальных уравнений различных типов.

Пр и м е р 1. Уравнение Пуассона }:

Если / = 0, то это уравнение называют уравнением Лапласа. Здесь А = С = 1, В = О, В 2 - АС = -1, т.е. это уравнение эллиптического типа, часто встречающееся в физических приложениях. Им описываются задачи потенциального движения жидкости, фильтрации в пористых телах, задачи магнито- и электростатики, стационарное распределение температур в теле, распределение напряжений в некоторых задачах линейной теории упругости и т. д.

Уравнению Лапласа эквивалентна следующая простейшая эллиптическая система Даламбера Эйлера (иногда эти уравнения называют уравнениями Коши Римана):

Уравнение Лапласа может быть распространено на случай трех (или более) независимых переменных:

1 Пуассон Симеон Дени (Poisson S.D., 1781-1840) - французский математик, физик и механик. Его работы сыграли важную роль в становлении современной науки: в теории вероятностей, математической физике, теории упругости и гидромеханике. Упомянутое уравнение было выведено Пуассоном при исследовании ряда задач теории гравитационного притяжения (мемуар «О притяжении сфероидов», 1835).

Дифференциальный оператор Д = д 2 /дх 2 + д 2 /ду 2 + д 2 /дг 2 называют оператором Лапласа.

Пример 2. Уравнение теплопроводности. Одномерное нестационарное температурное поле в среде с постоянными теплофизическими характеристиками описывается уравнением

в котором коэффициент температуропроводности а должен удовлетворять условию а > 0.

Здесь вместо переменной у введена переменная t - время, соответствующая физическому содержанию описываемых уравнением задач. Коэффициенты, входящие в уравнение, равны: А = 1, В = 0, С = 0, В 2 - АС = 0, т.е. эго уравнение параболического типа. Такими уравнениями описываются нестационарное распределение температур в задачах теплопроводности, диффузия инертной примеси, распространение электромагнитных волн в проводящих средах, движение вязкой жидкости в пограничном слое тела и т. д.

II р и м е р 3. Волновое уравнение. Распространение плоской волны с постоянной скоростью со в изотропной среде описывается линейным одномерным волновым уравнением

в котором ось х соответствует направлению распространения волны.

Здесь А = Cq, С = 1, В = 0, это уравнение гиперболического типа. Примером простейшей гиперболической системы является эквивалентная (1.11) система

Уравнения такого типа описывают распространение колебаний в сплошных средах, электромагнитные колебания, сверхзвуковое течение идеального газа.

Приведенные выше примеры демонстрируют три основных типа уравнений математической физики. Различие в них связано с различием описываемых ими физических процессов. Уравнения параболического и гиперболического типов описывают неустановившийся процесс. Это означает, что на решение в момент времени t влияет состояние в предыдущие моменты времени, но никак не могут влиять последующие события. Уравнения гиперболического типа могут описывать и установившиеся процессы, в этом случае краевое условие влияет па решение только в одну сторону (по отношению к переменной, являющейся аналогом времени), а одна из пространственных координат является аналогом времени. Примером такой гиперболической задачи может служить сверхзвуковое, установившееся движение газа. Таким образом, параболические и гиперболические уравнения связаны с областями, «открытыми»в одном направлении, а соответствующая этому направлению независимая переменная является аналогом времени.

В случае же эллиптических задач на решение в некоторой точке области влияют краевые условия, заданные на всей замкнутой границе области.

В дальнейшем будем предполагать, что читатель уже знаком с основами теории обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. уравнений, связывающих неизвестную функцию одной независимой переменной, ее производные и саму независимую переменную. Мы приведем лишь самые основные сведения.

Дифференциальное уравнение первого порядка вида имеет бесчисленное множество решений, определяемых формулой, содержащей одну произвольную постоянную: . Аналогично общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные: Выделение частного решения может быть произведено путем задания начальных условий, которые для уравнения второго порядка обычно имеют вид Подставляя эти значения в общее решение и в его производную, получим два уравнения для отыскания произвольных постоянных Q и С. Если правая часть уравнения - функция - непрерывна в некоторой окрестности значений и имеет там непрерывные частные производные , то существует единственное частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям (теорема существования и единственности решения).

В дальнейшем особенно часто будут встречаться линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Для однородного уравнения

общее решение есть линейная комбинация двух его частных

решений если только эти решения линейно независимы (т. е. , где k - константа):

Общее решение неоднородного уравнения

есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

В этой книге будут изучаться дифференциальные уравнения с частными производными, т. е. уравнения, содержащие неизвестную функцию нескольких переменных и ее частные производные. Обычно приходится иметь дело с уравнениями для функций двух или трех независимых переменных. Вот примеры таких уравнений - независимые переменные, u - неизвестная функция):

В первой строке написаны уравнения, содержащие частные производные только первого порядка. Такие уравнения называются уравнениями первого порядка. Соответственно уравнения, написанные во второй строчке, являются примерами уравнений второго порядка.

Мы вовсе не ставим перед собой задачу изучать вообще способы решений дифференциальных уравнений с частными производными. Мы будем рассматривать только те конкретные уравнения (да и то далеко не все), которые существенны для физики, механики и техники. Именно эти уравнения и называются дифференциальными уравнениями математической физики.

Предварительно без доказательств познакомимся с простейшими свойствами уравнений с частными производными; будем считать, что неизвестная функция я зависит от двух переменных х и у.

Возьмем уравнение

Ясно, что искомая функция не зависит от переменной но может быть любой функцией от у.

Действительно, дифференцируя функцию по мы получаем нуль, а это и значит, что равенство (1) соблюдается. Следовательно, решение (2) уравнения (1) содержит одну произвольную функцию . В этом и заключается коренное отличие решения уравнения с частными производными первого порядка от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, которое содержит лишь произвольную постоянную. По аналогии решение (2), содержащее одну произвольную функцию, будем называть общим решением уравнения (1).

Рассмотрим болёе сложное уравнение

где - заданная функция. Все функции , удовлетворяющие уравнению (3), имеют вид

где -произвольная функция от Это можно проверить, дифференцируя обе части равенства (4) но у. Найденное решение уравнения (3) зависит от одной произвольной функции, т. е. является общим.

Легко проверить, что уравнение имеет общее решение , где - произвольная дифференцируемая функция.

Напомним для этого правило дифференцирования сложной функции нескольких переменных (см. , п. 116). Если , где - функции переменных то

Аналогичные формулы имеют место и для производных по При этом число промежуточных аргументов , так же как и число независимых переменных может быть любым.

В нашем примере , где . Поэтому

Подставляя эти выражения в уравнение, получим тождество

Точно так же можно проверить, что уравнение имеет общее решение , а уравнение имеет общее решение , где произвольная дифференцируемая функция.

Рассмотрим теперь уравнения второго порядка. Пусть

Положим Тогда уравнение (5) примет вид . Общим решением уравнения будем произвольная функция . Возвращаясь к функции и, получим опять уравнение первого порядка

Согласно (4) его общим решением будет функция

Так как - произвольная функция от у, то и интеграл от нее также является произвольной функцией, которую мы обозначим через . В результате мы получили решение в виде

где - произвольные дифференцируемые функции. Лег ко проверить, что функция (6) действительно удовлетворяет уравнению (5).

До сих пор мы еще не ставили вопроса об отыскании частных решений. Позже будет выяснено, какие дополнительные условия нужно задать, чтобы с их помощью можно было выделить частное решение, т. е. функцию, удовлетворяющую как дифференциальному уравнению, так и дополнительным условиям.

Оказывается, что дифференциальные уравнения математической физики, которыми мы будем в дальнейшем заниматься, имеют между собой довольно много общих черт: все они - второго порядка и линейны относительно неизвестной функции и ее частных производных.

Чаще всего все коэффициенты перед функцией и ее производными - постоянные числа. Общий вид таких уравнений для функции и, зависящей от двух переменных х и у, таков:

где А, В, С, D, Е и F - постоянные числа, а правая часть - заданная функция переменных х и у.

Отметим, что характер и поведение решений этого уравнения существенно зависят от его коэффициентов. Об этом мы скажем в заключении, после того как познакомимся с простейшими уравнениями типа (7) и способами их решений 1).

Введение

Основы теории дифференциальных уравнений в частных производных

1 Основные определения теории уравнений в частных производных

2 Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных

Использование вероятностных методов в решении уравнений в частных производных

1 Общее описание методов Монте-Карло

2 Решение уравнений в частных производных методом Монте-Карло на примере задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона

Заключение

Литература

Введение

Для сложных математических моделей аналитические решения удаётся получить сравнительно редко. Поэтому среди приближённых математических методов основными методами решения задач являются численные. Эти методы позволяют добиться хорошего качественного и количественного описания исследуемого процесса или явления.

Задача Дирихле может быть сформулирована следующим образом: найти функцию, непрерывную в данной замкнутой области, гармоническую в области и принимающую на ее границе непрерывные заданные значения. В рамках данной работы проведено рассмотрение решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа и уравнения Пуассона методом Монте-Карло на основе метода сеток.

Применяя метод сеток для решения краевых задач, прежде всего, появляется задача замены дифференциальных уравнений разностными уравнениями - заданное дифференциальное уравнение заменяется в узлах построенной сетки соответствующим конечно-разностным уравнением.

Идея метода сеток восходит еще к Эйлеру . Однако практическое использование метода наталкивалось на серьезные трудности, так как получение достаточно точного решения краевой задачи приводило к системам алгебраических уравнений, на решение которых при ручном счете требовались затраты времени. Положение резко изменилось с появлением быстродействующих электронных вычислительных машин.

Методами Монте-Карло называются численные методы решения математических задач при помощи моделирования случайных величин и статистической оценки их характеристик. В данной работе приведено два метода решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа с использованием методом Монте-Карло, и на основании одного из них приведена программа его реализующая.

Целью данной работы является исследование вероятностных методов решения уравнений в частных производных.

Задачи работы:

изучение основных положений теории дифференциальных уравнений в частных производных;

классификация уравнений в частных производных;

изучение методов решения уравнений в частных производных;

изучение методов Монте-Карло;

применение метода Монте-Карло для решения задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона.

Объект исследования: дифференциальные уравнения в частных производных.

Предмет исследования: вероятностные методы решения уравнений в частных производных.

Работа состоит из двух глав, введения, заключения и списка литературы. В главе 1 приведены основные понятия теории дифференциальных уравнений в частных производных и показано их практическое применение. В главе 2 приведено описание методов Монте-Карло в контексте задач решения уравнений в частных производных.

1. Основы теории дифференциальных уравнений в частных производных

1 Основные определения теории уравнений в частных производных

Теория дифференциальных уравнений - раздел математики, который занимается изучением дифференциальных уравнений и связанных с ними задач. Её результаты применяются во многих естественных науках, особенно широко - в физике.

Неформально говоря, дифференциальное уравнение - это уравнение, в котором неизвестной величиной является некоторая функция. При этом в самом уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные производные от неё. Дифференциальным уравнением описывается связь между неизвестной функцией и её производными. Такие связи обнаруживаются в самых разных областях знания: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др.

Различают обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП). Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы .

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.

Одно из простейших применений дифференциальных уравнений - решение нетривиальной задачи нахождения траектории тела по известным проекциям ускорения. Например, в соответствии со вторым законом Ньютона, ускорение тела пропорционально сумме действующих сил; соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид. Зная действующие силы (правая часть), можно решить это уравнение и, учитывая начальные условия (координаты и скорость в начальный момент времени), найти траекторию движения точки .

Пусть - некоторая неизвестная функция и т.д. ее частные производные различного порядка.

Рассмотрим уравнение

связывающие независимые переменные х, у, искомую функцию u(х, у) и ее частные производные различного порядка. Уравнение (1) называют дифференциальным уравнением в частных производных.

Порядок уравнения определяется наивысшим порядком частной производной, входящей в это уравнение.

) - дифференциальное уравнение первого порядка.

) - дифференциальное уравнение второго порядка и т.п.

Решением дифференциального уравнения называется любая функция u(х, у), обращающая его в тождество. Задачи, связанные с решением дифференциального уравнения в частных производных, как правило, более сложные по сравнению с задачами для обыкновенных дифференциальных уравнений .

Мы знаем, что общее решение обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка зависит от n произвольных постоянных С1, С2, …, Сn. Более сложная ситуация складывается при решении дифференциальных уравнений в частных производных. Например, решением дифференциального уравнения является любая функция т.е. общее решение зависит от бесконечного числа функций, зависящих только от одной переменной

Предмет теории уравнений в частных производных составляет изучение дифференциальных уравнений, описывающих то или иное явление природы, по преимуществу физической. Наш курс будет посвящен по преимуществу уравнениям в частных производных второго порядка.

В связи с этим рассмотрим некоторые физические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений в частных производных .

Теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Чтобы охарактеризовать ее место в современной математической науке, прежде всего, необходимо подчеркнуть основные особенности теории дифференциальных уравнений, состоящей из двух обширных областей математики: теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории уравнений с частными производными.

Первая особенность - это непосредственная связь теории дифференциальных уравнений с приложениями. Характеризуя математику как метод проникновения в тайны природы, можно сказать, что основным путем применения этого метода является формирование и изучение математических моделей реального мира. Изучая какие-либо физические явления, исследователь, прежде всего, создает его математическую идеализацию или, другими словами, математическую модель, то есть, пренебрегая второстепенными характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений. Такими оказываются модели различных явлений механики сплошной среды, химических реакций, электрических и магнитных явлений и др .

Исследуя полученные дифференциальные уравнения вместе с дополнительными условиями, которые, как правило, задаются в виде начальных и граничных условий, математик получает сведения о происходящем явлении, иногда может узнать его прошлое и будущее. Изучение математической модели математическими методами позволяет не только получить качественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реального процесса, но и дает возможность проникнуть в суть физических явлений, а иногда предсказать и новые физические эффекты. Бывает, что сама природа физического явления подсказывает и подходы, и методы математического исследования. Критерием правильности выбора математической модели является практика, сопоставление данных математического исследования с экспериментальными данными.

Постановка задач для уравнений в частных производных включает определение самого уравнения (или системы нескольких уравнений), а также необходимого количества краевых условий (число и характер задания которых определяется спецификой уравнения). По своему названию уравнения должны содержать частные производные неизвестной функции и (или нескольких функций, если уравнений несколько) по различным аргументам, например пространственной переменной х и времени t. Соответственно, для решения задачи требуется вычислить функцию нескольких переменных, например u

Сами уравнения в частных производных (несколько условно) можно разделить на три основных типа :

параболические (пример:) - содержащие первую производную по одной переменной и вторую - по другой, причем все эти производные входят в уравнение с одинаковым знаком;

гиперболические (пример:) - содержащие первую производную по одной переменной и вторую - по другой, входящие в уравнение с разными знаками;

эллиптические (пример: 1. ,) - содержащие только вторые производные, причем одного знака.

Некоторые более сложные уравнения нельзя однозначно подогнать под приведенную классификацию, тогда говорят о гибридных типах уравнений.

Из курса обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что решение дифференциального уравнения n-го порядка

определяется неоднозначно. Общее решение зависит от n произвольных постоянных и для однозначной разрешимости необходимо задать так называемые начальные условия

Решение задачи для уравнения (1) с начальными условиями (2) называется задачей Коши и при определенных условиях решение этой задачи существует и единственно .

Более сложная ситуация складывается при рассмотрении дифференциальных уравнений в частных производных. В самом деле: общим решением простейшего уравнения является произвольная функция

Для того, чтобы сделать решение определенным, нужно задать дополнительные условия, например, потребовать чтобы неизвестная функция, а возможно и ее производные принимали заданные значения на некоторых многообразиях. Каждая задача математической физики ставится как задача об отыскании решения некоторого уравнения при определенных дополнительных условиях, которые в большинстве случаев диктуются ее физической постановкой .

1.2 Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных

Рассмотрим некоторые физические задачи, решения которых приводят к уравнениям в частных производных.

Задача 1 (о поперечных колебаниях струны).

Пусть струна длиной l натянута с силой Т0 и находится в прямолинейном положении равновесия. В момент времени t=0 точкам струны сообщаются некоторые отклонения и скорости .

Поставим задачу об определении малых поперечных колебаний точек струны при t>0, если концы струны:

а) жестко закреплены,

б) свободны,

в) двигаются в поперечном направлении по заданным законам.

Решение. Пусть ось ох совпадает с первоначальным положением струны в положении равновесия

Выделим участок струны от А до В и спроектируем все действующие на этот участок силы на ось u. Согласно принципу Даламбера сумма проекций должна равняться нулю.

так как мы рассматриваем малые колебания и - малой величиной пренебрегаем.

Это значит, что удлинение участка струны не происходит и, следовательно, по закону Гука величина натяжения не зависит ни от времени, ни от х.

Проекция силы натяжения

Пусть - непрерывная линейная плотность внешних сил. Тогда на АВ действует вдоль оси u сила

Для нахождения силы инерции воспользуемся выражением где Тогда

Это и есть уравнение вынужденных колебаний струны.

Если ρ=const и то

Кроме того, искомая функция u(х, у) должна удовлетворять начальным условиям:

Начальное положение струны

Начальный импульс.

Краевые условия:

а) струна закреплена на концах

б) в случае свободных концов должно быть

в) - законы движения концов струны.

Задача 2. Уравнение неразрывности. Задача обтекания.

Рассмотрим движение идеальной жидкости (газа), т.е. жидкости в которой отсутствуют силы вязкости .

Пусть - вектор скорости движения жидкости, -ее плотность, - интенсивность источников. Выделим в жидкости некоторый объем ω, ограниченный поверхностью S. Изменение массы жидкости внутри ω в единицу времени равно

с другой стороны это изменение должно равняться приращению количества Q1 жидкости за счет источников

минус количество Q2, вытекающей через S

Формула Остроградского-Гаусса,

где - внешняя нормаль к S, таким образом

В силу произвольности ω

Это и есть уравнение неразрывности движения идеальной жидкости.

Рассмотрим теперь задачу обтекания твердого тела Ω с границей S потенциальным потоком несжимаемой однородной жидкости, имеющей заданную скорость на бесконечности при отсутствии источников. В этом случае и Поэтому: при условии

Пусть u -потенциал скоростей, т.е. тогда

Задача 3. О распространении тепла

Вывод уравнения теплопроводности базируется на законе Фурье, согласно которому количество тепла, проходящего за время ∆t через малую площадку ∆S, лежащую внутри рассматриваемого тела, определяется формулой

где - нормаль к ∆S, направленная в сторону передачи тепла, k(x, u) - коэффициент внутренней теплопроводности, u(x, t) - температура тела в точке в момент времени t. Предполагается, что тело изотропно в отношении теплопроводности, т.е. k(x, u) не зависит от направления площадки .

Выделим внутри тела объем ω, ограниченный S. Согласно закону Фурье, количество тепла, втекающее через S за промежуток , равно

Если - плотность тепловых источников, то количество тепла, образованного за их счет в ω за указанный промежуток времени, равно

Общее количество тепла притекающего в ω за время от t1 до t2 можно посчитать и за счет приращения температуры

где и - теплоемкость и плотность вещества. Тогда

В силу произвольности ω и промежутка времени t1, t2, следует равенство

называемое уравнением теплопроводности. Если (не зависит от температуры), то уравнение (5) становится линейным. Если же тело однородно и уравнение (5) примет вид :

Из физических соображений следует, что для однозначного описания процесса распространения тепла необходимо кроме уравнения, задать начальное распределение температуры

Начальное условие и температурный режим на границе

Граничное условие, (возможны и другие варианты задания граничных условий).

2. Использование вероятностных методов в решении уравнений в частных производных

1 Общее описание методов Монте-Карло

Далеко не всегда удается найти решение дифференциального уравнения в частных производных аналитическим путем. В случаях, не предполагающих нахождения решения уравнения аналитически, используются численные методы.

В рамках данной работы рассматривается группа численных методов, основанная на математическом аппарате теории вероятностей, называемая методами Монте-Карло.

Общепринятого определения методов Монте-Карло пока нет. Назовем методами Монте-Карло численные методы решения математических задач при помощи моделирования случайных величин и статистической оценки их характеристик. При таком определении приходится к методам Монте-Карло причислить некоторые другие методы, как, например, стохастические приближения или случайный поиск, которые по традиции рассматриваются отдельно. Однако специалисты, занимающиеся этими вопросами, нередко сами называют свои приемы методами Монте-Карло. В то же время в определении подчеркивается что :

а) речь идет о численных методах (и конкурировать они могут с классическими численными методами, а не с аналитическими методами решения задач);

б) решать методами Монте-Карло можно любые математические задачи (а не только задачи вероятностного происхождения, связанные со случайными величинами).

Необходимо сразу же подчеркнуть, что теоретические основы методов Монте-Карло были известны значительно раньше. Более того, фактически такие методы не раз использовались для расчетов в математической статистике. Однако до появления электронных вычислительных машин (ЭВМ) методы Монте-Карло не могли стать универсальными численными методами, ибо моделирование случайных величин вручную - весьма трудоемкий процесс .

Развитию методов Монте-Карло способствовало бурное развитие ЭВМ. Алгоритмы Монте-Карло (как правило, обладающие небольшой связностью) сравнительно легко программируются и позволяют рассчитывать многие задачи, недоступные для классических численных методов. Так как совершенствование ЭВМ продолжается, есть все основания ожидать дальнейшего развития методов Монте-Карло и дальнейшего расширения области их применения.

Важнейший прием построения методов Монте-Карло - сведение задачи к расчету математических ожиданий. Более подробно: для того чтобы приближенно вычислить некоторую скалярную величину а, надо придумать такую случайную величину, что; тогда, вычислив независимых значений величины, можно считать, что.

Пример. Требуется оценить объем некоторой ограниченной пространственной фигуры.

Выберем параллелепипед, содержащий, объем которого известен. Выберем случайных точек, равномерно распределенных в, и обозначим через количество точек, попавших в. Если велико, то, очевидно, : , откуда получаем оценку.

В этом примере случайная величина равна, если случайная точка попадает в, и равна нулю, если точка попадает в. Нетрудно проверить, что математическое ожидание, а среднее арифметическое

Легко видеть, что существует бесконечно много случайных величин таких, что. Поэтому теория методов Монте-Карло должна дать ответы на два вопроса :

) как выбрать удобную величину для расчета той или иной задачи;

) как находить значения произвольной случайной величины?

Изучение этих вопросов и должно составить основное содержание практического курса методов Монте-Карло.

Многие методы основаны на расчете математических ожиданий. Существуют методы случайного поиска (кроме простейшего) и стохастических приближений .

Среди методов Монте-Карло можно выделить методы, в которых полностью воспроизводится модель рассчитываемого процесса. Такие методы иногда называют «физическими», хотя автору представляется более удачным другое название этих методов - имитационные. Имитация естественных процессов широко используется в самых различных областях науки, техники, экономики.

2 Решение уравнений в частных производных методом Монте-Карло на примере задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона

Определение. Функция, имеющая непрерывные частные второго порядка в области и удовлетворяющая внутри уравнению Лапласа, называется гармонической функцией :

Простейшим примером гармонической функции двух переменных является функция вида, где (основное решение уравнения Лапласа).

Задача Дирихле в иных терминах может быть сформулирована следующим образом: найти функцию, непрерывную в данной замкнутой области, гармоническую в области и принимающую на ее границе непрерывные заданные значения.

Если, то задача Дирихле удовлетворяет уравнению Пуассона Единственность решения задачи Дирихле и непрерывная запись ее от краевых условий (корректность краевой задачи) вытекают из следующих гармонических функций .

Свойство 1 (принцип максимума). Гармоническая в ограниченной области функция, непрерывная в замкнутой области, не может принимать внутри этой области значений больших, чем максимум ее значений на границе непрерывные заданные значения .

Доказательство. Пусть - максимум значений на границе. Допустим, что функция в некоторой точке внутри принимает значение, причем.

Составим вспомогательную функцию

где - диаметр области. Очевидно, имеем

причем при выполняется неравенство

Следовательно, функция достигает своего наибольшего значения внутри области в некоторой точке, причем в этой точке будут выполнены необходимые условия для максимума функции :

Из соотношения

вытекает, что по крайней мере одна из производных или положительна внутри. Поэтому функция ни в какой конкретной точке области не может иметь максимума, и, следовательно, приходим к противоречию. Таким образом, .

Аналогично доказывается, что, где - наименьшее значение функции на границе.

Следствие. Пусть функция - гармоническая в ограниченной области и непрерывная в замкнутой области. В таком случае справедливо равенство, где на, на.

Замечание. Можно доказать более сильное утверждение, что гармоническая в ограниченной и замкнутой области функция, отличная от константы, не принимает внутри наибольшего и наименьшего значений.

Свойство II (единственность решения задачи Дирихле). Задача Дирихле для замкнутой и ограниченной области может иметь лишь единственное решение, т. е. не существует двух непрерывных гармонических функций в замкнутой ограниченной области, принимающих, на границе одни и те же значения .

Доказательство. Допустим, что две функции и гармонические в области, совпадают всюду на ее границе. Рассмотрим функцию

Очевидно, что на - гармоническая функция, обращающаяся в нуль на границе. По свойству I эта функция не может принимать внутри значений больше или меньше нуля, следовательно, внутри и.

Замечание. Из свойства II не следует, что задача Дирихле для ограниченной замкнутой области имеет решение; это свойство лишь утверждает, что если существует решение задачи Дирихле для области, то оно единственно .

Можно доказать, что если область выпуклая, т. е. вместе с двумя своими точками содержит соединяющий их отрезок, и граница ее действительно имеет решение (теорем Неймана).

Свойство III (корректность задачи Дирихле). Решение задачи Дирихле для замкнутой и ограниченной области непрерывно зависит от граничных данных.

Доказательство. Допустим, что и - решения задачи Дирихле, соответственно принимающее на границе значение и.

Пусть всюду на выполнено неравенство

где - произвольное малое положительное число.

Рассмотрим гармоническую функцию

На границе эта функция принимает значение

Так как на, то по свойству I имеем при, т.е. или.

Таким образом, для задачи Дирихле требование корректности выполнено при.

Пусть на плоскости дана область с кусочно-гладкой границей. В области построим квадратную сетку с шагом:

Мы предполагаем, что сетка состоит из внутренних узлов и граничных узлов первого рода. Граничные узлы сетки образуют ее границу. Грубо говоря, граница представляет собой линейный ряд точек, аппроксимирующий криво-криволинейную границу области с точностью до.

Представим себе частицу, которая совершает равномерное случайное блуждание по узлам сетки (1). А именно, находясь во внутреннем узле сетки, эта частица за один переход с одной и той же вероятностью, равной 1/4, может переместиться в один из четырех соседних узлов: или в (шаг влево), или в (шаг вправо), или в (шаг вниз), или в (шаг вверх), причем каждый такой единичный переход совершенно случаен и не зависит от положения частицы и ее прошлой истории. Будем считать, что блуждание частицы заканчивается, как только эта частица попадет на границу; в этом смысле граница представляет собой «поглощающий экран». Можно доказать, что с вероятностью, равной 1, блуждание точки через конечное число шагов заканчивается на границе .

Если частица начала свое блуждание с фиксированной внутренней точки сетки, то конечная совокупность последовательных положений этой частицы: где и, называется траекторией частицы (с шагами) или историей блуждания.

Равномерное случайное блуждание частицы на плоскости можно организовать с помощью равномерно распределенной последовательности одноразрядных случайных чисел, принимающих значения. Для этого, например, достаточно производить розыгрыш, т.е. случайную выборку из чисел; причем числа 8 и 9 переигрываются.

Случайные числа берутся из готовых таблиц или вырабатываются электронной машиной. Последний способ при работе на счетной машине предпочтительнее, так как он позволяет не загружать сильно память машины .

Пусть в точках границы Г области G определена некоторая функция. Перенесем эти значения на границу сетки. Например, для каждого граничного узла определим ближайшую по горизонтали (или вертикали) точку и положим.

Для краткости введем обозначение.

Пусть - вероятность того, что траектория частицы, вышедшей из узла сетки, закончится в граничном узле. Так как блуждание точки неизбежно заканчивается на границе в первой же точке выхода ее на границу, то

где суммирование распространяется на все точки границы, причем

где - граничный узел.

Составим сумму

где точка пробегает всю границу. Если функцию рассматривать как случайную величину, принимающую значения на границе, то сумма (4) представляет собой математическое ожидание (среднее значение) функции на границе для траекторий, начинающихся в точке («премия за выход на границу» из начальной точки). Частица, начавшая свое случайное блуждание из внутреннего узла, после первого шага с вероятностью, равной 1/4, попадает в один из четырех соседних узлов. Поэтому случайные блуждания, начинающиеся в узле, в зависимости от вида траекторий распадаются на четыре категории новых случайных блужданий :

Отсюда, умножая обе части равенства (5) на граничные значения и суммируя по всем возможным значениям и, на основании формулы (4) получим

Кроме того, в силу формулы (3) имеем

если точка.

Рассмотрим теперь задачу Дирихле об отыскании функции, гармонической области и принимающей на ее границе заданные непрерывные значения. Согласно методу сеток эта задача сводится к нахождению значений искомой функции во внутренних узлах некоторой сетки при условии, что значения в граничных узлах известны и равны. Неизвестные определяются из системы линейных уравнений

Сравнивая формулы (8) с формулами (6), (7), мы усматриваем, что они совпадают с точностью до обозначений. Следовательно, искомые неизвестные можно рассматривать как математические ожидания. Величины допускают экспериментальное определение. Рассмотрим достаточно большое число равномерных случайных блужданий частицы по узлам сетки, исходящих из фиксированного узла и заканчивающихся на границе. Пусть соответствующие точки выхода частицы на границу. Заменяя математическое ожидание эмпирическим математическим ожиданием, будем иметь

Формула (9) дает статистическую оценку величины и может быть применена для приближенного решения задачи Дирихле. Метод решения задач, основанный на использовании случайных величин, получил общее название метода Монте-Карло .

Заметим, что с помощью формулы (9) можно непосредственно найти приближенное значение решения задачи Дирихле в единственной фиксированной точке сетки, не зная решения задачи для остальных точек сетки. Этим обстоятельством метод Монте-Карло для задачи Дирихле резко отличается от обычных стандартных способов решения этой задачи.

Интересно отметить, что вероятность, в силу формулы (4), представляет собой аналог функции Грина для задачи Дирихле в области. Эта величина может быть найдена экспериментально на основании формулы (9), если задать следующие граничные условия :

Построив такую функцию Грина, мы получаем возможность, применяя формулу (9), просто

находить приближенное решение задачи Дирихле для области данной границей при любых граничных значениях.

Недостатком рассмотренного варианта метода Монте-Карло для задачи Дирихле является слабая сходимость по вероятности при эмпирического математического ожидания

к математическому ожиданию. Чтобы устранить это неблагоприятное обстоятельство, используют различные модификации случайных блужданий. Кроме того, при решении задачи полезно учитывать также, что блуждание частицы, начинающееся в точке автоматически является случайным блужданием частицы, начинающимся в любой промежуточной точке траектории этой частицы .

Укажем другой метод Монте-Карло для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа, не связанный с разностными уравнениями. Пусть задана ограниченная связная область и точка. Определим случайную траекторию следующим образом: положим; далее, если точка известна, то построим окружность произвольного радиуса, расположенную внутри, и на этой окружности выберем случайную точку.

Таким образом, где, и угол равномерно распределен в интервале.

Приведем теорему: если функция удовлетворяет в области уравнению Лапласа

то при каждом и при любых математическое ожидание равно значению в начале траектории .

Доказательство. Придадим более точный смысл утверждению о произвольности радиуса. Будем считать, что задана некоторая плоскость, которая тождественно равна нулю при всех, превосходящих минимальное расстояние от до границы, а также при; случай также допускается; и выбор осуществляется в соответствии с плотностью. Пусть - плотность распределения точки в. Тогда математическое ожидание величины равно

По теореме о среднем значении гармонической функции

Поэтому

При точка и. Применяя индукцию, получим утверждение теоремы.

Построение траекторий рассмотренного типа в трехмерном случае иногда называют блужданием по сферам.

Приведенную выше траекторию можно использовать для приближенного решения задачи Дирихле. Пусть на границе области задана ограниченная функция. Обозначим через искомое решение, удовлетворяющее внутри уравнению (1) и обращающееся в при.

Фиксируем достаточно малую окрестность границы (рис. 3, Приложение D). Чтобы вычислить, будем строить траектории вида до тех пор, пока случайная точка не попадет в. Пусть - ближайшая к точка границы. Можем считать, что значение случайной величины приближенно равно. Построив траекторий такого типа, получим значения, по которым оценивается искомое решение

Замети, что сходимость по вероятности

когда не вытекает из теоремы Хинчина, говорящей о том, что последовательность одинаково распределенных независимых величин, у которых существуют математические ожидания, подчиняется закону больших чисел, так как в сумме (3) фигурируют различных случайных величин, различающихся правилами выбора Можно, однако воспользоваться другой формой закона больших чисел - теоремой Чебышева :

Если величины независимы и существует и, то при

(Доказательство этой теоремы легко получить, применяя к величине неравенство Чебышева -).

В нашем случае все, а дисперсии, где. В самом деле, как известно, максимум и минимум гармонической функции достигаются на границе области, так что при всех.

Такой метод расчета считается более быстрым, чем метод использования разностных уравнений, так как вдали от границы позволяет делать большие шаги. Обычно рекомендуют выбирать максимально возможные радиусы.

Данный метод был предложен Дж. Брауном и обоснован М. Мюллером, который доказал, в частности, что вероятность того, что траектория никогда не попадет в, равна нулю. Дальнейшее развитие метода - организация зависимых испытаний, решение уравнений более общего вида, использование вместо кругов других фигур (для которых известны функции Грина) .

Пусть - решение уравнения Лапласа в единичном квадрате, удовлетворяющее граничным условиям. Вычислить значение.

Выберем в квадрате сетку с шагом и перенумеруем узлы (рис. (4), Приложение Е). Для уравнения Лапласа формула (8) все более упрощается: , так что равно значению в том узле, в котором цепь попадает на границу.

Если случайная цифра окажется 0 или 4, то будем перемещаться в соседний узел справа, если окажется 1 или 5, то будем перемещаться влево, окажется 2 или 6, то перемещаться вверх, если окажется 3 или 7, то перемещаться вниз; значения, равные 8 или 9, опускаем.

В таблице 2 (Приложение F) приведены 16 случайных цепей. В первой строке записаны использованные случайные цифры, а в третьей - сама цепь (номера). Соответствующие этим цепям значения равны. Среднее арифметическое этих величин дает нам приближенное значение решения в точке:

Из эмпирической оценки дисперсии

следует, что вероятная ошибка.

Точное решение рассмотренной задачи, так что, и фактическая ошибка расчета равна 0,08.

Приведенный здесь метод позволяет вычислять решения разностных уравнений, аппроксимирующих дифференциальные уравнения.

Заключение

В рамках данной работы проведено изучение основных положений теории дифференциальных уравнений в частных производных, показана возможность применения вероятностных методов для их решения. В качестве примера была выбрана задача Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона.

Во многих областях физики, математики и других естественных наук часто используются численные и эмпирические методы для решения прямых и обратных задач. Следует отметить особую роль дифференциальных уравнений при решении таких задач, поскольку не всегда удается установить функциональную зависимость между искомыми и данными переменными величинами, но зато часто удается вывести дифференциальное уравнение, позволяющее точно предсказать протекание определенного процесса при определенных условиях.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение, являясь мощным орудием исследования многих задач естествознания и техники: они широко используются в механике, астрономии, физике, во многих задачах химии, биологии. Это объясняется тем, что весьма часто законы, которым подчиняются те или иные процессы, записываются в форме дифференциальных уравнений, а сами эти уравнения, таким образом, являются средством для количественного выражения этих законов.

уравнение производный задача лаплас

Литература

1.Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1964.

2.Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. - М.: Изд-во Государственной литературы, 1959. - 602 с.

3.Бицадзе А.В. Уравнения математической физики: Учеб. М.: Наука, 1982. 336 с.

4.Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики: Учеб. пособие. М.: Наука, 1977. 222 с.

Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике: Учеб. пособие. М.: Наука, 1980. 686 с.

6.Бусленко Н.П., Шрейдер Ю.А. Метод статистических испытаний (Монте-Карло) и его реализация в цифровых машинах. - М.: Физматгиз, 1961. - 315 с.

7.Владимиров В.С., Уравнения математической физики, М., 1967. - 256с.

9.Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э. Численные методы анализа. - М.:Наука, 1967. - 368 с.

10.Канторович Л.В. и Крылов В.И., Приближённые методы высшего анализа, 5 изд., Л. - М., 1962. - 256с.

Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных: Учеб.пособие. М.: Наука, 1983. 424 с.

Петровский И.Г., Лекции по теории интегральных уравнений, 3 изд., М., 1999. - 213с.

14.Сдвижников О.А., Математика на компьютере: Maple8. М.: Солон-Пресс, 2003. -176 с.

Смирнов В.И. Курс высшей математики: Учеб.: В 4 т. Т.2. М.: Наука, 1981. 655 с.

16.Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. - М.: Наука, 1973. - 312 с.

17.Тихоненко А.В. Компьютерные математические пакеты в курсе «Линейные и нелинейные уравнения физики». Обнинск: ИАТЭ, 2005.- 80 с.

18.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: Учеб.Пособие. М.: Наука, 1977. 735 с.