การแก้อสมการลอการิทึมที่มีฐานต่างกัน อสมการลอการิทึมเชิงซ้อน

ความเป็นส่วนตัวของคุณมีความสำคัญต่อเรา ด้วยเหตุผลนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดอ่านนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้ระบุตัวบุคคลหรือติดต่อเขาได้

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเมื่อใดก็ได้เมื่อคุณติดต่อเรา

ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

ข้อมูลส่วนบุคคลใดที่เรารวบรวม:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมล ฯลฯ ของคุณ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่จะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและข้อความที่สำคัญถึงคุณ
• เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เราให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การแข่งขัน หรือสิ่งจูงใจที่คล้ายคลึงกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้มาเพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยต่อบุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณไปยังบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• ในกรณีที่มีความจำเป็น - ตามกฎหมาย คำสั่งศาล ในกระบวนการทางกฎหมาย และ / หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เราอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณด้วย หากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ด้านสาธารณประโยชน์อื่นๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังผู้สืบทอดบุคคลที่สามที่เกี่ยวข้อง

การปกป้องข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้มาตรการป้องกัน - รวมทั้งการบริหาร เทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้ในทางที่ผิด ตลอดจนจากการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

รักษาความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้แน่ใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราแจ้งหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

ในบรรดาอสมการลอการิทึมที่หลากหลายทั้งหมด ศึกษาอสมการที่มีฐานตัวแปรแยกกัน พวกเขาได้รับการแก้ไขตามสูตรพิเศษซึ่งด้วยเหตุผลบางอย่างที่โรงเรียนไม่ค่อยสอน:

บันทึก k (x ) f (x ) ∨ บันทึก k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

แทนที่จะเป็นแม่แรง "∨" คุณสามารถใส่เครื่องหมายอสมการใดก็ได้: มากหรือน้อย สิ่งสำคัญคือในความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองสัญญาณจะเหมือนกัน

ดังนั้นเราจึงกำจัดลอการิทึมและลดปัญหาให้เป็นอสมการตรรกยะ อันหลังแก้ได้ง่ายกว่ามาก แต่เมื่อละทิ้งลอการิทึม รูตพิเศษอาจปรากฏขึ้น หากต้องการตัดออก ก็เพียงพอที่จะค้นหาช่วงของค่าที่ยอมรับได้ หากคุณลืม ODZ ของลอการิทึม ขอแนะนำให้ทำซ้ำ - ดู "ลอการิทึมคืออะไร"

ทุกอย่างที่เกี่ยวข้องกับช่วงของค่าที่ยอมรับได้จะต้องเขียนและแก้ไขแยกกัน:

f(x) > 0; ก.(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

ความไม่เท่าเทียมกันทั้งสี่นี้ประกอบขึ้นเป็นระบบและต้องปฏิบัติตามพร้อมกัน เมื่อพบช่วงของค่าที่ยอมรับได้ มันยังคงข้ามมันด้วยคำตอบของอสมการเชิงเหตุผล - และคำตอบก็พร้อม

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

ขั้นแรก ให้เขียน ODZ ของลอการิทึม:

อสมการสองตัวแรกจะดำเนินการโดยอัตโนมัติ และอสมการสุดท้ายจะต้องถูกเขียน เนื่องจากกำลังสองของตัวเลขเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวตัวเลขนั้นเป็นศูนย์ เราจึงมี:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

ปรากฎว่า ODZ ของลอการิทึมเป็นตัวเลขทั้งหมดยกเว้นศูนย์: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞) ตอนนี้เราแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันหลัก:

เราดำเนินการเปลี่ยนจากอสมการลอการิทึมเป็นอสมการ ในอสมการเดิมจะมีเครื่องหมาย "น้อยกว่า" ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันที่ได้จึงควรมีเครื่องหมาย "น้อยกว่า" ด้วย เรามี:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 - x2) x2< 0;
(3 – x) (3 + x) x 2< 0.

ศูนย์ของนิพจน์นี้: x = 3; x = -3; x = 0 นอกจากนี้ x = 0 ยังเป็นรูทของทวีคูณที่สอง ซึ่งหมายความว่าเมื่อผ่านไป เครื่องหมายของฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลง เรามี:

เราได้ x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) ชุดนี้มีอยู่ใน ODZ ของลอการิทึมอย่างสมบูรณ์ ซึ่งหมายความว่านี่คือคำตอบ

การแปลงอสมการลอการิทึม

บ่อยครั้งที่ความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมแตกต่างจากที่กล่าวข้างต้น ซึ่งแก้ไขได้ง่ายตามกฎมาตรฐานสำหรับการทำงานกับลอการิทึม - ดู "คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม" กล่าวคือ:

1. ตัวเลขใดๆ สามารถแสดงเป็นลอการิทึมด้วยฐานที่กำหนด
2. ผลรวมและผลต่างของลอการิทึมที่มีฐานเดียวกันสามารถแทนที่ด้วยลอการิทึมเดียว

แยกจากกัน ฉันต้องการเตือนคุณเกี่ยวกับช่วงของค่าที่ยอมรับได้ เนื่องจากอาจมีลอการิทึมหลายลอการิทึมในอสมการดั้งเดิม จึงจำเป็นต้องหา DPV ของลอการิทึมแต่ละตัว ดังนั้นรูปแบบทั่วไปสำหรับการแก้อสมการลอการิทึมจึงเป็นดังนี้:

1. ค้นหา ODZ ของลอการิทึมแต่ละตัวที่รวมอยู่ในอสมการ
2. ลดความไม่เท่าเทียมกันให้เป็นค่ามาตรฐานโดยใช้สูตรสำหรับการบวกและลบลอการิทึม
3. แก้ไขความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นตามรูปแบบด้านบน

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ (ODZ) ของลอการิทึมแรก:

เราแก้โดยวิธีช่วงเวลา การหาศูนย์ของตัวเศษ:

3x − 2 = 0;
x = 2/3

จากนั้น - ศูนย์ของตัวส่วน:

x − 1 = 0;
x = 1

เราทำเครื่องหมายศูนย์และเครื่องหมายบนลูกศรพิกัด:

เราได้ x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) ลอการิทึมที่สองของ ODZ จะเท่ากัน ถ้าไม่เชื่อก็เช็คได้ ตอนนี้เราแปลงลอการิทึมที่สองเพื่อให้ฐานเป็นสอง:

อย่างที่คุณเห็น เลขสามตัวที่ฐานและก่อนลอการิทึมหดตัว รับลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน มารวมกัน:

บันทึก 2 (x − 1) 2< 2;
บันทึก 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

เราได้รับอสมการลอการิทึมมาตรฐาน เรากำจัดลอการิทึมด้วยสูตร เนื่องจากมีเครื่องหมายน้อยกว่าในอสมการดั้งเดิม นิพจน์ตรรกยะที่ได้จึงต้องน้อยกว่าศูนย์ด้วย เรามี:

(f (x) - ก. (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).

เราได้สองชุด:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. ตอบผู้สมัคร: x ∈ (-1; 3)

ยังคงต้องข้ามชุดเหล่านี้ - เราได้รับคำตอบที่แท้จริง:

เราสนใจจุดตัดของเซตต่างๆ ดังนั้นเราจึงเลือกช่วงเวลาที่แรเงาบนลูกศรทั้งสอง เราได้ x ∈ (-1; 2/3)∪(1; 3) - จุดทั้งหมดถูกเจาะ

โดยมีลอการิทึมอยู่ภายใน

ตัวอย่าง:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

วิธีแก้อสมการลอการิทึม:

อสมการลอการิทึมใดๆ ควรลดลงให้อยู่ในรูปแบบ \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (สัญลักษณ์ \(˅\) หมายถึง ใดๆ ของ ) แบบฟอร์มนี้ช่วยให้เรากำจัดลอการิทึมและฐานของลอการิทึมได้โดยส่งผ่านไปยังอสมการของนิพจน์ภายใต้ลอการิทึม นั่นคือ แบบฟอร์ม \(f(x) ˅ g(x)\)

แต่เมื่อทำการเปลี่ยนแปลงนี้ มีความละเอียดอ่อนที่สำคัญอย่างหนึ่ง:
\(-\) ถ้า - ตัวเลขและมากกว่า 1 - เครื่องหมายอสมการยังคงเหมือนเดิมระหว่างการเปลี่ยนแปลง
\(-\) หากฐานเป็นตัวเลขที่มากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1 (ระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง) เครื่องหมายอสมการจะต้องกลับด้าน นั่นคือ

สำคัญมาก!ในความไม่เท่าเทียมกันใดๆ การเปลี่ยนจากรูปแบบ \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) เป็นการเปรียบเทียบนิพจน์ภายใต้ลอการิทึมสามารถทำได้ก็ต่อเมื่อ:

ตัวอย่าง . แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: \(\log\)\(≤-1\)

สารละลาย:

ตัวอย่าง . แก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

สารละลาย:

อสมการลอการิทึม

ในบทเรียนที่แล้ว เราได้ทำความคุ้นเคยกับสมการลอการิทึม และตอนนี้เรารู้แล้วว่ามันคืออะไรและจะแก้อย่างไร และบทเรียนของวันนี้จะเน้นไปที่การศึกษาความไม่เท่าเทียมกันลอการิทึม อะไรคืออสมการเหล่านี้และอะไรคือความแตกต่างระหว่างการแก้สมการลอการิทึมกับอสมการ

อสมการลอการิทึมคืออสมการที่มีตัวแปรอยู่ใต้เครื่องหมายของลอการิทึมหรือที่ฐาน

หรืออาจกล่าวได้ว่าอสมการลอการิทึมคืออสมการที่ค่าที่ไม่ทราบค่าของสมการลอการิทึมจะอยู่ใต้เครื่องหมายของลอการิทึม

อสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดมีลักษณะดังนี้:

โดยที่ f(x) และ g(x) เป็นนิพจน์ที่ขึ้นอยู่กับ x

ลองดูสิ่งนี้โดยใช้ตัวอย่างต่อไปนี้: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x-1

การแก้อสมการลอการิทึม

ก่อนแก้สมการลอการิทึม เป็นที่น่าสังเกตว่าเมื่อแก้แล้ว พวกมันจะคล้ายกับอสมการเลขชี้กำลัง กล่าวคือ:

อันดับแรก เมื่อย้ายจากลอการิทึมไปเป็นนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม เราต้องเปรียบเทียบฐานของลอการิทึมกับหนึ่งด้วย

ประการที่สอง เมื่อแก้อสมการลอการิทึมโดยใช้การเปลี่ยนแปลงของตัวแปร เราจำเป็นต้องแก้ความไม่เท่าเทียมกันด้วยความเคารพต่อการเปลี่ยนแปลงนั้น จนกว่าเราจะได้อสมการที่ง่ายที่สุด

แต่เราเองที่พิจารณาช่วงเวลาที่คล้ายคลึงกันในการแก้อสมการลอการิทึม ทีนี้มาดูความแตกต่างที่สำคัญทีเดียว คุณและฉันรู้ว่าฟังก์ชันลอการิทึมมีขอบเขตของคำจำกัดความที่จำกัด ดังนั้นเมื่อย้ายจากลอการิทึมเป็นนิพจน์ที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม คุณต้องคำนึงถึงช่วงของค่าที่อนุญาต​​​​​​​​​​​​​​​​ .

นั่นคือ ควรจำไว้ว่าเมื่อแก้สมการลอการิทึม เราสามารถหารากของสมการได้ก่อน แล้วจึงตรวจสอบคำตอบนี้ แต่การแก้อสมการลอการิทึมจะไม่ทำงานในลักษณะนี้ เนื่องจากการย้ายจากลอการิทึมเป็นนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม จึงจำเป็นต้องเขียน ODZ ของอสมการ

นอกจากนี้ ควรจำไว้ว่าทฤษฎีความไม่เท่าเทียมกันประกอบด้วยจำนวนจริง ซึ่งเป็นจำนวนบวกและลบ รวมทั้งเลข 0

ตัวอย่างเช่น เมื่อตัวเลข "a" เป็นค่าบวก ต้องใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้: a > 0 ในกรณีนี้ ทั้งผลรวมและผลคูณของตัวเลขดังกล่าวจะเป็นค่าบวกด้วย

หลักการพื้นฐานของการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันคือการแทนที่ด้วยความไม่เท่าเทียมกันที่ง่ายกว่า แต่สิ่งสำคัญคือต้องเทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกันที่ให้มา นอกจากนี้ เรายังได้รับความไม่เท่าเทียมกันและแทนที่ด้วยความไม่เท่าเทียมกันอีกครั้งด้วยรูปแบบที่ง่ายกว่า เป็นต้น

การแก้ความไม่เท่าเทียมกันด้วยตัวแปร คุณต้องหาคำตอบทั้งหมดของมัน หากสองอสมการมีตัวแปร x เหมือนกัน ความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวจะเท่ากัน โดยมีเงื่อนไขว่าคำตอบของทั้งสองเท่ากัน

เมื่อดำเนินการแก้ไขอสมการลอการิทึม จำเป็นต้องจำไว้ว่าเมื่อ a > 1 ฟังก์ชันลอการิทึมจะเพิ่มขึ้น และเมื่อ 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

วิธีแก้อสมการลอการิทึม

ทีนี้มาดูวิธีการบางอย่างที่เกิดขึ้นในการแก้อสมการลอการิทึมกัน เพื่อความเข้าใจและการดูดซึมที่ดีขึ้น เราจะพยายามทำความเข้าใจโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ

เรารู้ว่าอสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดมีรูปแบบดังต่อไปนี้:

ในความไม่เท่าเทียมกันนี้ V - เป็นหนึ่งในสัญญาณความไม่เท่าเทียมกันเช่น:<,>, ≤ หรือ ≥

เมื่อฐานของลอการิทึมนี้มีค่ามากกว่าหนึ่ง (a>1) ทำให้การเปลี่ยนจากลอการิทึมเป็นนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม จากนั้นในเวอร์ชันนี้ เครื่องหมายอสมการจะคงอยู่ และอสมการจะมีลักษณะดังนี้:

ซึ่งเทียบเท่ากับระบบดังต่อไปนี้

ในกรณีที่ฐานของลอการิทึมมีค่ามากกว่าศูนย์และน้อยกว่าหนึ่ง (0

ซึ่งเทียบเท่ากับระบบนี้:

มาดูตัวอย่างเพิ่มเติมของการแก้อสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดที่แสดงในภาพด้านล่าง:

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

งาน.ลองแก้ความไม่เท่าเทียมกันนี้:

การตัดสินใจของพื้นที่ของค่าที่ยอมรับได้

ทีนี้ลองคูณทางขวาของมันด้วย:

มาดูกันว่าเราจะทำอะไรได้บ้าง:

ทีนี้ มาดูการแปลงของนิพจน์ย่อยลอการิทึมกัน เนื่องจากฐานของลอการิทึมคือ 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8

และจากนี้ไป ช่วงเวลาที่เราได้รับนั้นเป็นของ ODZ ทั้งหมดและเป็นวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าว

นี่คือคำตอบที่เราได้รับ:

สิ่งที่จำเป็นในการแก้อสมการลอการิทึมคืออะไร?

ทีนี้มาลองวิเคราะห์สิ่งที่เราต้องการเพื่อแก้อสมการลอการิทึมให้สำเร็จกัน?

อันดับแรก มุ่งความสนใจทั้งหมดของคุณและพยายามอย่าทำผิดพลาดเมื่อทำการเปลี่ยนแปลงที่ได้รับในความไม่เท่าเทียมกันนี้ นอกจากนี้ ควรจำไว้ว่าเมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าว จำเป็นต้องป้องกันการขยายตัวและการจำกัดความไม่เท่าเทียมกันของ ODZ ซึ่งอาจนำไปสู่การสูญเสียหรือได้มาซึ่งโซลูชันที่ไม่เกี่ยวข้อง

ประการที่สอง เมื่อแก้สมการลอการิทึม คุณต้องเรียนรู้ที่จะคิดอย่างมีตรรกะและเข้าใจความแตกต่างระหว่างแนวคิดต่างๆ เช่น ระบบของความไม่เท่าเทียมกันและชุดของความไม่เท่าเทียมกัน เพื่อให้คุณสามารถเลือกคำตอบของความไม่เท่าเทียมกันได้อย่างง่ายดายในขณะที่ได้รับคำแนะนำจาก DHS

ประการที่สาม เพื่อที่จะแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวได้สำเร็จ คุณแต่ละคนต้องรู้คุณสมบัติทั้งหมดของฟังก์ชันพื้นฐานเป็นอย่างดีและเข้าใจความหมายอย่างชัดเจน ฟังก์ชันดังกล่าวไม่เพียงแต่รวมถึงลอการิทึมเท่านั้น แต่ยังรวมถึงตรรกยะ พลัง ตรีโกณมิติ ฯลฯ ในคำเดียว ทุกคำที่คุณเรียนระหว่างพีชคณิตของโรงเรียน

อย่างที่คุณเห็น เมื่อศึกษาหัวข้อของอสมการลอการิทึมแล้ว การแก้ปัญหาอสมการลอการิทึมก็ไม่ใช่เรื่องยาก หากคุณต้องตั้งใจและแน่วแน่ในการบรรลุเป้าหมาย เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาใดๆ ในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน คุณต้องฝึกฝนให้มากที่สุด แก้ไขปัญหาต่าง ๆ และในขณะเดียวกันก็จดจำวิธีการหลักในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันและระบบของพวกมัน ด้วยวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ประสบความสำเร็จสำหรับอสมการลอการิทึม คุณควรวิเคราะห์ข้อผิดพลาดของคุณอย่างรอบคอบเพื่อที่คุณจะไม่กลับมาหาข้อผิดพลาดอีกในอนาคต

การบ้าน

เพื่อการดูดซึมที่ดีขึ้นของหัวข้อและการรวมเนื้อหาที่ครอบคลุม ให้แก้ไขความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้:

ความไม่เท่าเทียมกันลอการิทึมในการใช้งาน

เซชิน มิคาอิล อเล็กซานโดรวิช

สถาบันวิทยาศาสตร์ขนาดเล็กสำหรับนักเรียนของสาธารณรัฐคาซัคสถาน "ผู้แสวงหา"

MBOU "โรงเรียนมัธยมโซเวียตหมายเลข 1" เกรด 11 เมือง เขตโซเวียตสกี้ โซเวียต

Gunko Lyudmila Dmitrievna ครูของ MBOU "โรงเรียนมัธยมโซเวียตหมายเลข 1"

เขตโซเวียตสกี้

วัตถุประสงค์:ศึกษากลไกการแก้อสมการลอการิทึม C3 โดยใช้วิธีการที่ไม่ได้มาตรฐาน เผยข้อเท็จจริงที่น่าสนใจเกี่ยวกับลอการิทึม

หัวข้อการศึกษา:

3) เรียนรู้ที่จะแก้อสมการลอการิทึม C3 ที่เฉพาะเจาะจงโดยใช้วิธีที่ไม่ได้มาตรฐาน

ผล:

เนื้อหา

บทนำ…………………………………………………………………………….4

บทที่ 1 ความเป็นมา…………………………………………………………………… 5

บทที่ 2 การรวบรวมอสมการลอการิทึม ………………………… 7

2.1. การเปลี่ยนภาพที่เท่ากันและวิธีการทั่วไปของช่วงเวลา…………… 7

2.2. วิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง ……………………………………………… 15

2.3. การแทนที่ที่ไม่ได้มาตรฐาน…………………………………………………………………………………………………. ..... 22

2.4. งานกับดัก…………………………………………………… 27

บทสรุป…………………………………………………………………… 30

วรรณกรรม……………………………………………………………………. 31

บทนำ

ฉันอยู่เกรด 11 และฉันวางแผนที่จะเข้ามหาวิทยาลัยที่วิชาคณิตศาสตร์เป็นวิชาหลัก นั่นคือเหตุผลที่ฉันทำงานในส่วน C เป็นอย่างมาก ในงาน C3 คุณต้องแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่ได้มาตรฐานหรือระบบของความไม่เท่าเทียมกัน ซึ่งมักจะเกี่ยวข้องกับลอการิทึม ขณะเตรียมสอบ ฉันพบปัญหาการขาดวิธีการและเทคนิคในการแก้อสมการลอการิทึมของข้อสอบที่นำเสนอใน C3 วิธีการที่ศึกษาในหลักสูตรของโรงเรียนในหัวข้อนี้ไม่ได้ให้พื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหา C3 ครูคณิตศาสตร์แนะนำให้ฉันทำงานกับการบ้าน C3 ด้วยตัวเองภายใต้การแนะนำของเธอ นอกจากนี้ฉันสนใจคำถาม: มีลอการิทึมในชีวิตของเราหรือไม่?

ด้วยเหตุนี้ ธีมจึงถูกเลือก:

"อสมการลอการิทึมในข้อสอบ"

วัตถุประสงค์:ศึกษากลไกการแก้ปัญหา C3 โดยใช้วิธีการที่ไม่ได้มาตรฐาน เผยข้อเท็จจริงที่น่าสนใจเกี่ยวกับลอการิทึม

หัวข้อการศึกษา:

1) ค้นหาข้อมูลที่จำเป็นเกี่ยวกับวิธีการที่ไม่ได้มาตรฐานในการแก้อสมการลอการิทึม

2) ค้นหาข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับลอการิทึม

3) เรียนรู้ที่จะแก้ปัญหาเฉพาะ C3 โดยใช้วิธีการที่ไม่ได้มาตรฐาน

ผล:

ความสำคัญในทางปฏิบัติอยู่ที่การขยายตัวของอุปกรณ์สำหรับการแก้ปัญหา C3 เนื้อหานี้สามารถใช้ได้ในบางบทเรียน สำหรับการทำวงกลม ชั้นเรียนเสริมในวิชาคณิตศาสตร์

ผลิตภัณฑ์ของโครงการจะเป็นคอลเล็กชัน "ลอการิทึม C3 อสมการกับโซลูชัน"

บทที่ 1 ความเป็นมา

ในช่วงศตวรรษที่ 16 จำนวนการคำนวณโดยประมาณเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว โดยเฉพาะอย่างยิ่งในด้านดาราศาสตร์ การปรับปรุงเครื่องมือ การศึกษาการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ และงานอื่นๆ จำเป็นต้องมีการคำนวณมหาศาล บางครั้งอาจใช้เวลานานหลายปี ดาราศาสตร์ตกอยู่ในอันตรายอย่างแท้จริงจากการจมน้ำในการคำนวณที่ไม่สำเร็จ ความยากลำบากยังเกิดขึ้นในด้านอื่นๆ เช่น ในธุรกิจประกันภัย จำเป็นต้องมีตารางดอกเบี้ยทบต้นสำหรับค่าเปอร์เซ็นต์ต่างๆ ปัญหาหลักคือการคูณ การหารจำนวนหลายหลัก โดยเฉพาะปริมาณตรีโกณมิติ

การค้นพบลอการิทึมขึ้นอยู่กับคุณสมบัติที่รู้จักกันดีของความก้าวหน้าในช่วงปลายศตวรรษที่ 16 อาร์คิมิดีสพูดถึงความเชื่อมโยงระหว่างสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต q, q2, q3, ... และความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ของตัวบ่งชี้ 1, 2, 3, ... ในบทเพลงสรรเสริญ ข้อกำหนดเบื้องต้นอีกประการหนึ่งคือการขยายแนวคิดของดีกรีเป็นเลขชี้กำลังลบและเศษส่วน ผู้เขียนหลายคนชี้ให้เห็นว่าการคูณ การหาร การยกกำลัง และการแตกรากนั้นสอดคล้องกันในทางเลขคณิต - ในลำดับเดียวกัน - การบวก การลบ การคูณ และการหาร

นี่คือแนวคิดของลอการิทึมเป็นเลขชี้กำลัง

ในประวัติศาสตร์ของการพัฒนาหลักคำสอนของลอการิทึมนั้นผ่านไปหลายขั้นตอน

สเตจ 1

ลอการิทึมถูกประดิษฐ์ขึ้นไม่ช้ากว่า 1594 โดยอิสระโดยบารอนชาวสก็อต Napier (1550-1617) และสิบปีต่อมาโดยช่างชาวสวิส Burgi (1552-1632) ทั้งสองต้องการให้วิธีการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่สะดวกแบบใหม่ แม้ว่าพวกเขาจะแก้ไขปัญหานี้ด้วยวิธีต่างๆ Napier แสดงฟังก์ชันลอการิทึมแบบจลนศาสตร์และเข้าสู่สนามใหม่ของทฤษฎีฟังก์ชัน Bürgi อยู่บนพื้นฐานของการพิจารณาความก้าวหน้าที่ไม่ต่อเนื่อง อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความของลอการิทึมสำหรับทั้งคู่นั้นไม่เหมือนกับนิยามสมัยใหม่ คำว่า "ลอการิทึม" (ลอการิทึม) เป็นของเนเปียร์ มันเกิดจากการรวมกันของคำภาษากรีก: โลโก้ - "ความสัมพันธ์" และ ariqmo - "จำนวน" ซึ่งหมายถึง "จำนวนความสัมพันธ์" เริ่มแรก Napier ใช้คำอื่น: numeri artificiales - "เทียมตัวเลข" ตรงข้ามกับ numeri naturalts - "natural number"

ในปี 1615 ในการสนทนากับ Henry Briggs (1561-1631) ศาสตราจารย์วิชาคณิตศาสตร์ที่ Gresh College ในลอนดอน เนเปียร์แนะนำให้นำศูนย์สำหรับลอการิทึมของหนึ่งและ 100 สำหรับลอการิทึมของสิบ หรือจำนวนเท่ากัน เพียง 1 นี่คือวิธีการพิมพ์ลอการิทึมทศนิยมและตารางลอการิทึมแรก ต่อมา ตารางของบริกส์ถูกเสริมด้วยผู้ขายหนังสือและนักคณิตศาสตร์ชาวดัตช์ Andrian Flakk (1600-1667) Napier และ Briggs แม้ว่าพวกเขาจะมาที่ลอการิทึมก่อนใครก็ตาม แต่ก็ตีพิมพ์ตารางของพวกเขาช้ากว่าคนอื่น - ในปี 1620 ป้ายบันทึกและบันทึกถูกนำมาใช้ในปี 1624 โดย I. Kepler คำว่า "ลอการิทึมธรรมชาติ" ถูกนำมาใช้โดย Mengoli ในปี 1659 ตามด้วย N. Mercator ในปี 1668 และ John Spadel ครูชาวลอนดอนได้ตีพิมพ์ตารางลอการิทึมธรรมชาติของตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 1,000 ภายใต้ชื่อ "ลอการิทึมใหม่"

ในรัสเซีย ตารางลอการิทึมแรกถูกตีพิมพ์ในปี 1703 แต่ในตารางลอการิทึมทั้งหมด มีข้อผิดพลาดในการคำนวณ ตารางที่ปราศจากข้อผิดพลาดแรกถูกตีพิมพ์ในปี 2400 ที่กรุงเบอร์ลินในการประมวลผลของนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน K. Bremiker (1804-1877)

สเตจ 2

การพัฒนาเพิ่มเติมของทฤษฎีลอการิทึมมีความเกี่ยวข้องกับการประยุกต์ใช้เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์และแคลคูลัสที่มีขนาดเล็กกว่าในวงกว้าง เมื่อถึงเวลานั้น การเชื่อมต่อระหว่างการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของไฮเพอร์โบลาด้านเท่ากับลอการิทึมธรรมชาติก็ถูกสร้างขึ้น ทฤษฎีลอการิทึมของช่วงเวลานี้เกี่ยวข้องกับชื่อของนักคณิตศาสตร์หลายคน

นักคณิตศาสตร์ นักดาราศาสตร์ และวิศวกร นิโคเลาส์ เมอร์เคเตอร์ชาวเยอรมันในเรียงความของเขา

"ลอการิทึมเทคนิค" (1668) ให้ชุดที่ให้การขยายตัวของ ln(x + 1) ในแง่ของ

พลัง x:

การแสดงออกนี้สอดคล้องกับความคิดของเขาแม้ว่าแน่นอนเขาไม่ได้ใช้เครื่องหมาย d, ... แต่เป็นสัญลักษณ์ที่ยุ่งยากกว่า ด้วยการค้นพบอนุกรมลอการิทึม เทคนิคในการคำนวณลอการิทึมจึงเปลี่ยนไป: พวกมันเริ่มถูกกำหนดโดยใช้อนุกรมอนันต์ ในการบรรยายของเขา "คณิตศาสตร์เบื้องต้นจากมุมมองที่สูงขึ้น" อ่านในปี 1907-1908 F. Klein แนะนำให้ใช้สูตรนี้เป็นจุดเริ่มต้นในการสร้างทฤษฎีลอการิทึม

สเตจ 3

นิยามของฟังก์ชันลอการิทึมเป็นฟังก์ชันของผกผัน

เลขชี้กำลัง, ลอการิทึมเป็นเลขชี้กำลังของฐานที่กำหนด

ไม่ได้กำหนดสูตรทันที ผลงานของเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (ค.ศ. 1707-1783)

"บทนำสู่การวิเคราะห์อนันต์" (ค.ศ. 1748) ทำหน้าที่เป็นต่อไป

การพัฒนาทฤษฎีของฟังก์ชันลอการิทึม ทางนี้,

134 ปีผ่านไปตั้งแต่เริ่มใช้ลอการิทึม

(นับจากปี ค.ศ. 1614) ก่อนที่นักคณิตศาสตร์จะได้คำจำกัดความ

แนวคิดของลอการิทึมซึ่งปัจจุบันเป็นพื้นฐานของหลักสูตรของโรงเรียน

บทที่ 2 การรวบรวมอสมการลอการิทึม

2.1. การเปลี่ยนภาพที่เท่ากันและวิธีการทั่วไปของช่วงเวลา

การเปลี่ยนแปลงที่เท่าเทียมกัน

ถ้า > 1

ถ้า 0 < а < 1

วิธีช่วงเวลาทั่วไป

วิธีนี้เป็นวิธีที่เป็นสากลที่สุดในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันเกือบทุกประเภท โครงร่างการแก้ปัญหามีลักษณะดังนี้:

1. นำความไม่เท่าเทียมกันมาสู่รูปแบบดังกล่าว โดยที่ฟังก์ชันตั้งอยู่ทางด้านซ้าย
และ 0 ทางด้านขวา

2. ค้นหาขอบเขตของฟังก์ชัน
.

3. ค้นหาศูนย์ของฟังก์ชัน
ก็คือแก้สมการ
(และการแก้สมการมักจะง่ายกว่าการแก้อสมการ)

4. วาดโดเมนของคำจำกัดความและศูนย์ของฟังก์ชันบนเส้นจริง

5. กำหนดสัญญาณของฟังก์ชัน
ในช่วงเวลาที่ได้รับ

6. เลือกช่วงเวลาที่ฟังก์ชันใช้ค่าที่จำเป็น และจดคำตอบ

ตัวอย่างที่ 1

สารละลาย:

ใช้วิธีช่วงเวลา

ที่ไหน

สำหรับค่าเหล่านี้ นิพจน์ทั้งหมดภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึมจะเป็นค่าบวก

ตอบ:

ตัวอย่าง 2

สารละลาย:

ที่ 1 ทาง . ODZ ถูกกำหนดโดยความไม่เท่าเทียมกัน x> 3. การหาลอการิทึมสำหรับสิ่งนั้น xในฐาน 10 เราจะได้

ความไม่เท่าเทียมกันสุดท้ายสามารถแก้ไขได้โดยใช้กฎการสลายตัวเช่น เปรียบเทียบตัวประกอบกับศูนย์ อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ เป็นการง่ายที่จะกำหนดช่วงความคงตัวของฟังก์ชัน

จึงสามารถใช้วิธีเว้นระยะได้

การทำงาน ฉ(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ ต่อเนื่องกันสำหรับ x> 3 และหายไปในจุด x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4 ดังนั้นเราจึงกำหนดช่วงเวลาคงที่ของฟังก์ชัน ฉ(x):

ตอบ:

วิธีที่ 2 . ให้เรานำแนวคิดของวิธีการของช่วงเวลามาใช้กับความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมโดยตรง

สำหรับสิ่งนี้เราจำได้ว่านิพจน์ เอข- เอค และ ( เอ - 1)(ข- 1) มีหนึ่งสัญลักษณ์ แล้วความไม่เท่าเทียมกันของเราสำหรับ x> 3 เท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน

หรือ

ความไม่เท่าเทียมกันสุดท้ายได้รับการแก้ไขโดยวิธีช่วงเวลา

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 3

สารละลาย:

ใช้วิธีช่วงเวลา

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 4

สารละลาย:

ตั้งแต่2 x 2 - 3x+ 3 > 0 สำหรับของจริงทั้งหมด x, แล้ว

ในการแก้อสมการที่สอง เราใช้วิธีช่วงเวลา

ในความไม่เท่าเทียมกันครั้งแรก เราทำการเปลี่ยนแปลง

แล้วเราก็มาถึงอสมการ 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те yซึ่งตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน -0.5< y < 1.

จากไหน เพราะ

เราได้รับความไม่เท่าเทียมกัน

ซึ่งดำเนินการด้วย xซึ่ง 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

ทีนี้ เมื่อพิจารณาถึงวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันที่สองของระบบ ในที่สุดเราก็ได้

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 5

สารละลาย:

ความไม่เท่าเทียมกันเทียบเท่ากับชุดของระบบ

หรือ

ใช้วิธีช่วงเวลาหรือ

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 6

สารละลาย:

ความไม่เท่าเทียมกันเท่ากับระบบ

ปล่อยให้เป็น

แล้ว y > 0,

และความไม่เท่าเทียมกันครั้งแรก

ระบบใช้แบบฟอร์ม

หรือขยายออก

ตรีเอกานุภาพกำลังสองถึงตัวประกอบ

การใช้วิธีช่วงเวลากับอสมการสุดท้าย

เราเห็นว่าวิธีแก้ปัญหาของมันเป็นไปตามเงื่อนไข y> 0 จะเป็นทั้งหมด y > 4.

ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมจึงเทียบเท่ากับระบบ:

ดังนั้น คำตอบของความไม่เท่าเทียมกันคือทั้งหมด

2.2. วิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง

ก่อนหน้านี้ วิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเองของความไม่เท่าเทียมกันยังไม่ได้รับการแก้ไข นี่คือ "วิธีการใหม่ที่มีประสิทธิภาพในการแก้อสมการเลขชี้กำลังและลอการิทึม" (อ้างจากหนังสือโดย Kolesnikova S.I. )
และแม้ว่าครูจะรู้จักเขา แต่ก็มีความกลัว - แต่ผู้เชี่ยวชาญ USE รู้จักเขาหรือไม่ และทำไมพวกเขาไม่ให้เขาที่โรงเรียน มีบางสถานการณ์ที่ครูพูดกับนักเรียนว่า: "ไปเอามาจากไหน นั่งลง - 2."
ตอนนี้วิธีการนี้กำลังได้รับการส่งเสริมทุกที่ และสำหรับผู้เชี่ยวชาญ มีแนวทางที่เกี่ยวข้องกับวิธีนี้ และใน "รุ่นที่สมบูรณ์ที่สุดของตัวแปรประเภท ... " ในโซลูชัน C3 ใช้วิธีนี้
วิธีการนั้นยอดเยี่ยมมาก!

“โต๊ะเวทย์มนตร์”

ในแหล่งอื่นๆ

ถ้า a >1 และ b >1 จากนั้นบันทึก a b >0 และ (a -1)(b -1)>0;

ถ้า a >1 และ 0

ถ้า 0<เอ<1 и b >1 จากนั้นล็อก b<0 и (a -1)(b -1)<0;