Относительная погрешность. Теория ошибок

Термины ошибка измерения и погрешность измерения используются как синонимы.) Возможно лишь оценить величину этого отклонения, например, при помощи статистических методов . При этом за истинное значение принимается среднестатистическое значение, полученное при статистической обработке результатов серии измерений. Это полученное значение не является точным, а лишь наиболее вероятным. Поэтому в измерениях необходимо указывать, какова их точность . Для этого вместе с полученным результатом указывается погрешность измерений. Например, запись T=2.8±0.1 c. означает, что истинное значение величины T лежит в интервале от 2.7 с. до 2.9 с. некоторой оговоренной вероятностью (см. доверительный интервал , доверительная вероятность, стандартная ошибка).

В 2006 году на международном уровне был принят новый документ, диктующий условия проведения измерений и установивший новые правила сличения государственных эталонов. Понятие «погрешность» стало устаревать, вместо него было введено понятие «неопределенность измерений».

Определение погрешности

В зависимости от характеристик измеряемой величины для определения погрешности измерений используют различные методы.

• Метод Корнфельда, заключается в выборе доверительного интервала в пределах от минимального до максимального результата измерений, и погрешность как половина разности между максимальным и минимальным результатом измерения:

• Средняя квадратическая погрешность:

• Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического:

Классификация погрешностей

По форме представления

• Абсолютная погрешность - ΔX является оценкой абсолютной ошибки измерения. Величина этой погрешности зависит от способа её вычисления, который, в свою очередь, определяется распределением случайной величины X m e a s . При этом равенство:

ΔX = | X t r u e − X m e a s | ,

где X t r u e - истинное значение, а X m e a s - измеренное значение, должно выполняться с некоторой вероятностью близкой к 1. Если случайная величина X m e a s распределена по нормальному закону , то, обычно, за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение . Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.

• Относительная погрешность - отношение абсолютной погрешности к тому значению, которое принимается за истинное:

Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах .

• Приведенная погрешность - относительная погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому значению величины, постоянному во всем диапазоне измерений или в части диапазона. Вычисляется по формуле

где X n - нормирующее значение, которое зависит от типа шкалы измерительного прибора и определяется по его градуировке:

Если шкала прибора односторонняя, т.е. нижний предел измерений равен нулю, то X n определяется равным верхнему пределу измерений;
- если шкала прибора двухсторонняя, то нормирующее значение равно ширине диапазона измерений прибора.

Приведенная погрешность - безразмерная величина (может измеряться в процентах).

По причине возникновения

• Инструментальные / приборные погрешности - погрешности, которые определяются погрешностями применяемых средств измерений и вызываются несовершенством принципа действия, неточностью градуировки шкалы, ненаглядностью прибора.
• Методические погрешности - погрешности, обусловленные несовершенством метода, а также упрощениями, положенными в основу методики.
• Субъективные / операторные / личные погрешности - погрешности, обусловленные степенью внимательности, сосредоточенности, подготовленности и другими качествами оператора.

В технике применяют приборы для измерения лишь с определенной заранее заданной точностью – основной погрешностью, допускаемой нормали в нормальных условиях эксплуатации для данного прибора.

Если прибор работает в условиях, отличных от нормальных, то возникает дополнительная погрешность, увеличивающая общую погрешность прибора. К дополнительным погрешностям относятся: температурная, вызванная отклонением температуры окружающей среды от нормальной, установочная, обусловленная отклонением положения прибора от нормального рабочего положения, и т.п. За нормальную температуру окружающего воздуха принимают 20°С, за нормальное атмосферное давление 01,325 кПа.

Обобщенной характеристикой средств измерения является класс точности, определяемый предельными значениями допускаемых основной и дополнительной погрешностей, а также другими параметрами, влияющими на точность средств измерения; значение параметров установлено стандартами на отдельные виды средств измерений. Класс точности средств измерений характеризует их точностные свойства, но не является непосредственным показателем точности измерений, выполняемых с помощью этих средств, так как точность зависит также от метода измерений и условий их выполнения. Измерительным приборам, пределы допускаемой основной погрешности которых заданы в виде приведенных основных (относительных) погрешностей, присваивают классы точности, выбираемые из ряда следующих чисел: (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0)*10n, где n = 1; 0; -1; -2 и т.д.

По характеру проявления

• Случайная погрешность - погрешность, меняющаяся (по величине и по знаку) от измерения к измерению. Случайные погрешности могут быть связаны с несовершенством приборов (трение в механических приборах и т.п.), тряской в городских условиях, с несовершенством объекта измерений (например, при измерении диаметра тонкой проволоки, которая может иметь не совсем круглое сечение в результате несовершенства процесса изготовления), с особенностями самой измеряемой величины (например при измерении количества элементарных частиц, проходящих в минуту через счётчик Гейгера).
• Систематическая погрешность - погрешность, изменяющаяся во времени по определенному закону (частным случаем является постоянная погрешность, не изменяющаяся с течением времени). Систематические погрешности могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, калибровка и т.п.), неучтёнными экспериментатором.
• Прогрессирующая (дрейфовая) погрешность - непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени. Она представляет собой нестационарный случайный процесс.
• Грубая погрешность (промах) - погрешность, возникшая вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры (например, если экспериментатор неправильно прочёл номер деления на шкале прибора, если произошло замыкание в электрической цепи).

Погрешности измерений

Погре́шность измере́ния - оценка отклонения величины измеренного значения величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения.

• Приведенная погрешность - относительная погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому значению величины, постоянному во всем диапазоне измерений или в части диапазона. Вычисляется по формуле

где X n - нормирующее значение, которое зависит от типа шкалы измерительного прибора и определяется по его градуировке:

Если шкала прибора односторонняя, т.е. нижний предел измерений равен нулю, то X n определяется равным верхнему пределу измерений;
- если шкала прибора двухсторонняя, то нормирующее значение равно ширине диапазона измерений прибора.

Приведенная погрешность - безразмерная величина (может измеряться в процентах).

По причине возникновения

• Инструментальные / приборные погрешности - погрешности, которые определяются погрешностями применяемых средств измерений и вызываются несовершенством принципа действия, неточностью градуировки шкалы, ненаглядностью прибора.
• Методические погрешности - погрешности, обусловленные несовершенством метода, а также упрощениями, положенными в основу методики.
• Субъективные / операторные / личные погрешности - погрешности, обусловленные степенью внимательности, сосредоточенности, подготовленности и другими качествами оператора.

В технике применяют приборы для измерения лишь с определенной заранее заданной точностью – основной погрешностью, допускаемой нормали в нормальных условиях эксплуатации для данного прибора.

Если прибор работает в условиях, отличных от нормальных, то возникает дополнительная погрешность, увеличивающая общую погрешность прибора. К дополнительным погрешностям относятся: температурная, вызванная отклонением температуры окружающей среды от нормальной, установочная, обусловленная отклонением положения прибора от нормального рабочего положения, и т.п. За нормальную температуру окружающего воздуха принимают 20°С, за нормальное атмосферное давление 01,325 кПа.

Обобщенной характеристикой средств измерения является класс точности, определяемый предельными значениями допускаемых основной и дополнительной погрешностей, а также другими параметрами, влияющими на точность средств измерения; значение параметров установлено стандартами на отдельные виды средств измерений. Класс точности средств измерений характеризует их точностные свойства, но не является непосредственным показателем точности измерений, выполняемых с помощью этих средств, так как точность зависит также от метода измерений и условий их выполнения. Измерительным приборам, пределы допускаемой основной погрешности которых заданы в виде приведенных основных (относительных) погрешностей, присваивают классы точности, выбираемые из ряда следующих чисел: (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0)*10n, где n = 1; 0; -1; -2 и т.д.

По характеру проявления

• Случайная погрешность - погрешность, меняющаяся (по величине и по знаку) от измерения к измерению. Случайные погрешности могут быть связаны с несовершенством приборов (трение в механических приборах и т.п.), тряской в городских условиях, с несовершенством объекта измерений (например, при измерении диаметра тонкой проволоки, которая может иметь не совсем круглое сечение в результате несовершенства процесса изготовления), с особенностями самой измеряемой величины (например при измерении количества элементарных частиц, проходящих в минуту через счётчик Гейгера).
• Систематическая погрешность - погрешность, изменяющаяся во времени по определенному закону (частным случаем является постоянная погрешность, не изменяющаяся с течением времени). Систематические погрешности могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, калибровка и т.п.), неучтёнными экспериментатором.
• Прогрессирующая (дрейфовая) погрешность - непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени. Она представляет собой нестационарный случайный процесс.
• Грубая погрешность (промах) - погрешность, возникшая вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры (например, если экспериментатор неправильно прочёл номер деления на шкале прибора, если произошло замыкание в электрической цепи).

По способу измерения

• Погрешность прямых измерений
• Погрешность косвенных измерений - погрешность вычисляемой (не измеряемой непосредственно) величины:

Если F = F (x 1 ,x 2 ...x n ) , где x i - непосредственно измеряемые независимые величины, имеющие погрешность Δx i , тогда:

См. также

• Измерение физических величин
• Система автоматизированного сбора данных со счетчиков по радиоканалу

Литература

• Назаров Н. Г. Метрология. Основные понятия и математические модели. М.: Высшая школа, 2002. 348 с.

• Лабораторные занятия по физике. Учебное пособие/Гольдин Л. Л., Игошин Ф. Ф., Козел С. М. и др.; под ред. Гольдина Л. Л. - М.: Наука. Главная редакция физико-математичекой литературы, 1983. - 704 с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Погрешности измерений" в других словарях:

Современная энциклопедия

Погрешности измерений - (ошибки измерений), разность между результатами измерений и истинным значением измеряемой величины (абсолютная погрешность измерения). Относительной погрешностью измерения называется отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению … Иллюстрированный энциклопедический словарь

- (ошибки измерений) отклонения результатов измерений от истинных значений измеряемой величины. Систематические погрешности измерений обусловлены главным образом погрешностями средств измерений и несовершенством методов измерений, случайные… … Большой Энциклопедический словарь

- (ошибки измерений), отклонения результатов измерений от истинных значений измеряемых величин. Различают с и с т е м а т и ч е с к и е, с л у ч а й н ы е и г р у б ы е П. и. (последний вид П. и. часто наз. промахами). Систематич. П. и. обусловлены … Физическая энциклопедия

- (ошибки измерений), отклонения результатов измерений от истинных значений измеряемой величины. Систематические погрешности измерений обусловлены главным образом погрешностями средств измерений и несовершенством методов измерений, случайные … … Энциклопедический словарь

погрешности измерений - Смотри погрешности измерений (ошибки измерений) … Энциклопедический словарь по металлургии

Ошибки измерений, отклонения результатов измерений от истинных значений измеряемых величин. Различают систематические, случайные и грубые П. и. (последний вид П. и. часто называют промахами). Систематические П. и. обусловлены главным… … Большая советская энциклопедия

Термины ошибка измерения и погрешность измерения используются как синонимы.) Возможно лишь оценить величину этого отклонения, например, при помощи статистических методов . При этом за истинное значение принимается среднестатистическое значение, полученное при статистической обработке результатов серии измерений. Это полученное значение не является точным, а лишь наиболее вероятным. Поэтому в измерениях необходимо указывать, какова их точность . Для этого вместе с полученным результатом указывается погрешность измерений. Например, запись T=2.8±0.1 c. означает, что истинное значение величины T лежит в интервале от 2.7 с. до 2.9 с. некоторой оговоренной вероятностью (см. доверительный интервал , доверительная вероятность, стандартная ошибка).

В 2006 году на международном уровне был принят новый документ, диктующий условия проведения измерений и установивший новые правила сличения государственных эталонов. Понятие «погрешность» стало устаревать, вместо него было введено понятие «неопределенность измерений».

Определение погрешности

В зависимости от характеристик измеряемой величины для определения погрешности измерений используют различные методы.

• Метод Корнфельда, заключается в выборе доверительного интервала в пределах от минимального до максимального результата измерений, и погрешность как половина разности между максимальным и минимальным результатом измерения:

• Средняя квадратическая погрешность:

• Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического:

Классификация погрешностей

По форме представления

• Абсолютная погрешность - ΔX является оценкой абсолютной ошибки измерения. Величина этой погрешности зависит от способа её вычисления, который, в свою очередь, определяется распределением случайной величины X m e a s . При этом равенство:

ΔX = | X t r u e − X m e a s | ,

где X t r u e - истинное значение, а X m e a s - измеренное значение, должно выполняться с некоторой вероятностью близкой к 1. Если случайная величина X m e a s распределена по нормальному закону , то, обычно, за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение . Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.

• Относительная погрешность - отношение абсолютной погрешности к тому значению, которое принимается за истинное:

Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах .

• Приведенная погрешность - относительная погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому значению величины, постоянному во всем диапазоне измерений или в части диапазона. Вычисляется по формуле

где X n - нормирующее значение, которое зависит от типа шкалы измерительного прибора и определяется по его градуировке:

Если шкала прибора односторонняя, т.е. нижний предел измерений равен нулю, то X n определяется равным верхнему пределу измерений;
- если шкала прибора двухсторонняя, то нормирующее значение равно ширине диапазона измерений прибора.

Приведенная погрешность - безразмерная величина (может измеряться в процентах).

По причине возникновения

• Инструментальные / приборные погрешности - погрешности, которые определяются погрешностями применяемых средств измерений и вызываются несовершенством принципа действия, неточностью градуировки шкалы, ненаглядностью прибора.
• Методические погрешности - погрешности, обусловленные несовершенством метода, а также упрощениями, положенными в основу методики.
• Субъективные / операторные / личные погрешности - погрешности, обусловленные степенью внимательности, сосредоточенности, подготовленности и другими качествами оператора.

В технике применяют приборы для измерения лишь с определенной заранее заданной точностью – основной погрешностью, допускаемой нормали в нормальных условиях эксплуатации для данного прибора.

Если прибор работает в условиях, отличных от нормальных, то возникает дополнительная погрешность, увеличивающая общую погрешность прибора. К дополнительным погрешностям относятся: температурная, вызванная отклонением температуры окружающей среды от нормальной, установочная, обусловленная отклонением положения прибора от нормального рабочего положения, и т.п. За нормальную температуру окружающего воздуха принимают 20°С, за нормальное атмосферное давление 01,325 кПа.

Обобщенной характеристикой средств измерения является класс точности, определяемый предельными значениями допускаемых основной и дополнительной погрешностей, а также другими параметрами, влияющими на точность средств измерения; значение параметров установлено стандартами на отдельные виды средств измерений. Класс точности средств измерений характеризует их точностные свойства, но не является непосредственным показателем точности измерений, выполняемых с помощью этих средств, так как точность зависит также от метода измерений и условий их выполнения. Измерительным приборам, пределы допускаемой основной погрешности которых заданы в виде приведенных основных (относительных) погрешностей, присваивают классы точности, выбираемые из ряда следующих чисел: (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0)*10n, где n = 1; 0; -1; -2 и т.д.

По характеру проявления

• Случайная погрешность - погрешность, меняющаяся (по величине и по знаку) от измерения к измерению. Случайные погрешности могут быть связаны с несовершенством приборов (трение в механических приборах и т.п.), тряской в городских условиях, с несовершенством объекта измерений (например, при измерении диаметра тонкой проволоки, которая может иметь не совсем круглое сечение в результате несовершенства процесса изготовления), с особенностями самой измеряемой величины (например при измерении количества элементарных частиц, проходящих в минуту через счётчик Гейгера).
• Систематическая погрешность - погрешность, изменяющаяся во времени по определенному закону (частным случаем является постоянная погрешность, не изменяющаяся с течением времени). Систематические погрешности могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, калибровка и т.п.), неучтёнными экспериментатором.
• Прогрессирующая (дрейфовая) погрешность - непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени. Она представляет собой нестационарный случайный процесс.
• Грубая погрешность (промах) - погрешность, возникшая вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры (например, если экспериментатор неправильно прочёл номер деления на шкале прибора, если произошло замыкание в электрической цепи).

По способу измерения

• Погрешность прямых измерений
• Погрешность косвенных измерений - погрешность вычисляемой (не измеряемой непосредственно) величины:

Если F = F (x 1 ,x 2 ...x n ) , где x i - непосредственно измеряемые независимые величины, имеющие погрешность Δx i , тогда:

См. также

• Измерение физических величин
• Система автоматизированного сбора данных со счетчиков по радиоканалу

Литература

• Назаров Н. Г. Метрология. Основные понятия и математические модели. М.: Высшая школа, 2002. 348 с.

• Лабораторные занятия по физике. Учебное пособие/Гольдин Л. Л., Игошин Ф. Ф., Козел С. М. и др.; под ред. Гольдина Л. Л. - М.: Наука. Главная редакция физико-математичекой литературы, 1983. - 704 с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Вследствие погрешностей, присущих средству измерений, выбранному методу и методике измерений, отличия внешних условий, в которых выполняется измерение, от установленных, и других причин результат практически каждого измерения отягощен погрешностью. Эта погрешность вычисляется или оценивается и приписывается полученному результату.

Погрешность результата измерений (кратко — погрешность измерений) — отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины.

Истинное значение величины вследствие наличия погрешностей остается неизвестным. Его применяют при решении теоретических задач метрологии. На практике пользуются действительным значением величины, которое заменяет истинное значение.

Погрешность измерения (Δх) находят по формуле:

x = x изм. - x действ. (1.3)

где х изм. — значение величины, полученное на основании измерений; х действ. — значение величины, принятое за действительное.

За действительное значение при однократных измерениях нередко принимают значение, полученное с помощью образцового средства измерений, при многократных измерениях — среднее арифметическое из значений отдельных измерений, входящих в данный ряд.

Погрешности измерения могут быть классифицированы по следующим признакам:

По характеру проявления — систематические и случайные;

По способу выражения — абсолютные и относительные;

По условиям изменения измеряемой величины — статические и динамические;

По способу обработки ряда измерений — средние арифметические и средние квадратические;

По полноте охвата измерительной задачи — частные и полные;

По отношению к единице физической величины — погрешности воспроизведения единицы, хранения единицы и передачи размера единицы.

Систематическая погрешность измерения (кратко — систематическая погрешность) — составляющая погрешности результата измерения, остающаяся постоянной для данного ряда измерений или же закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины.

По характеру проявления систематические погрешности подразделяются на постоянные, прогрессивные и периодические. Постоянные систематические погрешности (кратко — постоянные погрешности) — погрешности, длительное время сохраняющие свое значение (например, в течение всей серии измерений). Это наиболее часто встречающийся вид погрешности.

Прогрессивные систематические погрешности (кратко — прогрессивные погрешности) — непрерывно возрастающие или убывающие погрешности (например, погрешности от износа измерительных наконечников, контактирующих в процессе шлифования с деталью при контроле ее прибором активного контроля).

Периодическая систематическая погрешность (кратко — периодическая погрешность) — погрешность, значение которой является функцией времени или функцией перемещения указателя измерительного прибора (например, наличие эксцентриситета в угломерных приборах с круговой шкалой вызывает систематическую погрешность, изменяющуюся по периодическому закону).

Исходя из причин появления систематических погрешностей, различают инструментальные погрешности, погрешности метода, субъективные погрешности и погрешности вследствие отклонения внешних условий измерения от установленных методиками.

Инструментальная погрешность измерения (кратко — инструментальная погрешность) является следствием ряда причин: износ деталей прибора, излишнее трение в механизме прибора, неточное нанесение штрихов на шкалу, несоответствие действительного и номинального значений меры и др.

Погрешность метода измерений (кратко — погрешность метода) может возникнуть из-за несовершенства метода измерений или допущенных его упрощений, установленных методикой измерений. Например, такая погрешность может быть обусловлена недостаточным быстродействием применяемых средств измерений при измерении параметров быстропротекающих процессов или неучтенными примесями при определении плотности вещества по результатам измерения его массы и объема.

Субъективная погрешность измерения (кратко — субъективная погрешность) обусловлена индивидуальными погрешностями оператора. Иногда эту погрешность называют личной разностью. Она вызывается, например, запаздыванием или опережением принятия оператором сигнала.

Погрешность вследствие отклонения (в одну сторону) внешних условий измерения от установленных методикой измерения приводит к возникновению систематической составляющей погрешности измерения.

Систематические погрешности искажают результат измерения, поэтому они подлежат исключению, насколько это возможно, путем введения поправок или юстировкой прибора с доведением систематических погрешностей до допустимого минимума.

Неисключенная систематическая погрешность (кратко — неисключенная погрешность) — это погрешность результата измерений, обусловленная погрешностью вычисления и введения поправки на действие систематической погрешности, или небольшой систематической погрешностью, поправка на действие которой не введена вследствие малости.

Иногда этот вид погрешности называют неисключенными остатками систематической погрешности (кратко — неисключенные остатки). Например, при измерении длины штрихового метра в длинах волн эталонного излучения выявлено несколько неисключенных систематических погрешностей (i): из-за неточного измерения температуры — 1 ; из-за неточного определения показателя преломления воздуха — 2 , из-за неточного значения длины волны — 3 .

Обычно учитывают сумму неисключенных систематических погрешностей (устанавливают их границы). При числе слагаемых N ≤ 3 границы неисключенных систематических погрешностей вычисляют по формуле

При числе слагаемых N ≥ 4 для вычислений используют формулу

(1.5)

где k — коэффициент зависимости неисключенных систематических погрешностей от выбранной доверительной вероятности Р при их равномерном распределении. При Р = 0,99, k = 1,4, при Р = 0,95, k = 1,1.

Случайная погрешность измерения (кратко — случайная погрешность) — составляющая погрешности результата измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) в серии измерений одного и того же размера физической величины. Причины случайных погрешностей: погрешности округления при отсчете показаний, вариация показаний, изменение условий измерений случайного характера и др.

Случайные погрешности вызывают рассеяние результатов измерений в серии.

В основе теории погрешностей лежат два положения, подтверждаемые практикой:

1. При большом числе измерений случайные погрешности одинакового числового значения, но разного знака, встречаются одинаково часто;

2. Большие (по абсолютному значению) погрешности встречаются реже, чем малые.

Из первого положения следует важный для практики вывод: при увеличении числа измерений случайная погрешность результата, полученного из серии измерений, уменьшается, так как сумма погрешностей отдельных измерений данной серии стремится к нулю, т. е.

(1.6)

Например, в результате измерений получен ряд значений электрического сопротивления (в которые введены поправки на действия систематических погрешностей): R 1 = 15,5 Ом, R 2 = 15,6 Ом, R 3 = 15,4 Ом, R 4 = 15,6 Ом и R 5 = 15,4 Ом. Отсюда R = 15,5 Ом. Отклонения от R (R 1 = 0,0; R 2 = +0,1 Ом, R 3 = -0,1 Ом, R 4 = +0,1 Ом и R 5 = -0,1 Ом) представляют собой случайные погрешности отдельных измерений в данной серии. Нетрудно убедиться, что сумма R i = 0,0. Это свидетельствует о том, что погрешности отдельных измерений данного ряда вычислены правильно.

Несмотря на то, что с увеличением числа измерений сумма случайных погрешностей стремится к нулю (в данном примере она случайно получилась равной нулю), обязательно производится оценка случайной погрешности результата измерений. В теории случайных величин характеристикой рассеяния значений случайной величины служит дисперсия о2. "|/о2 = а называют средним квадратическим отклонением генеральной совокупности или стандартным отклонением.

Оно более удобно, чем дисперсия, так как его размерность совпадает с размерностью измеряемой величины (например, значение величины получено в вольтах, среднее квадратическое отклонение тоже будет в вольтах). Так как в практике измерений имеют дело с термином «погрешность», для характеристики ряда измерений следует применять производный от него термин «средняя квадратическая погрешность». Характеристикой ряда измерений может служить средняя арифметическая погрешность или размах результатов измерений.

Размах результатов измерений (кратко — размах) — алгебраическая разность наибольшего и наименьшего результатов отдельных измерений, образующих ряд (или выборку) из n измерений:

R n = X max - Х min (1.7)

где R n — размах; X max и Х min — наибольшее и наименьшее значения величины в данном ряду измерений.

Например, из пяти измерений диаметра d отверстия значения R 5 = 25,56 мм и R 1 = 25,51 мм оказались максимальным и минимальным его значением. В этом случае R n = d 5 — d 1 = 25,56 мм — 25,51 мм = 0,05 мм. Это означает, что остальные погрешности данного ряда менее 0,05 мм.

Средняя арифметическая погрешность отдельного измерения в серии (кратко — средняя арифметическая погрешность) — обобщенная характеристика рассеяния (вследствие случайных причин) отдельных результатов измерений (одной и той же величины), входящих в серию из n равноточных независимых измерений, вычисляется по формуле

(1.8)

где Х і — результат і-го измерения, входящего в серию; х — среднее арифметическое из n значений величины: |Х і - X| — абсолютное значение погрешности i-го измерения; r — средняя арифметическая погрешность.

Истинное значение средней арифметической погрешности р определяется из соотношения

р = lim r, (1.9)

При числе измерений n > 30 между средней арифметической (r) и средней квадратической (s) погрешностями существуют соотношения

s = 1,25 r; r и= 0,80 s. (1.10)

Преимущество средней арифметической погрешности — простота ее вычисления. Но все же чаще определяют среднюю квадратическую погрешность.

Средняя квадратическая погрешность отдельного измерения в серии (кратко — средняя квадратическая погрешность) — обобщенная характеристика рассеяния (вследствие случайных причин) отдельных результатов измерений (одной и той же величины), входящих в серию из п равноточных независимых измерений, вычисляемая по формуле

(1.11)

Средняя квадратическая погрешность для генеральной выборки о, являющаяся статистическим пределом S, может быть вычислена при /і-мх > по формуле:

Σ = lim S (1.12)

В действительности число измерений всегда ограничено, поэтому вычисляется не σ, а ее приближенное значение (или оценка), которым является s. Чем больше п, тем s ближе к своему пределу σ.

При нормальном законе распределения вероятность того, что погрешность отдельного измерения в серии не превзойдет вычисленную среднюю квадратическую погрешность, невелика: 0,68. Следовательно, в 32 случаях из 100 или 3 случаях из 10 действительная погрешность может быть больше вычисленной.

Рисунок 1.2 Уменьшение значения случайной погрешности результата многократного измерения при увеличении числа измерений в серии

В серии измерений существует зависимость между средней квадратической погрешностью отдельного измерения s и средней квадратической погрешностью арифметического среднего S x:

которую нередко называют «правилом У n». Из этого правила следует, что погрешность измерений вследствие действия случайных причин может быть уменьшена в уn раз, если выполнять n измерений одного размера какой-либо величины, а за окончательный результат принимать среднее арифметическое значение (рис. 1.2).

Выполнение не менее 5 измерений в серии дает возможность уменьшить влияние случайных погрешностей более чем в 2 раза. При 10 измерениях влияние случайной погрешности уменьшается в 3 раза. Дальнейшее увеличение числа измерений не всегда экономически целесообразно и, как правило, осуществляется лишь при ответственных измерениях, требующих высокой точности.

Средняя квадратическая погрешность отдельного измерения из ряда однородных двойных измерений S α вычисляется по формуле

(1.14)

где x" i и х"" i — і-ые результаты измерений одного размера величины при прямом и обратном направлениях одним средством измерений.

При неравноточных измерениях среднюю квадратическую погрешность арифметического среднего в серии определяют по формуле

(1.15)

где p i — вес і-го измерения в серии неравноточных измерений.

Среднюю квадратическую погрешность результата косвенных измерений величины Y, являющейся функцией Y = F (X 1 , X 2 , X n), вычисляют по формуле

(1.16)

где S 1 , S 2 , S n — средние квадратические погрешности результатов измерений величин X 1 , X 2 , X n .

Если для большей надежности получения удовлетворительного результата проводят несколько серий измерений, среднюю квадратическую погрешность отдельного измерения из m серий (S m) находят по формуле

(1.17)

Где n — число измерений в серии; N — общее число измерений во всех сериях; m — число серий.

При ограниченном числе измерений часто необходимо знать погрешность средней квадратической погрешности. Для определения погрешности S, вычисляемой по формуле (2.7), и погрешности S m , вычисляемой по формуле (2.12), можно воспользоваться следующими выражениями

(1.18)

(1.19)

где S и S m — средние квадратические погрешности соответственно S и S m .

Например, при обработке результатов ряда измерений длины х получены

= 86 мм 2 при n = 10,

= 3,1 мм

= 0,7 мм или S = ±0,7 мм

Значение S = ±0,7 мм означает, что из-за погрешности вычисления s находится в пределах от 2,4 до 3,8 мм, следовательно, десятые доли миллиметра здесь ненадежны. В рассмотренном случае надо записать: S = ±3 мм.

Чтобы иметь большую уверенность в оценке погрешности результата измерений, вычисляют доверительную погрешность или доверительные границы погрешности. При нормальном законе распределения доверительные границы погрешности вычисляют как ±t-s или ±t-s x , где s и s x — средние квадратические погрешности соответственно отдельного измерения в серии и среднего арифметического; t — число, зависящее от доверительной вероятности Р и числа измерений n.

Важным понятием является надежность результата измерений (α), т.е. вероятность того, что искомое значение измеряемой величины попадет в данный доверительный интервал.

Например, при обработке деталей на станках в устойчивом технологическом режиме распределение погрешностей подчиняется нормальному закону. Предположим, что установлен допуск на длину детали, равный 2а. В этом случае доверительным интервалом, в котором находится искомое значение длины детали а, будет (а - а, а + а).

Если 2a = ±3s, то надежность результата a = 0,68, т. е. в 32 случаях из 100 следует ожидать выхода размера детали за допуск 2а. При оценивании качества детали по допуску 2a = ±3s надежность результата составит 0,997. В этом случае можно ожидать выхода за установленный допуск только трех деталей из 1000. Однако увеличение надежности возможно лишь при уменьшении погрешности длины детали. Так, для повышения надежности с a = 0,68 до a = 0,997 погрешность длины детали необходимо уменьшить в три раза.

В последнее время получил широкое распространение термин «достоверность измерений». В некоторых случаях он необоснованно применяется вместо термина «точность измерений». Например, в некоторых источниках можно встретить выражение «установление единства и достоверности измерений в стране». Тогда как правильнее сказать «установление единства и требуемой точности измерений». Достоверность нами рассматривается как качественная характеристика, отражающая близость к нулю случайных погрешностей. Количественно она может быть определена через недостоверность измерений.

Недостоверность измерений (кратко — недостоверность)— оценка несовпадения результатов в серии измерений вследствие влияния суммарного воздействия случайных погрешностей (определяемых статистическими и нестатистическими методами), характеризуемая областью значений, в которой находится истинное значение измеряемой величины.

В соответствии с рекомендациями Международного бюро мер и весов недостоверность выражается в виде суммарной средней квадратической погрешности измерений — Su включающей среднюю квадратическую погрешность S (определяемую статистическими методами) и среднюю квадратическую погрешность u (определяемую нестатистическими методами), т.е.

(1.20)

Предельная погрешность измерения (кратко — предельная погрешность) — максимальная погрешность измерения (плюс, минус), вероятность которой не превышает значение Р, при этом разность 1 - Р незначительная.

Например, при нормальном законе распределения вероятность появления случайной погрешности, равной ±3s, составляет 0,997, а разность 1-Р = 0,003 незначительна. Поэтому во многих случаях доверительную погрешность ±3s, принимают за предельную, т.е. пр = ±3s. В случае необходимости пр может иметь и другие соотношения с s при достаточно большом Р (2s, 2,5s, 4s и т.д.).

В связи с тем, в стандартах ГСИ вместо термина «средняя квадратическая погрешность» применен термин «среднее квадратическое откланение», в дальнейших рассуждениях мы будим придерживаться именно этого термина.

Абсолютная погрешность измерения (кратко — абсолютная погрешность) — погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины. Так, погрешность Х измерения длины детали Х, выраженная в микрометрах, представляет собой абсолютную погрешность.

Не следует путать термины «абсолютная погрешность» и «абсолютное значение погрешности», под которым понимают значение погрешности без учета знака. Так, если абсолютная погрешность измерения равна ±2мкВ, то абсолютное значение погрешности будет 0,2 мкВ.

Относительная погрешность измерения (кратко — относительная погрешность) — погрешность измерения, выраженная в долях значения измеряемой величины или в процентах. Относительную погрешность δ находят из отношений:

(1.21)

Например, имеется действительное значение длины детали х = 10,00 мм и абсолютное значение погрешности х = 0,01мм. Относительная погрешность составит

Статическая погрешность — погрешность результата измерения, обусловленная условиями статического измерения.

Динамическая погрешность — погрешность результата измерения, обусловленная условиями динамического измерения.

Погрешность воспроизведения единицы — погрешность результата измерений, выполняемых при воспроизведении единицы физической величины. Так, погрешность воспроизведения единицы при помощи государственного эталона указывают в виде ее составляющих: неисключенной систематической погрешности, характеризуемой ее границей; случайной погрешностью, характеризуемой средним квадратическим отклонением s и нестабильностью за год ν.

Погрешность передачи размера единицы — погрешность результата измерений, выполняемых при передаче размера единицы. В погрешность передачи размера единицы входят неисключенные систематические погрешности и случайные погрешности метода и средств передачи размера единицы (например, компаратора).

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН И

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Измерением называют нахождение значений физических величин опытным путем с помощью специальных технических средств. Измерения бывают прямые и косвенные. При прямом измерении искомое значение физической величины находят непосредственно с помощью измерительных приборов (например, измерение размеров тел с помощью штангенциркуля). Косвенным называют измерение, при котором искомое значение физической величины находят на основании известной функциональной зависимости между измеряемой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям. Например, при определении объема V цилиндра измеряют его диаметр D и высоту Н, а затем по формуле p D 2 /4 вычисляют его объем.

Вследствие неточности измерительных приборов и трудности учета всех побочных явлений при измерениях неизбежно возникают погрешности измерений. Погрешностью или ошибкой измерения называют отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой физической величины. Погрешность измерения обычно неизвестна, как неизвестно и истинное значение измеряемой величины. Поэтому задача элементарной обработки результатов измерений заключается в установлении интервала, внутри которого с заданной вероятностью находится истинное значение измеряемой физической величины.

Классификация погрешностей измерений

Погрешности разделяют на три вида:

1) грубые или промахи,

2) систематические,

3) случайные .

Грубые погрешности - это ошибочные измерения, возникающие в результате небрежности отсчета по прибору, неразборчивости записи показаний. Например, запись результата 26,5 вместо 2,65; отсчет по шкале 18 вместо 13 и т.д. При обнаружении грубой ошибки результат данного измерения следует сразу отбросить, а само измерение повторить.

Систематические погрешности - ошибки, которые при повторных измерениях остаются постоянными или изменяются по определенному закону. Эти погрешности могут быть обусловлены неправильным выбором метода измерения, несовершенством или неисправностью приборов (например, измерения с помощью прибора, у которого смещен нуль). Для того, чтобы максимально исключить систематические погрешности, следует всегда тщательно анализировать метод измерений, сверять приборы с эталонами. В дальнейшем будем считать, что все систематические погрешности устранены, кроме тех, которые вызваны неточностью изготовления приборов и ошибкой отсчета. Эту погрешность будем называть аппаратурной.

Случайные погрешности - это ошибки, причина которых заранее не может быть учтена. Случайные погрешности зависят от несовершенства наших органов чувств, от непрерывного действия изменяющихся внешних условий (изменение температуры, давления, влажности, вибрация воздуха и т.д.). Случайные погрешности являются неустранимыми, они неизбежно присутствуют во всех измерениях, но их можно оценить, применяя методы теории вероятностей.

Обработка результатов прямых измерений

Пусть в результате прямых измерений физической величины получен ряд ее значений:

x 1 , x 2 , ... x n .

Зная этот ряд чисел, нужно указать значение, наиболее близкое к истинному значению измеряемой величины, и найти величину случайной погрешности. Эту задачу решают на основе теории вероятностей, подробное изложение которой выходит за рамки нашего курса.

Наиболее вероятным значением измеряемой физической величины (близким к истинному) считают среднее арифметическое

. (1)

Здесь x i – результат i–го измерения; n – число измерений. Случайная ошибка измерения может быть оценена величиной абсолютной погрешности D x, которую вычисляют по формуле

, (2)

где t(a ,n) – коэффициент Стьюдента, зависящий от числа измерений n и доверительной вероятности a . Значение доверительной вероятности a задает сам экспериментатор.

Вероятностью случайного события называется отношение числа случаев, благоприятного для данного события, к общему числу равновозможных случаев. Вероятность достоверного события равна 1, а невозможного - 0.

Значение коэффициента Стьюдента, соответствующее заданной доверительной вероятности a и определенному числу измерений n, находят по табл. 1.

Таблица 1

Из табл. 1 видно, что величина коэффициента Стьюдента и случайная погрешность измерения тем меньше, чем больше n и меньше a . Практически выбирают a =0,95. Однако простое увеличение числа измерений не может свести общую погрешность к нулю, так как любой измерительный прибор дает погрешность.

Поясним смысл терминов абсолютная погрешность D x и доверительная вероятность a , используя числовую ось. Пусть среднее значение измеряемой величины (рис. 1), а вычисленная абсолютная погрешность D x. Отложим D x от справа и слева. Полученный числовой интервал от (- D x) до (+ D x) называется доверительным интервалом . Внутри этого доверительного интервала находится истинное значение измеряемой величины x.

Рис.1

Если измерения той же величины повторить теми же приборами в тех же условиях, то истинное значение измеряемой величины x ист попадет в этот же доверительный интервал, но попадание будет не достоверным, а с вероятностью a .

Вычислив величину абсолютной погрешности D x по формуле (2), истинное значение x измеряемой физической величины можно записать в виде x= ±D x.

Для оценки точности измерения физической величины подсчитывают относительную погрешность , которую обычно выражают в процентах,

. (3)

Таким образом, при обработке результатов прямых измерений необходимо проделать следующее:

1. Провести измерения n раз.

2. Вычислить среднее арифметическое значение по формуле (1).

3. Задать доверительную вероятность a (обычно берут a =0.95).

4. По таблице 1 найти коэффициент Стьюдента, соответствующий заданной доверительной вероятности a и числу измерений n.

5. Вычислить абсолютную погрешность по формуле (2) и сравнить ее с аппаратурной. Для дальнейших вычислений взять ту из них, которая больше.

6. По формуле (3) вычислить относительную ошибку e .

7. Записать окончательный результат

x= ±D x. с указанием относительной погрешности e и доверительной вероятности a .

Обработка результатов косвенных измерений

Пусть искомая физическая величина y связана с другими величинами x 1 , x 2 , ... x k некоторой функциональной зависимостью

Y=f(x 1 , x 2 , ... x k) (4)

Среди величин x 1 , x 2 , ... x k имеются величины, полученные при прямых измерениях, и табличные данные. Требуется определить абсолютную D y и относительную e погрешности величины y.

В большинстве случаев проще сначала вычислить относительную погрешность, а затем – абсолютную. Из теории вероятностей относительная погрешность косвенного измерения

. (5)

Здесь , где - частная производная функции по переменной x i, при вычислении которой все величины, кроме x i , считаются постоянными; D x i – абсолютная погрешность величины x i . Если x i получена в результате прямых измерений, то ее среднее значение и абсолютную погрешность D x вычисляют по формулам (1) и (2). Для всех измеренных величин x i задается одинаковая доверительная вероятность a . Если какие-либо из слагаемых, возводимых в квадрат, в выражении (5) меньше на порядок (в 10 раз) других слагаемых, то ими можно пренебречь. Это нужно учитывать при выборе табличных величин (p , g и др.), входящих в формулу относительной погрешности. Их значение надо выбрать такими, чтобы их относительная погрешность была на порядок меньше наибольшей относительной погрешности.

Запишем конечный результат:

y= ±D y.

Здесь – среднее значение косвенного измерения, полученное по формуле (4) при подстановке в нее средних величин x i ; D y= e .

Обычно в реальных измерениях присутствуют и случайные и систематические (аппаратурные) погрешности. Если вычисленная случайная погрешность прямых измерений равна нулю или меньше аппаратурной в два и большее число раз, то при вычислении погрешности косвенных измерений в расчет должна приниматься аппаратурная погрешность. Если эти погрешности отличаются меньше, чем в два раза, то абсолютная погрешность вычисляется по формуле

.

Рассмотрим пример. Пусть необходимо вычислить объем цилиндра:

. (6)

Здесь D – диаметр цилиндра, H – его высота, измеренная штангенциркулем с ценой деления 0.1 мм. В результате многократных измерений найдем средние значения =10.0 мм и =40.0 мм. Относительную погрешность косвенного измерения объема цилиндра определяем по формуле

, (7)

где D D и D H – абсолютные ошибки прямых измерений диаметра и высоты. Их величины рассчитываем по формуле (2): D D=0.01 мм; D H=0.13 мм. Сравним вычисленные ошибки с аппаратурной, равной цене деления штангенциркуля. D D<0.1, поэтому в формуле (7) подставим вместо D D не 0.01 мм, а 0.1 мм.

Значение p нужно выбрать таким, чтобы относительной ошибкой Dp / p в формуле (7) можно было пренебречь. Из анализа измеренных величин и вычисленных абсолютных ошибок D D и D H видно, что наибольший вклад в относительную ошибку измерения объема вносит ошибка измерения высоты. Вычисление относительной ошибки высоты дает e H =0.01. Следовательно, значение p нужно взять 3.14. В этом случае Dp / p » 0.001 (Dp =3.142-3.14=0.002).

В абсолютной погрешности оставляют одну значащую цифру.

Примечания.

1. Если измерения производят один раз или результаты многократных измерений одинаковы, то за абсолютную погрешность измерений нужно взять аппаратурную погрешность, которая для большинства используемых приборов равна цене деления прибора (более подробно об аппаратурной погрешности см. в разделе “Измерительные приборы”).

2. Если табличные или экспериментальные данные приводятся без указания погрешности, то абсолютную погрешность таких чисел принимают равной половине порядка последней значащей цифры.

Действия с приближенными числами

Вопрос о различной точности вычисления очень важен, так как завышение точности вычисления приводит к большому объему ненужной работы. Студенты часто вычисляют искомую величину с точностью до пяти и более значащих цифр. Следует понимать, что эта точность излишняя. Нет никакого смысла вести вычисления дальше того предела точности, который обеспечивается точностью определения непосредственно измерявшихся величин. Проведя обработку измерений, часто не подсчитывают ошибки отдельных результатов и судят об ошибке приближенного значения величины, указывая количество верных значащих цифр в этом числе.

Значащими цифрами приближенного числа называются все цифры, кроме нуля, а также нуль в двух случаях:

1) когда он стоит между значащими цифрами (например, в числе 1071 – четыре значащих цифры);

2) когда он стоит в конце числа и когда известно, что единица соответствующего разряда в данном числе не имеется. Пример. В числе 5,20 три значащих цифры, и это означает, что при измерении мы учитывали не только единицы, но и десятые, и сотые, а в числе 5,2 – только две значащих цифры, и это значит, что мы учитывали только целые и десятые.

Приближенные вычисления следует производить с соблюдением следующих правил.

1. При сложении и вычитании в результате сохраняют столько десятичных знаков, сколько их содержится в числе с наименьшим количеством десятичных знаков. Например: 0,8934+3,24+1,188=5,3214 » 5,32. Сумму следует округлить до сотых долей, т.е. принять равной 5,32.

2. При умножении и делении в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное число с наименьшим количеством значащих цифр. Например, необходимо перемножить 8,632 ´ 2,8 ´ 3,53. Вместо этого выражения следует вычислять

8,6 ´ 2,8 ´ 3,5 » 81.

При вычислении промежуточных результатов сохраняют на одну цифру больше, чем рекомендуют правила (так называемая запасная цифра). В окончательном результате запасная цифра отбрасывается. Для уточнения значения последней значащей цифры результата нужно вычислить за ней цифру. Если она окажется меньше пяти, ее следует просто отбросить, а если пять или больше пяти, то, отбросив ее, следует предыдущую цифру увеличить на единицу. Обычно в абсолютной ошибке оставляют одну значащую цифру, а измеренную величину округляют до того разряда, в котором находится значащая цифра абсолютной ошибки.

3. Результат расчета значений функций x n , , lg(x ) некоторого приближенного числа x должен содержать столько значащих цифр, сколько их имеется в числе x . Например: .

Построение графиков

Результаты, полученные в ходе выполнения лабораторной работы, часто важно и необходимо представить графической зависимостью. Для того, чтобы построить график, нужно на основании проделанных измерений составить таблицу, в которой каждому значению одной из величин соответствует определенное значение другой.

Графики выполняют на миллиметровой бумаге. При построении графика значения независимой переменной следует откладывать на оси абсцисс, а значения функции – на оси ординат. Около каждой оси нужно написать обозначение изображаемой величины и указать, в каких единицах она измеряется (рис. 2).

Рис.2

Для правильного построения графика важным является выбор масштаба: кривая занимает весь лист, и размеры графика по длине и высоте получаются приблизительно одинаковыми. Масштаб должен быть простым. Проще всего, если единица измеренной величины (0,1;10;100 и т.д.) соответствует 1, 2 или 5 см. Следует иметь в виду, что пересечение координатных осей не обязательно должно совпадать с нулевыми значениями откладываемых величин (рис. 2).

Каждое полученное экспериментальное значение наносится на график достаточно заметным образом: точкой, крестиком и т.д.

Погрешности указывают для измеряемых величин в виде отрезков длиной в доверительный интервал, в центре которых расположены экспериментальные точки. Так как указание погрешностей загромождает график, то делается это лишь тогда, когда информация о погрешностях действительно нужна: при построении кривой по экспериментальным точкам, при определении ошибок с помощью графика, при сравнении экспериментальных данных с теоретической кривой (рисунок 2). Часто достаточно указать погрешность для одной или нескольких точек.

Через экспериментальные точки необходимо проводить плавную кривую. Нередко экспериментальные точки соединяют простой ломаной линией. Тем самым как бы указывается, что величины каким-то скачкообразным образом зависят друг от друга. А это является маловероятным. Кривая должна быть плавной и может проходить не через отмеченные точки, а близко к ним так, чтобы эти точки находились по обе стороны кривой на одинаковом от нее расстоянии. Если какая-либо точка сильно выпадает из графика, то это измерение следует повторить. Поэтому желательно строить график непосредственно во время опыта. Тогда график может служить для контроля и улучшения наблюдений.

ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И УЧЕТ ИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Для прямых измерений физических величин применяют измерительные приборы. Любые измерительные приборы не дают истинного значения измеряемой величины. Это связано, во-первых, с тем, что невозможно точно отсчитать по шкале прибора измеряемую величину, во-вторых, с неточностью изготовления измерительных приборов. Для учета первого фактора вводится погрешность отсчета Δx o , для второго - допускаемая погрешность Δx д . Сумма этих погрешностей образует аппаратурную или абсолютную погрешность прибора Δx :

.

Допускаемую погрешность нормируют государственными стандартами и указывают в паспорте или описании прибора.

Погрешность отсчета обычно берут равной половине цены деления прибора, но для некоторых приборов (секундомер, барометр-анероид) - равной цене деления прибора (так как положение стрелки этих приборов изменяется скачками на одно деление) и даже нескольким делениям шкалы, если условия опыта не позволяют уверенно отсчитать до одного деления (например, при толстом указателе или плохом освещении). Таким образом, погрешность отсчета устанавливает сам экспериментатор, реально отражая условия конкретного опыта.

Если допускаемая погрешность значительно меньше ошибки отсчета, то ее можно не учитывать. Обычно абсолютная погрешность прибора берется равной цене деления шкалы прибора.

Измерительные линейки обычно имеют миллиметровые деления. Для измерения рекомендуется применять стальные или чертежные линейки со скосом. Допускаемая погрешность таких линеек составляет 0,1 мм и ее можно не учитывать, так как она значительно меньше погрешности отсчета, равной ± 0,5 мм. Допускаемая погрешность деревянных и пластмассовых линеек ± 1 мм.

Допускаемая погрешность измерения микрометра зависит от верхнего предела измерения и может составлять ± (3–4) мкм (для микрометров с диапазоном измерения 0–25 мм). За погрешность отсчета принимают половину цены деления. Таким образом, абсолютную погрешность микрометра можно брать равно цене деления, т.е. 0,01 мм.

При взвешивании допускаемая погрешность технических весов зависит от нагрузки и составляет при нагрузке от 20 до 200 г – 50 мг, при нагрузке меньше 20 г – 25 мг.

Погрешность цифровых приборов определяется по классу точности.