Metoder for teoretisk mekanikk. Grunnleggende mekanikk for dummies

I all sin skjønnhet og eleganse. Med dens hjelp utledet Newton en gang sin lov basert på Keplers tre empiriske lover universell gravitasjon. Emnet er generelt sett ikke så komplisert og er relativt lett å forstå. Men å bestå er vanskelig, siden lærere ofte er fryktelig kresne (som Pavlova, for eksempel). Når du skal løse problemer, må du kunne løse diffuser og beregne integraler.

Nøkkelideer

I hovedsak er teoretisk mekanikk i dette kurset anvendelsen av variasjonsprinsippet for å beregne "bevegelsen" til forskjellige fysiske systemer. Variasjonskalkulasjon dekkes kort i kurset Integralligninger og variasjonsregning. Lagranges ligninger er Eulers ligninger, som er løsningen på et problem med faste ender.

Ett problem kan vanligvis løses med 3 forskjellige metoder samtidig:

• Lagrange-metode (Lagrange-funksjon, Lagrange-ligninger)
• Hamilton-metoden (Hamilton-funksjon, Hamilton-ligninger)
• Hamilton-Jacobi-metoden (Hamilton-Jacobi-ligningen)

Det er viktig å velge den enkleste for en spesifikk oppgave.

Materialer

Første semester (prøve)

Grunnleggende formler

Se i stor størrelse!

Teori

Videoer

Forelesninger ved V.R. Khalilova - Oppmerksomhet! Ikke alle forelesninger blir tatt opp

Andre semester (eksamen)

Vi må begynne med det faktum ulike grupper Eksamen går annerledes. Vanligvis eksamensoppgave består av 2 teoretiske spørsmål og 1 oppgave. Spørsmål er påkrevd for alle, men du kan enten kvitte deg med en oppgave (for utmerket arbeid i semesteret + skriftlige prøver) eller ta en ekstra (og mer enn én). Her vil du bli fortalt om spillereglene på seminarer. I gruppene Pavlova og Pimenov øves det teormin, som er en slags opptak til eksamen. Det følger at denne teorien må være kjent perfekt.

Eksamen i Pavlova-grupper går omtrent slik: Først en billett med 2 terminspørsmål. Det er lite tid til å skrive, og nøkkelen her er å skrive det helt perfekt. Da vil Olga Serafimovna være snill mot deg, og resten av eksamen vil gå veldig hyggelig. Neste er en billett med 2 teorispørsmål + n oppgaver (avhengig av arbeidet ditt i semesteret). Teori i teori kan avskrives. Løs problemer. Å ha mange problemer på en eksamen er ikke slutten hvis du vet hvordan du løser dem perfekt. Dette kan gjøres om til en fordel - for hvert eksamenspoeng får du +, +-, -+ eller -. Karakteren gis “basert på helhetsinntrykket” => hvis i teorien ikke alt er perfekt for deg, men så får du 3+ for oppgavene, så er helhetsinntrykket bra. Men hvis du ikke hadde noen problemer på eksamen og teorien ikke er ideell, så er det ingenting som glatter det ut.

Teori

• Julia. Forelesningsnotater (2014, pdf) - begge semestre, 2. strøm
• Andre stream-billetter del 1 (forelesningsnotater og del for billetter) (pdf)
• Andre stream-billetter og innholdsfortegnelse for alle disse delene (pdf)
• Svar på billetter 1 stream (2016, pdf) - inn trykt skjema, veldig praktisk
• Anerkjent teori til eksamen for Pimenov-grupper (2016, pdf) - begge semestre
• Svar på teorimin for Pimenov-grupper (2016, pdf) - ryddig og tilsynelatende feilfri

Oppgaver

• Pavlovas seminarer 2. semester (2015, pdf) - ryddig, vakkert og tydelig skrevet
• Problemer som kan være på eksamen (jpg) - en gang i et eller annet lurvete år var de i 2. strøm, kan også være aktuelle for V.R-grupper. Khalilova (han gir lignende problemer i kr)
• Problemer med billetter (pdf)- for begge strømmene (på den andre strømmen var disse oppgavene i A.B. Pimenovs grupper)

Introduksjon

Teoretisk mekanikk er en av de viktigste grunnleggende allmennvitenskapelige disiplinene. Det spiller en betydelig rolle i opplæringen av ingeniører av enhver spesialisering. Generelle ingeniørdisipliner er basert på resultatene av teoretisk mekanikk: styrke av materialer, maskindeler, teori om mekanismer og maskiner og andre.

Hovedoppgaven til teoretisk mekanikk er studiet av bevegelsen av materielle kropper under påvirkning av krefter. En viktig spesiell oppgave er studiet av likevekten til kropper under påvirkning av krefter.

Forelesningskurs. Teoretisk mekanikk

Strukturen til teoretisk mekanikk. Grunnleggende om statikk

Likevektsbetingelser for et vilkårlig kraftsystem.

Likevektsligninger for et stivt legeme.

Flatt kraftsystem.

Spesielle tilfeller av stiv kroppslikevekt.

Balanseproblem for en bjelke.

Bestemmelse av indre krefter i stangkonstruksjoner.

Grunnleggende om punktkinematikk.

Naturlige koordinater.

Eulers formel.

Fordeling av akselerasjoner av punkter i et stivt legeme.

Translasjons- og rotasjonsbevegelser.

Planparallell bevegelse.

Kompleks punktbevegelse.

Grunnleggende om punktdynamikk.

Differensialligninger for bevegelse av et punkt.

Spesielle typer kraftfelt.

Grunnleggende om dynamikken til et poengsystem.

Generelle teoremer om dynamikken til et punktsystem.

Dynamikk av rotasjonsbevegelse av en kropp.

Dobronravov V.V., Nikitin N.N. Kurs i teoretisk mekanikk. M., videregående skole, 1983.

Butenin N.V., Lunts Ya.L., Merkin D.R. Kurs i teoretisk mekanikk, del 1 og 2. M., Higher School, 1971.

Petkevich V.V. Teoretisk mekanikk. M., Nauka, 1981.

Samling av oppgaver for kurs i teoretisk mekanikk. Ed. A.A. Yablonsky. M., videregående skole, 1985.

Forelesning 1. Strukturen til teoretisk mekanikk. Grunnleggende om statikk

I teoretisk mekanikk bevegelsen av legemer i forhold til andre legemer, som er fysiske referansesystemer, studeres.

Mekanikk tillater ikke bare å beskrive, men også å forutsi bevegelsen av kropper, og etablere årsakssammenhenger i et visst, veldig bredt spekter av fenomener.

Grunnleggende abstrakte modeller av ekte kropper:

materiell poeng – har masse, men ingen størrelse;

helt stiv kropp – et volum med endelige dimensjoner, fullstendig fylt med et stoff, og avstandene mellom to punkter på mediet som fyller volumet, endres ikke under bevegelse;

kontinuerlig deformerbart medium – fyller et begrenset volum eller ubegrenset plass; avstandene mellom punktene i et slikt medium kan variere.

Av disse systemene:

System av gratis materiale poeng;

Tilkoblede systemer;

En absolutt solid kropp med et hulrom fylt med væske osv.

"Degenerert" modeller:

Uendelig tynne stenger;

Uendelig tynne plater;

Vektløse stenger og gjenger som forbinder materialpunkter osv.

Av erfaring: mekaniske fenomener gå annerledes frem i forskjellige steder fysisk referansesystem. Denne egenskapen er heterogeniteten til rommet bestemt av det fysiske referansesystemet. Her forstås heterogenitet som avhengigheten av naturen til forekomsten av et fenomen av stedet der vi observerer dette fenomenet.

En annen egenskap er anisotropi (ikke-isotropi), bevegelsen til en kropp i forhold til et fysisk referansesystem kan være forskjellig avhengig av retningen. Eksempler: elvestrøm langs meridianen (fra nord til sør - Volga); prosjektilflyging, Foucault pendel.

Egenskapene til referansesystemet (inhomogenitet og anisotropi) gjør det vanskelig å observere bevegelsen til en kropp.

Praktisk talt fri fra dette - geosentrisk system: midten av systemet er i midten av jorden og systemet roterer ikke i forhold til de "faste" stjernene). Det geosentriske systemet er praktisk for å beregne bevegelser på jorden.

Til himmelmekanikk(for solsystemlegemer): heliosentrisk referanseramme, som beveger seg med massesenteret solsystemet og roterer ikke i forhold til de "faste" stjernene. For dette systemet ennå ikke oppdaget heterogenitet og anisotropi av rommet

i forhold til mekaniske fenomener.

Så abstraktet er introdusert treghet referanseramme der rommet er homogent og isotropt i forhold til mekaniske fenomener.

Treghetsreferanseramme- en hvis egen bevegelse ikke kan oppdages av noe mekanisk eksperiment. Tankeeksperiment: "et punkt alene i hele verden" (isolert) er enten i ro eller beveger seg i en rett linje og jevnt.

Alle referansesystemer som beveger seg i forhold til det opprinnelige rettlinjet og jevnt vil være treghets. Dette tillater innføring av et enhetlig kartesisk koordinatsystem. Et slikt rom kalles euklidisk.

Konvensjonell avtale - ta riktig koordinatsystem (fig. 1).

I tid– i klassisk (ikke-relativistisk) mekanikk absolutt, det samme for alle referansesystemer, det vil si at det første øyeblikket er vilkårlig. I motsetning til relativistisk mekanikk, hvor relativitetsprinsippet brukes.

Bevegelsestilstanden til systemet på tidspunktet t bestemmes av koordinatene og hastighetene til punktene i dette øyeblikket.

Virkelige kropper samhandler og det oppstår krefter som endrer bevegelsestilstanden til systemet. Dette er essensen av teoretisk mekanikk.

Hvordan studeres teoretisk mekanikk?

Læren om likevekten til et sett med kropper med en viss referanseramme - seksjon statikk.

Kapittel kinematikk: del av mekanikk der avhengigheter mellom størrelser som karakteriserer bevegelsestilstanden til systemene studeres, men årsakene som forårsaker en endring i bevegelsestilstanden vurderes ikke.

Etter dette vil vi vurdere påvirkning av krefter [HOVDELEL].

Kapittel dynamikk: del av mekanikk som omhandler påvirkning av krefter på bevegelsestilstanden til systemer av materielle objekter.

Prinsipper for å konstruere hovedkurset – dynamikk:

1) basert på et system av aksiomer (basert på erfaring, observasjoner);

Stadig - hensynsløs kontroll av praksis. Tegn på eksakt vitenskap - tilstedeværelse av intern logikk (uten den - sett med urelaterte oppskrifter)!

Statisk kalles den delen av mekanikken hvor forholdene studeres som kreftene som virker på et system av materialpunkter må tilfredsstille for at systemet skal være i likevekt, og betingelsene for ekvivalens av kraftsystemer.

Likevektsproblemer i elementær statikk vil bli vurdert ved bruk av utelukkende geometriske metoder basert på egenskapene til vektorer. Denne tilnærmingen brukes i geometrisk statikk(i motsetning til analytisk statikk, som ikke vurderes her).

Posisjonene til ulike materielle organer vil være knyttet til koordinatsystemet, som vi vil ta som stasjonært.

Ideelle modeller av materielle kropper:

1) materialpunkt – et geometrisk punkt med masse.

2) en absolutt stiv kropp er en samling av materielle punkter, hvor avstandene mellom disse ikke kan endres ved noen handlinger.

Av krefter vi ringer objektive grunner, som er et resultat av samspillet mellom materielle objekter, i stand til å forårsake bevegelse av kropper fra en hviletilstand eller endre den eksisterende bevegelsen til sistnevnte.

Siden kraft bestemmes av bevegelsen den forårsaker, har den også en relativ natur, avhengig av valg av referansesystem.

Spørsmålet om krefters natur vurderes i fysikk.

Et system av materielle punkter er i likevekt hvis det, i hvile, ikke mottar noen bevegelse fra kreftene som virker på det.

Fra hverdagslig erfaring: krefter har en vektornatur, det vil si størrelse, retning, handlingslinje, påføringspunkt. Betingelsen for likevekt av krefter som virker på et stivt legeme er redusert til egenskapene til vektorsystemer.

For å oppsummere opplevelsen av å studere de fysiske naturlovene, formulerte Galileo og Newton mekanikkens grunnleggende lover, som kan betraktes som mekanikkens aksiomer, siden de har er basert på eksperimentelle fakta.

Aksiom 1. Virkningen av flere krefter på et punkt av et stivt legeme tilsvarer virkningen av en resulterende kraft konstruert etter regelen for vektoraddisjon (fig. 2).

Konsekvens. Kraftene som påføres et punkt på en stiv kropp summerer seg i henhold til parallellogramregelen.

Aksiom 2. To krefter påført en stiv kropp gjensidig balansert hvis og bare hvis de er like store, rettet i motsatte retninger og ligger på samme rette linje.

Aksiom 3. Virkningen av et kraftsystem på en stiv kropp vil ikke endres hvis legg til dette systemet eller forkast fra det to krefter av samme størrelse, rettet i motsatte retninger og som ligger på samme rette linje.

Konsekvens. Kraften som virker på et punkt på et stivt legeme kan overføres langs kraftens virkelinje uten å endre likevekten (det vil si at kraften er en glidevektor, fig. 3)

1) Aktiv - skape eller er i stand til å skape bevegelsen til en stiv kropp. For eksempel vektkraft.

2) Passiv - ikke skap bevegelse, men begrens bevegelsen til en solid kropp, hindre bevegelse. For eksempel strekkkraften til en ikke-utvidbar tråd (fig. 4).

Aksiom 4. Virkningen av en kropp på en annen er lik og motsatt av virkningen av denne andre kroppen på den første ( handling er lik reaksjon).

Vi vil kalle de geometriske forholdene begrensende bevegelse av punkter forbindelser.

Vilkår for kommunikasjon: for eksempel

- stang av indirekte lengde l.

- fleksibel ikke-strekkbar tråd med lengde l.

Krafter forårsaket av forbindelser og hindrer bevegelse kalles reaksjonskrefter.

Aksiom 5. Forbindelsene pålagt et system av materialpunkter kan erstattes av reaksjonskrefter, hvis virkning er ekvivalent med virkningen av forbindelsene.

Når passive krefter ikke kan balansere virkningen av aktive krefter, begynner bevegelse.

To spesielle problemer med statikk

1. System av konvergerende krefter som virker på et stivt legeme

Et system av konvergerende krefter kalles et slikt system av krefter, hvis handlingslinjer skjærer hverandre i ett punkt, som alltid kan tas som opphav til koordinater (fig. 5).

Anslag av resultatet:

;

;

.

Hvis , forårsaker kraften bevegelsen til det stive legemet.

Likevektsbetingelse for et konvergerende kraftsystem:

2. Balanse av tre krefter

Hvis tre krefter virker på et stivt legeme, og virkningslinjene til de to kreftene skjærer hverandre på et punkt A, er likevekt mulig hvis og bare hvis virkningslinjen til den tredje kraften også går gjennom punkt A, og kraften i seg selv er lik i størrelse og motsatt i retning av summen (Fig. 6).

Eksempler:

Kraftmoment rundt punkt O la oss definere det som en vektor, i størrelse lik to ganger arealet av en trekant, hvis base er kraftvektoren med toppunktet i et gitt punkt O; retning– ortogonalt på planet til den aktuelle trekanten i retningen der rotasjonen produsert av kraften rundt punkt O er synlig mot klokken. er øyeblikket til den glidende vektoren og er gratis vektor(fig. 9).

Så: eller

,

Hvor ;;.

Der F er kraftmodulen, er h skulderen (avstanden fra punktet til kraftens retning).

Kraftmoment om aksen er den algebraiske verdien av projeksjonen på denne aksen til vektoren for kraftmomentet i forhold til et vilkårlig punkt O tatt på aksen (Fig. 10).

Dette er en skalar uavhengig av valg av punkt. Faktisk, la oss utvide :|| og i flyet.

Om øyeblikk: la O 1 være skjæringspunktet med planet. Da:

a) fra - øyeblikk => projeksjon = 0.

b) fra - øyeblikket => er en projeksjon.

Så, moment om en akse er momentet til kraftkomponenten i et plan vinkelrett på aksen i forhold til skjæringspunktet mellom planet og aksen.

Varignons teorem for et system med konvergerende krefter:

Moment av resulterende kraft for et system av konvergerende krefter i forhold til et vilkårlig punkt A lik summen momenter av alle kraftkomponenter i forhold til samme punkt A (fig. 11).

Bevis i teorien om konvergerende vektorer.

Forklaring: addisjon av krefter etter parallellogramregelen => den resulterende kraften gir et totalt moment.

Sikkerhetsspørsmål:

1. Nevn hovedmodellene av virkelige kropper i teoretisk mekanikk.

2. Formuler statikkens aksiomer.

3. Hva kalles kraftmomentet om et punkt?

Forelesning 2. Likevektsbetingelser for et vilkårlig kraftsystem

Fra statikkens grunnleggende aksiomer følger elementære operasjoner på krefter:

1) kraft kan overføres langs handlingslinjen;

2) krefter hvis handlingslinjer skjærer kan adderes i henhold til parallellogramregelen (i henhold til regelen for vektoraddisjon);

3) til systemet av krefter som virker på en stiv kropp, kan du alltid legge til to krefter, like store, som ligger på samme rette linje og rettet i motsatte retninger.

Elementære operasjoner endrer ikke den mekaniske tilstanden til systemet.

La oss kalle to kraftsystemer tilsvarende, hvis den ene fra den andre kan oppnås ved hjelp av elementære operasjoner (som i teorien om glidende vektorer).

Et system med to parallelle krefter, like store og rettet i motsatte retninger, kalles et par krefter(Fig. 12).

Øyeblikk av et par krefter- en vektor som er lik i størrelse med arealet til parallellogrammet konstruert på vektorene til paret, og rettet ortogonalt til parets plan i retningen fra hvor rotasjonen gitt av vektorene til paret sees å skje mot klokken .

, det vil si kraftmomentet i forhold til punkt B.

Et par krefter er fullstendig preget av sitt moment.

Et par krefter kan overføres ved elementære operasjoner til et hvilket som helst plan parallelt med planet til paret; endre størrelsen på kreftene til paret i omvendt proporsjon med skuldrene til paret.

Kraftpar kan adderes, og momentene til kraftpar adderes i henhold til regelen for addisjon av (frie) vektorer.

Å bringe et system av krefter som virker på et stivt legeme til et vilkårlig punkt (reduksjonssenter)- betyr å erstatte dagens system med et enklere: system med tre krefter, hvorav en går gjennom et forhåndsbestemt punkt, og de to andre representerer et par.

Det kan bevises ved hjelp av elementære operasjoner (fig. 13).

Et system med konvergerende krefter og et system av kraftpar.

- resulterende kraft.

Resulterende par.

Det var det som måtte vises.

To kraftsystemer vilje tilsvarende hvis og bare hvis begge systemene reduseres til en resulterende kraft og ett resulterende par, det vil si når betingelsene er oppfylt:

Generelt tilfelle av likevekt av et kraftsystem som virker på et stivt legeme

La oss redusere kraftsystemet til (fig. 14):

Resulterende kraft gjennom opprinnelsen;

Det resulterende paret gjennom punkt O.

Det vil si at de førte til og - to krefter, hvorav den ene går gjennom et gitt punkt O.

Likevekt, hvis de to på samme rette linje er like og motsatte i retning (aksiom 2).

Så går den gjennom punkt O, altså.

Så, generelle betingelser likevekt til et stivt legeme:

Disse betingelsene er gyldige for et vilkårlig punkt i rommet.

Sikkerhetsspørsmål:

1. List opp de elementære operasjonene på styrker.

2. Hvilke kraftsystemer kalles ekvivalente?

3. Skriv de generelle betingelsene for likevekten til en stiv kropp.

Forelesning 3. Likevektsligninger for et stivt legeme

La O være opprinnelsen til koordinatene; – resulterende kraft; – momentet til det resulterende paret. La punkt O1 være det nye reduksjonssenteret (fig. 15).

Nytt strømsystem:

Når reduksjonspunktet endres, endres => bare (i en retning med ett tegn, i den andre retningen med et annet). Det vil si, poenget: linjene stemmer overens

Analytisk: (kolinearitet av vektorer)

; koordinatene til punkt O1.

Dette er ligningen til en rett linje, for alle punkter hvor retningen til den resulterende vektoren faller sammen med retningen til øyeblikket til det resulterende paret - den rette linjen kalles dynamo.

Hvis dynamikken => på aksen, så tilsvarer systemet en resulterende kraft, som kalles resulterende kraft i systemet. Samtidig, alltid, altså.

Fire tilfeller av å bringe styrker:

1.) ;- dynamikk.

2.) ;- resulterende.

3.) ;- par.

4.) ;- balanse.

To vektorlikevektsligninger: hovedvektoren og hovedmomentet er lik null,.

Eller seks skalare ligninger i projeksjoner på kartesiske koordinatakser:

Her:

Kompleksiteten til ligningstypen avhenger av valget av reduksjonspunktet => dyktigheten til kalkulatoren.

Finne likevektsbetingelsene for et system av faste legemer i samspill<=>problemet med likevekten til hver kropp separat, og kroppen påvirkes av ytre krefter og indre krefter (samspillet mellom kropper ved kontaktpunkter med like og motsatt rettede krefter - aksiom IV, fig. 17).

La oss velge for alle organer i systemet ett adduksjonssenter. Så for hver kropp med likevektstilstandsnummeret:

, , (= 1, 2, …, k)

hvor , er den resulterende kraften og momentet til det resulterende paret av alle krefter, unntatt interne reaksjoner.

Den resulterende kraften og momentet til det resulterende kraftparet av indre reaksjoner.

Formell oppsummering av og tar hensyn til IV-aksiomet

vi får nødvendige forhold for likevekten til et fast legeme:

,

Eksempel.

Likevekt: = ?

Sikkerhetsspørsmål:

1. Nevn alle tilfeller av å bringe et styrkesystem til ett punkt.

2. Hva er dynamikk?

3. Formuler de nødvendige betingelsene for likevekt i et system av faste legemer.

Forelesning 4. Flat kraftsystem

Et spesielt tilfelle av den generelle leveringen av problemet.

La alt aktive krefter ligge i samme plan - for eksempel et ark. La oss velge punkt O som reduksjonssenter - i samme plan. Vi oppnår den resulterende kraften og den resulterende dampen i samme plan, det vil si (fig. 19)

Kommentar.

Systemet kan reduseres til én resulterende kraft.

Likevektsforhold:

eller skalar:

Svært vanlig i applikasjoner som materialers styrke.

Eksempel.

Med friksjonen til ballen på brettet og på flyet. Likevektstilstand: = ?

Problemet med likevekten til et ikke-fritt stivt legeme.

En stiv kropp hvis bevegelse er begrenset av bindinger kalles ufri. For eksempel andre kropper, hengslede fester.

Ved bestemmelse av likevektsbetingelser: en ikke-fri kropp kan betraktes som fri, og erstatter bindinger med ukjente reaksjonskrefter.

Eksempel.

Sikkerhetsspørsmål:

1. Hva kalles et plan kraftsystem?

2. Skriv likevektsbetingelsene for et plan kraftsystem.

3. Hvilket fast legeme kalles ikke-fritt?

Forelesning 5. Spesielle tilfeller av stiv kroppslikevekt

Teorem. Tre krefter balanserer en stiv kropp bare hvis de alle ligger i samme plan.

Bevis.

La oss velge et punkt på virkningslinjen til den tredje kraften som reduksjonspunkt. Deretter (fig. 22)

Det vil si at planene S1 og S2 faller sammen, og for ethvert punkt på kraftaksen osv. (Enklere: i flyet bare der for balansering).

Innenfor noen opplæringskurs Studiet av fysikk begynner med mekanikk. Ikke fra teoretisk, ikke fra anvendt eller beregningsmessig, men fra god gammel klassisk mekanikk. Denne mekanikken kalles også newtonsk mekanikk. Ifølge legenden gikk en vitenskapsmann i hagen og så et eple falle, og det var dette fenomenet som fikk ham til å oppdage loven om universell gravitasjon. Selvfølgelig har loven alltid eksistert, og Newton ga den bare en form som var forståelig for folk, men hans fortjeneste er uvurderlig. I denne artikkelen vil vi ikke beskrive lovene til newtonsk mekanikk så detaljert som mulig, men vi vil skissere grunnleggende, grunnleggende kunnskap, definisjoner og formler som alltid kan spille i hendene dine.

Mekanikk er en gren av fysikk, en vitenskap som studerer bevegelsen til materielle kropper og samspillet mellom dem.

Selve ordet er av gresk opprinnelse og er oversatt som «kunsten å bygge maskiner». Men før vi bygger maskiner, er vi fortsatt som månen, så la oss følge i fotsporene til våre forfedre og studere bevegelsen av steiner kastet i vinkel mot horisonten, og epler som faller på hodet fra en høyde h.

Hvorfor begynner studiet av fysikk med mekanikk? Fordi dette er helt naturlig, burde vi ikke starte med termodynamisk likevekt?!

Mekanikk er en av de eldste vitenskapene, og historisk begynte studiet av fysikk nettopp med grunnlaget for mekanikk. Plassert innenfor rammen av tid og rom, kunne folk faktisk ikke begynne med noe annet, uansett hvor mye de ville. Bevegelige kropper er det første vi legger merke til.

Hva er bevegelse?

Mekanisk bevegelse er en endring i posisjonen til legemer i rommet i forhold til hverandre over tid.

Det er etter denne definisjonen vi ganske naturlig kommer til begrepet en referanseramme. Endre posisjonen til kropper i rommet i forhold til hverandre. Stikkord her: i forhold til hverandre . Tross alt beveger en passasjer i en bil seg i forhold til personen som står på siden av veien med en viss hastighet, og er i ro i forhold til naboen i setet ved siden av ham, og beveger seg i en annen hastighet i forhold til passasjeren i bilen som kjører forbi dem.

Det er derfor, for å normalt måle parametrene til bevegelige objekter og ikke bli forvirret, trenger vi referansesystem - stivt sammenkoblet referanselegeme, koordinatsystem og klokke. For eksempel beveger jorden seg rundt solen i en heliosentrisk referanseramme. I hverdagen utfører vi nesten alle våre målinger i et geosentrisk referansesystem knyttet til jorden. Jorden er et referanselegeme i forhold til hvilke biler, fly, mennesker og dyr beveger seg.

Mekanikk, som vitenskap, har sin egen oppgave. Mekanikkens oppgave er å vite posisjonen til en kropp i rommet til enhver tid. Mekanikk bygger med andre ord en matematisk beskrivelse av bevegelse og finner sammenhenger mellom fysiske mengder, som kjennetegner den.

For å komme videre trenger vi konseptet " materiell poeng " De sier at fysikk er en eksakt vitenskap, men fysikere vet hvor mange tilnærminger og antakelser som må gjøres for å bli enige om akkurat denne nøyaktigheten. Ingen har noen gang sett et materiell punkt eller luktet en ideell gass, men de eksisterer! De er rett og slett mye lettere å leve med.

Et materiell punkt er en kropp hvis størrelse og form kan neglisjeres i sammenheng med dette problemet.

Seksjoner av klassisk mekanikk

Mekanikk består av flere seksjoner

• Kinematikk
• Dynamikk
• Statikk

Kinematikk fra et fysisk synspunkt studerer den nøyaktig hvordan en kropp beveger seg. Denne delen tar med andre ord for seg de kvantitative egenskapene til bevegelse. Finn hastighet, vei - typiske kinematikkproblemer

Dynamikk løser spørsmålet om hvorfor den beveger seg slik den gjør. Det vil si at den tar hensyn til kreftene som virker på kroppen.

Statikk studerer balansen mellom kropper under påvirkning av krefter, det vil si svarer på spørsmålet: hvorfor faller det ikke i det hele tatt?

Anvendelsesgrenser for klassisk mekanikk.

Klassisk mekanikk hevder ikke lenger å være en vitenskap som forklarer alt (på begynnelsen av forrige århundre var alt helt annerledes), og har en klar ramme for anvendelighet. Generelt er lovene for klassisk mekanikk gyldige i den verden vi er vant til i størrelse (makroworld). De slutter å virke i tilfellet med partikkelverdenen, når kvantemekanikk erstatter klassisk mekanikk. Klassisk mekanikk er heller ikke aktuelt i tilfeller der bevegelser av kropper skjer med en hastighet nær lysets hastighet. I slike tilfeller blir relativistiske effekter uttalt. Grovt sett, innenfor rammen av kvante- og relativistisk mekanikk, er klassisk mekanikk spesielt tilfelle, når kroppsstørrelsen er stor og hastigheten er lav. Du kan lære mer om det fra artikkelen vår.

Generelt sett forsvinner ikke kvanteeffekter og relativistiske effekter også under den vanlige bevegelsen til makroskopiske legemer med en hastighet som er mye lavere enn lysets hastighet. En annen ting er at effekten av disse effektene er så liten at den ikke går utover de mest nøyaktige målingene. Klassisk mekanikk vil dermed aldri miste sin grunnleggende betydning.

Vi vil fortsette å studere fysiske fundamenter mekanikk i de følgende artiklene. For en bedre forståelse av mekanikken kan du alltid henvende deg til dem, som individuelt vil belyse mørk flekk den vanskeligste oppgaven.

Eksempler på problemløsning i teoretisk mekanikk

Statikk

Problemforhold

Kinematikk

Kinematikk av et materiell punkt

Problemtilstand

Bestemme hastigheten og akselerasjonen til et punkt ved å bruke de gitte ligningene for dets bevegelse.
Bruk de gitte bevegelseslikningene til et punkt, fastsett typen av dets bane og for tidspunktet t = 1 s finn posisjonen til punktet på banen, dets hastighet, totale, tangentielle og normale akselerasjon, samt krumningsradiusen til banen.
Bevegelsesligninger for et punkt:
x = 12 sin(πt/6), cm;
y = 6 cos 2 (πt/6), cm.

Kinematisk analyse av en flat mekanisme

Problemtilstand

Den flate mekanismen består av stenger 1, 2, 3, 4 og en glider E. Stengene er sammenkoblet, med glidere og faste støtter koblet til ved hjelp av sylindriske hengsler. Punkt D er plassert midt på stang AB. Lengdene på stengene er lik hhv
11 = 0,4 m; 12 = 1,2 m; 13 = 1,6 m; l 4 = 0,6 m.

Det relative arrangementet av mekanismeelementene i en spesifikk versjon av problemet bestemmes av vinklene α, β, γ, φ, ϑ. Stang 1 (stang O 1 A) roterer rundt et fast punkt O 1 mot klokken med konstant vinkelhastighet ω 1.

For en gitt posisjon av mekanismen er det nødvendig å bestemme:

• lineære hastigheter V A, V B, V D og V E for punktene A, B, D, E;
• vinkelhastigheter ω 2, ω 3 og ω 4 av leddene 2, 3 og 4;
• lineær akselerasjon a B av punkt B;
• vinkelakselerasjon ε AB av ledd AB;
• posisjoner for øyeblikkelige hastighetssentre C 2 og C 3 til lenker 2 og 3 til mekanismen.

Bestemmelse av absolutt hastighet og absolutt akselerasjon av et punkt

Problemtilstand

Diagrammet nedenfor tar for seg bevegelsen til punkt M i trauet til et roterende legeme. Bruk de gitte ligningene for bærbar bevegelse φ = φ(t) og relativ bevegelse OM = OM(t), bestem den absolutte hastigheten og den absolutte akselerasjonen til punktet i for øyeblikket tid.

Last ned løsningen på problemet >>>

Dynamikk

Integrasjon av differensialligninger for bevegelse av et materialpunkt under påvirkning av variable krefter

Problemtilstand

En last D med masse m, etter å ha mottatt en starthastighet V 0 ved punkt A, beveger seg i et buet rør ABC plassert i et vertikalt plan. I en seksjon AB, hvis lengde er l, påvirkes lasten av en konstant kraft T (retningen er vist i figuren) og en kraft R av middelmotstanden (modulen til denne kraften R = μV 2, vektoren R er rettet motsatt av hastigheten V til lasten).

Lasten, etter å ha beveget seg ferdig i seksjon AB, ved punkt B av røret, uten å endre verdien på hastighetsmodulen, beveger seg til seksjon BC. I avsnitt BC påvirkes lasten av en variabel kraft F, hvis projeksjon F x på x-aksen er gitt.

Ved å betrakte lasten som et materiell punkt, finn loven for dens bevegelse i avsnitt BC, dvs. x = f(t), hvor x = BD. Forsøm friksjonen til belastningen på røret.

Last ned løsningen på problemet >>>

Teorem om endring i kinetisk energi til et mekanisk system

Problemtilstand

Det mekaniske systemet består av vektene 1 og 2, en sylindrisk rulle 3, to-trinns trinser 4 og 5. Systemets kropper er forbundet med gjenger viklet på trinsene; seksjoner av gjenger er parallelle med de tilsvarende planene. Rullen (en solid homogen sylinder) ruller langs støtteplanet uten å gli. Radiene til trinnene til trinse 4 og 5 er henholdsvis lik R 4 = 0,3 m, r 4 = 0,1 m, R 5 = 0,2 m, r 5 = 0,1 m. Massen til hver remskive anses å være jevnt fordelt langs dens ytre kant. Støtteplanene til last 1 og 2 er grove, glidefriksjonskoeffisienten for hver last er f = 0,1.

Under påvirkning av en kraft F, hvis modul endres i henhold til loven F = F(s), hvor s er forskyvningen av punktet for påføringen, begynner systemet å bevege seg fra en hviletilstand. Når systemet beveger seg, påvirkes remskiven 5 av motstandskrefter, hvis moment i forhold til rotasjonsaksen er konstant og lik M 5 .

Bestem verdien av vinkelhastigheten til trinse 4 i det øyeblikket når forskyvningen s av kraftpåføringspunktet F blir lik s 1 = 1,2 m.

Last ned løsningen på problemet >>>

Anvendelse av den generelle dynamikkligningen til studiet av bevegelsen til et mekanisk system

Problemtilstand

For et mekanisk system, bestem den lineære akselerasjonen a 1 . Anta at massene av blokker og ruller er fordelt langs ytre radius. Kabler og belter bør betraktes som vektløse og ikke-utvidbare; det er ingen glidning. Forsømmelse av rullende og glidende friksjon.

Last ned løsningen på problemet >>>

Anvendelse av d'Alemberts prinsipp for å bestemme reaksjonene til støttene til et roterende legeme

Problemtilstand

Vertikal skaft AK, som roterer jevnt med vinkelhastighet ω = 10 s -1, er festet med et trykklager i punkt A og et sylindrisk lager i punkt D.

Stivt festet til akselen er en vektløs stang 1 med en lengde på l 1 = 0,3 m, ved den frie enden av hvilken det er en last med en masse på m 1 = 4 kg, og en homogen stang 2 med en lengde på l 2 = 0,6 m, med en masse på m 2 = 8 kg. Begge stengene ligger i samme vertikale plan. Festepunktene for stengene til akselen, samt vinklene α og β er angitt i tabellen. Mål AB=BD=DE=EK=b, hvor b = 0,4 m Ta lasten som materialpunkt.

Forsømmelse av massen til akselen, bestem reaksjonene til trykklageret og lageret.

Kinematikk av et punkt.

1. Fag teoretisk mekanikk. Grunnleggende abstraksjoner.

Teoretisk mekanikk- er en vitenskap der de generelle lovene for mekanisk bevegelse og mekanisk interaksjon mellom materielle legemer studeres

Mekanisk bevegelseer bevegelsen til en kropp i forhold til en annen kropp, som skjer i rom og tid.

Mekanisk interaksjon er samspillet mellom materielle kropper som endrer naturen til deres mekaniske bevegelse.

Statikk er en gren av teoretisk mekanikk der metoder for å transformere kraftsystemer til ekvivalente systemer studeres og betingelser for likevekt av krefter påført et fast legeme etableres.

Kinematikk - er en gren av teoretisk mekanikk som studerer bevegelsen av materielle kropper i rommet fra et geometrisk synspunkt, uavhengig av kreftene som virker på dem.

Dynamikk er en gren av mekanikk som studerer bevegelsen til materielle legemer i rommet avhengig av kreftene som virker på dem.

Studieobjekter i teoretisk mekanikk:

materiell punkt,

system av materialpunkter,

Helt solid kropp.

Absolutt rom og absolutt tid er uavhengige av hverandre. Absolutt plass - tredimensjonalt, homogent, ubevegelig euklidisk rom. Absolutt tid - flyter fra fortiden til fremtiden kontinuerlig, den er homogen, den samme på alle punkter i rommet og er ikke avhengig av materiens bevegelse.

2. Fag for kinematikk.

Kinematikk - dette er en gren av mekanikk der de geometriske egenskapene til legemers bevegelse studeres uten å ta hensyn til deres treghet (dvs. masse) og kreftene som virker på dem

For å bestemme posisjonen til et bevegelig legeme (eller punkt) med kroppen i forhold til hvilken bevegelsen til denne kroppen studeres, er et eller annet koordinatsystem stivt forbundet, som sammen med kroppen danner referansesystem.

Kinematikkens hovedoppgave er å, kjenne til bevegelsesloven til et gitt legeme (punkt), bestemme alle de kinematiske størrelsene som karakteriserer dens bevegelse (hastighet og akselerasjon).

3. Metoder for å spesifisere bevegelsen til et punkt

· Den naturlige måten

Det bør være kjent:

Banen til punktet;

Opprinnelse og referanseretning;

Loven om bevegelse av et punkt langs en gitt bane i formen (1.1)

· Koordinat metode

Ligningene (1.2) er bevegelseslikningene til punktet M.

Ligningen for banen til punkt M kan oppnås ved å eliminere tidsparameteren « t » fra ligninger (1.2)

· Vektor metode

Forholdet mellom koordinat og naturlige måter spesifisere punktbevegelse

Bestem banen til punktet ved å eliminere tid fra ligningene (1.2);

-- finn bevegelsesloven til et punkt langs en bane (bruk uttrykket for buens differensial)

Etter integrasjon får vi bevegelsesloven til et punkt langs en gitt bane:

Forbindelsen mellom koordinat- og vektormetodene for å spesifisere bevegelsen til et punkt bestemmes av ligning (1.4)

4. Bestemme hastigheten til et punkt ved å bruke vektormetoden for å spesifisere bevegelse.

La på et øyeblikktposisjonen til punktet bestemmes av radiusvektoren, og i tidspunktett 1 – radiusvektor, deretter i en periode punktet vil flytte seg.

Hastigheten til et punkt på et gitt tidspunkt

For å oppnå hastigheten til et punkt på et gitt tidspunkt, er det nødvendig å gjøre en passasje til grensen

(1.6)

(1.7)

Hastighetsvektor for et punkt på et gitt tidspunkt lik den første deriverte av radiusvektoren med hensyn til tid og rettet tangentielt til banen i et gitt punkt.

(enhet¾ m/s, km/t)

Gjennomsnittlig akselerasjonsvektor har samme retning som vektorenΔ v , det vil si rettet mot banens konkavitet.

Akselerasjonsvektor for et punkt på et gitt tidspunkt lik den første deriverte av hastighetsvektoren eller den andre deriverte av radiusvektoren til punktet med hensyn til tid.

(enhet - )

Hvordan er vektoren plassert i forhold til punktets bane?

På rett bevegelse vektoren er rettet langs den rette linjen som punktet beveger seg langs. Hvis banen til et punkt er en flat kurve, så ligger akselerasjonsvektoren, så vel som vektoren ср, i planet til denne kurven og er rettet mot dens konkavitet. Hvis banen ikke er en plan kurve, vil vektoren ср bli rettet mot konkaviteten til banen og vil ligge i planet som går gjennom tangenten til banen ved punktetM og en linje parallelt med tangenten i et tilstøtende punktM 1 . I grense når punktetM 1 streber etter M dette planet inntar posisjonen til det såkalte oskuleringsplanet. Derfor, i det generelle tilfellet, ligger akselerasjonsvektoren i kontaktplanet og er rettet mot konkaviteten til kurven.