Hvilke teoremer er ikke bevist så langt. Beviset for Fermats teorem er elementært, enkelt, forståelig

Hei alle sammen!

Det er en oppfatning at det ikke er lønnsomt å drive med vitenskap i dag - man kan ikke bli rik! Men jeg håper at dagens innlegg vil vise deg at dette langt fra er tilfelle. I dag vil jeg fortelle deg hvordan du kan tjene en pen sum ved å gjøre grunnleggende forskning.

På ethvert utviklingsstadium har enhver av vitenskapene alltid stått overfor en rekke uløste problemer og oppgaver som hjemsøkte vitenskapsmenn. Fysikk er kald termonukleær fusjon, matematikk er Goldbach-hypotesen, medisin er en kur mot kreft, og så videre. Noen av dem er så viktige (av en eller annen grunn) at det kreves en belønning for løsningen deres. Og noen ganger er denne belønningen veldig, veldig anstendig.

I en rekke vitenskaper kan Nobelprisen tjene som denne belønningen. Men de gir det ikke for matematiske oppdagelser, og i dag vil jeg gjerne snakke om matematikk.

Matematikk - dronningen av vitenskaper, tilbyr deg et hav av uløste problemer og interessante oppgaver, men i dag skal vi snakke om bare syv. De kalles også tusenårsmålene.

Det ser ut til, oppgaver og oppgaver? Hva er spesielt med dem? Faktum er at løsningen deres ikke har blitt funnet på mange år, og for løsningen til hver av dem lovet Clay Institute en belønning på 1 million dollar! Enig, ikke mye. Selvfølgelig ikke Nobelprisen, hvis størrelse er omtrent 1,5 millioner, men det vil den også gjøre.

Her er listen deres:

• Likestilling av klassene P og NP
• Hodge-hypotese
• Poincare-formodning (løst)
• Riemanns hypotese
• Quantum Yang-Mills teori
• Eksistens og jevnhet av løsninger av Navier-Stokes-ligningene
• Birch-Swinnerton-Dyer-hypotese

Så la oss se nærmere på hver av dem.

1.Likestilling av klassene P og NP

Dette problemet er et av de viktigste problemene i teorien om algoritmer, og jeg vedder på at mange av dere, i det minste indirekte, har hørt om det. Hva er dette problemet og hva er essensen? Tenk deg at det er en viss klasse problemer som vi raskt kan gi et svar på, det vil si raskt finne en løsning på dem. Denne klassen av problemer i teorien om algoritmer kalles P-klassen. Og det er en klasse med problemer som vi raskt kan sjekke riktigheten av løsningen deres - dette er NP-klassen. Og så langt er det ikke kjent om disse klassene er like eller ikke. Det vil si at det ikke er kjent om det er mulig, i det minste i teorien, å finne en slik algoritme som vi raskt kan finne en løsning på problemet, samt sjekke riktigheten.

Klassisk eksempel. La et sett med tall gis, for eksempel: 50, 2, 47, 5, 21, 4, 78, 1. Oppgave: er det mulig å velge blant disse tallene slik at summen deres gir 100? Svar: du kan for eksempel 50 + 47 + 2 + 1 = 100. Det er enkelt å sjekke riktigheten av løsningen. Vi bruker tilleggsoperasjonen fire ganger, og det er det. Det er bare å plukke opp de tallene. Ved første øyekast er dette mye vanskeligere å gjøre. Det vil si at det er vanskeligere å finne en løsning på et problem enn å sjekke det. Fra synspunktet til banal lærdom er dette sant, men matematisk er dette ikke bevist, og det er håp om at det ikke er slik.

Og hva så? Hva om det viser seg at klassene P og NP er like? Alt er enkelt. Klasselikhet betyr at det finnes algoritmer for å løse mange problemer som fungerer mye raskere enn i dag kjent (som nevnt ovenfor).

Naturligvis ble det langt fra ett forsøk på å bevise eller avkrefte denne hypotesen, men ingen var vellykket. Det siste forsøket ble gjort av den indiske matematikeren Vinay Deolalikar. I følge forfatteren av problemformuleringen, Stephen Cook, var denne løsningen "et relativt seriøst forsøk på å løse problemet med P vs NP". Men dessverre ble det funnet en rekke feil i det presenterte beviset, som forfatteren lovet å rette.

2. Hodge-hypotese

Komplekset er summen av de enkle delene. Som et resultat av å studere komplekse objekter har matematikere utviklet metoder for tilnærming ved å lime objekter med økende dimensjon. Men det er ennå ikke avklart i hvilken grad denne typen tilnærming kan utføres, og den geometriske karakteren til noen objekter som brukes i tilnærmingen er fortsatt uklar.

3.Poincarés hypotese

Poincaré-hypotesen er foreløpig den eneste av de syv tusenårsutfordringene som er løst. Det er gledelig å merke seg at vår landsmann Grigory Yakovlevich Perelman, deltids tilbaketrukket geni, ble forfatteren av avgjørelsen. Du kan snakke mye og interessant om det, men la oss fokusere på selve hypotesen.

Formulering:

Hver enkelt tilkoblet kompakt 3-manifold uten grense er homeomorf til en 3-sfære.

Eller den generaliserte Poincare-formodningen:

For et hvilket som helst naturlig tall n er ethvert mangfold av dimensjon n homotopi ekvivalent med en sfære med dimensjon n hvis og bare hvis den er homeomorf til den.

På en enkel måte er essensen av problemet som følger. Hvis vi tar et eple og dekker det med en gummifilm, kan vi ved hjelp av deformasjoner, uten å rive filmen, gjøre eplet til en prikk eller en kube, men på ingen måte kan vi gjøre det om til en smultring. En kube, en 3D-sfære og til og med 3D-rom er identiske med hverandre, opp til deformasjon.

Til tross for en så enkel formulering, forble hypotesen uprøvd i hundrevis av år. Selv om i matematikk noen ganger, jo enklere formuleringen er, desto vanskeligere er beviset (vi husker alle Fermats siste teorem).

La oss gå tilbake til kamerat Perelman. Denne herren er også kjent for det faktum at han nektet millionen som ble gitt ham, og sa følgende: "Hvorfor trenger jeg pengene dine, hvis jeg har hele universet i hendene?" Jeg ville ikke kunne gjøre det. Som et resultat av avslaget ble den tildelte millionen gitt til unge franske og amerikanske matematikere.

Til slutt vil jeg bemerke at Poincaré-hypotesen absolutt ikke har noen praktisk anvendelse (!!!).

4. Riemann-hypotesen.

Riemann-hypotesen er sannsynligvis den mest kjente (sammen med Poincaré-hypotesen) av de syv tusenårsproblemene. En av grunnene til dens popularitet blant ikke-profesjonelle matematikere er at den har en veldig enkel formulering.

Alle ikke-trivielle nuller i Riemann zeta-funksjonen har en reell del lik ?.

Enig, det er ganske enkelt. Og den tilsynelatende enkelheten var årsaken til mange forsøk på å bevise denne hypotesen. Dessverre så langt til ingen nytte.

Et stort antall mislykkede forsøk på å bevise Riemann-hypotesen ga opphav til tvil om dens gyldighet blant noen matematikere. Blant dem er John Littlewood. Men rekkene av skeptikere er ikke så mange, og de fleste i det matematiske samfunnet har en tendens til å tro at Riemann-hypotesen likevel er riktig. Indirekte bekreftelse på dette er gyldigheten av en rekke lignende utsagn og hypoteser.

Mange algoritmer og utsagn innen tallteori har blitt formulert med antagelsen om at antagelsen ovenfor er sann. Dermed vil beviset for gyldigheten av Riemann-hypotesen bekrefte grunnlaget for tallteori, og dens tilbakevisning av tallteori vil "ryste" selve grunnlaget.

Og til slutt et ganske kjent, men veldig interessant faktum. En gang ble David Gilbert spurt: "Hva vil være dine første handlinger hvis du sover i 500 år og våkner?" "Jeg vil spørre om Riemann-hypotesen er bevist."

5. Yang-Mills teori

En av kvantefysikkens gauge-teorier med en ikke-abelsk målegruppe. Denne teorien ble foreslått i midten av forrige århundre, men i lang tid ble den ansett som en rent matematisk teknikk som ikke har noe med tingenes virkelige natur å gjøre. Men senere, på grunnlag av Yang-Mills-teorien, ble hovedteoriene til standardmodellen bygget - kvantekromodynamikk og teorien om svake interaksjoner.

Problemformulering:

For enhver enkel kompaktmålergruppe eksisterer kvante Yang-Mills-teorien for rom og har en massedefekt som ikke er null.

Teorien er perfekt bekreftet av resultatene av eksperimenter og resultatene av datasimuleringer, men har ikke mottatt teoretisk bevis.

6. Eksistens og jevnhet av løsninger av Navier-Stokes-ligningene

Et av de viktigste problemene innen hydrodynamikk, og det siste av de uløste problemene i klassisk mekanikk.

Navier-Stokes-ligningen, supplert med Maxwells ligninger, varmeoverføringsligninger, etc., brukes til å løse mange problemer med elektrohydrodynamikk, magnetohydrodynamikk, væske- og gasskonveksjon, termisk diffusjon, etc.

Selve ligningene er et system med partielle differensialligninger. Ligningene har to deler:

• bevegelsesligninger
• kontinuitetsligninger

Å finne en komplett analytisk løsning av Navier-Stokes-ligningene er svært komplisert av deres ikke-linearitet og sterke avhengighet av grense- og startbetingelser.

7. Birch-Swinnerton-Dyer-hypotese

Det siste av tusenårsproblemene er Birch-Swinnerton-Dyer-hypotesen.

Hypotesen sier det

rangeringen av en elliptisk kurve r over Q er lik nullordenen til Hasse-Weil zeta-funksjonen

E(L,s) i punktet s = 1.

Denne formodningen er den eneste relativt enkle måten å bestemme rangeringen av elliptiske kurver, som igjen er hovedobjektene for studier i moderne tallteori og kryptografi.

Det er alle årtusenets problemer. Jeg beklager det faktum at noen saker dekkes mye mindre enn andre. Dette skyldes mangelen på informasjon om disse problemene og umuligheten av ganske enkelt (uten å involvere tungvint og kompleks matematikk) å si essensen deres. Clay Institute tilbød en belønning på 1 million dollar for å løse hvert av problemene. Våg! Det er en sjanse til å tjene gode penger ved å gå videre med grunnleggende vitenskap, fordi seks av syv problemer ennå ikke er løst.

Det er ikke så mange mennesker i verden som aldri har hørt om Fermats siste teorem – kanskje er dette det eneste matematiske problemet som har blitt så allment kjent og har blitt en ekte legende. Det er nevnt i mange bøker og filmer, mens hovedkonteksten for nesten alle omtaler er umuligheten av å bevise teoremet.

Ja, denne teoremet er veldig kjent og har på en måte blitt et "idol" tilbedt av amatører og profesjonelle matematikere, men få mennesker vet at beviset ble funnet, og dette skjedde tilbake i 1995. Men først ting først.

Så Fermats siste teorem (ofte kalt Fermats siste teorem), formulert i 1637 av den briljante franske matematikeren Pierre Fermat, er veldig enkel av natur og forståelig for enhver person med videregående utdanning. Den sier at formelen a i potens av n + b i potens av n \u003d c i potens av n har ingen naturlige (det vil si ikke-brøk) løsninger for n> 2. Alt ser ut til å være enkelt og klart , men de beste matematikerne og vanlige amatører kjempet om å søke etter en løsning i mer enn tre og et halvt århundre.

Hvorfor er hun så kjent? La oss nå finne ut...

Er det få beviste, ubeviste og likevel ubeviste teoremer? Saken er at Fermats siste teorem er den største kontrasten mellom enkelheten i formuleringen og kompleksiteten i beviset. Fermats siste teorem er en utrolig vanskelig oppgave, og likevel kan formuleringen forstås av alle med 5 karakterer på ungdomsskolen, men beviset er langt fra til og med alle profesjonelle matematikere. Verken i fysikk, eller i kjemi, eller i biologi, eller i samme matematikk er det et enkelt problem som ville vært formulert så enkelt, men forble uløst så lenge. 2. Hva består den av?

La oss starte med Pythagoras bukser Ordlyden er veldig enkel - ved første øyekast. Som vi vet fra barndommen, "pytagoreiske bukser er like på alle kanter." Problemet ser så enkelt ut fordi det var basert på et matematisk utsagn som alle kjenner - Pythagoras teorem: i enhver rettvinklet trekant er kvadratet bygget på hypotenusen lik summen av kvadratene som er bygget på bena.

I det 5. århundre f.Kr. Pythagoras grunnla det pytagoreiske brorskapet. Pytagoreerne, blant annet, studerte heltallstribler som tilfredsstilte ligningen x²+y²=z². De beviste at det er uendelig mange pytagoreiske trippeler og oppnådde generelle formler for å finne dem. De prøvde nok å se etter trippel og høyere grader. Overbevist om at dette ikke fungerte, forlot pytagoreerne sine fåfengte forsøk. Medlemmene av brorskapet var mer filosofer og esteter enn matematikere.

Det vil si at det er lett å plukke opp et sett med tall som perfekt tilfredsstiller likheten x² + y² = z²

Fra 3, 4, 5 - faktisk forstår grunnskoleeleven at 9 + 16 = 25.

Eller 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Flott.

Vel, det viser seg at de ikke gjør det. Det er her trikset starter. Enkelhet er åpenbar, fordi det er vanskelig å bevise ikke tilstedeværelsen av noe, men tvert imot fraværet. Når det er nødvendig å bevise at det finnes en løsning, kan og bør man ganske enkelt presentere denne løsningen.

Det er vanskeligere å bevise fraværet: for eksempel sier noen: slik og slik ligning har ingen løsninger. Legg ham i en sølepytt? enkelt: bam - og her er den løsningen! (gi en løsning). Og det er det, motstanderen er beseiret. Hvordan bevise fravær?

Å si: "Jeg fant ikke slike løsninger"? Eller kanskje du ikke søkte godt? Og hva om de er, bare veldig store, vel, slik at selv en superkraftig datamaskin ennå ikke har nok styrke? Det er dette som er vanskelig.

I en visuell form kan dette vises som følger: hvis vi tar to firkanter av passende størrelser og demonterer dem til enhetsruter, får vi en tredje firkant fra denne haugen med enhetsruter (fig. 2):


Og la oss gjøre det samme med den tredje dimensjonen (fig. 3) - den fungerer ikke. Det er ikke nok kuber, eller det er ekstra igjen:

Men matematikeren på 1600-tallet, franskmannen Pierre de Fermat, studerte entusiastisk den generelle ligningen x n + y n \u003d z n. Og til slutt konkluderte han: for n>2 heltallsløsninger eksisterer ikke. Fermats bevis er uopprettelig tapt. Manuskripter brenner! Alt som gjenstår er hans bemerkning i Diophantus' Aritmetikk: "Jeg har funnet et virkelig fantastisk bevis på dette påstanden, men marginene her er for smale til å inneholde det."

Egentlig kalles et teorem uten bevis en hypotese. Men Fermat har et rykte på seg for å aldri ta feil. Selv om han ikke etterlot bevis for noen uttalelse, ble det senere bekreftet. I tillegg beviste Fermat oppgaven sin for n=4. Så hypotesen til den franske matematikeren gikk ned i historien som Fermats siste teorem.

Etter Fermat arbeidet så store hjerner som Leonhard Euler med å søke etter bevis (i 1770 foreslo han en løsning for n = 3),

Adrien Legendre og Johann Dirichlet (disse forskerne fant sammen et bevis for n = 5 i 1825), Gabriel Lame (som fant et bevis for n = 7) og mange andre. På midten av 80-tallet av forrige århundre ble det klart at den vitenskapelige verden var på vei mot den endelige løsningen av Fermats siste teorem, men først i 1993 så og trodde matematikere at tre-tallets saga om å finne et bevis på Fermats siste teorem var nesten over.

Det er lett å vise at det er tilstrekkelig å bevise Fermats teorem bare for primtall n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … For sammensatt n forblir beviset gyldig. Men det er uendelig mange primtall...

I 1825, ved å bruke metoden til Sophie Germain, beviste de kvinnelige matematikerne, Dirichlet og Legendre uavhengig teoremet for n=5. I 1839 viste franskmannen Gabriel Lame sannheten i teoremet for n=7 ved å bruke samme metode. Gradvis ble teoremet bevist for nesten alle n mindre enn hundre.

Til slutt viste den tyske matematikeren Ernst Kummer i en strålende studie at matematikkens metoder på 1800-tallet ikke kan bevise teoremet i generell form. Prisen til det franske vitenskapsakademiet, opprettet i 1847 for beviset på Fermats teorem, forble ikke tildelt.

I 1907 bestemte den velstående tyske industrimannen Paul Wolfskel seg for å ta sitt eget liv på grunn av ulykkelig kjærlighet. Som en ekte tysker satte han dato og klokkeslett for selvmordet: nøyaktig ved midnatt. Den siste dagen opprettet han testamente og skrev brev til venner og slektninger. Forretningene ble avsluttet før midnatt. Jeg må si at Paul var interessert i matematikk. Da han ikke hadde noe å gjøre, gikk han til biblioteket og begynte å lese Kummers berømte artikkel. Det virket plutselig for ham som om Kummer hadde gjort en feil i resonnementet. Wolfskehl, med en blyant i hånden, begynte å analysere denne delen av artikkelen. Midnatt gikk, morgenen kom. Hullet i beviset ble fylt. Og selve grunnen til selvmord så nå helt latterlig ut. Paul rev opp avskjedsbrevene og skrev testamentet på nytt.

Han døde snart av naturlige årsaker. Arvingene ble ganske overrasket: 100 000 mark (mer enn 1 000 000 nåværende pund sterling) ble overført til kontoen til Royal Scientific Society of Göttingen, som samme år utlyste en konkurranse om Wolfskel-prisen. 100 000 mark var avhengig av beviset til Fermats teorem. Ikke en pfennig skulle betales for tilbakevisningen av teoremet ...

De fleste profesjonelle matematikere anså søket etter et bevis på Fermats siste teorem for å være en tapt sak og nektet resolutt å kaste bort tid på en så fåfengt øvelse. Men amatører boltrer seg til ære. Noen uker etter kunngjøringen traff et snøskred av «bevis» Universitetet i Göttingen. Professor E. M. Landau, hvis plikt var å analysere bevisene som ble sendt, delte ut kort til studentene sine:

Kjære S). . . . . . . .

Takk for manuskriptet du sendte med beviset på Fermats siste teorem. Den første feilen er på side ... på linje ... . På grunn av det mister hele beviset sin gyldighet.
Professor E. M. Landau

I 1963 beviste Paul Cohen, ved å trekke på Gödels funn, uløseligheten til et av Hilberts tjuetre problemer, kontinuumhypotesen. Hva om Fermats siste teorem også er uløselig?! Men de sanne fanatikerne av den store teoremet skuffet ikke i det hele tatt. Fremkomsten av datamaskiner ga uventet matematikere en ny metode for bevis. Etter andre verdenskrig beviste grupper av programmerere og matematikere Fermats siste teorem for alle verdier på n opp til 500, deretter opp til 1 000 og senere opp til 10 000.

På 80-tallet hevet Samuel Wagstaff grensen til 25 000, og på 90-tallet hevdet matematikere at Fermats siste teorem var sant for alle verdier på n opptil 4 millioner. Men hvis til og med en trillion billioner trekkes fra uendeligheten, blir den ikke mindre. Matematikere blir ikke overbevist av statistikk. Å bevise den store teoremet betydde å bevise den for ALLE n å gå til det uendelige.

I 1954 tok to unge japanske matematikervenner opp studiet av modulære former. Disse skjemaene genererer serier med tall, hver - sin egen serie. Ved en tilfeldighet sammenlignet Taniyama disse seriene med serier generert av elliptiske ligninger. De matchet! Men modulære former er geometriske objekter, mens elliptiske ligninger er algebraiske. Mellom slike forskjellige objekter fant aldri en sammenheng.

Likevel, etter nøye testing, fremmet venner en hypotese: hver elliptisk ligning har en tvilling - en modulær form, og omvendt. Det var denne hypotesen som ble grunnlaget for en hel trend innen matematikk, men inntil Taniyama-Shimura-hypotesen ble bevist, kunne hele bygningen kollapse når som helst.

I 1984 viste Gerhard Frey at en løsning på Fermats ligning, hvis den eksisterer, kan inkluderes i en eller annen elliptisk ligning. To år senere beviste professor Ken Ribet at denne hypotetiske ligningen ikke kan ha et motstykke i den modulære verdenen. Heretter var Fermats siste teorem uløselig knyttet til Taniyama-Shimura-hypotesen. Etter å ha bevist at enhver elliptisk kurve er modulær, konkluderer vi med at det ikke er noen elliptisk ligning med en løsning på Fermats ligning, og Fermats siste teorem vil umiddelbart bli bevist. Men i tretti år var det ikke mulig å bevise Taniyama-Shimura-hypotesen, og det ble stadig mindre håp om suksess.

I 1963, da han bare var ti år gammel, var Andrew Wiles allerede fascinert av matematikk. Da han lærte om den store teoremet, innså han at han ikke kunne avvike fra den. Som skolegutt, student, hovedfagsstudent forberedte han seg på denne oppgaven.

Da han fikk vite om Ken Ribets funn, kastet Wiles seg på å bevise Taniyama-Shimura-formodningen. Han bestemte seg for å jobbe i fullstendig isolasjon og hemmelighold. "Jeg forsto at alt som har noe å gjøre med Fermats siste teorem er av for stor interesse ... For mange seere forstyrrer bevisst oppnåelsen av målet." Syv år med hardt arbeid ga resultater, Wiles fullførte endelig beviset på Taniyama-Shimura-formodningen.

I 1993 presenterte den engelske matematikeren Andrew Wiles for verden sitt bevis på Fermats siste teorem (Wiles leste hans oppsiktsvekkende rapport på en konferanse ved Sir Isaac Newton Institute i Cambridge.), arbeidet med dette varte i mer enn syv år.

Mens hypen fortsatte i pressen, begynte et seriøst arbeid med å verifisere bevisene. Hvert bevis må undersøkes nøye før beviset kan anses som strengt og nøyaktig. Wiles tilbrakte en hektisk sommer og ventet på tilbakemeldinger fra anmelderne, i håp om at han kunne få deres godkjennelse. I slutten av august fant sakkyndige en utilstrekkelig begrunnet dom.

Det viste seg at denne avgjørelsen inneholder en grov feil, selv om det generelt er sant. Wiles ga ikke opp, ba om hjelp fra en kjent spesialist i tallteori Richard Taylor, og allerede i 1994 publiserte de et korrigert og supplert bevis på teoremet. Det mest fantastiske er at dette arbeidet tok opp så mange som 130 (!) sider i Annals of Mathematics matematisk tidsskrift. Men historien sluttet heller ikke der - det siste poenget ble gjort først året etter, 1995, da den endelige og "ideelle", fra et matematisk synspunkt, versjonen av beviset ble publisert.

«...et halvt minutt etter starten av festmiddagen i anledning bursdagen hennes, ga jeg Nadia manuskriptet til det komplette beviset» (Andrew Wales). Nevnte jeg at matematikere er rare mennesker?

Denne gangen var det ingen tvil om beviset. To artikler ble gjenstand for den mest nøye analyse og ble i mai 1995 publisert i Annals of Mathematics.

Det har gått mye tid siden det øyeblikket, men det er fortsatt en mening i samfunnet om uløseligheten til Fermats siste teorem. Men selv de som kjenner til bevisene som er funnet, fortsetter å jobbe i denne retningen - få mennesker er fornøyd med at den store teoremet krever en løsning på 130 sider!

Derfor, nå blir kreftene til så mange matematikere (for det meste amatører, ikke profesjonelle forskere) kastet på jakt etter et enkelt og konsist bevis, men denne veien vil mest sannsynlig ikke føre noe sted ...

kilde

For heltall n større enn 2 har likningen x n + y n = z n ingen løsninger som ikke er null i naturlige tall.

Du husker sikkert fra skoletiden Pythagoras teorem: kvadratet av hypotenusen til en rettvinklet trekant er lik summen av kvadratene til bena. Du husker kanskje også den klassiske rettvinklede trekanten med sider hvis lengder er relatert til 3: 4: 5. For den ser Pythagoras teoremet slik ut:

Dette er et eksempel på å løse den generaliserte Pythagoras ligning i ikke-null heltall for n= 2. Fermats siste teorem (også kalt "Fermats siste teorem" og "Fermats siste teorem") er utsagnet som for verdier n> 2 formlikninger x n + y n = z n har ikke løsninger som ikke er null i naturlige tall.

Historien til Fermats siste teorem er veldig underholdende og lærerik, og ikke bare for matematikere. Pierre de Fermat bidro til utviklingen av ulike områder av matematikken, men hoveddelen av hans vitenskapelige arv ble publisert bare posthumt. Faktum er at matematikk for Fermat var noe sånt som en hobby, ikke et profesjonelt yrke. Han korresponderte med de ledende matematikerne i sin tid, men søkte ikke å publisere arbeidet sitt. Fermats vitenskapelige skrifter finnes for det meste i form av privat korrespondanse og fragmentariske notater, ofte laget i margen av forskjellige bøker. Det er i margen (av det andre bindet av den gamle greske aritmetikken av Diophantus. - Merk. oversetter) kort tid etter matematikerens død, oppdaget etterkommerne formuleringen av det berømte teoremet og etterskriftet:

« Jeg fant et virkelig fantastisk bevis på dette, men disse marginene er for smale for ham.».

Akk, tilsynelatende gadd Fermat aldri å skrive ned det "mirakuløse beviset" han fant, og etterkommere søkte uten hell etter det i mer enn tre århundrer. Av all Fermats ulike vitenskapelige arv, som inneholder mange overraskende utsagn, var det den store teoremet som hardnakket motarbeidet løsningen.

Den som ikke tok opp beviset på Fermats siste teorem - alt forgjeves! En annen stor fransk matematiker, René Descartes (René Descartes, 1596-1650), kalte Fermat en "skryt", og den engelske matematikeren John Wallis (John Wallis, 1616-1703) kalte ham en "forbannet franskmann". Fermat selv etterlot imidlertid et bevis på teoremet sitt for saken n= 4. Med bevis for n= 3 ble løst av den store sveitsisk-russiske matematikeren på 1700-tallet Leonard Euler (1707–83), hvoretter han ikke klarte å finne bevis for n> 4, tilbød spøkefullt å ransake Fermats hus for å finne nøkkelen til de tapte bevisene. På 1800-tallet gjorde nye metoder for tallteori det mulig å bevise utsagnet for mange heltall innen 200, men igjen, ikke for alle.

I 1908 ble det opprettet en pris på 100 000 DM for denne oppgaven. Prisfondet ble testamentert til den tyske industrimannen Paul Wolfskehl, som ifølge legenden var i ferd med å begå selvmord, men ble så revet med av Fermats siste teorem at han ombestemte seg om å dø. Med bruken av å legge til maskiner, og deretter datamaskiner, baren av verdier n begynte å stige høyere og høyere - opp til 617 ved begynnelsen av andre verdenskrig, opp til 4001 i 1954, opp til 125 000 i 1976. På slutten av 1900-tallet ble de kraftigste datamaskinene til militærlaboratorier i Los Alamos (New Mexico, USA) programmert til å løse Fermat-problemet i bakgrunnen (ligner på skjermsparermodusen til en personlig datamaskin). Dermed var det mulig å vise at teoremet er sant for utrolig store verdier x, y, z og n, men dette kunne ikke tjene som et strengt bevis, siden noen av de følgende verdiene n eller trippel av naturlige tall kan motbevise teoremet som helhet.

Til slutt, i 1994, publiserte den engelske matematikeren Andrew John Wiles (Andrew John Wiles, f. 1953), mens han jobbet i Princeton, et bevis på Fermats siste teorem, som etter noen modifikasjoner ble ansett som uttømmende. Beviset tok mer enn hundre bladsider og var basert på bruken av det moderne apparatet for høyere matematikk, som ikke var utviklet i Fermats tid. Så hva mente da Fermat med å legge igjen en melding i margen av boken om at han hadde funnet bevis? De fleste matematikerne jeg har snakket med om dette emnet har påpekt at det gjennom århundrene har vært mer enn nok feil bevis på Fermats siste teorem, og at det er sannsynlig at Fermat selv fant et lignende bevis, men klarte ikke å se feilen. i det. Det er imidlertid mulig at det fortsatt er noen korte og elegante bevis på Fermats siste teorem, som ingen ennå har funnet. Bare én ting kan sies med sikkerhet: i dag vet vi med sikkerhet at teoremet er sant. De fleste matematikere, tror jeg, vil uten forbehold være enig med Andrew Wiles, som bemerket om beviset hans: "Nå er endelig mitt sinn i fred."

Noen ganger kan et flittig studium av de eksakte vitenskapene bære frukt - du vil ikke bare bli kjent for hele verden, men også rik. Priser gis imidlertid for ingenting, og i moderne vitenskap er det mange uprøvde teorier, teoremer og problemer som formerer seg etter hvert som vitenskapen utvikler seg, ta minst Kourovka eller Dniester notatbøker, en slags samlinger med uløselige fysiske og matematiske, og ikke bare , oppgaver. Imidlertid er det også virkelig komplekse teoremer som ikke har blitt løst på mer enn et dusin år, og for dem har American Clay Institute gitt en pris på 1 million amerikanske dollar for hver. Fram til 2002 var den totale jackpotten på 7 millioner, siden det var syv «millenniumproblemer», men den russiske matematikeren Grigory Perelman løste Poincaré-formodningen ved episk å forlate en million, uten engang å åpne døren for amerikanske matematikere som ønsket å gi ham sin ærlighet. opptjente bonuser. Så, vi slår på Big Bang Theory for bakgrunn og stemning, og ser hva annet du kan kutte en rund sum for.

Likestilling av klassene P og NP

Enkelt sagt er likhetsproblemet P = NP som følger: hvis et positivt svar på et spørsmål kan kontrolleres ganske raskt (i polynomtid), er det sant at svaret på dette spørsmålet kan finnes ganske raskt (også i polynomtid og bruk av polynomminne)? Med andre ord, er det virkelig ikke lettere å sjekke løsningen på problemet enn å finne den? Poenget her er at noen beregninger og beregninger er lettere å løse algoritmisk fremfor brute-force, og sparer dermed mye tid og ressurser.

Hodge-hypotese

Hodges formodning, formulert i 1941, er at for spesielt gode typer rom kalt projektive algebraiske varianter, er de såkalte Hodge-syklusene kombinasjoner av objekter som har en geometrisk tolkning – algebraiske sykluser.

Her, for å forklare i enkle termer, kan vi si følgende: på 1900-tallet ble det oppdaget svært komplekse geometriske former, for eksempel buede flasker. Så, det ble foreslått at for å konstruere disse objektene for beskrivelse, er det nødvendig å bruke fullstendig forvirrende former som ikke har den geometriske essensen "slike forferdelige flerdimensjonale skriblerier" eller du kan fortsatt klare deg med betinget standard algebra + geometri .

Riemanns hypotese

Det er ganske vanskelig å forklare her på menneskelig språk, det er nok å vite at løsningen av dette problemet vil få vidtrekkende konsekvenser innen fordeling av primtall. Problemet er så viktig og presserende at selv utledningen av et moteksempel på hypotesen - etter skjønn fra det akademiske rådet ved universitetet, kan problemet anses som bevist, så her kan du prøve metoden "fra det motsatte". Selv om det er mulig å omformulere hypotesen i en snevrere forstand, vil også her Leirinstituttet betale ut en viss sum penger.

Yang-Mills teori

Partikkelfysikk er et av Dr. Sheldon Coopers favorittemner. Her forteller kvanteteorien til to smarte onkler oss at for enhver enkel målegruppe i rommet er det en annen massedefekt enn null. Dette utsagnet er etablert av eksperimentelle data og numeriske simuleringer, men så langt kan ingen bevise det.

Navier-Stokes ligninger

Her ville Howard Wolowitz helt sikkert hjulpet oss hvis han eksisterte i virkeligheten – dette er tross alt en gåte fra hydrodynamikken, og grunnlaget for fundamentene. Ligningene beskriver bevegelsene til en viskøs newtonsk væske, er av stor praktisk betydning, og, viktigst av alt, beskriver turbulens, som ikke kan drives inn i vitenskapens rammeverk på noen måte, og dens egenskaper og handlinger kan ikke forutsies. Begrunnelse for konstruksjonen av disse ligningene ville tillate å ikke peke en finger mot himmelen, men å forstå turbulens fra innsiden og gjøre fly og mekanismer mer stabile.

Birch-Swinnerton-Dyer-hypotese

Riktignok prøvde jeg å plukke opp enkle ord, men det er en så tett algebra at man ikke kan klare seg uten dyp fordypning. De som ikke ønsker å dykke inn i matan trenger å vite at denne hypotesen lar deg raskt og smertefritt finne rangeringen av elliptiske kurver, og hvis denne hypotesen ikke eksisterte, ville det være nødvendig med et regneark for å beregne denne rangeringen. . Vel, selvfølgelig, du må også vite at beviset på denne hypotesen vil berike deg med en million dollar.

Det skal bemerkes at på nesten alle områder er det allerede fremskritt, og til og med påviste tilfeller for individuelle eksempler. Nøl derfor ikke, ellers vil det bli som med Fermats teorem, som bukket under for Andrew Wiles etter mer enn 3 århundrer i 1994, og ga ham Abelprisen og ca 6 millioner norske kroner (50 millioner rubler med dagens kurs) .

1. 1 Murad:

   Vi betraktet likheten Zn = Xn + Yn for å være Diophantus-ligningen eller Fermats store teorem, og dette er løsningen av ligningen (Zn- Xn) Xn = (Zn - Yn) Yn. Da er Zn =-(Xn + Yn) en løsning på ligningen (Zn + Xn) Xn = (Zn + Yn) Yn. Disse ligningene og løsningene er relatert til egenskapene til heltall og operasjoner på dem. Så vi kjenner ikke egenskapene til heltall?! Med så begrenset kunnskap vil vi ikke avsløre sannheten.
   Tenk på løsningene Zn = +(Xn + Yn) og Zn =-(Xn + Yn) når n = 1. Heltall + Z dannes ved hjelp av 10 sifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9. De er delbare med 2 heltall +X - partall, siste høyre sifre: 0, 2, 4, 6, 8 og +Y - oddetall, siste høyre sifre: 1, 3, 5, 7, 9, t . e. + X = + Y. Antallet Y = 5 - oddetall og X = 5 - partall er: Z = 10. Tilfredsstiller ligningen: (Z - X) X = (Z - Y) Y, og løsningen + Z = + X + Y= +(X + Y).
   Heltall -Z består av foreningen av -X for partall og -Y for oddetall, og tilfredsstiller ligningen:
   (Z + X) X = (Z + Y) Y, og løsningen -Z = - X - Y = - (X + Y).
   Hvis Z/X = Y eller Z/Y = X, så er Z = XY; Z/-X = -Y eller Z/-Y = -X, så Z = (-X)(-Y). Divisjon kontrolleres ved multiplikasjon.
   Ensifrede positive og negative tall består av 5 oddetall og 5 oddetall.
   Tenk på tilfellet n = 2. Da er Z2 = X2 + Y2 en løsning på ligningen (Z2 – X2) X2 = (Z2 – Y2) Y2 og Z2 = -(X2 + Y2) er en løsning på ligningen (Z2 + X2) X2 = (Z2 + Y2) Y2. Vi betraktet Z2 = X2 + Y2 for å være Pythagoras teorem, og da er løsningen Z2 = -(X2 + Y2) den samme teoremet. Vi vet at diagonalen til en firkant deler den i 2 deler, der diagonalen er hypotenusen. Da er likhetene gyldige: Z2 = X2 + Y2, og Z2 = -(X2 + Y2) hvor X og Y er ben. Og flere løsninger R2 = X2 + Y2 og R2 =- (X2 + Y2) er sirkler, sentra er opprinnelsen til kvadratkoordinatsystemet og med radius R. De kan skrives som (5n)2 = (3n)2 + ( 4n)2, hvor n er positive og negative heltall, og er 3 påfølgende tall. Også løsninger er 2-bits XY-tall som starter på 00 og slutter på 99 og er 102 = 10x10 og teller 1 århundre = 100 år.
   Tenk på løsninger når n = 3. Da er Z3 = X3 + Y3 løsninger av ligningen (Z3 – X3) X3 = (Z3 – Y3) Y3.
   3-bits tall XYZ starter på 000 og slutter på 999 og er 103 = 10x10x10 = 1000 år = 10 århundrer
   Fra 1000 kuber av samme størrelse og farge kan du lage en rubik på ca 10. Tenk på en rubik i størrelsesorden +103=+1000 - rød og -103=-1000 - blå. De består av 103 = 1000 kuber. Hvis vi dekomponerer og legger kubene i en rad eller oppå hverandre, uten hull, får vi et horisontalt eller vertikalt segment med lengde 2000. Rubik er en stor terning, dekket med små terninger, fra størrelsen 1butto = 10st. -21, og du kan ikke legge til den eller trekke fra én kube.
   - (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10); + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10);
   - (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102); + (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102);
   - (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103); + (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103).
   Hvert heltall er 1. Legg til 1(enere) 9 + 9 =18, 10 + 9 =19, 10 +10 =20, 11 +10 =21, og produktene:
   111111111 x 111111111 = 12345678987654321; 1111111111 x 111111111 = 123456789987654321.
   0111111111x1111111110= 0123456789876543210; 01111111111x1111111110= 01234567899876543210.
   Disse operasjonene kan utføres på 20-bits kalkulatorer.
   Det er kjent at +(n3 - n) alltid er delelig med +6, og - (n3 - n) er delelig med -6. Vi vet at n3 - n = (n-1)n(n+1). Dette er 3 påfølgende tall (n-1)n(n+1), hvor n er partall, deretter delelig med 2, (n-1) og (n+1) oddetall, delelig med 3. Deretter (n-1) n(n+1) er alltid delelig med 6. Hvis n=0, så (n-1)n(n+1)=(-1)0(+1), n=20, så(n-1) n (n+1)=(19)(20)(21).
   Vi vet at 19 x 19 = 361. Dette betyr at ett kvadrat er omgitt av 360 kvadrater, og så er en terning omgitt av 360 terninger. Likheten er oppfylt: 6 n - 1 + 6n. Hvis n=60, så 360 - 1 + 360, og n=61, så 366 - 1 + 366.
   Følgende generaliseringer følger av utsagnene ovenfor:
   n5 - 4n = (n2-4) n (n2+4); n7 - 9n = (n3-9) n (n3+9); n9 –16 n= (n4-16) n (n4+16);
   0… (n-9) (n-8) (n-7) (n-6) (n-5) (n-4) (n-3) (n-2) (n-1)n(n) +1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5) (n+6) (n+7) (n+8) (n+9)...2n
   (n+1) x (n+1) = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3 )...3210
   n! = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n; n! = n (n-1) (n-2) (n-3)...3210; (n+1)! =n! (n+1).
   0 +1 +2+3+...+ (n-3) + (n-2) + (n-1) +n=n (n+1)/2; n + (n-1) + (n-2) + (n-3) +...+3+2+1+0=n (n+1)/2;
   n (n+1)/2 + (n+1) + n (n+1)/2 = n (n+1) + (n+1) = (n+1) (n+1) = (n +1)2.
   Hvis 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3)…3210 x 11=
   = 013… (2n-5) (2n-3) (2n-1) (2n+1) (2n+1) (2n-1) (2n-3) (2n-5)…310.
   Ethvert heltall n er en potens av 10, har: – n og +n, +1/ n og -1/ n, oddetall og partall:
   - (n + n +...+ n) = -n2; – (n x n x...x n) = -nn; – (1/n + 1/n +…+ 1/n) = – 1; – (1/n x 1/n x…x1/n) = -n-n;
   + (n + n +...+ n) =+n2; + (n x n x…x n) = + nn; + (1/n +...+1/n) = + 1; + (1/n x 1/n x…x1/n) = + n-n.
   Det er klart at hvis et heltall legges til seg selv, vil det øke med 2 ganger, og produktet vil være et kvadrat: X = a, Y = a, X + Y = a + a = 2a; XY = a x a = a2. Dette ble ansett som Vietas teorem - en feil!
   Hvis vi legger til og subtraherer tallet b til det gitte tallet, endres ikke summen, men produktet endres, for eksempel:
   X \u003d a + b, Y \u003d a - b, X + Y \u003d a + b + a - b \u003d 2a; XY \u003d (a + b) x (a -b) \u003d a2-b2.
   X = a +√b, Y = a -√b, X+Y = a +√b + a – √b = 2a; XY \u003d (a + √b) x (a - √b) \u003d a2- b.
   X = a + bi, Y = a - bi, X + Y = a + bi + a - bi = 2a; XY \u003d (a + bi) x (a -bi) \u003d a2 + b2.
   X = a + √b i, Y = a - √bi, X+Y = a + √bi+ a - √bi =2a, XY = (a -√bi) x (a -√bi) = a2+b.
   Hvis vi setter heltall i stedet for bokstavene a og b, får vi paradokser, absurditeter og mistillit til matematikk.