Hvordan bestemme tegnet i intervallmetoden. Intervallmetoden: løse de enkleste strenge ulikhetene

Avstandsmetode er en enkel måte å løse brøken på rasjonelle ulikheter. Dette er navnet på ulikheter som inneholder rasjonelle (eller brøk-rasjonelle) uttrykk som er avhengige av en variabel.

1. Tenk for eksempel på følgende ulikhet

Intervallmetoden lar deg løse det på et par minutter.

På venstre side av denne ulikheten er en rasjonell brøkfunksjon. Rasjonell, fordi den ikke inneholder noen røtter, sinus eller logaritmer - bare rasjonelle uttrykk. Til høyre er null.

Intervallmetoden er basert på følgende egenskap til en rasjonell brøkfunksjon.

En brøk-rasjonell funksjon kan endre fortegn bare på de punktene der den er lik null eller ikke eksisterer.

Husk hvordan du faktoriserer kvadratisk trinomium, altså et uttrykk for formen .

Hvor og er røttene kvadratisk ligning.

Vi tegner en akse og ordner punktene der telleren og nevneren forsvinner.

Nullene til nevneren og er punkterte punkter, siden funksjonen på venstre side av ulikheten ikke er definert på disse punktene (du kan ikke dele med null). Nullpunktene til telleren og - er skyggelagt fordi ulikheten ikke er streng. For og vår ulikhet er tilfredsstilt, siden begge dens deler er lik null.

Disse punktene deler aksen i intervaller.

La oss bestemme tegnet til den brøk-rasjonelle funksjonen på venstre side av ulikheten vår på hvert av disse intervallene. Vi husker at en rasjonell brøkfunksjon kan endre fortegn bare på de punktene hvor den er lik null eller ikke eksisterer. Dette betyr at på hvert av intervallene mellom punktene der telleren eller nevneren forsvinner, vil tegnet til uttrykket på venstre side av ulikheten være konstant - enten "pluss" eller "minus".

Og derfor, for å bestemme tegnet til funksjonen på hvert slikt intervall, tar vi ethvert punkt som tilhører dette intervallet. Den som passer oss.
. Ta for eksempel og sjekk fortegnet til uttrykket på venstre side av ulikheten. Hver av "parentesene" er negative. Venstre side har et skilt.

Neste intervall: . La oss sjekke skiltet for . Vi får at venstre side har endret fortegn til .

La oss ta . Når uttrykket er positivt - derfor er det positivt på hele intervallet fra til .

For , venstre side av ulikheten er negativ.

Og til slutt class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Vi har funnet på hvilke intervaller uttrykket er positivt. Det gjenstår å skrive svaret:

Svar: .

Merk: skiltene på intervallene veksler. Dette skjedde pga når de passerte gjennom hvert punkt, endret nøyaktig en av de lineære faktorene fortegn, og resten holdt den uendret.

Vi ser at intervallmetoden er veldig enkel. For å løse en brøk-rasjonell ulikhet ved hjelp av intervallmetoden, bringer vi den til formen:

Eller class="tex" alt="\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, eller eller .

(på venstre side - en brøk-rasjonell funksjon, på høyre side - null).

Så - markerer vi på talllinjen punktene der telleren eller nevneren forsvinner.
Disse punktene deler hele tallinjen i intervaller, på hver av disse beholder den brøkrasjonelle funksjonen sitt fortegn.
Det gjenstår bare å finne ut tegnet på hvert intervall.
Vi gjør dette ved å sjekke fortegnet til uttrykket når som helst innenfor det gitte intervallet. Etter det skriver vi ned svaret. Det er alt.

Men spørsmålet oppstår: veksler tegnene alltid? Nei ikke alltid! Vi må passe på å ikke plassere skilt mekanisk og tankeløst.

2. La oss se på en annen ulikhet.

Class="tex" alt="\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \venstre(x-3\høyre))>0"> !}

Vi plasserer igjen punkter på aksen. Punktene og er punktert fordi de er nullpunktene til nevneren. Prikken er også punktert, siden ulikheten er streng.

Når telleren er positiv, er begge faktorene i nevneren negative. Dette er enkelt å sjekke ved å ta et hvilket som helst tall fra et gitt intervall, for eksempel . Venstre side har tegnet:

Når telleren er positiv; den første faktoren i nevneren er positiv, den andre faktoren er negativ. Venstre side har tegnet:

Når situasjonen er den samme! Telleren er positiv, den første faktoren i nevneren er positiv, den andre er negativ. Venstre side har tegnet:

Til slutt, med class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Svar: .

Hvorfor ble vekslingen av karakterer brutt? Fordi når du går gjennom punktet, er multiplikatoren "ansvarlig" for det endret ikke skilt. Hele venstresiden av vår ulikhet skiftet følgelig heller ikke fortegn.

Konklusjon: hvis den lineære faktoren er i en jevn potens (for eksempel i en firkant), endres ikke tegnet til uttrykket på venstre side når du passerer gjennom et punkt. Ved en odde grad endres selvfølgelig tegnet.

3. Vurder mer vanskelig sak. Den skiller seg fra den forrige ved at ulikheten ikke er streng:

Venstre side er den samme som i forrige oppgave. Bildet av skiltene vil være det samme:

Kanskje svaret blir det samme? Nei! Løsningen legges til Dette er fordi ved , både venstre og høyre side av ulikheten er lik null - derfor er dette punktet en løsning.

Svar: .

I oppgaven på eksamen i matematikk støter man ofte på denne situasjonen. Her går søkere i en felle og mister poeng. Vær forsiktig!

4. Hva om telleren eller nevneren ikke kan innregnes i lineære faktorer? Tenk på denne ulikheten:

Det kvadratiske trinomium kan ikke faktoriseres: diskriminanten er negativ, det er ingen røtter. Men dette er bra! Dette betyr at tegnet på uttrykket er det samme for alle, og spesifikt er det positivt. Du kan lese mer om dette i artikkelen om egenskapene til en kvadratisk funksjon.

Og nå kan vi dele begge sider av vår ulikhet med en verdi som er positiv for alle. Vi kommer frem til en tilsvarende ulikhet:

Noe som lett løses med intervallmetoden.

Vær oppmerksom - vi delte begge sider av ulikheten med verdien, som vi med sikkerhet visste at den var positiv. Selvfølgelig, i det generelle tilfellet, bør du ikke multiplisere eller dele en ulikhet med en variabel hvis fortegn er ukjent.

5 . Tenk på en annen ulikhet, tilsynelatende ganske enkel:

Så jeg vil multiplisere det med . Men vi er allerede smarte, og vi vil ikke gjøre dette. Det kan tross alt være både positivt og negativt. Og vi vet at hvis begge deler av ulikheten multipliseres med en negativ verdi, endres tegnet på ulikheten.

Vi vil handle annerledes - vi vil samle alt i en del og bringe det til en fellesnevner. Null vil forbli på høyre side:

Class="tex" alt="\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Og etter det - gjeldende intervallmetode.

I denne leksjonen vil vi fortsette å løse rasjonelle ulikheter ved å bruke intervallmetoden for mer komplekse ulikheter. Vurder løsningen av lineær-brøk- og kvadratisk-brøk-ulikheter og relaterte problemer.

Nå tilbake til ulikhet

La oss vurdere noen relaterte oppgaver.

Finne minste løsning ulikheter.

Finn antall naturlige løsninger på ulikheten

Finn lengden på intervallene som utgjør settet med løsninger på ulikheten.

2. Portal Naturvitenskap ().

3. Elektronisk pedagogisk og metodisk kompleks for å forberede karakterer 10-11 for opptaksprøver i informatikk, matematikk, russisk språk ().

5. Education Center "Technology of Education" ().

6. College.ru delen om matematikk ().

1. Mordkovich A.G. et al. Algebra Grad 9: Oppgavebok for studenter ved utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4. utg. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 s.: ill. nr. 28 (b, c); 29(b,c); 35(a,b); 37(b,c); 38(a).

Først noen tekster for å få en følelse av problemet som intervallmetoden løser. Anta at vi må løse følgende ulikhet:

(x − 5)(x + 3) > 0

Hva er mulighetene? Det første som kommer til tankene for de fleste elever er reglene "pluss ganger pluss gir pluss" og "minus ganger minus gir pluss." Derfor er det tilstrekkelig å vurdere tilfellet når begge parentesene er positive: x − 5 > 0 og x + 3 > 0. Da vurderer vi også tilfellet når begge parentesene er negative: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Mer avanserte studenter vil huske (kanskje) at til venstre er en kvadratisk funksjon hvis graf er en parabel. Dessuten skjærer denne parabelen OX-aksen i punktene x = 5 og x = −3. Til videre arbeid du må åpne brakettene. Vi har:

x 2 − 2x − 15 > 0

Nå er det klart at grenene til parablen er rettet oppover, fordi koeffisient a = 1 > 0. La oss prøve å tegne et diagram av denne parabelen:

Funksjonen er større enn null der den passerer over OX-aksen. I vårt tilfelle er dette intervallene (−∞ −3) og (5; +∞) - dette er svaret.

Vær oppmerksom på at bildet viser nøyaktig funksjonsdiagram, ikke timeplanen hennes. Fordi for en ekte graf, må du beregne koordinater, beregne forskyvninger og annet dritt, som vi ikke trenger i det hele tatt nå.

Hvorfor er disse metodene ineffektive?

Så vi har vurdert to løsninger på samme ulikhet. Begge viste seg å være svært tungvint. Den første avgjørelsen kommer - bare tenk på det! er et sett med systemer av ulikheter. Den andre løsningen er heller ikke veldig lett: du må huske parabelgrafen og en haug med andre små fakta.

Det var en veldig enkel ulikhet. Den har bare 2 multiplikatorer. Tenk deg nå at det ikke vil være 2 multiplikatorer, men minst 4. For eksempel:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Hvordan løse en slik ulikhet? Gå gjennom alle mulige kombinasjoner av fordeler og ulemper? Ja, vi vil sovne raskere enn vi finner en løsning. Å tegne en graf er heller ikke et alternativ, siden det ikke er klart hvordan en slik funksjon oppfører seg på koordinatplanet.

For slike ulikheter trengs en spesiell løsningsalgoritme, som vi vil vurdere i dag.

Hva er intervallmetoden

Intervallmetoden er en spesiell algoritme designet for å løse komplekse ulikheter av formen f (x) > 0 og f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Løs ligningen f (x) \u003d 0. I stedet for en ulikhet får vi altså en ligning som er mye lettere å løse;
2. Merk alle de oppnådde røttene på koordinatlinjen. Dermed vil den rette linjen deles inn i flere intervaller;
3. Finn ut tegnet (pluss eller minus) til funksjonen f (x) på intervallet lengst til høyre. For å gjøre dette er det nok å erstatte i f (x) et hvilket som helst tall som vil være til høyre for alle de markerte røttene;
4. Merk merker på andre intervaller. For å gjøre dette er det nok å huske at når du passerer gjennom hver rot, endres tegnet.

Det er alt! Etter det gjenstår det bare å skrive ut intervallene som interesserer oss. De er merket med et "+"-tegn hvis ulikheten var av formen f (x) > 0, eller et "−"-tegn hvis ulikheten var av formen f (x)< 0.

Ved første øyekast kan det virke som om intervallmetoden er en slags tinn. Men i praksis vil alt være veldig enkelt. Det krever litt øvelse – og alt blir klart. Ta en titt på eksemplene og se selv:

Oppgave. Løs ulikheten:

(x − 2)(x + 7)< 0

Vi jobber med metoden for intervaller. Trinn 1: Erstatt ulikheten med en ligning og løs den:

(x − 2)(x + 7) = 0

Produktet er lik null hvis og bare hvis minst en av faktorene null:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Fikk to røtter. Gå til trinn 2: merk disse røttene på koordinatlinjen. Vi har:

Nå trinn 3: vi finner tegnet til funksjonen på intervallet lengst til høyre (til høyre for det markerte punktet x = 2). For å gjøre dette, ta et hvilket som helst tall som flere tall x = 2. La oss for eksempel ta x = 3 (men ingen forbyr å ta x = 4, x = 10 og til og med x = 10 000). Vi får:

f(x) = (x − 2)(x + 7);
x=3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Vi får at f (3) = 10 > 0, så vi setter et plusstegn i intervallet lengst til høyre.

Vi går videre til det siste punktet - det er nødvendig å merke seg skiltene på de resterende intervallene. Husk at når du passerer gjennom hver rot, må tegnet endres. For eksempel, til høyre for roten x = 2 er det et pluss (vi sørget for dette i forrige trinn), så det må være et minus til venstre.

Denne minus strekker seg til hele intervallet (−7; 2), så det er en minus til høyre for roten x = −7. Derfor er det et pluss til venstre for roten x = −7. Det gjenstår å markere disse skiltene på koordinataksen. Vi har:

La oss gå tilbake til den opprinnelige ulikheten, som så slik ut:

(x − 2)(x + 7)< 0

Så funksjonen bør være mindre enn null. Det betyr at vi er interessert i minustegnet, som bare forekommer på ett intervall: (−7; 2). Dette vil være svaret.

Oppgave. Løs ulikheten:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Trinn 1: Lik venstre side til null:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Husk: produktet er null når minst én av faktorene er null. Derfor har vi rett til å sette lik null for hver enkelt parentes.

Trinn 2: merk alle røttene på koordinatlinjen:

Trinn 3: Finn ut tegnet på gapet lengst til høyre. Vi tar et hvilket som helst tall som er større enn x = 1. For eksempel kan vi ta x = 10. Vi har:

f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x=10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 7 (−9) = − 1197;
f(10) = -1197< 0.

Trinn 4: Plasser resten av skiltene. Husk at når du passerer gjennom hver rot, endres tegnet. Som et resultat vil bildet vårt se slik ut:

Det er alt. Det gjenstår bare å skrive svaret. Ta en ny titt på den opprinnelige ulikheten:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Dette er en ulikhet på formen f (x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Dette er svaret.

En merknad om funksjonstegn

Praksis viser at de største vanskelighetene i intervallmetoden oppstår ved de to siste trinnene, dvs. ved plassering av skilt. Mange elever begynner å bli forvirret: hvilke tall de skal ta og hvor de skal sette skilt.

For å endelig forstå intervallmetoden, vurder to bemerkninger som den er bygget på:

1. En kontinuerlig funksjon skifter kun fortegn ved punktene hvor den er lik null. Slike punkter bryter koordinataksen i biter, innenfor hvilke fortegnet til funksjonen aldri endres. Det er derfor vi løser ligningen f (x) \u003d 0 og markerer de funnet røttene på en rett linje. Tallene som er funnet er "grense"-punktene som skiller plussene fra minusene.
2. For å finne ut tegnet til en funksjon på et hvilket som helst intervall, er det nok å erstatte et hvilket som helst tall fra dette intervallet i funksjonen. For intervallet (−5; 6) kan vi for eksempel ta x = −4, x = 0, x = 4 og til og med x = 1,29374 hvis vi vil. Hvorfor er det viktig? Ja, fordi mange elever begynner å gnage tvil. Hva om for x = −4 får vi et pluss, og for x = 0 får vi et minus? Ingenting slikt vil noen gang skje. Alle punkter i samme intervall gir samme fortegn. Husk dette.

Det er alt du trenger å vite om intervallmetoden. Selvfølgelig tok vi den fra hverandre i det meste enkel versjon. Det er mer komplekse ulikheter - ikke-strenge, brøkdeler og med gjentatte røtter. For dem kan du også bruke intervallmetoden, men dette er et tema for en egen stor leksjon.

Nå vil jeg analysere et avansert triks som drastisk forenkler intervallmetoden. Mer presist påvirker forenklingen bare det tredje trinnet - beregningen av tegnet på linjen lengst til høyre. Av en eller annen grunn holdes ikke denne teknikken på skoler (ingen har i hvert fall forklart meg dette). Men forgjeves - faktisk er denne algoritmen veldig enkel.

Så funksjonstegnet på høyre stykke numerisk akse. Dette stykket har formen (a; +∞), der a er den største roten av ligningen f (x) = 0. For ikke å sprenge hjernen vår, tenk på et spesifikt eksempel:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x − 1)(2 + x )(7 − x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Vi har 3 røtter. Vi lister dem opp i stigende rekkefølge: x = −2, x = 1 og x = 7. Den største roten er åpenbart x = 7.

For de som synes det er lettere å resonnere grafisk vil jeg markere disse røttene på koordinatlinjen. La oss se hva som skjer:

Det kreves å finne tegnet til funksjonen f (x) på intervallet lengst til høyre, dvs. på (7; +∞). Men som vi allerede har bemerket, for å bestemme tegnet, kan du ta et hvilket som helst tall fra dette intervallet. For eksempel kan du ta x = 8, x = 150 osv. Og nå - den samme teknikken som ikke læres på skolene: la oss ta uendelighet som et tall. Mer presist, pluss uendelig, dvs. +∞.

"Er du steinet? Hvordan kan du erstatte uendelig med en funksjon? kanskje, spør du. Men tenk på det: vi trenger ikke verdien av selve funksjonen, vi trenger bare tegnet. Derfor betyr for eksempel verdiene f (x) = −1 og f (x) = −938 740 576 215 det samme: en funksjon på gitt intervall negativ. Derfor er alt som kreves av deg å finne tegnet som oppstår ved uendelig, og ikke verdien av funksjonen.

Faktisk er det veldig enkelt å erstatte uendelig. La oss gå tilbake til funksjonen vår:

f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Tenk deg at x er veldig stort antall. En milliard eller til og med en billion. La oss nå se hva som skjer i hver parentes.

Første parentes: (x − 1). Hva skjer hvis du trekker en fra en milliard? Resultatet vil være et tall som ikke er mye forskjellig fra en milliard, og dette tallet vil være positivt. Tilsvarende med den andre parentesen: (2 + x). Hvis vi legger til en milliard til en toer, får vi en milliard med kopek - dette er positivt tall. Til slutt den tredje parentesen: (7 − x ). Her vil det være minus en milliard, som en elendig brikke i form av en sjuer har blitt «gnagt av». De. det resulterende tallet vil ikke avvike mye fra minus en milliard - det vil være negativt.

Det gjenstår å finne tegnet på hele arbeidet. Siden vi hadde pluss i første parentes, og minus i siste parentes, får vi følgende konstruksjon:

(+) · (+) · (−) = (−)

Det siste tegnet er minus! Det spiller ingen rolle hva verdien av selve funksjonen er. Hovedsaken er at denne verdien er negativ, dvs. på intervallet lengst til høyre er det et minustegn. Det gjenstår å fullføre det fjerde trinnet i intervallmetoden: ordne alle skiltene. Vi har:

Den opprinnelige ulikheten så slik ut:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Derfor er vi interessert i intervallene merket med et minustegn. Vi skriver ut svaret:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Det er hele trikset jeg ville fortelle. Avslutningsvis er det enda en ulikhet, som løses ved intervallmetoden ved å bruke uendelig. For å forkorte løsningen visuelt, vil jeg ikke skrive trinntall og detaljerte kommentarer. Jeg vil bare skrive det som virkelig må skrives når jeg løser reelle problemer:

Oppgave. Løs ulikheten:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Vi erstatter ulikheten med en ligning og løser den:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Vi markerer alle tre røttene på koordinatlinjen (umiddelbart med tegn):

Det er et pluss på høyre side av koordinataksen, fordi funksjonen ser slik ut:

f(x) = x(2x + 8)(x − 3)

Og hvis vi erstatter uendelig (for eksempel en milliard), får vi tre positive parenteser. Siden det opprinnelige uttrykket må være større enn null, er vi kun interessert i plusser. Det gjenstår å skrive svaret:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

Avstandsmetode er en spesiell algoritme designet for å løse komplekse ulikheter av formen f(x) > 0. Algoritmen består av 5 trinn:

1. Løs likningen f(x) = 0. I stedet for en ulikhet får vi altså en likning som er mye lettere å løse;
2. Merk alle de oppnådde røttene på koordinatlinjen. Dermed vil den rette linjen deles inn i flere intervaller;
3. Finn mangfoldet av røttene. Hvis røttene er av jevn mangfold, tegner vi en løkke over roten. (Roten betraktes som et multiplum hvis det er et jevnt antall identiske løsninger)
4. Finn ut tegnet (pluss eller minus) til funksjonen f(x) på intervallet lengst til høyre. For å gjøre dette er det nok å erstatte i f (x) et hvilket som helst tall som vil være til høyre for alle de markerte røttene;
5. Merk skiltene på de resterende intervallene, alternerende dem.

Etter det gjenstår det bare å skrive ut intervallene som interesserer oss. De er merket med et "+"-tegn hvis ulikheten var av formen f(x) > 0, eller et "−"-tegn hvis ulikheten var av formen f(x)< 0.

Ved ikke-strenge ulikheter (≤ , ≥) er det nødvendig å inkludere i intervallene punktene som er løsningen av ligningen f(x) = 0;

Eksempel 1:

Løs ulikheten:

(x - 2)(x + 7)< 0

Vi jobber med metoden for intervaller.

Trinn 1: erstatt ulikheten med en ligning og løs den:

(x - 2)(x + 7) = 0

Produktet er lik null hvis og bare hvis minst én av faktorene er lik null:

x - 2 = 0 => x = 2

x + 7 = 0 => x = -7

Fikk to røtter.

Steg 2: marker disse røttene på koordinatlinjen. Vi har:

Trinn 3: vi finner tegnet til funksjonen på intervallet lengst til høyre (til høyre for det markerte punktet x = 2). For å gjøre dette, må du ta et hvilket som helst tall som er større enn tallet x = 2. La oss for eksempel ta x = 3 (men ingen forbyr å ta x = 4, x = 10 og til og med x = 10 000).

f(x) = (x - 2)(x + 7)

f(3)=(3 - 2)(3 + 7) = 1*10 = 10

Vi får at f(3) = 10 > 0 (10 er et positivt tall), så vi setter et plusstegn i intervallet lengst til høyre.

Trinn 4: du må merke skiltene på de resterende intervallene. Husk at når du passerer gjennom hver rot, må tegnet endres. For eksempel, til høyre for roten x = 2 er det et pluss (vi sørget for dette i forrige trinn), så det må være et minus til venstre. Denne minus strekker seg til hele intervallet (−7; 2), så det er en minus til høyre for roten x = −7. Derfor er det et pluss til venstre for roten x = −7. Det gjenstår å markere disse skiltene på koordinataksen.

La oss gå tilbake til den opprinnelige ulikheten, som så slik ut:

(x - 2)(x + 7)< 0

Så funksjonen må være mindre enn null. Det betyr at vi er interessert i minustegnet, som bare forekommer på ett intervall: (−7; 2). Dette vil være svaret.

Eksempel 2:

Løs ulikheten:

(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) ≥ 0

Løsning:

Først må du finne røttene til ligningen

(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) = 0

La oss kollapse den første parentesen, vi får:

(3x - 1) 2 (x - 2) = 0

x - 2 = 0; (3x - 1) 2 = 0

Ved å løse disse ligningene får vi:

La oss plotte punktene på tallinjen:

Fordi x 2 og x 3 er flere røtter, så vil det være ett punkt på linjen og over det " en løkke”.

Ta et hvilket som helst tall mindre enn punktet lengst til venstre og bytt det inn i den opprinnelige ulikheten. La oss ta tallet -1.

Ikke glem å inkludere løsningen av ligningen (funnet av X), fordi vår ulikhet er ikke streng.

Svar: ()U)