Ketaksamaan rasional dengan modulus. Menyelesaikan ketaksamaan dengan modulus

Hari ini kawan-kawan tidak akan ada hingus dan sentimen. Sebaliknya, saya akan menghantar anda ke pertempuran dengan salah satu lawan yang paling hebat dalam kursus algebra gred 8-9 tanpa soalan lanjut.

Ya, anda memahami semuanya dengan betul: kita bercakap tentang ketaksamaan dengan modulus. Kami akan melihat empat teknik asas yang anda akan belajar untuk menyelesaikan kira-kira 90% daripada masalah ini. Bagaimana dengan 10% yang lain? Baiklah, kita akan bercakap tentang mereka dalam pelajaran yang berasingan. :)

Walau bagaimanapun, sebelum menganalisis sebarang helah di sana, saya ingin mengingati dua fakta yang anda sudah perlu tahu. Jika tidak, anda berisiko tidak memahami bahan pelajaran hari ini sama sekali.

Apa yang anda sudah perlu tahu

Kapten Bukti, seolah-olah, membayangkan bahawa untuk menyelesaikan ketaksamaan dengan modulus, anda perlu mengetahui dua perkara:

1. Bagaimanakah ketidaksamaan diselesaikan?
2. Apakah itu modul.

Mari kita mulakan dengan titik kedua.

Definisi Modul

Semuanya mudah di sini. Terdapat dua definisi: algebra dan grafik. Mari kita mulakan dengan algebra:

Definisi. Modul nombor $x$ ialah sama ada nombor itu sendiri, jika ia bukan negatif, atau nombor bertentangan dengannya, jika $x$ asal masih negatif.

Ia ditulis seperti ini:

\[\kiri| x \kanan|=\kiri\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Secara ringkas, modulus ialah "nombor tanpa tolak". Dan ia adalah dalam dualiti ini (di suatu tempat anda tidak perlu melakukan apa-apa dengan nombor asal, tetapi di suatu tempat anda perlu mengeluarkan beberapa tolak di sana) dan semua kesukaran untuk pelajar baru terletak.

Terdapat juga definisi geometri. Ia juga berguna untuk mengetahuinya, tetapi kami akan merujuknya hanya dalam kes yang kompleks dan khusus, di mana pendekatan geometri lebih mudah daripada yang algebra (spoiler: bukan hari ini).

Definisi. Biarkan titik $a$ ditanda pada garisan sebenar. Kemudian modul $\left| x-a \right|$ ialah jarak dari titik $x$ ke titik $a$ pada baris ini.

Jika anda melukis gambar, anda akan mendapat sesuatu seperti ini:

Satu cara atau yang lain, sifat utamanya serta-merta mengikuti dari definisi modul: modulus nombor sentiasa nilai bukan negatif. Fakta ini akan menjadi benang merah yang mengalir melalui keseluruhan cerita kami hari ini.

Penyelesaian ketidaksamaan. Kaedah jarak

Sekarang mari kita berurusan dengan ketidaksamaan. Terdapat banyak daripada mereka, tetapi tugas kita sekarang adalah untuk dapat menyelesaikan sekurang-kurangnya yang paling mudah daripada mereka. Mereka yang dikurangkan kepada ketaksamaan linear, serta kepada kaedah selang.

Saya mempunyai dua tutorial besar mengenai topik ini (dengan cara ini, sangat, SANGAT berguna - saya cadangkan belajar):

1. Kaedah selang untuk ketidaksamaan (terutama menonton video);
2. Ketaksamaan pecahan-rasional adalah pelajaran yang sangat besar, tetapi selepas itu anda tidak akan mempunyai sebarang soalan lagi.

Jika anda tahu semua ini, jika frasa "mari beralih dari ketidaksamaan ke persamaan" tidak membuat anda samar-samar mahu membunuh diri di dinding, maka anda sudah bersedia: selamat datang ke neraka ke topik utama pelajaran. :)

1. Ketaksamaan dalam bentuk "Modul kurang daripada fungsi"

Ini adalah salah satu tugas yang paling kerap ditemui dengan modul. Ia diperlukan untuk menyelesaikan ketaksamaan bentuk:

\[\kiri| f\kanan| \ltg\]

Apa-apa sahaja boleh bertindak sebagai fungsi $f$ dan $g$, tetapi biasanya ia adalah polinomial. Contoh ketidaksamaan tersebut:

\[\begin(align) & \left| 2x+3\kanan| \ltx+7; \\ & \kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan|+3\kiri(x+1 \kanan) \lt 0; \\ & \kiri| ((x)^(2))-2\kiri| x \kanan|-3 \kanan| \lt 2. \\\end(align)\]

Kesemuanya diselesaikan secara literal dalam satu baris mengikut skema:

\[\kiri| f\kanan| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \betul betul)\]

Adalah mudah untuk melihat bahawa kita menyingkirkan modul, tetapi sebaliknya kita mendapat ketidaksamaan berganda (atau, yang merupakan perkara yang sama, sistem dua ketaksamaan). Tetapi peralihan ini mengambil kira semua masalah yang mungkin: jika nombor di bawah modul adalah positif, kaedah itu berfungsi; jika negatif, ia masih berfungsi; dan walaupun dengan fungsi yang paling tidak mencukupi sebagai ganti $f$ atau $g$, kaedah itu akan tetap berfungsi.

Sememangnya, persoalan timbul: adakah ia tidak lebih mudah? Malangnya, anda tidak boleh. Ini adalah intipati keseluruhan modul.

Tetapi cukup dengan berfalsafah. Mari selesaikan beberapa masalah:

Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:

\[\kiri| 2x+3\kanan| \ltx+7\]

Keputusan. Jadi, kita mempunyai ketaksamaan klasik dalam bentuk "modul itu kurang daripada" - malah tiada apa-apa yang perlu diubah. Kami bekerja mengikut algoritma:

\[\begin(align) & \left| f\kanan| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \kiri| 2x+3\kanan| \lt x+7\Anak panah kanan -\kiri(x+7 \kanan) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Jangan tergesa-gesa untuk membuka kurungan yang didahului dengan "tolak": ada kemungkinan bahawa kerana tergesa-gesa anda akan membuat kesilapan yang menyinggung perasaan.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Masalahnya telah dikurangkan kepada dua ketidaksamaan asas. Kami perhatikan penyelesaian mereka pada garis nyata selari:

Persimpangan ramai

Persilangan set ini akan menjadi jawapannya.

Jawapan: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:

\[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan|+3\kiri(x+1 \kanan) \lt 0\]

Keputusan. Tugasan ini lebih sukar sedikit. Sebagai permulaan, kami mengasingkan modul dengan mengalihkan istilah kedua ke kanan:

\[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \lt -3\kiri(x+1 \kanan)\]

Jelas sekali, kami sekali lagi mempunyai ketidaksamaan dalam bentuk "modul kurang", jadi kami menyingkirkan modul mengikut algoritma yang telah diketahui:

\[-\kiri(-3\kiri(x+1 \kanan) \kanan) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\kiri(x+1 \kanan)\]

Sekarang perhatian: seseorang akan mengatakan bahawa saya agak sesat dengan semua kurungan ini. Tetapi sekali lagi saya mengingatkan anda bahawa matlamat utama kami ialah menyelesaikan ketaksamaan dengan betul dan dapatkan jawapannya. Kemudian, apabila anda telah menguasai dengan sempurna semua yang diterangkan dalam pelajaran ini, anda boleh menyelewengkan diri anda sesuka hati: buka kurungan, tambah tolak, dsb.

Dan sebagai permulaan, kita hanya membuang tolak berganda di sebelah kiri:

\[-\kiri(-3\kiri(x+1 \kanan) \kanan)=\kiri(-1 \kanan)\cdot \kiri(-3 \kanan)\cdot \kiri(x+1 \kanan) =3\kiri(x+1\kanan)\]

Sekarang mari kita buka semua kurungan dalam ketaksamaan berganda:

Mari kita beralih kepada ketidaksamaan berganda. Kali ini pengiraan akan menjadi lebih serius:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( sejajar)\kanan.\]

Kedua-dua ketidaksamaan adalah segi empat sama dan diselesaikan dengan kaedah selang (itulah sebabnya saya katakan: jika anda tidak tahu apa itu, lebih baik tidak mengambil modul lagi). Kami meneruskan kepada persamaan dalam ketaksamaan pertama:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

Seperti yang anda lihat, keluaran ternyata menjadi persamaan kuadratik yang tidak lengkap, yang diselesaikan secara asas. Sekarang mari kita berurusan dengan ketidaksamaan kedua sistem. Di sana anda perlu menggunakan teorem Vieta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \kiri(x-3 \kanan)\kiri(x+2 \kanan)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Kami menandakan nombor yang diperoleh pada dua garis selari (asingkan untuk ketidaksamaan pertama dan pisahkan untuk yang kedua):

Sekali lagi, memandangkan kami sedang menyelesaikan sistem ketaksamaan, kami berminat dengan persilangan set berlorek: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Ini jawapannya.

Jawapan: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Saya fikir selepas contoh ini skema penyelesaian sangat jelas:

1. Asingkan modul dengan mengalihkan semua istilah lain ke bahagian bertentangan ketaksamaan. Oleh itu kita mendapat ketaksamaan dalam bentuk $\left| f\kanan| \ltg$.
2. Selesaikan ketidaksamaan ini dengan menyingkirkan modul seperti yang diterangkan di atas. Pada satu ketika, adalah perlu untuk beralih daripada ketaksamaan berganda kepada sistem dua ungkapan bebas, yang setiap satunya sudah boleh diselesaikan secara berasingan.
3. Akhirnya, ia kekal hanya untuk menyeberangi penyelesaian kedua-dua ungkapan bebas ini - dan itu sahaja, kita akan mendapat jawapan muktamad.

Algoritma yang serupa wujud untuk ketaksamaan jenis berikut, apabila modulus lebih besar daripada fungsi. Walau bagaimanapun, terdapat beberapa "tetapi" yang serius. Kami akan bercakap tentang "tetapi" ini sekarang.

2. Ketaksamaan dalam bentuk "Modul lebih besar daripada fungsi"

Mereka kelihatan seperti ini:

\[\kiri| f\kanan| \gt g\]

Serupa dengan yang sebelumnya? Kelihatannya seperti. Walau bagaimanapun, tugas sedemikian diselesaikan dengan cara yang sama sekali berbeza. Secara rasmi, skim ini adalah seperti berikut:

\[\kiri| f\kanan| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Dengan kata lain, kami mempertimbangkan dua kes:

1. Pertama, kami hanya mengabaikan modul - kami menyelesaikan ketidaksamaan biasa;
2. Kemudian, sebenarnya, kami membuka modul dengan tanda tolak, dan kemudian kami mendarabkan kedua-dua bahagian ketaksamaan dengan -1, dengan tanda.

Dalam kes ini, pilihan digabungkan dengan kurungan persegi, i.e. Kami mempunyai gabungan dua keperluan.

Beri perhatian sekali lagi: sebelum kita bukanlah sistem, tetapi agregat, oleh itu dalam jawapan, set digabungkan, tidak bersilang. Ini adalah perbezaan asas daripada perenggan sebelumnya!

Secara umum, ramai pelajar mempunyai banyak kekeliruan dengan kesatuan dan persimpangan, jadi mari kita lihat isu ini sekali dan untuk semua:

• "∪" ialah tanda gabungan. Sebenarnya, ini adalah huruf bergaya "U", yang datang kepada kami dari bahasa Inggeris dan merupakan singkatan untuk "Union", i.e. "Persatuan".
• "∩" ialah tanda persimpangan. Omong kosong ini tidak datang dari mana-mana, tetapi hanya muncul sebagai pembangkang kepada "∪".

Untuk menjadikannya lebih mudah untuk diingati, hanya tambahkan kaki pada tanda ini untuk membuat cermin mata (jangan tuduh saya mempromosikan ketagihan dadah dan alkohol sekarang: jika anda serius mempelajari pelajaran ini, maka anda sudah menjadi penagih dadah):

Diterjemahkan ke dalam bahasa Rusia, ini bermakna yang berikut: kesatuan (koleksi) termasuk unsur-unsur dari kedua-dua set, oleh itu, tidak kurang daripada setiap daripada mereka; tetapi persimpangan (sistem) hanya merangkumi unsur-unsur yang kedua-duanya berada dalam set pertama dan kedua. Oleh itu, persilangan set tidak pernah lebih besar daripada set sumber.

Jadi ia menjadi lebih jelas? Itu hebat. Mari kita teruskan untuk berlatih.

Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:

\[\kiri| 3x+1 \kanan| \gt 5-4x\]

Keputusan. Kami bertindak mengikut skema:

\[\kiri| 3x+1 \kanan| \gt 5-4x\Anak panah kanan \kiri[ \mula(selaras) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\kiri(5-4x \kanan) \\\end(align) \ betul.\]

Kami menyelesaikan setiap ketidaksamaan populasi:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Kami menandakan setiap set yang terhasil pada garis nombor, dan kemudian menggabungkannya:

Kesatuan set

Jelas sekali jawapannya ialah $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Jawapan: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:

\[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \gtx\]

Keputusan. Nah? Tidak, semuanya sama. Kami beralih daripada ketaksamaan dengan modulus kepada set dua ketaksamaan:

\[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \gt x\Anak panah kanan \kiri[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Kami menyelesaikan setiap ketidaksamaan. Malangnya, akarnya tidak akan begitu baik di sana:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

Dalam ketidaksamaan kedua, terdapat juga sedikit permainan:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\ptg \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Sekarang kita perlu menandakan nombor ini pada dua paksi - satu paksi untuk setiap ketaksamaan. Walau bagaimanapun, anda perlu menandakan titik dalam susunan yang betul: semakin besar nombor, semakin jauh titik itu beralih ke kanan.

Dan di sini kita sedang menunggu persediaan. Jika semuanya jelas dengan nombor $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (istilah dalam pengangka yang pertama pecahan adalah kurang daripada sebutan dalam pengangka kedua , jadi jumlahnya juga lebih kecil), dengan nombor $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ juga tidak akan ada kesukaran (nombor positif jelas lebih negatif), tetapi dengan pasangan terakhir, semuanya tidak begitu mudah. Yang manakah lebih besar: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ atau $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Susunan titik pada garis nombor dan, sebenarnya, jawapannya bergantung pada jawapan kepada soalan ini.

Jadi mari kita bandingkan:

\[\begin(matriks) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matriks)\]

Kami mengasingkan punca, mendapat nombor bukan negatif pada kedua-dua belah ketaksamaan, jadi kami mempunyai hak untuk mengduakan kedua-dua belah:

\[\begin(matriks) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matriks)\]

Saya rasa tidak mengapa $4\sqrt(13) \gt 3$, jadi $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, akhirnya mata pada paksi akan disusun seperti ini:

Kes akar hodoh

Biar saya ingatkan anda bahawa kita sedang menyelesaikan satu set, jadi jawapannya ialah kesatuan, dan bukan persilangan set berlorek.

Jawapan: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\kanan)$

Seperti yang anda lihat, skim kami berfungsi dengan baik untuk tugasan yang mudah dan untuk tugasan yang sangat sukar. Satu-satunya "titik lemah" dalam pendekatan ini ialah anda perlu membandingkan nombor tidak rasional dengan betul (dan percayalah: ini bukan sahaja akar). Tetapi pelajaran yang berasingan (dan sangat serius) akan ditumpukan kepada soalan perbandingan. Dan kita teruskan.

3. Ketaksamaan dengan "ekor" bukan negatif

Jadi kita sampai ke yang paling menarik. Ini adalah ketaksamaan bentuk:

\[\kiri| f\kanan| \gt\left| g\right|\]

Secara umumnya, algoritma yang akan kita bincangkan sekarang adalah benar hanya untuk modul. Ia berfungsi dalam semua ketaksamaan di mana terdapat ungkapan bukan negatif yang dijamin di kiri dan kanan:

Apa yang perlu dilakukan dengan tugas-tugas ini? Ingat sahaja:

Dalam ketidaksamaan dengan ekor bukan negatif, kedua-dua pihak boleh dinaikkan kepada sebarang kuasa semula jadi. Tidak akan ada sekatan tambahan.

Pertama sekali, kami akan berminat untuk mengkuadratkan - ia membakar modul dan akar:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]

Jangan mengelirukan ini dengan mengambil punca kuasa dua:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \kanan|\ne f\]

Banyak kesilapan telah dilakukan apabila pelajar terlupa memasang modul! Tetapi ini adalah cerita yang sama sekali berbeza (ini adalah, seolah-olah, persamaan tidak rasional), jadi kita tidak akan membincangkannya sekarang. Mari kita selesaikan beberapa masalah dengan lebih baik:

Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:

\[\kiri| x+2 \kanan|\ge \kiri| 1-2x \kanan|\]

Keputusan. Kami segera melihat dua perkara:

1. Ini adalah ketidaksamaan yang tidak ketat. Mata pada garis nombor akan ditebuk keluar.
2. Kedua-dua belah ketaksamaan jelas bukan negatif (ini adalah sifat modul: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Oleh itu, kita boleh kuasa duakan kedua-dua belah ketaksamaan untuk menyingkirkan modulus dan menyelesaikan masalah menggunakan kaedah selang biasa:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\kiri(x+2 \kanan))^(2))\ge ((\kiri(2x-1 \kanan))^(2)). \\\end(align)\]

Pada langkah terakhir, saya menipu sedikit: Saya menukar jujukan istilah, menggunakan pariti modulus (sebenarnya, saya mendarabkan ungkapan $1-2x$ dengan -1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \kiri(\kiri(2x-1 \kanan)-\kiri(x+2 \kanan) \kanan)\cdot \kiri(\kiri(2x-1 \kanan)+\kiri(x+2 \ kanan)\kanan)\le 0; \\ & \kiri(2x-1-x-2 \kanan)\cdot \kiri(2x-1+x+2 \kanan)\le 0; \\ & \kiri(x-3 \kanan)\cdot \kiri(3x+1 \kanan)\le 0. \\\end(align)\]

Kami menyelesaikan dengan kaedah selang. Mari kita beralih daripada ketaksamaan kepada persamaan:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Kami menandakan akar yang ditemui pada garis nombor. Sekali lagi: semua mata dilorekkan kerana ketidaksamaan asal tidak ketat!

Menghilangkan tanda modul

Izinkan saya mengingatkan anda untuk yang sangat degil: kami mengambil tanda-tanda dari ketidaksamaan terakhir, yang telah ditulis sebelum beralih kepada persamaan. Dan kami melukis kawasan yang diperlukan dalam ketidaksamaan yang sama. Dalam kes kami, ini ialah $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Itu sahaja. Masalah selesai.

Jawapan: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:

\[\kiri| ((x)^(2))+x+1 \kanan|\le \kiri| ((x)^(2))+3x+4 \kanan|\]

Keputusan. Kami melakukan semuanya sama. Saya tidak akan mengulas - lihat sahaja urutan tindakan.

Mari kita kuadkan:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \kanan| \kanan))^(2)); \\ & ((\kiri(((x)^(2))+x+1 \kanan))^(2))\le ((\kiri(((x)^(2))+3x+4 \kanan))^(2)); \\ & ((\kiri(((x)^(2))+x+1 \kanan))^(2))-((\kiri(((x)^(2))+3x+4 \ kanan))^(2))\le 0; \\ & \kiri(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \kanan)\kali \\ & \kali \kiri(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \kanan)\le 0; \\ & \kiri(-2x-3 \kanan)\kiri(2((x)^(2))+4x+5 \kanan)\le 0. \\\end(align)\]

Kaedah jarak:

\[\mulakan(sejajar) & \kiri(-2x-3 \kanan)\kiri(2((x)^(2))+4x+5 \kanan)=0 \\ & -2x-3=0\ Anak panah kanan x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Anak panah Kanan D=16-40 \lt 0\Anak panah Kanan \varnothing . \\\end(align)\]

Hanya ada satu punca pada garis nombor:

Jawapannya adalah pelbagai

Jawapan: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Nota kecil tentang tugasan terakhir. Seperti yang dinyatakan dengan tepat oleh salah seorang pelajar saya, kedua-dua ungkapan submodul dalam ketaksamaan ini jelas positif, jadi tanda modulus boleh ditinggalkan tanpa membahayakan kesihatan.

Tetapi ini sudah menjadi tahap pemikiran yang sama sekali berbeza dan pendekatan yang berbeza - ia boleh dipanggil secara bersyarat sebagai kaedah akibat. Mengenai dia - dalam pelajaran yang berasingan. Dan sekarang mari kita beralih ke bahagian akhir pelajaran hari ini dan pertimbangkan algoritma universal yang sentiasa berfungsi. Walaupun semua pendekatan sebelumnya tidak berkuasa. :)

4. Kaedah pengiraan pilihan

Bagaimana jika semua helah ini tidak berkesan? Jika ketidaksamaan tidak berkurangan kepada ekor bukan negatif, jika mustahil untuk mengasingkan modul, jika sama sekali sakit-sedih-rindu?

Kemudian "artileri berat" semua matematik memasuki tempat kejadian - kaedah penghitungan. Berkenaan dengan ketaksamaan dengan modulus, ia kelihatan seperti ini:

1. Tulis semua ungkapan submodul dan samakannya dengan sifar;
2. Selesaikan persamaan yang terhasil dan tandakan punca yang ditemui pada satu garis nombor;
3. Garis lurus akan dibahagikan kepada beberapa bahagian, di mana setiap modul mempunyai tanda tetap dan oleh itu mengembang dengan jelas;
4. Selesaikan ketidaksamaan pada setiap bahagian tersebut (anda boleh mempertimbangkan secara berasingan punca sempadan yang diperoleh dalam perenggan 2 - untuk kebolehpercayaan). Gabungkan hasilnya - ini akan menjadi jawapannya. :)

Nah, bagaimana? Lemah? Dengan mudah! Hanya untuk masa yang lama. Mari lihat dalam amalan:

Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:

\[\kiri| x+2 \kanan| \lt\left| x-1 \kanan|+x-\frac(3)(2)\]

Keputusan. Omong kosong ini tidak berpunca daripada ketidaksamaan seperti $\left| f\kanan| \lt g$, $\left| f\kanan| \gt g$ atau $\left| f\kanan| \lt\left| g \right|$, jadi mari teruskan.

Kami menulis ungkapan submodul, menyamakannya dengan sifar dan mencari punca:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Anak panah kanan x=1. \\\end(align)\]

Secara keseluruhan, kami mempunyai dua punca yang membahagikan garis nombor kepada tiga bahagian, di dalamnya setiap modul didedahkan secara unik:

Membahagi garis nombor dengan sifar bagi fungsi submodular

Mari kita pertimbangkan setiap bahagian secara berasingan.

1. Biarkan $x \lt -2$. Kemudian kedua-dua ungkapan submodul adalah negatif, dan ketaksamaan asal ditulis semula seperti berikut:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

Kami mendapat kekangan yang agak mudah. Mari kita bersilang dengan andaian asal bahawa $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Jelas sekali, pembolehubah $x$ tidak boleh serentak kurang daripada −2 tetapi lebih besar daripada 1.5. Tiada penyelesaian dalam bidang ini.

1.1. Mari kita pertimbangkan secara berasingan kes sempadan: $x=-2$. Mari kita gantikan nombor ini ke dalam ketaksamaan asal dan semak: adakah ia berlaku?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \kiri| -3 \kanan|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Jelas sekali, rantaian pengiraan telah membawa kita kepada ketidaksamaan yang salah. Oleh itu, ketaksamaan asal juga adalah palsu, dan $x=-2$ tidak termasuk dalam jawapan.

2. Sekarang biarkan $-2 \lt x \lt 1$. Modul kiri sudah akan dibuka dengan "tambah", tetapi yang kanan masih dengan "tolak". Kami ada:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Sekali lagi kita bersilang dengan keperluan asal:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Dan sekali lagi, set penyelesaian kosong, kerana tiada nombor yang kedua-duanya kurang daripada −2.5 dan lebih besar daripada −2.

2.1. Dan sekali lagi kes khas: $x=1$. Kami menggantikan ke dalam ketidaksamaan asal:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \kiri| 3\kanan| \lt\left| 0 \kanan|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Begitu juga dengan "kes khas" sebelumnya, nombor $x=1$ jelas tidak termasuk dalam jawapan.

3. Bahagian terakhir baris: $x \gt 1$. Di sini semua modul dikembangkan dengan tanda tambah:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Dan sekali lagi kita memotong set yang dijumpai dengan kekangan asal:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \kanan)\]

Akhirnya! Kami telah menemui selang, yang akan menjadi jawapannya.

Jawapan: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Akhir sekali, satu nota yang boleh menyelamatkan anda daripada kesilapan bodoh semasa menyelesaikan masalah sebenar:

Penyelesaian ketaksamaan dengan modul biasanya set berterusan pada garis nombor - selang dan segmen. Titik terpencil adalah lebih jarang berlaku. Dan lebih jarang lagi, ia berlaku bahawa sempadan penyelesaian (hujung segmen) bertepatan dengan sempadan julat yang sedang dipertimbangkan.

Oleh itu, jika sempadan ("kes istimewa") itu tidak disertakan dalam jawapan, maka kawasan di sebelah kiri-kanan sempadan ini hampir pasti tidak akan disertakan dalam jawapan sama ada. Dan sebaliknya: sempadan masuk sebagai tindak balas, yang bermaksud bahawa beberapa kawasan di sekelilingnya juga akan menjadi respons.

Ingat perkara ini apabila anda menyemak penyelesaian anda.

Matematik adalah lambang kebijaksanaan sains,

contoh ketegasan saintifik dan kesederhanaan,

standard kesempurnaan dan keindahan dalam sains.

Ahli falsafah Rusia, profesor A.V. Voloshinov

Ketaksamaan modulo

Masalah yang paling sukar untuk diselesaikan dalam matematik sekolah ialah ketidaksamaan, mengandungi pembolehubah di bawah tanda modul. Untuk berjaya menyelesaikan ketidaksamaan tersebut, adalah perlu untuk mengetahui sifat-sifat modul dengan baik dan mempunyai kemahiran untuk menggunakannya.

Konsep dan sifat asas

Modulus (nilai mutlak) nombor nyata dilambangkan dan ditakrifkan seperti berikut:

Sifat mudah modul termasuk hubungan berikut:

DAN .

Catatan, bahawa dua sifat terakhir dipegang untuk sebarang darjah genap.

Juga, jika , di mana , kemudian dan

Sifat modul yang lebih kompleks, yang boleh digunakan dengan berkesan dalam menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan dengan modul, dirumuskan dengan menggunakan teorem berikut:

Teorem 1.Untuk sebarang fungsi analitik dan ketidaksamaan itu.

Teorem 2. Kesaksamaan adalah bersamaan dengan ketidaksamaan.

Teorem 3. Kesaksamaan adalah bersamaan dengan ketidaksamaan.

Ketaksamaan yang paling biasa dalam matematik sekolah, mengandungi pembolehubah yang tidak diketahui di bawah tanda modulo, adalah ketaksamaan bentuk dan di mana beberapa pemalar positif.

Teorem 4. Ketaksamaan adalah bersamaan dengan ketaksamaan berganda, dan penyelesaian kepada ketidaksamaanmengurangkan untuk menyelesaikan set ketaksamaan dan .

Teorem ini adalah kes tertentu Teorem 6 dan 7.

Ketaksamaan yang lebih kompleks, yang mengandungi modul adalah ketaksamaan bentuk, dan .

Kaedah untuk menyelesaikan ketaksamaan tersebut boleh dirumus menggunakan tiga teorem berikut.

Teorem 5. Ketaksamaan adalah bersamaan dengan gabungan dua sistem ketaksamaan

DAN (1)

Bukti. Sejak itu

Ini membayangkan kesahihan (1).

Teorem 6. Ketaksamaan adalah bersamaan dengan sistem ketaksamaan

Bukti. sebagai , kemudian daripada ketidaksamaan mengikuti itu . Di bawah keadaan ini, ketidaksamaandan dalam kes ini sistem ketaksamaan kedua (1) ternyata tidak konsisten.

Teorem telah terbukti.

Teorem 7. Ketaksamaan adalah bersamaan dengan gabungan satu ketaksamaan dan dua sistem ketaksamaan

DAN (3)

Bukti. Sejak , maka ketidaksamaan sentiasa dilaksanakan, jika .

Biarkan , kemudian ketidaksamaanakan sama dengan ketidaksamaan, daripada mana set dua ketaksamaan berikut dan .

Teorem telah terbukti.

Pertimbangkan contoh tipikal untuk menyelesaikan masalah mengenai topik “Ketaksamaan, mengandungi pembolehubah di bawah tanda modul.

Menyelesaikan ketaksamaan dengan modulus

Kaedah paling mudah untuk menyelesaikan ketaksamaan dengan modulus ialah kaedah, berdasarkan pengembangan modul. Kaedah ini adalah generik, bagaimanapun, dalam kes umum, penggunaannya boleh membawa kepada pengiraan yang sangat rumit. Oleh itu, pelajar juga harus mengetahui kaedah dan teknik lain (lebih cekap) untuk menyelesaikan ketaksamaan tersebut. khususnya, perlu mempunyai kemahiran untuk mengaplikasi teorem, diberikan dalam artikel ini.

Contoh 1Selesaikan ketidaksamaan

. (4)

Keputusan.Ketaksamaan (4) akan diselesaikan dengan kaedah "klasik" - kaedah pengembangan moduli. Untuk tujuan ini, kami memecahkan paksi berangka titik dan selang waktu dan pertimbangkan tiga kes.

1. Jika , maka , , , dan ketaksamaan (4) mengambil bentuk atau .

Oleh kerana kes itu dipertimbangkan di sini, , adalah penyelesaian kepada ketidaksamaan (4).

2. Jika , maka daripada ketaksamaan (4) kita perolehi atau . Sejak persilangan selang dan kosong, maka tiada penyelesaian kepada ketaksamaan (4) pada selang yang dipertimbangkan.

3. Jika , maka ketaksamaan (4) mengambil bentuk atau . Jelas sekali juga merupakan penyelesaian kepada ketidaksamaan (4).

Jawapan: , .

Contoh 2 Selesaikan ketidaksamaan.

Keputusan. Mari kita andaikan bahawa. sebagai , maka ketaksamaan yang diberikan mengambil bentuk atau . Sejak itu dan seterusnya mengikuti atau .

Walau bagaimanapun , oleh itu atau .

Contoh 3 Selesaikan ketidaksamaan

. (5)

Keputusan. sebagai , maka ketaksamaan (5) adalah bersamaan dengan ketaksamaan atau . Dari sini, mengikut Teorem 4, kita mempunyai satu set ketidaksamaan dan .

Jawapan: , .

Contoh 4Selesaikan ketidaksamaan

. (6)

Keputusan. Mari kita nyatakan. Kemudian daripada ketaksamaan (6) kita memperolehi ketaksamaan , , atau .

Dari sini, menggunakan kaedah selang, kita mendapatkan . sebagai , maka di sini kita mempunyai sistem ketidaksamaan

Penyelesaian kepada ketaksamaan pertama sistem (7) ialah penyatuan dua selang dan , dan penyelesaian ketaksamaan kedua ialah ketaksamaan berganda. Ini bermakna, bahawa penyelesaian kepada sistem ketaksamaan (7) ialah gabungan dua selang dan .

Jawapan: ,

Contoh 5Selesaikan ketidaksamaan

. (8)

Keputusan. Kami mengubah ketaksamaan (8) seperti berikut:

Ataupun .

Mengaplikasi kaedah selang, kita memperoleh penyelesaian kepada ketidaksamaan (8).

Jawapan: .

Catatan. Jika kita meletakkan dan dalam keadaan Teorem 5, maka kita memperoleh .

Contoh 6 Selesaikan ketidaksamaan

. (9)

Keputusan. Daripada ketidaksamaan (9) ia berikut. Kami mengubah ketaksamaan (9) seperti berikut:

Ataupun

Sejak , kemudian atau .

Jawapan: .

Contoh 7Selesaikan ketidaksamaan

. (10)

Keputusan. Sejak dan , kemudian atau .

Dalam hubungan ini dan ketaksamaan (10) mengambil bentuk

Ataupun

. (11)

Ia berikutan daripada ini bahawa atau . Oleh kerana , maka ketaksamaan (11) juga membayangkan atau .

Jawapan: .

Catatan. Jika kita menggunakan Teorem 1 pada bahagian kiri ketaksamaan (10), maka kita dapat . Dari sini dan dari ketidaksamaan (10) ia mengikuti, itu atau . sebagai , maka ketaksamaan (10) mengambil bentuk atau .

Contoh 8 Selesaikan ketidaksamaan

. (12)

Keputusan. Sejak itu dan ketaksamaan (12) membayangkan atau . Walau bagaimanapun , oleh itu atau . Dari sini kita dapat atau .

Jawapan: .

Contoh 9 Selesaikan ketidaksamaan

. (13)

Keputusan. Menurut Teorem 7, penyelesaian kepada ketaksamaan (13) ialah atau .

Biar sekarang. Dalam kes ini dan ketaksamaan (13) mengambil bentuk atau .

Jika kita menggabungkan selang dan , maka kita memperoleh penyelesaian kepada ketaksamaan (13) dalam bentuk.

Contoh 10 Selesaikan ketidaksamaan

. (14)

Keputusan. Mari kita tulis semula ketaksamaan (14) dalam bentuk yang setara: . Jika kita menggunakan Teorem 1 di sebelah kiri ketaksamaan ini, maka kita memperoleh ketaksamaan.

Dari sini dan dari Teorem 1 ia mengikuti, bahawa ketidaksamaan (14) berpuas hati untuk sebarang nilai.

Jawapan: sebarang nombor.

Contoh 11. Selesaikan ketidaksamaan

. (15)

Keputusan. Menggunakan Teorem 1 pada bahagian kiri ketaksamaan (15), kita mendapatkan . Dari sini dan daripada ketaksamaan (15) mengikut persamaan, yang kelihatan seperti.

Mengikut Teorem 3, persamaan adalah bersamaan dengan ketidaksamaan. Dari sini kita dapat.

Contoh 12.Selesaikan ketidaksamaan

. (16)

Keputusan. Daripada ketaksamaan (16), mengikut Teorem 4, kita memperoleh sistem ketaksamaan

Apabila menyelesaikan ketaksamaankita menggunakan Teorem 6 dan mendapatkan sistem ketaksamaandaripada yang berikut.

Pertimbangkan ketidaksamaan. Mengikut Teorem 7, kita memperoleh satu set ketaksamaan dan . Ketaksamaan populasi kedua berlaku untuk sebarang keadaan sebenar.

Oleh itu, penyelesaian ketaksamaan (16) ialah.

Contoh 13Selesaikan ketidaksamaan

. (17)

Keputusan. Mengikut Teorem 1, kita boleh menulis

(18)

Dengan mengambil kira ketidaksamaan (17), kami membuat kesimpulan bahawa kedua-dua ketaksamaan (18) bertukar menjadi kesamaan, i.e. terdapat sistem persamaan

Dengan Teorem 3, sistem persamaan ini bersamaan dengan sistem ketaksamaan

atau

Contoh 14Selesaikan ketidaksamaan

. (19)

Keputusan. Sejak itu . Mari kita darabkan kedua-dua bahagian ketaksamaan (19) dengan ungkapan , yang untuk sebarang nilai hanya mengambil nilai positif. Kemudian kita memperoleh ketaksamaan yang bersamaan dengan ketaksamaan (19), dalam bentuk

Dari sini kita dapat atau , di mana . Sejak dan maka penyelesaian kepada ketaksamaan (19) ialah dan .

Jawapan: , .

Untuk kajian yang lebih mendalam tentang kaedah untuk menyelesaikan ketidaksamaan dengan modul, adalah dinasihatkan untuk merujuk kepada tutorial, disenaraikan dalam senarai bacaan yang disyorkan.

1. Pengumpulan tugasan dalam matematik untuk pemohon ke universiti teknikal / Ed. M.I. Scanavi. - M .: Dunia dan Pendidikan, 2013. - 608 p.

2. Suprun V.P. Matematik untuk pelajar sekolah menengah: kaedah untuk menyelesaikan dan membuktikan ketaksamaan. – M.: Lenand / URSS, 2018. - 264 p.

3. Suprun V.P. Matematik untuk pelajar sekolah menengah: kaedah bukan standard untuk menyelesaikan masalah. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 p.

Adakah anda mempunyai sebarang soalan?

Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.

tapak, dengan penyalinan penuh atau separa bahan, pautan ke sumber diperlukan.

Kaedah (peraturan) untuk mendedahkan ketidaksamaan dengan modul terdiri daripada pendedahan berurutan modul, sambil menggunakan selang tanda malar bagi fungsi submodul. Dalam versi akhir, beberapa ketaksamaan diperoleh daripada mana mereka mencari selang atau selang yang memenuhi keadaan masalah.

Mari kita beralih kepada menyelesaikan contoh yang biasa dalam amalan.

Ketaksamaan linear dengan modul

Dengan linear kita maksudkan persamaan di mana pembolehubah memasuki persamaan secara linear.

Contoh 1. Cari penyelesaian kepada ketaksamaan

Keputusan:
Ia berikutan daripada keadaan masalah bahawa modul bertukar menjadi sifar pada x=-1 dan x=-2. Titik ini membahagikan paksi berangka ke dalam selang

Dalam setiap selang ini, kita menyelesaikan ketaksamaan yang diberikan. Untuk melakukan ini, pertama sekali, kami membuat lukisan grafik kawasan tanda malar fungsi submodular. Mereka digambarkan sebagai kawasan dengan tanda-tanda setiap fungsi.

atau selang dengan tanda semua fungsi.

Pada selang pertama, buka modul

Kami mendarab kedua-dua bahagian dengan tolak satu, manakala tanda dalam ketaksamaan akan berubah kepada sebaliknya. Jika sukar untuk anda membiasakan diri dengan peraturan ini, maka anda boleh memindahkan setiap bahagian di luar tanda untuk menghilangkan tolak. Pada akhirnya, anda akan menerima

Persilangan set x>-3 dengan kawasan di mana persamaan telah diselesaikan akan menjadi selang (-3;-2) . Bagi mereka yang lebih mudah mencari penyelesaian secara grafik, anda boleh melukis persimpangan kawasan ini

Persimpangan umum kawasan akan menjadi penyelesaiannya. Dengan ketidaksamaan yang ketat, tepi tidak disertakan. Jika tidak ketat disemak dengan penggantian.

Pada selang kedua, kita dapat

Bahagian tersebut ialah selang (-2; -5/3). Secara grafik, penyelesaiannya akan kelihatan seperti

Pada selang ketiga, kita dapat

Keadaan ini tidak memberikan penyelesaian pada kawasan yang diperlukan.

Memandangkan dua penyelesaian yang ditemui (-3;-2) dan (-2;-5/3) bersempadan dengan titik x=-2 , kami menyemaknya juga.

Oleh itu, titik x=-2 ialah penyelesaiannya. Penyelesaian umum dengan pemikiran ini akan kelihatan seperti (-3;5/3).

Contoh 2. Cari penyelesaian kepada ketaksamaan
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

Keputusan:
Sifar bagi fungsi submodul ialah titik x=2, x=3, x=4 . Apabila nilai argumen kurang daripada titik ini, fungsi submodul adalah negatif, dan apabila nilainya besar, ia positif.

Titik membahagikan paksi sebenar kepada empat selang. Kami membuka modul mengikut selang ketekalan tanda dan menyelesaikan ketaksamaan.

1) Pada selang pertama, semua fungsi submodular adalah negatif, oleh itu, apabila mengembangkan modul, kami menukar tanda ke sebaliknya.

Persilangan nilai x yang ditemui dengan selang yang dipertimbangkan akan menjadi set mata

2) Dalam selang antara titik x=2 dan x=3, fungsi submodul pertama adalah positif, kedua dan ketiga adalah negatif. Memperluas modul, kami dapat

ketaksamaan yang, bersilang dengan selang yang kita selesaikan, memberikan satu penyelesaian - x=3.

3) Dalam selang antara titik x=3 dan x=4, fungsi submodul pertama dan kedua adalah positif, dan yang ketiga adalah negatif. Berdasarkan ini, kita dapat

Keadaan ini menunjukkan bahawa keseluruhan selang akan memenuhi ketaksamaan dengan modul.

4) Untuk nilai x>4, semua fungsi adalah tanda positif. Apabila mengembangkan modul, kami tidak menukar tanda mereka.

Keadaan yang ditemui di persimpangan dengan selang memberikan set penyelesaian berikut

Oleh kerana ketaksamaan diselesaikan pada semua selang, ia kekal untuk mencari nilai sepunya semua nilai x yang ditemui. Penyelesaiannya ialah dua selang

Contoh ini diselesaikan.

Contoh 3. Cari penyelesaian kepada ketaksamaan
||x-1|-5|>3-2x

Keputusan:
Kami mempunyai ketidaksamaan dengan modul daripada modul. Ketaksamaan tersebut didedahkan apabila modul bersarang, bermula dengan modul yang diletakkan lebih dalam.

Fungsi submodul x-1 ditukar kepada sifar pada titik x=1 . Untuk nilai yang lebih kecil melebihi 1 ia adalah negatif dan positif untuk x>1 . Berdasarkan ini, kami membuka modul dalaman dan mempertimbangkan ketidaksamaan pada setiap selang.

Mula-mula pertimbangkan selang dari tolak infiniti kepada satu

Fungsi submodul ialah sifar pada titik x=-4 . Untuk nilai yang lebih kecil ia adalah positif, untuk nilai yang lebih besar ia adalah negatif. Kembangkan modul untuk x<-4:

Di persimpangan dengan kawasan yang kami pertimbangkan, kami memperoleh satu set penyelesaian

Langkah seterusnya ialah mengembangkan modul pada selang (-4; 1)

Dengan mengambil kira kawasan pengembangan modul, kami memperoleh selang penyelesaian

INGAT: jika anda mendapat dua selang yang bersempadan dengan titik biasa dalam penyelewengan sedemikian dengan modul, maka, sebagai peraturan, ini juga merupakan penyelesaian.

Untuk melakukan ini, anda hanya perlu menyemak.

Dalam kes ini, kita menggantikan titik x=-4.

Jadi x=-4 ialah penyelesaiannya.
Kembangkan modul dalam untuk x>1

Fungsi submodul adalah negatif untuk x<6.
Memperluas modul, kami dapat

Keadaan ini dalam bahagian dengan selang (1;6) memberikan satu set penyelesaian kosong.

Untuk x>6 kita mendapat ketaksamaan

Juga menyelesaikan kami mendapat set kosong.
Memandangkan semua perkara di atas, satu-satunya penyelesaian kepada ketidaksamaan dengan modul ialah selang berikut.

Ketaksamaan dengan modul yang mengandungi persamaan kuadratik

Contoh 4. Cari penyelesaian kepada ketaksamaan
|x^2+3x|>=2-x^2

Keputusan:
Fungsi submodul hilang pada titik x=0, x=-3. Dengan penggantian mudah tolak satu

kami menetapkan bahawa ia adalah kurang daripada sifar pada selang (-3; 0) dan positif di luarnya.
Kembangkan modul di kawasan di mana fungsi submodul adalah positif

Ia kekal untuk menentukan kawasan di mana fungsi kuasa dua adalah positif. Untuk melakukan ini, kita menentukan punca-punca persamaan kuadratik

Untuk kemudahan, kami menggantikan titik x=0, yang tergolong dalam selang (-2;1/2). Fungsinya adalah negatif dalam selang ini, jadi penyelesaiannya ialah set x berikut

Di sini, kurungan menunjukkan tepi kawasan dengan penyelesaian; ini dilakukan dengan sengaja, dengan mengambil kira peraturan berikut.

INGAT: Jika ketaksamaan dengan modul, atau ketaksamaan mudah adalah ketat, maka tepi kawasan yang ditemui bukanlah penyelesaian, tetapi jika ketaksamaan tidak ketat (), maka tepi adalah penyelesaian (ditunjukkan oleh kurungan segi empat sama).

Peraturan ini digunakan oleh ramai guru: jika ketaksamaan yang ketat diberikan, dan anda menulis kurungan segi empat sama ([,]) dalam penyelesaian semasa pengiraan, mereka secara automatik akan menganggap ini sebagai jawapan yang salah. Juga, apabila menguji, jika ketidaksamaan yang tidak ketat dengan modul ditentukan, maka antara penyelesaiannya, cari kawasan dengan kurungan persegi.

Pada selang (-3; 0), mengembangkan modul, kami menukar tanda fungsi ke sebaliknya

Dengan mengambil kira skop pendedahan ketidaksamaan, penyelesaiannya akan mempunyai bentuk

Bersama-sama dengan kawasan sebelumnya, ini akan memberikan dua selang separuh

Contoh 5. Cari penyelesaian kepada ketaksamaan
9x^2-|x-3|>=9x-2

Keputusan:
Ketaksamaan tidak ketat diberikan, fungsi submodul yang sama dengan sifar pada titik x=3. Pada nilai yang lebih kecil ia adalah negatif, pada nilai yang lebih besar ia adalah positif. Kami mengembangkan modul pada selang x<3.

Mencari diskriminasi persamaan

dan akar

Menggantikan titik sifar, kita mendapati bahawa pada selang [-1/9; 1] fungsi kuadratik adalah negatif, oleh itu selang adalah penyelesaian. Seterusnya, buka modul untuk x>3

nombor modulo nombor ini sendiri dipanggil jika ia bukan negatif, atau nombor yang sama dengan tanda bertentangan jika ia negatif.

Sebagai contoh, modulus 6 ialah 6, dan modulus -6 juga ialah 6.

Iaitu, modulus nombor difahami sebagai nilai mutlak, nilai mutlak nombor ini tanpa mengambil kira tandanya.

Ditandakan seperti berikut: |6|, | X|, |a| dan lain-lain.

(Untuk butiran lanjut, lihat bahagian "Modul Nombor").

Persamaan Modulo.

Contoh 1 . selesaikan persamaan|10 X - 5| = 15.

Keputusan.

Selaras dengan peraturan, persamaan adalah bersamaan dengan gabungan dua persamaan:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Kami membuat keputusan:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Jawab: X 1 = 2, X 2 = -1.

Contoh 2 . selesaikan persamaan|2 X + 1| = X + 2.

Keputusan.

Oleh kerana modulus ialah nombor bukan negatif, maka X+ 2 ≥ 0. Sehubungan itu:

X ≥ -2.

Kami membuat dua persamaan:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Kami membuat keputusan:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Kedua-dua nombor lebih besar daripada -2. Jadi kedua-duanya adalah punca persamaan.

Jawab: X 1 = -1, X 2 = 1.

Contoh 3 . selesaikan persamaan

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Keputusan.

Persamaan masuk akal jika penyebutnya tidak sama dengan sifar - jadi jika X≠ 1. Mari kita ambil kira syarat ini. Tindakan pertama kami adalah mudah - kami bukan sahaja menyingkirkan pecahan, tetapi kami mengubahnya sedemikian rupa untuk mendapatkan modul dalam bentuk yang paling tulen:

|X+ 3| - 1 = 4 ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

Sekarang kita hanya mempunyai ungkapan di bawah modulus di sebelah kiri persamaan. Teruskan.
Modulus nombor ialah nombor bukan negatif - iaitu, ia mesti lebih besar daripada atau sama dengan sifar. Sehubungan itu, kami menyelesaikan ketidaksamaan:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Oleh itu, kita mempunyai syarat kedua: punca persamaan mestilah sekurang-kurangnya 3/4.

Selaras dengan peraturan, kami menyusun satu set dua persamaan dan menyelesaikannya:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

Kami menerima dua jawapan. Mari kita periksa sama ada ia adalah punca kepada persamaan asal.

Kami mempunyai dua syarat: punca persamaan tidak boleh sama dengan 1, dan ia mestilah sekurang-kurangnya 3/4. i.e X ≠ 1, X≥ 3/4. Kedua-dua syarat ini sepadan dengan hanya satu daripada dua jawapan yang diterima - nombor 2. Oleh itu, hanya ia adalah punca persamaan asal.

Jawab: X = 2.

Ketaksamaan dengan modulus.

Contoh 1 . Selesaikan ketidaksamaan| X - 3| < 4

Keputusan.

Peraturan modul berkata:

|a| = a, jika a ≥ 0.

|a| = -a, jika a < 0.

Modulus boleh mempunyai kedua-dua nombor bukan negatif dan negatif. Jadi kita perlu mempertimbangkan kedua-dua kes: X- 3 ≥ 0 dan X - 3 < 0.

1) Bila X- 3 ≥ 0 ketidaksamaan asal kami kekal seperti sedia ada, hanya tanpa tanda modulo:
X - 3 < 4.

2) Bila X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

Membuka kurungan, kami mendapat:

-X + 3 < 4.

Oleh itu, daripada dua syarat ini, kita telah sampai kepada penyatuan dua sistem ketaksamaan:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Mari kita selesaikan mereka:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Jadi, dalam jawapan kami, kami mempunyai gabungan dua set:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

Tentukan nilai terkecil dan terbesar. Ini ialah -1 dan 7. Pada masa yang sama X lebih besar daripada -1 tetapi kurang daripada 7.
selain itu, X≥ 3. Oleh itu, penyelesaian kepada ketaksamaan ialah keseluruhan set nombor dari -1 hingga 7, tidak termasuk nombor ekstrem ini.

Jawab: -1 < X < 7.

Atau: X ∈ (-1; 7).

Alat tambah.

1) Terdapat cara yang lebih mudah dan lebih pendek untuk menyelesaikan ketidaksamaan kami - grafik. Untuk melakukan ini, lukiskan paksi mendatar (Rajah 1).

Ungkapan | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X kepada titik 3 kurang daripada empat unit. Kami menandakan nombor 3 pada paksi dan mengira 4 bahagian di sebelah kiri dan kanannya. Di sebelah kiri kita akan sampai ke titik -1, di sebelah kanan - ke titik 7. Oleh itu, mata X kami hanya melihat tanpa mengira mereka.

Selain itu, mengikut keadaan ketidaksamaan, -1 dan 7 sendiri tidak termasuk dalam set penyelesaian. Oleh itu, kita mendapat jawapannya:

1 < X < 7.

2) Tetapi ada penyelesaian lain yang lebih mudah daripada cara grafik. Untuk melakukan ini, ketidaksamaan kita mesti dibentangkan dalam bentuk berikut:

4 < X - 3 < 4.

Lagipun, ini adalah bagaimana ia mengikut peraturan modul. Nombor bukan negatif 4 dan nombor negatif serupa -4 ialah sempadan penyelesaian kepada ketaksamaan.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

Contoh 2 . Selesaikan ketidaksamaan| X - 2| ≥ 5

Keputusan.

Contoh ini berbeza dengan ketara daripada yang sebelumnya. Bahagian kiri lebih besar daripada 5 atau sama dengan 5. Dari sudut pandangan geometri, penyelesaian kepada ketaksamaan ialah semua nombor yang berada pada jarak 5 unit atau lebih dari titik 2 (Rajah 2). Graf menunjukkan bahawa ini adalah semua nombor yang kurang daripada atau sama dengan -3 dan lebih besar daripada atau sama dengan 7. Jadi, kami telah menerima jawapannya.

Jawab: -3 ≥ X ≥ 7.

Di sepanjang jalan, kami menyelesaikan ketaksamaan yang sama dengan menyusun semula sebutan bebas ke kiri dan kanan dengan tanda yang bertentangan:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

Jawapannya sama: -3 ≥ X ≥ 7.

Atau: X ∈ [-3; 7]

Contoh diselesaikan.

Contoh 3 . Selesaikan ketidaksamaan 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Keputusan.

Nombor X boleh positif, negatif atau sifar. Oleh itu, kita perlu mengambil kira ketiga-tiga keadaan. Seperti yang anda ketahui, ia diambil kira dalam dua ketidaksamaan: X≥ 0 dan X < 0. При X≥ 0, kami hanya menulis semula ketaksamaan asal kami sebagaimana adanya, hanya tanpa tanda modulo:

6x 2 - X - 2 ≤ 0.

Sekarang untuk kes kedua: jika X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Memperluas kurungan:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Oleh itu, kami telah menerima dua sistem persamaan:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Kita perlu menyelesaikan ketaksamaan dalam sistem - yang bermaksud kita perlu mencari punca dua persamaan kuadratik. Untuk melakukan ini, kita samakan bahagian kiri ketaksamaan kepada sifar.

Mari kita mulakan dengan yang pertama:

6X 2 - X - 2 = 0.

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik - lihat bahagian "Persamaan Kuadrat". Kami akan segera menamakan jawapannya:

X 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3.

Daripada sistem ketaksamaan pertama, kita dapati bahawa penyelesaian kepada ketaksamaan asal ialah keseluruhan set nombor dari -1/2 hingga 2/3. Kami menulis kesatuan penyelesaian untuk X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Sekarang mari kita selesaikan persamaan kuadratik kedua:

6X 2 + X - 2 = 0.

Akarnya:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Kesimpulan: bila X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Mari gabungkan dua jawapan dan dapatkan jawapan akhir: penyelesaiannya ialah seluruh set nombor dari -2/3 hingga 2/3, termasuk nombor ekstrem ini.

Jawab: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

Atau: X ∈ [-2/3; 2/3].