Definisi dan sifat punca darjah ke-n. Akar dan sifatnya

Artikel ini ialah koleksi maklumat terperinci yang berkaitan dengan topik sifat akar. Mempertimbangkan topik, kita akan mulakan dengan sifat, mengkaji semua rumusan dan memberikan bukti. Untuk menyatukan topik, kami akan mempertimbangkan sifat-sifat ijazah ke-n.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sifat Akar

Kita akan bercakap tentang hartanah.

1. Harta benda nombor darab a Dan b, yang diwakili sebagai kesamaan a · b = a · b . Ia boleh diwakili sebagai pengganda, positif atau sama dengan sifar a 1 , a 2 , … , a k sebagai 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k ;
2. daripada persendirian a: b =   a: b, a ≥ 0, b > 0, ia juga boleh ditulis dalam bentuk ini a b = a b ;
3. Harta dari kuasa nombor a dengan eksponen genap a 2 m = a m untuk sebarang nombor a, sebagai contoh, sifat daripada kuasa dua nombor a 2 = a .

Dalam mana-mana persamaan yang dibentangkan, anda boleh menukar bahagian sebelum dan selepas tanda sempang, contohnya, kesamaan a · b = a · b diubah sebagai a · b = a · b . Sifat kesamaan sering digunakan untuk memudahkan persamaan kompleks.

Bukti sifat pertama adalah berdasarkan definisi punca kuasa dua dan sifat kuasa dengan eksponen semula jadi. Untuk mengesahkan sifat ketiga, adalah perlu untuk merujuk kepada definisi modulus nombor.

Pertama sekali, adalah perlu untuk membuktikan sifat punca kuasa dua a · b = a · b . Menurut definisi, adalah perlu untuk mempertimbangkan bahawa a b ialah nombor, positif atau sama dengan sifar, yang akan sama dengan a b semasa pembinaan ke dalam segi empat sama. Nilai ungkapan a · b adalah positif atau sama dengan sifar sebagai hasil darab nombor bukan negatif. Sifat darjah nombor darab membolehkan kita mewakili kesamaan dalam bentuk (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Dengan takrif punca kuasa dua a 2 \u003d a dan b 2 \u003d b, kemudian a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

Dengan cara yang sama, seseorang boleh membuktikannya dari produk k pengganda a 1 , a 2 , … , a k akan sama dengan hasil darab punca kuasa dua faktor ini. Sesungguhnya, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Ia berikutan daripada kesamaan ini bahawa a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Mari lihat beberapa contoh untuk mengukuhkan topik.

Contoh 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5 , 4 , 2 13 1 2 = 4 , 2 13 1 2 dan 2 , 7 4 12 17 0 , 2 (1) = 2 , 7 4 12 17 0 . 2 (1) .

Adalah perlu untuk membuktikan sifat punca kuasa dua aritmetik hasil bagi: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Sifat tersebut membenarkan anda menulis kesamaan a: b 2 = a 2: b 2 , dan a 2: b 2 = a: b , manakala a: b ialah nombor positif atau sama dengan sifar. Ungkapan ini akan menjadi bukti.

Contohnya, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 dan 30, 121 = 30, 121.

Pertimbangkan sifat punca kuasa dua kuasa dua nombor. Ia boleh ditulis sebagai kesamaan sebagai a 2 = a Untuk membuktikan sifat ini, adalah perlu untuk mempertimbangkan secara terperinci beberapa kesamaan untuk a ≥ 0 dan pada a< 0 .

Jelas sekali, untuk ≥ 0, kesamaan a 2 = a adalah benar. Pada a< 0 kesamaan a 2 = - a akan menjadi benar. Sebenarnya, dalam kes ini − a > 0 dan (− a) 2 = a 2 . Kita boleh membuat kesimpulan bahawa a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Mari lihat beberapa contoh.

Contoh 2

5 2 = 5 = 5 dan - 0. 36 2 = - 0. 36 = 0. 36 .

Harta yang terbukti akan membantu untuk mewajarkan 2 m = a m , di mana a- sebenar, dan m-nombor asli. Sesungguhnya, sifat eksponen membolehkan kita menggantikan ijazah a 2 m ungkapan (pagi) 2, maka a 2 · m = (a m) 2 = a m .

Contoh 3

3 8 = 3 4 = 3 4 dan (- 8 , 3) ​​​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​​​7 .

Sifat-sifat akar ke-n

Mula-mula anda perlu mempertimbangkan sifat utama akar darjah ke-n:

1. Harta daripada hasil darab nombor a Dan b, yang positif atau sama dengan sifar, boleh dinyatakan sebagai kesamaan a b n = a n b n , sifat ini sah untuk produk k nombor a 1 , a 2 , … , a k sebagai 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n ;
2. daripada nombor pecahan mempunyai sifat a b n = a n b n , di mana a ialah sebarang nombor nyata yang positif atau sama dengan sifar, dan b ialah nombor nyata positif;
3. Bagi apa apa a dan nombor genap n = 2 m a 2 m 2 m = a adalah benar, dan untuk ganjil n = 2 m − 1 kesamaan a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a dipenuhi.
4. Sifat pengekstrakan daripada a m n = a n m , di mana a- sebarang nombor, positif atau sama dengan sifar, n Dan m adalah nombor asli, sifat ini juga boleh diwakili sebagai . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . nk ;
5. Untuk mana-mana a bukan negatif dan sewenang-wenangnya n Dan m, yang semula jadi, seseorang juga boleh mentakrifkan kesaksamaan saksama a m n · m = a n ;
6. harta ijazah n daripada kuasa nombor a, yang positif atau sama dengan sifar, dalam bentuk m, ditakrifkan oleh kesamaan a m n = a n m ;
7. Perbandingan sifat yang mempunyai eksponen yang sama: untuk sebarang nombor positif a Dan b seperti itu a< b , ketaksamaan a n< b n ;
8. Sifat perbandingan yang mempunyai nombor yang sama di bawah punca: jika m Dan n- nombor asli yang m > n, kemudian pada 0 < a < 1 ketaksamaan a m > a n adalah sah, dan untuk a > 1 a m< a n .

Persamaan di atas adalah sah jika bahagian sebelum dan selepas tanda sama diterbalikkan. Mereka boleh digunakan dalam bentuk ini juga. Ini sering digunakan semasa penyederhanaan atau transformasi ungkapan.

Bukti sifat akar di atas adalah berdasarkan takrifan, sifat darjah, dan takrifan modulus sesuatu nombor. Sifat-sifat ini mesti dibuktikan. Tetapi semuanya teratur.

1. Pertama sekali, kita akan membuktikan sifat punca darjah ke-n daripada hasil darab a · b n = a n · b n . Untuk a Dan b , yang adalah positif atau sifar , nilai a n · b n juga positif atau sama dengan sifar, kerana ia adalah akibat daripada pendaraban nombor bukan negatif. Sifat produk kuasa semula jadi membolehkan kita menulis kesamaan a n · b n n = a n n · b n n . Mengikut definisi akar n darjah ke- a n n = a dan b n n = b , oleh itu, a n · b n n = a · b . Kesaksamaan yang terhasil adalah persis apa yang diperlukan untuk dibuktikan.

Sifat ini terbukti sama untuk produk k faktor: untuk nombor bukan negatif a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

Berikut adalah contoh menggunakan harta akar n kuasa ke daripada hasil: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 dan 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .

1. Mari kita buktikan sifat punca hasil bagi a b n = a n b n . Pada a ≥ 0 Dan b > 0 syarat a n b n ≥ 0 dipenuhi, dan a n b n n = a n n b n n = a b .

Mari tunjukkan contoh:

Contoh 4

8 27 3 = 8 3 27 3 dan 2 , 3 10: 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .

1. Untuk langkah seterusnya, adalah perlu untuk membuktikan sifat-sifat darjah ke-n dari nombor ke darjah n. Kami mewakili ini sebagai kesamaan a 2 m 2 m = a dan 2 m - 1 2 m - 1 = a untuk sebarang nyata a dan semula jadi m. Pada a ≥ 0 kita mendapat a = a dan a 2 m = a 2 m , yang membuktikan kesamaan a 2 m 2 m = a , dan kesamaan a 2 m - 1 2 m - 1 = a adalah jelas. Pada a< 0 kita mendapat masing-masing a = - a dan a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m . Penjelmaan terakhir nombor adalah sah mengikut sifat darjah. Inilah yang membuktikan kesamaan a 2 m 2 m \u003d a, dan 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a akan menjadi benar, kerana - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m dianggap sebagai ganjil ijazah - 1 untuk sebarang nombor c , positif atau sama dengan sifar.

Untuk menyatukan maklumat yang diterima, pertimbangkan beberapa contoh menggunakan harta tersebut:

Contoh 5

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 dan (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .

1. Mari kita buktikan kesamaan berikut a m n = a n · m . Untuk melakukan ini, anda perlu menukar nombor sebelum tanda sama dan selepasnya di tempat a n · m = a m n . Ini akan menunjukkan entri yang betul. Untuk a , yang positif atau sama dengan sifar , daripada bentuk a m ​​n ialah nombor positif atau sama dengan sifar. Marilah kita beralih kepada sifat menaikkan kuasa kepada kuasa dan definisi. Dengan bantuan mereka, anda boleh mengubah kesamaan dalam bentuk a m ​​n n · m = a m n n m = a m m = a . Ini membuktikan sifat dianggap akar daripada akar.

Sifat-sifat lain dibuktikan sama. Sungguh, . . . a n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . nk = . . . a n k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . nk = . . . a nk n 4 n 3 n 3 n 4 . . . nk = . . . = a n k n k = a .

Contohnya, 7 3 5 = 7 5 3 dan 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

1. Mari kita buktikan sifat berikut a m n · m = a n . Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk menunjukkan bahawa a n ialah nombor yang positif atau sama dengan sifar. Apabila dinaikkan kepada kuasa n m ialah a m. Jika nombor a adalah positif atau sifar, maka n ijazah ke- dari kalangan a ialah nombor positif atau sama dengan sifar Selain itu, a n · m n = a n n m , yang perlu dibuktikan.

Untuk menyatukan pengetahuan yang diperoleh, pertimbangkan beberapa contoh.

1. Mari kita buktikan sifat berikut - sifat punca kuasa bentuk a m ​​n = a n m . Ia adalah jelas bahawa pada a ≥ 0 darjah a n m ialah nombor bukan negatif. Lebih-lebih lagi, dia n darjah -th adalah sama dengan a m, sesungguhnya, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Ini membuktikan harta yang dianggap sebagai ijazah.

Contohnya, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

1. Kita perlu membuktikannya untuk sebarang nombor positif a dan b a< b . Pertimbangkan ketaksamaan a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Oleh itu, a n< b n при a< b .

Sebagai contoh, kita berikan 12 4< 15 2 3 4 .

1. Pertimbangkan sifat akar n-ijazah ke-. Pertama, pertimbangkan bahagian pertama ketidaksamaan. Pada m > n Dan 0 < a < 1 benar a m > a n . Katakan a m ≤ a n . Sifat akan memudahkan ungkapan kepada a n m · n ≤ a m m · n . Kemudian, mengikut sifat darjah dengan eksponen semula jadi, ketaksamaan a n m n m n ≤ a m m n m n dipuaskan, iaitu, a n ≤ a m. Nilai yang diperolehi pada m > n Dan 0 < a < 1 tidak sepadan dengan sifat di atas.

Dengan cara yang sama, seseorang boleh membuktikannya m > n Dan a > 1 syarat a m< a n .

Untuk menyatukan sifat di atas, pertimbangkan beberapa contoh khusus. Pertimbangkan ketaksamaan menggunakan nombor tertentu.

Contoh 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Sitbatalova Alma Kaparovna

guru matematik

Lyceum No. 15

Astana

"Berdebat, silap, buat silap, tapi, demi Tuhan, fikirlah, dan, walaupun bengkok, ya sendiri."

G. Kurang.

Untuk membangunkan keupayaan murid sekolah untuk bekerja dengan maklumat, untuk mengajar mereka berfikir secara bebas, untuk dapat bekerja dalam satu pasukan, pelbagai teknologi pedagogi boleh digunakan. Penulis lebih suka bentuk kerja berkumpulan.

Darjah 11

Topik pelajaran: Punca darjah ke-n dan sifat-sifatnya.

Tujuan pelajaran:

Pembentukan pelajar pandangan holistik akarn -ijazah, kemahiran penggunaan secara sedar dan rasional sifat-sifat akar dalam menyelesaikan pelbagai masalah;kefahaman tentang prinsip memudahkan ungkapan yang mengandungi radikal. Untuk menyemak tahap penguasaan soalan topik oleh pelajar.

Objektif pelajaran:

1. Kemas kini pengetahuan dan kemahiran yang diperlukan.Berikan konsep puncandarjah ke-, pertimbangkan sifat-sifatnya.

2. Atur aktiviti mental pelajar untuk menyelesaikan masalah (membina komunikasi yang diperlukan).Menyumbang kepada pembangunan algoritma, pemikiran kreatif, membangunkan kemahiran mengawal diri. Untuk menggalakkan perkembangan minat dalam subjek, aktiviti.

3. Untuk memupuk rasa hormat terhadap pendapat orang lain dan kerja orang lain melalui analisis dan pengagihan mod aktiviti baharu,keupayaan untuk bekerja dalam satu pasukan, untuk menyatakan pendapat sendiri, untuk memberi cadangan.

peralatan:

Komputer, projektor dan skrin untuk menunjukkan persembahan; kad tugas untuk kerja kumpulan; kad dengan jadual untuk menilai tugasan jenis aktiviti baharu; helaian berkembar kosong untuk pelajar melaksanakan kerja bebas pelbagai peringkat; kad dengan tugasan pelbagai peringkat.

Jenis pelajaran:

Gabungan (sistematisasi dan generalisasi, asimilasi pengetahuan baharu, pengesahan dan penilaian pengetahuan).

Bentuk organisasi aktiviti pendidikan :

Individu, polilog, dialog, bekerja dengan teks slaid, buku teks.

Kaedah :

Visual, lisan, grafik, simbolik konvensional, penyelidikan.

Motivasi aktiviti kognitif pelajar:

Beritahu pelajar bahawamengkaji sifat-sifat akarn-ijazah adalah generalisasi sifat-sifat ijazah yang telah diketahui oleh pelajar.

Pelan pembelajaran:

Organisasi dan motivasi ( salam guru , penerimaan topik, tujuan pelajaran , meletakkan ke dalam kerja ).

Kemas kini pengetahuan (sistematisasi dan generalisasi, asimilasi pengetahuan baru).

Aplikasi yang dipelajari ( mewujudkan ketepatan dan kesedaran tentang asimilasi bahan pendidikan baharu; mengenal pasti jurang dan salah tanggapan dan membetulkannya).

Kawalan dan kawalan diri (Semakan pengetahuan).

Refleksi (Penggerakan pelajar untuk merenung tingkah laku mereka (motivasi, kaedah aktiviti, komunikasi).

Merumuskan (Berikan analisis dan penilaian tentang kejayaan mencapai matlamat dan gariskan prospek kerja masa hadapan).

Kerja rumah (Memastikan kefahaman tentang tujuan, kandungan dan kaedah membuat kerja rumah).

Semasa kelas:

Organisasi dan motivasi ( salam guru , penerimaan topik, tujuan pelajaran, penyertaan dalam kerja, 1-2 min ). Salam pelajar, topik mesej "Rootn- darjah ke- dan sifat-sifatnya", mesej tujuan dan kaedah aktiviti.

Kemas kini pengetahuan (sistematisasi dan generalisasi, asimilasi pengetahuan baharu, 15 min).

Pengulangan pengetahuan asas (sistematisasi dan generalisasi):

Kelas dibahagikan kepada tiga kumpulan.

Aktiviti guru: bertanya soalan:

Takrif punca kuasa dua aritmetik.

Sifat punca kuasa dua aritmetik.

Sifat ijazah dengan eksponen semula jadi.

Tulis sifat pada helaian,

,

Jawab soalan,

Melaksanakan tugas.

Asimilasi pengetahuan baru:

Aktiviti guru: Konsep baru diperkenalkan:

DEFINISI. akarn -ijazah ke- dari kalangana nombor itu dipanggiln -darjah ke- yang sama dengana .

DEFINISI. punca aritmetikn -ijazah ke- dari kalangantetapi hubungi nombor bukan negatif,n -darjah ke- yang sama dengana .

Sifat asas akar aritmetikn -ijazah ke-.

Malahn terdapat dua akarn -darjah ke- dari sebarang nombor positifa , akarn -darjah nombor 0 adalah sama dengan stereng, punca darjah genap nombor negatif tidak wujud. Untuk ganjilnada akarn -noy daripada sebarang nombora dan hanya satu.

Untuk sebarang nombor persamaan dipenuhi:

1) ; 3) ;

2) 4) ;

5) ; 6) .

Contoh dengan tugasan diberikan pada slaid:

Aktiviti murid dalam kumpulan:

Sifat tulis sendiri pada helaian,

Semak ketepatan slaid,

Jawab soalan,

Melaksanakan tugas.

Aplikasi yang dipelajari ( mewujudkan ketepatan dan kesedaran tentang asimilasi bahan pendidikan baharu; mengenal pasti jurang dan salah tanggapan dan membetulkannya, 15 min).

Aktiviti guru: Memberi ulasan tentang langkah seterusnya:

Bekerja dalam kumpulan mengikut peringkat,

Sebelum setiap kumpulan terdapat helaian dengan tugas yang sama, tetapi dengan keadaan yang berbeza (pada slaid "Permudahkan ungkapan"):

- Peringkat 1 "Penjanaan idea".

1 pentas:

Letakkan nombor 1.

Tulis susunan tindakan yang dijangkakan yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas.

Mengetuai aktiviti kumpulan (untuk mencapai penyertaan semua pelajar dalam kerja).

- Peringkat 2 "Analisis idea".

Kenalan dengan arahan aktiviti pada slaid:

Pentas:

Letakkan nombor 2.

Selesaikan tugas mengikut algoritma yang dicadangkan, perbaikinya jika perlu.

Buat dan tulis kesimpulan sama ada boleh menyelesaikan tugas mengikut algoritma yang dicadangkan.

Pengurusan kumpulan.

- Peringkat 3 "Kepakaran".

:

Pentas:

Letakkan nombor 3.

Semak ketepatan tugas, mengikut algoritma.

Buat dan tuliskan kesimpulan sama ada mungkin untuk mengarang algoritma yang diperlukan, dan menyelesaikan tugas dengan betul.

- Peringkat 4 "Pembentangan keputusan".

Berkenalan dengan arahan aktiviti pada slaid:

Pentas:

Menilai prestasi semua kumpulan pada setiap peringkat.

Pilih secara individu peringkat di mana ia lebih mudah untuk bekerja, dan peringkat di mana kesukaran timbul.

Aktiviti murid dalam kumpulan:

pada peringkat 1:menganalisis tugasan, melakukan tindakan yang perlu,

pada peringkat 2:menganalisis algoritma yang dicadangkan oleh kumpulan lain, diperlu, buat pelarasanmelaksanakan tugasan,

pada peringkat 3: menganalisis kerjakumpulan terdahulu, buat kesimpulan,

pada peringkat 4:menganalisis kesimpulan, semak ketepatan penyelesaian dengan jawapan pada slaid, mengisi kad dengan jadual, memilih peranan di mana mereka lebih berjaya.

Minit kesihatan (gimnastik untuk mata).

Kawalan dan kawalan diri (Ujian pengetahuan, 7 min).

Aktiviti guru: Memberi arahan untuk melakukan kerja bebas:

Semua pelajar menyelesaikan tugasan tahap 1 (pada "3") tugasan pada kad slaid:

Kerja bebas. Darjah "3".

saya pilihan.

tetapi)

b)

2). Bandingkan nombor:

II pilihan.

satu). Cari nilai ungkapan berangka:

tetapi)

b)

2). Bandingkan nombor:

:

Kerja bebas. Darjah "3".

Jawapan :

saya pilihan

satu). a) 11

b) 15

2). <

II pilihan

satu). a) 7

b) 15

2. >

3. Siapakah yang menyelesaikan tugasan tahap 1?

4. Pelajar yang mengatasi tahap 1 pergi ke tugasan tahap 2 (hingga "4"), mereka yang tidak mengatasinya kekal di tahap 1 tugasan pada slaid, pada kad:

Kerja bebas.

Darjah "3".

satu). Cari nilai ungkapan berangka:

tetapi)

b)

2). Bandingkan nombor:

Penilaian "4".

satu). Selesaikan persamaan:

tetapi)

b)

2). Permudahkan ungkapan:

Menyemak sendiri jawapan pada slaid:

Kerja bebas.

Jawapan :

Darjah "3".

satu). a) 13

b) 6

2). <

Penilaian "4".

satu). tetapi)

b)

2). 2a

6. Siapa yang berpindah ke tingkatan 3?

Siapa yang tinggal di tahap 2?

Siapa yang berpindah ke tingkatan 2?

Siapa yang kekal di tahap 1?

7. Pelajar yang menerima "4" melaksanakan tugasan tahap 3 (untuk "5").

Pelajar yang tidak menerima "4" dan mengatasi tahap 1 menyelesaikan tugasan tahap 2.

Pelajar yang tidak menerima "3" tugasan lengkap tahap 1 tugasan pada kad pada slaid:

Kerja bebas.

Penilaian "4".

Penilaian "5".

Dinilai "4"?

Penilaian "3"?

10. Siapa yang tidak menghadapi tugasan tahap 1?

Aktiviti murid dalam kumpulan:

Melaksanakan tugas.

Lakukan ujian kendiri, gred "3" jika semua tugasan selesai.

Bentangkan hasil.

Melaksanakan tugas.

Lakukan ujian kendiri: letakkan "3" jika semua tugasan tahap 1 selesai; letakkan "4" jika 2 daripada 3 tugasan tahap 2 selesai.

Bentangkan hasil.

Melaksanakan tugas.

Lakukan ujian kendiri: letakkan "3" jika semua tugasan tahap 1 selesai; letakkan "4" jika 2 tugasan tahap 2 selesai; tandakan "5" jika sekurang-kurangnya 1 daripada 2 tugasan selesai.

Bentangkan hasil.

Refleksi (Penggerakan pelajar untuk merenung tingkah laku mereka (motivasi, kaedah aktiviti, komunikasi, 3 min).

Aktiviti guru: Memberi ulasan tentang menulis "Sinkwine", arahan pada slaid:

Sincwine.

1 baris - topik atau subjek diisytiharkan (satu kata nama);

2 baris - perihalan subjek (dua kata sifat atau participles);

3 baris - tindakan subjek dicirikan (tiga kata kerja);

4 baris - ungkapan sikap pengarang terhadap subjek (empat perkataan);

Baris 5 - sinonim yang menyamaratakan atau memperluaskan maksud subjek (satu perkataan).

Aktiviti murid dalam kumpulan:

Berkenalan dengan algoritma untuk menulis Sinkwine,

Mereka menulis Sinkwine pada helaian dengan kerja bebas,

Sesuka hati, baca Cinquain,

Serahkan helaian untuk semakan.

Merumuskan (Berikan analisis dan penilaian tentang kejayaan mencapai matlamat dan gariskan prospek kerja masa depan, 1-2 min).

Aktiviti guru: Analisis penilaian prestasi pada peringkat pelajaran yang berbeza: Mengapa lebih mudah (lebih sukar) untuk anda dalam peranan tertentu? Hasil kerja setiap pelajar dinilai.

Aktiviti murid dalam kumpulan: jawab soalan itu.

Kerja rumah (Memastikan pemahaman tentang tujuan, kandungan dan kaedah membuat kerja rumah, 1-2 min).

Aktiviti guru: Memberi arahan untuk membuat kerja rumah:(A. Abylkasymova, Matematik Semula Jadi, cth.)
§ 5, no. 83 (2; 4), no. 84 (2; 3), no. 86, 87 (3; 4), no. 89.

‹ ›

Untuk memuat turun bahan, masukkan E-mel anda, nyatakan siapa anda, dan klik butang

Untuk berjaya menggunakan operasi mengekstrak akar dalam amalan, anda perlu membiasakan diri dengan sifat-sifat operasi ini.
Semua sifat dirumus dan dibuktikan hanya untuk nilai bukan negatif pembolehubah yang terkandung di bawah tanda akar.

Teorem 1. Punca ke-n (n=2, 3, 4,...) hasil darab dua set cip bukan negatif adalah sama dengan hasil darab punca ke-n nombor ini:

Ulasan:

1. Teorem 1 kekal sah untuk kes apabila ungkapan radikal adalah hasil darab lebih daripada dua nombor bukan negatif.

Teorem 2.Jika, dan n ialah nombor asli lebih besar daripada 1, maka kesamaan

Teorem 1 membolehkan kita mendarab m hanya akar darjat yang sama , iaitu hanya punca dengan eksponen yang sama.

Teorem 3. Jika ,k ialah nombor asli dan n ialah nombor asli lebih besar daripada 1, maka kesamaan

Dalam erti kata lain, untuk menaikkan akar kepada kuasa semula jadi, sudah cukup untuk menaikkan ungkapan akar kepada kuasa ini.
Ini adalah akibat Teorem 1. Sesungguhnya, sebagai contoh, untuk k = 3 kita dapat

Teorem 4. Jika ,k, n ialah nombor asli lebih besar daripada 1, maka kesamaan

Dalam erti kata lain, untuk mengekstrak akar daripada akar, ia cukup untuk mendarabkan eksponen akar.
Sebagai contoh,

Berhati-hati! Kami mengetahui bahawa empat operasi boleh dilakukan pada punca: pendaraban, pembahagian, eksponen dan pengekstrakan punca (daripada punca). Tetapi bagaimana dengan penambahan dan penolakan akar? tak boleh.
Sebagai contoh, anda tidak boleh menulis dan bukannya Memang, Tetapi jelas sekali

Teorem 5. Jika darab atau bahagikan penunjuk punca dan ungkapan akar dengan nombor asli yang sama, maka nilai punca tidak akan berubah, i.e.

Contoh penyelesaian masalah

Contoh 2 Kira
Penyelesaian. Tukar nombor bercampur kepada pecahan tak wajar.
Kami telah Menggunakan sifat kedua akar ( teorem 2 ), kita mendapatkan:

Contoh 3 Kira:

Penyelesaian. Sebarang formula dalam algebra, seperti yang anda sedia maklum, digunakan bukan sahaja "dari kiri ke kanan", tetapi juga "dari kanan ke kiri". Jadi, sifat pertama akar bermakna ia boleh diwakili sebagai dan, sebaliknya, boleh digantikan dengan ungkapan. Perkara yang sama berlaku untuk sifat kedua akar. Dengan ini, mari kita lakukan pengiraan.

• Punca aritmetik darjah asli n>=2 daripada nombor bukan negatif a ialah beberapa nombor bukan negatif, apabila dinaikkan kepada kuasa n, nombor a diperoleh.

Ia boleh dibuktikan bahawa untuk mana-mana a bukan negatif dan n asli, persamaan x^n=a akan mempunyai satu punca bukan negatif tunggal. Punca inilah yang dipanggil punca aritmetik darjah ke-n daripada nombor a.

Punca aritmetik darjah ke-n daripada nombor a dilambangkan seperti berikut n√a. Nombor a dalam kes ini dipanggil ungkapan akar.

Punca aritmetik darjah kedua dipanggil punca kuasa dua, dan punca aritmetik darjah ketiga dipanggil punca kubus.

Sifat asas punca aritmetik darjah ke-n

• 1. (n√a)^n = a.

Contohnya, (5√2)^5 = 2.

Sifat ini mengikuti terus daripada takrif punca aritmetik darjah ke-n.

Jika a lebih besar daripada atau sama dengan sifar, b lebih besar daripada sifar, dan n, m ialah beberapa nombor asli yang n lebih besar daripada atau sama dengan 2 dan m lebih besar daripada atau sama dengan 2, maka sifat berikut adalah benar :

• 2. n√(a*b)= n√a*n√b.

Contohnya, 4√27 * 4√3 = 4√(27*3) = 4√81 =4√(3^4) = 3.

• 3. n√(a/b) = (n√a)/(n√b).

Contohnya, 3√(256/625) :3√(4/5) = 3√((256/625) : (4/5)) = (3√(64))/(3√(125)) = 4/5.

• 4. (n√a)^m = n√(a^m).

Contohnya, 7√(5^21) = 7√((5^7)^3)) = (7√(5^7))^3 = 5^3 = 125.

• 5. m√(n√a) = (n*m) √a.

Contohnya, 3√(4√4096) = 12√4096 = 12√(2^12) = 2.

Ambil perhatian bahawa dalam sifat 2, nombor b boleh sama dengan sifar, dan dalam sifat 4, nombor m boleh menjadi sebarang integer, dengan syarat a>0.

Bukti harta kedua

Kesemua empat sifat terakhir dibuktikan sama, jadi kami mengehadkan diri kami untuk membuktikan hanya yang kedua: n√(a*b)= n√a*n√b.

Dengan menggunakan takrif punca aritmetik, kita buktikan bahawa n√(a*b)= n√a*n√b.

Untuk melakukan ini, kami membuktikan dua fakta bahawa n√a*n√b. Lebih besar daripada atau sama dengan sifar, dan itu (n√a*n√b.)^n = ab.

• 1. n√a*n√b lebih besar daripada atau sama dengan sifar, kerana kedua-dua a dan b lebih besar daripada atau sama dengan sifar.
• 2. (n√a*n√b)^n = a*b sejak (n√a*n√b)^n = (n√a)^n *(n√b)^n = a* b.

Q.E.D. Jadi harta itu benar. Sifat ini selalunya perlu digunakan apabila memudahkan ungkapan yang mengandungi punca aritmetik.

Video pelajaran 2: Sifat akar darjah n > 1

Syarahan: Punca darjah n > 1 dan sifatnya

akar

Katakan anda mempunyai persamaan seperti:

Penyelesaian kepada persamaan ini ialah x 1 \u003d 2 dan x 2 \u003d (-2). Kedua-dua penyelesaian sesuai sebagai jawapan, kerana nombor dengan modul yang sama, apabila dinaikkan kepada kuasa genap, memberikan hasil yang sama.

Ini adalah contoh mudah, bagaimanapun, apa yang boleh kita lakukan jika, sebagai contoh,

Mari cuba graf fungsi y=x 2 . Grafnya ialah parabola:

Pada graf, anda perlu mencari titik yang sepadan dengan nilai y \u003d 3. Titik ini ialah:

Ini bermakna bahawa nilai ini tidak boleh dipanggil integer, tetapi boleh diwakili sebagai punca kuasa dua.

Mana-mana akar adalah nombor tak rasional. Nombor tak rasional termasuk punca, pecahan tak terhingga bukan berkala.

Punca kuasa dua ialah nombor bukan negatif "a", ungkapan radikalnya adalah sama dengan nombor yang diberi kuasa dua "a".

Sebagai contoh,

Iaitu, akibatnya, kita hanya akan mendapat nilai positif. Walau bagaimanapun, sebagai penyelesaian kepada persamaan kuadratik bentuk

Penyelesaiannya ialah x 1 = 4, x 2 = (-4).

Sifat akar kuasa dua

1. Walau apa pun nilai yang diambil oleh x, ungkapan ini adalah benar dalam apa jua keadaan:

2. Perbandingan nombor yang mengandungi punca kuasa dua. Untuk membandingkan nombor ini, adalah perlu untuk memasukkan kedua-dua satu dan nombor kedua di bawah tanda akar. Jumlah itu akan lebih besar yang ekspresi radikalnya lebih besar.

Kami memasukkan nombor 2 di bawah tanda akar

Sekarang mari letakkan nombor 4 di bawah tanda akar. Hasil daripada ini, kita dapat

Dan hanya sekarang dua ungkapan yang terhasil boleh dibandingkan:

3. Mengeluarkan pengganda dari bawah akar.

Jika ungkapan radikal boleh diuraikan kepada dua faktor, satu daripadanya boleh diambil daripada subtanda akar, maka peraturan ini mesti digunakan.

4. Terdapat sifat songsang untuk ini - memperkenalkan pengganda di bawah akar. Kami jelas menggunakan harta ini dalam harta kedua.