Kaedah bukan piawai untuk menyelesaikan persamaan. Kaedah bukan piawai untuk menyelesaikan ketaksamaan dan persamaan tidak rasional

Topik: "Kaedah bukan piawai untuk menyelesaikan persamaan"

Sasaran: pertimbangkan beberapa kaedah untuk menyelesaikan persamaan yang membolehkan pelajar bersedia untuk menyelesaikan masalah peperiksaan akhir.

Semasa kelas.

1. Kajian bahan teori.

KAEDAH PEMILIHAN AKAR .

Persamaan seperti https://pandia.ru/text/78/386/images/image002_13.png" width="47" height="29 src=">.png" width="143" height="29 src=" >persamaan rasional darjah ke-n.

1) Jika integer N ialah punca.png" width="22" height="29 src=">.png" width="22" height="29 src=">.png" width="10" tinggi = "40 src=">.png" width="52" height="29 src=">.png" width="23" height="29 src=">.png" width="260" height=" 30 src="> .

Penyelesaian. Dalam kes yang sedang dipertimbangkan https://pandia.ru/text/78/386/images/image015_5.png" width="252" height="29 src=">

Jadi pecahan tak boleh dikurangkan https://pandia.ru/text/78/386/images/image017_5.png" width="69" height="40 src="> ; https://pandia.ru/text/78/386/images/image019_4.png" height="40 src="> ialah penyelesaian rasional kepada persamaan asal.

Contoh 2. Cari punca integer bagi polinomialf(x)= https://pandia.ru/text/78/386/images/image021_1.png" width="143" height="29 src="> Menggantikan nombor yang diperoleh ke dalam polinomial asal, kita boleh memastikan bahawa nombor 1, 2, -2 ialah punca polinomial.

5) Polinomial ialah fungsi berterusan, jadi jika terdapat sekurang-kurangnya satu punca ini di hujung https://pandia.ru/text/78/386/images/image023_1.png" polinomial.

Contoh 3. Cari sekurang-kurangnya satu punca integer bagi polinomialf(x)= https://pandia.ru/text/78/386/images/image025_2.png" width="336" height="29 src="> Oleh itu, sekurang-kurangnya satu akar terletak pada selang https://pandia.ru/text/78/386/images/image027_0.png" width="358" height="241 src=">

Oleh itu, polinomial asal boleh ditulis sebagai: 2https://pandia.ru/text/78/386/images/image029_1.png" width="214" height="29 src=">

Penyelesaian. Pekali utama ialah 1, dan sebutan bebas mempunyai pembahagi 1,2,8,16, oleh itu, persamaan ini mempunyai punca rasional, maka punca ini sudah tentu integer dan merupakan antara nombor jika https://pandia.ru/text /78/386/ images/image031_0.png" width="16" height="29 src=">16..png" width="324" height="243 src=">

Oleh itu, https://pandia.ru/text/78/386/images/image035_1.png" width="569" height="64 src=">

Tugas untuk penyelesaian bebas.

1..png" width="265" height="29 src=">

3..png" width="89" height="29 src=">+10x+24=0;

5..png" width="109" height="29 src=">.png" width="83" height="29 src=">.png" width="72" height="29 src="> .png" width="22" height="29 src=">.png" width="212" height="29 src=">.png" width="154" height="29 src=">.png " width="288" height="29 src=">+-https://pandia.ru/text/78/386/images/image055_1.png" width="624" height="58">

Polinomial ini mestilah sama dengan polinomial asal, yang mungkin jika pekali kuasa yang sepadan adalah sama.

2https://pandia.ru/text/78/386/images/image057_1.png" width="302" height="29 src=">.png" width="570" height="130 src="> =1.

Oleh itu, polinomial asal boleh ditulis sebagai:

2https://pandia.ru/text/78/386/images/image061_1.png" width="159" height="29 src=">

Contoh1..png" width="286" height="25 src=">.png" width="146" height="25 src=">.png" width="149" height="103 src="> .png" width="82" height="29 src=">.png" width="165" height="50 src=">.png" width="61" height="29 src=">.

Ahli filologi Rusia Dmitry Nikolaevich Ushakov dalam kamus penjelasannya memberikan definisi konsep "kaedah" - cara, kaedah, kaedah penyelidikan teori atau pelaksanaan praktikal sesuatu (D. N. Ushakov, 2000).

Apakah kaedah pengajaran menyelesaikan masalah dalam matematik, yang pada masa ini kami anggap tidak standard? Malangnya, tiada siapa yang menghasilkan resipi universal, memandangkan keunikan tugas-tugas ini. Sesetengah guru berlatih dalam latihan templat. Ini berlaku seperti berikut: guru menunjukkan cara untuk menyelesaikan, dan kemudian pelajar mengulanginya apabila menyelesaikan masalah berkali-kali. Pada masa yang sama, minat pelajar terhadap matematik semakin terbunuh, sekurang-kurangnya menyedihkan.

Dalam matematik, tiada peraturan am yang membenarkan menyelesaikan sebarang masalah bukan piawai, kerana masalah tersebut sedikit sebanyak unik. Tugas yang tidak standard dalam kebanyakan kes dianggap sebagai "cabaran kepada intelek, dan menimbulkan keperluan untuk menyedari diri sendiri dalam mengatasi halangan, dalam membangunkan kebolehan kreatif" .

Pertimbangkan beberapa kaedah untuk menyelesaikan masalah bukan standard:

• · algebra;
• · aritmetik;
• kaedah penghitungan;
• kaedah penaakulan;
• praktikal;
• kaedah meneka.

Kaedah Algebra penyelesaian masalah mengembangkan kebolehan kreatif, kebolehan untuk membuat generalisasi, membentuk pemikiran abstrak dan mempunyai kelebihan seperti kependekan penulisan dan penaakulan semasa merangka persamaan, menjimatkan masa.

Untuk menyelesaikan masalah dengan kaedah algebra, adalah perlu:

• · untuk menganalisis masalah untuk memilih yang tidak diketahui utama dan mengenal pasti hubungan antara kuantiti, serta ungkapan kebergantungan ini dalam bahasa matematik dalam bentuk dua ungkapan algebra;
• cari asas untuk menyambungkan ungkapan ini dengan tanda "=" dan buat persamaan;
• cari penyelesaian kepada persamaan yang terhasil, susun semak penyelesaian persamaan itu.

Semua peringkat penyelesaian masalah ini secara logiknya saling berkaitan. Sebagai contoh, kami menyebut pencarian asas untuk menghubungkan dua ungkapan algebra dengan tanda yang sama sebagai peringkat khas, tetapi jelas bahawa pada peringkat sebelumnya, ungkapan ini tidak dibentuk secara sewenang-wenangnya, tetapi mengambil kira kemungkinan menghubungkannya. dengan tanda “=”.

Kedua-dua pengenalpastian kebergantungan antara kuantiti dan terjemahan kebergantungan ini ke dalam bahasa matematik memerlukan aktiviti mental analitikal dan sintetik yang sengit. Kejayaan dalam aktiviti ini bergantung, khususnya, pada sama ada pelajar tahu apakah hubungan kuantiti ini secara umum, dan sama ada mereka memahami maksud sebenar hubungan ini (contohnya, hubungan yang dinyatakan dengan istilah "kemudian oleh ...", " lebih tua dengan ... kali " dsb.). Selanjutnya, pemahaman diperlukan tentang jenis tindakan matematik atau, sifat tindakan itu, atau hubungan (pergantungan) antara komponen dan hasil tindakan, ini atau hubungan tertentu yang boleh diterangkan.

Mari kita berikan contoh menyelesaikan masalah bukan piawai dengan kaedah algebra.

Satu tugas. Nelayan itu menangkap seekor ikan. Apabila ditanya: "Berapa jisimnya?", Baginda menjawab: "Jisim ekor ialah 1 kg, jisim kepala sama dengan jisim ekor dan separuh badan. Dan jisim badan adalah sama dengan jisim kepala dan ekor bersama-sama. Berapakah jisim ikan itu?

Biarkan x kg ialah jisim badan; maka (1+1/2x) kg ialah jisim kepala. Oleh kerana, dengan syarat, jisim badan adalah sama dengan jumlah jisim kepala dan ekor, kami menyusun dan menyelesaikan persamaan:

x = 1 + 1/2x + 1,

4 kg ialah jisim badan, maka 1+1/2 4=3 (kg) ialah jisim kepala dan 3+4+1=8 (kg) ialah jisim keseluruhan ikan;

Jawapan: 8 kg.

Kaedah Aritmetik penyelesaian juga memerlukan banyak tekanan mental, yang mempunyai kesan positif terhadap perkembangan kebolehan mental, intuisi matematik, pada pembentukan keupayaan untuk meramalkan situasi kehidupan sebenar.

Pertimbangkan contoh penyelesaian masalah bukan piawai dengan kaedah aritmetik:

Satu tugas. Dua orang nelayan ditanya, "Berapa banyak ikan dalam bakul kamu?"

"Dalam bakul saya ada separuh daripada apa yang dia ada dalam bakul, dan 10 lagi," jawab yang pertama. "Dan saya mempunyai seberapa banyak dalam bakul saya seperti yang dia ada, malah 20," yang kedua mengira. Kami mengira, dan kini anda mengira.

Mari bina gambar rajah untuk masalah tersebut. Biarkan bahagian pertama rajah menunjukkan bilangan ikan yang dimiliki oleh nelayan pertama. Segmen kedua menunjukkan bilangan ikan daripada nelayan kedua.

Disebabkan fakta bahawa seseorang moden perlu mempunyai idea tentang kaedah utama analisis data dan corak kebarangkalian yang memainkan peranan penting dalam sains, teknologi dan ekonomi, unsur-unsur kombinatorik, teori kebarangkalian dan statistik matematik diperkenalkan. ke dalam kursus matematik sekolah, yang mudah difahami menggunakan kaedah penghitungan.

Kemasukan masalah kombinatorial dalam kursus matematik memberi kesan positif kepada perkembangan murid sekolah. “Pembelajaran yang disasarkan untuk menyelesaikan masalah kombinatorial menyumbang kepada pembangunan kualiti pemikiran matematik seperti kebolehubahan. Di bawah kebolehubahan pemikiran, kami maksudkan arah aktiviti mental pelajar untuk mencari pelbagai penyelesaian kepada masalah dalam kes apabila tiada arahan khas untuk ini.

Masalah kombinatorial boleh diselesaikan dengan pelbagai kaedah. Secara konvensional, kaedah ini boleh dibahagikan kepada "formal" dan "informal". Dengan kaedah penyelesaian "formal", anda perlu menentukan sifat pilihan, pilih formula yang sesuai atau peraturan gabungan (terdapat peraturan jumlah dan produk), nombor ganti dan hitung hasilnya. Hasilnya ialah bilangan pilihan yang mungkin, tetapi pilihan itu sendiri tidak terbentuk dalam kes ini.

Dengan kaedah penyelesaian "tidak formal", proses menyusun pelbagai pilihan menjadi perhatian. Dan perkara utama bukanlah berapa banyak, tetapi pilihan apa yang boleh diperolehi. Kaedah sedemikian termasuk kaedah penghitungan. Kaedah ini tersedia walaupun kepada pelajar yang lebih muda, dan membolehkan anda memperoleh pengalaman dalam penyelesaian praktikal masalah gabungan, yang berfungsi sebagai asas untuk pengenalan prinsip dan formula gabungan pada masa hadapan. Di samping itu, dalam kehidupan seseorang bukan sahaja perlu menentukan bilangan pilihan yang mungkin, tetapi juga secara langsung menyusun semua pilihan ini, dan, setelah menguasai kaedah penghitungan sistematik, ini boleh dilakukan dengan lebih rasional.

Tugas dibahagikan kepada tiga kumpulan mengikut kerumitan penghitungan:

• satu. Tugas di mana anda perlu membuat penghitungan lengkap semua pilihan yang mungkin.
• 2. Tugas yang tidak praktikal untuk menggunakan teknik penghitungan penuh dan anda perlu segera mengecualikan beberapa pilihan tanpa mempertimbangkannya (iaitu, untuk menjalankan penghitungan yang disingkatkan).
• 3. Tugas di mana operasi penghitungan dilakukan beberapa kali dan berkaitan dengan pelbagai jenis objek.

Berikut ialah contoh tugasan yang berkaitan:

Satu tugas. Meletakkan tanda "+" dan "-" di antara nombor yang diberi 9 ... 2 ... 4, buat semua ungkapan yang mungkin.

Terdapat senarai penuh pilihan:

• a) dua aksara dalam ungkapan boleh sama, maka kita dapat:
  • 9 + 2 + 4 atau 9 - 2 - 4;
• b) dua tanda boleh berbeza, maka kita dapat:
  • 9 + 2 - 4 atau 9 - 2 + 4.

Satu tugas. Guru mengatakan bahawa dia melukis 4 angka berturut-turut: segi empat sama besar dan kecil, bulatan besar dan kecil supaya bulatan berada di tempat pertama dan angka bentuk yang sama tidak bersebelahan, dan menjemput pelajar meneka urutan di mana angka-angka ini disusun.

Terdapat 24 susunan berbeza dari angka ini secara keseluruhan. Dan tidak dinasihatkan untuk mengarang semuanya, dan kemudian memilih yang sesuai dengan syarat ini, oleh itu, penghitungan yang disingkatkan dijalankan.

Bulatan besar boleh di tempat pertama, kemudian yang kecil hanya boleh di tempat ketiga, manakala petak besar dan kecil boleh diletakkan dalam dua cara - di tempat kedua dan keempat.

Penaakulan yang sama dilakukan jika tempat pertama adalah bulatan kecil, dan dua pilihan juga disusun.

Satu tugas. Tiga rakan kongsi firma yang sama menyimpan sekuriti dalam peti besi dengan 3 kunci. Para sahabat ingin mengagihkan kunci kunci sesama mereka supaya peti besi hanya boleh dibuka dengan kehadiran sekurang-kurangnya dua orang sahabat, tetapi tidak seorang. Bagaimana saya boleh melakukannya?

Pertama, semua kemungkinan kes pengedaran kunci dihitung. Setiap teman boleh diberikan satu kunci, atau dua kunci berbeza, atau tiga.

Mari kita anggap bahawa setiap pasangan mempunyai tiga kunci yang berbeza. Kemudian peti besi boleh dibuka oleh seorang sahabat, dan ini tidak memenuhi syarat.

Mari kita anggap bahawa setiap pasangan mempunyai satu kunci. Kemudian jika dua daripada mereka datang, mereka tidak akan dapat membuka peti besi.

Mari berikan setiap pasangan dua kunci yang berbeza. Yang pertama - 1 dan 2 kekunci, yang kedua - 1 dan 3 kekunci, yang ketiga - 2 dan 3 kekunci. Mari kita periksa apabila mana-mana dua rakan datang untuk melihat sama ada mereka boleh membuka peti besi.

Sahabat pertama dan kedua boleh datang, mereka akan mempunyai semua kunci (1 dan 2, 1 dan 3). Sahabat pertama dan ketiga boleh datang, mereka juga akan mempunyai semua kunci (1 dan 2, 2 dan 3). Akhirnya, sahabat kedua dan ketiga boleh datang, mereka juga akan mempunyai semua kunci (1 dan 3, 2 dan 3).

Oleh itu, untuk mencari jawapan dalam masalah ini, anda perlu melakukan operasi lelaran beberapa kali.

Apabila memilih masalah gabungan, seseorang harus memberi perhatian kepada subjek dan bentuk pembentangan masalah ini. Adalah wajar bahawa tugas-tugas itu tidak kelihatan tiruan, tetapi boleh difahami dan menarik kepada kanak-kanak, membangkitkan emosi positif di dalamnya. Anda boleh menggunakan bahan praktikal dari kehidupan untuk merangka tugasan.

Terdapat masalah lain yang boleh diselesaikan dengan penghitungan.

Sebagai contoh, mari kita selesaikan masalah: "Marquis Karabas berumur 31 tahun, dan Puss in Boots mudanya yang bertenaga berumur 3 tahun, ketika peristiwa yang diketahui dari kisah dongeng itu berlaku. Berapa tahun telah berlalu sejak itu, jika kini Kucing itu tiga kali lebih muda daripada pemiliknya? Penghitungan pilihan diwakili oleh jadual.

Zaman Marquis of Carabas dan Puss in Boots

14 - 3 = 11 (tahun)

Jawapan: 11 tahun telah berlalu.

Pada masa yang sama, pelajar, seolah-olah, eksperimen, memerhati, membandingkan fakta dan, berdasarkan kesimpulan tertentu, membuat kesimpulan umum tertentu. Dalam proses pemerhatian ini, pengalaman praktikal sebenar beliau diperkaya. Ini adalah nilai praktikal masalah penghitungan. Dalam kes ini, perkataan "penghitungan" digunakan dalam erti kata menganalisis semua kemungkinan kes yang memenuhi syarat masalah, menunjukkan bahawa tidak ada penyelesaian lain.

Masalah ini juga boleh diselesaikan dengan kaedah algebra.

Biarkan Kucing berumur x tahun, maka Marquis adalah 3x, berdasarkan keadaan masalah, kami akan menyusun persamaan:

• 3x - x \u003d 28,
• 2x = 28,

Kucing itu kini berumur 14 tahun, kemudian 14 - 3 = 11 (tahun) berlalu.

Jawapan: 11 tahun telah berlalu.

kaedah penaakulan boleh digunakan untuk menyelesaikan kecanggihan matematik.

Kesilapan yang dibuat dalam sophisme biasanya berpunca daripada perkara berikut: melakukan tindakan "terlarang", menggunakan lukisan yang salah, penggunaan perkataan yang salah, rumusan yang tidak tepat, generalisasi "tidak sah", aplikasi teorem yang salah.

Mendedahkan sophisme bermaksud menunjukkan kesilapan dalam penaakulan, berdasarkan mana penampilan luaran bukti dicipta.

Analisis sophisms, pertama sekali, mengembangkan pemikiran logik, menanamkan kemahiran pemikiran yang betul. Untuk mengesan kesilapan dalam sophisme bermakna mengenalinya, dan kesedaran tentang kesilapan menghalangnya daripada berulang dalam penaakulan matematik yang lain. Sebagai tambahan kepada kekritisan pemikiran matematik, jenis tugasan tidak standard ini mendedahkan fleksibiliti pemikiran. Adakah pelajar itu dapat "melepaskan diri daripada cengkaman" jalan ini, yang pada pandangan pertama adalah logik, untuk memutuskan rantaian kesimpulan pada pautan yang salah dan membuat semua penaakulan selanjutnya menjadi salah?

Analisis sophism juga membantu asimilasi sedar bahan yang sedang dikaji, mengembangkan pemerhatian dan sikap kritis terhadap apa yang sedang dikaji.

a) Di sini, sebagai contoh, adalah sophisme dengan penggunaan teorem yang salah.

Mari kita buktikan bahawa 2 2 = 5.

Mari kita ambil persamaan jelas berikut sebagai nisbah awal: 4: 4 = 5: 5 (1)

Kami mengeluarkan daripada kurungan faktor sepunya di bahagian kiri dan kanan, kami mendapat:

4 (1: 1) = 5 (1: 1) (2)

Nombor dalam kurungan adalah sama, jadi 4 = 5 atau 2 2 = 5.

Dalam penaakulan, apabila beralih dari kesamaan (1) kepada kesamaan (2), ilusi kemungkinan dicipta berdasarkan analogi palsu dengan sifat pengagihan pendaraban berkenaan dengan penambahan.

b) Sophisme menggunakan generalisasi "haram".

Terdapat dua keluarga - Ivanovs dan Petrovs. Setiap terdiri daripada 3 orang - ayah, ibu dan anak lelaki. Bapa Ivanov tidak mengenali bapa Petrov. Ibu Ivanov tidak mengenali ibu Petrova. Anak lelaki tunggal Ivanov tidak mengenali anak lelaki tunggal Petrov. Kesimpulan: tidak seorang pun ahli keluarga Ivanov mengenali seorang ahli keluarga Petrov. Adakah ini benar?

Jika ahli keluarga Ivanov tidak mengenali ahli keluarga Petrov sama dalam status perkahwinan, ini tidak bermakna dia tidak mengenali seluruh keluarga. Sebagai contoh, bapa Ivanov mungkin mengenali ibu dan anak Petrov.

Kaedah penaakulan juga boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah logik. Tugas logik biasanya difahami sebagai tugasan yang diselesaikan hanya menggunakan operasi logik. Kadang-kadang penyelesaian mereka memerlukan penaakulan yang panjang, arah yang diperlukan tidak dapat diramalkan terlebih dahulu.

Satu tugas. Mereka mengatakan bahawa Tortila memberikan kunci emas kepada Pinocchio bukan semudah yang dikatakan A. N. Tolstoy, tetapi dengan cara yang sama sekali berbeza. Dia membawa keluar tiga kotak: merah, biru dan hijau. Pada kotak merah tertulis: "Di sini terletak kunci emas", dan pada yang biru - "Kotak hijau kosong", dan pada kotak hijau - "Di sini duduk ular". Tortila membaca inskripsi itu dan berkata: “Memang ada kunci emas dalam satu kotak, ular di kotak yang lain, dan yang ketiga kosong, tetapi semua inskripsi itu salah. Jika anda meneka kotak mana yang mengandungi kunci emas, ia adalah milik anda." Di manakah kunci emas?

Oleh kerana semua tulisan pada kotak itu tidak betul, maka kotak merah tidak mengandungi kunci emas, kotak hijau tidak kosong dan tidak ada ular di dalamnya, bermakna kunci itu berada di dalam kotak hijau, ular berada di dalam. yang merah, dan yang biru kosong.

Apabila menyelesaikan masalah logik, pemikiran logik diaktifkan, dan ini adalah keupayaan untuk menyimpulkan akibat daripada premis, yang penting untuk kejayaan penguasaan matematik.

Rebus adalah teka-teki, tetapi teka-teki bukanlah teka-teki yang biasa. Perkataan dan nombor dalam teka-teki matematik digambarkan menggunakan lukisan, asterisk, nombor dan pelbagai tanda. Untuk membaca apa yang disulitkan dalam rebus, anda mesti menamakan dengan betul semua objek yang digambarkan dan memahami tanda yang menggambarkan apa. Orang ramai menggunakan teka-teki walaupun mereka tidak boleh menulis. Mereka mengarang surat mereka daripada objek. Sebagai contoh, ketua satu suku pernah menghantar seekor burung, seekor tikus, seekor katak dan lima anak panah dan bukannya sepucuk surat kepada jirannya. Ini bermaksud: “Bolehkah kamu terbang seperti burung dan bersembunyi di dalam tanah seperti tikus, melompat melalui paya seperti katak? Jika anda tidak tahu bagaimana, maka jangan cuba melawan kami. Kami akan membedil anda dengan anak panah sebaik sahaja anda memasuki negara kami.”

Berdasarkan huruf pertama jumlah 1), D = 1 atau 2.

Katakan D = 1. Kemudian, Y? 5. Y \u003d 5 dikecualikan, kerana P tidak boleh sama dengan 0. Y? 6, kerana 6 + 6 = 12, i.e. P = 2. Tetapi nilai P sedemikian tidak sesuai untuk pengesahan selanjutnya. Begitu juga, U? 7.

Katakan Y = 8. Kemudian, P = 6, A = 2, K = 5, D = 1.

Petak ajaib (sihir) ialah petak yang jumlah nombor secara menegak, mendatar dan menyerong adalah sama.

Satu tugas. Susun nombor dari 1 hingga 9 supaya secara menegak, mendatar dan menyerong anda mendapat jumlah nombor yang sama, sama dengan 15.

Walaupun tiada peraturan am untuk menyelesaikan masalah bukan standard (sebab itu masalah ini dipanggil bukan standard), kami telah cuba memberikan beberapa garis panduan umum - cadangan yang harus diikuti semasa menyelesaikan masalah bukan standard pelbagai jenis. .

Setiap tugasan bukan standard adalah asal dan unik dalam penyelesaiannya. Dalam hal ini, metodologi yang dibangunkan untuk aktiviti carian pengajaran apabila menyelesaikan tugas bukan standard tidak membentuk kemahiran untuk menyelesaikan tugas bukan standard, kita hanya boleh bercakap tentang membangunkan kemahiran tertentu:

• keupayaan untuk memahami tugas, menyerlahkan perkataan utama (sokongan);
• keupayaan untuk mengenal pasti keadaan dan soalan, diketahui dan tidak diketahui dalam masalah;
• keupayaan untuk mencari sambungan antara data dan yang dikehendaki, iaitu, untuk menganalisis teks masalah, hasilnya adalah pilihan operasi aritmetik atau operasi logik untuk menyelesaikan masalah bukan standard;
• keupayaan untuk merekod kemajuan penyelesaian dan jawapan kepada masalah;
• · keupayaan untuk menjalankan kerja tambahan pada tugas;
• keupayaan untuk memilih maklumat berguna yang terkandung dalam masalah itu sendiri, dalam proses menyelesaikannya, untuk mensistematikkan maklumat ini, mengaitkannya dengan pengetahuan sedia ada.

Tugas bukan standard membangunkan pemikiran spatial, yang dinyatakan dalam keupayaan untuk mencipta semula dalam minda imej spatial objek dan melakukan operasi pada mereka. Pemikiran ruang dimanifestasikan apabila menyelesaikan masalah seperti: “Di atas tepi kek bulat, 5 titik krim diletakkan pada jarak yang sama antara satu sama lain. Pemotongan dibuat melalui semua pasangan mata. Berapakah jumlah kek yang anda perolehi?

kaedah praktikal boleh dipertimbangkan untuk masalah pembahagian bukan piawai.

Satu tugas. Batang perlu dipotong kepada 6 bahagian. Berapa banyak potongan yang diperlukan?

Penyelesaian: Pemotongan memerlukan 5.

Apabila mengkaji masalah pembahagian bukan piawai, anda perlu memahami: untuk memotong segmen kepada bahagian P, anda harus membuat potongan (P - 1). Fakta ini mesti ditubuhkan dengan kanak-kanak secara induktif, dan kemudian digunakan dalam menyelesaikan masalah.

Satu tugas. Dalam bar tiga meter - 300 cm Ia mesti dipotong menjadi bar sepanjang 50 cm setiap satu. Berapa banyak potongan yang perlu anda buat?

Penyelesaian: Kami mendapat 6 bar 300: 50 = 6 (bar)

Kami berhujah seperti berikut: untuk membahagikan bar separuh, iaitu, kepada dua bahagian, anda perlu membuat 1 potong, menjadi 3 bahagian - 2 potongan, dan seterusnya, menjadi 6 bahagian - 5 potongan.

Jadi, anda perlu membuat 6 - 1 = 5 (potongan).

Jawapan: 5 potong.

Jadi, salah satu motif utama yang mendorong pelajar untuk belajar ialah minat terhadap subjek tersebut. Minat adalah orientasi kognitif aktif seseorang kepada objek, fenomena dan aktiviti tertentu, yang dicipta dengan sikap emosi yang positif terhadap mereka. Salah satu cara untuk mengembangkan minat dalam matematik adalah tugas bukan standard. Tugas bukan standard difahami sebagai tugasan sedemikian yang tiada peraturan dan peraturan am dalam perjalanan matematik yang menentukan program yang tepat untuk penyelesaiannya. Menyelesaikan masalah tersebut membolehkan pelajar melibatkan diri secara aktif dalam aktiviti pembelajaran. Terdapat pelbagai klasifikasi masalah dan kaedah penyelesaiannya. Yang paling biasa digunakan ialah algebra, aritmetik, kaedah praktikal dan penghitungan, penaakulan dan tekaan.

Pertandingan perbandaran penyelidikan dan karya kreatif murid sekolah

"Langkah ke Sains"

Bahagian MATEMATIK

Topik: Kaedah bukan standard untuk menyelesaikan tidak rasional

persamaan.

Nuzhdina Maria, sekolah menengah MAOU №2

Darjah 10, kampung Karymskoe

Penasihat saintifik: Vasilyeva Elena Valerievna,

guru matematik

Sekolah menengah MAOU No. 2, kampung Karymskoye

penyelesaian Karymskoe, 2013

Abstrak………………………………………………………………………….3

Rancangan pengajian…………………………………………………………………………………………………………..4-5

Penerangan kerja:

§satu. Teknik asas untuk menyelesaikan persamaan tidak rasional………………6-9

§2. Menyelesaikan persamaan tidak rasional dengan kaedah menggantikan yang tidak diketahui ... 10-14

§3. Persamaan tidak rasional dikurangkan kepada modulus ………….15-17

§4. Pemfaktoran…………………………………………………..18-19

§lima. Persamaan bentuk …………………………………………… 20-22

§6. Teorem min geometri dalam persamaan tidak rasional

; ……………………………23-24

4) Rujukan…………………………………………………………25

Anotasi.

Tema kerja penyelidikan kami: "Kaedah bukan piawai untuk menyelesaikan persamaan tidak rasional."

Semasa menjalankan kerja, adalah perlu untuk: membandingkan kaedah penyelesaian yang berbeza; beralih daripada kaedah awam kepada kaedah persendirian, dan sebaliknya; berhujah dan membuktikan kenyataan yang dibuat; mengkaji dan merumuskan maklumat yang dikumpul daripada pelbagai sumber. Dalam hal ini, kaedah aktiviti penyelidikan berikut boleh dibezakan: empirikal; logik dan teori (penyelidikan); langkah demi langkah; reproduktif dan heuristik;

Hasil daripada kerja yang dijalankan, berikut keputusan dan kesimpulan:

Terdapat banyak helah untuk menyelesaikan persamaan tidak rasional;

Tidak semua persamaan tidak rasional diselesaikan menggunakan helah standard;

Kami telah mengkaji penggantian yang kerap di mana persamaan tidak rasional kompleks dikurangkan kepada yang paling mudah;

Kami mempertimbangkan kaedah bukan piawai untuk menyelesaikan persamaan tidak rasional

Topik: "Kaedah bukan piawai untuk menyelesaikan persamaan tidak rasional"

Nuzhdina M.P., Wilayah Trans-Baikal, penempatan Karymskoye, sekolah menengah MAOU No. 2, gred 10.

Pelan penyelidikan.

Kawasan objek yang kami selidiki ialah algebra. Sebuah objek penyelidikan- penyelesaian persamaan. Di antara banyak persamaan, kami menganggap persamaan tidak rasional - subjek penyelidikan kami.

Dalam kursus algebra sekolah, hanya kaedah dan teknik standard untuk penyelesaian (dinaikkan kepada kuasa dan teknik penggantian mudah) dipertimbangkan. Tetapi dalam proses penyelidikan, ternyata terdapat persamaan yang tidak rasional yang mana teknik dan kaedah standard tidak mencukupi untuk diselesaikan. Persamaan sedemikian diselesaikan menggunakan kaedah lain yang lebih rasional.

Oleh itu, kami percaya bahawa kajian kaedah penyelesaian sedemikian adalah kerja yang perlu dan menarik.

Dalam proses penyelidikan, ternyata terdapat banyak persamaan yang tidak rasional dan adalah bermasalah untuk mengumpulkannya mengikut jenis dan kaedah.

matlamat penyelidikan ialah kajian dan sistematisasi kaedah untuk menyelesaikan persamaan tidak rasional.

Hipotesis: Jika anda mengetahui kaedah bukan standard untuk menyelesaikan persamaan tidak rasional, maka ini akan meningkatkan kualiti prestasi beberapa Olimpik dan tugasan ujian Peperiksaan Negeri Bersepadu.

Untuk mencapai matlamat yang ditetapkan dan menguji hipotesis, adalah perlu untuk menyelesaikan perkara berikut tugasan:

Mencirikan jenis persamaan tidak rasional.

Wujudkan hubungan antara jenis dan kaedah penyelesaian.

Menilai nilai menyemak dan mencari ODZ.

Pertimbangkan kes bukan piawai apabila menyelesaikan persamaan tidak rasional (teorem min geometri, sifat monotonisitas fungsi).

Dalam perjalanan kajian, banyak buku teks oleh pengarang seperti M.I.Skanavi, I.F.Sharygin, O.Yu.Cherkasov, A.N.Rurukin, I.T. jurnal kaedah "Matematik di Sekolah".

Topik: "Kaedah bukan piawai untuk menyelesaikan persamaan tidak rasional"

Nuzhdina M.P., Wilayah Trans-Baikal, penempatan Karymskoye, sekolah menengah MAOU No. 2, gred 10.

Penerangan tentang kerja.

§1 Teknik asas untuk menyelesaikan persamaan tidak rasional

Persamaan y(x)=0 adalah tidak rasional jika fungsi y(x) mengandungi punca daripada nilai x yang tidak diketahui atau ungkapan yang bergantung kepada x.

Banyak persamaan tidak rasional boleh diselesaikan hanya berdasarkan konsep punca dan julat nilai yang dibenarkan bagi persamaan (ODV), tetapi terdapat kaedah lain, beberapa daripadanya akan dibincangkan dalam kerja.

Teknik utama untuk menyelesaikan persamaan tidak rasional dianggap sebagai pengasingan dalam satu bahagian persamaan radikal, diikuti dengan menaikkan kedua-dua bahagian persamaan ke tahap yang sesuai. Sekiranya terdapat beberapa radikal sedemikian, maka persamaan mesti dinaikkan kepada kuasa asal berulang kali, dengan cara itu, sementara tidak perlu menjaga bahawa ungkapan di bawah tanda radikal bersendirian akan menjadi bukan negatif.

Walau bagaimanapun, apabila dinaikkan kepada kuasa genap, akar luar mungkin muncul, iaitu akar yang bukan penyelesaian kepada persamaan asal.

Oleh itu, apabila menggunakan penyelesaian sedemikian, akar mesti diperiksa dan yang luar dibuang, dalam kes ini pemeriksaan adalah elemen penyelesaian dan diperlukan walaupun dalam kes di mana akar tambahan tidak muncul, tetapi perjalanan penyelesaian itu adalah. supaya mereka boleh muncul. Sebaliknya, kadang-kadang lebih mudah untuk membuat semakan daripada membuktikan bahawa ia perlu.

Mari lihat beberapa contoh:

Jawapan: tiada akar

- akar luar

Dalam contoh ini, kami melihat kaedah piawai untuk menyelesaikan persamaan tidak rasional (menaikkan kedua-dua belah kepada kuasa dan menyemak punca).

Walau bagaimanapun, banyak persamaan tidak rasional boleh diselesaikan dengan

hanya berdasarkan konsep punca dan ODZ persamaan.

Memandangkan persamaan hanya merangkumi radikal darjah genap, ia memadai untuk menyelesaikan sistem ketaksamaan.

3x -2x 2 +5 ≥0 (syarat persamaan ODZ)

4x 2 -26x +40 ≥0

Menyelesaikan sistem ketaksamaan ini, kita dapat:

x € Di mana x = 2.5.

x € (-∞ ; 2.5] ᴗ )